9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Temel Kavramlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Temel Kavramlar Testleri

Temel kavramlar, 9. Sınıf matematiğin sayı bilgisi, işlem önceliği, bölünebilme, EBOB-EKOK ve sayı kümeleri gibi başlangıç becerilerini kapsar. Bu testler, matematikte sağlam bir zemin oluşturmak için düzenli tekrar imkanı sunar.

Konuya Nasıl Çalışılmalı?

İşlem önceliği, pozitif-negatif sayılar, tek-çift ve asal sayı bilgisi birçok farklı soruda karşına çıkar. Bu yüzden yalnızca formül ezberlemek yerine kavramların ne anlama geldiğini bilmek gerekir.

9. Sınıf İçin Temel Güçlendirme

Yanlış yapılan sorularda hangi temel kavramın eksik olduğunu belirlemek sonraki konularda da başarıyı artırır. Temel kavramlar, problem ve cebir sorularının altyapısını oluşturur.

Test seç

16 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test

8. Test

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Temel Kavramlar konusu 8. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aralarında asal tam sayılar $a$ ve $b$ için $\gcd (a, b) = 1$ olsun.
$\gcd (a + b, a^{2} + b^{2})$ ifadesinin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Soruda verilen koşul: gcd ( a, b ) = 1 İstenen ifade: gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) Bir değer tanımlayalım: d = gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) Bu durumda hem toplamı hem de kareler toplamını böler: d ∣ ( a + b ) d ∣ ( a 2 + b 2 ) Kareler toplamını, toplamın karesiyle ilişkilendirelim: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 Buradan: a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 - 2 a b Ortak bölen mantığıyla, ikinci ifadeden birincinin karesini çıkaralım: d ∣ ( a 2 + b 2 - ( a + b ) 2 ) Parantez içini sadeleştirelim: a 2 + b 2 - ( a + b ) 2 = - 2 a b Dolayısıyla: d ∣ 2 a b Şimdi, aralarında asal olma koşulunu kullanalım. Şu iki sonucu yazalım: gcd ( a + b, a ) = gcd ( b, a ) = 1 gcd ( a + b, b ) = gcd ( a, b ) = 1 Yani a+b ile a aralarında asal, ayrıca a+b ile b de aralarında asaldır. Bu durumda a+b ile ab aralarında asaldır: gcd ( a + b, a b ) = 1 Çünkü a+b hem a ile hem de b ile ortak asal çarpan paylaşmaz. Artık iki bilgiyi birleştirelim: (i) d, a+b ’yi böler. (ii) d, 2ab ’yi böler. Ama a+b ile ab aralarında asal olduğundan, d ’nin ab ’den gelebilecek asal çarpanı olamaz; geriye yalnızca 2 kalır. Dolayısıyla: d ∣ 2 Buradan d ’nin alabileceği değerler: d ∈ { 1, 2 } Şimdi bu iki değerin gerçekten elde edilebildiğini örnekle gösterelim. Bir elde edilebiliyor: a = 1, b = 2 gcd ( a, b ) = gcd ( 1, 2 ) = 1 gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) = gcd ( 3, 5 ) = 1 İki elde edilebiliyor: a = 1, b = 1 gcd ( a, b ) = gcd ( 1, 1 ) = 1 gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) = gcd ( 2, 2 ) = 2 Sonuç olarak ifade sadece aşağıdaki değerleri alabilir: { 1, 2 } Bu da şıklardan C ’dir. Yani C doğru.

Çözüm: Soruda verilen koşul: gcd ( a, b ) = 1 İstenen ifade: gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) Bir değer tanımlayalım: d = gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) Bu durumda hem toplamı hem de kareler toplamını böler: d ∣ ( a + b ) d ∣ ( a 2 + b 2 ) Kareler toplamını, toplamın karesiyle ilişkilendirelim: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 Buradan: a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 - 2 a b Ortak bölen mantığıyla, ikinci ifadeden birincinin karesini çıkaralım: d ∣ ( a 2 + b 2 - ( a + b ) 2 ) Parantez içini sadeleştirelim: a 2 + b 2 - ( a + b ) 2 = - 2 a b Dolayısıyla: d ∣ 2 a b Şimdi, aralarında asal olma koşulunu kullanalım. Şu iki sonucu yazalım: gcd ( a + b, a ) = gcd ( b, a ) = 1 gcd ( a + b, b ) = gcd ( a, b ) = 1 Yani a+b ile a aralarında asal, ayrıca a+b ile b de aralarında asaldır. Bu durumda a+b ile ab aralarında asaldır: gcd ( a + b, a b ) = 1 Çünkü a+b hem a ile hem de b ile ortak asal çarpan paylaşmaz. Artık iki bilgiyi birleştirelim: (i) d, a+b ’yi böler. (ii) d, 2ab ’yi böler. Ama a+b ile ab aralarında asal olduğundan, d ’nin ab ’den gelebilecek asal çarpanı olamaz; geriye yalnızca 2 kalır. Dolayısıyla: d ∣ 2 Buradan d ’nin alabileceği değerler: d ∈ { 1, 2 } Şimdi bu iki değerin gerçekten elde edilebildiğini örnekle gösterelim. Bir elde edilebiliyor: a = 1, b = 2 gcd ( a, b ) = gcd ( 1, 2 ) = 1 gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) = gcd ( 3, 5 ) = 1 İki elde edilebiliyor: a = 1, b = 1 gcd ( a, b ) = gcd ( 1, 1 ) = 1 gcd ( a + b, a 2 + b 2 ) = gcd ( 2, 2 ) = 2 Sonuç olarak ifade sadece aşağıdaki değerleri alabilir: { 1, 2 } Bu da şıklardan C ’dir. Yani C doğru.

Soruda verilen koşul:

\gcd (a, b) = 1

İstenen ifade:

\gcd (a + b, a^{2} + b^{2})

Bir değer tanımlayalım:

d = \gcd (a + b, a^{2} + b^{2})

Bu durumda hem toplamı hem de kareler toplamını böler:

d ∣ (a + b)

d ∣ (a^{2} + b^{2})

Kareler toplamını, toplamın karesiyle ilişkilendirelim:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Buradan:

a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b

Ortak bölen mantığıyla, ikinci ifadeden birincinin karesini çıkaralım:

d ∣ (a^{2} + b^{2} - {(a + b)}^{2})

Parantez içini sadeleştirelim:

a^{2} + b^{2} - {(a + b)}^{2} = - 2 a b

Dolayısıyla:

d ∣ 2 a b

Şimdi, aralarında asal olma koşulunu kullanalım. Şu iki sonucu yazalım:

\gcd (a + b, a) = \gcd (b, a) = 1

\gcd (a + b, b) = \gcd (a, b) = 1

Yani a+b ile a aralarında asal, ayrıca a+b ile b de aralarında asaldır.

Bu durumda a+b ile ab aralarında asaldır:

\gcd (a + b, a b) = 1

Çünkü a+b hem a ile hem de b ile ortak asal çarpan paylaşmaz.

Artık iki bilgiyi birleştirelim:

(i) d, a+b’yi böler.

(ii) d, 2ab’yi böler.

Ama a+b ile ab aralarında asal olduğundan, d’nin ab’den gelebilecek asal çarpanı olamaz; geriye yalnızca 2 kalır. Dolayısıyla:

d ∣ 2

Buradan d’nin alabileceği değerler:

d \in {1, 2}

Şimdi bu iki değerin gerçekten elde edilebildiğini örnekle gösterelim.

Bir elde edilebiliyor:

a = 1, b = 2

\gcd (a, b) = \gcd (1, 2) = 1

\gcd (a + b, a^{2} + b^{2}) = \gcd (3, 5) = 1

İki elde edilebiliyor:

a = 1, b = 1

\gcd (a, b) = \gcd (1, 1) = 1

\gcd (a + b, a^{2} + b^{2}) = \gcd (2, 2) = 2

Sonuç olarak ifade sadece aşağıdaki değerleri alabilir:

{1, 2}

Bu da şıklardan C’dir. Yani C doğru.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
${(- 3)}^{2} - 4$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

$a = 2 k + 1$ ve $b = 2 m$ olmak üzere $k$ ve $m$ tam sayıdır.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulunuz.
$\begin{matrix} n \equiv 1 (mod 2) \\ n \equiv 1 (mod 3) \\ n \equiv 1 (mod 4) \\ n \equiv 1 (mod 5) \\ n \equiv 1 (mod 6) \\ n \equiv 0 (mod 7) \end{matrix}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İlk beş koşulun ortak anlamı: n sayısı 2, 3, 4, 5, 6 ile bölününce her seferinde aynı kalanı verir. n ≡ 1 ( mod 2 ) n ≡ 1 ( mod 3 ) n ≡ 1 ( mod 4 ) n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 1 ( mod 6 ) Bu durumda n sayısı, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir. n ≡ 1 ( mod lcm ( 2, 3, 4, 5, 6 ) ) EKOK’u hesaplayalım. lcm ( 2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 O hâlde n sayısı şu biçimdedir. n = 60 k + 1 Şimdi son koşulu kullanalım. n ≡ 0 ( mod 7 ) n = 60k + 1 ifadesini yerine yazalım. 60 k + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) Her iki taraftan 1 çıkaralım. 60 k ≡ − 1 ( mod 7 ) −1 yerine mod 7 ’de eşdeğer olan pozitif kalanı yazalım. − 1 ≡ 6 ( mod 7 ) 60 sayısını mod 7 ’ye göre sadeleştirelim. 60 ≡ 4 ( mod 7 ) Böylece denklem şu hâle gelir. 4 k ≡ 6 ( mod 7 ) 4 ’ün mod 7 ’deki tersini bulalım. 4 ⋅ 2 = 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım. k ≡ 6 ⋅ 2 ≡ 12 ≡ 5 ( mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için k = 5 alınır. k = 5 n ’yi bulalım. n = 60 ⋅ 5 + 1 = 301 Sonuç: Doğru cevap C1089 şıkkıdır. n = 301

Çözüm: İlk beş koşulun ortak anlamı: n sayısı 2, 3, 4, 5, 6 ile bölününce her seferinde aynı kalanı verir. n ≡ 1 ( mod 2 ) n ≡ 1 ( mod 3 ) n ≡ 1 ( mod 4 ) n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 1 ( mod 6 ) Bu durumda n sayısı, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir. n ≡ 1 ( mod lcm ( 2, 3, 4, 5, 6 ) ) EKOK’u hesaplayalım. lcm ( 2, 3, 4, 5, 6 ) = 60 O hâlde n sayısı şu biçimdedir. n = 60 k + 1 Şimdi son koşulu kullanalım. n ≡ 0 ( mod 7 ) n = 60k + 1 ifadesini yerine yazalım. 60 k + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) Her iki taraftan 1 çıkaralım. 60 k ≡ − 1 ( mod 7 ) −1 yerine mod 7 ’de eşdeğer olan pozitif kalanı yazalım. − 1 ≡ 6 ( mod 7 ) 60 sayısını mod 7 ’ye göre sadeleştirelim. 60 ≡ 4 ( mod 7 ) Böylece denklem şu hâle gelir. 4 k ≡ 6 ( mod 7 ) 4 ’ün mod 7 ’deki tersini bulalım. 4 ⋅ 2 = 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım. k ≡ 6 ⋅ 2 ≡ 12 ≡ 5 ( mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için k = 5 alınır. k = 5 n ’yi bulalım. n = 60 ⋅ 5 + 1 = 301 Sonuç: Doğru cevap C1089 şıkkıdır. n = 301

İlk beş koşulun ortak anlamı: n sayısı 2, 3, 4, 5, 6 ile bölününce her seferinde aynı kalanı verir.

\begin{matrix} n \equiv 1 (mod 2) \\ n \equiv 1 (mod 3) \\ n \equiv 1 (mod 4) \\ n \equiv 1 (mod 5) \\ n \equiv 1 (mod 6) \end{matrix}

Bu durumda n sayısı, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir.

n \equiv 1 (mod lcm (2, 3, 4, 5, 6))

EKOK’u hesaplayalım.

lcm (2, 3, 4, 5, 6) = 60

O hâlde n sayısı şu biçimdedir.

n = 60 k + 1

Şimdi son koşulu kullanalım.

n \equiv 0 (mod 7)

n = 60k + 1 ifadesini yerine yazalım.

60 k + 1 \equiv 0 (mod 7)

Her iki taraftan 1 çıkaralım.

60 k \equiv - 1 (mod 7)

−1 yerine mod 7’de eşdeğer olan pozitif kalanı yazalım.

- 1 \equiv 6 (mod 7)

60 sayısını mod 7’ye göre sadeleştirelim.

60 \equiv 4 (mod 7)

Böylece denklem şu hâle gelir.

4 k \equiv 6 (mod 7)

4’ün mod 7’deki tersini bulalım.

4 \cdot 2 = 8 \equiv 1 (mod 7)

Her iki tarafı 2 ile çarpalım.

k \equiv 6 \cdot 2 \equiv 12 \equiv 5 (mod 7)

En küçük pozitif çözüm için k = 5 alınır.

k = 5

n’yi bulalım.

n = 60 \cdot 5 + 1 = 301

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

n = 301

5. SoruÇoktan Seçmeli

$x$ bir tam sayı olmak üzere $|x - 2| = 5$ denklemini sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyoneldir?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$| x - 2 | + | x + 1 | = 7$ denkleminin tüm gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $a$ ve $b$ tam sayıları için $b$ kaçtır?
$a < 0$
$| a | = 3$
$b = a - 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$2^{2025} + 5^{2025}$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
${(- 2)}^{3} + | - 7 |$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. Sınıf Temel Kavramlar Hakkında

Temel kavramlar hangi başlıkları kapsar?

Sayı kümeleri, işlem önceliği, tek-çift sayılar, asal sayılar, bölünebilme ve EBOB-EKOK gibi başlıkları kapsar.

Bu konu neden 9. Sınıf için önemlidir?

Birçok problem, cebir ve sayı sorusunda temel kavram bilgisi doğrudan kullanılır.

Temel kavramlarda nasıl gelişilir?

Kavramları kısa tekrarlarla öğrenip farklı soru tiplerinde uygulamak en etkili yoldur.

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

9. Sınıf Temel Kavramlar Testleri

Konuya Nasıl Çalışılmalı?

9. Sınıf İçin Temel Güçlendirme

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Aralarında asal tam sayılara ve b için gcd(a,b)=1 olsun.gcd(a+b,a2+b2) ifadesinin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?(-3)2-4

a=2k+1 ve b=2m olmak üzere k ve m tam sayıdır.Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?

Aşağıdaki koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulunuz.n≡1(mod2)n≡1(mod3)n≡1(mod4)n≡1(mod5)n≡1(mod6)n≡0(mod7)

x bir tam sayı olmak üzere x-2=5 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyoneldir?

|x-2|+|x+1|=7 denkleminin tüm gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan a ve b tam sayıları için b kaçtır?a<0|a|=3b=a-5

Aşağıdaki ifadenin 7 ile bölümünden kalan kaçtır?22025+52025

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:-23+|-7|

9. Sınıf Temel Kavramlar Hakkında

Aralarında asal tam sayılar $a$ ve $b$ için $\gcd (a, b) = 1$ olsun.
$\gcd (a + b, a^{2} + b^{2})$ ifadesinin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
${(- 3)}^{2} - 4$

$a = 2 k + 1$ ve $b = 2 m$ olmak üzere $k$ ve $m$ tam sayıdır.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?

Aşağıdaki koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulunuz.
$\begin{matrix} n \equiv 1 (mod 2) \\ n \equiv 1 (mod 3) \\ n \equiv 1 (mod 4) \\ n \equiv 1 (mod 5) \\ n \equiv 1 (mod 6) \\ n \equiv 0 (mod 7) \end{matrix}$

$x$ bir tam sayı olmak üzere $|x - 2| = 5$ denklemini sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

$| x - 2 | + | x + 1 | = 7$ denkleminin tüm gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan $a$ ve $b$ tam sayıları için $b$ kaçtır?
$a < 0$
$| a | = 3$
$b = a - 5$

Aşağıdaki ifadenin $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$2^{2025} + 5^{2025}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
${(- 2)}^{3} + | - 7 |$