8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik ve aralık: ( x − 3 ) ( x + 1 ) x − 2 ≤ 0 − 3 ≤ x ≤ 5 Önce kritik noktaları bulalım (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): Pay: ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 x = 3 x = − 1 Payda: x − 2 = 0 x = 2 Burada paydayı sıfır yapan değer tanımsızlık verir, bu yüzden çözümde alınmaz. Sayı doğrusunu kritik noktalara göre aralıklara ayıralım: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip işaret inceleyelim: 1) Seçim: x = − 2 ( − 2 − 3 ) ( − 2 + 1 ) − 2 − 2 = ( − 5 ) ( − 1 ) − 4 ( − 5 ) ( − 1 ) − 4 < 0 Bu aralıkta ifade negatiftir, eşitsizliği sağlar. 2) Seçim: x = 0 ( 0 − 3 ) ( 0 + 1 ) 0 − 2 = ( − 3 ) ( 1 ) − 2 ( − 3 ) ( 1 ) − 2 > 0 Bu aralıkta ifade pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. 3) Seçim: x = 5 2 ( 5 2 − 3 ) ( 5 2 + 1 ) 5 2 − 2 İşaret açısından: pay negatiftir, payda pozitiftir; dolayısıyla ifade negatiftir ve eşitsizliği sağlar. 4) Seçim: x = 4 ( 4 − 3 ) ( 4 + 1 ) 4 − 2 = ( 1 ) ( 5 ) 2 ( 1 ) ( 5 ) 2 > 0 Bu aralıkta ifade pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. Şimdi eşitlik durumlarını da ekleyelim: Payı sıfır yapan değerlerde ifade sıfır olur ve dahil edilir: x = − 1 x = 3 Paydayı sıfır yapan değer tanımsız olduğu için hariç tutulur: x = 2 Buna göre çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ] ∪ ( 2, 3 ] Verilen aralıkla kesiştirelim: − 3 ≤ x ≤ 5 Bu aralıkta çözümü sağlayan tam sayılar: ( − 3, − 2, − 1, 3 ) Toplam: − 3 + − 2 + − 1 + 3 = − 3 Sonuç şıklarda: − 3 Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik ve aralık: ( x − 3 ) ( x + 1 ) x − 2 ≤ 0 − 3 ≤ x ≤ 5 Önce kritik noktaları bulalım (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): Pay: ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 x = 3 x = − 1 Payda: x − 2 = 0 x = 2 Burada paydayı sıfır yapan değer tanımsızlık verir, bu yüzden çözümde alınmaz. Sayı doğrusunu kritik noktalara göre aralıklara ayıralım: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip işaret inceleyelim: 1) Seçim: x = − 2 ( − 2 − 3 ) ( − 2 + 1 ) − 2 − 2 = ( − 5 ) ( − 1 ) − 4 ( − 5 ) ( − 1 ) − 4 < 0 Bu aralıkta ifade negatiftir, eşitsizliği sağlar. 2) Seçim: x = 0 ( 0 − 3 ) ( 0 + 1 ) 0 − 2 = ( − 3 ) ( 1 ) − 2 ( − 3 ) ( 1 ) − 2 > 0 Bu aralıkta ifade pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. 3) Seçim: x = 5 2 ( 5 2 − 3 ) ( 5 2 + 1 ) 5 2 − 2 İşaret açısından: pay negatiftir, payda pozitiftir; dolayısıyla ifade negatiftir ve eşitsizliği sağlar. 4) Seçim: x = 4 ( 4 − 3 ) ( 4 + 1 ) 4 − 2 = ( 1 ) ( 5 ) 2 ( 1 ) ( 5 ) 2 > 0 Bu aralıkta ifade pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. Şimdi eşitlik durumlarını da ekleyelim: Payı sıfır yapan değerlerde ifade sıfır olur ve dahil edilir: x = − 1 x = 3 Paydayı sıfır yapan değer tanımsız olduğu için hariç tutulur: x = 2 Buna göre çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ] ∪ ( 2, 3 ] Verilen aralıkla kesiştirelim: − 3 ≤ x ≤ 5 Bu aralıkta çözümü sağlayan tam sayılar: ( − 3, − 2, − 1, 3 ) Toplam: − 3 + − 2 + − 1 + 3 = − 3 Sonuç şıklarda: − 3 Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Sorudaki eşitsizlik: x + 2 < x - 1 Karekök tanımlı olmalı: x + 2 ≥ 0 Buradan: x ≥ - 2 Sol taraf her zaman negatife düşmez (karekök olduğu için). Bu yüzden eşitsizliğin sağ tarafının da pozitif olması gerekir: x - 1 > 0 Yani: x > 1 Şimdi (sağ taraf pozitifken) iki tarafın karesini alabiliriz: x + 2 < x - 1 x + 2 < x - 1 2 Sağ tarafı açalım: x + 2 < x 2 - 2 x + 1 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 0 < x 2 - 3 x - 1 İkinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım: x 2 - 3 x - 1 = 0 x = 3 ± 3 2 - 4 · 1 · ( - 1 ) 2 x = 3 ± 13 2 Parabol yukarı doğru olduğundan ifade köklerin dışında pozitiftir: x 2 - 3 x - 1 > 0 ⟹ x < 3 - 13 2 veya x > 3 + 13 2 Başta bulduğumuz koşulu da sağlamalıyız: x > 1 Bu koşulla kesişim alınca ilk aralık elenir ve sadece: x > 3 + 13 2 kalır. Çözüm kümesi: ( 3 + 13 2, ∞ ) Bu da A şıkkıdır. Dolayısıyla doğru cevap A olarak verilen ifade ile uyumludur.

1. Çözüm: Sorudaki eşitsizlik: x + 2 < x - 1 Karekök tanımlı olmalı: x + 2 ≥ 0 Buradan: x ≥ - 2 Sol taraf her zaman negatife düşmez (karekök olduğu için). Bu yüzden eşitsizliğin sağ tarafının da pozitif olması gerekir: x - 1 > 0 Yani: x > 1 Şimdi (sağ taraf pozitifken) iki tarafın karesini alabiliriz: x + 2 < x - 1 x + 2 < x - 1 2 Sağ tarafı açalım: x + 2 < x 2 - 2 x + 1 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 0 < x 2 - 3 x - 1 İkinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım: x 2 - 3 x - 1 = 0 x = 3 ± 3 2 - 4 · 1 · ( - 1 ) 2 x = 3 ± 13 2 Parabol yukarı doğru olduğundan ifade köklerin dışında pozitiftir: x 2 - 3 x - 1 > 0 ⟹ x < 3 - 13 2 veya x > 3 + 13 2 Başta bulduğumuz koşulu da sağlamalıyız: x > 1 Bu koşulla kesişim alınca ilk aralık elenir ve sadece: x > 3 + 13 2 kalır. Çözüm kümesi: ( 3 + 13 2, ∞ ) Bu da A şıkkıdır. Dolayısıyla doğru cevap A olarak verilen ifade ile uyumludur.

Doğru cevap: C

Önce eşitsizliği yazalım: 2 x - 5 < x + 1 Mutlak değerli eşitsizlikte sağ tarafın pozitif olması gerekir; aksi halde çözüm olmaz: x + 1 > 0 x > - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği iki taraflı eşitsizliğe çevirelim: - x + 1 < 2 x - 5 < x + 1 Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - x - 1 < 2 x - 5 4 < 3 x 4 3 < x Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 < x + 1 x < 6 Bulduklarımızı birleştirelim (ayrıca sağ tarafın pozitif olma şartı da var): x > - 1, 4 3 < x, x < 6 4 3 < x < 6 Tam sayı şartına göre uygun değerleri yazalım: x ∈ { 2, 3, 4, 5 } Bu tam sayıların toplamını bulalım: 2 + 3 + 4 + 5 = 14 Sonuç: Doğru seçenek C olur.

1. Çözüm: Önce eşitsizliği yazalım: 2 x - 5 < x + 1 Mutlak değerli eşitsizlikte sağ tarafın pozitif olması gerekir; aksi halde çözüm olmaz: x + 1 > 0 x > - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği iki taraflı eşitsizliğe çevirelim: - x + 1 < 2 x - 5 < x + 1 Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - x - 1 < 2 x - 5 4 < 3 x 4 3 < x Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 < x + 1 x < 6 Bulduklarımızı birleştirelim (ayrıca sağ tarafın pozitif olma şartı da var): x > - 1, 4 3 < x, x < 6 4 3 < x < 6 Tam sayı şartına göre uygun değerleri yazalım: x ∈ { 2, 3, 4, 5 } Bu tam sayıların toplamını bulalım: 2 + 3 + 4 + 5 = 14 Sonuç: Doğru seçenek C olur.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | < x + 5 Sol taraf mutlak değer olduğundan her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Bu nedenle sağ tarafın da pozitif olması gerekir; aksi halde eşitsizlik sağlanamaz: x + 5 > 0 Buradan: x > - 5 Mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevirelim: - ( x + 5 ) < 2 x - 3 < x + 5 Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: 2 x - 3 < x + 5 Taraf tarafa düzenleyince: x < 8 Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - ( x + 5 ) < 2 x - 3 Düzenleyelim: - x - 5 < 2 x - 3 Her iki tarafa da aynı işlemleri uygulayalım: 3 x > - 2 Buradan: x > - 2 3 Şimdi tüm koşulları birleştirelim: x > - 2 3   ve   x < 8 Bu aralıkta kalan tam sayılar: x ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } Bu tam sayıların toplamı: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | < x + 5 Sol taraf mutlak değer olduğundan her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Bu nedenle sağ tarafın da pozitif olması gerekir; aksi halde eşitsizlik sağlanamaz: x + 5 > 0 Buradan: x > - 5 Mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevirelim: - ( x + 5 ) < 2 x - 3 < x + 5 Sağ taraftaki eşitsizliği çözelim: 2 x - 3 < x + 5 Taraf tarafa düzenleyince: x < 8 Sol taraftaki eşitsizliği çözelim: - ( x + 5 ) < 2 x - 3 Düzenleyelim: - x - 5 < 2 x - 3 Her iki tarafa da aynı işlemleri uygulayalım: 3 x > - 2 Buradan: x > - 2 3 Şimdi tüm koşulları birleştirelim: x > - 2 3   ve   x < 8 Bu aralıkta kalan tam sayılar: x ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } Bu tam sayıların toplamı: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) İlk eşitsizliği çözelim: ( x − 2 ) ( x + 4 ) ≤ 0 Çarpımın sıfır olduğu değerleri bulalım: x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 4 = 0 ⇒ x = − 4 Kökler arasında (uçlar dahil) çarpım ≤ 0 olur: − 4 ≤ x ≤ 2 2) Mutlak değerli eşitsizliği çözelim: | x − 1 | ≥ 3 Mutlak değer tanımına göre iki durum yazılır: x − 1 ≥ 3 ∨ x − 1 ≤ − 3 Her birini çözelim: x − 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 4 x − 1 ≤ − 3 ⇒ x ≤ − 2 Yani ikinci koşulun çözüm kümesi: x ≤ − 2 ∨ x ≥ 4 3) İki koşulu aynı anda sağlayan tam sayıları bulmak için kesişim alalım: [ − 4, 2 ] ∩ ( ( − ∞, − 2 ] ) ∪ [ 4, ∞ ) ) = [ − 4, − 2 ] 4) Bu aralıktaki tam sayıları yazalım: x ∈ { − 4, − 3, − 2 } 5) Tam sayı sayısı: 3 Sonuç: Doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: 1) İlk eşitsizliği çözelim: ( x − 2 ) ( x + 4 ) ≤ 0 Çarpımın sıfır olduğu değerleri bulalım: x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 4 = 0 ⇒ x = − 4 Kökler arasında (uçlar dahil) çarpım ≤ 0 olur: − 4 ≤ x ≤ 2 2) Mutlak değerli eşitsizliği çözelim: | x − 1 | ≥ 3 Mutlak değer tanımına göre iki durum yazılır: x − 1 ≥ 3 ∨ x − 1 ≤ − 3 Her birini çözelim: x − 1 ≥ 3 ⇒ x ≥ 4 x − 1 ≤ − 3 ⇒ x ≤ − 2 Yani ikinci koşulun çözüm kümesi: x ≤ − 2 ∨ x ≥ 4 3) İki koşulu aynı anda sağlayan tam sayıları bulmak için kesişim alalım: [ − 4, 2 ] ∩ ( ( − ∞, − 2 ] ) ∪ [ 4, ∞ ) ) = [ − 4, − 2 ] 4) Bu aralıktaki tam sayıları yazalım: x ∈ { − 4, − 3, − 2 } 5) Tam sayı sayısı: 3 Sonuç: Doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: A

Cevap kontrolü: Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi şık A ile aynıdır. 1) Eşitsizliği yazalım: 2 x − 3 ≥ x + 5 2) Mutlak değerin her zaman sıfırdan büyük/eşit olduğunu kullanalım. Eğer sağ taraf sıfırdan küçük/eşitse, eşitsizlik her zaman sağlanır: x + 5 ≤ 0 Buradan: x ≤ − 5 Bu aralık tamamen çözümdür. 3) Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu durumu inceleyelim: x + 5 > 0 Yani: x > − 5 4) Mutlak değer için iki durum kuracağız. Önce içinin işaretini belirleyelim: 2 x − 3 ≥ 0 Buradan: x ≥ 3 2 5) 1. Durum: x ≥ 3 2 Bu durumda mutlak değer açılır: 2 x − 3 ≥ x + 5 Düzenleyelim: x ≥ 8 Bu, durum koşulunu da sağlar; çünkü: 8 ≥ 3 2 6) 2. Durum: x < 3 2 Bu durumda mutlak değer şöyle açılır: − 2 x − 3 ≥ x + 5 Yani: − 2 x + 3 ≥ x + 5 Düzenleyelim: − 3 x ≥ 2 Her iki tarafı negatif bir sayı olan − 3 ile bölersek eşitsizlik yön değiştirir: x ≤ − 2 3 Bu sonuç ayrıca durum koşulunu da sağlar; çünkü: − 2 3 < 3 2 7) Tüm çözümleri birleştirelim: Önce x ≤ − 5 zaten çözümdü. Diğer durumlardan da x ≤ − 2 3 ve x ≥ 8 geldi. Birleştirilmiş çözüm kümesi: ( − ∞, − 2 3 ] ∪ [ 8, ∞ ) 8) Şık kontrolü: Bulduğumuz küme, verilen şıklardan A ile aynıdır.

1. Çözüm: Cevap kontrolü: Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi şık A ile aynıdır. 1) Eşitsizliği yazalım: 2 x − 3 ≥ x + 5 2) Mutlak değerin her zaman sıfırdan büyük/eşit olduğunu kullanalım. Eğer sağ taraf sıfırdan küçük/eşitse, eşitsizlik her zaman sağlanır: x + 5 ≤ 0 Buradan: x ≤ − 5 Bu aralık tamamen çözümdür. 3) Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu durumu inceleyelim: x + 5 > 0 Yani: x > − 5 4) Mutlak değer için iki durum kuracağız. Önce içinin işaretini belirleyelim: 2 x − 3 ≥ 0 Buradan: x ≥ 3 2 5) 1. Durum: x ≥ 3 2 Bu durumda mutlak değer açılır: 2 x − 3 ≥ x + 5 Düzenleyelim: x ≥ 8 Bu, durum koşulunu da sağlar; çünkü: 8 ≥ 3 2 6) 2. Durum: x < 3 2 Bu durumda mutlak değer şöyle açılır: − 2 x − 3 ≥ x + 5 Yani: − 2 x + 3 ≥ x + 5 Düzenleyelim: − 3 x ≥ 2 Her iki tarafı negatif bir sayı olan − 3 ile bölersek eşitsizlik yön değiştirir: x ≤ − 2 3 Bu sonuç ayrıca durum koşulunu da sağlar; çünkü: − 2 3 < 3 2 7) Tüm çözümleri birleştirelim: Önce x ≤ − 5 zaten çözümdü. Diğer durumlardan da x ≤ − 2 3 ve x ≥ 8 geldi. Birleştirilmiş çözüm kümesi: ( − ∞, − 2 3 ] ∪ [ 8, ∞ ) 8) Şık kontrolü: Bulduğumuz küme, verilen şıklardan A ile aynıdır.

Doğru cevap: C

Sorudaki eşitsizlik: | 3 x - 2 | ≥ 2 x + 5 Önce sağ tarafın (ifadenin) işaretine göre inceleyelim. Sağ tarafın sıfırdan küçük veya eşit olduğu durum: 2 x + 5 ≤ 0 Buradan: 2 x ≤ - 5 x ≤ - 5 2 Tam sayılar için bu: x ≤ - 3 Bu aralıkta eşitsizlik zaten sağlanır; fakat pozitif tam sayı arıyoruz, bu yüzden bu kısmı kullanmayacağız. Pozitif tam sayılar için: x > 0 Bu durumda sağ taraf pozitiftir: 2 x + 5 > 0 O zaman mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayırırız: | 3 x - 2 | ≥ 2 x + 5 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 veya 3 x - 2 ≤ - 2 x + 5 1. Durumu çözelim: 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 Her iki taraftan 2 x çıkaralım: x - 2 ≥ 5 Her iki tarafa 2 ekleyelim: x ≥ 7 2. Durumu çözelim: 3 x - 2 ≤ - 2 x + 5 Sağ tarafı açalım: 3 x - 2 ≤ - 2 x - 5 Her iki tarafa 2 x ekleyelim: 5 x - 2 ≤ - 5 Her iki tarafa 2 ekleyelim: 5 x ≤ - 3 Buradan: x ≤ - 3 5 Tam sayılar için: x ≤ - 1 Bu da pozitif tam sayıları kapsamaz. Özetle, pozitif tam sayılar içinde çözüm: x ≥ 7 En küçük pozitif tam sayı: x = 7 Şıklarda 7 seçeneği: C Bu nedenle doğru cevap C ve kontrol sonucu C = 7 doğrudur.

1. Çözüm: Sorudaki eşitsizlik: | 3 x - 2 | ≥ 2 x + 5 Önce sağ tarafın (ifadenin) işaretine göre inceleyelim. Sağ tarafın sıfırdan küçük veya eşit olduğu durum: 2 x + 5 ≤ 0 Buradan: 2 x ≤ - 5 x ≤ - 5 2 Tam sayılar için bu: x ≤ - 3 Bu aralıkta eşitsizlik zaten sağlanır; fakat pozitif tam sayı arıyoruz, bu yüzden bu kısmı kullanmayacağız. Pozitif tam sayılar için: x > 0 Bu durumda sağ taraf pozitiftir: 2 x + 5 > 0 O zaman mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayırırız: | 3 x - 2 | ≥ 2 x + 5 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 veya 3 x - 2 ≤ - 2 x + 5 1. Durumu çözelim: 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 Her iki taraftan 2 x çıkaralım: x - 2 ≥ 5 Her iki tarafa 2 ekleyelim: x ≥ 7 2. Durumu çözelim: 3 x - 2 ≤ - 2 x + 5 Sağ tarafı açalım: 3 x - 2 ≤ - 2 x - 5 Her iki tarafa 2 x ekleyelim: 5 x - 2 ≤ - 5 Her iki tarafa 2 ekleyelim: 5 x ≤ - 3 Buradan: x ≤ - 3 5 Tam sayılar için: x ≤ - 1 Bu da pozitif tam sayıları kapsamaz. Özetle, pozitif tam sayılar içinde çözüm: x ≥ 7 En küçük pozitif tam sayı: x = 7 Şıklarda 7 seçeneği: C Bu nedenle doğru cevap C ve kontrol sonucu C = 7 doğrudur.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: ( x - 2 ) ( x + 4 ) x - 1 < 0 1) Tanım kümesi: Payda sıfır olamaz. x - 1 ≠ 0 x ≠ 1 2) İfadenin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan. ( x - 2 ) ( x + 4 ) = 0 x = 2, x = - 4 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 Kritik noktalar sıralı: - 4 < 1 < 2 3) Aralık testi (işaret inceleme): Aralıklar: ( - ∞, - 4 ), ( - 4, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıktan bir örnek değer seçip işareti bulalım: • Aralık ( - ∞, - 4 ) için x = - 5 alalım. ( - 5 - 2 ) ( - 5 + 4 ) - 5 - 1 = ( - 7 ) ( - 1 ) - 6 < 0 Bu aralık çözümde vardır. • Aralık ( - 4, 1 ) için x = 0 alalım. ( 0 - 2 ) ( 0 + 4 ) 0 - 1 = ( - 2 ) ( 4 ) - 1 > 0 Bu aralık çözümde yoktur. • Aralık ( 1, 2 ) için x = 3 2 alalım. ( 3 2 - 2 ) ( 3 2 + 4 ) 3 2 - 1 < 0 Bu aralık çözümde vardır. • Aralık ( 2, ∞ ) için x = 3 alalım. ( 3 - 2 ) ( 3 + 4 ) 3 - 1 = 1 ⋅ 7 2 > 0 Bu aralık çözümde yoktur. 4) Sıfır yapan noktaların dahil olup olmaması: Eşitsizlik sıkı olduğu için ( < ) payı sıfır yapan değerler alınmaz: x = - 4, x = 2 Ayrıca tanımsız olan değer zaten alınamaz: x = 1 5) Çözüm kümesi: ( - ∞, - 4 ) ∪ ( 1, 2 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x - 2 ) ( x + 4 ) x - 1 < 0 1) Tanım kümesi: Payda sıfır olamaz. x - 1 ≠ 0 x ≠ 1 2) İfadenin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan. ( x - 2 ) ( x + 4 ) = 0 x = 2, x = - 4 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 Kritik noktalar sıralı: - 4 < 1 < 2 3) Aralık testi (işaret inceleme): Aralıklar: ( - ∞, - 4 ), ( - 4, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıktan bir örnek değer seçip işareti bulalım: • Aralık ( - ∞, - 4 ) için x = - 5 alalım. ( - 5 - 2 ) ( - 5 + 4 ) - 5 - 1 = ( - 7 ) ( - 1 ) - 6 < 0 Bu aralık çözümde vardır. • Aralık ( - 4, 1 ) için x = 0 alalım. ( 0 - 2 ) ( 0 + 4 ) 0 - 1 = ( - 2 ) ( 4 ) - 1 > 0 Bu aralık çözümde yoktur. • Aralık ( 1, 2 ) için x = 3 2 alalım. ( 3 2 - 2 ) ( 3 2 + 4 ) 3 2 - 1 < 0 Bu aralık çözümde vardır. • Aralık ( 2, ∞ ) için x = 3 alalım. ( 3 - 2 ) ( 3 + 4 ) 3 - 1 = 1 ⋅ 7 2 > 0 Bu aralık çözümde yoktur. 4) Sıfır yapan noktaların dahil olup olmaması: Eşitsizlik sıkı olduğu için ( < ) payı sıfır yapan değerler alınmaz: x = - 4, x = 2 Ayrıca tanımsız olan değer zaten alınamaz: x = 1 5) Çözüm kümesi: ( - ∞, - 4 ) ∪ ( 1, 2 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: B

Soru: | 2 x − 3 | ≤ x + 1 Mutlak değerli bir eşitsizliğin çözüm kümesi boş olmaması için sağ tarafın sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir: x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1 Şimdi mutlak değerin içinin işaretine göre iki durum inceleyelim. 1. Durum: Mutlak değerin içi sıfırdan büyük ya da eşitse 2 x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 2 Bu durumda | 2 x − 3 | = 2 x − 3 Eşitsizlik: 2 x − 3 ≤ x + 1 x ≤ 4 Bu durumun çözüm aralığı: 3 2 ≤ x ≤ 4 Tam sayılar: x = 2, 3, 4 2. Durum: Mutlak değerin içi sıfırdan küçükse 2 x − 3 < 0 x < 3 2 Bu durumda | 2 x − 3 | = − 2 x + 3 Eşitsizlik: − 2 x + 3 ≤ x + 1 2 ≤ 3 x x ≥ 2 3 Ayrıca başta bulduğumuz koşul da geçerliydi: x ≥ − 1 Birleştirince bu durumun çözüm aralığı: 2 3 ≤ x < 3 2 Tam sayılar: x = 1 İki durumdan gelen tam sayıları birleştirirsek: x = 1, 2, 3, 4 Toplam tam sayı sayısı: 4 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Çözüm: Soru: | 2 x − 3 | ≤ x + 1 Mutlak değerli bir eşitsizliğin çözüm kümesi boş olmaması için sağ tarafın sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir: x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1 Şimdi mutlak değerin içinin işaretine göre iki durum inceleyelim. 1. Durum: Mutlak değerin içi sıfırdan büyük ya da eşitse 2 x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 2 Bu durumda | 2 x − 3 | = 2 x − 3 Eşitsizlik: 2 x − 3 ≤ x + 1 x ≤ 4 Bu durumun çözüm aralığı: 3 2 ≤ x ≤ 4 Tam sayılar: x = 2, 3, 4 2. Durum: Mutlak değerin içi sıfırdan küçükse 2 x − 3 < 0 x < 3 2 Bu durumda | 2 x − 3 | = − 2 x + 3 Eşitsizlik: − 2 x + 3 ≤ x + 1 2 ≤ 3 x x ≥ 2 3 Ayrıca başta bulduğumuz koşul da geçerliydi: x ≥ − 1 Birleştirince bu durumun çözüm aralığı: 2 3 ≤ x < 3 2 Tam sayılar: x = 1 İki durumdan gelen tam sayıları birleştirirsek: x = 1, 2, 3, 4 Toplam tam sayı sayısı: 4 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < x + 1 Mutlak değer her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan, sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 1 > 0 Buradan: x > - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği iki taraflı eşitsizliğe çeviririz: - x + 1 < 2 x - 5 < x + 1 Sol tarafı çözelim: - x - 1 < 2 x - 5 Taraf tarafa düzenleyelim: 4 < 3 x Buradan: x > 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 < x + 1 Taraf tarafa düzenleyelim: x < 6 Tüm koşulları birleştirelim: 4 3 < x < 6 Bu aralıkta kalan tam sayılar: { 2, 3, 4, 5 } Sonuç: Doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < x + 1 Mutlak değer her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan, sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 1 > 0 Buradan: x > - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği iki taraflı eşitsizliğe çeviririz: - x + 1 < 2 x - 5 < x + 1 Sol tarafı çözelim: - x - 1 < 2 x - 5 Taraf tarafa düzenleyelim: 4 < 3 x Buradan: x > 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 < x + 1 Taraf tarafa düzenleyelim: x < 6 Tüm koşulları birleştirelim: 4 3 < x < 6 Bu aralıkta kalan tam sayılar: { 2, 3, 4, 5 } Sonuç: Doğru cevap A’dır.