9. Sınıf Matematik Köklü Sayılar Testleri

Doğru cevap: B

Önce kök içlerini tam kare şeklinde yazalım: 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 3 - 2 2 = ( 2 - 1 ) 2 Bu durumda karekökleri alalım: 3 + 2 2 = 2 + 1 3 - 2 2 = 2 - 1 Şimdi x ifadesini bulalım: x = 3 + 2 2 + 3 - 2 2 x = ( 2 + 1 ) + ( 2 - 1 ) x = 2 2 İstenen değeri hesaplayalım: x 4 = ( 2 2 ) 4 x 4 = 2 4 · 2 4 x 4 = 16 · 2 2 x 4 = 64 Sonuç: x 4 = 64 Doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Önce kök içlerini tam kare şeklinde yazalım: 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 3 - 2 2 = ( 2 - 1 ) 2 Bu durumda karekökleri alalım: 3 + 2 2 = 2 + 1 3 - 2 2 = 2 - 1 Şimdi x ifadesini bulalım: x = 3 + 2 2 + 3 - 2 2 x = ( 2 + 1 ) + ( 2 - 1 ) x = 2 2 İstenen değeri hesaplayalım: x 4 = ( 2 2 ) 4 x 4 = 2 4 · 2 4 x 4 = 16 · 2 2 x 4 = 64 Sonuç: x 4 = 64 Doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

İfade: ( 3 + 2 ) 4 + ( 3 - 2 ) 4 Kolaylık için: a = 3, b = 2 Bu durumda ifade şu olur: ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 Dördüncü kuvvet açılımlarını yazalım: ( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 ( a - b ) 4 = a 4 - 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 - 4 a b 3 + b 4 Toplayınca tek kuvvetli terimler (işaretleri zıt olduğu için) yok olur: ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 = 2 ( a 4 + 6 a 2 b 2 + b 4 ) Şimdi değerleri hesaplayalım: a 2 = 3, b 2 = 2 a 4 = a 2 2 = 3 2 = 9 b 4 = b 2 2 = 2 2 = 4 a 2 b 2 = 3 · 2 = 6 Yerine yazalım: 2 ( a 4 + 6 a 2 b 2 + b 4 ) = 2 ( 9 + 6 · 6 + 4 ) Parantez içini hesaplayalım: 9 + 36 + 4 = 49 Sonuç: 2 · 49 = 98 Doğru cevap C632 şıkkıdır.

1. Çözüm: İfade: ( 3 + 2 ) 4 + ( 3 - 2 ) 4 Kolaylık için: a = 3, b = 2 Bu durumda ifade şu olur: ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 Dördüncü kuvvet açılımlarını yazalım: ( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 ( a - b ) 4 = a 4 - 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 - 4 a b 3 + b 4 Toplayınca tek kuvvetli terimler (işaretleri zıt olduğu için) yok olur: ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 = 2 ( a 4 + 6 a 2 b 2 + b 4 ) Şimdi değerleri hesaplayalım: a 2 = 3, b 2 = 2 a 4 = a 2 2 = 3 2 = 9 b 4 = b 2 2 = 2 2 = 4 a 2 b 2 = 3 · 2 = 6 Yerine yazalım: 2 ( a 4 + 6 a 2 b 2 + b 4 ) = 2 ( 9 + 6 · 6 + 4 ) Parantez içini hesaplayalım: 9 + 36 + 4 = 49 Sonuç: 2 · 49 = 98 Doğru cevap C632 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

İfade: E = 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 + 5 + 2 6 + 5 − 2 6 1) Önce çarpım kısmını tek kök altında toplayalım: 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 = ( 5 + 2 6 ) ( 5 − 2 6 ) 2) Çarpanlar eşlenik olduğundan farkların çarpımı uygulanır: ( 5 ) ^ 2 − ( 2 6 ) ^ 2 = 25 − 4 ⋅ 6 = 1 = 1 3) Şimdi kalan iki kökü toplayabilmek için a ve b tanımlayalım: a = 5 + 2 6, b = 5 − 2 6 4) Bir önceki adımdan çarpımları: a b = 1 5) Toplamı bulmak için kare alalım: ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b 6) Burada a 2 = 5 + 2 6, b 2 = 5 − 2 6 olduğundan toplamları: a 2 + b 2 = 10 7) Ayrıca a b = 1 olduğu için: ( a + b ) 2 = 10 + 2 ⋅ 1 = 12 8) a ve b pozitif olduğundan a + b = 12 = 4 ⋅ 3 = 2 3 9) Son olarak E: E = 1 + ( a + b ) = 1 + 2 3 Sonuç ve şık kontrolü: E = 1 + 2 3 Bu ifade şıkkıD821 ile aynıdır; doğru cevap D842.

1. Çözüm: İfade: E = 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 + 5 + 2 6 + 5 − 2 6 1) Önce çarpım kısmını tek kök altında toplayalım: 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 = ( 5 + 2 6 ) ( 5 − 2 6 ) 2) Çarpanlar eşlenik olduğundan farkların çarpımı uygulanır: ( 5 ) ^ 2 − ( 2 6 ) ^ 2 = 25 − 4 ⋅ 6 = 1 = 1 3) Şimdi kalan iki kökü toplayabilmek için a ve b tanımlayalım: a = 5 + 2 6, b = 5 − 2 6 4) Bir önceki adımdan çarpımları: a b = 1 5) Toplamı bulmak için kare alalım: ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b 6) Burada a 2 = 5 + 2 6, b 2 = 5 − 2 6 olduğundan toplamları: a 2 + b 2 = 10 7) Ayrıca a b = 1 olduğu için: ( a + b ) 2 = 10 + 2 ⋅ 1 = 12 8) a ve b pozitif olduğundan a + b = 12 = 4 ⋅ 3 = 2 3 9) Son olarak E: E = 1 + ( a + b ) = 1 + 2 3 Sonuç ve şık kontrolü: E = 1 + 2 3 Bu ifade şıkkıD821 ile aynıdır; doğru cevap D842.

Doğru cevap: A

İfadeyi S = ( 3 + 2 ) 4 + ( 3 - 2 ) 4 Kısaltma yapalım: a = 3 b = 2 Bu durumda S = ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 Açılımı kullanıp iki ifadeyi toplayalım: ( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 ( a - b ) 4 = a 4 - 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 - 4 a b 3 + b 4 Toplayınca tek kuvvetli terimler götürür: ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 = 2 ( a 4 + 6 a 2 b 2 + b 4 ) Şimdi a 2 = 3 b 2 = 2 olduğundan a 4 = 9 b 4 = 4 a 2 b 2 = 6 Yerine yazalım: S = 2 ( 9 + 6 · 6 + 4 ) S = 2 ( 49 ) S = 98 Bulunan değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru seçenek: A522

1. Çözüm: İfadeyi S = ( 3 + 2 ) 4 + ( 3 - 2 ) 4 Kısaltma yapalım: a = 3 b = 2 Bu durumda S = ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 Açılımı kullanıp iki ifadeyi toplayalım: ( a + b ) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 ( a - b ) 4 = a 4 - 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 - 4 a b 3 + b 4 Toplayınca tek kuvvetli terimler götürür: ( a + b ) 4 + ( a - b ) 4 = 2 ( a 4 + 6 a 2 b 2 + b 4 ) Şimdi a 2 = 3 b 2 = 2 olduğundan a 4 = 9 b 4 = 4 a 2 b 2 = 6 Yerine yazalım: S = 2 ( 9 + 6 · 6 + 4 ) S = 2 ( 49 ) S = 98 Bulunan değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru seçenek: A522

Doğru cevap: B

1) İfade: 1 7 - 3 + 1 7 + 3 2) Paydaları eşitleyelim (ortak payda): ( 7 - 3 ) ( 7 + 3 ) 3) Çarpım, farkların çarpımı özdeşliğidir: ( 7 - 3 ) ( 7 + 3 ) = 7 2 - 3 2 = 7 - 3 = 4 4) Toplamı ortak paydada yazalım: 1 7 - 3 + 1 7 + 3 = ( 7 + 3 ) + ( 7 - 3 ) ( 7 - 3 ) ( 7 + 3 ) 5) Pay kısmını sadeleştirelim: ( 7 + 3 ) + ( 7 - 3 ) = 7 + 3 + 7 - 3 = 2 7 6) Payda 4 olduğuna göre sonuç: 2 7 4 = 7 2 7) Doğru seçenek kontrolü: Bulduğumuz değer 7 2 olduğu için doğru cevap B450 ’dır.

1. Çözüm: 1) İfade: 1 7 - 3 + 1 7 + 3 2) Paydaları eşitleyelim (ortak payda): ( 7 - 3 ) ( 7 + 3 ) 3) Çarpım, farkların çarpımı özdeşliğidir: ( 7 - 3 ) ( 7 + 3 ) = 7 2 - 3 2 = 7 - 3 = 4 4) Toplamı ortak paydada yazalım: 1 7 - 3 + 1 7 + 3 = ( 7 + 3 ) + ( 7 - 3 ) ( 7 - 3 ) ( 7 + 3 ) 5) Pay kısmını sadeleştirelim: ( 7 + 3 ) + ( 7 - 3 ) = 7 + 3 + 7 - 3 = 2 7 6) Payda 4 olduğuna göre sonuç: 2 7 4 = 7 2 7) Doğru seçenek kontrolü: Bulduğumuz değer 7 2 olduğu için doğru cevap B450 ’dır.

Doğru cevap: C

Verilen ifade: ( 50 + 8 ) 2 - 18 Kökleri sadeleştirelim: 50 = 25 ⁢ 2 = 5 ⁢ 2 8 = 4 ⁢ 2 = 2 ⁢ 2 18 = 9 ⁢ 2 = 3 ⁢ 2 Parantez içini düzenleyelim: ( 50 + 8 ) = 5 ⁢ 2 + 2 ⁢ 2 = 7 ⁢ 2 Bölme işlemini yapalım: 7 ⁢ 2 2 = 7 Son olarak çıkarma işlemi: 7 - 18 = 7 - 3 ⁢ 2 Bulunan sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek C381 'dir.

1. Çözüm: Verilen ifade: ( 50 + 8 ) 2 - 18 Kökleri sadeleştirelim: 50 = 25 ⁢ 2 = 5 ⁢ 2 8 = 4 ⁢ 2 = 2 ⁢ 2 18 = 9 ⁢ 2 = 3 ⁢ 2 Parantez içini düzenleyelim: ( 50 + 8 ) = 5 ⁢ 2 + 2 ⁢ 2 = 7 ⁢ 2 Bölme işlemini yapalım: 7 ⁢ 2 2 = 7 Son olarak çıkarma işlemi: 7 - 18 = 7 - 3 ⁢ 2 Bulunan sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek C381 'dir.

Doğru cevap: D

İfade: ( 3 + 2 ) 4 + ( 3 - 2 ) 4 Kısaltma yapalım: a = 3 + 2 b = 3 - 2 İstenen değer: a 4 + b 4 Önce çarpımı bulalım: a b = ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = 3 2 - 2 2 = 3 - 2 = 1 Şimdi a ve b nin karelerini hesaplayalım: a 2 = ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 6 = 5 + 2 6 b 2 = ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 6 = 5 - 2 6 Toplamı bulalım: a 2 + b 2 = ( 5 + 2 6 ) + ( 5 - 2 6 ) = 10 Şu özdeşliği kullanalım: a 4 + b 4 = ( a 2 + b 2 ) 2 - 2 a 2 b 2 Burada a b = 1 olduğundan: a 2 b 2 = a b 2 = 1 2 = 1 Sonuç: a 4 + b 4 = 10 2 - 2 × 1 = 100 - 2 = 98 Bu değer şıklarda seçeneğiD544dir; yani doğru cevap D564.

1. Çözüm: İfade: ( 3 + 2 ) 4 + ( 3 - 2 ) 4 Kısaltma yapalım: a = 3 + 2 b = 3 - 2 İstenen değer: a 4 + b 4 Önce çarpımı bulalım: a b = ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = 3 2 - 2 2 = 3 - 2 = 1 Şimdi a ve b nin karelerini hesaplayalım: a 2 = ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 6 = 5 + 2 6 b 2 = ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 6 = 5 - 2 6 Toplamı bulalım: a 2 + b 2 = ( 5 + 2 6 ) + ( 5 - 2 6 ) = 10 Şu özdeşliği kullanalım: a 4 + b 4 = ( a 2 + b 2 ) 2 - 2 a 2 b 2 Burada a b = 1 olduğundan: a 2 b 2 = a b 2 = 1 2 = 1 Sonuç: a 4 + b 4 = 10 2 - 2 × 1 = 100 - 2 = 98 Bu değer şıklarda seçeneğiD544dir; yani doğru cevap D564.

Doğru cevap: A

Soru, hangi seçeneğin değerinin rasyonel olduğunu soruyor. Önce A şıkkını sadeleştirelim. A şıkkı: 12 + 27 − 75 Kök içlerini çarpanlarına ayırıp karekökten çıkaralım: 12 = 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 27 = 9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 75 = 25 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3 Şimdi yerine yazıp benzer köklü ifadeleri toplayalım: 12 + 27 − 75 = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 = ( 2 + 3 − 5 ) ⋅ 3 ( 2 + 3 − 5 ) ⋅ 3 = 0 Sonuç rasyonel çıktığı için A şıkkı rasyoneldir. Yani doğru cevap A’dır. Kontrol amacıyla diğer seçeneklerin sadeleşmiş hâli: B şıkkı: 8 + 18 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 C şıkkı: 5 + 20 = 5 + 2 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 D şıkkı: ( 2 + 3 ) 2 = 2 + 3 + 2 ⋅ 6

1. Çözüm: Soru, hangi seçeneğin değerinin rasyonel olduğunu soruyor. Önce A şıkkını sadeleştirelim. A şıkkı: 12 + 27 − 75 Kök içlerini çarpanlarına ayırıp karekökten çıkaralım: 12 = 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 27 = 9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 75 = 25 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3 Şimdi yerine yazıp benzer köklü ifadeleri toplayalım: 12 + 27 − 75 = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 = ( 2 + 3 − 5 ) ⋅ 3 ( 2 + 3 − 5 ) ⋅ 3 = 0 Sonuç rasyonel çıktığı için A şıkkı rasyoneldir. Yani doğru cevap A’dır. Kontrol amacıyla diğer seçeneklerin sadeleşmiş hâli: B şıkkı: 8 + 18 = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 C şıkkı: 5 + 20 = 5 + 2 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 D şıkkı: ( 2 + 3 ) 2 = 2 + 3 + 2 ⋅ 6

Doğru cevap: B

İfade: 8 − 2 15 + 8 + 2 15 Bu tip ifadelerde şu dönüşümü kullanırız: a + b ± 2 a b = a ± b Burada 8 ± 2 15 = a + b ± 2 a b olacak şekilde a + b = 8 ve a b = 15 olmalıdır. a + b = 8 ve a b = 15 şartlarını sağlayan sayılar a = 5 ve b = 3 (ya da tersi) olur; çünkü 5 + 3 = 8 ve 5 ⋅ 3 = 15 Buna göre köklerin içi ayrıştırılır: 8 + 2 15 = 5 + 3 8 − 2 15 = 5 − 3 Şimdi toplayalım: ( 5 − 3 ) + ( 5 + 3 ) Ortak terimler sadeleşir: 5 − 3 + 5 + 3 = 2 5 Sonuç: 8 − 2 15 + 8 + 2 15 = 2 5 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B592 ’dır. 2 5

1. Çözüm: İfade: 8 − 2 15 + 8 + 2 15 Bu tip ifadelerde şu dönüşümü kullanırız: a + b ± 2 a b = a ± b Burada 8 ± 2 15 = a + b ± 2 a b olacak şekilde a + b = 8 ve a b = 15 olmalıdır. a + b = 8 ve a b = 15 şartlarını sağlayan sayılar a = 5 ve b = 3 (ya da tersi) olur; çünkü 5 + 3 = 8 ve 5 ⋅ 3 = 15 Buna göre köklerin içi ayrıştırılır: 8 + 2 15 = 5 + 3 8 − 2 15 = 5 − 3 Şimdi toplayalım: ( 5 − 3 ) + ( 5 + 3 ) Ortak terimler sadeleşir: 5 − 3 + 5 + 3 = 2 5 Sonuç: 8 − 2 15 + 8 + 2 15 = 2 5 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B592 ’dır. 2 5

Doğru cevap: C

İfade: 11 + 6 × 2 3 + 2 × 2 Önce paydaki kökü tam kare biçiminde yazalım: ( 3 + 2 ) 2 = 9 + 6 × 2 + 2 = 11 + 6 × 2 Buradan: 11 + 6 × 2 = 3 + 2 Şimdi paydadaki kökü tam kare biçiminde yazalım: ( 1 + 2 ) 2 = 1 + 2 × 2 + 2 = 3 + 2 × 2 Buradan: 3 + 2 × 2 = 1 + 2 İfadeyi sadeleştirelim: 3 + 2 1 + 2 Paydayı kökten arındırmak için eşleniği ile çarpalım: 3 + 2 1 + 2 × 1 - 2 1 - 2 = ( 3 + 2 ) ( 1 - 2 ) 1 2 - 2 2 Paydanın değeri: 1 2 - 2 2 = 1 - 2 = - 1 Payı açalım: ( 3 + 2 ) ( 1 - 2 ) = 3 - 3 × 2 + 2 - 2 = 1 - 2 × 2 Sonuç: 1 - 2 × 2 - 1 = 2 × 2 - 1 Dolayısıyla doğru seçenek: 2 × 2 - 1 Bu da şıkkıC687dır; yani “A mı?” kontrolü: Evet, A.

1. Çözüm: İfade: 11 + 6 × 2 3 + 2 × 2 Önce paydaki kökü tam kare biçiminde yazalım: ( 3 + 2 ) 2 = 9 + 6 × 2 + 2 = 11 + 6 × 2 Buradan: 11 + 6 × 2 = 3 + 2 Şimdi paydadaki kökü tam kare biçiminde yazalım: ( 1 + 2 ) 2 = 1 + 2 × 2 + 2 = 3 + 2 × 2 Buradan: 3 + 2 × 2 = 1 + 2 İfadeyi sadeleştirelim: 3 + 2 1 + 2 Paydayı kökten arındırmak için eşleniği ile çarpalım: 3 + 2 1 + 2 × 1 - 2 1 - 2 = ( 3 + 2 ) ( 1 - 2 ) 1 2 - 2 2 Paydanın değeri: 1 2 - 2 2 = 1 - 2 = - 1 Payı açalım: ( 3 + 2 ) ( 1 - 2 ) = 3 - 3 × 2 + 2 - 2 = 1 - 2 × 2 Sonuç: 1 - 2 × 2 - 1 = 2 × 2 - 1 Dolayısıyla doğru seçenek: 2 × 2 - 1 Bu da şıkkıC687dır; yani “A mı?” kontrolü: Evet, A.