8. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik Testleri

Doğru cevap: A

DE, BC’ye paralel olduğundan △ADE ile △ABC benzer üçgenlerdir. Önce AB uzunluğunu bulalım: AB ¯ = AD ¯ + DB ¯ AB ¯ = 6 + 4 = 10 Benzerlikten, karşılıklı kenar oranları eşittir: AD ¯ AB ¯ = AE ¯ AC ¯ Verilenleri yerleştirelim: 6 10 = AE ¯ 15 İçler-dışlar çarpımı yapalım: 6 · 15 = 10 · AE ¯ Buradan AE ’yi bulalım: AE ¯ = 6 10 · 15 = 3 5 · 15 = 9 Sonuç: AE = 9 cm. Doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: DE, BC’ye paralel olduğundan △ADE ile △ABC benzer üçgenlerdir. Önce AB uzunluğunu bulalım: AB ¯ = AD ¯ + DB ¯ AB ¯ = 6 + 4 = 10 Benzerlikten, karşılıklı kenar oranları eşittir: AD ¯ AB ¯ = AE ¯ AC ¯ Verilenleri yerleştirelim: 6 10 = AE ¯ 15 İçler-dışlar çarpımı yapalım: 6 · 15 = 10 · AE ¯ Buradan AE ’yi bulalım: AE ¯ = 6 10 · 15 = 3 5 · 15 = 9 Sonuç: AE = 9 cm. Doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: A

Doğru cevap şık A’dır. 1) Dik üçgende hipotenüsü bulalım. AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = 20 2 + 15 2 = 400 + 225 = 625 AB = 625 = 25 2) Dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yükşeklik için benzerlikten şu bağıntı elde edilir: AC 2 = AB · AD 3) Sayıları yerine yazıp AD uzunluğunu bulalım. 20 2 = 25 · AD 400 = 25 · AD AD = 400 25 = 16 Sonuç olarak doğru cevap şık A’dır.

1. Çözüm: Doğru cevap şık A’dır. 1) Dik üçgende hipotenüsü bulalım. AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = 20 2 + 15 2 = 400 + 225 = 625 AB = 625 = 25 2) Dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yükşeklik için benzerlikten şu bağıntı elde edilir: AC 2 = AB · AD 3) Sayıları yerine yazıp AD uzunluğunu bulalım. 20 2 = 25 · AD 400 = 25 · AD AD = 400 25 = 16 Sonuç olarak doğru cevap şık A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen alan oranı: 49 25 Benzer üçgenlerde alan oranı, benzerlik oranının karesidir. Benzerlik oranını (büyük/küçük) bulalım: 49 25 Karekök alınca benzer kenar oranı: 7 5 Benzer olan kenarlar küçük üçgende 5k, büyük üçgende 7k olsun. Aralarındaki fark 6 olduğuna göre: 7 k - 5 k = 6 Düzenleyelim: 2 k = 6 Buradan k: k = 3 Büyük üçgendeki istenen kenar: 7 k = 7 × 3 = 21 Sonuç: Büyük üçgendeki bu kenarın uzunluğu 21 cm ’dir. Doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen alan oranı: 49 25 Benzer üçgenlerde alan oranı, benzerlik oranının karesidir. Benzerlik oranını (büyük/küçük) bulalım: 49 25 Karekök alınca benzer kenar oranı: 7 5 Benzer olan kenarlar küçük üçgende 5k, büyük üçgende 7k olsun. Aralarındaki fark 6 olduğuna göre: 7 k - 5 k = 6 Düzenleyelim: 2 k = 6 Buradan k: k = 3 Büyük üçgendeki istenen kenar: 7 k = 7 × 3 = 21 Sonuç: Büyük üçgendeki bu kenarın uzunluğu 21 cm ’dir. Doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

İki üçgen benzer ve eşleşen kenarlar AB ↔ DE, AC ↔ DF olduğuna göre benzerlik oranı (ölçek katsayısı) sabittir. Önce benzerlik oranını AB ile DE üzerinden bulalım: k = D E A B = 12 8 = 3 2 Aynı oranı AC ile DF üzerinden kontrol edelim: D F A C = 18 12 = 3 2 Oranlar aynı çıktığı için benzerlik oranı doğrudur. Şimdi BC ↔ EF olduğundan EF uzunluğunu bulalım: E F = k · B C = 3 2 · 10 = 15 Sonuç olarak doğru cevap C seçeneğidir.

1. Çözüm: İki üçgen benzer ve eşleşen kenarlar AB ↔ DE, AC ↔ DF olduğuna göre benzerlik oranı (ölçek katsayısı) sabittir. Önce benzerlik oranını AB ile DE üzerinden bulalım: k = D E A B = 12 8 = 3 2 Aynı oranı AC ile DF üzerinden kontrol edelim: D F A C = 18 12 = 3 2 Oranlar aynı çıktığı için benzerlik oranı doğrudur. Şimdi BC ↔ EF olduğundan EF uzunluğunu bulalım: E F = k · B C = 3 2 · 10 = 15 Sonuç olarak doğru cevap C seçeneğidir.

Doğru cevap: C

Önce A B uzunluğunu bulalım. A B = A D + D B A B = 4 + 6 = 10 D E ∥ B C olduğundan, A D E ile A B C üçgenleri benzerdir. △ A D E ∼ △ A B C Benzerlik oranını A D ve A B üzerinden yazalım. A D A B = 4 10 = 2 5 Aynı oran A E ve A C için de geçerlidir. A E A C = A D A B = 2 5 A E = 5 verildiğine göre A C uzunluğunu bulalım. 5 A C = 2 5 A C = 5 × 5 2 = 12.5 İstenen E C uzunluğu, A C ’den A E çıkarılarak bulunur. E C = A C − A E E C = 12.5 − 5 = 7.5 Bulduğumuz değer 7.5 olduğuna göre doğru şık C ’dir.

1. Çözüm: Önce A B uzunluğunu bulalım. A B = A D + D B A B = 4 + 6 = 10 D E ∥ B C olduğundan, A D E ile A B C üçgenleri benzerdir. △ A D E ∼ △ A B C Benzerlik oranını A D ve A B üzerinden yazalım. A D A B = 4 10 = 2 5 Aynı oran A E ve A C için de geçerlidir. A E A C = A D A B = 2 5 A E = 5 verildiğine göre A C uzunluğunu bulalım. 5 A C = 2 5 A C = 5 × 5 2 = 12.5 İstenen E C uzunluğu, A C ’den A E çıkarılarak bulunur. E C = A C − A E E C = 12.5 − 5 = 7.5 Bulduğumuz değer 7.5 olduğuna göre doğru şık C ’dir.

Doğru cevap: B

DE, BC’ye paralel olduğundan üçgenler benzerdir. Δ ADE ∼ Δ ABC Verilen oranı kullanarak benzerlik oranını bulalım. AD: DB = 3: 2 AB = AD + DB AD AB = 3 3 + 2 = 3 5 Benzer üçgenlerde alan oranı, benzerlik oranının karesidir. S ( Δ ADE ) S ( Δ ABC ) = ( AD AB ) 2 S ( Δ ADE ) S ( Δ ABC ) = ( 3 5 ) 2 = 9 25 Verilen alanı kullanarak büyük üçgenin alanını bulalım. S ( Δ ADE ) = 54 54 S ( Δ ABC ) = 9 25 S ( Δ ABC ) = 54 × 25 9 = 150 İstenen bölge, büyük üçgenden küçük üçgenin çıkarılmasıyla bulunur. S ( DBCE ) = S ( Δ ABC ) - S ( Δ ADE ) S ( DBCE ) = 150 - 54 = 96 Sonuç: Doğru seçenek B’dir. B: 96

1. Çözüm: DE, BC’ye paralel olduğundan üçgenler benzerdir. Δ ADE ∼ Δ ABC Verilen oranı kullanarak benzerlik oranını bulalım. AD: DB = 3: 2 AB = AD + DB AD AB = 3 3 + 2 = 3 5 Benzer üçgenlerde alan oranı, benzerlik oranının karesidir. S ( Δ ADE ) S ( Δ ABC ) = ( AD AB ) 2 S ( Δ ADE ) S ( Δ ABC ) = ( 3 5 ) 2 = 9 25 Verilen alanı kullanarak büyük üçgenin alanını bulalım. S ( Δ ADE ) = 54 54 S ( Δ ABC ) = 9 25 S ( Δ ABC ) = 54 × 25 9 = 150 İstenen bölge, büyük üçgenden küçük üçgenin çıkarılmasıyla bulunur. S ( DBCE ) = S ( Δ ABC ) - S ( Δ ADE ) S ( DBCE ) = 150 - 54 = 96 Sonuç: Doğru seçenek B’dir. B: 96

Doğru cevap: C

Verilen D E ∥ B C olduğundan, oluşan üçgenler benzerdir: △ A D E ∼ △ A B C Önce A B uzunluğunu bulalım: A B = A D + D B A B = 8 + 2 = 10 Paralel doğruların oluşturduğu orantıdan (temel orantı teoremi) şu oranı yazabiliriz: A D D B = A E E C Verilenleri yerine koyalım: 8 2 = A E 6 Buradan A E hesaplayalım: A E = 6 · 8 2 A E = 6 · 4 = 24 Sonuç olarak doğru cevap C şıkkıdır: A E = 24

1. Çözüm: Verilen D E ∥ B C olduğundan, oluşan üçgenler benzerdir: △ A D E ∼ △ A B C Önce A B uzunluğunu bulalım: A B = A D + D B A B = 8 + 2 = 10 Paralel doğruların oluşturduğu orantıdan (temel orantı teoremi) şu oranı yazabiliriz: A D D B = A E E C Verilenleri yerine koyalım: 8 2 = A E 6 Buradan A E hesaplayalım: A E = 6 · 8 2 A E = 6 · 4 = 24 Sonuç olarak doğru cevap C şıkkıdır: A E = 24

Doğru cevap: A

Önce A B uzunluğunu bulalım. A B = A D + D B = 6 + 3 = 9 D E ∥ B C olduğundan benzerlik vardır: △ A D E ∼ △ A B C Bu yüzden oran: A D A B = A E A C = 6 9 = 2 3 Buradan: A E A C = 2 3 Dolayısıyla: C E C A = 1 - 2 3 = 1 3 E F ∥ A B olduğundan yine benzerlik vardır: △ C E F ∼ △ C A B Bu benzerlikten: C F C B = C E C A = 1 3 Verilen C F = 8 bilgisini kullanalım: 8 C B = 1 3 C B = 3 · 8 = 24 Sonuç: B C = 24 Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce A B uzunluğunu bulalım. A B = A D + D B = 6 + 3 = 9 D E ∥ B C olduğundan benzerlik vardır: △ A D E ∼ △ A B C Bu yüzden oran: A D A B = A E A C = 6 9 = 2 3 Buradan: A E A C = 2 3 Dolayısıyla: C E C A = 1 - 2 3 = 1 3 E F ∥ A B olduğundan yine benzerlik vardır: △ C E F ∼ △ C A B Bu benzerlikten: C F C B = C E C A = 1 3 Verilen C F = 8 bilgisini kullanalım: 8 C B = 1 3 C B = 3 · 8 = 24 Sonuç: B C = 24 Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen durum: A B C D ∈ AB ¯, E ∈ AC ¯, DE ¯ ∥ BC ¯ AD: DB = 2: 3 P ( A D E ) = 20 Önce oranı ile benzerlik oranını bulalım: AD: DB = 2: 3 AB = AD + DB AD AB = 2 2 + 3 = 2 5 Paralellikten benzerlik: DE ¯ ∥ BC ¯ △ A D E ∼ △ A B C AD AB = AE AC = DE BC = 2 5 Benzer üçgenlerde çevreler de aynı oranda değişir: P ( A D E ) P ( A B C ) = 2 5 Verilen çevreyi yerine koyalım: 20 P ( A B C ) = 2 5 P ( A B C ) = 20 · 5 2 = 50 Sonuç ve şık kontrolü: P ( A B C ) = 50 Doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: Verilen durum: A B C D ∈ AB ¯, E ∈ AC ¯, DE ¯ ∥ BC ¯ AD: DB = 2: 3 P ( A D E ) = 20 Önce oranı ile benzerlik oranını bulalım: AD: DB = 2: 3 AB = AD + DB AD AB = 2 2 + 3 = 2 5 Paralellikten benzerlik: DE ¯ ∥ BC ¯ △ A D E ∼ △ A B C AD AB = AE AC = DE BC = 2 5 Benzer üçgenlerde çevreler de aynı oranda değişir: P ( A D E ) P ( A B C ) = 2 5 Verilen çevreyi yerine koyalım: 20 P ( A B C ) = 2 5 P ( A B C ) = 20 · 5 2 = 50 Sonuç ve şık kontrolü: P ( A B C ) = 50 Doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: B

Verilenlere göre DE doğrusu BC ’ye paralel olduğundan, ABC üçgeninde ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir. Önce AB üzerindeki oranı kullanarak AD ’nin AB ’ye oranını bulalım: AD AB = AD AD + DB = 3 3 + 2 = 3 5 Benzerlikten, karşılıklı kenar oranları eşittir. Bu nedenle: DE BC = AD AB = 3 5 Verilen DE uzunluğunu yerine yazalım: 12 BC = 3 5 Buradan BC ’yi bulalım: BC = 12 × 5 3 = 20 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilenlere göre DE doğrusu BC ’ye paralel olduğundan, ABC üçgeninde ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir. Önce AB üzerindeki oranı kullanarak AD ’nin AB ’ye oranını bulalım: AD AB = AD AD + DB = 3 3 + 2 = 3 5 Benzerlikten, karşılıklı kenar oranları eşittir. Bu nedenle: DE BC = AD AB = 3 5 Verilen DE uzunluğunu yerine yazalım: 12 BC = 3 5 Buradan BC ’yi bulalım: BC = 12 × 5 3 = 20 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.