9. Sınıf Matematik Köklü Sayılar Testleri

Doğru cevap: B

İfade: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 5 + 2 6 ifadesini a + b biçiminde yazalım: 5 + 2 6 = a + b Her iki tarafın karesini alalım: 5 + 2 6 = ( a + b ) 2 Sağ tarafı açalım: 5 + 2 6 = a + b + 2 a b Buradan katsayıları eşitleyelim: a + b = 5 a b = 6 a + b = 5 ve a b = 6 koşullarını sağlayan pozitif sayılar: a = 2, b = 3 Dolayısıyla: 5 + 2 6 = 2 + 3 Benzer şekilde: 5 - 2 6 = | 3 - 2 | Çünkü 3 > 2 olduğundan: 5 - 2 6 = 3 - 2 Toplayalım: ( 2 + 3 ) + ( 3 - 2 ) = 2 3 Sonuç 2 3 olduğundan doğru seçenek B471 ’dır.

1. Çözüm: İfade: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 5 + 2 6 ifadesini a + b biçiminde yazalım: 5 + 2 6 = a + b Her iki tarafın karesini alalım: 5 + 2 6 = ( a + b ) 2 Sağ tarafı açalım: 5 + 2 6 = a + b + 2 a b Buradan katsayıları eşitleyelim: a + b = 5 a b = 6 a + b = 5 ve a b = 6 koşullarını sağlayan pozitif sayılar: a = 2, b = 3 Dolayısıyla: 5 + 2 6 = 2 + 3 Benzer şekilde: 5 - 2 6 = | 3 - 2 | Çünkü 3 > 2 olduğundan: 5 - 2 6 = 3 - 2 Toplayalım: ( 2 + 3 ) + ( 3 - 2 ) = 2 3 Sonuç 2 3 olduğundan doğru seçenek B471 ’dır.

Doğru cevap: C

Seçenek kontrolü: İfadenin değeri aşağıdaki işlemlerle bulunur; sonuç C seçeneğiyle uyumludur. Kökleri sadeleştirmek için aşağıdaki tanımlamayı yapalım: a = 5, b = 3 İfade şu hale gelir: a + b a - b + a - b a + b Kesirleri ortak paydada toplayalım: a + b 2 + a - b 2 a - b a + b Üst tarafı açalım: a + b 2 + a - b 2 = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) + ( a 2 - 2 a b + b 2 ) Benzer terimleri toplayınca 2 a b terimleri birbirini götürür: a + b 2 + a - b 2 = 2 a 2 + 2 b 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) Paydayı çarpanlara ayıralım (farkların çarpımı): a - b a + b = a 2 - b 2 Bu iki sonucu birleştirelim: 2 ( a 2 + b 2 ) a 2 - b 2 Şimdi a 2 = 5 ve b 2 = 3 yazalım: 2 ( 5 + 3 ) 5 - 3 = 2 × 8 2 = 8 Sonuç: Doğru değer yukarıda bulunmuştur, dolayısıyla doğru seçenek C 'dir.

1. Çözüm: Seçenek kontrolü: İfadenin değeri aşağıdaki işlemlerle bulunur; sonuç C seçeneğiyle uyumludur. Kökleri sadeleştirmek için aşağıdaki tanımlamayı yapalım: a = 5, b = 3 İfade şu hale gelir: a + b a - b + a - b a + b Kesirleri ortak paydada toplayalım: a + b 2 + a - b 2 a - b a + b Üst tarafı açalım: a + b 2 + a - b 2 = ( a 2 + 2 a b + b 2 ) + ( a 2 - 2 a b + b 2 ) Benzer terimleri toplayınca 2 a b terimleri birbirini götürür: a + b 2 + a - b 2 = 2 a 2 + 2 b 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) Paydayı çarpanlara ayıralım (farkların çarpımı): a - b a + b = a 2 - b 2 Bu iki sonucu birleştirelim: 2 ( a 2 + b 2 ) a 2 - b 2 Şimdi a 2 = 5 ve b 2 = 3 yazalım: 2 ( 5 + 3 ) 5 - 3 = 2 × 8 2 = 8 Sonuç: Doğru değer yukarıda bulunmuştur, dolayısıyla doğru seçenek C 'dir.

Doğru cevap: D

Önce verilen ifadeyi yazalım: 3 + 2 2 5 + 3 - 2 2 5 Kök içlerini tam kare biçiminde yazalım: 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 3 - 2 2 = ( 2 - 1 ) 2 Buna göre karekökleri alıp ifadeyi dönüştürelim: 3 + 2 2 = 2 + 1 3 - 2 2 = 2 - 1 İfade şu hale gelir: ( 2 + 1 ) 5 + ( 2 - 1 ) 5 Binom açılımını uygulayalım: ( 2 + 1 ) 5 = ( 2 ) 5 + 5 ( 2 ) 4 + 10 ( 2 ) 3 + 10 ( 2 ) 2 + 5 2 + 1 ( 2 - 1 ) 5 = ( 2 ) 5 - 5 ( 2 ) 4 + 10 ( 2 ) 3 - 10 ( 2 ) 2 + 5 2 - 1 Toplayınca zıt işaretli terimler sadeleşir: ( 2 + 1 ) 5 + ( 2 - 1 ) 5 = 2 ( 2 ) 5 + 20 ( 2 ) 3 + 10 2 Üsleri sadeleştirelim: ( 2 ) 2 = 2 ( 2 ) 3 = 2 2 ( 2 ) 5 = 4 2 Yerine koyup sonucu bulalım: 2 × 4 2 + 20 × 2 2 + 10 2 = 8 2 + 40 2 + 10 2 = 58 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır: 58 2

1. Çözüm: Önce verilen ifadeyi yazalım: 3 + 2 2 5 + 3 - 2 2 5 Kök içlerini tam kare biçiminde yazalım: 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 3 - 2 2 = ( 2 - 1 ) 2 Buna göre karekökleri alıp ifadeyi dönüştürelim: 3 + 2 2 = 2 + 1 3 - 2 2 = 2 - 1 İfade şu hale gelir: ( 2 + 1 ) 5 + ( 2 - 1 ) 5 Binom açılımını uygulayalım: ( 2 + 1 ) 5 = ( 2 ) 5 + 5 ( 2 ) 4 + 10 ( 2 ) 3 + 10 ( 2 ) 2 + 5 2 + 1 ( 2 - 1 ) 5 = ( 2 ) 5 - 5 ( 2 ) 4 + 10 ( 2 ) 3 - 10 ( 2 ) 2 + 5 2 - 1 Toplayınca zıt işaretli terimler sadeleşir: ( 2 + 1 ) 5 + ( 2 - 1 ) 5 = 2 ( 2 ) 5 + 20 ( 2 ) 3 + 10 2 Üsleri sadeleştirelim: ( 2 ) 2 = 2 ( 2 ) 3 = 2 2 ( 2 ) 5 = 4 2 Yerine koyup sonucu bulalım: 2 × 4 2 + 20 × 2 2 + 10 2 = 8 2 + 40 2 + 10 2 = 58 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır: 58 2

Doğru cevap: A

İfade: 12 + 27 3 - 8 Köklü sayıları sadeleştirelim: 12 = 4 3 = 2 3 27 = 9 3 = 3 3 8 = 4 2 = 2 2 Payı düzenleyelim: 12 + 27 = 2 3 + 3 3 = 5 3 Kesri sadeleştirelim: 12 + 27 3 = 5 3 3 = 5 Tüm ifadeyi yazalım: 12 + 27 3 - 8 = 5 - 2 2 Sonuç: 5 - 2 2 Bu ifade şıkkıA254dır. Dolayısıyla doğru cevap A278.

1. Çözüm: İfade: 12 + 27 3 - 8 Köklü sayıları sadeleştirelim: 12 = 4 3 = 2 3 27 = 9 3 = 3 3 8 = 4 2 = 2 2 Payı düzenleyelim: 12 + 27 = 2 3 + 3 3 = 5 3 Kesri sadeleştirelim: 12 + 27 3 = 5 3 3 = 5 Tüm ifadeyi yazalım: 12 + 27 3 - 8 = 5 - 2 2 Sonuç: 5 - 2 2 Bu ifade şıkkıA254dır. Dolayısıyla doğru cevap A278.

Doğru cevap: B

Verilen ifade: ( 5 + 2 6 - 5 - 2 6 ) 2 İçerideki köklü ifadeleri tam kare biçiminde yazalım: ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 6 = 5 + 2 6 ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 6 = 5 - 2 6 Buradan karekökleri (pozitif kök) doğrudan yazabiliriz: 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi ifadede yerine yazıp sadeleştirelim: ( 5 + 2 6 - 5 - 2 6 ) 2 = ( 3 + 2 - 3 + 2 ) 2 Pay kısmı: ( 3 + 2 - 3 + 2 ) = 2 2 Sonuç: 2 2 = 2 Dolayısıyla doğru değer: 2 Bu da şıkkıB425dır; yani verilen “C mi?” kontrolü doğru.

1. Çözüm: Verilen ifade: ( 5 + 2 6 - 5 - 2 6 ) 2 İçerideki köklü ifadeleri tam kare biçiminde yazalım: ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 6 = 5 + 2 6 ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 6 = 5 - 2 6 Buradan karekökleri (pozitif kök) doğrudan yazabiliriz: 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi ifadede yerine yazıp sadeleştirelim: ( 5 + 2 6 - 5 - 2 6 ) 2 = ( 3 + 2 - 3 + 2 ) 2 Pay kısmı: ( 3 + 2 - 3 + 2 ) = 2 2 Sonuç: 2 2 = 2 Dolayısıyla doğru değer: 2 Bu da şıkkıB425dır; yani verilen “C mi?” kontrolü doğru.

Doğru cevap: C

İfade: 5 + 2 6 3 - 5 - 2 6 3 Köklü ifadeleri daha tanıdık bir biçime dönüştürelim. Şunu arıyoruz: 5 ± 2 6 = ( 3 ± 2 ) 2 Kontrol: ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 3 ⋅ 2 = 5 + 2 6 ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 3 ⋅ 2 = 5 - 2 6 Dolayısıyla (pozitif kökler seçilir): 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi a = 3 + 2, b = 3 - 2 İstenen ifade: a 3 - b 3 Küp farkı özdeşliği: a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) Önce a-b: a - b = ( 3 + 2 ) - ( 3 - 2 ) = 2 2 Şimdi ab: a b = ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1 a 2 +b 2: a 2 + b 2 = ( 5 + 2 6 ) + ( 5 - 2 6 ) = 10 Böylece a 2 + a b + b 2 = 10 + 1 = 11 Sonuç: a 3 - b 3 = ( 2 2 ) ( 11 ) = 22 2 Bu değer şıkkıC657dır; yani doğru cevap C674.

1. Çözüm: İfade: 5 + 2 6 3 - 5 - 2 6 3 Köklü ifadeleri daha tanıdık bir biçime dönüştürelim. Şunu arıyoruz: 5 ± 2 6 = ( 3 ± 2 ) 2 Kontrol: ( 3 + 2 ) 2 = 3 + 2 + 2 3 ⋅ 2 = 5 + 2 6 ( 3 - 2 ) 2 = 3 + 2 - 2 3 ⋅ 2 = 5 - 2 6 Dolayısıyla (pozitif kökler seçilir): 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi a = 3 + 2, b = 3 - 2 İstenen ifade: a 3 - b 3 Küp farkı özdeşliği: a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) Önce a-b: a - b = ( 3 + 2 ) - ( 3 - 2 ) = 2 2 Şimdi ab: a b = ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1 a 2 +b 2: a 2 + b 2 = ( 5 + 2 6 ) + ( 5 - 2 6 ) = 10 Böylece a 2 + a b + b 2 = 10 + 1 = 11 Sonuç: a 3 - b 3 = ( 2 2 ) ( 11 ) = 22 2 Bu değer şıkkıC657dır; yani doğru cevap C674.

Doğru cevap: D

İfade: ( 1 3 - 2 - 1 3 + 2 ) 2 Paydaları kökten kurtarmak için eşlenik ile çarpalım: 1 3 - 2 = 3 + 2 ( 3 ) 2 - ( 2 ) 2 Kareleri açalım: 3 + 2 3 - 2 = 3 + 2 Benzer şekilde ikinci kesir: 1 3 + 2 = 3 - 2 3 - 2 = 3 - 2 Parantez içini hesaplayalım: ( 3 + 2 ) - ( 3 - 2 ) = 2 2 Şimdi karesini alalım: ( 2 2 ) 2 = 2 2 · 2 2 = 4 · 2 = 8 Sonuç: 8 Bu nedenle doğru seçenek D349’dır; şıkkıD373 doğru.

1. Çözüm: İfade: ( 1 3 - 2 - 1 3 + 2 ) 2 Paydaları kökten kurtarmak için eşlenik ile çarpalım: 1 3 - 2 = 3 + 2 ( 3 ) 2 - ( 2 ) 2 Kareleri açalım: 3 + 2 3 - 2 = 3 + 2 Benzer şekilde ikinci kesir: 1 3 + 2 = 3 - 2 3 - 2 = 3 - 2 Parantez içini hesaplayalım: ( 3 + 2 ) - ( 3 - 2 ) = 2 2 Şimdi karesini alalım: ( 2 2 ) 2 = 2 2 · 2 2 = 4 · 2 = 8 Sonuç: 8 Bu nedenle doğru seçenek D349’dır; şıkkıD373 doğru.

Doğru cevap: A

İfade: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 Birinci kökü, iki karekökün toplamı biçiminde yazalım: 5 + 2 6 = m + n Her iki tarafın karesini alalım: 5 + 2 6 = m + n 2 5 + 2 6 = m + n + 2 m n Buradan katsayıları eşitleyelim: m + n = 5 2 m n = 2 6 m n = 6 m n = 6 Toplamı ve çarpımı verilen iki sayı: m + n = 5 m n = 6 Bu koşulları sağlayan değerler: m = 3, n = 2 Dolayısıyla: 5 + 2 6 = 3 + 2 Benzer şekilde ikinci kök: 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi ikisini toplayalım: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 = 3 + 2 + 3 - 2 = 2 3 Sonuç: 2 3 Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A.

1. Çözüm: İfade: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 Birinci kökü, iki karekökün toplamı biçiminde yazalım: 5 + 2 6 = m + n Her iki tarafın karesini alalım: 5 + 2 6 = m + n 2 5 + 2 6 = m + n + 2 m n Buradan katsayıları eşitleyelim: m + n = 5 2 m n = 2 6 m n = 6 m n = 6 Toplamı ve çarpımı verilen iki sayı: m + n = 5 m n = 6 Bu koşulları sağlayan değerler: m = 3, n = 2 Dolayısıyla: 5 + 2 6 = 3 + 2 Benzer şekilde ikinci kök: 5 - 2 6 = 3 - 2 Şimdi ikisini toplayalım: 5 + 2 6 + 5 - 2 6 = 3 + 2 + 3 - 2 = 2 3 Sonuç: 2 3 Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A.

Doğru cevap: B

İfade: 12 + 4 5 + 12 - 4 5 İlk kökü, iki kökün toplamı şeklinde yazalım: 12 + 4 5 = a + b Her iki tarafın karesini alalım: 12 + 4 5 = ( a + b ) 2 = a + b + 2 a b Buradan katsayıları eşitleyelim: a + b = 12 2 a b = 4 5 İkinci denklemi sadeleştirip çarpımı bulalım: a b = 2 5 ⇒ a b = 20 Toplamı ve çarpımı verilen sayılar: a + b = 12, a b = 20 ⇒ { 10, 2 } Dolayısıyla: 12 + 4 5 = 10 + 2 Benzer şekilde ikinci kök: 12 - 4 5 = 10 - 2 Toplayalım: ( 10 + 2 ) + ( 10 - 2 ) = 2 10 Sonuç şık A’dır; A doğru.

1. Çözüm: İfade: 12 + 4 5 + 12 - 4 5 İlk kökü, iki kökün toplamı şeklinde yazalım: 12 + 4 5 = a + b Her iki tarafın karesini alalım: 12 + 4 5 = ( a + b ) 2 = a + b + 2 a b Buradan katsayıları eşitleyelim: a + b = 12 2 a b = 4 5 İkinci denklemi sadeleştirip çarpımı bulalım: a b = 2 5 ⇒ a b = 20 Toplamı ve çarpımı verilen sayılar: a + b = 12, a b = 20 ⇒ { 10, 2 } Dolayısıyla: 12 + 4 5 = 10 + 2 Benzer şekilde ikinci kök: 12 - 4 5 = 10 - 2 Toplayalım: ( 10 + 2 ) + ( 10 - 2 ) = 2 10 Sonuç şık A’dır; A doğru.

Doğru cevap: C

İfade: 5 - 2 6 + 5 + 2 6 Önce kök içlerini tam kare biçiminde yazalım. Şu özdeşliği kullanırız: ( a + b ) 2 = a + b + 2 a b Burada a + b = 5 ve 2 a b = 2 6 olmalı. Buradan a b = 6 ⇒ a b = 6 elde edilir. Toplamı 5, çarpımı 6 olan sayılar a = 3, b = 2 olur. Buna göre: 5 + 2 6 = ( 3 + 2 ) 2 ve 5 - 2 6 = ( 3 - 2 ) 2 Şimdi kökleri alalım. Burada 3 > 2 olduğu için mutlak değer sorunu yoktur ve: 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Toplayalım: 5 - 2 6 + 5 + 2 6 = ( 3 - 2 ) + ( 3 + 2 ) = 2 3 Sonuç ve şık kontrolü: 2 3 Doğru cevap C518 şıkkıdır.

1. Çözüm: İfade: 5 - 2 6 + 5 + 2 6 Önce kök içlerini tam kare biçiminde yazalım. Şu özdeşliği kullanırız: ( a + b ) 2 = a + b + 2 a b Burada a + b = 5 ve 2 a b = 2 6 olmalı. Buradan a b = 6 ⇒ a b = 6 elde edilir. Toplamı 5, çarpımı 6 olan sayılar a = 3, b = 2 olur. Buna göre: 5 + 2 6 = ( 3 + 2 ) 2 ve 5 - 2 6 = ( 3 - 2 ) 2 Şimdi kökleri alalım. Burada 3 > 2 olduğu için mutlak değer sorunu yoktur ve: 5 + 2 6 = 3 + 2 5 - 2 6 = 3 - 2 Toplayalım: 5 - 2 6 + 5 + 2 6 = ( 3 - 2 ) + ( 3 + 2 ) = 2 3 Sonuç ve şık kontrolü: 2 3 Doğru cevap C518 şıkkıdır.