Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Temel Kavramlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Temel Kavramlar Testleri

Temel kavramlar, 9. Sınıf matematiğin sayı bilgisi, işlem önceliği, bölünebilme, EBOB-EKOK ve sayı kümeleri gibi başlangıç becerilerini kapsar. Bu testler, matematikte sağlam bir zemin oluşturmak için düzenli tekrar imkanı sunar.

Konuya Nasıl Çalışılmalı?

İşlem önceliği, pozitif-negatif sayılar, tek-çift ve asal sayı bilgisi birçok farklı soruda karşına çıkar. Bu yüzden yalnızca formül ezberlemek yerine kavramların ne anlama geldiğini bilmek gerekir.

9. Sınıf İçin Temel Güçlendirme

Yanlış yapılan sorularda hangi temel kavramın eksik olduğunu belirlemek sonraki konularda da başarıyı artırır. Temel kavramlar, problem ve cebir sorularının altyapısını oluşturur.

Test seç

16 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test7. Test8. Test9. Test10. Test11. Test12. Test13. Test14. Test15. Test16. Test

13. Test

9. Sınıf Matematik Temel Kavramlar Testleri

Temel Kavramlar konusu 13. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

a ve b gerçel sayıları için a+b=1 ve a3+b3=-11 veriliyor.

a·b değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşullar: a + b = 1 a 3 + b 3 = - 11 Küp toplamı özdeşliğini kullanalım: a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 - 3 a b ( a + b ) Verilen değeri yerine yazalım: - 11 = ( 1 ) 3 - 3 a b ( 1 ) Basitleştirelim: - 11 = 1 - 3 a b Çarpımı bulmak için düzenleyelim: - 12 = - 3 a b a b = 4 Sonuç A şıkkıdır.

  1. Çözüm: Verilen koşullar: a + b = 1 a 3 + b 3 = - 11 Küp toplamı özdeşliğini kullanalım: a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 - 3 a b ( a + b ) Verilen değeri yerine yazalım: - 11 = ( 1 ) 3 - 3 a b ( 1 ) Basitleştirelim: - 11 = 1 - 3 a b Çarpımı bulmak için düzenleyelim: - 12 = - 3 a b a b = 4 Sonuç A şıkkıdır.

Verilen koşullar:

a+b=1a3+b3=-11

Küp toplamı özdeşliğini kullanalım:

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

Verilen değeri yerine yazalım:

-11=(1)3-3ab(1)

Basitleştirelim:

-11=1-3ab

Çarpımı bulmak için düzenleyelim:

-12=-3abab=4

Sonuç A şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

a ve b aralarında asal tamsayılar ve a+b çifttir. Buna göre a⁢b için hangisi kesinlikle doğrudur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenler: OBEB ( a, b ) = 1 a + b çifttir Bir toplamın çift olması için iki sayının aynı parity (ikisi de çift ya da ikisi de tek) olması gerekir. Bunu mod 2 ile ifade edelim: a + b ≡ 0 ( mod 2 ) Bu durumda iki olasılık vardır: ikisi de çift veya ikisi de tek. Ancak ikisi de çift olamaz; çünkü ikisi de çift olsaydı ortak bölenleri en az 2 olurdu ve aralarında asal olma koşuluna ters düşerdi: Eğer a ve b çift olsaydı OBEB ( a, b ) ≥ 2 O hâlde zorunlu olarak ikisi de tektir: a tektir ve b tektir Tek sayıların çarpımı da tektir. Dolayısıyla: a ⁢ b tektir Sonuç: Doğru seçenek kesinlikle B ’dır.

  1. Çözüm: Verilenler: OBEB ( a, b ) = 1 a + b çifttir Bir toplamın çift olması için iki sayının aynı parity (ikisi de çift ya da ikisi de tek) olması gerekir. Bunu mod 2 ile ifade edelim: a + b ≡ 0 ( mod 2 ) Bu durumda iki olasılık vardır: ikisi de çift veya ikisi de tek. Ancak ikisi de çift olamaz; çünkü ikisi de çift olsaydı ortak bölenleri en az 2 olurdu ve aralarında asal olma koşuluna ters düşerdi: Eğer a ve b çift olsaydı OBEB ( a, b ) ≥ 2 O hâlde zorunlu olarak ikisi de tektir: a tektir ve b tektir Tek sayıların çarpımı da tektir. Dolayısıyla: a ⁢ b tektir Sonuç: Doğru seçenek kesinlikle B ’dır.

Verilenler:

OBEB(a,b)=1
a+b çifttir

Bir toplamın çift olması için iki sayının aynı parity (ikisi de çift ya da ikisi de tek) olması gerekir. Bunu mod 2 ile ifade edelim:

a+b≡0(mod2)

Bu durumda iki olasılık vardır: ikisi de çift veya ikisi de tek. Ancak ikisi de çift olamaz; çünkü ikisi de çift olsaydı ortak bölenleri en az 2 olurdu ve aralarında asal olma koşuluna ters düşerdi:

Eğer a ve b çift olsaydı OBEB(a,b)≥2

O hâlde zorunlu olarak ikisi de tektir:

a tektir ve b tektir

Tek sayıların çarpımı da tektir. Dolayısıyla:

a⁢b tektir

Sonuç: Doğru seçenek kesinlikle A’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

n tam sayı olmak üzere 7∣(n2+n+1) koşulunu sağlayan n değerlerinin 7 ile bölümünden kalanların toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Koşul, ifadenin 7 ile tam bölünmesi demektir; bunu modüler eşitlik olarak yazarız: 7 ∣ ( n 2 + n + 1 ) ⇔ n 2 + n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) Şimdi n ’in 7 ile bölümünden kalanı r olsun. O hâlde yalnızca şu kalıntıları denememiz yeterlidir: n ≡ r ( mod 7 ), r ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Her kalıntı için r değerini yerine yazıp 7 ’ye göre sonucu hesaplayalım: r r 2 + r + 1 ( mod 7 ) 0 1 1 3 2 0 3 6 4 0 5 3 6 1 Tabloda sonucun 0 çıktığı kalıntılar, koşulu sağlayan kalıntılardır: r ∈ { 2, 4 } İstenen, bu kalıntıların toplamıdır: 2 + 4 = 6 Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek C548 ’dır.

  1. Çözüm: Koşul, ifadenin 7 ile tam bölünmesi demektir; bunu modüler eşitlik olarak yazarız: 7 ∣ ( n 2 + n + 1 ) ⇔ n 2 + n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) Şimdi n ’in 7 ile bölümünden kalanı r olsun. O hâlde yalnızca şu kalıntıları denememiz yeterlidir: n ≡ r ( mod 7 ), r ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Her kalıntı için r değerini yerine yazıp 7 ’ye göre sonucu hesaplayalım: r r 2 + r + 1 ( mod 7 ) 0 1 1 3 2 0 3 6 4 0 5 3 6 1 Tabloda sonucun 0 çıktığı kalıntılar, koşulu sağlayan kalıntılardır: r ∈ { 2, 4 } İstenen, bu kalıntıların toplamıdır: 2 + 4 = 6 Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek C548 ’dır.

Koşul, ifadenin 7 ile tam bölünmesi demektir; bunu modüler eşitlik olarak yazarız:

7∣(n2+n+1)⇔n2+n+1≡0(mod7)

Şimdi n’in 7 ile bölümünden kalanı r olsun. O hâlde yalnızca şu kalıntıları denememiz yeterlidir:

n≡r(mod7),r∈{0,1,2,3,4,5,6}

Her kalıntı için r değerini yerine yazıp 7’ye göre sonucu hesaplayalım:

rr2+r+1(mod7)01132036405361

Tabloda sonucun 0 çıktığı kalıntılar, koşulu sağlayan kalıntılardır:

r∈{2,4}

İstenen, bu kalıntıların toplamıdır:

2+4=6

Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Tam sayı n için

2n−3|<|n+4

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı n değeri vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Eşitsizliği inceleyelim: 2 n − 3 < n + 4 Mutlak değerler her zaman negatif olmadığı için, iki tarafın karesini alarak eşdeğer bir eşitsizlik yazabiliriz: 2 n − 3 2 < n + 4 2 Açalım: 2 n − 3 2 = 4 n 2 − 12 n + 9 n + 4 2 = n 2 + 8 n + 16 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 4 n 2 − 12 n + 9 < n 2 + 8 n + 16 3 n 2 − 20 n − 7 < 0 İkinci dereceden ifadenin köklerini bulalım: 3 n 2 − 20 n − 7 = 0 n = 20 ± 20 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ − 7 2 ⋅ 3 n = 20 ± 400 + 84 6 = 20 ± 484 6 = 20 ± 22 6 n = 7 ve n = − 1 3 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm aralığı: − 1 3 < n < 7 Tam sayı değerleri: n ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Toplam farklı tam sayı sayısı: 7 Bu da şıklarda seçeneğiD912dir. (B doğru.)

  1. Çözüm: Eşitsizliği inceleyelim: 2 n − 3 < n + 4 Mutlak değerler her zaman negatif olmadığı için, iki tarafın karesini alarak eşdeğer bir eşitsizlik yazabiliriz: 2 n − 3 2 < n + 4 2 Açalım: 2 n − 3 2 = 4 n 2 − 12 n + 9 n + 4 2 = n 2 + 8 n + 16 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 4 n 2 − 12 n + 9 < n 2 + 8 n + 16 3 n 2 − 20 n − 7 < 0 İkinci dereceden ifadenin köklerini bulalım: 3 n 2 − 20 n − 7 = 0 n = 20 ± 20 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ − 7 2 ⋅ 3 n = 20 ± 400 + 84 6 = 20 ± 484 6 = 20 ± 22 6 n = 7 ve n = − 1 3 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm aralığı: − 1 3 < n < 7 Tam sayı değerleri: n ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Toplam farklı tam sayı sayısı: 7 Bu da şıklarda seçeneğiD912dir. (B doğru.)

Eşitsizliği inceleyelim:

2n−3<n+4

Mutlak değerler her zaman negatif olmadığı için, iki tarafın karesini alarak eşdeğer bir eşitsizlik yazabiliriz:

2n−32<n+42

Açalım:

2n−32=4n2−12n+9n+42=n2+8n+16

Eşitsizliği tek tarafa toplayalım:

4n2−12n+9<n2+8n+163n2−20n−7<0

İkinci dereceden ifadenin köklerini bulalım:

3n2−20n−7=0n=20±202−4⋅3⋅−72⋅3n=20±400+846=20±4846=20±226n=7ven=−13

Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir. Bu yüzden çözüm aralığı:

−13<n<7

Tam sayı değerleri:

n∈0,1,2,3,4,5,6

Toplam farklı tam sayı sayısı:

7

Bu da şıklarda B seçeneğidir. (B doğru.)

5. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar a ve b için

EBOB(a,b)=12

EKOK(a,b)=180

olduğuna göre a<b koşulunu sağlayan kaç farklı (a,b) çifti vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Soruda verilen koşullardan çarpım bağıntısını kullanalım: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) a ⋅ b = 12 ⋅ 180 = 2160 EBOB değeri verilmişse sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım: a = 12 x, b = 12 y Burada ortak bölenin tam olarak 12 kalması için şu koşul gerekir: EBOB ( x, y ) = 1 Bu yazıma göre EKOK ifadesini kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 ⋅ EKOK ( x, y ) ve önceki adımda sayılar aralarında asal olduğundan: EKOK ( x, y ) = x ⋅ y Dolayısıyla: 180 = 12 ⋅ x ⋅ y x ⋅ y = 15 Şimdi hem çarpımı 15 olan hem de aralarında asal olan pozitif tam sayı ikililerini bulalım. 15’in çarpan çiftleri: x ⋅ y = 15 ( x, y ) ∈ { ( 1, 15 ), ( 3, 5 ), ( 5, 3 ), ( 15, 1 ) } Bu çiftlerin hepsi aralarında asaldır, şimdi a

  1. Çözüm: Soruda verilen koşullardan çarpım bağıntısını kullanalım: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) a ⋅ b = 12 ⋅ 180 = 2160 EBOB değeri verilmişse sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım: a = 12 x, b = 12 y Burada ortak bölenin tam olarak 12 kalması için şu koşul gerekir: EBOB ( x, y ) = 1 Bu yazıma göre EKOK ifadesini kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 ⋅ EKOK ( x, y ) ve önceki adımda sayılar aralarında asal olduğundan: EKOK ( x, y ) = x ⋅ y Dolayısıyla: 180 = 12 ⋅ x ⋅ y x ⋅ y = 15 Şimdi hem çarpımı 15 olan hem de aralarında asal olan pozitif tam sayı ikililerini bulalım. 15’in çarpan çiftleri: x ⋅ y = 15 ( x, y ) ∈ { ( 1, 15 ), ( 3, 5 ), ( 5, 3 ), ( 15, 1 ) } Bu çiftlerin hepsi aralarında asaldır, şimdi a

Soruda verilen koşullardan çarpım bağıntısını kullanalım:

a⋅b=EBOB(a,b)⋅EKOK(a,b)a⋅b=12⋅180=2160

EBOB değeri verilmişse sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım:

a=12x,b=12y

Burada ortak bölenin tam olarak 12 kalması için şu koşul gerekir:

EBOB(x,y)=1

Bu yazıma göre EKOK ifadesini kullanalım:

EKOK(a,b)=12⋅EKOK(x,y)

ve önceki adımda sayılar aralarında asal olduğundan:

EKOK(x,y)=x⋅y

Dolayısıyla:

180=12⋅x⋅yx⋅y=15

Şimdi hem çarpımı 15 olan hem de aralarında asal olan pozitif tam sayı ikililerini bulalım. 15’in çarpan çiftleri:

x⋅y=15(x,y)∈{(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)}

Bu çiftlerin hepsi aralarında asaldır, şimdi a<b koşulunu uygulayalım. Çünkü:

a=12x,b=12y

Bu nedenle:

a<b⇔x<y

Bu koşulu sağlayanlar:

(x,y)=(1,15),(3,5)

Bu iki durum için (a,b) çiftlerini yazalım:

(x,y)=(1,15)⇒(a,b)=(12,180)(x,y)=(3,5)⇒(a,b)=(36,60)

Toplam uygun çift sayısı:

2

Dolayısıyla doğru seçenek B’dir; verilen cevap B doğru.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi x∈ℝ için her zaman sağlanır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Her zaman sağlanan eşitsizliği bulmak için her şıktaki ikinci dereceden ifadenin tüm gerçek sayılar için işaretini inceleriz. şıkkıB126 için: x 2 − x + 1 ≥ 0 Diskriminantı hesaplayalım: Δ = ( − 1 ) 2 − 4 · 1 · 1 = 1 − 4 = − 3 Diskriminant negatif olduğu için bu parabol gerçek kök içermez ve katsayısı pozitif olduğundan her yerde pozitiftir. Bunu kareye tamamlama ile de görebiliriz: x 2 − x + 1 = ( x − 1 2 ) 2 + 3 4 Buradan her zaman: ( x − 1 2 ) 2 ≥ 0 olduğu için toplam da her zaman sıfırdan büyüktür: x 2 − x + 1 ≥ 3 4 > 0 Diğer şıkları kısaca kontrol edelim (her zaman doğru olmadıklarını göstermek yeterli): B şıkkı: x 2 − x − 1 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 0 − 1 = − 1 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. C şıkkı: x 2 + x + 1 ≤ 0 Örneğin: 0 2 + 0 + 1 = 1 ≤ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. D şıkkı: x 2 − 4 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 4 = − 4 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. Sonuç: Doğru cevap gerçekten şıkkıB939dır.

  1. Çözüm: Her zaman sağlanan eşitsizliği bulmak için her şıktaki ikinci dereceden ifadenin tüm gerçek sayılar için işaretini inceleriz. şıkkıB126 için: x 2 − x + 1 ≥ 0 Diskriminantı hesaplayalım: Δ = ( − 1 ) 2 − 4 · 1 · 1 = 1 − 4 = − 3 Diskriminant negatif olduğu için bu parabol gerçek kök içermez ve katsayısı pozitif olduğundan her yerde pozitiftir. Bunu kareye tamamlama ile de görebiliriz: x 2 − x + 1 = ( x − 1 2 ) 2 + 3 4 Buradan her zaman: ( x − 1 2 ) 2 ≥ 0 olduğu için toplam da her zaman sıfırdan büyüktür: x 2 − x + 1 ≥ 3 4 > 0 Diğer şıkları kısaca kontrol edelim (her zaman doğru olmadıklarını göstermek yeterli): B şıkkı: x 2 − x − 1 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 0 − 1 = − 1 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. C şıkkı: x 2 + x + 1 ≤ 0 Örneğin: 0 2 + 0 + 1 = 1 ≤ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. D şıkkı: x 2 − 4 ≥ 0 Örneğin: 0 2 − 4 = − 4 ≥ 0 yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz. Sonuç: Doğru cevap gerçekten şıkkıB939dır.

Her zaman sağlanan eşitsizliği bulmak için her şıktaki ikinci dereceden ifadenin tüm gerçek sayılar için işaretini inceleriz.

şıkkıB325 için:

x2−x+1≥0

Diskriminantı hesaplayalım:

Δ=(−1)2−4·1·1=1−4=−3

Diskriminant negatif olduğu için bu parabol gerçek kök içermez ve katsayısı pozitif olduğundan her yerde pozitiftir. Bunu kareye tamamlama ile de görebiliriz:

x2−x+1=(x−12)2+34

Buradan her zaman:

(x−12)2≥0

olduğu için toplam da her zaman sıfırdan büyüktür:

x2−x+1≥34>0

Diğer şıkları kısaca kontrol edelim (her zaman doğru olmadıklarını göstermek yeterli):

B şıkkı:

x2−x−1≥0

Örneğin:

02−0−1=−1≥0

yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz.

C şıkkı:

x2+x+1≤0

Örneğin:

02+0+1=1≤0

yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz.

D şıkkı:

x2−4≥0

Örneğin:

02−4=−4≥0

yanlış olur, dolayısıyla her zaman sağlanmaz.

Sonuç: Doğru cevap gerçekten şıkkıB3969dır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

x∈Z+ olmak üzere, EBOB3x+55x+3 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek C ’dir. Pozitif tam sayı için x ∈ Z + Aşağıdaki ortak böleni tanımlayalım: d = EBOB 3 x + 5 5 x + 3 EBOB, bu iki sayının her tamsayı doğrusal birleşimini de böler. Şu birleşimi alalım: 5 ( 3 x + 5 ) − 3 ( 5 x + 3 ) = 16 Buradan d ∣ 16 olur. Dolayısıyla EBOB’un alabileceği en büyük değer d ≤ 16 olmak zorundadır. Şimdi bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim. Her ikisinin de 16’nın katı olmasını isteyelim: 3 x + 5 ≡ 0   ( mod   16 ) Buradan 3 x ≡ 11   ( mod   16 ) 16’ya göre 3’ün tersi 11’dir çünkü 3 · 11 = 33 ≡ 1   ( mod   16 ) O hâlde x ≡ 11 · 11 = 121 ≡ 9   ( mod   16 ) Örneğin x = 9 alalım. Bu durumda 3 x + 5 = 3 · 9 + 5 = 32 5 x + 3 = 5 · 9 + 3 = 48 Dolayısıyla EBOB 32 48 = 16 Üst sınır sağlandığı için ifade en büyük 16 değerini alır.

  1. Çözüm: Doğru seçenek C ’dir. Pozitif tam sayı için x ∈ Z + Aşağıdaki ortak böleni tanımlayalım: d = EBOB 3 x + 5 5 x + 3 EBOB, bu iki sayının her tamsayı doğrusal birleşimini de böler. Şu birleşimi alalım: 5 ( 3 x + 5 ) − 3 ( 5 x + 3 ) = 16 Buradan d ∣ 16 olur. Dolayısıyla EBOB’un alabileceği en büyük değer d ≤ 16 olmak zorundadır. Şimdi bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim. Her ikisinin de 16’nın katı olmasını isteyelim: 3 x + 5 ≡ 0   ( mod   16 ) Buradan 3 x ≡ 11   ( mod   16 ) 16’ya göre 3’ün tersi 11’dir çünkü 3 · 11 = 33 ≡ 1   ( mod   16 ) O hâlde x ≡ 11 · 11 = 121 ≡ 9   ( mod   16 ) Örneğin x = 9 alalım. Bu durumda 3 x + 5 = 3 · 9 + 5 = 32 5 x + 3 = 5 · 9 + 3 = 48 Dolayısıyla EBOB 32 48 = 16 Üst sınır sağlandığı için ifade en büyük 16 değerini alır.

Doğru seçenek C’dir.

Pozitif tam sayı için

x∈Z+

Aşağıdaki ortak böleni tanımlayalım:

d=EBOB3x+55x+3

EBOB, bu iki sayının her tamsayı doğrusal birleşimini de böler. Şu birleşimi alalım:

5(3x+5)−3(5x+3)=16

Buradan

d∣16

olur. Dolayısıyla EBOB’un alabileceği en büyük değer

d≤16

olmak zorundadır.

Şimdi bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim. Her ikisinin de 16’nın katı olmasını isteyelim:

3x+5≡0  (mod 16)

Buradan

3x≡11  (mod 16)

16’ya göre 3’ün tersi 11’dir çünkü

3·11=33≡1  (mod 16)

O hâlde

x≡11·11=121≡9  (mod 16)

Örneğin

x=9

alalım. Bu durumda

3x+5=3·9+5=32
5x+3=5·9+3=48

Dolayısıyla

EBOB3248=16

Üst sınır sağlandığı için ifade en büyük

16

değerini alır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemde x gerçek sayıdır. Çözüm kümesi hangisidir?
|2x-3|+|x+4|=13

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 4 = 0  ⇒  x = - 4 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x < - 4,   - 4 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1) Durum: x < -4 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden işaret değiştirir: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = - x + 4 Denkleme yazalım: - 2 x - 3 + - x + 4 = 13 Düzenleyelim: - 2 x + 3 + - x - 4 = 13 - 3 x - 1 = 13 - 3 x = 14  ⇒  x = - 14 3 Bulduğumuz değer bu aralığı sağlar: - 14 3 < - 4 2) Durum: -4 ≤ x < 3/2 Bu aralıkta 2x-3 < 0, x+4 ≥ 0 olur: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: - 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: - x + 7 = 13  ⇒  x = - 6 Ancak bu değer aralığa uymaz: - 6 < - 4 Bu nedenle x = -6 bu durumda çözüm değildir. 3) Durum: x ≥ 3/2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: | 2 x - 3 | = 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: 3 x + 1 = 13  ⇒  3 x = 12  ⇒  x = 4 Sonuç olarak çözüm kümesi: { - 14 3, 4 } Dolayısıyla doğru seçenek: D1137

  1. Çözüm: Önce mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 4 = 0  ⇒  x = - 4 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x < - 4,   - 4 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1) Durum: x < -4 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden işaret değiştirir: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = - x + 4 Denkleme yazalım: - 2 x - 3 + - x + 4 = 13 Düzenleyelim: - 2 x + 3 + - x - 4 = 13 - 3 x - 1 = 13 - 3 x = 14  ⇒  x = - 14 3 Bulduğumuz değer bu aralığı sağlar: - 14 3 < - 4 2) Durum: -4 ≤ x < 3/2 Bu aralıkta 2x-3 < 0, x+4 ≥ 0 olur: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: - 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: - x + 7 = 13  ⇒  x = - 6 Ancak bu değer aralığa uymaz: - 6 < - 4 Bu nedenle x = -6 bu durumda çözüm değildir. 3) Durum: x ≥ 3/2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: | 2 x - 3 | = 2 x - 3,   | x + 4 | = x + 4 Denklem: 2 x - 3 + x + 4 = 13 Düzenleyelim: 3 x + 1 = 13  ⇒  3 x = 12  ⇒  x = 4 Sonuç olarak çözüm kümesi: { - 14 3, 4 } Dolayısıyla doğru seçenek: D1137

Önce mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan noktaları bulalım:

2x-3=0 ⇒ x=32

x+4=0 ⇒ x=-4

Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız:

x<-4, -4≤x<32, x≥32

1) Durum:x < -4

Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden işaret değiştirir:

|2x-3|=-2x-3, |x+4|=-x+4

Denkleme yazalım:

-2x-3+-x+4=13

Düzenleyelim:

-2x+3+-x-4=13

-3x-1=13

-3x=14 ⇒ x=-143

Bulduğumuz değer bu aralığı sağlar:

-143<-4

2) Durum:-4 ≤ x < 3/2

Bu aralıkta 2x-3 < 0, x+4 ≥ 0 olur:

|2x-3|=-2x-3, |x+4|=x+4

Denklem:

-2x-3+x+4=13

Düzenleyelim:

-x+7=13 ⇒ x=-6

Ancak bu değer aralığa uymaz:

-6<-4

Bu nedenle x = -6 bu durumda çözüm değildir.

3) Durum:x ≥ 3/2

Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir:

|2x-3|=2x-3, |x+4|=x+4

Denklem:

2x-3+x+4=13

Düzenleyelim:

3x+1=13 ⇒ 3x=12 ⇒ x=4

Sonuç olarak çözüm kümesi:

{-143,4}

Dolayısıyla doğru seçenek: A

9. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçek sayılar için x en büyük tam sayı fonksiyonu ve x=x-x olsun.

x=-73 için x+2x+3x değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce tanımları kullanalım: [ x ]: en büyük tam sayı (floor) { x } = x - [ x ] Verilen değeri yazalım: x = - 7 3 1) [ x ] ve { x } hesaplayalım: [ x ] = [ - 7 3 ] = - 3 { x } = x - [ x ] = - 7 3 - ( - 3 ) = 2 3 2) { 2 x } hesaplayalım: 2 x = 2 · ( - 7 3 ) = - 14 3 [ 2 x ] = [ - 14 3 ] = - 5 { 2 x } = 2 x - [ 2 x ] = - 14 3 - ( - 5 ) = 1 3 3) { 3 x } hesaplayalım: 3 x = 3 · ( - 7 3 ) = - 7 { 3 x } = 3 x - [ 3 x ] = - 7 - ( - 7 ) = 0 4) İstenen toplam: { x } + { 2 x } + { 3 x } = 2 3 + 1 3 + 0 = 1 Sonuç 1 olduğundan doğru seçenek A519 'dir.

  1. Çözüm: Önce tanımları kullanalım: [ x ]: en büyük tam sayı (floor) { x } = x - [ x ] Verilen değeri yazalım: x = - 7 3 1) [ x ] ve { x } hesaplayalım: [ x ] = [ - 7 3 ] = - 3 { x } = x - [ x ] = - 7 3 - ( - 3 ) = 2 3 2) { 2 x } hesaplayalım: 2 x = 2 · ( - 7 3 ) = - 14 3 [ 2 x ] = [ - 14 3 ] = - 5 { 2 x } = 2 x - [ 2 x ] = - 14 3 - ( - 5 ) = 1 3 3) { 3 x } hesaplayalım: 3 x = 3 · ( - 7 3 ) = - 7 { 3 x } = 3 x - [ 3 x ] = - 7 - ( - 7 ) = 0 4) İstenen toplam: { x } + { 2 x } + { 3 x } = 2 3 + 1 3 + 0 = 1 Sonuç 1 olduğundan doğru seçenek A519 'dir.

Önce tanımları kullanalım:

[x]: en büyük tam sayı (floor)

{x}=x-[x]

Verilen değeri yazalım:

x=-73

1) [x] ve {x} hesaplayalım:

[x]=[-73]=-3

{x}=x-[x]=-73-(-3)=23

2) {2x} hesaplayalım:

2x=2·(-73)=-143

[2x]=[-143]=-5

{2x}=2x-[2x]=-143-(-5)=13

3) {3x} hesaplayalım:

3x=3·(-73)=-7

{3x}=3x-[3x]=-7-(-7)=0

4) İstenen toplam:

{x}+{2x}+{3x}=23+13+0=1

Sonuç 1 olduğundan doğru seçenek B'dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Tam sayılar(a,b,c) için

a+b+c=0ab+bc+ca=1

koşulları sağlanıyorsa, bu koşulları sağlayan kaç farklı tam sayı üçlüsü vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşullar: a + b + c = 0 a b + b c + c a = 1 Birinci eşitliğin karesini alalım: ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + b c + c a ) Verilen değerleri yerine yazalım: 0 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 × 1 Buradan: a 2 + b 2 + c 2 = − 2 Fakat her tam sayı için kareler negatif olamaz; dolayısıyla a 2 ≥ 0 b 2 ≥ 0 c 2 ≥ 0 Bu yüzden a 2 + b 2 + c 2 ≥ 0 ama az önce aynı toplamın − 2 olması gerektiğini bulduk. Çelişki olduğundan koşulları sağlayan tam sayı üçlüsü yoktur. Sonuç (doğru şık): 0 Dolayısıyla verilen cevap A doğrudur.

  1. Çözüm: Verilen koşullar: a + b + c = 0 a b + b c + c a = 1 Birinci eşitliğin karesini alalım: ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + b c + c a ) Verilen değerleri yerine yazalım: 0 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 × 1 Buradan: a 2 + b 2 + c 2 = − 2 Fakat her tam sayı için kareler negatif olamaz; dolayısıyla a 2 ≥ 0 b 2 ≥ 0 c 2 ≥ 0 Bu yüzden a 2 + b 2 + c 2 ≥ 0 ama az önce aynı toplamın − 2 olması gerektiğini bulduk. Çelişki olduğundan koşulları sağlayan tam sayı üçlüsü yoktur. Sonuç (doğru şık): 0 Dolayısıyla verilen cevap A doğrudur.

Verilen koşullar:

a+b+c=0ab+bc+ca=1

Birinci eşitliğin karesini alalım:

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

Verilen değerleri yerine yazalım:

02=a2+b2+c2+2×1

Buradan:

a2+b2+c2=−2

Fakat her tam sayı için kareler negatif olamaz; dolayısıyla

a2≥0b2≥0c2≥0

Bu yüzden

a2+b2+c2≥0

ama az önce aynı toplamın

−2

olması gerektiğini bulduk. Çelişki olduğundan koşulları sağlayan tam sayı üçlüsü yoktur.

Sonuç (doğru şık):

0

Dolayısıyla verilen cevap A doğrudur.

9. Sınıf Temel Kavramlar Hakkında

Temel kavramlar hangi başlıkları kapsar?

Sayı kümeleri, işlem önceliği, tek-çift sayılar, asal sayılar, bölünebilme ve EBOB-EKOK gibi başlıkları kapsar.

Bu konu neden 9. Sınıf için önemlidir?

Birçok problem, cebir ve sayı sorusunda temel kavram bilgisi doğrudan kullanılır.

Temel kavramlarda nasıl gelişilir?

Kavramları kısa tekrarlarla öğrenip farklı soru tiplerinde uygulamak en etkili yoldur.