8. Sınıf Matematik Olasılık Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $5$ yeşil, $4$ mavi ve $3$ kırmızı top vardır. Kutudan geri koymadan $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin yeşil olduğu bilindiğine göre, iki topun da yeşil olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce toplam top sayısını bulalım. 5 + 4 + 3 = 12 Geri koymadan iki top çekildiği için, tüm olası ikili seçim sayısı: C ( 12, 2 ) = 12 × 11 2 = 66 İki topun da yeşil olma olasılığı: P ( iki yeşil ) = C ( 5, 2 ) C ( 12, 2 ) = 10 66 = 5 33 “En az birinin yeşil” olayını bulmak için önce yeşil olmayan top sayısını yazalım. 4 + 3 = 7 Hiç yeşil gelmeme olasılığı: P ( hiç yeşil yok ) = C ( 7, 2 ) C ( 12, 2 ) = 21 66 = 7 22 O halde en az birinin yeşil olma olasılığı: P ( en az bir yeşil ) = 1 - 7 22 = 15 22 İstenen koşullu olasılık: P ( iki yeşil | en az bir yeşil ) = P ( iki yeşil ) P ( en az bir yeşil ) = 5 33 15 22 = 5 × 22 33 × 15 = 2 9 Sonuç: 2 9 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap B700’dır.

Çözüm: Önce toplam top sayısını bulalım. 5 + 4 + 3 = 12 Geri koymadan iki top çekildiği için, tüm olası ikili seçim sayısı: C ( 12, 2 ) = 12 × 11 2 = 66 İki topun da yeşil olma olasılığı: P ( iki yeşil ) = C ( 5, 2 ) C ( 12, 2 ) = 10 66 = 5 33 “En az birinin yeşil” olayını bulmak için önce yeşil olmayan top sayısını yazalım. 4 + 3 = 7 Hiç yeşil gelmeme olasılığı: P ( hiç yeşil yok ) = C ( 7, 2 ) C ( 12, 2 ) = 21 66 = 7 22 O halde en az birinin yeşil olma olasılığı: P ( en az bir yeşil ) = 1 - 7 22 = 15 22 İstenen koşullu olasılık: P ( iki yeşil | en az bir yeşil ) = P ( iki yeşil ) P ( en az bir yeşil ) = 5 33 15 22 = 5 × 22 33 × 15 = 2 9 Sonuç: 2 9 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap B700’dır.

Önce toplam top sayısını bulalım.

5 + 4 + 3 = 12

Geri koymadan iki top çekildiği için, tüm olası ikili seçim sayısı:

C (12, 2) = \frac{12 \times 11}{2} = 66

İki topun da yeşil olma olasılığı:

P (iki yeşil) = \frac{C (5, 2)}{C (12, 2)} = \frac{10}{66} = \frac{5}{33}

“En az birinin yeşil” olayını bulmak için önce yeşil olmayan top sayısını yazalım.

4 + 3 = 7

Hiç yeşil gelmeme olasılığı:

P (hiç yeşil yok) = \frac{C (7, 2)}{C (12, 2)} = \frac{21}{66} = \frac{7}{22}

O halde en az birinin yeşil olma olasılığı:

P (en az bir yeşil) = 1 - \frac{7}{22} = \frac{15}{22}

İstenen koşullu olasılık:

P (iki yeşil | en az bir yeşil) = \frac{P (iki yeşil)}{P (en az bir yeşil)} = \frac{\frac{5}{33}}{\frac{15}{22}} = \frac{5 \times 22}{33 \times 15} = \frac{2}{9}

Sonuç:

\frac{2}{9}

Bu değer şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap B2760’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

İki adil zar atılıyor. Zarların üst yüzlerindeki sayıların toplamının $3$ ile tam bölündüğü bilindiğine göre, en az bir zarın $6$ gelme olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Koşul: Zarların toplamı üçe tam bölünüyor. Bunu şu şekilde yazarız: a + b ≡ 0 ( mod 3 ) Her zarı, üçe göre kalanına göre sınıflandıralım: 3, 6 → 0 kalana sahip 1, 4 → 1 kalana sahip 2, 5 → 2 kalana sahip Toplamın üçe tam bölünmesi için kalanlar şu üç durumdan biri olmalıdır: Kalan çiftleri: ( 0, 0 ), ( 1, 2 ), ( 2, 1 ) Her kalan grubunda iki sayı olduğundan, koşulu sağlayan durum sayısı: 2 · 2 + 2 · 2 + 2 · 2 = 12 Şimdi, bu koşul altında en az bir zarın altı gelmesi durumlarını bulalım. Altı sayısı kalan olarak sıfır verir; toplamın da üçe tam bölünmesi için diğer zarın da kalanının sıfır olması gerekir, yani diğer zar üç veya altı olmalıdır. Uygun sıralı ikililer: ( 6, 3 ), ( 3, 6 ), ( 6, 6 ) Buna göre koşul altında istenen olasılık (koşullu olasılık): 3 12 = 1 4 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

Çözüm: Koşul: Zarların toplamı üçe tam bölünüyor. Bunu şu şekilde yazarız: a + b ≡ 0 ( mod 3 ) Her zarı, üçe göre kalanına göre sınıflandıralım: 3, 6 → 0 kalana sahip 1, 4 → 1 kalana sahip 2, 5 → 2 kalana sahip Toplamın üçe tam bölünmesi için kalanlar şu üç durumdan biri olmalıdır: Kalan çiftleri: ( 0, 0 ), ( 1, 2 ), ( 2, 1 ) Her kalan grubunda iki sayı olduğundan, koşulu sağlayan durum sayısı: 2 · 2 + 2 · 2 + 2 · 2 = 12 Şimdi, bu koşul altında en az bir zarın altı gelmesi durumlarını bulalım. Altı sayısı kalan olarak sıfır verir; toplamın da üçe tam bölünmesi için diğer zarın da kalanının sıfır olması gerekir, yani diğer zar üç veya altı olmalıdır. Uygun sıralı ikililer: ( 6, 3 ), ( 3, 6 ), ( 6, 6 ) Buna göre koşul altında istenen olasılık (koşullu olasılık): 3 12 = 1 4 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

Koşul: Zarların toplamı üçe tam bölünüyor. Bunu şu şekilde yazarız:

a + b \equiv 0 (mod 3)

Her zarı, üçe göre kalanına göre sınıflandıralım:

\{3, 6\} \to 0 kalana sahip

\{1, 4\} \to 1 kalana sahip

\{2, 5\} \to 2 kalana sahip

Toplamın üçe tam bölünmesi için kalanlar şu üç durumdan biri olmalıdır:

Kalan çiftleri: (0, 0), (1, 2), (2, 1)

Her kalan grubunda iki sayı olduğundan, koşulu sağlayan durum sayısı:

2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12

Şimdi, bu koşul altında en az bir zarın altı gelmesi durumlarını bulalım. Altı sayısı kalan olarak sıfır verir; toplamın da üçe tam bölünmesi için diğer zarın da kalanının sıfır olması gerekir, yani diğer zar üç veya altı olmalıdır. Uygun sıralı ikililer:

\{(6, 3), (3, 6), (6, 6)\}

Buna göre koşul altında istenen olasılık (koşullu olasılık):

\frac{3}{12} = \frac{1}{4}

Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda sadece kırmızı ve mavi toplar vardır. Geri koymadan ardışık iki top çekiliyor.
İki çekilişte de kırmızı gelme olasılığı $\frac{1}{6}$ , iki çekilişte de mavi gelme olasılığı $\frac{1}{3}$ olduğuna göre, iki çekilişte renklerin farklı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $4$ yeşil ve $3$ sarı top vardır. Torbadan geri koymadan art arda $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin sarı olduğu bilindiğine göre, iki topun da sarı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $3$ kırmızı, $4$ mavi ve $5$ yeşil bilye vardır. Torbadan ardışık olarak $2$ bilye geri koymadan çekiliyor. Çekilen bilyelerden en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce olayları tanımlayalım. A: “İki bilyenin de kırmızı gelmesi”, B: “En az bir bilyenin kırmızı gelmesi”. İstenen olasılık koşullu olasılıktır: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) Toplam bilye sayısı: 3 + 4 + 5 = 12 Geri koymadan iki bilye seçmenin tüm durum sayısı: C ( 12, 2 ) A olayı (iki kırmızı) için uygun durum sayısı: C ( 3, 2 ) Buna göre: P ( A ) = C ( 3, 2 ) C ( 12, 2 ) = 3 66 = 1 22 B olayı (en az bir kırmızı) için tamamlayıcı olayı kullanalım: “hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan bilye sayısı: 4 + 5 = 9 Hiç kırmızı gelmeme olasılığı: P ( B ¯ ) = C ( 9, 2 ) C ( 12, 2 ) = 36 66 O hâlde: P ( B ) = 1 - 36 66 = 30 66 = 5 11 Şimdi koşullu olasılığı hesaplayalım: P ( A | B ) = 1 22 5 11 = 1 22 · 11 5 = 1 10 Bulunan sonuç şıklardan B ile aynıdır. Yani doğru cevap B’dir.

Çözüm: Önce olayları tanımlayalım. A: “İki bilyenin de kırmızı gelmesi”, B: “En az bir bilyenin kırmızı gelmesi”. İstenen olasılık koşullu olasılıktır: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) Toplam bilye sayısı: 3 + 4 + 5 = 12 Geri koymadan iki bilye seçmenin tüm durum sayısı: C ( 12, 2 ) A olayı (iki kırmızı) için uygun durum sayısı: C ( 3, 2 ) Buna göre: P ( A ) = C ( 3, 2 ) C ( 12, 2 ) = 3 66 = 1 22 B olayı (en az bir kırmızı) için tamamlayıcı olayı kullanalım: “hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan bilye sayısı: 4 + 5 = 9 Hiç kırmızı gelmeme olasılığı: P ( B ¯ ) = C ( 9, 2 ) C ( 12, 2 ) = 36 66 O hâlde: P ( B ) = 1 - 36 66 = 30 66 = 5 11 Şimdi koşullu olasılığı hesaplayalım: P ( A | B ) = 1 22 5 11 = 1 22 · 11 5 = 1 10 Bulunan sonuç şıklardan B ile aynıdır. Yani doğru cevap B’dir.

Önce olayları tanımlayalım.

A: “İki bilyenin de kırmızı gelmesi”, B: “En az bir bilyenin kırmızı gelmesi”. İstenen olasılık koşullu olasılıktır:

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)}

Toplam bilye sayısı:

3 + 4 + 5 = 12

Geri koymadan iki bilye seçmenin tüm durum sayısı:

C (12, 2)

A olayı (iki kırmızı) için uygun durum sayısı:

C (3, 2)

Buna göre:

P (A) = \frac{C (3, 2)}{C (12, 2)} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}

B olayı (en az bir kırmızı) için tamamlayıcı olayı kullanalım: “hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan bilye sayısı:

4 + 5 = 9

Hiç kırmızı gelmeme olasılığı:

P (\bar{B}) = \frac{C (9, 2)}{C (12, 2)} = \frac{36}{66}

O hâlde:

P (B) = 1 - \frac{36}{66} = \frac{30}{66} = \frac{5}{11}

Şimdi koşullu olasılığı hesaplayalım:

P (A | B) = \frac{\frac{1}{22}}{\frac{5}{11}} = \frac{1}{22} \cdot \frac{11}{5} = \frac{1}{10}

Bulunan sonuç şıklardan B ile aynıdır. Yani doğru cevap B’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada kırmızı $3$ , mavi $2$ ve yeşil $1$ top vardır.
Torbadan geri koymadan iki top çekiliyor. Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu biliniyorsa, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir çark çevrildiğinde birinci kutunun seçilme olasılığı $\frac{1}{3}$ , ikinci kutunun seçilme olasılığı $\frac{2}{3}$ olsun.
Birinci kutuda $2$ kırmızı, $3$ mavi, $1$ yeşil; ikinci kutuda $4$ kırmızı, $1$ mavi, $1$ yeşil top vardır.
Seçilen kutudan art arda iki top geri koymadan çekiliyor. Çekilen iki topun aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Birinci kutunun seçilme olasılığı ve ikinci kutunun seçilme olasılığı: P ( K 1 ) = 1 3 P ( K 2 ) = 2 3 Toplam olasılık: (aynı renk) olayı, kutuya göre koşullu olasılıklarla hesaplanır. P ( A ) = P ( K 1 ) · P ( A | K 1 ) + P ( K 2 ) · P ( A | K 2 ) Birinci kutuda toplam top sayısı: 2 + 3 + 1 = 6 Birinci kutudan geri koymadan iki top çekilince aynı renk gelme olasılığı: P ( A | K 1 ) = 2 6 · 1 5 + 3 6 · 2 5 + 1 6 · 0 5 P ( A | K 1 ) = 2 30 + 6 30 + 0 = 8 30 = 4 15 İkinci kutuda toplam top sayısı: 4 + 1 + 1 = 6 İkinci kutudan geri koymadan iki top çekilince aynı renk gelme olasılığı: P ( A | K 2 ) = 4 6 · 3 5 + 1 6 · 0 5 + 1 6 · 0 5 P ( A | K 2 ) = 12 30 = 2 5 Şimdi toplam olasılığı hesaplayalım: P ( A ) = 1 3 · 4 15 + 2 3 · 2 5 P ( A ) = 4 45 + 4 15 = 4 45 + 12 45 = 16 45 Bulunan sonuç: 16 45 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D842.

Çözüm: Birinci kutunun seçilme olasılığı ve ikinci kutunun seçilme olasılığı: P ( K 1 ) = 1 3 P ( K 2 ) = 2 3 Toplam olasılık: (aynı renk) olayı, kutuya göre koşullu olasılıklarla hesaplanır. P ( A ) = P ( K 1 ) · P ( A | K 1 ) + P ( K 2 ) · P ( A | K 2 ) Birinci kutuda toplam top sayısı: 2 + 3 + 1 = 6 Birinci kutudan geri koymadan iki top çekilince aynı renk gelme olasılığı: P ( A | K 1 ) = 2 6 · 1 5 + 3 6 · 2 5 + 1 6 · 0 5 P ( A | K 1 ) = 2 30 + 6 30 + 0 = 8 30 = 4 15 İkinci kutuda toplam top sayısı: 4 + 1 + 1 = 6 İkinci kutudan geri koymadan iki top çekilince aynı renk gelme olasılığı: P ( A | K 2 ) = 4 6 · 3 5 + 1 6 · 0 5 + 1 6 · 0 5 P ( A | K 2 ) = 12 30 = 2 5 Şimdi toplam olasılığı hesaplayalım: P ( A ) = 1 3 · 4 15 + 2 3 · 2 5 P ( A ) = 4 45 + 4 15 = 4 45 + 12 45 = 16 45 Bulunan sonuç: 16 45 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D842.

Birinci kutunun seçilme olasılığı ve ikinci kutunun seçilme olasılığı:

\begin{matrix} P (K 1) & = & \frac{1}{3} \\ P (K 2) & = & \frac{2}{3} \end{matrix}

Toplam olasılık: (aynı renk) olayı, kutuya göre koşullu olasılıklarla hesaplanır.

P (A) = P (K 1) \cdot P (A | K 1) + P (K 2) \cdot P (A | K 2)

Birinci kutuda toplam top sayısı:

2 + 3 + 1 = 6

Birinci kutudan geri koymadan iki top çekilince aynı renk gelme olasılığı:

P (A | K 1) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{6} \cdot \frac{0}{5}

P (A | K 1) = \frac{2}{30} + \frac{6}{30} + 0 = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}

İkinci kutuda toplam top sayısı:

4 + 1 + 1 = 6

İkinci kutudan geri koymadan iki top çekilince aynı renk gelme olasılığı:

P (A | K 2) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{6} \cdot \frac{0}{5} + \frac{1}{6} \cdot \frac{0}{5}

P (A | K 2) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}

Şimdi toplam olasılığı hesaplayalım:

P (A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}

P (A) = \frac{4}{45} + \frac{4}{15} = \frac{4}{45} + \frac{12}{45} = \frac{16}{45}

Bulunan sonuç:

\frac{16}{45}

Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap A.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ yeşil top vardır. Torbadan geri konulmadan art arda iki top çekiliyor. İlk çekilen topun yeşil olmadığı bilindiğine göre, ikinci topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Toplam top sayısını bulalım. 5 + 4 + 3 = 12 2) İlk çekilen topun yeşil olmadığı olasılığını bulalım. P ( ilk yeşil değil ) = 9 12 = 3 4 3) “İlk yeşil değil” iken “ikinci mavi” olmasını sağlayan iki durum vardır: (i) ilk kırmızı, sonra mavi; (ii) ilk mavi, sonra mavi. Önce (i) durumunu hesaplayalım. P ( ilk kırmızı ve ikinci mavi ) = 5 12 × 4 11 = 20 132 = 5 33 4) Şimdi (ii) durumunu hesaplayalım. P ( ilk mavi ve ikinci mavi ) = 4 12 × 3 11 = 12 132 = 1 11 5) Bu iki durumu toplayarak “ilk yeşil değil ve ikinci mavi” olasılığını bulalım. P ( ilk yeşil değil ve ikinci mavi ) = 5 33 + 1 11 = 5 33 + 3 33 = 8 33 6) Koşullu olasılık tanımını uygulayalım. P ( ikinci mavi | ilk yeşil değil ) = P ( ilk yeşil değil ve ikinci mavi ) P ( ilk yeşil değil ) 7) Bulduğumuz değerleri yerine koyup sadeleştirelim. P ( ikinci mavi | ilk yeşil değil ) = 8 33 3 4 = 8 33 × 4 3 = 32 99 8) Sonuç şıklardan hangisine eşittir? 32 99 = A Doğru cevap A seçeneğidir.

Çözüm: 1) Toplam top sayısını bulalım. 5 + 4 + 3 = 12 2) İlk çekilen topun yeşil olmadığı olasılığını bulalım. P ( ilk yeşil değil ) = 9 12 = 3 4 3) “İlk yeşil değil” iken “ikinci mavi” olmasını sağlayan iki durum vardır: (i) ilk kırmızı, sonra mavi; (ii) ilk mavi, sonra mavi. Önce (i) durumunu hesaplayalım. P ( ilk kırmızı ve ikinci mavi ) = 5 12 × 4 11 = 20 132 = 5 33 4) Şimdi (ii) durumunu hesaplayalım. P ( ilk mavi ve ikinci mavi ) = 4 12 × 3 11 = 12 132 = 1 11 5) Bu iki durumu toplayarak “ilk yeşil değil ve ikinci mavi” olasılığını bulalım. P ( ilk yeşil değil ve ikinci mavi ) = 5 33 + 1 11 = 5 33 + 3 33 = 8 33 6) Koşullu olasılık tanımını uygulayalım. P ( ikinci mavi | ilk yeşil değil ) = P ( ilk yeşil değil ve ikinci mavi ) P ( ilk yeşil değil ) 7) Bulduğumuz değerleri yerine koyup sadeleştirelim. P ( ikinci mavi | ilk yeşil değil ) = 8 33 3 4 = 8 33 × 4 3 = 32 99 8) Sonuç şıklardan hangisine eşittir? 32 99 = A Doğru cevap A seçeneğidir.

1) Toplam top sayısını bulalım.

5 + 4 + 3 = 12

2) İlk çekilen topun yeşil olmadığı olasılığını bulalım.

P (ilk yeşil değil) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

3) “İlk yeşil değil” iken “ikinci mavi” olmasını sağlayan iki durum vardır: (i) ilk kırmızı, sonra mavi; (ii) ilk mavi, sonra mavi. Önce (i) durumunu hesaplayalım.

P (ilk kırmızı ve ikinci mavi) = \frac{5}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{20}{132} = \frac{5}{33}

4) Şimdi (ii) durumunu hesaplayalım.

P (ilk mavi ve ikinci mavi) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{132} = \frac{1}{11}

5) Bu iki durumu toplayarak “ilk yeşil değil ve ikinci mavi” olasılığını bulalım.

P (ilk yeşil değil ve ikinci mavi) = \frac{5}{33} + \frac{1}{11} = \frac{5}{33} + \frac{3}{33} = \frac{8}{33}

6) Koşullu olasılık tanımını uygulayalım.

P (ikinci mavi | ilk yeşil değil) = \frac{P (ilk yeşil değil ve ikinci mavi)}{P (ilk yeşil değil)}

7) Bulduğumuz değerleri yerine koyup sadeleştirelim.

P (ikinci mavi | ilk yeşil değil) = \frac{\frac{8}{33}}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{33} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{99}

8) Sonuç şıklardan hangisine eşittir?

\frac{32}{99} = A

Doğru cevap A seçeneğidir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil bilye vardır. Torbadan geri koymadan $3$ bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin tam olarak $2$ tanesinin aynı renkte olması olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Amaç: Çekilen bilyelerin tam olarak iki tanesi aynı renkte olsun (üçü de aynı olmasın ve üçü de farklı olmasın). Önce torbadaki toplam bilye sayısını bulalım. 4 + 3 + 2 = 9 Toplam durum sayısı: Torbadan geri koymadan seçilen bilyeler için kombinasyon kullanılır. C ( 9, 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 = 84 İstenen olay: bir renkten iki bilye ve başka bir renkten bir bilye seçilmesi. Bunu renk renk toplayalım. Durum 1: Aynı renk olan ikili kırmızı olsun. Kırmızıdan iki bilye seçilir, üçüncü bilye kırmızı olmayanlardan seçilir. C ( 4, 2 ) · C ( 5, 1 ) = 6 · 5 = 30 Durum 2: Aynı renk olan ikili mavi olsun. Maviden iki bilye seçilir, üçüncü bilye mavi olmayanlardan seçilir. C ( 3, 2 ) · C ( 6, 1 ) = 3 · 6 = 18 Durum 3: Aynı renk olan ikili yeşil olsun. Yeşilden iki bilye seçilir, üçüncü bilye yeşil olmayanlardan seçilir. C ( 2, 2 ) · C ( 7, 1 ) = 1 · 7 = 7 Uygun durumların toplamı: 30 + 18 + 7 = 55 Olasılık = (uygun durum sayısı) / (tüm durum sayısı): 55 84 Sonuç: Bulunan olasılık şıklarla karşılaştırıldığında seçeneğiB1015 ile aynıdır. 55 84

Çözüm: Amaç: Çekilen bilyelerin tam olarak iki tanesi aynı renkte olsun (üçü de aynı olmasın ve üçü de farklı olmasın). Önce torbadaki toplam bilye sayısını bulalım. 4 + 3 + 2 = 9 Toplam durum sayısı: Torbadan geri koymadan seçilen bilyeler için kombinasyon kullanılır. C ( 9, 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 = 84 İstenen olay: bir renkten iki bilye ve başka bir renkten bir bilye seçilmesi. Bunu renk renk toplayalım. Durum 1: Aynı renk olan ikili kırmızı olsun. Kırmızıdan iki bilye seçilir, üçüncü bilye kırmızı olmayanlardan seçilir. C ( 4, 2 ) · C ( 5, 1 ) = 6 · 5 = 30 Durum 2: Aynı renk olan ikili mavi olsun. Maviden iki bilye seçilir, üçüncü bilye mavi olmayanlardan seçilir. C ( 3, 2 ) · C ( 6, 1 ) = 3 · 6 = 18 Durum 3: Aynı renk olan ikili yeşil olsun. Yeşilden iki bilye seçilir, üçüncü bilye yeşil olmayanlardan seçilir. C ( 2, 2 ) · C ( 7, 1 ) = 1 · 7 = 7 Uygun durumların toplamı: 30 + 18 + 7 = 55 Olasılık = (uygun durum sayısı) / (tüm durum sayısı): 55 84 Sonuç: Bulunan olasılık şıklarla karşılaştırıldığında seçeneğiB1015 ile aynıdır. 55 84

Amaç: Çekilen bilyelerin tam olarak iki tanesi aynı renkte olsun (üçü de aynı olmasın ve üçü de farklı olmasın).

Önce torbadaki toplam bilye sayısını bulalım.

4 + 3 + 2 = 9

Toplam durum sayısı: Torbadan geri koymadan seçilen bilyeler için kombinasyon kullanılır.

C (9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84

İstenen olay: bir renkten iki bilye ve başka bir renkten bir bilye seçilmesi. Bunu renk renk toplayalım.

Durum 1: Aynı renk olan ikili kırmızı olsun. Kırmızıdan iki bilye seçilir, üçüncü bilye kırmızı olmayanlardan seçilir.

C (4, 2) \cdot C (5, 1) = 6 \cdot 5 = 30

Durum 2: Aynı renk olan ikili mavi olsun. Maviden iki bilye seçilir, üçüncü bilye mavi olmayanlardan seçilir.

C (3, 2) \cdot C (6, 1) = 3 \cdot 6 = 18

Durum 3: Aynı renk olan ikili yeşil olsun. Yeşilden iki bilye seçilir, üçüncü bilye yeşil olmayanlardan seçilir.

C (2, 2) \cdot C (7, 1) = 1 \cdot 7 = 7

Uygun durumların toplamı:

30 + 18 + 7 = 55

Olasılık = (uygun durum sayısı) / (tüm durum sayısı):

\frac{55}{84}

Sonuç: Bulunan olasılık şıklarla karşılaştırıldığında A seçeneği ile aynıdır.

\frac{55}{84}

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $5$ beyaz, $4$ siyah, $3$ kırmızı bilye vardır. Geri koymadan $3$ bilye çekiliyor. Çekilen bilyeler arasında aynı renkten tam olarak $2$ tane olduğu bilindiğine göre, bu iki bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce verilen koşulu tanımlayalım: Çekilen üç bilyenin içinde aynı renkten tam olarak iki tane olması demek, dağılımın “iki aynı + bir farklı” olmasıdır. İstenen olasılık: Bu “iki aynı” bilyenin beyaz olma olasılığı (koşullu olasılık). Beyaz çift gelmesi durumu: İki beyaz seçilir, üçüncü bilye beyaz olmayanlardan seçilir. N ( WW + farklı ) = C ( 5, 2 ) × C ( 7, 1 ) = 10 × 7 = 70 Koşul olayının toplam sayısı: “iki aynı” renk, beyaz ya da siyah ya da kırmızı olabilir. Bu üç durum birbirini dışlar, toplanır. Siyah çift gelmesi: N ( SS + farklı ) = C ( 4, 2 ) × C ( 8, 1 ) = 6 × 8 = 48 Kırmızı çift gelmesi: N ( KK + farklı ) = C ( 3, 2 ) × C ( 9, 1 ) = 3 × 9 = 27 Buna göre “tam olarak iki aynı renk” koşulunu sağlayan tüm durumların sayısı: N ( E ) = 70 + 48 + 27 = 145 İstenen koşullu olasılık: P ( beyaz çift | E ) = 70 145 = 14 29 Sonuç: Doğru seçenek C893’dır.

Çözüm: Önce verilen koşulu tanımlayalım: Çekilen üç bilyenin içinde aynı renkten tam olarak iki tane olması demek, dağılımın “iki aynı + bir farklı” olmasıdır. İstenen olasılık: Bu “iki aynı” bilyenin beyaz olma olasılığı (koşullu olasılık). Beyaz çift gelmesi durumu: İki beyaz seçilir, üçüncü bilye beyaz olmayanlardan seçilir. N ( WW + farklı ) = C ( 5, 2 ) × C ( 7, 1 ) = 10 × 7 = 70 Koşul olayının toplam sayısı: “iki aynı” renk, beyaz ya da siyah ya da kırmızı olabilir. Bu üç durum birbirini dışlar, toplanır. Siyah çift gelmesi: N ( SS + farklı ) = C ( 4, 2 ) × C ( 8, 1 ) = 6 × 8 = 48 Kırmızı çift gelmesi: N ( KK + farklı ) = C ( 3, 2 ) × C ( 9, 1 ) = 3 × 9 = 27 Buna göre “tam olarak iki aynı renk” koşulunu sağlayan tüm durumların sayısı: N ( E ) = 70 + 48 + 27 = 145 İstenen koşullu olasılık: P ( beyaz çift | E ) = 70 145 = 14 29 Sonuç: Doğru seçenek C893’dır.

Önce verilen koşulu tanımlayalım: Çekilen üç bilyenin içinde aynı renkten tam olarak iki tane olması demek, dağılımın “iki aynı + bir farklı” olmasıdır.

İstenen olasılık: Bu “iki aynı” bilyenin beyaz olma olasılığı (koşullu olasılık).

Beyaz çift gelmesi durumu: İki beyaz seçilir, üçüncü bilye beyaz olmayanlardan seçilir.

N (WW + farklı) = C (5, 2) \times C (7, 1) = 10 \times 7 = 70

Koşul olayının toplam sayısı: “iki aynı” renk, beyaz ya da siyah ya da kırmızı olabilir. Bu üç durum birbirini dışlar, toplanır.

Siyah çift gelmesi:

N (SS + farklı) = C (4, 2) \times C (8, 1) = 6 \times 8 = 48

Kırmızı çift gelmesi:

N (KK + farklı) = C (3, 2) \times C (9, 1) = 3 \times 9 = 27

Buna göre “tam olarak iki aynı renk” koşulunu sağlayan tüm durumların sayısı:

N (E) = 70 + 48 + 27 = 145

İstenen koşullu olasılık:

P (beyaz çift|E)=\frac{70}{145}=\frac{14}{29}

Sonuç: Doğru seçenek C2339’dır.

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

8. Sınıf Olasılık Testleri

Basit Olasılık

Olası Durumları Listeleme

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Bir kutuda $5$ yeşil, $4$ mavi ve $3$ kırmızı top vardır. Kutudan geri koymadan $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin yeşil olduğu bilindiğine göre, iki topun da yeşil olma olasılığı kaçtır?

İki adil zar atılıyor. Zarların üst yüzlerindeki sayıların toplamının $3$ ile tam bölündüğü bilindiğine göre, en az bir zarın $6$ gelme olasılığı kaçtır?

Bir torbada $4$ yeşil ve $3$ sarı top vardır. Torbadan geri koymadan art arda $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin sarı olduğu bilindiğine göre, iki topun da sarı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $3$ kırmızı, $4$ mavi ve $5$ yeşil bilye vardır. Torbadan ardışık olarak $2$ bilye geri koymadan çekiliyor. Çekilen bilyelerden en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada kırmızı $3$ , mavi $2$ ve yeşil $1$ top vardır.
Torbadan geri koymadan iki top çekiliyor. Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu biliniyorsa, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ yeşil top vardır. Torbadan geri konulmadan art arda iki top çekiliyor. İlk çekilen topun yeşil olmadığı bilindiğine göre, ikinci topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil bilye vardır. Torbadan geri koymadan $3$ bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin tam olarak $2$ tanesinin aynı renkte olması olasılığı kaçtır?

Bir kutuda $5$ beyaz, $4$ siyah, $3$ kırmızı bilye vardır. Geri koymadan $3$ bilye çekiliyor. Çekilen bilyeler arasında aynı renkten tam olarak $2$ tane olduğu bilindiğine göre, bu iki bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?

Olasılık Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

8. Sınıf Olasılık Testleri

Basit Olasılık

Olası Durumları Listeleme

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Bir kutuda 5 yeşil, 4 mavi ve 3 kırmızı top vardır. Kutudan geri koymadan 2 top çekiliyor.Çekilen toplardan en az birinin yeşil olduğu bilindiğine göre, iki topun da yeşil olma olasılığı kaçtır?

İki adil zar atılıyor. Zarların üst yüzlerindeki sayıların toplamının 3 ile tam bölündüğü bilindiğine göre, en az bir zarın 6 gelme olasılığı kaçtır?

Bir kutuda sadece kırmızı ve mavi toplar vardır. Geri koymadan ardışık iki top çekiliyor.İki çekilişte de kırmızı gelme olasılığı 16, iki çekilişte de mavi gelme olasılığı 13 olduğuna göre, iki çekilişte renklerin farklı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 4 yeşil ve 3 sarı top vardır. Torbadan geri koymadan art arda 2 top çekiliyor.Çekilen toplardan en az birinin sarı olduğu bilindiğine göre, iki topun da sarı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 yeşil bilye vardır. Torbadan ardışık olarak 2 bilye geri koymadan çekiliyor. Çekilen bilyelerden en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada kırmızı 3, mavi 2 ve yeşil 1 top vardır.Torbadan geri koymadan iki top çekiliyor. Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu biliniyorsa, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 5 kırmızı, 4 mavi ve 3 yeşil top vardır. Torbadan geri konulmadan art arda iki top çekiliyor. İlk çekilen topun yeşil olmadığı bilindiğine göre, ikinci topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil bilye vardır. Torbadan geri koymadan 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin tam olarak 2 tanesinin aynı renkte olması olasılığı kaçtır?

Bir kutuda 5 beyaz, 4 siyah, 3 kırmızı bilye vardır. Geri koymadan 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyeler arasında aynı renkten tam olarak 2 tane olduğu bilindiğine göre, bu iki bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?

Olasılık Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Bir kutuda $5$ yeşil, $4$ mavi ve $3$ kırmızı top vardır. Kutudan geri koymadan $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin yeşil olduğu bilindiğine göre, iki topun da yeşil olma olasılığı kaçtır?

İki adil zar atılıyor. Zarların üst yüzlerindeki sayıların toplamının $3$ ile tam bölündüğü bilindiğine göre, en az bir zarın $6$ gelme olasılığı kaçtır?

Bir torbada $4$ yeşil ve $3$ sarı top vardır. Torbadan geri koymadan art arda $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin sarı olduğu bilindiğine göre, iki topun da sarı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $3$ kırmızı, $4$ mavi ve $5$ yeşil bilye vardır. Torbadan ardışık olarak $2$ bilye geri koymadan çekiliyor. Çekilen bilyelerden en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada kırmızı $3$ , mavi $2$ ve yeşil $1$ top vardır.
Torbadan geri koymadan iki top çekiliyor. Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu biliniyorsa, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ yeşil top vardır. Torbadan geri konulmadan art arda iki top çekiliyor. İlk çekilen topun yeşil olmadığı bilindiğine göre, ikinci topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil bilye vardır. Torbadan geri koymadan $3$ bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin tam olarak $2$ tanesinin aynı renkte olması olasılığı kaçtır?

Bir kutuda $5$ beyaz, $4$ siyah, $3$ kırmızı bilye vardır. Geri koymadan $3$ bilye çekiliyor. Çekilen bilyeler arasında aynı renkten tam olarak $2$ tane olduğu bilindiğine göre, bu iki bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?