8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 x - 3 < 1 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 2 x - 1 x - 3 - 1 < 0 Ortak paydada düzenleyelim: 2 x - 1 - ( x - 3 ) x - 3 < 0 Payı sadeleştirelim: x + 2 x - 3 < 0 İfadenin işaret değiştirebileceği kritik değerler: x + 2 = 0 x = - 2 x - 3 = 0 x = 3 Kritik değerlerle sayı doğrusunu aralıklara ayıralım ve işaret inceleyelim: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaretler: x + 2 x - 3 ifadesi < 0 olmalıdır. Bu kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir; bu da yalnızca orta aralıkta gerçekleşir. Ayrıca uç noktalar dahil edilmez: ( - 2, 3 ) Sonuç ve şık kontrolü: Çözüm kümesi = ( - 2, 3 ) Doğru seçenek = C659

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 x - 3 < 1 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 2 x - 1 x - 3 - 1 < 0 Ortak paydada düzenleyelim: 2 x - 1 - ( x - 3 ) x - 3 < 0 Payı sadeleştirelim: x + 2 x - 3 < 0 İfadenin işaret değiştirebileceği kritik değerler: x + 2 = 0 x = - 2 x - 3 = 0 x = 3 Kritik değerlerle sayı doğrusunu aralıklara ayıralım ve işaret inceleyelim: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaretler: x + 2 x - 3 ifadesi < 0 olmalıdır. Bu kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir; bu da yalnızca orta aralıkta gerçekleşir. Ayrıca uç noktalar dahil edilmez: ( - 2, 3 ) Sonuç ve şık kontrolü: Çözüm kümesi = ( - 2, 3 ) Doğru seçenek = C659

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 x + 1 ≥ 1 Önce tanım koşulunu yazalım (payda sıfır olamaz): x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 2 x − 3 x + 1 − 1 ≥ 0 Ortak payda ile düzenleyelim: ( 2 x − 3 ) − ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x − 4 x + 1 ≥ 0 Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. x − 4 = 0 ⇒ x = 4 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 İşaret incelemesi: • Pay ve payda aynı işaretliyken kesir pozitiftir; zıt işaretliyken negatiftir. • Sayı doğrusunu −1 ve 4 noktalarına göre böleriz. Aralıklara göre sonuç: Çözüm kümesi = ( − ∞, − 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) Burada −1 paydayı sıfır yaptığı için alınmaz, 4 ise eşitliği sağladığı için alınır. Seçenek kontrolü: Bu küme şıkkıD694dır. Yani doğru cevap D711.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 x + 1 ≥ 1 Önce tanım koşulunu yazalım (payda sıfır olamaz): x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 2 x − 3 x + 1 − 1 ≥ 0 Ortak payda ile düzenleyelim: ( 2 x − 3 ) − ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x − 4 x + 1 ≥ 0 Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. x − 4 = 0 ⇒ x = 4 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 İşaret incelemesi: • Pay ve payda aynı işaretliyken kesir pozitiftir; zıt işaretliyken negatiftir. • Sayı doğrusunu −1 ve 4 noktalarına göre böleriz. Aralıklara göre sonuç: Çözüm kümesi = ( − ∞, − 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) Burada −1 paydayı sıfır yaptığı için alınmaz, 4 ise eşitliği sağladığı için alınır. Seçenek kontrolü: Bu küme şıkkıD694dır. Yani doğru cevap D711.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x - 4 + 2 x + 1 ≤ 13 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği (sıfır olduğu) noktaları bulalım: x - 4 = 0 x = 4 2 x + 1 = 0 x = - 1 2 Bu iki noktaya göre aralıkları inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 4 < 0 2 x + 1 < 0 Dolayısıyla: x - 4 = 4 - x 2 x + 1 = - 2 x - 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 4 - x ) + ( - 2 x - 1 ) ≤ 13 3 - 3 x ≤ 13 - 3 x ≤ 10 x ≥ - 10 3 Bu durumla birlikte çözüm aralığı: - 10 3 ≤ x ≤ - 1 Tam sayılar: x ∈ - 3, - 2, - 1 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta: x - 4 ≤ 0 2 x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: x - 4 = 4 - x 2 x + 1 = 2 x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 4 - x ) + ( 2 x + 1 ) ≤ 13 x + 5 ≤ 13 x ≤ 8 Bu durumla birlikte: - 1 2 ≤ x ≤ 4 Tam sayılar: x ∈ 0, 1, 2, 3, 4 3) Durum: x ≥ 4 Bu aralıkta: x - 4 ≥ 0 2 x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: x - 4 = x - 4 2 x + 1 = 2 x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( x - 4 ) + ( 2 x + 1 ) ≤ 13 3 x - 3 ≤ 13 3 x ≤ 16 x ≤ 16 3 Bu durumla birlikte çözüm aralığı: 4 ≤ x ≤ 16 3 Tam sayılar: x ∈ 4, 5 Tüm durumları birleştirince tam sayı çözümler: x ∈ - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 Bunların sayısı: 9 Sonuç 9 olduğu için doğru cevap A1286 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x - 4 + 2 x + 1 ≤ 13 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği (sıfır olduğu) noktaları bulalım: x - 4 = 0 x = 4 2 x + 1 = 0 x = - 1 2 Bu iki noktaya göre aralıkları inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 4 < 0 2 x + 1 < 0 Dolayısıyla: x - 4 = 4 - x 2 x + 1 = - 2 x - 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 4 - x ) + ( - 2 x - 1 ) ≤ 13 3 - 3 x ≤ 13 - 3 x ≤ 10 x ≥ - 10 3 Bu durumla birlikte çözüm aralığı: - 10 3 ≤ x ≤ - 1 Tam sayılar: x ∈ - 3, - 2, - 1 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta: x - 4 ≤ 0 2 x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: x - 4 = 4 - x 2 x + 1 = 2 x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 4 - x ) + ( 2 x + 1 ) ≤ 13 x + 5 ≤ 13 x ≤ 8 Bu durumla birlikte: - 1 2 ≤ x ≤ 4 Tam sayılar: x ∈ 0, 1, 2, 3, 4 3) Durum: x ≥ 4 Bu aralıkta: x - 4 ≥ 0 2 x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: x - 4 = x - 4 2 x + 1 = 2 x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( x - 4 ) + ( 2 x + 1 ) ≤ 13 3 x - 3 ≤ 13 3 x ≤ 16 x ≤ 16 3 Bu durumla birlikte çözüm aralığı: 4 ≤ x ≤ 16 3 Tam sayılar: x ∈ 4, 5 Tüm durumları birleştirince tam sayı çözümler: x ∈ - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 Bunların sayısı: 9 Sonuç 9 olduğu için doğru cevap A1286 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 ≤ x + 1 Mutlak değer her zaman sıfır ya da pozitiftir. Bu yüzden sağ tarafın negatif olduğu durumlarda eşitsizlik sağlanamaz. Önce: x + 1 ≥ 0 buradan: x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevirelim: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Sol tarafı çözelim: 2 x - 5 ≥ - x - 1 Düzenleyelim: 3 x ≥ 4 Buradan: x ≥ 4 3 Tam sayı için: x ≥ 2 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 Düzenleyelim: x ≤ 6 Tüm koşulları birleştirelim: x ≥ - 1 x ≥ 2 x ≤ 6 Sonuç olarak: 2 ≤ x ≤ 6 Tam sayılar: x ∈ { 2, 3, 4, 5, 6 } Toplam: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Bulunan toplam: 20 Bu da B şıkkıdır. Yani doğru cevap B.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 ≤ x + 1 Mutlak değer her zaman sıfır ya da pozitiftir. Bu yüzden sağ tarafın negatif olduğu durumlarda eşitsizlik sağlanamaz. Önce: x + 1 ≥ 0 buradan: x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevirelim: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Sol tarafı çözelim: 2 x - 5 ≥ - x - 1 Düzenleyelim: 3 x ≥ 4 Buradan: x ≥ 4 3 Tam sayı için: x ≥ 2 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 Düzenleyelim: x ≤ 6 Tüm koşulları birleştirelim: x ≥ - 1 x ≥ 2 x ≤ 6 Sonuç olarak: 2 ≤ x ≤ 6 Tam sayılar: x ∈ { 2, 3, 4, 5, 6 } Toplam: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Bulunan toplam: 20 Bu da B şıkkıdır. Yani doğru cevap B.

Doğru cevap: C

İfadede paydalar sıfır olamayacağı için tanım kümesini belirleyelim. x ≠ 1 ∧ x ≠ − 2 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x − 1 + 1 x + 2 − 1 < 0 Ortak paydada toplayalım. 2 ( x + 2 ) + ( x − 1 ) − ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) < 0 Payı sadeleştirelim. − x 2 + 2 x + 5 ( x − 1 ) ( x + 2 ) < 0 Her iki tarafı − ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir) ve daha kolay inceleyelim. x 2 − 2 x − 5 ( x − 1 ) ( x + 2 ) > 0 Payın köklerini bulalım. x 2 − 2 x − 5 = 0 x = 2 ± 4 + 20 2 = 1 ± 6 Paydanın sıfır olduğu değerler de kritik noktalardır. ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 0 x = 1 ∨ x = − 2 Kritik noktaları küçükten büyüğe sıralayıp işaret incelemesi yapalım. − 2 < 1 − 6 < 1 < 1 + 6 İşaret tablosu sonucuna göre kesrin pozitif olduğu aralıklar aşağıdaki gibidir (eşitsizlik > olduğu için kökler alınmaz, paydanın sıfır olduğu noktalar zaten dışarıda kalır). ( − ∞, − 2 ) ∪ ( 1 − 6, 1 ) ∪ ( 1 + 6, ∞ ) Bulunan çözüm kümesi şıklardan seçeneğiC1148yle aynıdır. Doğru cevap: C1171.

1. Çözüm: İfadede paydalar sıfır olamayacağı için tanım kümesini belirleyelim. x ≠ 1 ∧ x ≠ − 2 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x − 1 + 1 x + 2 − 1 < 0 Ortak paydada toplayalım. 2 ( x + 2 ) + ( x − 1 ) − ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) < 0 Payı sadeleştirelim. − x 2 + 2 x + 5 ( x − 1 ) ( x + 2 ) < 0 Her iki tarafı − ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir) ve daha kolay inceleyelim. x 2 − 2 x − 5 ( x − 1 ) ( x + 2 ) > 0 Payın köklerini bulalım. x 2 − 2 x − 5 = 0 x = 2 ± 4 + 20 2 = 1 ± 6 Paydanın sıfır olduğu değerler de kritik noktalardır. ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 0 x = 1 ∨ x = − 2 Kritik noktaları küçükten büyüğe sıralayıp işaret incelemesi yapalım. − 2 < 1 − 6 < 1 < 1 + 6 İşaret tablosu sonucuna göre kesrin pozitif olduğu aralıklar aşağıdaki gibidir (eşitsizlik > olduğu için kökler alınmaz, paydanın sıfır olduğu noktalar zaten dışarıda kalır). ( − ∞, − 2 ) ∪ ( 1 − 6, 1 ) ∪ ( 1 + 6, ∞ ) Bulunan çözüm kümesi şıklardan seçeneğiC1148yle aynıdır. Doğru cevap: C1171.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik sistemi: { | 2 x - 1 | ≤ 5 x 2 - 2 x - 3 > 0 1) Mutlak değerli eşitsizliği çözelim: | 2 x - 1 | ≤ 5 Mutlak değer kuralı: - 5 ≤ 2 x - 1 ≤ 5 Her tarafa 1 ekleyelim: - 4 ≤ 2 x ≤ 6 2’ye bölelim: - 2 ≤ x ≤ 3 2) İkinci eşitsizliği çözelim: x 2 - 2 x - 3 > 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) Çarpımın pozitif olması için köklerin dışında olmalıdır: ( x - 3 ) ( x + 1 ) > 0 x < - 1   veya   x > 3 3) İki koşulun kesişimini alalım: - 2 ≤ x ≤ 3 x < - 1   veya   x > 3 Bu durumda uygun aralık: [ - 2, - 1 ) 4) Bu aralıktaki tam sayıları yazalım: x = - 2 5) Tam sayıların toplamı: - 2 Sonuç: Toplam - 2 olur. Bu da şıkkıD736 dır; yani verilen doğru cevap D762 dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik sistemi: { | 2 x - 1 | ≤ 5 x 2 - 2 x - 3 > 0 1) Mutlak değerli eşitsizliği çözelim: | 2 x - 1 | ≤ 5 Mutlak değer kuralı: - 5 ≤ 2 x - 1 ≤ 5 Her tarafa 1 ekleyelim: - 4 ≤ 2 x ≤ 6 2’ye bölelim: - 2 ≤ x ≤ 3 2) İkinci eşitsizliği çözelim: x 2 - 2 x - 3 > 0 Çarpanlara ayıralım: x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) Çarpımın pozitif olması için köklerin dışında olmalıdır: ( x - 3 ) ( x + 1 ) > 0 x < - 1   veya   x > 3 3) İki koşulun kesişimini alalım: - 2 ≤ x ≤ 3 x < - 1   veya   x > 3 Bu durumda uygun aralık: [ - 2, - 1 ) 4) Bu aralıktaki tam sayıları yazalım: x = - 2 5) Tam sayıların toplamı: - 2 Sonuç: Toplam - 2 olur. Bu da şıkkıD736 dır; yani verilen doğru cevap D762 dır.

Doğru cevap: A

İki taraftan 5 çıkarılır: $x<7$.

1. Çözüm: İki taraftan 5 çıkarılır: $x<7$.

Doğru cevap: B

Her iki taraf pozitif 3’e bölünür, yön değişmez: $x\ge6$.

1. Çözüm: Her iki taraf pozitif 3’e bölünür, yön değişmez: $x\ge6$.

Doğru cevap: C

Negatif sayıya bölünürken eşitsizlik yön değiştirir: $x<-5$.

1. Çözüm: Negatif sayıya bölünürken eşitsizlik yön değiştirir: $x<-5$.

Doğru cevap: D

İki tarafa 4 eklenir ve $x\le7$ bulunur.

1. Çözüm: İki tarafa 4 eklenir ve $x\le7$ bulunur.