8. Sınıf Matematik

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılık konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

8. Sınıf Olasılık Testleri

8. sınıf Matematik Olasılık testleri; eş olasılıklı durumları, olası durum sayısını, istenen durumların sayısını ve basit olasılık hesaplarını pekiştirir. Sorularda tüm durumları eksiksiz saymak ve uygun kesri kurmak önemlidir.

Basit Olasılık

Bir olayın olasılığı, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. Olasılık değeri 0 ile 1 arasında olur; imkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1'dir.

Olası Durumları Listeleme

Para, zar, renkli toplar ve seçim problemlerinde sistematik listeleme yapılmalıdır. 8. Sınıf sorularında tekrar eden veya birbirinden farklı durumları ayırt etmek, olasılık hesabının doğru kurulmasını sağlar.

Test seç

16 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test

11. Test

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılık konusu 11. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi ve $1$ yeşil top vardır. Torbadan yerine koymadan $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $5$ beyaz, $4$ siyah, $3$ gri bilye vardır.
Kutudan ardışık olarak $3$ bilye geri koymadan çekiliyor.
Çekilen bilyeler arasında $en az 1$ siyah bilye olduğu bilindiğine göre, tam olarak $1$ siyah bilye çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda kırmızı top sayısı $3$ , mavi top sayısı $2$ ve yeşil top sayısı $1$ dir. Kutudan geri koymadan art arda $2$ top çekiliyor.
Çekilen $2$ toptan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru şık B ’dir. Olayları tanımlayalım: A: “İki topun da kırmızı gelmesi” B: “Çekilen iki toptan en az birinin kırmızı gelmesi” İstenen olasılık: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı gerçekleşirse (iki top da kırmızıysa) zaten “en az bir kırmızı” şartı sağlanır. Yani: A ⊂ B Bu nedenle: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) Önce toplam durum sayısı (geri koymadan iki top seçimi): C ( 6, 2 ) = 6 · 5 2 · 1 = 15 İki topun da kırmızı gelme olasılığı: P ( A ) = C ( 3, 2 ) C ( 6, 2 ) = 3 15 = 1 5 Şimdi “en az bir kırmızı” olasılığını bulalım. Tamamlayıcı olay: “hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan toplam top sayısı: 2 + 1 = 3 Hiç kırmızı gelmeme olasılığı: P ( B ¯ ) = C ( 3, 2 ) C ( 6, 2 ) = 3 15 = 1 5 O hâlde: P ( B ) = 1 - P ( B ¯ ) = 1 - 1 5 = 4 5 Koşullu olasılık: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 1 5 4 5 = 1 4 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Doğru şık B ’dir. Olayları tanımlayalım: A: “İki topun da kırmızı gelmesi” B: “Çekilen iki toptan en az birinin kırmızı gelmesi” İstenen olasılık: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı gerçekleşirse (iki top da kırmızıysa) zaten “en az bir kırmızı” şartı sağlanır. Yani: A ⊂ B Bu nedenle: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) Önce toplam durum sayısı (geri koymadan iki top seçimi): C ( 6, 2 ) = 6 · 5 2 · 1 = 15 İki topun da kırmızı gelme olasılığı: P ( A ) = C ( 3, 2 ) C ( 6, 2 ) = 3 15 = 1 5 Şimdi “en az bir kırmızı” olasılığını bulalım. Tamamlayıcı olay: “hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan toplam top sayısı: 2 + 1 = 3 Hiç kırmızı gelmeme olasılığı: P ( B ¯ ) = C ( 3, 2 ) C ( 6, 2 ) = 3 15 = 1 5 O hâlde: P ( B ) = 1 - P ( B ¯ ) = 1 - 1 5 = 4 5 Koşullu olasılık: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 1 5 4 5 = 1 4 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru şık B’dir.

Olayları tanımlayalım:

A: “İki topun da kırmızı gelmesi”

B: “Çekilen iki toptan en az birinin kırmızı gelmesi”

İstenen olasılık:

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

A olayı gerçekleşirse (iki top da kırmızıysa) zaten “en az bir kırmızı” şartı sağlanır. Yani:

A \subset B

Bu nedenle:

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)}

Önce toplam durum sayısı (geri koymadan iki top seçimi):

C (6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

İki topun da kırmızı gelme olasılığı:

P (A) = \frac{C (3, 2)}{C (6, 2)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

Şimdi “en az bir kırmızı” olasılığını bulalım. Tamamlayıcı olay: “hiç kırmızı gelmemesi”. Kırmızı olmayan toplam top sayısı:

2 + 1 = 3

Hiç kırmızı gelmeme olasılığı:

P (\bar{B}) = \frac{C (3, 2)}{C (6, 2)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

O hâlde:

P (B) = 1 - P (\bar{B}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

Koşullu olasılık:

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi ve $1$ yeşil bilye vardır. Torbadan geri koymadan $2$ bilye çekiliyor.
$P (en az bir kırmızı)$ olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, $P (iki bilye de kırmızı)$ olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü Koşullu olasılık hesabı sonucunda cevap 1 4 bulunur. Bu da A şıkkıdır; yani A doğrudur. 2) Olayları tanımlayalım A: “İki bilye de kırmızı” B: “En az bir kırmızı” İstenen olasılık: P ( A | B ) 3) Koşullu olasılık formülü P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı gerçekleşirse zaten “en az bir kırmızı” kesinlikle olur; yani A ∩ B = A Bu yüzden: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) 4) Toplam durum sayısı Toplam bilye sayısı: 3 + 2 + 1 = 6 Geri koymadan 2 bilye çekildiği için tüm ikililer: 6 · 5 2 = 15 5) P(A) hesaplayalım (iki bilye de kırmızı) Kırmızı sayısı 3 olduğundan kırmızı ikili sayısı: 3 · 2 2 = 3 Olasılık: P ( A ) = 3 15 = 1 5 6) P(B) hesaplayalım (en az bir kırmızı) “En az bir kırmızı” = “kırmızı yok” olayının tümleyeni: P ( B ) = 1 - P ( kırmızı yok ) Kırmızı olmayan bilye sayısı: 2 + 1 = 3 “Kırmızı yok” için seçilebilecek ikili sayısı: 3 · 2 2 = 3 Dolayısıyla: P ( kırmızı yok ) = 3 15 = 1 5 O halde: P ( B ) = 1 - 1 5 = 4 5 7) Koşullu olasılığı bulalım P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 1 5 4 5 = 1 4 Sonuç: 1 4 Doğru seçenek: A

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü Koşullu olasılık hesabı sonucunda cevap 1 4 bulunur. Bu da A şıkkıdır; yani A doğrudur. 2) Olayları tanımlayalım A: “İki bilye de kırmızı” B: “En az bir kırmızı” İstenen olasılık: P ( A | B ) 3) Koşullu olasılık formülü P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı gerçekleşirse zaten “en az bir kırmızı” kesinlikle olur; yani A ∩ B = A Bu yüzden: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) 4) Toplam durum sayısı Toplam bilye sayısı: 3 + 2 + 1 = 6 Geri koymadan 2 bilye çekildiği için tüm ikililer: 6 · 5 2 = 15 5) P(A) hesaplayalım (iki bilye de kırmızı) Kırmızı sayısı 3 olduğundan kırmızı ikili sayısı: 3 · 2 2 = 3 Olasılık: P ( A ) = 3 15 = 1 5 6) P(B) hesaplayalım (en az bir kırmızı) “En az bir kırmızı” = “kırmızı yok” olayının tümleyeni: P ( B ) = 1 - P ( kırmızı yok ) Kırmızı olmayan bilye sayısı: 2 + 1 = 3 “Kırmızı yok” için seçilebilecek ikili sayısı: 3 · 2 2 = 3 Dolayısıyla: P ( kırmızı yok ) = 3 15 = 1 5 O halde: P ( B ) = 1 - 1 5 = 4 5 7) Koşullu olasılığı bulalım P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 1 5 4 5 = 1 4 Sonuç: 1 4 Doğru seçenek: A

1) Doğru şık kontrolü

Koşullu olasılık hesabı sonucunda cevap

\frac{1}{4}

bulunur. Bu da A şıkkıdır; yani A doğrudur.

2) Olayları tanımlayalım

A: “İki bilye de kırmızı”

B: “En az bir kırmızı”

İstenen olasılık:

P (A | B)

3) Koşullu olasılık formülü

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

A olayı gerçekleşirse zaten “en az bir kırmızı” kesinlikle olur; yani

A \cap B = A

Bu yüzden:

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)}

4) Toplam durum sayısı

Toplam bilye sayısı:

3 + 2 + 1 = 6

Geri koymadan 2 bilye çekildiği için tüm ikililer:

\frac{6 \cdot 5}{2} = 15

5) P(A) hesaplayalım (iki bilye de kırmızı)

Kırmızı sayısı 3 olduğundan kırmızı ikili sayısı:

\frac{3 \cdot 2}{2} = 3

Olasılık:

P (A) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

6) P(B) hesaplayalım (en az bir kırmızı)

“En az bir kırmızı” = “kırmızı yok” olayının tümleyeni:

P (B) = 1 - P (kırmızı yok)

Kırmızı olmayan bilye sayısı:

2 + 1 = 3

“Kırmızı yok” için seçilebilecek ikili sayısı:

\frac{3 \cdot 2}{2} = 3

Dolayısıyla:

P (kırmızı yok) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

O halde:

P (B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

7) Koşullu olasılığı bulalım

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}

Sonuç:

\frac{1}{4}

Doğru seçenek: A

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada numaraları $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ olan $8$ top vardır. Torbadan art arda (geri koymadan) $2$ top çekiliyor.
Çekilen iki topun numaralarının çarpımının çift olduğu bilindiğine göre, numaralarının toplamının $3$ ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Çekiliş sırasının önemli olmadığı (iki top seçimi) durumları sayarak ilerleyelim. Tüm olası ikili seçim sayısı: C ( 8, 2 ) = 8 · 7 2 = 28 Verilen koşul: çarpımın çift olması demek, seçilen iki sayıdan en az birinin çift olması demektir. Bunun tümleyeni “ikisinin de tek olması”dır. Tek sayılar: { 1, 3, 5, 7 } İkisi de tek seçilme sayısı: C ( 4, 2 ) = 4 · 3 2 = 6 O hâlde çarpımı çift olan seçim sayısı: 28 - 6 = 22 Şimdi, “toplamın üç ile tam bölünmesi” için sayıları üçe göre sınıflandıralım: { 1, 4, 7 } ≡ 1 ( mod 3 ) { 2, 5, 8 } ≡ 2 ( mod 3 ) { 3, 6 } ≡ 0 ( mod 3 ) Toplamın üçe bölünebilmesi için olası kalan eşleşmeleri: 0 + 0 ≡ 0 ( mod 3 ) 1 + 2 ≡ 0 ( mod 3 ) Buna göre uygun çift sayısı: • Kalanı sıfır olanlardan ikili seçim: C ( 2, 2 ) = 1 • Kalanı bir olanlardan biri ve kalanı iki olanlardan biri: 3 · 3 = 9 Toplam: 1 + 9 = 10 Ancak bizden ayrıca çarpımın çift olduğu bilindiğine göre, bu on durumun içinden “çarpımı tek olanları” (yani iki sayısı da tek olanları) çıkarmalıyız. Kalanı bir olan kümede tek sayılar: { 1, 7 } Kalanı iki olan kümede tek sayı: { 5 } İki sayısı da tek olup toplamı üçe bölünebilen çiftler: ( 1, 5 ), ( 7, 5 ) Bu tür çift sayısı: 2 O hâlde hem “toplamı üçe bölünen” hem de “çarpımı çift olan” çift sayısı: 10 - 2 = 8 İstenen koşullu olasılık: 8 22 = 4 11 Bu değer şıklardan 4 11 olduğu için doğru cevap B ’dir.

Çözüm: Çekiliş sırasının önemli olmadığı (iki top seçimi) durumları sayarak ilerleyelim. Tüm olası ikili seçim sayısı: C ( 8, 2 ) = 8 · 7 2 = 28 Verilen koşul: çarpımın çift olması demek, seçilen iki sayıdan en az birinin çift olması demektir. Bunun tümleyeni “ikisinin de tek olması”dır. Tek sayılar: { 1, 3, 5, 7 } İkisi de tek seçilme sayısı: C ( 4, 2 ) = 4 · 3 2 = 6 O hâlde çarpımı çift olan seçim sayısı: 28 - 6 = 22 Şimdi, “toplamın üç ile tam bölünmesi” için sayıları üçe göre sınıflandıralım: { 1, 4, 7 } ≡ 1 ( mod 3 ) { 2, 5, 8 } ≡ 2 ( mod 3 ) { 3, 6 } ≡ 0 ( mod 3 ) Toplamın üçe bölünebilmesi için olası kalan eşleşmeleri: 0 + 0 ≡ 0 ( mod 3 ) 1 + 2 ≡ 0 ( mod 3 ) Buna göre uygun çift sayısı: • Kalanı sıfır olanlardan ikili seçim: C ( 2, 2 ) = 1 • Kalanı bir olanlardan biri ve kalanı iki olanlardan biri: 3 · 3 = 9 Toplam: 1 + 9 = 10 Ancak bizden ayrıca çarpımın çift olduğu bilindiğine göre, bu on durumun içinden “çarpımı tek olanları” (yani iki sayısı da tek olanları) çıkarmalıyız. Kalanı bir olan kümede tek sayılar: { 1, 7 } Kalanı iki olan kümede tek sayı: { 5 } İki sayısı da tek olup toplamı üçe bölünebilen çiftler: ( 1, 5 ), ( 7, 5 ) Bu tür çift sayısı: 2 O hâlde hem “toplamı üçe bölünen” hem de “çarpımı çift olan” çift sayısı: 10 - 2 = 8 İstenen koşullu olasılık: 8 22 = 4 11 Bu değer şıklardan 4 11 olduğu için doğru cevap B ’dir.

Çekiliş sırasının önemli olmadığı (iki top seçimi) durumları sayarak ilerleyelim.

Tüm olası ikili seçim sayısı:

C (8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28

Verilen koşul: çarpımın çift olması demek, seçilen iki sayıdan en az birinin çift olması demektir. Bunun tümleyeni “ikisinin de tek olması”dır.

Tek sayılar:

{1, 3, 5, 7}

İkisi de tek seçilme sayısı:

C (4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6

O hâlde çarpımı çift olan seçim sayısı:

28 - 6 = 22

Şimdi, “toplamın üç ile tam bölünmesi” için sayıları üçe göre sınıflandıralım:

{1, 4, 7} \equiv 1 (\mod 3)

{2, 5, 8} \equiv 2 (\mod 3)

{3, 6} \equiv 0 (\mod 3)

Toplamın üçe bölünebilmesi için olası kalan eşleşmeleri:

0 + 0 \equiv 0 (\mod 3)

1 + 2 \equiv 0 (\mod 3)

Buna göre uygun çift sayısı:

• Kalanı sıfır olanlardan ikili seçim:

C (2, 2) = 1

• Kalanı bir olanlardan biri ve kalanı iki olanlardan biri:

3 \cdot 3 = 9

Toplam:

1 + 9 = 10

Ancak bizden ayrıca çarpımın çift olduğu bilindiğine göre, bu on durumun içinden “çarpımı tek olanları” (yani iki sayısı da tek olanları) çıkarmalıyız.

Kalanı bir olan kümede tek sayılar:

{1, 7}

Kalanı iki olan kümede tek sayı:

{5}

İki sayısı da tek olup toplamı üçe bölünebilen çiftler:

(1, 5), (7, 5)

Bu tür çift sayısı:

2

O hâlde hem “toplamı üçe bölünen” hem de “çarpımı çift olan” çift sayısı:

10 - 2 = 8

İstenen koşullu olasılık:

\frac{8}{22} = \frac{4}{11}

Bu değer şıklardan

\frac{4}{11}

olduğu için doğru cevap B’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

İki kutu vardır: A kutusunda $3$ kırmızı ve $2$ mavi; B kutusunda $2$ kırmızı ve $4$ mavi top bulunuyor.
Bir kutu eş olasılıkla seçiliyor ve seçilen kutudan geri koymadan ardışık olarak iki top çekiliyor. Çekilen iki topun farklı renkli olduğu biliniyorsa, seçilen kutunun A olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Olayları tanımlayalım: A: Seçilen kutu A B: Seçilen kutu B F: İki topun farklı renkli gelmesi P ( A ) = P ( B ) = 1 2 2) A kutusu seçilmişse farklı renk gelme olasılığı: A kutusunda 3 kırmızı, 2 mavi (toplam 5 top) vardır. Farklı renk gelmesi için (Kırmızı-Mavi) veya (Mavi-Kırmızı) gelmelidir. P ( F | A ) = 3 5 · 2 4 + 2 5 · 3 4 P ( F | A ) = 6 20 + 6 20 = 12 20 = 3 5 3) B kutusu seçilmişse farklı renk gelme olasılığı: B kutusunda 2 kırmızı, 4 mavi (toplam 6 top) vardır. P ( F | B ) = 2 6 · 4 5 + 4 6 · 2 5 P ( F | B ) = 8 30 + 8 30 = 16 30 = 8 15 4) Toplam olasılık ile P(F) bulunur: P ( F ) = P ( A ) P ( F | A ) + P ( B ) P ( F | B ) P ( F ) = 1 2 · 3 5 + 1 2 · 8 15 P ( F ) = 3 10 + 4 15 = 9 30 + 8 30 = 17 30 5) Bayes kuralı ile istenen olasılık: P ( A | F ) = P ( A ) P ( F | A ) P ( F ) P ( A | F ) = 1 2 · 3 5 17 30 P ( A | F ) = 3 10 17 30 = 3 10 · 30 17 = 9 17 6) Bulunan sonuç şıklardaki A seçeneği ile aynıdır; yani doğru cevap A ’dır.

Çözüm: 1) Olayları tanımlayalım: A: Seçilen kutu A B: Seçilen kutu B F: İki topun farklı renkli gelmesi P ( A ) = P ( B ) = 1 2 2) A kutusu seçilmişse farklı renk gelme olasılığı: A kutusunda 3 kırmızı, 2 mavi (toplam 5 top) vardır. Farklı renk gelmesi için (Kırmızı-Mavi) veya (Mavi-Kırmızı) gelmelidir. P ( F | A ) = 3 5 · 2 4 + 2 5 · 3 4 P ( F | A ) = 6 20 + 6 20 = 12 20 = 3 5 3) B kutusu seçilmişse farklı renk gelme olasılığı: B kutusunda 2 kırmızı, 4 mavi (toplam 6 top) vardır. P ( F | B ) = 2 6 · 4 5 + 4 6 · 2 5 P ( F | B ) = 8 30 + 8 30 = 16 30 = 8 15 4) Toplam olasılık ile P(F) bulunur: P ( F ) = P ( A ) P ( F | A ) + P ( B ) P ( F | B ) P ( F ) = 1 2 · 3 5 + 1 2 · 8 15 P ( F ) = 3 10 + 4 15 = 9 30 + 8 30 = 17 30 5) Bayes kuralı ile istenen olasılık: P ( A | F ) = P ( A ) P ( F | A ) P ( F ) P ( A | F ) = 1 2 · 3 5 17 30 P ( A | F ) = 3 10 17 30 = 3 10 · 30 17 = 9 17 6) Bulunan sonuç şıklardaki A seçeneği ile aynıdır; yani doğru cevap A ’dır.

1) Olayları tanımlayalım:

A : Seçilen kutu A

B : Seçilen kutu B

F : İki topun farklı renkli gelmesi

P (A) = P (B) = \frac{1}{2}

2) A kutusu seçilmişse farklı renk gelme olasılığı:

A kutusunda 3 kırmızı, 2 mavi (toplam 5 top) vardır. Farklı renk gelmesi için (Kırmızı-Mavi) veya (Mavi-Kırmızı) gelmelidir.

P (F | A) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}

P (F | A) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}

3) B kutusu seçilmişse farklı renk gelme olasılığı:

B kutusunda 2 kırmızı, 4 mavi (toplam 6 top) vardır.

P (F | B) = \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} + \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}

P (F | B) = \frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}

4) Toplam olasılık ile P(F) bulunur:

P (F) = P (A) P (F | A) + P (B) P (F | B)

P (F) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}

P (F) = \frac{3}{10} + \frac{4}{15} = \frac{9}{30} + \frac{8}{30} = \frac{17}{30}

5) Bayes kuralı ile istenen olasılık:

P (A | F) = \frac{P (A) P (F | A)}{P (F)}

P (A | F) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{17}{30}}

P (A | F) = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{17}{30}} = \frac{3}{10} \cdot \frac{30}{17} = \frac{9}{17}

6) Bulunan sonuç şıklardaki A seçeneği ile aynıdır; yani doğru cevap A’dır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi ve $1$ yeşil top vardır. Torbadan geri koymadan art arda $2$ top çekiliyor.
Çekilen topların farklı renklerde olduğu biliniyorsa, bu toplardan en az birinin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek C ’dir. Toplam top sayısı: 3 + 2 + 1 = 6 Koşullu olasılık kurulur. A: “En az bir top yeşil” (burada yalnız 1 yeşil olduğu için aslında “çekilen 2 topun içinde yeşil var”). B: “Çekilen toplar farklı renklerde”. İstenen: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) Önce tüm olası ikili çekiliş sayısı (sırasız): ( Tüm ikililer ) = ( 6 top içinden 2 top seçme ) = 6 ⋅ 5 2 ⋅ 1 = 15 1) Pay (A ∩ B): Yeşil top çekilirse, diğer top kırmızı ya da mavi olacağından renkler zaten farklı olur. Bu yüzden P ( A ∩ B ) = P ( A ) Yeşil topu içeren ikili sayısı: ( Yeşilli ikililer ) = 5 Çünkü yeşil top sabit seçilir, diğer top kalan 5 toptan seçilir. Dolayısıyla: P ( A ) = 5 15 = 1 3 2) Payda (B): “Farklı renk” olasılığı için önce “aynı renk” durumlarını sayalım. Aynı renk olabilecekler: - İki kırmızı - İki mavi (İki yeşil olamaz çünkü 1 yeşil top var.) İki kırmızı seçme sayısı: 3 ⋅ 2 2 ⋅ 1 = 3 İki mavi seçme sayısı: 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = 1 Aynı renk toplam: 3 + 1 = 4 Farklı renk toplam ikili sayısı: 15 − 4 = 11 O hâlde: P ( B ) = 11 15 3) Koşullu olasılık: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 1 3 11 15 = 5 11 Sonuç: P ( farklı renk olduğu biliniyorsa en az bir yeşil ) = 5 11 Bu da C şıkkıdır.

Çözüm: Doğru seçenek C ’dir. Toplam top sayısı: 3 + 2 + 1 = 6 Koşullu olasılık kurulur. A: “En az bir top yeşil” (burada yalnız 1 yeşil olduğu için aslında “çekilen 2 topun içinde yeşil var”). B: “Çekilen toplar farklı renklerde”. İstenen: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) Önce tüm olası ikili çekiliş sayısı (sırasız): ( Tüm ikililer ) = ( 6 top içinden 2 top seçme ) = 6 ⋅ 5 2 ⋅ 1 = 15 1) Pay (A ∩ B): Yeşil top çekilirse, diğer top kırmızı ya da mavi olacağından renkler zaten farklı olur. Bu yüzden P ( A ∩ B ) = P ( A ) Yeşil topu içeren ikili sayısı: ( Yeşilli ikililer ) = 5 Çünkü yeşil top sabit seçilir, diğer top kalan 5 toptan seçilir. Dolayısıyla: P ( A ) = 5 15 = 1 3 2) Payda (B): “Farklı renk” olasılığı için önce “aynı renk” durumlarını sayalım. Aynı renk olabilecekler: - İki kırmızı - İki mavi (İki yeşil olamaz çünkü 1 yeşil top var.) İki kırmızı seçme sayısı: 3 ⋅ 2 2 ⋅ 1 = 3 İki mavi seçme sayısı: 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = 1 Aynı renk toplam: 3 + 1 = 4 Farklı renk toplam ikili sayısı: 15 − 4 = 11 O hâlde: P ( B ) = 11 15 3) Koşullu olasılık: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 1 3 11 15 = 5 11 Sonuç: P ( farklı renk olduğu biliniyorsa en az bir yeşil ) = 5 11 Bu da C şıkkıdır.

Doğru seçenek C’dir.

Toplam top sayısı:

3 + 2 + 1 = 6

Koşullu olasılık kurulur. A: “En az bir top yeşil” (burada yalnız 1 yeşil olduğu için aslında “çekilen 2 topun içinde yeşil var”). B: “Çekilen toplar farklı renklerde”.

İstenen:

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Önce tüm olası ikili çekiliş sayısı (sırasız):

(Tüm ikililer) = (6 top içinden 2 top seçme) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

1) Pay (A ∩ B): Yeşil top çekilirse, diğer top kırmızı ya da mavi olacağından renkler zaten farklı olur. Bu yüzden

P (A \cap B) = P (A)

Yeşil topu içeren ikili sayısı:

(Yeşilli ikililer) = 5

Çünkü yeşil top sabit seçilir, diğer top kalan 5 toptan seçilir.

Dolayısıyla:

P (A) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}

2) Payda (B): “Farklı renk” olasılığı için önce “aynı renk” durumlarını sayalım.

Aynı renk olabilecekler:

- İki kırmızı

- İki mavi

(İki yeşil olamaz çünkü 1 yeşil top var.)

İki kırmızı seçme sayısı:

\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3

İki mavi seçme sayısı:

\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 1

Aynı renk toplam:

3 + 1 = 4

Farklı renk toplam ikili sayısı:

15 - 4 = 11

O hâlde:

P (B) = \frac{11}{15}

3) Koşullu olasılık:

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{15}} = \frac{5}{11}

Sonuç:

P (farklı renk olduğu biliniyorsa en az bir yeşil) = \frac{5}{11}

Bu da C şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $3$ yeşil top vardır.
Torbadan geri koymadan art arda $3$ top çekiliyor.
Çekilen topların üçünün de farklı renk olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $3$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil top vardır.
Torbadan ardışık olarak $3$ top geri koymadan çekiliyor.
Çekilen $3$ toptan yalnızca $2$ farklı renk çıkması ve bu renklerden birinin yeşil olması olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

(1) Toplam durum sayısı (sırasız seçim): Toplam top sayısı = 3 + 3 + 2 = 8 Toplam seçim = C 8, 3 = 8 · 7 · 6 3 · 2 · 1 = 56 (2) İstenen olay: Çekilen üç topta yalnızca iki farklı renk olacak ve bu iki renkten biri yeşil olacak. Bu durumda mümkün renk çiftleri: { Yeşil, Kırmızı } veya { Yeşil, Mavi } (3) Yeşil–Kırmızı durumlarının sayısı: Üç top içinde iki renk olacağı için dağılımlar yalnızca: 1 Yeşil + 2 Kırmızı veya 2 Yeşil + 1 Kırmızı Sayısı = C 2, 1 · C 3, 2 + C 2, 2 · C 3, 1 = 2 · 3 + 1 · 3 = 6 + 3 = 9 (4) Yeşil–Mavi durumlarının sayısı (aynı hesap): Sayısı = C 2, 1 · C 3, 2 + C 2, 2 · C 3, 1 = 9 (5) Uygun durum sayısı ve olasılık: Uygun = 9 + 9 = 18 Olasılık = 18 56 = 9 28 (6) B şıkkı kontrolü: B = 3 14 ≠ 9 28 Sonuç: Doğru olasılık 9 28 olur; bu nedenle doğru cevap B değildir (verilen şıklarda bu değer bulunmuyor).

Çözüm: (1) Toplam durum sayısı (sırasız seçim): Toplam top sayısı = 3 + 3 + 2 = 8 Toplam seçim = C 8, 3 = 8 · 7 · 6 3 · 2 · 1 = 56 (2) İstenen olay: Çekilen üç topta yalnızca iki farklı renk olacak ve bu iki renkten biri yeşil olacak. Bu durumda mümkün renk çiftleri: { Yeşil, Kırmızı } veya { Yeşil, Mavi } (3) Yeşil–Kırmızı durumlarının sayısı: Üç top içinde iki renk olacağı için dağılımlar yalnızca: 1 Yeşil + 2 Kırmızı veya 2 Yeşil + 1 Kırmızı Sayısı = C 2, 1 · C 3, 2 + C 2, 2 · C 3, 1 = 2 · 3 + 1 · 3 = 6 + 3 = 9 (4) Yeşil–Mavi durumlarının sayısı (aynı hesap): Sayısı = C 2, 1 · C 3, 2 + C 2, 2 · C 3, 1 = 9 (5) Uygun durum sayısı ve olasılık: Uygun = 9 + 9 = 18 Olasılık = 18 56 = 9 28 (6) B şıkkı kontrolü: B = 3 14 ≠ 9 28 Sonuç: Doğru olasılık 9 28 olur; bu nedenle doğru cevap B değildir (verilen şıklarda bu değer bulunmuyor).

(1) Toplam durum sayısı (sırasız seçim):

Toplam top sayısı = 3 + 3 + 2 = 8

Toplam seçim = C (8, 3) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56

(2) İstenen olay: Çekilen üç topta yalnızca iki farklı renk olacak ve bu iki renkten biri yeşil olacak. Bu durumda mümkün renk çiftleri:

{Yeşil, Kırmızı} veya {Yeşil, Mavi}

(3) Yeşil–Kırmızı durumlarının sayısı:

Üç top içinde iki renk olacağı için dağılımlar yalnızca:

1 Yeşil + 2 Kırmızı veya 2 Yeşil + 1 Kırmızı

Sayısı = C (2, 1) \cdot C (3, 2) + C (2, 2) \cdot C (3, 1)

= 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 6 + 3 = 9

(4) Yeşil–Mavi durumlarının sayısı (aynı hesap):

Sayısı = C (2, 1) \cdot C (3, 2) + C (2, 2) \cdot C (3, 1) = 9

(5) Uygun durum sayısı ve olasılık:

Uygun = 9 + 9 = 18

Olasılık = \frac{18}{56} = \frac{9}{28}

(6) B şıkkı kontrolü:

B = \frac{3}{14} \neq \frac{9}{28}

Sonuç: Doğru olasılık

\frac{9}{28}

olur; bu nedenle doğru cevap B değildir (verilen şıklarda bu değer bulunmuyor).

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada kırmızı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısının iki katıdır. Torbadan geri koymadan ardışık iki bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin renklerinin farklı olma olasılığı $\frac{1}{2}$ olduğuna göre torbada toplam kaç bilye vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Şıkları kontrol edelim: Kırmızı bilye sayısı mavi bilye sayısının iki katı olsun. Mavi bilye sayısına m dersek, kırmızı bilye sayısı k için: k = 2 m Toplam bilye sayısı T: T = m + k = m + 2 m = 3 m Geri koymadan iki bilye çekildiğinde, renklerin farklı olma olasılığı: P ( farklı ) = P ( K sonra M ) + P ( M sonra K ) Birinci durum (önce kırmızı, sonra mavi): P ( K sonra M ) = k T × m T - 1 İkinci durum (önce mavi, sonra kırmızı): P ( M sonra K ) = m T × k T - 1 Toplayıp k yerine 2m, T yerine 3m P ( farklı ) = k T × m T - 1 + m T × k T - 1 P ( farklı ) = k m T ( T - 1 ) + m k T ( T - 1 ) = 2 m k T ( T - 1 ) P ( farklı ) = 2 m × 2 m 3 m ( 3 m - 1 ) = 4 m 3 ( 3 m - 1 ) Bu olasılık soruda verilene eşit: 4 m 3 ( 3 m - 1 ) = 1 2 Çapraz çarpım yapalım: 8 m = 3 ( 3 m - 1 ) Düzenleyelim: 8 m = 9 m - 3 m = 3 Toplam bilye sayısı: T = 3 m = 3 × 3 = 9 Sonuç: Toplam bilye sayısı B şıkkındaki değerdir.

Çözüm: Şıkları kontrol edelim: Kırmızı bilye sayısı mavi bilye sayısının iki katı olsun. Mavi bilye sayısına m dersek, kırmızı bilye sayısı k için: k = 2 m Toplam bilye sayısı T: T = m + k = m + 2 m = 3 m Geri koymadan iki bilye çekildiğinde, renklerin farklı olma olasılığı: P ( farklı ) = P ( K sonra M ) + P ( M sonra K ) Birinci durum (önce kırmızı, sonra mavi): P ( K sonra M ) = k T × m T - 1 İkinci durum (önce mavi, sonra kırmızı): P ( M sonra K ) = m T × k T - 1 Toplayıp k yerine 2m, T yerine 3m P ( farklı ) = k T × m T - 1 + m T × k T - 1 P ( farklı ) = k m T ( T - 1 ) + m k T ( T - 1 ) = 2 m k T ( T - 1 ) P ( farklı ) = 2 m × 2 m 3 m ( 3 m - 1 ) = 4 m 3 ( 3 m - 1 ) Bu olasılık soruda verilene eşit: 4 m 3 ( 3 m - 1 ) = 1 2 Çapraz çarpım yapalım: 8 m = 3 ( 3 m - 1 ) Düzenleyelim: 8 m = 9 m - 3 m = 3 Toplam bilye sayısı: T = 3 m = 3 × 3 = 9 Sonuç: Toplam bilye sayısı B şıkkındaki değerdir.

Şıkları kontrol edelim: Kırmızı bilye sayısı mavi bilye sayısının iki katı olsun.

Mavi bilye sayısına m dersek, kırmızı bilye sayısı k için:

k = 2 m

Toplam bilye sayısı T:

T = m + k = m + 2 m = 3 m

Geri koymadan iki bilye çekildiğinde, renklerin farklı olma olasılığı:

P (farklı) = P (K sonra M) + P (M sonra K)

Birinci durum (önce kırmızı, sonra mavi):

P (K sonra M) = \frac{k}{T} \times \frac{m}{T - 1}

İkinci durum (önce mavi, sonra kırmızı):

P (M sonra K) = \frac{m}{T} \times \frac{k}{T - 1}

Toplayıp k yerine 2m, T yerine 3m

P (farklı) = \frac{k}{T} \times \frac{m}{T - 1} + \frac{m}{T} \times \frac{k}{T - 1}

P (farklı) = \frac{k m}{T (T - 1)} + \frac{m k}{T (T - 1)} = \frac{2 m k}{T (T - 1)}

P (farklı) = \frac{2 m \times 2 m}{3 m (3 m - 1)} = \frac{4 m}{3 (3 m - 1)}

Bu olasılık soruda verilene eşit:

\frac{4 m}{3 (3 m - 1)} = \frac{1}{2}

Çapraz çarpım yapalım:

8 m = 3 (3 m - 1)

Düzenleyelim:

8 m = 9 m - 3

m = 3

Toplam bilye sayısı:

T = 3 m = 3 \times 3 = 9

Sonuç: Toplam bilye sayısı B şıkkındaki değerdir.

Olasılık Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Basit olasılık nasıl hesaplanır?

İstenen durumların sayısı tüm olası durumların sayısına bölünür.

Olasılık hangi aralıkta değer alır?

Olasılık 0 ile 1 arasında değer alır; yüzde veya kesir biçiminde de ifade edilebilir.

Kesin ve imkânsız olay nedir?

Gerçekleşmesi kesin olan olayın olasılığı 1, gerçekleşmesi mümkün olmayan olayın olasılığı 0'dır.

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

8. Sınıf Olasılık Testleri

Basit Olasılık

Olası Durumları Listeleme

8. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 yeşil top vardır. Torbadan yerine koymadan 2 top çekiliyor.Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda 5 beyaz, 4 siyah, 3 gri bilye vardır.Kutudan ardışık olarak 3 bilye geri koymadan çekiliyor.Çekilen bilyeler arasında enaz1 siyah bilye olduğu bilindiğine göre, tam olarak 1 siyah bilye çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda kırmızı top sayısı 3, mavi top sayısı 2 ve yeşil top sayısı 1 dir. Kutudan geri koymadan art arda 2 top çekiliyor.Çekilen 2 toptan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 yeşil bilye vardır. Torbadan geri koymadan 2 bilye çekiliyor.P(en az bir kırmızı) olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, P(iki bilye de kırmızı) olasılığı kaçtır?

Bir torbada numaraları 1,2,3,4,5,6,7,8 olan 8 top vardır. Torbadan art arda (geri koymadan) 2 top çekiliyor.Çekilen iki topun numaralarının çarpımının çift olduğu bilindiğine göre, numaralarının toplamının 3 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi ve 1 yeşil top vardır. Torbadan geri koymadan art arda 2 top çekiliyor.Çekilen topların farklı renklerde olduğu biliniyorsa, bu toplardan en az birinin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 3 yeşil top vardır.Torbadan geri koymadan art arda 3 top çekiliyor.Çekilen topların üçünün de farklı renk olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 3 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil top vardır.Torbadan ardışık olarak 3 top geri koymadan çekiliyor.Çekilen 3 toptan yalnızca 2 farklı renk çıkması ve bu renklerden birinin yeşil olması olasılığı kaçtır?

Bir torbada kırmızı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısının iki katıdır. Torbadan geri koymadan ardışık iki bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin renklerinin farklı olma olasılığı 12 olduğuna göre torbada toplam kaç bilye vardır?

Olasılık Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi ve $1$ yeşil top vardır. Torbadan yerine koymadan $2$ top çekiliyor.
Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda $5$ beyaz, $4$ siyah, $3$ gri bilye vardır.
Kutudan ardışık olarak $3$ bilye geri koymadan çekiliyor.
Çekilen bilyeler arasında $en az 1$ siyah bilye olduğu bilindiğine göre, tam olarak $1$ siyah bilye çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda kırmızı top sayısı $3$ , mavi top sayısı $2$ ve yeşil top sayısı $1$ dir. Kutudan geri koymadan art arda $2$ top çekiliyor.
Çekilen $2$ toptan en az birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi ve $1$ yeşil bilye vardır. Torbadan geri koymadan $2$ bilye çekiliyor.
$P (en az bir kırmızı)$ olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, $P (iki bilye de kırmızı)$ olasılığı kaçtır?

Bir torbada numaraları $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ olan $8$ top vardır. Torbadan art arda (geri koymadan) $2$ top çekiliyor.
Çekilen iki topun numaralarının çarpımının çift olduğu bilindiğine göre, numaralarının toplamının $3$ ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi ve $1$ yeşil top vardır. Torbadan geri koymadan art arda $2$ top çekiliyor.
Çekilen topların farklı renklerde olduğu biliniyorsa, bu toplardan en az birinin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $3$ yeşil top vardır.
Torbadan geri koymadan art arda $3$ top çekiliyor.
Çekilen topların üçünün de farklı renk olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $3$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil top vardır.
Torbadan ardışık olarak $3$ top geri koymadan çekiliyor.
Çekilen $3$ toptan yalnızca $2$ farklı renk çıkması ve bu renklerden birinin yeşil olması olasılığı kaçtır?

Bir torbada kırmızı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısının iki katıdır. Torbadan geri koymadan ardışık iki bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin renklerinin farklı olma olasılığı $\frac{1}{2}$ olduğuna göre torbada toplam kaç bilye vardır?