9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Doğru cevap: A

Verilen koşullar: a + $b = 1$a 3 + b 3 = - 11 Küp toplamı özdeşliğini kullanalım: a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 - 3 a b ( a + b ) Verilen değeri yerine yazalım: - 11 = ( 1 ) 3 - 3 a b ( 1 ) Basitleştirelim: - $11 = 1$ - 3 a b Çarpımı bulmak için düzenleyelim: - 12 = - 3 a b a $b = 4$Sonuç A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşullar: a + $b = 1$a 3 + b 3 = - 11 Küp toplamı özdeşliğini kullanalım: a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 - 3 a b ( a + b ) Verilen değeri yerine yazalım: - 11 = ( 1 ) 3 - 3 a b ( 1 ) Basitleştirelim: - $11 = 1$ - 3 a b Çarpımı bulmak için düzenleyelim: - 12 = - 3 a b a $b = 4$Sonuç A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilenler: OBEB ( a, b ) = 1 a + b çifttir Bir toplamın çift olması için iki sayının aynı parity (ikisi de çift ya da ikisi de tek) olması gerekir. Bunu mod 2 ile ifade edelim: a + b ≡ 0 ( mod 2 ) Bu durumda iki olasılık vardır: ikisi de çift veya ikisi de tek. Ancak ikisi de çift olamaz; çünkü ikisi de çift olsaydı ortak bölenleri en az 2 olurdu ve aralarında asal olma koşuluna ters düşerdi: Eğer a ve b çift olsaydı OBEB ( a, b ) ≥ 2 O hâlde zorunlu olarak ikisi de tektir: a tektir ve b tektir Tek sayıların çarpımı da tektir. Dolayısıyla: a ⁢ b tektir Sonuç: Doğru seçenek kesinlikle B ’dır.

1. Çözüm: Verilenler: OBEB ( a, b ) = 1 a + b çifttir Bir toplamın çift olması için iki sayının aynı parity (ikisi de çift ya da ikisi de tek) olması gerekir. Bunu mod 2 ile ifade edelim: a + b ≡ 0 ( mod 2 ) Bu durumda iki olasılık vardır: ikisi de çift veya ikisi de tek. Ancak ikisi de çift olamaz; çünkü ikisi de çift olsaydı ortak bölenleri en az 2 olurdu ve aralarında asal olma koşuluna ters düşerdi: Eğer a ve b çift olsaydı OBEB ( a, b ) ≥ 2 O hâlde zorunlu olarak ikisi de tektir: a tektir ve b tektir Tek sayıların çarpımı da tektir. Dolayısıyla: a ⁢ b tektir Sonuç: Doğru seçenek kesinlikle B ’dır.

Doğru cevap: C

Koşul, ifadenin 7 ile tam bölünmesi demektir; bunu modüler eşitlik olarak yazarız: 7 ∣ ( n 2 + n + 1 ) ⇔ n 2 + n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) Şimdi n ’in 7 ile bölümünden kalanı r olsun. O hâlde yalnızca şu kalıntıları denememiz yeterlidir: n ≡ r ( mod 7 ), r ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Her kalıntı için r değerini yerine yazıp 7 ’ye göre sonucu hesaplayalım: r r 2 + r + 1 ( mod 7 ) 0 1 1 3 2 0 3 6 4 0 5 3 6 1 Tabloda sonucun 0 çıktığı kalıntılar, koşulu sağlayan kalıntılardır: r ∈ { 2, 4 } İstenen, bu kalıntıların toplamıdır: $2 + 4 = 6$ Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek C548 ’dır.

1. Çözüm: Koşul, ifadenin 7 ile tam bölünmesi demektir; bunu modüler eşitlik olarak yazarız: 7 ∣ ( n 2 + n + 1 ) ⇔ n 2 + n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) Şimdi n ’in 7 ile bölümünden kalanı r olsun. O hâlde yalnızca şu kalıntıları denememiz yeterlidir: n ≡ r ( mod 7 ), r ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Her kalıntı için r değerini yerine yazıp 7 ’ye göre sonucu hesaplayalım: r r 2 + r + 1 ( mod 7 ) 0 1 1 3 2 0 3 6 4 0 5 3 6 1 Tabloda sonucun 0 çıktığı kalıntılar, koşulu sağlayan kalıntılardır: r ∈ { 2, 4 } İstenen, bu kalıntıların toplamıdır: $2 + 4 = 6$ Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek C548 ’dır.

Doğru cevap: D

Eşitsizliği inceleyelim: 2 n − 3 < n + 4 Mutlak değerler her zaman negatif olmadığı için, iki tarafın karesini alarak eşdeğer bir eşitsizlik yazabiliriz: 2 n − 3 2 < n + 4 2 Açalım: 2 n − 3 2 = 4 n 2 − 12 n + 9 n + 4 2 = n 2 + 8 n + 16 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 4 n 2 − 12 n + 9 < n 2 + 8 n + 16 3 n 2 − 20 n − 7 < 0 İkinci dereceden ifadenin köklerini bulalım: 3 n 2 − 20 n − 7 = 0 n = 20 ± 20 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ − 7 2 ⋅ 3 n = 20 ± 400 + 84 6 = 20 ± 484 6 = 20 ± 22 6 n = 7 ve n = − 1 3 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm aralığı: − 1 3 < n < 7 Tam sayı değerleri: n ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Toplam farklı tam sayı sayısı: 7 Bu da şıklarda seçeneğiD912dir. (B doğru.)

1. Çözüm: Eşitsizliği inceleyelim: 2 n − 3 < n + 4 Mutlak değerler her zaman negatif olmadığı için, iki tarafın karesini alarak eşdeğer bir eşitsizlik yazabiliriz: 2 n − 3 2 < n + 4 2 Açalım: 2 n − 3 2 = 4 n 2 − 12 n + 9 n + 4 2 = n 2 + 8 n + 16 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 4 n 2 − 12 n + 9 < n 2 + 8 n + 16 3 n 2 − 20 n − 7 < 0 İkinci dereceden ifadenin köklerini bulalım: 3 n 2 − 20 n − 7 = 0 n = 20 ± 20 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ − 7 2 ⋅ 3 n = 20 ± 400 + 84 6 = 20 ± 484 6 = 20 ± 22 6 n = 7 ve n = − 1 3 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm aralığı: − 1 3 < n < 7 Tam sayı değerleri: n ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Toplam farklı tam sayı sayısı: 7 Bu da şıklarda seçeneğiD912dir. (B doğru.)

Doğru cevap: A

Soruda verilen koşullardan çarpım bağıntısını kullanalım: a ⋅ $b = EBOB$( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) a ⋅ $b = 12$⋅ $180 = 2160$ EBOB değeri verilmişse sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım: $a = 12$x, $b = 12$y Burada ortak bölenin tam olarak 12 kalması için şu koşul gerekir: EBOB ( x, y ) = 1 Bu yazıma göre EKOK ifadesini kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 ⋅ EKOK ( x, y ) ve önceki adımda sayılar aralarında asal olduğundan: EKOK ( x, y ) = x ⋅ y Dolayısıyla: $180 = 12$ ⋅ x ⋅ y x ⋅ $y = 15$Şimdi hem çarpımı 15 olan hem de aralarında asal olan pozitif tam sayı ikililerini bulalım. 15’in çarpan çiftleri: x ⋅ $y = 15$( x, y ) ∈ { ( 1, 15 ), ( 3, 5 ), ( 5, 3 ), ( 15, 1 ) } Bu çiftlerin hepsi aralarında asaldır, şimdi a$a = 12$x, $b = 12$y Bu nedenle: a < b ⇔ x < y Bu koşulu sağlayanlar: ( x, y ) = ( 1, 15 ), ( 3, 5 ) Bu iki durum için (a,b) çiftlerini yazalım: ( x, y ) = ( 1, 15 ) ⇒ ( a, b ) = ( 12, 180 ) ( x, y ) = ( 3, 5 ) ⇒ ( a, b ) = ( 36, 60 ) Toplam uygun çift sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek A1113 ’dir; verilen cevap B doğru.

1. Çözüm: Soruda verilen koşullardan çarpım bağıntısını kullanalım: a ⋅ $b = EBOB$( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) a ⋅ $b = 12$⋅ $180 = 2160$ EBOB değeri verilmişse sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım: $a = 12$x, $b = 12$y Burada ortak bölenin tam olarak 12 kalması için şu koşul gerekir: EBOB ( x, y ) = 1 Bu yazıma göre EKOK ifadesini kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 ⋅ EKOK ( x, y ) ve önceki adımda sayılar aralarında asal olduğundan: EKOK ( x, y ) = x ⋅ y Dolayısıyla: $180 = 12$ ⋅ x ⋅ y x ⋅ $y = 15$Şimdi hem çarpımı 15 olan hem de aralarında asal olan pozitif tam sayı ikililerini bulalım. 15’in çarpan çiftleri: x ⋅ $y = 15$( x, y ) ∈ { ( 1, 15 ), ( 3, 5 ), ( 5, 3 ), ( 15, 1 ) } Bu çiftlerin hepsi aralarında asaldır, şimdi a$a = 12$x, $b = 12$y Bu nedenle: a < b ⇔ x < y Bu koşulu sağlayanlar: ( x, y ) = ( 1, 15 ), ( 3, 5 ) Bu iki durum için (a,b) çiftlerini yazalım: ( x, y ) = ( 1, 15 ) ⇒ ( a, b ) = ( 12, 180 ) ( x, y ) = ( 3, 5 ) ⇒ ( a, b ) = ( 36, 60 ) Toplam uygun çift sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek A1113 ’dir; verilen cevap B doğru.

Doğru cevap: B

Her zaman sağlanan eşitsizliği bulmak için her şıktaki ikinci dereceden ifadenin tüm gerçek sayılar için işaretini inceleriz. şıkkıB126 için: x 2 − x + 1 ≥ 0 Diskriminantı hesaplayalım: Δ = ( − 1 ) 2 − 4 · 1 · $1 = 1$ − 4 = − 3 Diskriminant negatif olduğu için bu parabol gerçek kök içermez ve katsayısı pozitif olduğundan her yerde pozitiftir. Bunu kareye tamamlama ile de görebiliriz: x 2 − x + 1 = ( x − 1 2 ) 2 + 3 4 Buradan her zaman: ( x − 1 2 ) 2 ≥ 0 olduğu için toplam da her zaman sıfırdan büyüktür: x 2 − x + 1 ≥ 3 4 > 0 Diğer şıkları kısaca kontrol edelim (her zaman doğru olmadıklarını göstermek yeterli): B şıkkı: x 2 − x − 1 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 0 − 1 = − 1 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. C şıkkı: x 2 + x + 1 ≤ 0 Örneğin: 0 $2 + 0 + 1 = 1$ ≤ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. D şıkkı: x 2 − 4 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 4 = − 4 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. Sonuç: Doğru cevap gerçekten şıkkıB939dır.

1. Çözüm: Her zaman sağlanan eşitsizliği bulmak için her şıktaki ikinci dereceden ifadenin tüm gerçek sayılar için işaretini inceleriz. şıkkıB126 için: x 2 − x + 1 ≥ 0 Diskriminantı hesaplayalım: Δ = ( − 1 ) 2 − 4 · 1 · $1 = 1$ − 4 = − 3 Diskriminant negatif olduğu için bu parabol gerçek kök içermez ve katsayısı pozitif olduğundan her yerde pozitiftir. Bunu kareye tamamlama ile de görebiliriz: x 2 − x + 1 = ( x − 1 2 ) 2 + 3 4 Buradan her zaman: ( x − 1 2 ) 2 ≥ 0 olduğu için toplam da her zaman sıfırdan büyüktür: x 2 − x + 1 ≥ 3 4 > 0 Diğer şıkları kısaca kontrol edelim (her zaman doğru olmadıklarını göstermek yeterli): B şıkkı: x 2 − x − 1 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 0 − 1 = − 1 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. C şıkkı: x 2 + x + 1 ≤ 0 Örneğin: 0 $2 + 0 + 1 = 1$ ≤ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. D şıkkı: x 2 − 4 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 4 = − 4 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. Sonuç: Doğru cevap gerçekten şıkkıB939dır.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek C ’dir. Pozitif tam sayı için x ∈ Z + Aşağıdaki ortak böleni tanımlayalım: $d = EBOB$3 x + 5 5 x + 3 EBOB, bu iki sayının her tamsayı doğrusal birleşimini de böler. Şu birleşimi alalım: 5 ( 3 x + 5 ) − 3 ( 5 x + 3 ) = 16 Buradan d ∣ 16 olur. Dolayısıyla EBOB’un alabileceği en büyük değer d ≤ 16 olmak zorundadır. Şimdi bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim. Her ikisinin de 16’nın katı olmasını isteyelim: 3 x + 5 ≡ 0   ( mod   16 ) Buradan 3 x ≡ 11   ( mod   16 ) 16’ya göre 3’ün tersi 11’dir çünkü 3 · $11 = 33$ ≡ 1   ( mod   16 ) O hâlde x ≡ 11 · $11 = 121$ ≡ 9   ( mod   16 ) Örneğin $x = 9$alalım. Bu durumda 3 x + $5 = 3$ · $9 + 5 = 32$ 5 x + $3 = 5$ · $9 + 3 = 48$ Dolayısıyla EBOB 32 $48 = 16$ Üst sınır sağlandığı için ifade en büyük 16 değerini alır.

1. Çözüm: Doğru seçenek C ’dir. Pozitif tam sayı için x ∈ Z + Aşağıdaki ortak böleni tanımlayalım: $d = EBOB$3 x + 5 5 x + 3 EBOB, bu iki sayının her tamsayı doğrusal birleşimini de böler. Şu birleşimi alalım: 5 ( 3 x + 5 ) − 3 ( 5 x + 3 ) = 16 Buradan d ∣ 16 olur. Dolayısıyla EBOB’un alabileceği en büyük değer d ≤ 16 olmak zorundadır. Şimdi bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim. Her ikisinin de 16’nın katı olmasını isteyelim: 3 x + 5 ≡ 0   ( mod   16 ) Buradan 3 x ≡ 11   ( mod   16 ) 16’ya göre 3’ün tersi 11’dir çünkü 3 · $11 = 33$ ≡ 1   ( mod   16 ) O hâlde x ≡ 11 · $11 = 121$ ≡ 9   ( mod   16 ) Örneğin $x = 9$alalım. Bu durumda 3 x + $5 = 3$ · $9 + 5 = 32$ 5 x + $3 = 5$ · $9 + 3 = 48$ Dolayısıyla EBOB 32 $48 = 16$ Üst sınır sağlandığı için ifade en büyük 16 değerini alır.

Doğru cevap: D

Önce mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 4 = 0  ⇒  x = - 4 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x < - 4,   - 4 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1) Durum: x < -4 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden işaret değiştirir: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = - x + 4 Denkleme yazalım: - 2 x - 3 + - x + 4 = 13 Düzenleyelim: - 2 x + 3 + - x - 4 = 13 - 3 x - 1 = 13 - 3 x = 14  ⇒  x = - 14 3 Bulduğumuz değer bu aralığı sağlar: - 14 3 < - 4 2) Durum: -4 ≤ x < 3/2 Bu aralıkta 2x-3 < 0, x+4 ≥ 0 olur: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: - 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: - x + 7 = 13  ⇒  x = - 6 Ancak bu değer aralığa uymaz: - 6 < - 4 Bu nedenle x = -6 bu durumda çözüm değildir. 3) Durum: x ≥ 3/2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: | 2 x - 3 | = 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: 3 x + 1 = 13  ⇒  3 x = 12  ⇒  x = 4 Sonuç olarak çözüm kümesi: { - 14 3, 4 } Dolayısıyla doğru seçenek: D1137

1. Çözüm: Önce mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 4 = 0  ⇒  x = - 4 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x < - 4,   - 4 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1) Durum: x < -4 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden işaret değiştirir: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = - x + 4 Denkleme yazalım: - 2 x - 3 + - x + 4 = 13 Düzenleyelim: - 2 x + 3 + - x - 4 = 13 - 3 x - 1 = 13 - 3 x = 14  ⇒  x = - 14 3 Bulduğumuz değer bu aralığı sağlar: - 14 3 < - 4 2) Durum: -4 ≤ x < 3/2 Bu aralıkta 2x-3 < 0, x+4 ≥ 0 olur: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: - 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: - x + 7 = 13  ⇒  x = - 6 Ancak bu değer aralığa uymaz: - 6 < - 4 Bu nedenle x = -6 bu durumda çözüm değildir. 3) Durum: x ≥ 3/2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: | 2 x - 3 | = 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: 3 x + 1 = 13  ⇒  3 x = 12  ⇒  x = 4 Sonuç olarak çözüm kümesi: { - 14 3, 4 } Dolayısıyla doğru seçenek: D1137

Doğru cevap: A

Önce tanımları kullanalım: [ x ]: en büyük tam sayı (floor) { x } = x - [ x ] Verilen değeri yazalım: x = - 7 3 1) [ x ] ve { x } hesaplayalım: [ x ] = [ - 7 3 ] = - 3 { x } = x - [ x ] = - 7 3 - ( - 3 ) = 2 3 2) { 2 x } hesaplayalım: 2 $x = 2$· ( - 7 3 ) = - 14 3 [ 2 x ] = [ - 14 3 ] = - 5 { 2 x } = 2 x - [ 2 x ] = - 14 3 - ( - 5 ) = 1 3 3) { 3 x } hesaplayalım: 3 $x = 3$· ( - 7 3 ) = - 7 { 3 x } = 3 x - [ 3 x ] = - 7 - ( - 7 ) = 0 4) İstenen toplam: { x } + { 2 x } + { 3 x } = 2 3 + 1 $3 + 0 = 1$ Sonuç 1 olduğundan doğru seçenek A519 'dir.

1. Çözüm: Önce tanımları kullanalım: [ x ]: en büyük tam sayı (floor) { x } = x - [ x ] Verilen değeri yazalım: x = - 7 3 1) [ x ] ve { x } hesaplayalım: [ x ] = [ - 7 3 ] = - 3 { x } = x - [ x ] = - 7 3 - ( - 3 ) = 2 3 2) { 2 x } hesaplayalım: 2 $x = 2$· ( - 7 3 ) = - 14 3 [ 2 x ] = [ - 14 3 ] = - 5 { 2 x } = 2 x - [ 2 x ] = - 14 3 - ( - 5 ) = 1 3 3) { 3 x } hesaplayalım: 3 $x = 3$· ( - 7 3 ) = - 7 { 3 x } = 3 x - [ 3 x ] = - 7 - ( - 7 ) = 0 4) İstenen toplam: { x } + { 2 x } + { 3 x } = 2 3 + 1 $3 + 0 = 1$ Sonuç 1 olduğundan doğru seçenek A519 'dir.

Doğru cevap: B

Verilen koşullar: a + b + $c = 0$a b + b c + c $a = 1$Birinci eşitliğin karesini alalım: ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + b c + c a ) Verilen değerleri yerine yazalım: 0 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 × 1 Buradan: a 2 + b 2 + c 2 = − 2 Fakat her tam sayı için kareler negatif olamaz; dolayısıyla a 2 ≥ 0 b 2 ≥ 0 c 2 ≥ 0 Bu yüzden a 2 + b 2 + c 2 ≥ 0 ama az önce aynı toplamın − 2 olması gerektiğini bulduk. Çelişki olduğundan koşulları sağlayan tam sayı üçlüsü yoktur. Sonuç (doğru şık): 0 Dolayısıyla verilen cevap A doğrudur.

1. Çözüm: Verilen koşullar: a + b + $c = 0$a b + b c + c $a = 1$Birinci eşitliğin karesini alalım: ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + b c + c a ) Verilen değerleri yerine yazalım: 0 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 × 1 Buradan: a 2 + b 2 + c 2 = − 2 Fakat her tam sayı için kareler negatif olamaz; dolayısıyla a 2 ≥ 0 b 2 ≥ 0 c 2 ≥ 0 Bu yüzden a 2 + b 2 + c 2 ≥ 0 ama az önce aynı toplamın − 2 olması gerektiğini bulduk. Çelişki olduğundan koşulları sağlayan tam sayı üçlüsü yoktur. Sonuç (doğru şık): 0 Dolayısıyla verilen cevap A doğrudur.