1. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 11.Sayfa

EBOB-EKOK - 11. Sayfa

Lise • TYT • AYT

EBOB–EKOK Problemlerinde Oran ve Bölme Stratejileri

TYT ve AYT’de sık gelen soru tiplerinden biri, iki sayının EBOB ve EKOK’u verilerek sayıları bulma veya oran kurma sorularıdır.

1) Temel Model

İki sayı için şu model kullanılır:

a = d \cdot x

b = d \cdot y

Burada:

d = EBOB(a,b)
x ve y aralarında asaldır

2) EKOK ile Bağlantı

EKOK şu şekilde olur:

EKOK = d \cdot x \cdot y

Çünkü x ve y aralarında asaldır.

3) Örnek Problem

EBOB(a,b)=6 ve EKOK(a,b)=180 ise a ve b bulunabilir.

Model:

a = 6x

b = 6y

EKOK formülü:

6 · x · y = 180

x · y = 30

4) Sayıları Bulma

x ve y aralarında asal olmalıdır.

30’un aralarında asal çarpanları:

1 ve 30
2 ve 15
3 ve 10
5 ve 6

Örnek seçim:

x=5, y=6

a=30, b=36

5) Oran Formu

Oran:

a : b = x : y

Çünkü ortak çarpan sadeleşir.

2. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 12.Sayfa

EBOB-EKOK - 12. Sayfa

Lise • TYT • AYT

İleri Düzey EBOB–EKOK Problemleri (Analitik Yaklaşım)

Bu sayfada sınavlarda sık gelen, EBOB ve EKOK’un birlikte kullanıldığı daha ileri düzey problem çözüm stratejilerini öğreneceksin.

1) Temel Denklem Tekniği

En önemli denklem:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Bu denklem bilinmeyen içeren sorularda anahtar rol oynar.

2) Örnek Problem

EBOB(a,b)=8 ve EKOK(a,b)=96 ise a·b kaçtır?

Çözüm:

a \cdot b = 8 \cdot 96

= 768

3) Üç Sayı Problemleri

Üç sayı için işlem adım adım yapılır:

Önce:

EBOB(a,b)

Sonra:

EBOB(sonuç,c)

Aynı yöntem EKOK için de uygulanır.

4) Bilinmeyenli Problem Tekniği

Örnek:

EBOB(a,24)=6 ise:

a sayısı 6’nın katıdır.

a = 6k şeklinde yazılır.

5) Sınav Stratejisi

Önce asal çarpan düşün
Gerekirse denklem kur
EBOB·EKOK ilişkisini kullan
Aralarında asal modelini uygula

3. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 13.Sayfa

EBOB-EKOK - 13. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Yeni Nesil Zor Problemler: EBOB–EKOK ile Akıl Yürütme

Yeni nesil sorular, sadece işlem değil “model kurma” ister. Bu sayfada EBOB–EKOK’u bir “mantık aracı” gibi kullanmayı öğreneceksin.

1) Yeni Nesil Soru Tipleri

Periyotların aynı anda çakışması (EKOK)
Eşit gruplara bölme + kalan/eksik (EBOB + model)
EBOB ve EKOK verilmiş, sayılar isteniyor
Koşullu en küçük/en büyük değer arayışı

2) Zor Örnek: Kalanlı Paylaştırma (Model Kurma)

Bir sayı, 12 ile bölündüğünde 5 kalan, 18 ile bölündüğünde 11 kalan veriyor. Bu sayının 12 ve 18’e göre ortak yapısını düşün.

Kalan yapısı: sayı = 12·t + 5 ve sayı = 18·s + 11

Bu tür sorularda amaç, iki ifadeyi aynı sayıya eşitleyip “EKOK’a yakın” bir yapı yakalamaktır. (Devam sayfalarında bu mantığı daha keskinleştireceğiz.)

3) Strateji: “Ortak Yapı” Arama

“12 ile bölününce 5 kalan” demek: sayı 12’nin katından 5 fazladır.
“18 ile bölününce 11 kalan” demek: sayı 18’in katından 11 fazladır.
Bu iki koşulu birlikte sağlayan en küçük sayı çoğu zaman EKOK çevresinde aranır.

Yeni nesil ipucu: “kalan” varsa doğrudan EKOK yazmak yerine, sayıyı “kat ± kalan” şeklinde modelle.

4) Zor Örnek: En Küçük Değer Arayışı

İki sayının EBOB’u 6, EKOK’u 180 ise bu iki sayı kaç farklı şekilde seçilebilir?

Model:

a = 6x, b = 6y ve x ile y aralarında asal

EKOK = 6xy = 180 → xy = 30

Şimdi mesele, 30’un “aralarında asal” çarpan çiftlerini saymaktır. Bu sayım mantığı bir sonraki sayfada netleşecek.

5) Bu Sayfanın Ana Mesajı

Yeni nesil sorularda önce “model” kur
Kalanlı ifadeleri “kat ± kalan” biçiminde yaz
EBOB–EKOK ilişkisini denklem gibi kullan
Aralarında asal koşulunu asla unutma

4. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 14.Sayfa

EBOB-EKOK - 14. Sayfa

Lise • TYT • AYT

“Kaç Farklı Çift?” Soruları: Aralarında Asal Çarpan Çiftlerini Sayma

EBOB ve EKOK verilince sayıları bulmak yetmez; bazı sorular “kaç farklı şekilde seçilir?” diye sorar. Burada kritik nokta aralarında asal çarpan çiftlerini sistematik saymaktır.

1) Temel Prensip

Model:

EBOB(a,b)=d ise: a=d·x ve b=d·y

Ayrıca x ve y aralarında asal olmalıdır.

EKOK(a,b)=d·x·y olur.

EKOK(a,b)=L verilmişse: d·x·y=L → x·y = L / d

2) Ana Numara: Asal Üsleri “Paylaştırmak”

Eğer x·y = N ve x ile y aralarında asal olacaksa: N’nin asal çarpanları tamamen ya x’e ya y’ye gider.

Çünkü ortak asal çarpan olmamalı.

Örnek N=30 ise:

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

2,3,5 asal çarpanlarının her biri x’e veya y’ye verilir (karışık dağıtılabilir ama aynı asal iki tarafta olamaz).

3) Sayım Kuralı

N’nin farklı asal çarpan sayısı r olsun. Her asal çarpan x’e ya da y’ye gideceği için toplam dağıtım sayısı:

2^r

Bu sayı sıralı çift (x,y) sayısıdır. Eğer (a,b) ile (b,a) aynı kabul ediliyorsa ayrıca ikiye bölme gibi ayarlamalar yapılır.

Kritik: N’de bir asal çarpanın üssü varsa (ör. 2^3 gibi), bu asalın tüm gücü tek tarafa gider; paylaşılırsa ortak asal oluşur ve aralarında asal bozulur.

4) Uygulama: EBOB=6, EKOK=180 Sorusu

x·y = 180 / 6 = 30

30’un farklı asal çarpan sayısı:

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

r=3 → sıralı (x,y) sayısı: 2^3 = 8

Buna göre sıralı (a,b) sayısı da 8’dir (çünkü a=6x, b=6y).

Eğer soru “a≤b olacak şekilde kaç tane?” derse, simetri nedeniyle ayrıca düzenleme gerekir.

5) Bu Sayfayı Tek Cümlede Özetle

Aralarında asal çarpan çiftlerini saymak için, çarpımın farklı asal çarpanlarını iki tarafa “toptan” paylaştır ve 2^r kuralını kullan.

5. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 15.Sayfa

EBOB-EKOK - 15. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Kalanlı EBOB–EKOK Problemleri ve En Küçük Sayıyı Bulma

Yeni nesil sorularda sıkça görülen bir tip: bir sayı farklı sayılarla bölündüğünde belirli kalanlar verir. Bu tür sorularda amaç genellikle bu koşulları sağlayan en küçük sayıyı bulmaktır.

1) Temel Model: “Kat ± Kalan”

Eğer bir sayı n ile bölündüğünde r kalanını veriyorsa:

Sayı = n \cdot k + r

Bu ifade model kurmanın temelidir.

2) Özel Durum: Aynı Kalanı Veriyorsa

Eğer bir sayı hem a hem b ile bölündüğünde aynı r kalanını veriyorsa:

sayı − r, hem a hem b’nin katıdır.

Bu nedenle:

Sayı - r = EKOK (a, b) \cdot k

3) Örnek: Aynı Kalan Problemi

Bir sayı 6 ve 8 ile bölündüğünde 3 kalanını veriyor.

Model:

sayı − 3, hem 6 hem 8’in katıdır.

EKOK (6, 8) = 24

En küçük sayı için k=1 alınır:

Sayı = 24 + 3 = 27

4) Farklı Kalan Problemleri

Örnek:

5 ile bölündüğünde kalan 2
7 ile bölündüğünde kalan 4

Model:

sayı = 5a + 2

sayı = 7b + 4

Bu tür sorularda ortak değer bulmak için sayılar EKOK çevresinde denenir.

5) En Küçük Sayıyı Bulma Stratejisi

Önce EKOK bulunur
Sonra kalan eklenir veya çıkarılır
En küçük çözüm için k=1 alınır
Gerekirse kontrol edilir

6. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 16.Sayfa

EBOB-EKOK - 16. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Çok Zor Problemler: Asal Üs Kombinasyonu ile EBOB–EKOK Analizi

En üst seviye sorular, sayıları doğrudan vermek yerine asal üsleri üzerinden analiz yapmanı ister. Bu sayfada asal üs kombinasyonlarını kullanarak EBOB ve EKOK çözüm stratejisini öğreneceksin.

1) Asal Üs Modeli

İki sayı şu şekilde yazılsın:

a = 2^{x} \cdot 3^{y}

b = 2^{m} \cdot 3^{n}

Bu model tüm analizlerin temelidir.

2) Üslerin Rolü

EBOB için küçük üs seçilir:

2^{\min} \cdot 3^{\min}

EKOK için büyük üs seçilir:

2^{\max} \cdot 3^{\max}

3) Zor Örnek

EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=360 ise asal üs analizi yapalım.

12 = 2^{2} \cdot 3

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Bu durumda sayılar:

2 üssü: 2 ile 3 arasında
3 üssü: 1 ile 2 arasında
5 üssü: 0 ile 1 arasında

4) Olası Sayıları Üretme Mantığı

Üsler EBOB ile EKOK arasında seçilir.

Bu seçimler farklı sayı çiftleri üretir.

Bu yöntem kombinasyon sorularında kullanılır.

5) Üst Seviye Sınav Taktiği

Asal üs aralığını belirle
Küçük üs → EBOB
Büyük üs → EKOK
Aradaki kombinasyonları analiz et

7. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 17.Sayfa

EBOB-EKOK - 17. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Kombinasyon Temelli EBOB–EKOK: Kaç Farklı Sayı Çifti Oluşur?

Bu sayfada, EBOB ve EKOK verilmişken kaç farklı sayı çifti oluşabileceğini asal üs kombinasyonu ile sistematik olarak hesaplamayı öğreneceksin.

1) Temel Denklem Tekrarı

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Bu denklem tüm kombinasyon analizinin temelidir.

2) Asal Üs Analizi Mantığı

Örnek:

EBOB = 2^{2} \cdot 3

EKOK = 2^{4} \cdot 3^{2}

Her asal için üs aralığı oluşur:

2 için: 2 ile 4 arası
3 için: 1 ile 2 arası

3) Kombinasyon Sayısını Hesaplama

Her asal için mümkün üs sayısı hesaplanır:

2 için: 3 seçenek (2,3,4)

3 için: 2 seçenek (1,2)

Toplam kombinasyon:

3 \cdot 2 = 6

4) Sayıları Gerçekten Üretme

Örnek seçim:

a = 2^{2} \cdot 3^{1}

b = 2^{4} \cdot 3^{2}

5) Sınav İçin Kritik İpucu

Asal çarpanlara ayır
Üs aralığını bul
Seçenek sayılarını çarp
Kombinasyon sayısını elde et

8. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 18.Sayfa

EBOB-EKOK - 18. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Karma Yeni Nesil Problem: EBOB–EKOK ile Çok Adımlı Akıl Yürütme

Bu sayfada, farklı fikirleri birleştiren “karma” bir soru tipini modelleyerek çözmeyi öğreneceksin: hem EKOK mantığı, hem kalan, hem de EBOB ile paylaştırma birlikte kullanılabilir.

1) Problem Şablonu

Aşağıdaki gibi bir soru düşün:

“Bir zil 12 dakikada bir, başka bir zil 18 dakikada bir çalıyor. İkisi birlikte çaldıktan sonra, üçüncü bir olay 5 dakika gecikmeli gerçekleşiyor. Üç olayın birlikte ilk kez ‘belirli bir düzende’ gerçekleştiği zaman kaç dakikadır?”

Bu sadece bir şablondur: yeni nesil soruların özü, farklı fikirleri bir araya getirmektir.

2) Adım 1: “Birlikte” → EKOK

Birinci ve ikinci olayın birlikte çalma aralığı:

EKOK (12, 18) = 36

Yani iki olay normalde 36 dakikada bir birlikte olur.

3) Adım 2: “Gecikme” → Kat + Sabit

“5 dakika gecikmeli” gibi ifadeler, zamanı şöyle modelletir:

Zaman = 36 \cdot k + 5

Burada kesir yazmıyoruz; “kat + sabit” kalıbı yeterli.

4) Adım 3: EBOB ile “Bölünebilme” Kontrolü

Karma problemlerde bazen ek bir şart gelir:

“Bulunan zaman, 9’a tam bölünsün” gibi.

Bu durumda:

36k + 5 ifadesinin 9’a bölünebilmesi analiz edilir.

Bu kısım, modüler düşünmeye yaklaşır; ama temel seviye için “deneme + mantık” ile de yapılabilir.

5) Karma Sorular İçin 4 Maddelik Yol Haritası

“İlk birlikte” ifadelerini EKOK’a çevir
“Kalan/gecikme” ifadelerini kat ± sabit biçimine yaz
Ek şart varsa bölünebilme/EBOB mantığıyla kontrol et
En küçük isteniyorsa k=1’den başlayıp akıllı dene

9. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 19.Sayfa

EBOB-EKOK - 19. Sayfa

Lise • TYT • AYT

EBOB–EKOK Konusu: Tam Özet ve Formül Haritası

Bu sayfa, tüm konuyu sınav öncesi hızlı tekrar edebilmen için hazırlanmış eksiksiz bir özet haritasıdır.

1) Temel Tanımlar

EBOB: İki sayıyı bölen en büyük sayıdır.

EBOB (a, b)

EKOK: İki sayının ortak en küçük katıdır.

EKOK (a, b)

2) En Önemli Formül

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Bu formül birçok zor sorunun anahtarıdır.

3) Aralarında Asal Durumu

Eğer:

EBOB = 1

O zaman:

EKOK = a \cdot b

4) Asal Çarpan Kuralı

EBOB → küçük üs
EKOK → büyük üs

5) Problem Türü → Kullanılacak Yöntem

Birlikte olma → EKOK
Paylaştırma → EBOB
Kalan problemi → EKOK + model
Kombinasyon → asal üs analizi

Kritik Sonuç

EBOB bölme ve ortak bölen mantığını, EKOK ise tekrar ve ortak kat mantığını temsil eder. Tüm zor sorular bu iki temel fikrin birleşimidir.

10. bölüm

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 20.Sayfa

EBOB-EKOK - 20. Sayfa

Lise • TYT • AYT • Final Sayfası

Final Problem: EBOB–EKOK ile Tam Seviye Analiz

Bu final problem, konunun tüm ana fikirlerini birleştirir: asal çarpan analizi, EBOB–EKOK ilişkisi, model kurma ve mantıksal çıkarım.

Problem

İki doğal sayının:

EBOB (a, b) = 18

EKOK (a, b) = 540

olduğuna göre bu sayılar bulunabilir mi? En küçük sayı çifti nedir?

Adım 1: Model Kurma

Model:

a = 18 \cdot x

b = 18 \cdot y

Burada x ve y aralarında asal olmalıdır.

Adım 2: EKOK Denkleminden Sonuç

18 \cdot x \cdot y = 540

x \cdot y = 30

Adım 3: En Küçük Değer Seçimi

En küçük aralarında asal çarpan çifti:

x = 5, y = 6

Final Sonuç

a = 18 \cdot 5 = 90

b = 18 \cdot 6 = 108

En küçük sayı çifti: (90, 108)

Konunun Tam Özeti

EBOB → ortak bölen
EKOK → ortak kat
a·b = EBOB · EKOK
Model: a = d·x, b = d·y
x ve y aralarında asal

EBOB-EKOK Konu Anlatımı

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 11.Sayfa

1) Temel Model

2) EKOK ile Bağlantı

3) Örnek Problem

4) Sayıları Bulma

5) Oran Formu

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 12.Sayfa

1) Temel Denklem Tekniği

2) Örnek Problem

3) Üç Sayı Problemleri

4) Bilinmeyenli Problem Tekniği

5) Sınav Stratejisi

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 13.Sayfa

1) Yeni Nesil Soru Tipleri

2) Zor Örnek: Kalanlı Paylaştırma (Model Kurma)

3) Strateji: “Ortak Yapı” Arama

4) Zor Örnek: En Küçük Değer Arayışı

5) Bu Sayfanın Ana Mesajı

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 14.Sayfa

1) Temel Prensip

2) Ana Numara: Asal Üsleri “Paylaştırmak”

3) Sayım Kuralı

4) Uygulama: EBOB=6, EKOK=180 Sorusu

5) Bu Sayfayı Tek Cümlede Özetle

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 15.Sayfa

1) Temel Model: “Kat ± Kalan”

2) Özel Durum: Aynı Kalanı Veriyorsa

3) Örnek: Aynı Kalan Problemi

4) Farklı Kalan Problemleri

5) En Küçük Sayıyı Bulma Stratejisi

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 16.Sayfa

1) Asal Üs Modeli

2) Üslerin Rolü

3) Zor Örnek

4) Olası Sayıları Üretme Mantığı

5) Üst Seviye Sınav Taktiği

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 17.Sayfa

1) Temel Denklem Tekrarı

2) Asal Üs Analizi Mantığı

3) Kombinasyon Sayısını Hesaplama

4) Sayıları Gerçekten Üretme

5) Sınav İçin Kritik İpucu

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 18.Sayfa

1) Problem Şablonu

2) Adım 1: “Birlikte” → EKOK

3) Adım 2: “Gecikme” → Kat + Sabit

4) Adım 3: EBOB ile “Bölünebilme” Kontrolü

5) Karma Sorular İçin 4 Maddelik Yol Haritası

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 19.Sayfa

1) Temel Tanımlar

2) En Önemli Formül

3) Aralarında Asal Durumu

4) Asal Çarpan Kuralı

5) Problem Türü → Kullanılacak Yöntem

Kritik Sonuç

TYT & AYT - EBOB-EKOK - 20.Sayfa

Problem

Adım 1: Model Kurma

Adım 2: EKOK Denkleminden Sonuç

Adım 3: En Küçük Değer Seçimi

Final Sonuç

Konunun Tam Özeti