Lise • TYT • AYT

Kesir Problemleri: Temel Mantık ve İlk Stratejiler

Kesir problemlerinde amaç, “parça–bütün” ilişkisini doğru kurup ifadeyi sade bir denkleme dönüştürmektir. Bu sayfada kesirlerin anlamını, problem cümlesini matematik diline çevirmenin yöntemlerini ve en sık yapılan hataları netleştireceğiz.

1) Kesir Neyi Anlatır?

Bir kesir, bir bütünün eş parçalarından kaç tanesini aldığını gösterir. Örneğin $\frac{3}{5}$ ifadesi “bütünü 5 eş parçaya böl, 3 parçasını al” demektir.

Birim kesir

Payı 1 olan kesirlerdir: $\frac{1}{7}$ gibi. Bütünü “kaç eş parçaya” böldüğünü çok net anlatır.

Basit–bileşik–tam sayılı

Basit: pay < payda. $\frac{4}{9}$
Bileşik: pay ≥ payda. $\frac{11}{6}$
Tam sayılı: bir tam sayı + kesir: $1 \frac{5}{8}$

Problem dili ↔ kesir dili

Cümlede geçen “…’nin …’ü” ifadesi genelde kesir çarpımı demektir. “Bir sayının $\frac{2}{3}$ ’ü” ifadesi, sayının $\frac{2}{3}$ ile çarpılmasıdır.

2) Kesir Problemlerinde Altın Plan

Bütünü seç: Problemde “tamamı” ne? Para mı, uzunluk mu, iş mi, zaman mı?
Parçayı tanımla: “Kalan”, “harcanan”, “alınan”, “yapılan” gibi sözcükler parçayı verir.
Kesir–işlem bağlantısı kur: “...’inin ...’si” çoğunlukla çarpım; “... kadarını verdi” çoğunlukla çıkarma.
Sadeleştir: Denklem kurup işlemleri mümkün olduğunca küçük sayılarla yap.

Hızlı kontrol

Sonucun mantığına bak: Kesir 1’den küçükse “parça” bütünden küçük olmalı. Kesir 1’den büyükse sonuç bütünden büyük çıkabilir (bileşik kesir etkisi).

3) Örnek 1: Bir Sayının Kesri

Soru

Bir sayının $\frac{3}{5}$ ’i 24 ise sayı kaçtır?

Çözüm fikri

“Bir sayının $\frac{3}{5}$ ’i” demek, sayının $\frac{3}{5}$ ile çarpılmasıdır. Sayıya x diyelim.

Denklem

\frac{3}{5} \cdot x = 24

Buradan x’i bulmak için 24’ü $\frac{3}{5}$ ’e böleriz; yani ters çevirip çarparız.

x = 24 \cdot \frac{5}{3} = 40

Sonuç: sayı 40.

Mini not

Bu tip sorularda “kesir → parça”, “tam sayı → bütün” ilişkisini unutma: $\frac{3}{5}$ bütünden küçük olduğu için 24 de bütünden (x) küçük olmalıdır; x=40 mantıklıdır.

4) Örnek 2: Kalan–Harcanan Mantığı

Soru

Bir miktar paranın önce $\frac{1}{4}$ ’ü harcanıyor, sonra kalan paranın $\frac{2}{3}$ ’ü harcanıyor. Geriye 30 TL kalıyor. Başta kaç TL vardı?

Adım adım düşün

Başlangıç parası x olsun. Önce $\frac{1}{4}$ harcanırsa kalan, “bütünün” $\frac{3}{4}$ ’üdür.

Kalanın kesri

x - \frac{1}{4} \cdot x = \frac{3}{4} \cdot x

Sonra kalan paranın $\frac{2}{3}$ ’ü harcanırsa, geriye “kalanın” $\frac{1}{3}$ ’ü kalır.

\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot x = 30

Burada $\frac{1}{3}$ ile $\frac{3}{4}$ çarpılırsa $\frac{1}{4}$ eder.

\frac{1}{4} \cdot x = 30 \Rightarrow x = 120

Başlangıç para 120 TL.

5) Sık Yapılan Hatalar

“Kalanın kesri”ni bütün sanmak

“Kalanın $\frac{2}{3}$ ’ü” ifadesinde “bütün” artık ilk bütünü değil, kalan miktarıdır.

Kesri yanlış yönde uygulamak

“Bir sayının $\frac{3}{5}$ ’i 24” demek, 24’ü $\frac{3}{5}$ ile çarpmak değildir; asıl sayı daha büyüktür.

Negatif kesir yazımı

Negatif kesirlerde eksi işareti kesrin dışında olmalıdır: $- \frac{2}{3}$

Bir sonraki sayfada

Kesir problemlerinde en kritik kalıp olan “bir sayının kesri”, “kalanın kesri” ve “art arda kesir uygulama” örneklerini daha hızlı çözecek pratik tekniklere geçeceğiz; özellikle sadeleştirme ve oran mantığını güçlendireceğiz.

Lise • TYT • AYT

Bir Sayının Kesrini Bulma ve Tersine Problem Kurma

Kesir problemlerinde en temel yapı “bir sayının kesri” ifadesidir. Bu yapı hem kesri bulma hem de bütünü bulma şeklinde iki farklı soru tipinin temelini oluşturur.

1) Bir Sayının Kesrini Bulma Kuralı

Bir sayının kesrini bulmak için sayı ile kesir çarpılır.

Genel ifade

\frac{a}{b} \cdot x

Bu ifade, x sayısının $\frac{a}{b}$ kadarı anlamına gelir.

2) Örnek: Kesri Bulma

Soru

80 sayısının $\frac{3}{4}$ ’ü kaçtır?

Çözüm

80 \cdot \frac{3}{4}

80 = 4 \cdot 20

20 \cdot 3 = 60

Sonuç: 60

3) Kesir Verilmiş, Bütün Soruluyor

Soru

Bir sayının $\frac{5}{6}$ ’ü 50 ise sayı kaçtır?

\frac{5}{6} \cdot x = 50

x = 50 \cdot \frac{6}{5}

x = 60

Kritik bilgi

Eğer kesir verilmiş ve sonuç biliniyorsa, bütünü bulmak için kesir ters çevrilerek çarpılır.

Sonraki sayfa

Bir miktarın önce bir kesri alınıp sonra kalan üzerinden yeni kesir alınan çok adımlı problemlerin mantığını öğreneceğiz.

Kesir Problemleri Konu Anlatımı

TYT & AYT - Kesir Problemleri - 1.Sayfa

Kesir Problemleri: Temel Mantık ve İlk Stratejiler

1) Kesir Neyi Anlatır?

2) Kesir Problemlerinde Altın Plan

3) Örnek 1: Bir Sayının Kesri

4) Örnek 2: Kalan–Harcanan Mantığı

5) Sık Yapılan Hatalar

TYT & AYT - Kesir Problemleri - 2.Sayfa

Bir Sayının Kesrini Bulma ve Tersine Problem Kurma

1) Bir Sayının Kesrini Bulma Kuralı

2) Örnek: Kesri Bulma

3) Kesir Verilmiş, Bütün Soruluyor