1. bölüm
TYT & AYT - Bölme-Bölünebilme - 1.Sayfa
Lise • TYT • AYT
Bölme - Bölünebilme
1. Sayfa: Temeller • Bölme Algoritması • Bölünebilme Kavramı
Bu sayfada öğreneceklerin
Bölme işleminin anlamı: bölüm (q) ve kalan (r) kavramları.
Bölme algoritması: her tam sayının “bölüm + kalan” biçiminde yazılışı.
Bölünebilme tanımı ve “kalan 0” fikrinin problem çözmedeki gücü.
1) Bölme İşlemi: Bölünen, Bölen, Bölüm, Kalan
Bir bölme işleminde dört temel parça vardır:
Kavramlar
Bölünen: Paylaştırılan / bölünen sayı.
Bölen: Kaça böldüğümüz.
Bölüm: Kaç tane tam parça çıktığı.
Kalan: Paylaştırınca artan kısım.
Örneğin 29 sayısını 5’e bölersek: 5’lik gruplar halinde 5 grup çıkar ve 4 artar.
Matematiksel yazım
Burada bölüm 5, kalan 4’tür.
2) Bölme Algoritması (En Temel Formül)
b ≠ 0 olmak üzere her tam sayı a, b’ye bölündüğünde şu şekilde yazılır:
Burada q bölüm, r kalandır ve 0 ≤ r < |b| koşulunu sağlar.
Bu ifade, bölme-bölünebilme konularının “çekirdek motorudur”. TYT’de temel sorularda, AYT’de ise
daha zor “modüler düşünme” sorularında sürekli kullanılır.
Kritik sonuç
a sayısı b’ye bölünür demek, kalan r = 0 demektir.
3) “Bölünür” Ne Demektir?
a sayısı b sayısına bölünüyorsa, a tam olarak b’nin katıdır.
Yani bir tam sayı k vardır ve:
Bu durumda kalan 0 olur.
Örnek: 84 sayısı 7’ye bölünür çünkü 84 = 7·12’dir.
Kısa gösterim (mod dili)
Kalanı ifade etmek için “mod” fikri kullanılır: “a’nın b’ye bölümünden kalan r’dir”.
Özellikle AYT’de, büyük sayılarla işlem yaparken bu gösterim çok iş görür.
4) Temelden Pratiğe: Hızlı Örnekler
Örnek 1: 73 sayısı 6’ya bölünür mü?
6’ya bölünebilmesi için kalan 0 olmalı. 73 = 6·12 + 1 olduğundan kalan 1’dir, bölünmez.
Örnek 2: 180 sayısının 8’e bölümünden kalan kaçtır?
8·22 = 176 olduğundan 180 = 8·22 + 4 ve kalan 4’tür.
Kalanın her zaman 0 ile 7 arasında olacağını unutma.
Örnek 3: “Kalan” neden bölen kadar olamaz?
Eğer kalan bölen kadar (veya daha büyük) olsaydı, bir tane daha “tam parça” çıkarılabilirdi.
Bu yüzden kalan daima bölenin mutlak değerinden küçüktür.
Sık hata
“Kalan 8, bölen 8” gibi ifadeler doğru değildir. Bu durumda aslında kalan 0 olur ve bölüm 1 artar.
Sayfa 1 Özeti
• Bölme algoritması: a = b·q + r
• Kalan koşulu: 0 ≤ r < |b|
• Bölünebilme: r = 0 (yani sayı bölenin katıdır)
• Kalan koşulu: 0 ≤ r < |b|
• Bölünebilme: r = 0 (yani sayı bölenin katıdır)
2. bölüm
TYT & AYT - Bölme-Bölünebilme - 2.Sayfa
Lise • TYT • AYT
Bölme - Bölünebilme
2. Sayfa: Kat Kavramı • Bölünebilme ve Kat İlişkisi • Temel Özellikler
1) Kat (Multiple) Kavramı
Bir sayı, başka bir sayının tam katı ise, bu sayı o sayıya kalansız bölünebilir.
Tanım
Eğer bir k tam sayısı varsa ve
ise a, b’nin katıdır ve b, a’yı böler.
2) Bir Sayının Katlarını Bulma
Bir sayının katlarını bulmak için o sayı ardışık tam sayılarla çarpılır.
Örnek: 6 sayısının katları
Bu nedenle: 12, 18 ve 24 sayıları 6’nın katıdır.
3) Bölünebilme ve Kat Arasındaki İlişki
Bölünebilme ve kat kavramları birbirinin tersidir.
Temel ilişki
Eğer
ise şu sonuçların hepsi doğrudur:
• a, b’ye bölünür
• b, a’nın bölenidir
• a, b’nin katıdır
• kalan 0’dır
• b, a’nın bölenidir
• a, b’nin katıdır
• kalan 0’dır
4) Analiz Örneği
48 sayısı 6’ya bölünür mü?
Kontrol edelim:
Bir tam sayı ile çarpım şeklinde yazıldığı için:
48, 6’ya bölünür ve kalan 0’dır.
Sayfa 2 Özeti
• Kat: a = b·k biçiminde yazılabilen sayıdır
• Bölünebilme ⇄ Kat ilişkisi vardır
• Bölünebilme varsa kalan 0’dır
• Katlar çarpma ile bulunur
• Bölünebilme ⇄ Kat ilişkisi vardır
• Bölünebilme varsa kalan 0’dır
• Katlar çarpma ile bulunur