8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: B

B şıkkı (−5) doğru mu kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 + x + 3 ≥ 12 Mutlak değerlerin işaret değiştireceği kritik noktaları bulalım: 1) 2 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 2 2) x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 Buna göre 3 aralık inceleyeceğiz: ( - ∞, - 3 ),   [ - 3, 1 2 ),   [ 1 2, ∞ ) 1. Aralık: Koşul: x < - 3 Bu aralıkta 2 x - 1 < 0,   x + 3 < 0 Bu yüzden mutlak değerler: 2 x - 1 = - ( 2 x - 1 ) = - 2 x + 1 x + 3 = - ( x + 3 ) = - x - 3 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( - 2 x + 1 ) + ( - x - 3 ) ≥ 12 Sadeleştirelim: - 3 x - 2 ≥ 12 Çözelim: - 3 x ≥ 14 x ≤ - 14 3 2. Aralık: Koşul: - 3 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta 2 x - 1 < 0,   x + 3 ≥ 0 Bu yüzden: 2 x - 1 = - 2 x + 1 x + 3 = x + 3 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( - 2 x + 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 12 Sadeleştirelim: - x + 4 ≥ 12 Çözelim: - x ≥ 8 x ≤ - 8 Fakat bu sonuç, - 3 ≤ x koşuluyla çeliştiği için bu aralıkta çözüm yoktur. 3. Aralık: Koşul: x ≥ 1 2 Bu aralıkta 2 x - 1 ≥ 0,   x + 3 ≥ 0 Bu yüzden: 2 x - 1 = 2 x - 1 x + 3 = x + 3 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 12 Sadeleştirelim: 3 x + 2 ≥ 12 Çözelim: 3 x ≥ 10 x ≥ 10 3 Tüm çözümleri birleştirirsek: x ≤ - 14 3   veya   x ≥ 10 3 İstenen: Eşitsizliği sağlayan en büyük negatif tam sayı. Negatif tam sayılar için x ≤ - 14 3 olmalı. Bu şartı sağlayan en büyük negatif tam sayı: x = - 5 Hızlı kontrol (x = −5): 2 ( - 5 ) - 1 + - 5 + 3 - 11 + - 2 = 11 + 2 = 13 ≥ 12 Sağlıyor. Sonuç: Doğru cevap B.

1. Çözüm: B şıkkı (−5) doğru mu kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 + x + 3 ≥ 12 Mutlak değerlerin işaret değiştireceği kritik noktaları bulalım: 1) 2 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 2 2) x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 Buna göre 3 aralık inceleyeceğiz: ( - ∞, - 3 ),   [ - 3, 1 2 ),   [ 1 2, ∞ ) 1. Aralık: Koşul: x < - 3 Bu aralıkta 2 x - 1 < 0,   x + 3 < 0 Bu yüzden mutlak değerler: 2 x - 1 = - ( 2 x - 1 ) = - 2 x + 1 x + 3 = - ( x + 3 ) = - x - 3 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( - 2 x + 1 ) + ( - x - 3 ) ≥ 12 Sadeleştirelim: - 3 x - 2 ≥ 12 Çözelim: - 3 x ≥ 14 x ≤ - 14 3 2. Aralık: Koşul: - 3 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta 2 x - 1 < 0,   x + 3 ≥ 0 Bu yüzden: 2 x - 1 = - 2 x + 1 x + 3 = x + 3 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( - 2 x + 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 12 Sadeleştirelim: - x + 4 ≥ 12 Çözelim: - x ≥ 8 x ≤ - 8 Fakat bu sonuç, - 3 ≤ x koşuluyla çeliştiği için bu aralıkta çözüm yoktur. 3. Aralık: Koşul: x ≥ 1 2 Bu aralıkta 2 x - 1 ≥ 0,   x + 3 ≥ 0 Bu yüzden: 2 x - 1 = 2 x - 1 x + 3 = x + 3 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 12 Sadeleştirelim: 3 x + 2 ≥ 12 Çözelim: 3 x ≥ 10 x ≥ 10 3 Tüm çözümleri birleştirirsek: x ≤ - 14 3   veya   x ≥ 10 3 İstenen: Eşitsizliği sağlayan en büyük negatif tam sayı. Negatif tam sayılar için x ≤ - 14 3 olmalı. Bu şartı sağlayan en büyük negatif tam sayı: x = - 5 Hızlı kontrol (x = −5): 2 ( - 5 ) - 1 + - 5 + 3 - 11 + - 2 = 11 + 2 = 13 ≥ 12 Sağlıyor. Sonuç: Doğru cevap B.

Doğru cevap: B

Şık B'nin (0) doğru olup olmadığını kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < 7 Mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizliğe çevirirsek: - 7 < 2 x - 5 < 7 Her tarafa 5 ekleyelim: - 2 < 2 x < 12 Her tarafı 2'ye bölelim (2 pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): - 1 < x < 6 x tam sayı olduğuna göre bu aralıktaki tam sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, 5 En küçük tam sayı değer 0'dır. Bu nedenle doğru cevap B 'dir.

1. Çözüm: Şık B'nin (0) doğru olup olmadığını kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < 7 Mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizliğe çevirirsek: - 7 < 2 x - 5 < 7 Her tarafa 5 ekleyelim: - 2 < 2 x < 12 Her tarafı 2'ye bölelim (2 pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): - 1 < x < 6 x tam sayı olduğuna göre bu aralıktaki tam sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, 5 En küçük tam sayı değer 0'dır. Bu nedenle doğru cevap B 'dir.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 Buna göre üç aralıkta inceleyeceğiz: x ≤ - 1 - 1 ≤ x ≤ 3 2 x ≥ 3 2 1. Durum: Birinci aralıkta her iki ifade de sıfırdan küçük veya eşittir, bu yüzden mutlak değerler eksi ile açılır: x ≤ - 1 | 2 x - 3 | = - ( 2 x - 3 ) | x + 1 | = - ( x + 1 ) Yerine yazıp çözelim: - ( 2 x - 3 ) + - ( x + 1 ) ≤ 7 - 2 x + 3 - x - 1 ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 Bu durumun aralığı ile kesiştirince: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 2. Durum: İkinci aralıkta birinci ifade sıfırdan küçük veya eşit, ikinci ifade sıfırdan büyük veya eşittir: - 1 ≤ x ≤ 3 2 | 2 x - 3 | = - ( 2 x - 3 ) | x + 1 | = x + 1 Yerine yazıp çözelim: - ( 2 x - 3 ) + x + 1 ≤ 7 - 2 x + 3 + x + 1 ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 Bu durumun aralığı ile kesiştirince: - 1 ≤ x ≤ 3 2 3. Durum: Üçüncü aralıkta her iki ifade de sıfırdan büyük veya eşittir, mutlak değerler aynen açılır: x ≥ 3 2 | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Yerine yazıp çözelim: 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 Bu durumun aralığı ile kesiştirince: 3 2 ≤ x ≤ 3 Tüm durumların birleşimi çözüm kümesini verir: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 ∪ - 1 ≤ x ≤ 3 2 ∪ 3 2 ≤ x ≤ 3 - 5 3 ≤ x ≤ 3 Bu sonuç, şıklardan A seçeneği ile aynıdır. Doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 Buna göre üç aralıkta inceleyeceğiz: x ≤ - 1 - 1 ≤ x ≤ 3 2 x ≥ 3 2 1. Durum: Birinci aralıkta her iki ifade de sıfırdan küçük veya eşittir, bu yüzden mutlak değerler eksi ile açılır: x ≤ - 1 | 2 x - 3 | = - ( 2 x - 3 ) | x + 1 | = - ( x + 1 ) Yerine yazıp çözelim: - ( 2 x - 3 ) + - ( x + 1 ) ≤ 7 - 2 x + 3 - x - 1 ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 Bu durumun aralığı ile kesiştirince: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 2. Durum: İkinci aralıkta birinci ifade sıfırdan küçük veya eşit, ikinci ifade sıfırdan büyük veya eşittir: - 1 ≤ x ≤ 3 2 | 2 x - 3 | = - ( 2 x - 3 ) | x + 1 | = x + 1 Yerine yazıp çözelim: - ( 2 x - 3 ) + x + 1 ≤ 7 - 2 x + 3 + x + 1 ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 Bu durumun aralığı ile kesiştirince: - 1 ≤ x ≤ 3 2 3. Durum: Üçüncü aralıkta her iki ifade de sıfırdan büyük veya eşittir, mutlak değerler aynen açılır: x ≥ 3 2 | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Yerine yazıp çözelim: 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 Bu durumun aralığı ile kesiştirince: 3 2 ≤ x ≤ 3 Tüm durumların birleşimi çözüm kümesini verir: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 ∪ - 1 ≤ x ≤ 3 2 ∪ 3 2 ≤ x ≤ 3 - 5 3 ≤ x ≤ 3 Bu sonuç, şıklardan A seçeneği ile aynıdır. Doğru cevap A.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 9 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 ⇒ x = 5 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu nedenle 3 aralıkta inceleyeceğiz: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 5 2, x ≥ 5 2 1) Durum: Aralık: x ≤ - 1 Bu aralıkta her ikisi de negatif veya sıfır olduğundan: 2 x - 5 = - 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = - x + 1 = - x - 1 Eşitsizliği çözelim: - 2 x + 5 + - x - 1 ≤ 9 - 3 x + 4 ≤ 9 ⇒ - 3 x ≤ 5 ⇒ x ≥ - 5 3 Bu durumun aralığı ile birleştirirsek: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 Tam sayı çözümler: x = - 1 2) Durum: Aralık: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 ≤ 0, x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: - 2 x + 5 + x + 1 ≤ 9 - x + 6 ≤ 9 ⇒ - x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 3 Aralıkla birleştirince: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Tam sayı çözümler: x ∈ - 1, 0, 1, 2 3) Durum: Aralık: x ≥ 5 2 Bu aralıkta her ikisi de pozitif veya sıfır olduğundan: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 9 3 x - 4 ≤ 9 ⇒ 3 x ≤ 13 ⇒ x ≤ 13 3 Aralıkla birleştirince: 5 2 ≤ x ≤ 13 3 Tam sayı çözümler: x ∈ 3, 4 Tüm tam sayı çözümleri birleştirelim: x ∈ - 1, 0, 1, 2, 3, 4 Çözüm sayısı: 6 Sonuç: Doğru cevap şıkkı B ’dir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 9 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 ⇒ x = 5 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu nedenle 3 aralıkta inceleyeceğiz: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 5 2, x ≥ 5 2 1) Durum: Aralık: x ≤ - 1 Bu aralıkta her ikisi de negatif veya sıfır olduğundan: 2 x - 5 = - 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = - x + 1 = - x - 1 Eşitsizliği çözelim: - 2 x + 5 + - x - 1 ≤ 9 - 3 x + 4 ≤ 9 ⇒ - 3 x ≤ 5 ⇒ x ≥ - 5 3 Bu durumun aralığı ile birleştirirsek: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 Tam sayı çözümler: x = - 1 2) Durum: Aralık: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 ≤ 0, x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: - 2 x + 5 + x + 1 ≤ 9 - x + 6 ≤ 9 ⇒ - x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 3 Aralıkla birleştirince: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Tam sayı çözümler: x ∈ - 1, 0, 1, 2 3) Durum: Aralık: x ≥ 5 2 Bu aralıkta her ikisi de pozitif veya sıfır olduğundan: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 9 3 x - 4 ≤ 9 ⇒ 3 x ≤ 13 ⇒ x ≤ 13 3 Aralıkla birleştirince: 5 2 ≤ x ≤ 13 3 Tam sayı çözümler: x ∈ 3, 4 Tüm tam sayı çözümleri birleştirelim: x ∈ - 1, 0, 1, 2, 3, 4 Çözüm sayısı: 6 Sonuç: Doğru cevap şıkkı B ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: ( x − 2 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Kritik değerler (işaretin değişebileceği yerler) payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir: ( x − 2 ) ( x + 3 ) = 0 x = 2   ve   x = − 3 x + 1 = 0   →   x = − 1 Buna göre sayı doğrusu şu aralıklara ayrılır (paydayı sıfır yapan değer çözüm kümesine alınamaz): ( − ∞, − 3 ), ( − 3, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıktan bir değer seçip ifadenin işaretini bulalım: 1) Seçim: x = − 4 ( − 4 − 2 ) ( − 4 + 3 ) ( − 4 + 1 ) < 0 2) Seçim: x = − 2 ( − 2 − 2 ) ( − 2 + 3 ) ( − 2 + 1 ) > 0 3) Seçim: x = 0 ( 0 − 2 ) ( 0 + 3 ) ( 0 + 1 ) < 0 4) Seçim: x = 3 ( 3 − 2 ) ( 3 + 3 ) ( 3 + 1 ) > 0 Eşitsizlik sıfırdan küçük veya eşit olmalı. Ayrıca payı sıfır yapan değerler dahil, paydayı sıfır yapan değer hariçtir: ( − ∞, − 3 ] ∪ ( − 1, 2 ] Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x − 2 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Kritik değerler (işaretin değişebileceği yerler) payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir: ( x − 2 ) ( x + 3 ) = 0 x = 2   ve   x = − 3 x + 1 = 0   →   x = − 1 Buna göre sayı doğrusu şu aralıklara ayrılır (paydayı sıfır yapan değer çözüm kümesine alınamaz): ( − ∞, − 3 ), ( − 3, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıktan bir değer seçip ifadenin işaretini bulalım: 1) Seçim: x = − 4 ( − 4 − 2 ) ( − 4 + 3 ) ( − 4 + 1 ) < 0 2) Seçim: x = − 2 ( − 2 − 2 ) ( − 2 + 3 ) ( − 2 + 1 ) > 0 3) Seçim: x = 0 ( 0 − 2 ) ( 0 + 3 ) ( 0 + 1 ) < 0 4) Seçim: x = 3 ( 3 − 2 ) ( 3 + 3 ) ( 3 + 1 ) > 0 Eşitsizlik sıfırdan küçük veya eşit olmalı. Ayrıca payı sıfır yapan değerler dahil, paydayı sıfır yapan değer hariçtir: ( − ∞, − 3 ] ∪ ( − 1, 2 ] Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | ≥ x + 1 Aralık koşulu: x ∈ [ - 3, 5 ] 1. Durum: Sağ taraf sıfırdan küçük veya eşit ise, mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğundan eşitsizlik otomatik sağlanır. x + 1 ≤ 0 x ≤ - 1 Aralıkta bu şartı sağlayan tam sayılar: x ∈ { - 3, - 2, - 1 } Bu durumda adet: 3 2. Durum: Sağ taraf pozitif ise mutlak değer eşitsizliğini iki parçaya ayırırız. x + 1 > 0 x > - 1 Bu bölgede: | 2 x - 3 | ≥ x + 1 eşitsizliği şu iki eşitsizlikten en az birinin sağlanması demektir: 2 x - 3 ≥ x + 1 2 x - 3 ≤ - x + 1 (a) Birinci eşitsizlik: 2 x - 3 ≥ x + 1 x ≥ 4 (b) İkinci eşitsizlik: 2 x - 3 ≤ - x + 1 3 x ≤ 4 x ≤ 4 3 Şimdi bu sonuçları ayrıca x ∈ [ - 3, 5 ] ve x > - 1 koşullarıyla birleştiririz: • x ≥ 4 aralıkta tam sayılar: x ∈ { 4, 5 } • x ≤ 4 3 ve x > - 1 birlikteyken aralıkta tam sayılar: x ∈ { 0, 1 } Ancak x = 1 için kontrol: | 2 · 1 - 3 | ≥ 1 + 1 1 ≥ 2 Sağlanmaz; bu yüzden yalnızca x = 0 kalır. Bu durumda (2. durum) toplam adet: 3 Tüm uygun tam sayılar: x ∈ { - 3, - 2, - 1, 0, 4, 5 } Toplam sayı: 6 Bulunan değer 6 olduğu için doğru seçenek C’dir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | ≥ x + 1 Aralık koşulu: x ∈ [ - 3, 5 ] 1. Durum: Sağ taraf sıfırdan küçük veya eşit ise, mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğundan eşitsizlik otomatik sağlanır. x + 1 ≤ 0 x ≤ - 1 Aralıkta bu şartı sağlayan tam sayılar: x ∈ { - 3, - 2, - 1 } Bu durumda adet: 3 2. Durum: Sağ taraf pozitif ise mutlak değer eşitsizliğini iki parçaya ayırırız. x + 1 > 0 x > - 1 Bu bölgede: | 2 x - 3 | ≥ x + 1 eşitsizliği şu iki eşitsizlikten en az birinin sağlanması demektir: 2 x - 3 ≥ x + 1 2 x - 3 ≤ - x + 1 (a) Birinci eşitsizlik: 2 x - 3 ≥ x + 1 x ≥ 4 (b) İkinci eşitsizlik: 2 x - 3 ≤ - x + 1 3 x ≤ 4 x ≤ 4 3 Şimdi bu sonuçları ayrıca x ∈ [ - 3, 5 ] ve x > - 1 koşullarıyla birleştiririz: • x ≥ 4 aralıkta tam sayılar: x ∈ { 4, 5 } • x ≤ 4 3 ve x > - 1 birlikteyken aralıkta tam sayılar: x ∈ { 0, 1 } Ancak x = 1 için kontrol: | 2 · 1 - 3 | ≥ 1 + 1 1 ≥ 2 Sağlanmaz; bu yüzden yalnızca x = 0 kalır. Bu durumda (2. durum) toplam adet: 3 Tüm uygun tam sayılar: x ∈ { - 3, - 2, - 1, 0, 4, 5 } Toplam sayı: 6 Bulunan değer 6 olduğu için doğru seçenek C’dir.

Doğru cevap: A

Mutlak değerli eşitsizlikte, | A | < B biçimi için önce B > 0 şartı aranır. Bu soruda | 3 x - 5 | < 2 x + 1 olduğundan sağ taraf için: 2 x + 1 > 0 2 x > - 1 x > - 1 2 Şimdi | A | < B için temel dönüşümü uygulayalım: - 2 x + 1 < 3 x - 5 < 2 x + 1 Sol tarafı çözelim: - 2 x + 1 < 3 x - 5 - 2 x - 1 < 3 x - 5 - 1 < 5 x - 5 4 < 5 x 4 5 < x Sağ tarafı çözelim: 3 x - 5 < 2 x + 1 x < 6 Üç koşulu birlikte sağlayan değerler: x > - 1 2, x > 4 5, x < 6 4 5 < x < 6 Bu aralık şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap: Şık A

1. Çözüm: Mutlak değerli eşitsizlikte, | A | < B biçimi için önce B > 0 şartı aranır. Bu soruda | 3 x - 5 | < 2 x + 1 olduğundan sağ taraf için: 2 x + 1 > 0 2 x > - 1 x > - 1 2 Şimdi | A | < B için temel dönüşümü uygulayalım: - 2 x + 1 < 3 x - 5 < 2 x + 1 Sol tarafı çözelim: - 2 x + 1 < 3 x - 5 - 2 x - 1 < 3 x - 5 - 1 < 5 x - 5 4 < 5 x 4 5 < x Sağ tarafı çözelim: 3 x - 5 < 2 x + 1 x < 6 Üç koşulu birlikte sağlayan değerler: x > - 1 2, x > 4 5, x < 6 4 5 < x < 6 Bu aralık şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap: Şık A

Doğru cevap: B

Soruya göre çözmemiz gereken eşitsizlik: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 8 Mutlak değerleri parçalara ayırmak için içlerinin sıfır olduğu noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 x = 5 2 x + 1 = 0 x = - 1 Buna göre aralıkları ayıralım: x ≤ - 1 - 1 ≤ x ≤ 5 2 x ≥ 5 2 1. Aralık için: x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifade de sıfırdan küçüktür, bu yüzden mutlak değerler eksiyle açılır: 2 x - 5 = - ( 2 x - 5 ) = - 2 x + 5 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 Eşitsizliği çözelim: ( - 2 x + 5 ) + ( - x - 1 ) ≤ 8 - 3 x + 4 ≤ 8 - 3 x ≤ 4 x ≥ - 4 3 Aralık şartıyla birlikte: - 4 3 ≤ x ≤ - 1 Bu aralıktaki tam sayı çözüm: x = - 1 2. Aralık için: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 ≤ 0 x + 1 ≥ 0 Bu yüzden: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( - 2 x + 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 8 - x + 6 ≤ 8 - x ≤ 2 x ≥ - 2 Aralık şartıyla birlikte: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıktaki tam sayı çözümler: x ∈ - 1, 0, 1, 2 3. Aralık için: x ≥ 5 2 Bu aralıkta her iki ifade de sıfırdan büyüktür, mutlak değerler aynen kalır: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( 2 x - 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 8 3 x - 4 ≤ 8 3 x ≤ 12 x ≤ 4 Aralık şartıyla birlikte: 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıktaki tam sayı çözümler: x ∈ 3, 4 Tüm tam sayı çözümleri birleştirelim: x ∈ - 1, 0, 1, 2, 3, 4 Bu tam sayıların toplamını bulalım: ( - 1 ) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9 Sonuç: Doğru toplam: 9 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Soruya göre çözmemiz gereken eşitsizlik: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 8 Mutlak değerleri parçalara ayırmak için içlerinin sıfır olduğu noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 x = 5 2 x + 1 = 0 x = - 1 Buna göre aralıkları ayıralım: x ≤ - 1 - 1 ≤ x ≤ 5 2 x ≥ 5 2 1. Aralık için: x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifade de sıfırdan küçüktür, bu yüzden mutlak değerler eksiyle açılır: 2 x - 5 = - ( 2 x - 5 ) = - 2 x + 5 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 Eşitsizliği çözelim: ( - 2 x + 5 ) + ( - x - 1 ) ≤ 8 - 3 x + 4 ≤ 8 - 3 x ≤ 4 x ≥ - 4 3 Aralık şartıyla birlikte: - 4 3 ≤ x ≤ - 1 Bu aralıktaki tam sayı çözüm: x = - 1 2. Aralık için: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: 2 x - 5 ≤ 0 x + 1 ≥ 0 Bu yüzden: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( - 2 x + 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 8 - x + 6 ≤ 8 - x ≤ 2 x ≥ - 2 Aralık şartıyla birlikte: - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıktaki tam sayı çözümler: x ∈ - 1, 0, 1, 2 3. Aralık için: x ≥ 5 2 Bu aralıkta her iki ifade de sıfırdan büyüktür, mutlak değerler aynen kalır: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( 2 x - 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 8 3 x - 4 ≤ 8 3 x ≤ 12 x ≤ 4 Aralık şartıyla birlikte: 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıktaki tam sayı çözümler: x ∈ 3, 4 Tüm tam sayı çözümleri birleştirelim: x ∈ - 1, 0, 1, 2, 3, 4 Bu tam sayıların toplamını bulalım: ( - 1 ) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9 Sonuç: Doğru toplam: 9 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

1) Verilen eşitsizlik: x - 2 + x + 1 ≤ 5 2) Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: x - 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu yüzden çözümü üç aralıkta inceleyebiliriz. 3) 1. Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) ≤ 5 2 x - 1 ≤ 5 2 x ≤ 6 x ≤ 3 Bu durumun aralığı: 2 ≤ x ≤ 3 Tam sayılar: x = 2, 3 4) 2. Durum: - 1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x x + 1 = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) ≤ 5 3 ≤ 5 Bu ifade her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm tam sayılar çözümdür. Tam sayılar: x = - 1, 0, 1, 2 5) 3. Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x x + 1 = - ( x + 1 ) Eşitsizliğe yazalım: ( 2 - x ) + ( - ( x + 1 ) ) ≤ 5 2 - x - x - 1 ≤ 5 1 - 2 x ≤ 5 - 2 x ≤ 4 x ≥ - 2 Bu durumun aralığı: - 2 ≤ x ≤ - 1 Tam sayılar: x = - 2, - 1 6) Tüm durumları birleştirince tam sayı çözümler: x = - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 Çözüm sayısı: 6 7) Sonuç: Doğru cevap 6 olduğu için verilen şıklarda doğru seçenek C ’dir. Yani “C mi?” kontrolü: Evet, C doğrudur.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: x - 2 + x + 1 ≤ 5 2) Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: x - 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu yüzden çözümü üç aralıkta inceleyebiliriz. 3) 1. Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) ≤ 5 2 x - 1 ≤ 5 2 x ≤ 6 x ≤ 3 Bu durumun aralığı: 2 ≤ x ≤ 3 Tam sayılar: x = 2, 3 4) 2. Durum: - 1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x x + 1 = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) ≤ 5 3 ≤ 5 Bu ifade her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm tam sayılar çözümdür. Tam sayılar: x = - 1, 0, 1, 2 5) 3. Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x x + 1 = - ( x + 1 ) Eşitsizliğe yazalım: ( 2 - x ) + ( - ( x + 1 ) ) ≤ 5 2 - x - x - 1 ≤ 5 1 - 2 x ≤ 5 - 2 x ≤ 4 x ≥ - 2 Bu durumun aralığı: - 2 ≤ x ≤ - 1 Tam sayılar: x = - 2, - 1 6) Tüm durumları birleştirince tam sayı çözümler: x = - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 Çözüm sayısı: 6 7) Sonuç: Doğru cevap 6 olduğu için verilen şıklarda doğru seçenek C ’dir. Yani “C mi?” kontrolü: Evet, C doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilen aralık: − 4 ≤ x ≤ 8 Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 > 1 2 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x − 2 x + 1 − 1 2 > 0 Paydaları eşitleyip tek kesirde yazalım: 2 ( x − 2 ) − ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) > 0 Payı sadeleştirelim: 2 ( x − 2 ) − ( x + 1 ) = 2 x − 4 − x − 1 = x − 5 Eşitsizlik şu hale gelir (paydadaki 2 her zaman pozitiftir): x − 5 x + 1 > 0 İşaret incelemesi için kritik değerler: x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 x − 5 = 0 ⇒ x = 5 Kesrin pozitif olması için pay ve payda aynı işaretli olmalıdır: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 5, ∞ ) Şimdi bunu verilen aralıkla kesiştirelim: [ − 4, 8 ] ∩ ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 5, ∞ ) Bu aralıktaki tam sayı çözümler: − 4, − 3, − 2, 6, 7, 8 Sayı adedi: 6 Dolayısıyla doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen aralık: − 4 ≤ x ≤ 8 Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 > 1 2 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x − 2 x + 1 − 1 2 > 0 Paydaları eşitleyip tek kesirde yazalım: 2 ( x − 2 ) − ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) > 0 Payı sadeleştirelim: 2 ( x − 2 ) − ( x + 1 ) = 2 x − 4 − x − 1 = x − 5 Eşitsizlik şu hale gelir (paydadaki 2 her zaman pozitiftir): x − 5 x + 1 > 0 İşaret incelemesi için kritik değerler: x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 x − 5 = 0 ⇒ x = 5 Kesrin pozitif olması için pay ve payda aynı işaretli olmalıdır: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 5, ∞ ) Şimdi bunu verilen aralıkla kesiştirelim: [ − 4, 8 ] ∩ ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 5, ∞ ) Bu aralıktaki tam sayı çözümler: − 4, − 3, − 2, 6, 7, 8 Sayı adedi: 6 Dolayısıyla doğru cevap C şıkkıdır.