Numicorn logosuNumicornÖğren, paylaş, ilerle
TYTTYT MatematikSoru çözümleriTest çöz

Basit Eşitsizlikler Konu Anlatımı

TYT Matematik Basit Eşitsizlikler konu anlatımı, sayı doğrusu gösterimi, eşitsizlik çözümü ve çözümlü sorular.

1. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 11.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 11. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
11. Sayfa • Orta seviye: çok adımlı doğrusal eşitsizlikler
1) Çok adımlı eşitsizliklerde hedef
Orta seviye eşitsizliklerde aynı anda birden fazla işlem yapılır: parantez açma, benzer terimleri toplama, sabitleri taşıma ve son adımda bölme. Burada en kritik nokta, son adımda bölme işlemi negatifse işaretin dönmesidir.
Zihin modeli
“Eşitsizlik çözümü, işlemler bittikten sonra bir aralık üretir. Bu aralığın ucu, çoğu zaman son adımda elde ettiğin eşitlik sınırından gelir.”
2) Örnek: Parantez açma + sadeleştirme
Aşağıdaki eşitsizliği çözelim:
2(x−3) + 5 ≤ 3(x+1)
Adım 1: Parantezleri aç
2x−6+5 ≤ 3x+3
Sol taraf: −6 + 5 = −1
2x−1 ≤ 3x+3
Adım 2: x’leri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa
2x−3x ≤ 3+1
Sağ taraf: 3 + 1 = 4
−x ≤ 4
Adım 3: −1 ile çarp
−1 ile çarpmak, eşitsizliğin yönünü değiştirir.
x ≥ −4
Çözüm aralığı: [−4, ∞)
3) Örnek: İki tarafta da x var
Aşağıdaki eşitsizliği çözelim:
5x−7 > 2x+8
Adım 1: x’leri tek tarafta topla
5x−2x > 8+7
Sol taraf: 5x − 2x = 3x • Sağ taraf: 8 + 7 = 15
3x > 15
Adım 2: Pozitif sayı ile böl
x > 5
Çözüm aralığı: (5, ∞)
Kendini test et
Aşağıdaki eşitsizliği çözmeyi dene ve sonucu aralık olarak yaz:
4(x−2) − 3 ≤ 2x+5
Sonraki sayfada: mutlak değerli basit eşitsizliklere giriş (|x−a| türü).
2. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 12.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 12. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
12. Sayfa • Mutlak değerli basit eşitsizliklere giriş
1) Mutlak değer nedir?
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Uzaklık her zaman pozitiftir veya sıfırdır.
Örnek:
| 3 | = 3
| − 3 | = 3
2) |x| < a eşitsizliği
Bir sayının mutlak değeri bir sayıdan küçükse, o sayı bu değerlerin arasında bulunur.
| x | < 4
Bu şu anlama gelir:
− 4 < x < 4
Aralık gösterimi:
(−4, 4)
3) |x| > a eşitsizliği
Bir sayının mutlak değeri bir sayıdan büyükse, çözüm iki ayrı bölgeden oluşur.
| x | > 3
Bu şu anlama gelir:
x < − 3 veya x > 3
Aralık gösterimi:
(−∞, −3) ∪ (3, ∞)
Grafiksel yorum:
|x| < a → sıfıra yakın bölge
|x| > a → sıfırdan uzak bölgeler
Sonraki sayfada: mutlak değerli eşitsizliklerin adım adım çözümü.
3. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 13.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 13. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
13. Sayfa • Mutlak değerli eşitsizliklerin adım adım çözümü
1) |x − a| < b eşitsizliği çözüm yöntemi
Bu tür eşitsizliklerde çözüm, iki sınır arasında olur.
Genel kural:
| x − a | < b
eşitsizliği şu şekilde yazılır:
a − b < x < a + b
2) Örnek çözüm
Aşağıdaki eşitsizliği çözelim:
| x − 2 | < 5
Sınırları oluştur:
2 − 5 < x < 2 + 5
Hesapla:
− 3 < x < 7
Çözüm kümesi:
(−3, 7)
3) |x − a| > b eşitsizliği çözüm yöntemi
Bu durumda çözüm iki ayrı bölgeden oluşur.
Genel kural:
| x − a | > b
eşitsizliği şu şekilde yazılır:
x < a − b veya x > a + b
Kritik fark:
|x − a| < b → tek aralık
|x − a| > b → iki ayrı aralık
Sonraki sayfada: mutlak değerli orta seviye problemler.
4. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 14.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 14. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
14. Sayfa • Mutlak değerli orta seviye eşitsizlik problemleri
1) Örnek: Sabit içeren mutlak değer eşitsizliği
Aşağıdaki eşitsizliği çözelim:
| x + 3 | < 6
Sınırları oluştur:
− 6 < x + 3 < 6
3 çıkar:
− 9 < x < 3
Çözüm kümesi:
(−9, 3)
2) Örnek: Büyük eşitsizlik
Aşağıdaki eşitsizliği çözelim:
| x − 4 | > 2
İki ayrı durum oluşur:
x < 2 veya x > 6
Çözüm kümesi:
(−∞, 2) ∪ (6, ∞)
3) Mutlak değer ve eşitlik birlikte
Aşağıdaki eşitsizliği çözelim:
| x − 1 | ≤ 3
Çözüm:
− 2 ≤ x ≤ 4
Çözüm kümesi:
[−2, 4]
Kritik strateji:
Mutlak değer eşitsizliklerinde önce mutlak değeri kaldır, sonra normal eşitsizlik çözümü yap.
Sonraki sayfada: ileri seviye eşitsizlik problemlerine giriş.
5. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 15.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 15. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
15. Sayfa • İleri seviye doğrusal eşitsizlik stratejileri
1) Karmaşık görünen eşitsizlikleri sadeleştirme
İleri seviye eşitsizliklerde amaç, ifadeyi mümkün olan en basit forma getirmektir.
Bunun için:
  • Parantezleri aç
  • Benzer terimleri birleştir
  • x’leri bir tarafa topla
  • Sabitleri diğer tarafa taşı
2) Örnek: Çok adımlı eşitsizlik
Aşağıdaki eşitsizliği çözelim:
4 x − 3 > 2 x + 5
x’leri bir tarafta topla:
2 x > 8
Böl:
x > 4
Çözüm kümesi:
(4, ∞)
3) Örnek: Negatif katsayı içeren ileri seviye çözüm
Aşağıdaki eşitsizliği çöz:
− 5 x + 10 > 0
Sabiti taşı:
− 5 x > − 10
Negatif ile böl:
x < 2
Çözüm kümesi:
(−∞, 2)
İleri seviye çözüm prensibi:
Eşitsizlik ne kadar karmaşık görünürse görünsün, temel adımlar aynıdır. Sadeleştir, yalnız bırak, işareti kontrol et.
Sonraki sayfada: sınav tipi zor eşitsizlik soruları.
6. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 16.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 16. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
16. Sayfa • Sınav tipi zor sorular: mantık, aralık ve ters çevirme
1) Sınav tipi zor eşitsizliklerde yaklaşım
Zor eşitsizlik sorularında amaç yalnızca çözümü bulmak değil, çözümün mantığını hızlı kurmaktır. Bunun için üç güçlü araç kullanılır:
Aralık düşünme
Çözümü tek sayı gibi değil, sayı doğrusunda bölge gibi düşün.
Ters çevirme
“x şu aralıkta olamaz” tarzında sorularda, önce olabileceği yerleri bulup dışını düşün.
Eşdeğer dönüştürme
İfadeyi sadeleştirip daha tanıdık bir forma getir.
2) Tip 1: İki koşulun kesişimi ile çözüm
Aşağıdaki iki koşul aynı anda sağlanıyor olsun:
x>−1 ve 2x−3≤5
Adım: İkinci eşitsizliği çöz
2x≤8 ⇒ x≤4
Koşullar: x > −1 ve x ≤ 4
Kesişim aralığı: (−1, 4]
Mantık kontrolü
Kesişim, iki aralığın “ortak” kısmıdır; yani çözüm her iki şartı da sağlar.
3) Tip 2: Mutlak değerle iki aralığa ayrılma
Aşağıdaki eşitsizliği çöz:
|2x−1| > 5
Adım: İki duruma ayır
2x−1<−5 veya 2x−1>5
Durum 1
2x<−4 ⇒ x<−2
Durum 2
2x>6 ⇒ x>3
Çözüm: (−∞, −2) ∪ (3, ∞)
4) Tip 3: “Aralıkta değil” soruları
“x, (1, 5) aralığında değilse” ifadesi: x’in 1’den küçük veya eşit ya da 5’ten büyük veya eşit olduğunu söyler.
x≤1 veya x≥5
Çözüm kümesi: (−∞, 1] ∪ [5, ∞)
Dikkat
“Değil” ifadesi, aralığın dışını alır. Açık uçların dışı alınırken uçlar çoğu zaman dahil olur.
Sonraki sayfada: zor seviye pekiştirme ve sınav tarzı karma soruların çözüm mantığı.
7. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 17.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 17. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
17. Sayfa • Zor seviye sınav tipi karma eşitsizlik problemleri
1) Problem: Çift taraflı eşitsizlik çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çöz:
3 < 2 x − 1 ≤ 7
1 ekle:
4 < 2 x ≤ 8
2 ile böl:
2 < x ≤ 4
Çözüm kümesi:
(2, 4]
2) Problem: Parantezli eşitsizlik
Aşağıdaki eşitsizliği çöz:
2 ( x − 3 ) + 4 > 10
Parantezi aç:
2 x − 6 + 4 > 10
Sadeleştir:
2 x − 2 > 10
Çöz:
x > 6
Çözüm kümesi:
(6, ∞)
Sınav başarısı için kritik ipucu:
Eşitsizlik sorularında en çok hata, işlem sırasını karıştırmak ve negatif ile bölmede işareti değiştirmemektir.
Sonraki sayfada: zor seviye birleşik eşitsizlik problemleri.
8. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 18.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 18. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
18. Sayfa • Zor seviye birleşik eşitsizlik problemleri
1) Problem: İki eşitsizliğin kesişimi
Aşağıdaki sistemi çöz:
x > − 2 3 x − 1 ≤ 8
İkinci eşitsizliği çöz:
3 x ≤ 9
x ≤ 3
Kesişim:
(−2, 3]
2) Problem: Birleşim çözümü
Aşağıdaki eşitsizliği çöz:
x < 1 veya 2 x − 4 > 0
İkinci eşitsizliği çöz:
x > 2
Birleşim çözümü:
(−∞, 1) ∪ (2, ∞)
3) Problem: Çift taraflı zor eşitsizlik
Aşağıdaki eşitsizliği çöz:
− 5 < 2 x + 3 < 7
3 çıkar:
− 8 < 2 x < 4
2 ile böl:
− 4 < x < 2
Çözüm kümesi:
(−4, 2)
Kritik sınav stratejisi:
Birleşim → veya
Kesişim → ve
Sonraki sayfada: en zor sınav tipi eşitsizlik problemleri.
9. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 19.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 19. Sayfa
Lise • TYT • AYT
Basit Eşitsizlikler
19. Sayfa • En zor tipler: parametreli yorum, aralık testi ve uç nokta kontrolü
1) Parametreli eşitsizliklerde ana fikir
Parametreli sorularda çözüm kümesi, parametreye göre değişir. Bu yüzden iki şeyi aynı anda yaparsın:
  • Önce eşitsizliği “x için” çözebileceğin forma getirirsin.
  • Sonra parametrenin çözümün yönünü/ucunu nasıl etkilediğini yorumlarsın.
Kritik nokta
Katsayı parametre içeriyorsa, “negatif mi pozitif mi?” sorusu çözümün işaretini değiştirebilir. Bu yüzden parametrenin sıfır olduğu değer çoğu zaman eşik noktadır.
2) Örnek: Katsayı parametre içeriyor
Aşağıdaki eşitsizliği düşün:
ax > 6
Durum analizi
a > 0 ise: pozitif ile bölünür, işaret değişmez.
a < 0 ise: negatif ile bölünür, işaret döner.
a = 0 ise: eşitsizlik 0 > 6 olur, bu imkânsızdır.
Durum 1: a > 0
x>6/a
Burada bölme sembolü bir “yazım”dır; sınavda sonuç genelde 6/a şeklinde yazılır.
Durum 2: a < 0
x<6/a
Negatif ile bölmede işaret yön değiştirir.
Sınav tarzı yorum
Bu tip sorularda çoğu zaman “a kaç olmalı ki çözüm kümesi boş olmasın?” gibi ek bir istek gelir. Burada a ≠ 0 şartı hemen görülür.
3) Aralık testi: hızlı doğrulama tekniği
Çözümü bulduktan sonra, tek bir deneme değeri seçerek aralığın doğru olup olmadığını kontrol edebilirsin. Zor sorularda bu kontrol hata payını ciddi azaltır.
Örnek kontrol fikri
Bulduğun aralık (2, 4] ise; 3 değerini seçip eşitsizliğe koy. Sağlıyorsa aralık mantıklı, sağlamıyorsa çözümde hata vardır.
Uç nokta kontrolü (en kritik detay)
≤ ve ≥ varsa uç noktayı dene; < ve > varsa uç noktayı dahil etme. Özellikle mutlak değerli sorularda uç noktalar sıkça karıştırılır.
Sonraki sayfada: final tekrar, özet kurallar ve karma pekiştirme soruları.
10. bölüm

TYT & AYT - Basit Eşitsizlikler - 20.Sayfa

Basit Eşitsizlikler - 20. Sayfa
Lise • TYT • AYT • Final Sayfası
Basit Eşitsizlikler
20. Sayfa • Final tekrar, özet kurallar ve sınav başarı rehberi
1) Eşitsizliklerin altın kuralları
Temel eşitsizlik çözüm adımları:
Her iki tarafa aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
Her iki taraf aynı pozitif sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
Negatif sayı ile çarpma veya bölmede eşitsizlik yönü değişir.
Çözüm kümesi genellikle bir aralık olarak ifade edilir.
2) En önemli eşitsizlik tipleri
Tek taraflı eşitsizlik:
x > 3
Çözüm: (3, ∞)
Çift taraflı eşitsizlik:
− 2 < x < 5
Çözüm: (−2, 5)
Mutlak değer eşitsizliği:
| x | > 4
Çözüm: (−∞, −4) ∪ (4, ∞)
Sınav başarısı için son öneriler:
• Negatif ile bölmede yön değiştirmeyi unutma
• Çözümü her zaman aralık olarak düşün
• Mutlak değer sorularında iki durum oluştur
• Çözümü sayı doğrusunda hayal et
• İşlem sonrası sonucu kontrol et
Bu konudan sonra yapabilmen gerekenler:
• Her tür doğrusal eşitsizliği çözebilmek
• Çözüm kümesini doğru aralık olarak yazmak
• Mutlak değer eşitsizliklerini yorumlamak
• Sınav tipi karma soruları çözmek