Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Temel Kavramlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Temel Kavramlar Testleri

Temel kavramlar, 9. Sınıf matematiğin sayı bilgisi, işlem önceliği, bölünebilme, EBOB-EKOK ve sayı kümeleri gibi başlangıç becerilerini kapsar. Bu testler, matematikte sağlam bir zemin oluşturmak için düzenli tekrar imkanı sunar.

Konuya Nasıl Çalışılmalı?

İşlem önceliği, pozitif-negatif sayılar, tek-çift ve asal sayı bilgisi birçok farklı soruda karşına çıkar. Bu yüzden yalnızca formül ezberlemek yerine kavramların ne anlama geldiğini bilmek gerekir.

9. Sınıf İçin Temel Güçlendirme

Yanlış yapılan sorularda hangi temel kavramın eksik olduğunu belirlemek sonraki konularda da başarıyı artırır. Temel kavramlar, problem ve cebir sorularının altyapısını oluşturur.

Test seç

16 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test7. Test8. Test9. Test10. Test11. Test12. Test13. Test14. Test15. Test16. Test

12. Test

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Temel Kavramlar konusu 12. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan tam sayı x değerlerinin sayısı kaçtır?

  • |2x-1|≤7
  • x(x-4)<0

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce mutlak değerli eşitsizliği çözelim: | 2 x - 1 | ≤ 7 Mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizlik olarak yazarız: - 7 ≤ 2 x - 1 ≤ 7 Her tarafa aynı işlemleri uygulayarak çözelim: - 6 ≤ 2 x ≤ 8 - 3 ≤ x ≤ 4 Şimdi ikinci koşulu çözelim: x ( x - 4 ) < 0 Çarpımın negatif olması için kökler arasındadır. Kökler: x = 0 x = 4 Bu nedenle çözüm aralığı: 0 < x < 4 İki koşulu birlikte sağlayan tam sayıları bulmak için aralıkların kesişimini alırız: [ - 3, 4 ] ∩ ( 0, 4 ) = ( 0, 4 ) Bu aralıktaki tam sayılar: x ∈ { 1, 2, 3 } Toplam kaç değer vardır: 3 Doğru seçenek D581’dir.

  1. Çözüm: Önce mutlak değerli eşitsizliği çözelim: | 2 x - 1 | ≤ 7 Mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizlik olarak yazarız: - 7 ≤ 2 x - 1 ≤ 7 Her tarafa aynı işlemleri uygulayarak çözelim: - 6 ≤ 2 x ≤ 8 - 3 ≤ x ≤ 4 Şimdi ikinci koşulu çözelim: x ( x - 4 ) < 0 Çarpımın negatif olması için kökler arasındadır. Kökler: x = 0 x = 4 Bu nedenle çözüm aralığı: 0 < x < 4 İki koşulu birlikte sağlayan tam sayıları bulmak için aralıkların kesişimini alırız: [ - 3, 4 ] ∩ ( 0, 4 ) = ( 0, 4 ) Bu aralıktaki tam sayılar: x ∈ { 1, 2, 3 } Toplam kaç değer vardır: 3 Doğru seçenek D581’dir.

Önce mutlak değerli eşitsizliği çözelim:

|2x-1|≤7

Mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizlik olarak yazarız:

-7≤2x-1≤7

Her tarafa aynı işlemleri uygulayarak çözelim:

-6≤2x≤8-3≤x≤4

Şimdi ikinci koşulu çözelim:

x(x-4)<0

Çarpımın negatif olması için kökler arasındadır. Kökler:

x=0x=4

Bu nedenle çözüm aralığı:

0<x<4

İki koşulu birlikte sağlayan tam sayıları bulmak için aralıkların kesişimini alırız:

[-3,4]∩(0,4)=(0,4)

Bu aralıktaki tam sayılar:

x∈{1,2,3}

Toplam kaç değer vardır:

3

Doğru seçenek D2727’dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

a ve b gerçel sayıları için a+b=1 ve a⋅b=−2 ise a4+b4 kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları blok olarak yazalım: a + b = 1 a ⋅ b = − 2 Önce kareler toplamını bulalım: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 Buradan kareler toplamı: a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b Verilen değerleri yerine yazalım: a 2 + b 2 = 1 2 − 2 ⋅ ( − 2 ) = 1 + 4 = 5 Şimdi dördüncü kuvvetler toplamı için özdeşlik kullanalım: a 4 + b 4 = ( a 2 + b 2 ) 2 − 2 a 2 b 2 Burada çarpımın karesini de yazalım: a 2 b 2 = a b 2 = ( − 2 ) 2 = 4 Son hesap: a 4 + b 4 = 5 2 − 2 ⋅ 4 = 25 − 8 = 17 Bulunan değer şıklarda seçeneğiA575ne karşılık gelir: 17

  1. Çözüm: Verilen koşulları blok olarak yazalım: a + b = 1 a ⋅ b = − 2 Önce kareler toplamını bulalım: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 Buradan kareler toplamı: a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b Verilen değerleri yerine yazalım: a 2 + b 2 = 1 2 − 2 ⋅ ( − 2 ) = 1 + 4 = 5 Şimdi dördüncü kuvvetler toplamı için özdeşlik kullanalım: a 4 + b 4 = ( a 2 + b 2 ) 2 − 2 a 2 b 2 Burada çarpımın karesini de yazalım: a 2 b 2 = a b 2 = ( − 2 ) 2 = 4 Son hesap: a 4 + b 4 = 5 2 − 2 ⋅ 4 = 25 − 8 = 17 Bulunan değer şıklarda seçeneğiA575ne karşılık gelir: 17

Verilen koşulları blok olarak yazalım:

a+b=1

a⋅b=−2

Önce kareler toplamını bulalım:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Buradan kareler toplamı:

a2+b2=(a+b)2−2ab

Verilen değerleri yerine yazalım:

a2+b2=12−2⋅(−2)=1+4=5

Şimdi dördüncü kuvvetler toplamı için özdeşlik kullanalım:

a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2

Burada çarpımın karesini de yazalım:

a2b2=ab2=(−2)2=4

Son hesap:

a4+b4=52−2⋅4=25−8=17

Bulunan değer şıklarda seçeneğiA2798ne karşılık gelir:

17

3. SoruÇoktan Seçmeli

|x−3|+|x+2|≤8 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı x vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Kontrol edelim: | x − 3 | + | x + 2 | ≤ 8 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı sayısı şık 8 çıkarsa, doğru cevap B111 olur. Mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan kritik noktalar: x − 3 = 0 x = 3 x + 2 = 0 x = − 2 Bu nedenle aralıkları x ≤ − 2 − 2 ≤ x ≤ 3 x ≥ 3 şeklinde inceleyeceğiz. 1) Durum: x ≤ − 2 Bu aralıkta | x − 3 | = 3 − x | x + 2 | = − ( x + 2 ) = − x − 2 Toplayalım: | x − 3 | + | x + 2 | = ( 3 − x ) + ( − x − 2 ) = 1 − 2 x Eşitsizliğe yazalım: 1 − 2 x ≤ 8 − 2 x ≤ 7 x ≥ − 7 2 Bu durumun koşulu ile birleştirelim: − 7 2 ≤ x ≤ − 2 Bu aralıktaki tam sayılar: x = − 3, − 2 2) Durum: − 2 ≤ x ≤ 3 Bu aralıkta | x − 3 | = 3 − x | x + 2 | = x + 2 Toplam: | x − 3 | + | x + 2 | = ( 3 − x ) + ( x + 2 ) = 5 Eşitsizlik: 5 ≤ 8 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm tam sayılar çözüm olur: x = − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 3) Durum: x ≥ 3 Bu aralıkta | x − 3 | = x − 3 | x + 2 | = x + 2 Toplam: | x − 3 | + | x + 2 | = ( x − 3 ) + ( x + 2 ) = 2 x − 1 Eşitsizliğe yazalım: 2 x − 1 ≤ 8 2 x ≤ 9 x ≤ 9 2 Koşulla birleştirelim: 3 ≤ x ≤ 9 2 Bu aralıktaki tam sayılar: x = 3, 4 Tüm durumları birleştirirsek çözüm olan tam sayılar: x = − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4 Toplam kaç tane olduğuna bakalım: 8 Sonuç: Doğru cevap B1607 şıkkıdır.

  1. Çözüm: Kontrol edelim: | x − 3 | + | x + 2 | ≤ 8 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı sayısı şık 8 çıkarsa, doğru cevap B111 olur. Mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan kritik noktalar: x − 3 = 0 x = 3 x + 2 = 0 x = − 2 Bu nedenle aralıkları x ≤ − 2 − 2 ≤ x ≤ 3 x ≥ 3 şeklinde inceleyeceğiz. 1) Durum: x ≤ − 2 Bu aralıkta | x − 3 | = 3 − x | x + 2 | = − ( x + 2 ) = − x − 2 Toplayalım: | x − 3 | + | x + 2 | = ( 3 − x ) + ( − x − 2 ) = 1 − 2 x Eşitsizliğe yazalım: 1 − 2 x ≤ 8 − 2 x ≤ 7 x ≥ − 7 2 Bu durumun koşulu ile birleştirelim: − 7 2 ≤ x ≤ − 2 Bu aralıktaki tam sayılar: x = − 3, − 2 2) Durum: − 2 ≤ x ≤ 3 Bu aralıkta | x − 3 | = 3 − x | x + 2 | = x + 2 Toplam: | x − 3 | + | x + 2 | = ( 3 − x ) + ( x + 2 ) = 5 Eşitsizlik: 5 ≤ 8 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm tam sayılar çözüm olur: x = − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 3) Durum: x ≥ 3 Bu aralıkta | x − 3 | = x − 3 | x + 2 | = x + 2 Toplam: | x − 3 | + | x + 2 | = ( x − 3 ) + ( x + 2 ) = 2 x − 1 Eşitsizliğe yazalım: 2 x − 1 ≤ 8 2 x ≤ 9 x ≤ 9 2 Koşulla birleştirelim: 3 ≤ x ≤ 9 2 Bu aralıktaki tam sayılar: x = 3, 4 Tüm durumları birleştirirsek çözüm olan tam sayılar: x = − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4 Toplam kaç tane olduğuna bakalım: 8 Sonuç: Doğru cevap B1607 şıkkıdır.

Kontrol edelim:

|x−3|+|x+2|≤8

Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı sayısı şık 8 çıkarsa, doğru cevap C olur.

Mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan kritik noktalar:

x−3=0x=3x+2=0x=−2

Bu nedenle aralıkları

x≤−2−2≤x≤3x≥3

şeklinde inceleyeceğiz.

1) Durum:

x≤−2

Bu aralıkta

|x−3|=3−x|x+2|=−(x+2)=−x−2

Toplayalım:

|x−3|+|x+2|=(3−x)+(−x−2)=1−2x

Eşitsizliğe yazalım:

1−2x≤8−2x≤7x≥−72

Bu durumun koşulu ile birleştirelim:

−72≤x≤−2

Bu aralıktaki tam sayılar:

x=−3,−2

2) Durum:

−2≤x≤3

Bu aralıkta

|x−3|=3−x|x+2|=x+2

Toplam:

|x−3|+|x+2|=(3−x)+(x+2)=5

Eşitsizlik:

5≤8

Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm tam sayılar çözüm olur:

x=−2,−1,0,1,2,3

3) Durum:

x≥3

Bu aralıkta

|x−3|=x−3|x+2|=x+2

Toplam:

|x−3|+|x+2|=(x−3)+(x+2)=2x−1

Eşitsizliğe yazalım:

2x−1≤82x≤9x≤92

Koşulla birleştirelim:

3≤x≤92

Bu aralıktaki tam sayılar:

x=3,4

Tüm durumları birleştirirsek çözüm olan tam sayılar:

x=−3,−2,−1,0,1,2,3,4

Toplam kaç tane olduğuna bakalım:

8

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

x ve y gerçel sayıları için x+y=1 ve x2+y2=52 veriliyor.
Buna göre xy kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenler: x + y = 1 x 2 + y 2 = 5 2 1. Adım: Toplamın karesini açalım. ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 x y 2. Adım: Verilen değerleri yerine yazalım. 1 2 = 5 2 + 2 x y 3. Adım: Her iki taraftan da çıkarma yapıp x y değerini bulalım. 1 - 5 2 = 2 x y 2 2 - 5 2 = 2 x y -3 2 = 2 x y x y = -3 4 Sonuç: Doğru seçenek C296 ’dır.

  1. Çözüm: Verilenler: x + y = 1 x 2 + y 2 = 5 2 1. Adım: Toplamın karesini açalım. ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 x y 2. Adım: Verilen değerleri yerine yazalım. 1 2 = 5 2 + 2 x y 3. Adım: Her iki taraftan da çıkarma yapıp x y değerini bulalım. 1 - 5 2 = 2 x y 2 2 - 5 2 = 2 x y -3 2 = 2 x y x y = -3 4 Sonuç: Doğru seçenek C296 ’dır.
Verilenler:
x+y=1
x2+y2=52
1. Adım: Toplamın karesini açalım.
(x+y)2=x2+y2+2xy
2. Adım: Verilen değerleri yerine yazalım.
12=52+2xy
3. Adım: Her iki taraftan da çıkarma yapıp xy değerini bulalım.
1-52=2xy
22-52=2xy
-32=2xy
xy=-34
Sonuç: Doğru seçenek A’dır.
5. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar a ve b için

EBOB(a,b)=6

ve

EKOK(a,b)=180

olduğuna göre, (a,b) sıralı ikilisi kaç farklı değer alabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 180 EBOB 6 olduğundan, a ve b 6’nın katı yazılır: a = 6 x, b = 6 y Burada EBOB(x,y)=1 olmalıdır (yani x ve y aralarında asal). EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ilişkisini kullanalım. x ve y aralarında asal olduğundan EKOK ( a, b ) = 6 · EKOK ( x, y ) = 6 · x y Verilen EKOK değeri 180 olduğuna göre: 6 · x y = 180 x y = 30 Şimdi x·y=30 ve EBOB(x,y)=1 koşullarını sağlayan sıralı ikilileri sayacağız. Önce 30’u asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2 · 3 · 5 30 karekök içermeyen (her asal bir kez var) bir sayı olduğu için x ve y aralarında asal olabilmesi adına her asal çarpan ya tamamen x ’e ya da tamamen y ’ye gitmelidir. Her bir asal çarpan için 2 seçenek vardır: • 2 ya x ’te ya y ’de • 3 ya x ’te ya y ’de • 5 ya x ’te ya y ’de Dolayısıyla sıralı ikili sayısı: 2 3 = 8 Bulduğumuz her (x,y) için ( a, b ) = ( 6 x, 6 y ) olduğundan, (a,b) sıralı ikilisi de aynı sayıda farklı değer alır. Sonuç ve şık kontrolü: Farklı ( a, b ) sayısı = 8 Doğru cevap D975 ’dir.

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 180 EBOB 6 olduğundan, a ve b 6’nın katı yazılır: a = 6 x, b = 6 y Burada EBOB(x,y)=1 olmalıdır (yani x ve y aralarında asal). EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ilişkisini kullanalım. x ve y aralarında asal olduğundan EKOK ( a, b ) = 6 · EKOK ( x, y ) = 6 · x y Verilen EKOK değeri 180 olduğuna göre: 6 · x y = 180 x y = 30 Şimdi x·y=30 ve EBOB(x,y)=1 koşullarını sağlayan sıralı ikilileri sayacağız. Önce 30’u asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2 · 3 · 5 30 karekök içermeyen (her asal bir kez var) bir sayı olduğu için x ve y aralarında asal olabilmesi adına her asal çarpan ya tamamen x ’e ya da tamamen y ’ye gitmelidir. Her bir asal çarpan için 2 seçenek vardır: • 2 ya x ’te ya y ’de • 3 ya x ’te ya y ’de • 5 ya x ’te ya y ’de Dolayısıyla sıralı ikili sayısı: 2 3 = 8 Bulduğumuz her (x,y) için ( a, b ) = ( 6 x, 6 y ) olduğundan, (a,b) sıralı ikilisi de aynı sayıda farklı değer alır. Sonuç ve şık kontrolü: Farklı ( a, b ) sayısı = 8 Doğru cevap D975 ’dir.

Verilenler:

EBOB(a,b)=6EKOK(a,b)=180

EBOB 6 olduğundan, a ve b 6’nın katı yazılır:

a=6x,b=6y

Burada EBOB(x,y)=1 olmalıdır (yani x ve y aralarında asal).

EBOB(x,y)=1

EKOK ilişkisini kullanalım. x ve y aralarında asal olduğundan

EKOK(a,b)=6·EKOK(x,y)=6·xy

Verilen EKOK değeri 180 olduğuna göre:

6·xy=180xy=30

Şimdi x·y=30 ve EBOB(x,y)=1 koşullarını sağlayan sıralı ikilileri sayacağız.

Önce 30’u asal çarpanlarına ayıralım:

30=2·3·5

30 karekök içermeyen (her asal bir kez var) bir sayı olduğu için x ve y aralarında asal olabilmesi adına her asal çarpan ya tamamen x’e ya da tamamen y’ye gitmelidir.

Her bir asal çarpan için 2 seçenek vardır:

• 2 ya x’te ya y’de

• 3 ya x’te ya y’de

• 5 ya x’te ya y’de

Dolayısıyla sıralı ikili sayısı:

23=8

Bulduğumuz her (x,y) için

(a,b)=(6x,6y)

olduğundan, (a,b) sıralı ikilisi de aynı sayıda farklı değer alır.

Sonuç ve şık kontrolü:

Farklı(a,b)sayısı=8

Doğru cevap B’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Tam sayı x için

1x−1+1x−2=1

eşitliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Paydalar sıfır olamayacağı için tanım koşulu: x ≠ 1 x ≠ 2 Denklemi ortak paydada toplayalım: 1 x − 1 + 1 x − 2 = 1 ( x − 2 ) + ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 1 Pay kısmını sadeleştirelim: 2 x − 3 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 1 Her iki tarafı payda ile çarpalım: 2 x − 3 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) Sağ tarafı açalım ve tek tarafa toplayalım: ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x 2 − 3 x + 2 2 x − 3 = x 2 − 3 x + 2 x 2 − 5 x + 5 = 0 Kökleri bulmak için diskriminant: Δ = ( 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 25 − 20 = 5 Kökler: x = 5 ± 5 2 Bu değerler tam sayı değildir. Ayrıca tanım koşuluna göre x ≠ 1, x ≠ 2 olmalıydı. Dolayısıyla denklemi sağlayan tam sayı çözüm sayısı: 0 Doğru cevap seçeneği: A

  1. Çözüm: Paydalar sıfır olamayacağı için tanım koşulu: x ≠ 1 x ≠ 2 Denklemi ortak paydada toplayalım: 1 x − 1 + 1 x − 2 = 1 ( x − 2 ) + ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 1 Pay kısmını sadeleştirelim: 2 x − 3 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 1 Her iki tarafı payda ile çarpalım: 2 x − 3 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) Sağ tarafı açalım ve tek tarafa toplayalım: ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x 2 − 3 x + 2 2 x − 3 = x 2 − 3 x + 2 x 2 − 5 x + 5 = 0 Kökleri bulmak için diskriminant: Δ = ( 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 25 − 20 = 5 Kökler: x = 5 ± 5 2 Bu değerler tam sayı değildir. Ayrıca tanım koşuluna göre x ≠ 1, x ≠ 2 olmalıydı. Dolayısıyla denklemi sağlayan tam sayı çözüm sayısı: 0 Doğru cevap seçeneği: A

Paydalar sıfır olamayacağı için tanım koşulu:

x≠1x≠2

Denklemi ortak paydada toplayalım:

1x−1+1x−2=1(x−2)+(x−1)(x−1)(x−2)=1

Pay kısmını sadeleştirelim:

2x−3(x−1)(x−2)=1

Her iki tarafı payda ile çarpalım:

2x−3=(x−1)(x−2)

Sağ tarafı açalım ve tek tarafa toplayalım:

(x−1)(x−2)=x2−3x+22x−3=x2−3x+2x2−5x+5=0

Kökleri bulmak için diskriminant:

Δ=(5)2−4⋅1⋅5=25−20=5

Kökler:

x=5±52

Bu değerler tam sayı değildir. Ayrıca tanım koşuluna göre

x≠1,x≠2

olmalıydı.

Dolayısıyla denklemi sağlayan tam sayı çözüm sayısı:

0

Doğru cevap seçeneği: A

7. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar x ve y için

EBOB(x,y)=6

EKOK(x,y)=180

olduğuna göre x+y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenler: EBOB ( x, y ) = 6 EKOK ( x, y ) = 180 Temel özellik: x ⋅ y = EBOB ( x, y ) ⋅ EKOK ( x, y ) Sayısal değerleri yerine yazalım: x ⋅ y = 6 ⋅ 180 = 1080 EBOB değeri 6 olduğundan, x ve y için şu şekilde yazabiliriz: x = 6 a y = 6 b EBOB ( a, b ) = 1 Bu durumda EKOK: EKOK ( x, y ) = 6 a b 6 a b = 180 a b = 30 Toplamı küçültmek için a + b toplamını küçültmemiz gerekir (çünkü x + y = 6 ( a + b ) ). Şimdi a b = 30 ve EBOB ( a, b ) = 1 şartını sağlayan çarpan çiftlerini deneyelim: a = 1, b = 30 ⇒ a + b = 31 a = 2, b = 15 ⇒ a + b = 17 a = 3, b = 10 ⇒ a + b = 13 a = 5, b = 6 ⇒ a + b = 11 En küçük toplam a + b = 11 ile elde edilir. Buna göre: x = 6 ⋅ 5 = 30 y = 6 ⋅ 6 = 36 x + y = 30 + 36 = 66 Sonuç: En küçük değer 66 olduğundan doğru seçenek B806 'dır.

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( x, y ) = 6 EKOK ( x, y ) = 180 Temel özellik: x ⋅ y = EBOB ( x, y ) ⋅ EKOK ( x, y ) Sayısal değerleri yerine yazalım: x ⋅ y = 6 ⋅ 180 = 1080 EBOB değeri 6 olduğundan, x ve y için şu şekilde yazabiliriz: x = 6 a y = 6 b EBOB ( a, b ) = 1 Bu durumda EKOK: EKOK ( x, y ) = 6 a b 6 a b = 180 a b = 30 Toplamı küçültmek için a + b toplamını küçültmemiz gerekir (çünkü x + y = 6 ( a + b ) ). Şimdi a b = 30 ve EBOB ( a, b ) = 1 şartını sağlayan çarpan çiftlerini deneyelim: a = 1, b = 30 ⇒ a + b = 31 a = 2, b = 15 ⇒ a + b = 17 a = 3, b = 10 ⇒ a + b = 13 a = 5, b = 6 ⇒ a + b = 11 En küçük toplam a + b = 11 ile elde edilir. Buna göre: x = 6 ⋅ 5 = 30 y = 6 ⋅ 6 = 36 x + y = 30 + 36 = 66 Sonuç: En küçük değer 66 olduğundan doğru seçenek B806 'dır.

Verilenler:

EBOB(x,y)=6EKOK(x,y)=180

Temel özellik:

x⋅y=EBOB(x,y)⋅EKOK(x,y)

Sayısal değerleri yerine yazalım:

x⋅y=6⋅180=1080

EBOB değeri 6 olduğundan, x ve y için şu şekilde yazabiliriz:

x=6ay=6bEBOB(a,b)=1

Bu durumda EKOK:

EKOK(x,y)=6ab6ab=180ab=30

Toplamı küçültmek için a+b toplamını küçültmemiz gerekir (çünkü x+y=6(a+b) ).

Şimdi ab=30 ve EBOB(a,b)=1 şartını sağlayan çarpan çiftlerini deneyelim:

a=1,b=30⇒a+b=31a=2,b=15⇒a+b=17a=3,b=10⇒a+b=13a=5,b=6⇒a+b=11

En küçük toplam a+b=11 ile elde edilir.

Buna göre:

x=6⋅5=30y=6⋅6=36x+y=30+36=66

Sonuç: En küçük değer 66 olduğundan doğru seçenek A 'dır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

a ve b tamsayıları için a+b=5 ve a·b=-6 ise a2+b2 kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenler: a + b = 5 a · b = -6 1) Çarpımı negatif olan tamsayı ikilisi seçenekleri yazalım: ( 1, -6 ), ( -1, 6 ), ( 2, -3 ), ( -2, 3 ), ( 3, -2 ), ( -3, 2 ), ( 6, -1 ), ( -6, 1 ) 2) Şimdi bu ikilerden hangilerinde mutlak değerlerin toplamı 5 oluyor bakalım: 1 + -6 = 7 2 + -3 = 5 3 + -2 = 5 Bu nedenle uygun tamsayı çiftleri şunlardır: ( 2, -3 ), ( -2, 3 ), ( 3, -2 ), ( -3, 2 ) 3) İstenen ifadeyi hesaplayalım (hangi uygun çifti seçersek seçelim aynı değer çıkar): 2 2 + -3 2 = 4 + 9 = 13 Sonuç: a 2 + b 2 = 13 Doğru seçenek C521 ’dır.

  1. Çözüm: Verilenler: a + b = 5 a · b = -6 1) Çarpımı negatif olan tamsayı ikilisi seçenekleri yazalım: ( 1, -6 ), ( -1, 6 ), ( 2, -3 ), ( -2, 3 ), ( 3, -2 ), ( -3, 2 ), ( 6, -1 ), ( -6, 1 ) 2) Şimdi bu ikilerden hangilerinde mutlak değerlerin toplamı 5 oluyor bakalım: 1 + -6 = 7 2 + -3 = 5 3 + -2 = 5 Bu nedenle uygun tamsayı çiftleri şunlardır: ( 2, -3 ), ( -2, 3 ), ( 3, -2 ), ( -3, 2 ) 3) İstenen ifadeyi hesaplayalım (hangi uygun çifti seçersek seçelim aynı değer çıkar): 2 2 + -3 2 = 4 + 9 = 13 Sonuç: a 2 + b 2 = 13 Doğru seçenek C521 ’dır.

Verilenler:

a+b=5
a·b=-6

1) Çarpımınegatifolantamsayıikilisiseçenekleriyazalım:

(1,-6),(-1,6),(2,-3),(-2,3),(3,-2),(-3,2),(6,-1),(-6,1)

2) Şimdibuikilerdenhangilerindemutlakdeğerlerintoplamı5oluyorbakalım:

1+-6=7
2+-3=5
3+-2=5

Bu nedenle uygun tamsayı çiftleri şunlardır:

(2,-3),(-2,3),(3,-2),(-3,2)

3) İstenen ifadeyi hesaplayalım (hangi uygun çifti seçersek seçelim aynı değer çıkar):

22+-32=4+9=13

Sonuç:

a2+b2=13

Doğru seçenek A’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar a ve b için

EBOB(a,b)=6 ve EKOK(a,b)=180 olduğuna göre a+b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 180 Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntı kullanılır: a b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buradan: a b = 6 · 180 = 1080 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım: a = 6 x, b = 6 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK sadeleşir: EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y Verilen EKOK ile eşitleyelim: 6 x y = 180 ⇒ x y = 30 Şimdi çarpımı verilen ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini seçeriz: ( x, y ) ∈ { ( 1, 30 ), ( 2, 15 ), ( 3, 10 ), ( 5, 6 ) } Toplamları: x + y ∈ { 31, 17, 13, 11 } En küçük toplam, son çiftten gelir. İstenen toplam: a + b = 6 ( x + y ) a + b = 6 · 11 = 66 Dolayısıyla doğru cevap D650 şıkkıdır. Bu minimumu veren örnek değerler: a = 30, b = 36 Kontrol: EBOB ( 30, 36 ) = 6 EKOK ( 30, 36 ) = 180

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 180 Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntı kullanılır: a b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buradan: a b = 6 · 180 = 1080 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım: a = 6 x, b = 6 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK sadeleşir: EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y Verilen EKOK ile eşitleyelim: 6 x y = 180 ⇒ x y = 30 Şimdi çarpımı verilen ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini seçeriz: ( x, y ) ∈ { ( 1, 30 ), ( 2, 15 ), ( 3, 10 ), ( 5, 6 ) } Toplamları: x + y ∈ { 31, 17, 13, 11 } En küçük toplam, son çiftten gelir. İstenen toplam: a + b = 6 ( x + y ) a + b = 6 · 11 = 66 Dolayısıyla doğru cevap D650 şıkkıdır. Bu minimumu veren örnek değerler: a = 30, b = 36 Kontrol: EBOB ( 30, 36 ) = 6 EKOK ( 30, 36 ) = 180

Verilenler:

EBOB(a,b)=6EKOK(a,b)=180

Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntı kullanılır:

ab=EBOB(a,b)·EKOK(a,b)

Buradan:

ab=6·180=1080

EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım:

a=6x,b=6y,EBOB(x,y)=1

Bu durumda EKOK sadeleşir:

EKOK(6x,6y)=6xy

Verilen EKOK ile eşitleyelim:

6xy=180⇒xy=30

Şimdi çarpımı verilen ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini seçeriz:

(x,y)∈{(1,30),(2,15),(3,10),(5,6)}

Toplamları:

x+y∈{31,17,13,11}

En küçük toplam, son çiftten gelir.

İstenen toplam:

a+b=6(x+y)a+b=6·11=66

Dolayısıyla doğru cevap D2740 şıkkıdır.

Bu minimumu veren örnek değerler:

a=30,b=36

Kontrol:

EBOB(30,36)=6EKOK(30,36)=180
10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin tam sayı çözümlerinin sayısı kaçtır?
|x-2|+|x+4|=12

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Denklem: | x - 2 | + | x + 4 | = 12 Mutlak değerlerin içlerinin işaret değiştirdiği noktalar: x = 2 x = - 4 Bu yüzden ekseni şu aralıklara ayıralım: x ≤ - 4 - 4 ≤ x ≤ 2 x ≥ 2 1) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 4 ) = 12 2 x + 2 = 12 2 x = 10 x = 5 Bulduğumuz değer aralığa uygundur. 2) Durum: x ≤ - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = - x - 4 Denkleme yazalım: ( 2 - x ) + ( - x - 4 ) = 12 - 2 x - 2 = 12 - 2 x = 14 x = - 7 Bulduğumuz değer aralığa uygundur. 3) Durum: - 4 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = x + 4 Toplayalım: ( 2 - x ) + ( x + 4 ) = 6 Bu toplam sabit olarak 6 ≠ 12 olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. Tam sayı çözümler: x = - 7 x = 5 Çözüm sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek A798 şıkkıdır.

  1. Çözüm: Denklem: | x - 2 | + | x + 4 | = 12 Mutlak değerlerin içlerinin işaret değiştirdiği noktalar: x = 2 x = - 4 Bu yüzden ekseni şu aralıklara ayıralım: x ≤ - 4 - 4 ≤ x ≤ 2 x ≥ 2 1) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 4 ) = 12 2 x + 2 = 12 2 x = 10 x = 5 Bulduğumuz değer aralığa uygundur. 2) Durum: x ≤ - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = - x - 4 Denkleme yazalım: ( 2 - x ) + ( - x - 4 ) = 12 - 2 x - 2 = 12 - 2 x = 14 x = - 7 Bulduğumuz değer aralığa uygundur. 3) Durum: - 4 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 4 | = x + 4 Toplayalım: ( 2 - x ) + ( x + 4 ) = 6 Bu toplam sabit olarak 6 ≠ 12 olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. Tam sayı çözümler: x = - 7 x = 5 Çözüm sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek A798 şıkkıdır.
Denklem:
|x-2|+|x+4|=12
Mutlak değerlerin içlerinin işaret değiştirdiği noktalar:
x=2
x=-4
Bu yüzden ekseni şu aralıklara ayıralım:
x≤-4
-4≤x≤2
x≥2
1) Durum:
x≥2
Bu aralıkta:
|x-2|=x-2
|x+4|=x+4
Denkleme yazalım:
(x-2)+(x+4)=12
2x+2=12
2x=10
x=5
Bulduğumuz değer aralığa uygundur.
2) Durum:
x≤-4
Bu aralıkta:
|x-2|=2-x
|x+4|=-x-4
Denkleme yazalım:
(2-x)+(-x-4)=12
-2x-2=12
-2x=14
x=-7
Bulduğumuz değer aralığa uygundur.
3) Durum:
-4≤x≤2
Bu aralıkta:
|x-2|=2-x
|x+4|=x+4
Toplayalım:
(2-x)+(x+4)=6
Bu toplam sabit olarak
6≠12
olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur.
Tam sayı çözümler:
x=-7
x=5
Çözüm sayısı:
2
Dolayısıyla doğru seçenek
şıkkıA6230dır.

9. Sınıf Temel Kavramlar Hakkında

Temel kavramlar hangi başlıkları kapsar?

Sayı kümeleri, işlem önceliği, tek-çift sayılar, asal sayılar, bölünebilme ve EBOB-EKOK gibi başlıkları kapsar.

Bu konu neden 9. Sınıf için önemlidir?

Birçok problem, cebir ve sayı sorusunda temel kavram bilgisi doğrudan kullanılır.

Temel kavramlarda nasıl gelişilir?

Kavramları kısa tekrarlarla öğrenip farklı soru tiplerinde uygulamak en etkili yoldur.