8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

x tam sayıdır.Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
$| 2 x - 3 | < 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | < 5 Mutlak değerli eşitsizlik kuralı: | A | < b Buradan: - 5 < 2 x - 3 < 5 Her tarafa aynı anda toplama yapalım: - 5 + 3 < 2 x - 3 + 3 < 5 + 3 Sadeleştirelim: - 2 < 2 x < 8 Her tarafı aynı anda bölelim: - 2 2 < 2 x 2 < 8 2 Sonuç: - 1 < x < 4 Tam sayı olan x değerleri: x ∈ { 0, 1, 2, 3 } Bu değerlerin toplamı: 0 + 1 + 2 + 3 = 6 Şıklardaki seçeneğiD379: 6 Toplam seçeneğiD400 ile aynı olduğundan doğru cevap D431’dir.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | < 5 Mutlak değerli eşitsizlik kuralı: | A | < b Buradan: - 5 < 2 x - 3 < 5 Her tarafa aynı anda toplama yapalım: - 5 + 3 < 2 x - 3 + 3 < 5 + 3 Sadeleştirelim: - 2 < 2 x < 8 Her tarafı aynı anda bölelim: - 2 2 < 2 x 2 < 8 2 Sonuç: - 1 < x < 4 Tam sayı olan x değerleri: x ∈ { 0, 1, 2, 3 } Bu değerlerin toplamı: 0 + 1 + 2 + 3 = 6 Şıklardaki seçeneğiD379: 6 Toplam seçeneğiD400 ile aynı olduğundan doğru cevap D431’dir.

Verilen eşitsizlik:

| 2 x - 3 | < 5

Mutlak değerli eşitsizlik kuralı:

| A | < b

Buradan:

- 5 < 2 x - 3 < 5

Her tarafa aynı anda toplama yapalım:

- 5 + 3 < 2 x - 3 + 3 < 5 + 3

Sadeleştirelim:

- 2 < 2 x < 8

Her tarafı aynı anda bölelim:

\frac{- 2}{2} < \frac{2 x}{2} < \frac{8}{2}

Sonuç:

- 1 < x < 4

Tam sayı olan x değerleri:

x \in {0, 1, 2, 3}

Bu değerlerin toplamı:

0 + 1 + 2 + 3 = 6

Şıklardaki seçeneğiD2583:

6

Toplam seçeneğiD2748 ile aynı olduğundan doğru cevap D2779’dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı kaçtır?
$|2 x - 3| \leq 7 - x$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesi hangisidir?
$| x - 4 | + | x + 2 | \geq 10$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce verilen eşitsizliği yazalım: | x - 4 | + | x + 2 | ≥ 10 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 4 x = - 2 Bu yüzden sayı doğrusunu üç aralıkta inceleriz: x ≤ - 2 - 2 ≤ x ≤ 4 x ≥ 4 1) Durum: x ≥ 4 iken mutlak değerler açılır: | x - 4 | = x - 4 | x + 2 | = x + 2 Eşitsizliğe yerleştirip çözelim: ( x - 4 ) + ( x + 2 ) ≥ 10 2 x - 2 ≥ 10 2 x ≥ 12 x ≥ 6 Bu durumun çözümü: [ 6, ∞ ) 2) Durum: -2 ≤ x ≤ 4 iken mutlak değerler açılır: | x - 4 | = 4 - x | x + 2 | = x + 2 Toplamı bulalım: ( 4 - x ) + ( x + 2 ) = 6 Bu aralıkta eşitsizlik: 6 ≥ 10 Yanlış olduğu için bu aralıktan çözüm çıkmaz. 3) Durum: x ≤ -2 iken mutlak değerler açılır: | x - 4 | = 4 - x | x + 2 | = - ( x + 2 ) Eşitsizliği çözelim: ( 4 - x ) + ( - ( x + 2 ) ) ≥ 10 4 - x - x - 2 ≥ 10 2 - 2 x ≥ 10 - 2 x ≥ 8 x ≤ - 4 Bu durumun çözümü: ( - ∞, - 4 ] Tüm aralıkların birleşimi (çözüm kümesi): ( - ∞, - 4 ] ∪ [ 6, ∞ ) Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B1088 ’dır.

Çözüm: Önce verilen eşitsizliği yazalım: | x - 4 | + | x + 2 | ≥ 10 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 4 x = - 2 Bu yüzden sayı doğrusunu üç aralıkta inceleriz: x ≤ - 2 - 2 ≤ x ≤ 4 x ≥ 4 1) Durum: x ≥ 4 iken mutlak değerler açılır: | x - 4 | = x - 4 | x + 2 | = x + 2 Eşitsizliğe yerleştirip çözelim: ( x - 4 ) + ( x + 2 ) ≥ 10 2 x - 2 ≥ 10 2 x ≥ 12 x ≥ 6 Bu durumun çözümü: [ 6, ∞ ) 2) Durum: -2 ≤ x ≤ 4 iken mutlak değerler açılır: | x - 4 | = 4 - x | x + 2 | = x + 2 Toplamı bulalım: ( 4 - x ) + ( x + 2 ) = 6 Bu aralıkta eşitsizlik: 6 ≥ 10 Yanlış olduğu için bu aralıktan çözüm çıkmaz. 3) Durum: x ≤ -2 iken mutlak değerler açılır: | x - 4 | = 4 - x | x + 2 | = - ( x + 2 ) Eşitsizliği çözelim: ( 4 - x ) + ( - ( x + 2 ) ) ≥ 10 4 - x - x - 2 ≥ 10 2 - 2 x ≥ 10 - 2 x ≥ 8 x ≤ - 4 Bu durumun çözümü: ( - ∞, - 4 ] Tüm aralıkların birleşimi (çözüm kümesi): ( - ∞, - 4 ] ∪ [ 6, ∞ ) Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B1088 ’dır.

Önce verilen eşitsizliği yazalım:

| x - 4 | + | x + 2 | \geq 10

Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar:

x = 4

x = - 2

Bu yüzden sayı doğrusunu üç aralıkta inceleriz:

x \leq - 2

- 2 \leq x \leq 4

x \geq 4

1) Durum: x ≥ 4 iken mutlak değerler açılır:

| x - 4 | = x - 4

| x + 2 | = x + 2

Eşitsizliğe yerleştirip çözelim:

(x - 4) + (x + 2) \geq 10

2 x - 2 \geq 10

2 x \geq 12

x \geq 6

Bu durumun çözümü:

[6, \infty)

2) Durum: -2 ≤ x ≤ 4 iken mutlak değerler açılır:

| x - 4 | = 4 - x

| x + 2 | = x + 2

Toplamı bulalım:

(4 - x) + (x + 2) = 6

Bu aralıkta eşitsizlik:

6 \geq 10

Yanlış olduğu için bu aralıktan çözüm çıkmaz.

3) Durum: x ≤ -2 iken mutlak değerler açılır:

| x - 4 | = 4 - x

| x + 2 | = - (x + 2)

Eşitsizliği çözelim:

(4 - x) + (- (x + 2)) \geq 10

4 - x - x - 2 \geq 10

2 - 2 x \geq 10

- 2 x \geq 8

x \leq - 4

Bu durumun çözümü:

(- \infty, - 4]

Tüm aralıkların birleşimi (çözüm kümesi):

(- \infty, - 4] \cup [6, \infty)

Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin aralığı hangisidir?
$|2 x - 3| < x + 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri hangisidir?
$|2 x - 3| + |x + 1| \leq 7$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

İstenen eşitsizlik: 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım. 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 Aralıkları bu noktalara göre inceleyelim. 1) Durum: x < - 1 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 x ≥ - 5 3 ∧ x < - 1 x ∈ [ - 5 3, - 1 ) 2) Durum: - 1 ≤ x < 3 2 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = x + 1 ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 x ≥ - 3 ∧ - 1 ≤ x < 3 2 x ∈ [ - 1, 3 2 ) 3) Durum: x ≥ 3 2 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 3 2 ≤ x ≤ 3 x ∈ [ 3 2, 3 ] Bulduğumuz aralıkları birleştirelim. [ - 5 3, - 1 ) ∪ [ - 1, 3 2 ) ∪ [ 3 2, 3 ] = [ - 5 3, 3 ] Sonuç (şık kontrolü): - 5 3 ≤ x ≤ 3 Bu ifade şıkkıD908yla aynıdır; doğru cevap D928’dır.

Çözüm: İstenen eşitsizlik: 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım. 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 Aralıkları bu noktalara göre inceleyelim. 1) Durum: x < - 1 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 x ≥ - 5 3 ∧ x < - 1 x ∈ [ - 5 3, - 1 ) 2) Durum: - 1 ≤ x < 3 2 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = x + 1 ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 x ≥ - 3 ∧ - 1 ≤ x < 3 2 x ∈ [ - 1, 3 2 ) 3) Durum: x ≥ 3 2 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 3 2 ≤ x ≤ 3 x ∈ [ 3 2, 3 ] Bulduğumuz aralıkları birleştirelim. [ - 5 3, - 1 ) ∪ [ - 1, 3 2 ) ∪ [ 3 2, 3 ] = [ - 5 3, 3 ] Sonuç (şık kontrolü): - 5 3 ≤ x ≤ 3 Bu ifade şıkkıD908yla aynıdır; doğru cevap D928’dır.

İstenen eşitsizlik:

|2 x - 3| + |x + 1| \leq 7

Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım.

2 x - 3 = 0

x = \frac{3}{2}

x + 1 = 0

x = - 1

Aralıkları bu noktalara göre inceleyelim.

1) Durum:

x < - 1

|2 x - 3| = - (2 x - 3) = - 2 x + 3

|x + 1| = - (x + 1) = - x - 1

(- 2 x + 3) + (- x - 1) \leq 7

- 3 x + 2 \leq 7

- 3 x \leq 5

x \geq \frac{- 5}{3}

x \geq \frac{- 5}{3} \land x < - 1

x \in [\frac{- 5}{3}, - 1)

2) Durum:

- 1 \leq x < \frac{3}{2}

|2 x - 3| = - (2 x - 3) = - 2 x + 3

|x + 1| = x + 1

(- 2 x + 3) + (x + 1) \leq 7

- x + 4 \leq 7

- x \leq 3

x \geq - 3

x \geq - 3 \land - 1 \leq x < \frac{3}{2}

x \in [- 1, \frac{3}{2})

3) Durum:

x \geq \frac{3}{2}

|2 x - 3| = 2 x - 3

|x + 1| = x + 1

(2 x - 3) + (x + 1) \leq 7

3 x - 2 \leq 7

3 x \leq 9

x \leq 3

\frac{3}{2} \leq x \leq 3

x \in [\frac{3}{2}, 3]

Bulduğumuz aralıkları birleştirelim.

[\frac{- 5}{3}, - 1) \cup [- 1, \frac{3}{2}) \cup [\frac{3}{2}, 3]

= [\frac{- 5}{3}, 3]

Sonuç (şık kontrolü):

\frac{- 5}{3} \leq x \leq 3

Bu ifade şıkkıD6903yla aynıdır; doğru cevap D6923’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Tam sayılar kümesinde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 4}{x + 2} \geq 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$x$ tam sayıdır.
$|2 x - 5| \leq x + 1$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $x$ değeri vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce şıkkı kontrol edelim: İstenen eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin sayısı B şıkkı (beş) mi, bulacağız. Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 ≤ x + 1 Mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğu için sağ tarafın da sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: x + 1 ≥ 0 Buradan: x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 Her iki taraftan x çıkaralım: x - 5 ≤ 1 Her iki tarafa 5 ekleyelim: x ≤ 6 Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 Parantezi açalım: - x - 1 ≤ 2 x - 5 Her iki tarafa x ekleyelim: - 1 ≤ 3 x - 5 Her iki tarafa 5 ekleyelim: 4 ≤ 3 x Her iki tarafı 3 ile bölelim: 4 3 ≤ x Tam sayı şartıyla bu son eşitsizlik: x ≥ 2 olur. Ayrıca daha önce bulduğumuz koşul: x ≥ - 1 zaten daha zayıf kaldığı için esas alt sınır: x ≥ 2 Üst sınır da: x ≤ 6 Çözüm aralığı: 2 ≤ x ≤ 6 Bu aralıktaki tam sayılar: { 2, 3, 4, 5, 6 } Toplam adet: 5 Sonuç: Doğru cevap B şıkkı dır.

Çözüm: Önce şıkkı kontrol edelim: İstenen eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin sayısı B şıkkı (beş) mi, bulacağız. Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 ≤ x + 1 Mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğu için sağ tarafın da sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: x + 1 ≥ 0 Buradan: x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 Her iki taraftan x çıkaralım: x - 5 ≤ 1 Her iki tarafa 5 ekleyelim: x ≤ 6 Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 Parantezi açalım: - x - 1 ≤ 2 x - 5 Her iki tarafa x ekleyelim: - 1 ≤ 3 x - 5 Her iki tarafa 5 ekleyelim: 4 ≤ 3 x Her iki tarafı 3 ile bölelim: 4 3 ≤ x Tam sayı şartıyla bu son eşitsizlik: x ≥ 2 olur. Ayrıca daha önce bulduğumuz koşul: x ≥ - 1 zaten daha zayıf kaldığı için esas alt sınır: x ≥ 2 Üst sınır da: x ≤ 6 Çözüm aralığı: 2 ≤ x ≤ 6 Bu aralıktaki tam sayılar: { 2, 3, 4, 5, 6 } Toplam adet: 5 Sonuç: Doğru cevap B şıkkı dır.

Önce şıkkı kontrol edelim: İstenen eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin sayısı B şıkkı (beş) mi, bulacağız.

Verilen eşitsizlik:

|2 x - 5| \leq x + 1

Mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğu için sağ tarafın da sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir:

x + 1 \geq 0

Buradan:

x \geq - 1

Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çeviririz:

- (x + 1) \leq 2 x - 5 \leq x + 1

Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim:

2 x - 5 \leq x + 1

Her iki taraftan $x$ çıkaralım:

x - 5 \leq 1

Her iki tarafa $5$ ekleyelim:

x \leq 6

Sol taraftaki eşitsizliği çözelim:

- (x + 1) \leq 2 x - 5

Parantezi açalım:

- x - 1 \leq 2 x - 5

Her iki tarafa $x$ ekleyelim:

- 1 \leq 3 x - 5

Her iki tarafa $5$ ekleyelim:

4 \leq 3 x

Her iki tarafı $3$ ile bölelim:

\frac{4}{3} \leq x

Tam sayı şartıyla bu son eşitsizlik:

x \geq 2

olur. Ayrıca daha önce bulduğumuz koşul:

x \geq - 1

zaten daha zayıf kaldığı için esas alt sınır:

x \geq 2

Üst sınır da:

x \leq 6

Çözüm aralığı:

2 \leq x \leq 6

Bu aralıktaki tam sayılar:

{2, 3, 4, 5, 6}

Toplam adet:

5

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x - 2}{x + 1} < \frac{x + 1}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Sorudaki eşitsizlik: x − 2 x + 1 < x + 1 x − 2 Önce tanım kümesini belirleyelim (paydalar sıfır olamaz): x ≠ −1, x ≠ 2 Tüm ifadeyi bir tarafa toplayalım: x − 2 x + 1 − x + 1 x − 2 < 0 Ortak payda ile tek kesre getirelim: ( x − 2 ) 2 − ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) ( x − 2 ) < 0 Payı açalım: ( x − 2 ) 2 − ( x + 1 ) 2 = ( x 2 − 4 x + 4 ) − ( x 2 + 2 x + 1 ) Sadeleştirelim: ( x − 2 ) 2 − ( x + 1 ) 2 = −6 x + 3 = 3 ( 1 − 2 x ) Eşitsizlik şu hale gelir (3 her zaman pozitif olduğu için işareti etkilemez): 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) < 0 Kritik noktalar (payı ve paydayı sıfır yapan değerler): x = −1, x = 1 2, x = 2 İşaret incelemesi: • Aralık (-∞, -1) için (ör. x = -2 ): kesir pozitif → çözüm değil • Aralık (-1, 1/2) için (ör. x = 0 ): kesir negatif → çözüm • Aralık (1/2, 2) için (ör. x = 1 ): kesir pozitif → çözüm değil • Aralık (2, ∞) için (ör. x = 3 ): kesir negatif → çözüm Bu nedenle çözüm kümesi: ( −1, 1 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) Şıklara göre bu sonuç şıkkıC1120dır. Yani doğru cevap C1137 ’dır.

Çözüm: Sorudaki eşitsizlik: x − 2 x + 1 < x + 1 x − 2 Önce tanım kümesini belirleyelim (paydalar sıfır olamaz): x ≠ −1, x ≠ 2 Tüm ifadeyi bir tarafa toplayalım: x − 2 x + 1 − x + 1 x − 2 < 0 Ortak payda ile tek kesre getirelim: ( x − 2 ) 2 − ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) ( x − 2 ) < 0 Payı açalım: ( x − 2 ) 2 − ( x + 1 ) 2 = ( x 2 − 4 x + 4 ) − ( x 2 + 2 x + 1 ) Sadeleştirelim: ( x − 2 ) 2 − ( x + 1 ) 2 = −6 x + 3 = 3 ( 1 − 2 x ) Eşitsizlik şu hale gelir (3 her zaman pozitif olduğu için işareti etkilemez): 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) < 0 Kritik noktalar (payı ve paydayı sıfır yapan değerler): x = −1, x = 1 2, x = 2 İşaret incelemesi: • Aralık (-∞, -1) için (ör. x = -2 ): kesir pozitif → çözüm değil • Aralık (-1, 1/2) için (ör. x = 0 ): kesir negatif → çözüm • Aralık (1/2, 2) için (ör. x = 1 ): kesir pozitif → çözüm değil • Aralık (2, ∞) için (ör. x = 3 ): kesir negatif → çözüm Bu nedenle çözüm kümesi: ( −1, 1 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) Şıklara göre bu sonuç şıkkıC1120dır. Yani doğru cevap C1137 ’dır.

Sorudaki eşitsizlik:

\frac{x - 2}{x + 1} < \frac{x + 1}{x - 2}

Önce tanım kümesini belirleyelim (paydalar sıfır olamaz):

x \neq −1, x \neq 2

Tüm ifadeyi bir tarafa toplayalım:

\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{x + 1}{x - 2} < 0

Ortak payda ile tek kesre getirelim:

\frac{{(x - 2)}^{2} - {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 2)} < 0

Payı açalım:

{(x - 2)}^{2} - {(x + 1)}^{2} = (x^{2} - 4 x + 4) - (x^{2} + 2 x + 1)

Sadeleştirelim:

{(x - 2)}^{2} - {(x + 1)}^{2} = −6 x + 3 = 3 (1 - 2 x)

Eşitsizlik şu hale gelir (3 her zaman pozitif olduğu için işareti etkilemez):

\frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 2)} < 0

Kritik noktalar (payı ve paydayı sıfır yapan değerler):

x = −1, x = \frac{1}{2}, x = 2

İşaret incelemesi:

• Aralık (-∞, -1) için (ör. x = -2): kesir pozitif → çözüm değil

• Aralık (-1, 1/2) için (ör. x = 0): kesir negatif → çözüm

• Aralık (1/2, 2) için (ör. x = 1): kesir pozitif → çözüm değil

• Aralık (2, ∞) için (ör. x = 3): kesir negatif → çözüm

Bu nedenle çözüm kümesi:

(−1, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)

Şıklara göre bu sonuç A şıkkıdır. Yani doğru cevap A’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?
$\frac{x + 4}{x - 1} > 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: x + 4 x - 1 > 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz, bu yüzden: x ≠ 1 Her iki taraftan 2 çıkarıp tek kesirde toplayalım: x + 4 x - 1 - 2 > 0 Paydaları eşitleyip tek kesir yapalım: ( x + 4 ) - 2 ( x - 1 ) x - 1 > 0 Payı sadeleştirelim: x + 4 - 2 x + 2 x - 1 > 0 Daha da sadeleştirirsek: 6 - x x - 1 > 0 Kesrin işaretini değiştiren kritik noktalar payı ve paydayı sıfır yapan değerlerdir: x = 6 x = 1 Aralıkları inceleyelim: • ( 1, 6 ) aralığında 6−x pozitif, x−1 pozitif olduğu için kesir pozitiftir ve eşitsizliği sağlar. • ( −∞, 1 ) aralığında pay pozitif, payda negatif → kesir negatif, sağlamaz. • ( 6, ∞ ) aralığında pay negatif, payda pozitif → kesir negatif, sağlamaz. Bu nedenle çözüm aralığı: 1 < x < 6 Tam sayılar: x ∈ { 2, 3, 4, 5 } Toplamları: 2 + 3 + 4 + 5 = 14 Sonuç: Doğru seçenek D803 'dir.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: x + 4 x - 1 > 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz, bu yüzden: x ≠ 1 Her iki taraftan 2 çıkarıp tek kesirde toplayalım: x + 4 x - 1 - 2 > 0 Paydaları eşitleyip tek kesir yapalım: ( x + 4 ) - 2 ( x - 1 ) x - 1 > 0 Payı sadeleştirelim: x + 4 - 2 x + 2 x - 1 > 0 Daha da sadeleştirirsek: 6 - x x - 1 > 0 Kesrin işaretini değiştiren kritik noktalar payı ve paydayı sıfır yapan değerlerdir: x = 6 x = 1 Aralıkları inceleyelim: • ( 1, 6 ) aralığında 6−x pozitif, x−1 pozitif olduğu için kesir pozitiftir ve eşitsizliği sağlar. • ( −∞, 1 ) aralığında pay pozitif, payda negatif → kesir negatif, sağlamaz. • ( 6, ∞ ) aralığında pay negatif, payda pozitif → kesir negatif, sağlamaz. Bu nedenle çözüm aralığı: 1 < x < 6 Tam sayılar: x ∈ { 2, 3, 4, 5 } Toplamları: 2 + 3 + 4 + 5 = 14 Sonuç: Doğru seçenek D803 'dir.

Verilen eşitsizlik:

\frac{x + 4}{x - 1} > 2

Tanım gereği payda sıfır olamaz, bu yüzden:

x \neq 1

Her iki taraftan 2 çıkarıp tek kesirde toplayalım:

\frac{x + 4}{x - 1} - 2 > 0

Paydaları eşitleyip tek kesir yapalım:

\frac{(x + 4) - 2 (x - 1)}{x - 1} > 0

Payı sadeleştirelim:

\frac{x + 4 - 2 x + 2}{x - 1} > 0

Daha da sadeleştirirsek:

\frac{6 - x}{x - 1} > 0

Kesrin işaretini değiştiren kritik noktalar payı ve paydayı sıfır yapan değerlerdir:

x = 6

x = 1

Aralıkları inceleyelim:

• (1,6) aralığında 6−x pozitif, x−1 pozitif olduğu için kesir pozitiftir ve eşitsizliği sağlar.

• (−∞,1) aralığında pay pozitif, payda negatif → kesir negatif, sağlamaz.

• (6,∞) aralığında pay negatif, payda pozitif → kesir negatif, sağlamaz.

Bu nedenle çözüm aralığı:

1 < x < 6

Tam sayılar:

x \in {2, 3, 4, 5}

Toplamları:

2 + 3 + 4 + 5 = 14

Sonuç: Doğru seçenek B'dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?
$\frac{2 x - 3}{x + 1} > \frac{1}{2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlikte payda sıfır olamayacağı için önce tanım koşulunu yazalım: x ≠ − 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 2 x − 3 x + 1 − 1 2 > 0 Ortak payda ile tek kesir haline getirelim: 2 ( 2 x − 3 ) − ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) > 0 Payı sadeleştirelim: 4 x − 6 − x − 1 2 ( x + 1 ) > 0 Benzer terimleri toplayalım: 3 x − 7 2 ( x + 1 ) > 0 Paydadaki 2 her zaman pozitif olduğu için işareti etkilemez; bu yüzden şu eşitsizliğe bakmak yeterlidir: 3 x − 7 x + 1 > 0 Kritik noktaları (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan) bulalım: 3 x − 7 = 0 ⇒ x = 7 3 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 İşaret incelemesi sonucunda kesir, şu aralıklarda pozitiftir (eşitsizlik sağlanır): x < − 1 ∪ x > 7 3 Pozitif tam sayı istendiği için ikinci aralığa bakarız. En küçük pozitif tam sayıyı belirleyelim: 7 3 < 3 < 4 Bu nedenle en küçük pozitif tam sayı: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A834 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen eşitsizlikte payda sıfır olamayacağı için önce tanım koşulunu yazalım: x ≠ − 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 2 x − 3 x + 1 − 1 2 > 0 Ortak payda ile tek kesir haline getirelim: 2 ( 2 x − 3 ) − ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) > 0 Payı sadeleştirelim: 4 x − 6 − x − 1 2 ( x + 1 ) > 0 Benzer terimleri toplayalım: 3 x − 7 2 ( x + 1 ) > 0 Paydadaki 2 her zaman pozitif olduğu için işareti etkilemez; bu yüzden şu eşitsizliğe bakmak yeterlidir: 3 x − 7 x + 1 > 0 Kritik noktaları (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan) bulalım: 3 x − 7 = 0 ⇒ x = 7 3 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 İşaret incelemesi sonucunda kesir, şu aralıklarda pozitiftir (eşitsizlik sağlanır): x < − 1 ∪ x > 7 3 Pozitif tam sayı istendiği için ikinci aralığa bakarız. En küçük pozitif tam sayıyı belirleyelim: 7 3 < 3 < 4 Bu nedenle en küçük pozitif tam sayı: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A834 şıkkıdır.

Verilen eşitsizlikte payda sıfır olamayacağı için önce tanım koşulunu yazalım:

x \neq - 1

Eşitsizliği tek tarafa toplayalım:

\frac{2 x - 3}{x + 1} - \frac{1}{2} > 0

Ortak payda ile tek kesir haline getirelim:

\frac{2 (2 x - 3) - (x + 1)}{2 (x + 1)} > 0

Payı sadeleştirelim:

\frac{4 x - 6 - x - 1}{2 (x + 1)} > 0

Benzer terimleri toplayalım:

\frac{3 x - 7}{2 (x + 1)} > 0

Paydadaki 2 her zaman pozitif olduğu için işareti etkilemez; bu yüzden şu eşitsizliğe bakmak yeterlidir:

\frac{3 x - 7}{x + 1} > 0

Kritik noktaları (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan) bulalım:

3 x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3}

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

İşaret incelemesi sonucunda kesir, şu aralıklarda pozitiftir (eşitsizlik sağlanır):

x < - 1 \cup x > \frac{7}{3}

Pozitif tam sayı istendiği için ikinci aralığa bakarız. En küçük pozitif tam sayıyı belirleyelim:

\frac{7}{3} < 3 < 4

Bu nedenle en küçük pozitif tam sayı:

x = 3

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

8. Sınıf Eşitsizlikler Testleri

Eşitsizlik Çözüm Kümesi

Günlük Yaşam Problemleri

8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

x tam sayıdır.Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
$| 2 x - 3 | < 5$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı kaçtır?
$|2 x - 3| \leq 7 - x$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesi hangisidir?
$| x - 4 | + | x + 2 | \geq 10$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin aralığı hangisidir?
$|2 x - 3| < x + 5$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri hangisidir?
$|2 x - 3| + |x + 1| \leq 7$

Tam sayılar kümesinde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 4}{x + 2} \geq 2$

$x$ tam sayıdır.
$|2 x - 5| \leq x + 1$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $x$ değeri vardır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x - 2}{x + 1} < \frac{x + 1}{x - 2}$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?
$\frac{x + 4}{x - 1} > 2$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?
$\frac{2 x - 3}{x + 1} > \frac{1}{2}$

Eşitsizlikler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

8. Sınıf Eşitsizlikler Testleri

Eşitsizlik Çözüm Kümesi

Günlük Yaşam Problemleri

8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

x tam sayıdır.Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?|2x-3|<5

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı kaçtır?2x-3≤7-x

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesi hangisidir?|x-4|+|x+2|≥10

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerinin aralığı hangisidir?2x-3<x+5

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerleri hangisidir?2x-3+x+1≤7

Tam sayılar kümesinde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?x-4x+2≥2

x tam sayıdır.2x-5≤x+1 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.x−2x+1<x+1x−2

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?x+4x-1>2

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayıx kaçtır?2x-3x+1>12

Eşitsizlikler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

x tam sayıdır.Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
$| 2 x - 3 | < 5$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı kaçtır?
$|2 x - 3| \leq 7 - x$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesi hangisidir?
$| x - 4 | + | x + 2 | \geq 10$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin aralığı hangisidir?
$|2 x - 3| < x + 5$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri hangisidir?
$|2 x - 3| + |x + 1| \leq 7$

Tam sayılar kümesinde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 4}{x + 2} \geq 2$

$x$ tam sayıdır.
$|2 x - 5| \leq x + 1$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $x$ değeri vardır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x - 2}{x + 1} < \frac{x + 1}{x - 2}$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?
$\frac{x + 4}{x - 1} > 2$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?
$\frac{2 x - 3}{x + 1} > \frac{1}{2}$