8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: 2 < x + 1 x − 2 ≤ 3 Tanım koşulu (payda sıfır olamaz): x ≠ 2 Çift taraflı eşitsizliği iki parçaya ayıralım: x + 1 x − 2 > 2 x + 1 x − 2 ≤ 3 Birinci eşitsizliği çözelim: x + 1 x − 2 > 2 x + 1 x − 2 − 2 > 0 x + 1 − 2 ( x − 2 ) x − 2 > 0 − x + 5 x − 2 > 0 Kritik noktalar: x = 2 x = 5 İşaret incelemesiyle birinci eşitsizliğin çözümü: ( 2, 5 ) İkinci eşitsizliği çözelim: x + 1 x − 2 ≤ 3 x + 1 x − 2 − 3 ≤ 0 x + 1 − 3 ( x − 2 ) x − 2 ≤ 0 − 2 x + 7 x − 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 2 x = 7 2 İşaret incelemesiyle ikinci eşitsizliğin çözümü: ( − ∞, 2 ) ∪ [ 7 2, ∞ ) İki koşulu birlikte sağlayan çözüm kümesi, bu iki kümenin kesişimidir: ( 2, 5 ) ∩ ( − ∞, 2 ) ∪ [ 7 2, ∞ ) [ 7 2, 5 ) Sonuç: Doğru cevap B948 şıkkıdır. [ 7 2, 5 )

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 < x + 1 x − 2 ≤ 3 Tanım koşulu (payda sıfır olamaz): x ≠ 2 Çift taraflı eşitsizliği iki parçaya ayıralım: x + 1 x − 2 > 2 x + 1 x − 2 ≤ 3 Birinci eşitsizliği çözelim: x + 1 x − 2 > 2 x + 1 x − 2 − 2 > 0 x + 1 − 2 ( x − 2 ) x − 2 > 0 − x + 5 x − 2 > 0 Kritik noktalar: x = 2 x = 5 İşaret incelemesiyle birinci eşitsizliğin çözümü: ( 2, 5 ) İkinci eşitsizliği çözelim: x + 1 x − 2 ≤ 3 x + 1 x − 2 − 3 ≤ 0 x + 1 − 3 ( x − 2 ) x − 2 ≤ 0 − 2 x + 7 x − 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 2 x = 7 2 İşaret incelemesiyle ikinci eşitsizliğin çözümü: ( − ∞, 2 ) ∪ [ 7 2, ∞ ) İki koşulu birlikte sağlayan çözüm kümesi, bu iki kümenin kesişimidir: ( 2, 5 ) ∩ ( − ∞, 2 ) ∪ [ 7 2, ∞ ) [ 7 2, 5 ) Sonuç: Doğru cevap B948 şıkkıdır. [ 7 2, 5 )

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 5 | < x + 1 Mutlak değerin negatif olamayacağını kullanırsak, sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 1 > 0 x > - 1 Şimdi mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) < 2 x - 5 < x + 1 Sol tarafı çözelim: - x - 1 < 2 x - 5 4 < 3 x x > 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 < x + 1 x < 6 Koşulları birleştirelim: x > 4 3 && x < 6 Bu aralıktaki tam sayılar: x = 2, 3, 4, 5 Toplamları: 2 + 3 + 4 + 5 = 14 Sonuç: Doğru cevap C461 (14) olarak doğrulanır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 5 | < x + 1 Mutlak değerin negatif olamayacağını kullanırsak, sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 1 > 0 x > - 1 Şimdi mutlak değer eşitsizliğini çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) < 2 x - 5 < x + 1 Sol tarafı çözelim: - x - 1 < 2 x - 5 4 < 3 x x > 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 < x + 1 x < 6 Koşulları birleştirelim: x > 4 3 && x < 6 Bu aralıktaki tam sayılar: x = 2, 3, 4, 5 Toplamları: 2 + 3 + 4 + 5 = 14 Sonuç: Doğru cevap C461 (14) olarak doğrulanır.

Doğru cevap: D

şıkkıD doğrudur. Başlangıç eşitsizliği: 3 x − 2 < 2 x + 5 Mutlak değerli eşitsizlikte sağ tarafın pozitif olması gerekir (çünkü mutlak değer her zaman sıfır veya pozitiftir). Bu yüzden: 2 x + 5 > 0 Buradan: x > − 5 2 Şimdi A < B ve B > 0 iken, bunun: − B < A < B şeklinde yazılabileceğini kullanarak: − ( 2 x + 5 ) < 3 x − 2 < 2 x + 5 Bu bileşik eşitsizliği iki parçaya ayıralım. 1) Sağ taraf: 3 x − 2 < 2 x + 5 Düzenleyelim: x < 7 2) Sol taraf: − ( 2 x + 5 ) < 3 x − 2 Parantezi açıp düzenleyelim: − 2 x − 5 < 3 x − 2 − 3 < 5 x − 3 5 < x Şimdi tüm koşulları birleştirelim: x > − 5 2, − 3 5 < x, x < 7 En kısıtlayıcı alt sınır x > − 3 5 olduğundan çözüm kümesi: − 3 5 < x < 7

1. Çözüm: şıkkıD doğrudur. Başlangıç eşitsizliği: 3 x − 2 < 2 x + 5 Mutlak değerli eşitsizlikte sağ tarafın pozitif olması gerekir (çünkü mutlak değer her zaman sıfır veya pozitiftir). Bu yüzden: 2 x + 5 > 0 Buradan: x > − 5 2 Şimdi A < B ve B > 0 iken, bunun: − B < A < B şeklinde yazılabileceğini kullanarak: − ( 2 x + 5 ) < 3 x − 2 < 2 x + 5 Bu bileşik eşitsizliği iki parçaya ayıralım. 1) Sağ taraf: 3 x − 2 < 2 x + 5 Düzenleyelim: x < 7 2) Sol taraf: − ( 2 x + 5 ) < 3 x − 2 Parantezi açıp düzenleyelim: − 2 x − 5 < 3 x − 2 − 3 < 5 x − 3 5 < x Şimdi tüm koşulları birleştirelim: x > − 5 2, − 3 5 < x, x < 7 En kısıtlayıcı alt sınır x > − 3 5 olduğundan çözüm kümesi: − 3 5 < x < 7

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 - 5 < x ≤ 7 Mutlak değer nedeniyle iki durum incelenir. 1. Durum: x ≥ 3 Bu durumda mutlak değer açılır: x - 3 = x - 3 Eşitsizliğin sol tarafına yazalım: 2 x - 3 - 5 < x Düzenleyelim: 2 x - 6 - 5 < x 2 x - 11 < x x < 11 Bu durumla birlikte: 3 ≤ x < 11 Ayrıca verilen koşul: x ≤ 7 Birleştirilirse: 3 ≤ x ≤ 7 Tam sayı değerleri ve toplamı: x ∈ 3, 4, 5, 6, 7 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 2. Durum: x < 3 Bu durumda mutlak değer açılır: x - 3 = 3 - x Eşitsizliğin sol tarafına yazalım: 2 3 - x - 5 < x Düzenleyelim: 6 - 2 x - 5 < x 1 - 2 x < x 1 < 3 x x > 1 3 Bu durumla birlikte: 1 3 < x < 3 Tam sayı değerleri ve toplamı: x ∈ 1, 2 1 + 2 = 3 Tüm uygun tam sayıların toplamı: 25 + 3 = 28 Sonuç: 28 Bu değer şıklarda A seçeneğiyle aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 - 5 < x ≤ 7 Mutlak değer nedeniyle iki durum incelenir. 1. Durum: x ≥ 3 Bu durumda mutlak değer açılır: x - 3 = x - 3 Eşitsizliğin sol tarafına yazalım: 2 x - 3 - 5 < x Düzenleyelim: 2 x - 6 - 5 < x 2 x - 11 < x x < 11 Bu durumla birlikte: 3 ≤ x < 11 Ayrıca verilen koşul: x ≤ 7 Birleştirilirse: 3 ≤ x ≤ 7 Tam sayı değerleri ve toplamı: x ∈ 3, 4, 5, 6, 7 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 2. Durum: x < 3 Bu durumda mutlak değer açılır: x - 3 = 3 - x Eşitsizliğin sol tarafına yazalım: 2 3 - x - 5 < x Düzenleyelim: 6 - 2 x - 5 < x 1 - 2 x < x 1 < 3 x x > 1 3 Bu durumla birlikte: 1 3 < x < 3 Tam sayı değerleri ve toplamı: x ∈ 1, 2 1 + 2 = 3 Tüm uygun tam sayıların toplamı: 25 + 3 = 28 Sonuç: 28 Bu değer şıklarda A seçeneğiyle aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlikte payda sıfır olamaz, önce tanım koşulunu yazalım. x + 1 ≠ 0 x ≠ -1 Eşitsizliği tek kesir hâline getirelim. 2 x - 3 x + 1 < 1 2 x - 3 x + 1 - 1 < 0 Ortak payda ile düzenleyelim. 2 x - 3 - 1 ( x + 1 ) x + 1 < 0 2 x - 3 - x - 1 x + 1 < 0 Sadeleştirelim. x - 4 x + 1 < 0 İşaret incelemesi için kritik noktaları bulalım: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler. x - 4 = 0 x = 4 x + 1 = 0 x = -1 Aralıkları belirleyip işaret inceleyelim. ( - ∞, -1 ), ( -1, 4 ), ( 4, ∞ ) Örnek değerlerle: • İlk aralıkta kesir pozitif olur (negatif / negatif). • Orta aralıkta kesir negatif olur (negatif / pozitif) ve eşitsizliği sağlar. • Son aralıkta kesir pozitif olur (pozitif / pozitif). Bu nedenle çözüm kümesi: -1 < x < 4 Doğru seçenek B760 'dır; yani şıkkıB790 doğrudur.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlikte payda sıfır olamaz, önce tanım koşulunu yazalım. x + 1 ≠ 0 x ≠ -1 Eşitsizliği tek kesir hâline getirelim. 2 x - 3 x + 1 < 1 2 x - 3 x + 1 - 1 < 0 Ortak payda ile düzenleyelim. 2 x - 3 - 1 ( x + 1 ) x + 1 < 0 2 x - 3 - x - 1 x + 1 < 0 Sadeleştirelim. x - 4 x + 1 < 0 İşaret incelemesi için kritik noktaları bulalım: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler. x - 4 = 0 x = 4 x + 1 = 0 x = -1 Aralıkları belirleyip işaret inceleyelim. ( - ∞, -1 ), ( -1, 4 ), ( 4, ∞ ) Örnek değerlerle: • İlk aralıkta kesir pozitif olur (negatif / negatif). • Orta aralıkta kesir negatif olur (negatif / pozitif) ve eşitsizliği sağlar. • Son aralıkta kesir pozitif olur (pozitif / pozitif). Bu nedenle çözüm kümesi: -1 < x < 4 Doğru seçenek B760 'dır; yani şıkkıB790 doğrudur.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek: C Eşitsizlikte payda sıfır olamaz; bu yüzden önce tanım koşulunu yazalım. x ≠ − 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x − 3 x + 1 < 1 2 x − 3 x + 1 − 1 < 0 Ortak paydada birleştirelim. 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 < 0 Payı düzenleyelim. 2 x − 3 − x − 1 x + 1 < 0 x − 4 x + 1 < 0 Kesrin işaretinin değişebileceği kritik noktalar; payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu değerlerdir. x − 4 = 0 ⇒ x = 4 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 Sayı doğrusunu bu noktalara göre üç aralığa ayırıp işaret incelemesi yapalım. x < − 1, − 1 < x < 4, x > 4 İşaret kontrolü (örnek değerlerle): ( x − 4 ) / ( x + 1 ) işareti x = − 2 ⇒ − 6 − 1 > 0 x = 0 ⇒ − 4 1 < 0 x = 5 ⇒ 1 6 > 0 Kesrin negatif olduğu aralık orta aralıktır. Ayrıca paydanın sıfır olduğu değer çözümde bulunamaz, payın sıfır olduğu değer ise eşitsizlik sıkı olduğu için alınmaz. − 1 < x < 4 Bu aralık şıklarda seçeneğiC1043dir.

1. Çözüm: Doğru seçenek: C Eşitsizlikte payda sıfır olamaz; bu yüzden önce tanım koşulunu yazalım. x ≠ − 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x − 3 x + 1 < 1 2 x − 3 x + 1 − 1 < 0 Ortak paydada birleştirelim. 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 < 0 Payı düzenleyelim. 2 x − 3 − x − 1 x + 1 < 0 x − 4 x + 1 < 0 Kesrin işaretinin değişebileceği kritik noktalar; payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu değerlerdir. x − 4 = 0 ⇒ x = 4 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 Sayı doğrusunu bu noktalara göre üç aralığa ayırıp işaret incelemesi yapalım. x < − 1, − 1 < x < 4, x > 4 İşaret kontrolü (örnek değerlerle): ( x − 4 ) / ( x + 1 ) işareti x = − 2 ⇒ − 6 − 1 > 0 x = 0 ⇒ − 4 1 < 0 x = 5 ⇒ 1 6 > 0 Kesrin negatif olduğu aralık orta aralıktır. Ayrıca paydanın sıfır olduğu değer çözümde bulunamaz, payın sıfır olduğu değer ise eşitsizlik sıkı olduğu için alınmaz. − 1 < x < 4 Bu aralık şıklarda seçeneğiC1043dir.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < x + 1 Mutlak değer her zaman negatif olmayan bir değer verdiği için sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 1 > 0 Buradan: x > - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizlik olarak yazalım: - x + 1 < 2 x - 5 < x + 1 Sol tarafı çözelim: 2 x - 5 > - x - 1 3 x > 4 x > 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 < x + 1 x < 6 Koşulları birleştirelim: 4 3 < x < 6 Bu aralıkta bulunan tam sayılar: x = 2, 3, 4, 5 Toplam tam sayı sayısı: 4 Doğru cevap D467 seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < x + 1 Mutlak değer her zaman negatif olmayan bir değer verdiği için sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 1 > 0 Buradan: x > - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizlik olarak yazalım: - x + 1 < 2 x - 5 < x + 1 Sol tarafı çözelim: 2 x - 5 > - x - 1 3 x > 4 x > 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 < x + 1 x < 6 Koşulları birleştirelim: 4 3 < x < 6 Bu aralıkta bulunan tam sayılar: x = 2, 3, 4, 5 Toplam tam sayı sayısı: 4 Doğru cevap D467 seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Şıkları kontrol edelim: Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı bulununca doğru şık görülecek. 2 x − 3 5 + x + 1 2 ≥ 3 Paydaları kaldırmak için her iki tarafı paydaların EKOK’u olan 10 ile çarpalım (10 pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez). 10 ⋅ 2 x − 3 5 + 10 ⋅ x + 1 2 ≥ 10 ⋅ 3 Sadeleştirelim. 2 ⋅ ( 2 x − 3 ) + 5 ⋅ ( x + 1 ) ≥ 30 Parantezleri açalım. 4 x − 6 + 5 x + 5 ≥ 30 Benzer terimleri toplayalım. 9 x − 1 ≥ 30 Her iki tarafa 1 ekleyelim. 9 x ≥ 31 Her iki tarafı 9’a bölelim (9 pozitif olduğu için yön değişmez). x ≥ 31 9 Bu değerden büyük/eşit en küçük tam sayı 4’tür. x = 4 Dolayısıyla doğru cevap A722 şıkkıdır.

1. Çözüm: Şıkları kontrol edelim: Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı bulununca doğru şık görülecek. 2 x − 3 5 + x + 1 2 ≥ 3 Paydaları kaldırmak için her iki tarafı paydaların EKOK’u olan 10 ile çarpalım (10 pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez). 10 ⋅ 2 x − 3 5 + 10 ⋅ x + 1 2 ≥ 10 ⋅ 3 Sadeleştirelim. 2 ⋅ ( 2 x − 3 ) + 5 ⋅ ( x + 1 ) ≥ 30 Parantezleri açalım. 4 x − 6 + 5 x + 5 ≥ 30 Benzer terimleri toplayalım. 9 x − 1 ≥ 30 Her iki tarafa 1 ekleyelim. 9 x ≥ 31 Her iki tarafı 9’a bölelim (9 pozitif olduğu için yön değişmez). x ≥ 31 9 Bu değerden büyük/eşit en küçük tam sayı 4’tür. x = 4 Dolayısıyla doğru cevap A722 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Sorudaki eşitsizlik: x - 1 + x - 4 < 7 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: x = 1, x = 4 Birinci durum: Değişken ilk kritik noktadan küçük ya da eşitken: x <= 1 Bu durumda mutlak değerler açılır: x - 1 = 1 - x x - 4 = 4 - x Eşitsizliğe yazalım: 1 - x + 4 - x < 7 Düzenleyelim: 5 - 2 x < 7 - 2 x < 2 x > - 1 Bu durumun kendi koşulu ile birleştirince: - 1 < x <= 1 İkinci durum: Değişken iki kritik nokta arasındayken: 1 <= x <= 4 Bu durumda mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x Toplam: x - 1 + 4 - x = 3 Dolayısıyla eşitsizlik: 3 < 7 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler uygundur. Üçüncü durum: Değişken ikinci kritik noktadan büyük ya da eşitken: x >= 4 Bu durumda mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = x - 4 Eşitsizliğe yazalım: x - 1 + x - 4 < 7 Düzenleyelim: 2 x - 5 < 7 2 x < 12 x < 6 Bu durumun kendi koşulu ile birleştirince: 4 <= x < 6 Tüm uygun aralıkları birleştirelim: - 1 < x < 6 Bu aralıktaki tam sayılar: { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Toplamları: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Bulunan toplam şıklarda B seçeneğine karşılık gelir; yani B doğrudur.

1. Çözüm: Sorudaki eşitsizlik: x - 1 + x - 4 < 7 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: x = 1, x = 4 Birinci durum: Değişken ilk kritik noktadan küçük ya da eşitken: x <= 1 Bu durumda mutlak değerler açılır: x - 1 = 1 - x x - 4 = 4 - x Eşitsizliğe yazalım: 1 - x + 4 - x < 7 Düzenleyelim: 5 - 2 x < 7 - 2 x < 2 x > - 1 Bu durumun kendi koşulu ile birleştirince: - 1 < x <= 1 İkinci durum: Değişken iki kritik nokta arasındayken: 1 <= x <= 4 Bu durumda mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x Toplam: x - 1 + 4 - x = 3 Dolayısıyla eşitsizlik: 3 < 7 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler uygundur. Üçüncü durum: Değişken ikinci kritik noktadan büyük ya da eşitken: x >= 4 Bu durumda mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = x - 4 Eşitsizliğe yazalım: x - 1 + x - 4 < 7 Düzenleyelim: 2 x - 5 < 7 2 x < 12 x < 6 Bu durumun kendi koşulu ile birleştirince: 4 <= x < 6 Tüm uygun aralıkları birleştirelim: - 1 < x < 6 Bu aralıktaki tam sayılar: { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Toplamları: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 Bulunan toplam şıklarda B seçeneğine karşılık gelir; yani B doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 ≤ x + 1 Mutlak değerli eşitsizliklerde sağ tarafın negatif olmaması gerekir. Bu yüzden önce şu şartı yazarız: x + 1 ≥ 0 Buradan: x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği iki taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 3 ≤ x + 1 Sol tarafı çözelim: - x - 1 ≤ 2 x - 3 Taraf tarafa düzenleyelim: 2 ≤ 3 x Buradan: x ≥ 2 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 3 ≤ x + 1 Taraf tarafa düzenleyelim: x ≤ 4 Tüm şartları birlikte sağlayan değerler, bu aralıkların kesişimidir: x ≥ - 1 x ≥ 2 3 x ≤ 4 En kısıtlayıcı alt sınır ve üst sınırı alırsak çözüm aralığı: 2 3, 4 Bu aralık şıklar içinde seçeneğiC645dir. Yani A doğrudur.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 ≤ x + 1 Mutlak değerli eşitsizliklerde sağ tarafın negatif olmaması gerekir. Bu yüzden önce şu şartı yazarız: x + 1 ≥ 0 Buradan: x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği iki taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 3 ≤ x + 1 Sol tarafı çözelim: - x - 1 ≤ 2 x - 3 Taraf tarafa düzenleyelim: 2 ≤ 3 x Buradan: x ≥ 2 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 3 ≤ x + 1 Taraf tarafa düzenleyelim: x ≤ 4 Tüm şartları birlikte sağlayan değerler, bu aralıkların kesişimidir: x ≥ - 1 x ≥ 2 3 x ≤ 4 En kısıtlayıcı alt sınır ve üst sınırı alırsak çözüm aralığı: 2 3, 4 Bu aralık şıklar içinde seçeneğiC645dir. Yani A doğrudur.