8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: B

Önce verilen eşitsizlik sistemini birlikte ele alalım. Eşitsizlik: x - 6 x - 1 ≥ 0 Aralık koşulu: - 2 ≤ x ≤ 8 Kesrin işaretini değiştirebilecek kritik değerler; payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu noktalardır. Payın sıfır olduğu değer: x - 6 = 0 x = 6 Paydanın sıfır olduğu değer (tanımsızlık): x - 1 = 0 x = 1 Buna göre sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: ( - ∞, 1 ), ( 1, 6 ), ( 6, ∞ ) Şimdi her aralıkta pay ve paydanın işaretine bakalım: 1) Aşağıdaki aralıkta: x < 1 Bu durumda: x - 6 < 0 x - 1 < 0 Negatif / negatif pozitif olduğundan eşitsizlik sağlanır. 2) Aşağıdaki aralıkta: 1 < x < 6 Bu durumda: x - 6 < 0 x - 1 > 0 Negatif / pozitif negatif olduğundan eşitsizlik sağlanmaz. 3) Aşağıdaki aralıkta: x > 6 Bu durumda: x - 6 > 0 x - 1 > 0 Pozitif / pozitif pozitif olduğundan eşitsizlik sağlanır. Ayrıca eşitlik durumuna dikkat edelim: Payı sıfır yapan değer eşitliği sağlar: x = 6 Paydayı sıfır yapan değer ise tanımsızdır ve alınamaz: x ≠ 1 Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi: ( - ∞, 1 ) ∪ [ 6, ∞ ) Şimdi bunu verilen aralık koşulu ile kesiştirelim: ( - ∞, 1 ) ∪ [ 6, ∞ ) ∩ [ - 2, 8 ] [ - 2, 1 ) ∪ [ 6, 8 ] Şimdi bu aralıktaki tam sayıları yazalım: - 2, - 1, 0, 6, 7, 8 Bu tam sayıların toplamı: ( - 2 ) + ( - 1 ) + 0 + 6 + 7 + 8 - 3 + 21 18 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizlik sistemini birlikte ele alalım. Eşitsizlik: x - 6 x - 1 ≥ 0 Aralık koşulu: - 2 ≤ x ≤ 8 Kesrin işaretini değiştirebilecek kritik değerler; payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu noktalardır. Payın sıfır olduğu değer: x - 6 = 0 x = 6 Paydanın sıfır olduğu değer (tanımsızlık): x - 1 = 0 x = 1 Buna göre sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: ( - ∞, 1 ), ( 1, 6 ), ( 6, ∞ ) Şimdi her aralıkta pay ve paydanın işaretine bakalım: 1) Aşağıdaki aralıkta: x < 1 Bu durumda: x - 6 < 0 x - 1 < 0 Negatif / negatif pozitif olduğundan eşitsizlik sağlanır. 2) Aşağıdaki aralıkta: 1 < x < 6 Bu durumda: x - 6 < 0 x - 1 > 0 Negatif / pozitif negatif olduğundan eşitsizlik sağlanmaz. 3) Aşağıdaki aralıkta: x > 6 Bu durumda: x - 6 > 0 x - 1 > 0 Pozitif / pozitif pozitif olduğundan eşitsizlik sağlanır. Ayrıca eşitlik durumuna dikkat edelim: Payı sıfır yapan değer eşitliği sağlar: x = 6 Paydayı sıfır yapan değer ise tanımsızdır ve alınamaz: x ≠ 1 Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi: ( - ∞, 1 ) ∪ [ 6, ∞ ) Şimdi bunu verilen aralık koşulu ile kesiştirelim: ( - ∞, 1 ) ∪ [ 6, ∞ ) ∩ [ - 2, 8 ] [ - 2, 1 ) ∪ [ 6, 8 ] Şimdi bu aralıktaki tam sayıları yazalım: - 2, - 1, 0, 6, 7, 8 Bu tam sayıların toplamı: ( - 2 ) + ( - 1 ) + 0 + 6 + 7 + 8 - 3 + 21 18 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) Şıkları kontrol etmek için önce eşitsizliği çözelim. Verilen koşul: 2 x - 3 ≥ x + 4 2) Mutlak değerlerde her iki taraf da negatif olmayacağı için, karelerini alabiliriz: 2 x - 3 2 ≥ x + 4 2 3) Parantezleri açalım: 4 x 2 - 12 x + 9 ≥ x 2 + 8 x + 16 4) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 3 x 2 - 20 x - 7 ≥ 0 5) İkinci dereceden eşitsizliği kök bularak çözelim. Denklemin kökleri: x = 20 ± 22 6 Buna göre kökler: x = 7   ve   x = -1 3 6) Parabol yukarı doğru olduğu için ifade köklerin dışında (ve köklerde) sıfırdan büyük/eşittir: x ≤ -1 3   veya   x ≥ 7 7) Ayrıca aralık koşulu var: -5 ≤ x ≤ 6 8) Kesişim alınca x ≥ 7 kısmı aralığa girmiyor. Geriye: -5 ≤ x ≤ -1 3 Bu aralıktaki tam sayılar: x ∈ -5, -4, -3, -2, -1 9) Toplam tam sayı çözüm sayısı: 5 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir; yani verilen cevap B doğru.

1. Çözüm: 1) Şıkları kontrol etmek için önce eşitsizliği çözelim. Verilen koşul: 2 x - 3 ≥ x + 4 2) Mutlak değerlerde her iki taraf da negatif olmayacağı için, karelerini alabiliriz: 2 x - 3 2 ≥ x + 4 2 3) Parantezleri açalım: 4 x 2 - 12 x + 9 ≥ x 2 + 8 x + 16 4) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 3 x 2 - 20 x - 7 ≥ 0 5) İkinci dereceden eşitsizliği kök bularak çözelim. Denklemin kökleri: x = 20 ± 22 6 Buna göre kökler: x = 7   ve   x = -1 3 6) Parabol yukarı doğru olduğu için ifade köklerin dışında (ve köklerde) sıfırdan büyük/eşittir: x ≤ -1 3   veya   x ≥ 7 7) Ayrıca aralık koşulu var: -5 ≤ x ≤ 6 8) Kesişim alınca x ≥ 7 kısmı aralığa girmiyor. Geriye: -5 ≤ x ≤ -1 3 Bu aralıktaki tam sayılar: x ∈ -5, -4, -3, -2, -1 9) Toplam tam sayı çözüm sayısı: 5 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir; yani verilen cevap B doğru.

Doğru cevap: A

Önce tanım koşulunu yazalım (payda sıfır olamaz): x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 Eşitsizliği tek kesre indirerek çözelim: x − 2 x + 1 ≥ 2 x − 2 x + 1 − 2 ≥ 0 Ortak paydada toplayalım: x − 2 − 2 ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x − 2 − 2 x − 2 ≥ 0 · ( x + 1 ) − x − 4 x + 1 ≥ 0 Her iki tarafı -1 ile çarpıp yön değiştirerek daha kolay inceleyelim: x + 4 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: Payı sıfır yapan değer: x + 4 = 0 x = − 4 Paydayı sıfır yapan değer (tanımsız, çözümde olamaz): x + 1 = 0 x = − 1 İşaret incelemesi (aralık seçip kontrol edelim): 1) -4 'ten küçük bir değer seçelim: x = − 5 x + 4 x + 1 = − 1 − 4 > 0 Bu aralık çözüm değildir. 2) -4 ile -1 arasında bir değer seçelim: x = − 2 x + 4 x + 1 = 2 − 1 < 0 Bu aralık çözüm olur. 3) -1 'den büyük bir değer seçelim: x = 0 x + 4 x + 1 = 4 1 > 0 Bu aralık çözüm değildir. Sonuç: Eşitsizlikte eşitlik de var olduğu için -4 dahil edilir, ifade -1 'de tanımsız olduğu için -1 dahil edilmez: Ç = [ − 4, − 1 ) Bu da A şıkkıdır. Yani doğru cevap A.

1. Çözüm: Önce tanım koşulunu yazalım (payda sıfır olamaz): x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 Eşitsizliği tek kesre indirerek çözelim: x − 2 x + 1 ≥ 2 x − 2 x + 1 − 2 ≥ 0 Ortak paydada toplayalım: x − 2 − 2 ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x − 2 − 2 x − 2 ≥ 0 · ( x + 1 ) − x − 4 x + 1 ≥ 0 Her iki tarafı -1 ile çarpıp yön değiştirerek daha kolay inceleyelim: x + 4 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: Payı sıfır yapan değer: x + 4 = 0 x = − 4 Paydayı sıfır yapan değer (tanımsız, çözümde olamaz): x + 1 = 0 x = − 1 İşaret incelemesi (aralık seçip kontrol edelim): 1) -4 'ten küçük bir değer seçelim: x = − 5 x + 4 x + 1 = − 1 − 4 > 0 Bu aralık çözüm değildir. 2) -4 ile -1 arasında bir değer seçelim: x = − 2 x + 4 x + 1 = 2 − 1 < 0 Bu aralık çözüm olur. 3) -1 'den büyük bir değer seçelim: x = 0 x + 4 x + 1 = 4 1 > 0 Bu aralık çözüm değildir. Sonuç: Eşitsizlikte eşitlik de var olduğu için -4 dahil edilir, ifade -1 'de tanımsız olduğu için -1 dahil edilmez: Ç = [ − 4, − 1 ) Bu da A şıkkıdır. Yani doğru cevap A.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 x - 3 < 1 1) Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ 3 2) Her iki taraftan 1 çıkaralım: 2 x - 1 x - 3 - 1 < 0 3) Ortak payda ile tek kesir haline getirelim: 2 x - 1 - 1 ( x - 3 ) x - 3 < 0 4) Payı sadeleştirelim: x + 2 x - 3 < 0 5) Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = - 2 x = 3 6) Sayı doğrusunu bu noktalara göre aralıklara ayıralım ve işaret incelemesi yapalım. Seçilen örnek değerle işaret: ( x < - 2 )   için   x = - 3   ⇒   x + 2 x - 3 > 0 ( - 2 < x < 3 )   için   x = 0   ⇒   x + 2 x - 3 < 0 ( x > 3 )   için   x = 4   ⇒   x + 2 x - 3 > 0 Bu nedenle kesrin negatif olduğu aralık: - 2 < x < 3 7) Uç noktaları kontrol: x = - 2   ⇒   x + 2 x - 3 = 0   ≮   0 x = 3   ⇒   tanımsız Sonuç: - 2 < x < 3 Doğru seçenek: B (İstersen) işaret tablosunu görsel olarak: -2 3 + - +

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 x - 3 < 1 1) Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ 3 2) Her iki taraftan 1 çıkaralım: 2 x - 1 x - 3 - 1 < 0 3) Ortak payda ile tek kesir haline getirelim: 2 x - 1 - 1 ( x - 3 ) x - 3 < 0 4) Payı sadeleştirelim: x + 2 x - 3 < 0 5) Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = - 2 x = 3 6) Sayı doğrusunu bu noktalara göre aralıklara ayıralım ve işaret incelemesi yapalım. Seçilen örnek değerle işaret: ( x < - 2 )   için   x = - 3   ⇒   x + 2 x - 3 > 0 ( - 2 < x < 3 )   için   x = 0   ⇒   x + 2 x - 3 < 0 ( x > 3 )   için   x = 4   ⇒   x + 2 x - 3 > 0 Bu nedenle kesrin negatif olduğu aralık: - 2 < x < 3 7) Uç noktaları kontrol: x = - 2   ⇒   x + 2 x - 3 = 0   ≮   0 x = 3   ⇒   tanımsız Sonuç: - 2 < x < 3 Doğru seçenek: B (İstersen) işaret tablosunu görsel olarak: -2 3 + - +

Doğru cevap: B

Soru: Mutlak değerli eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı isteniyor. 2 x - 5 ≤ x + 1 Mutlak değer her zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu yüzden sağ tarafın negatif olduğu durumlarda eşitsizlik sağlanamaz. Önce sağ tarafın sıfırdan küçük olmaması gerekir: x + 1 ≥ 0 x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - x + 1 ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Sol tarafı çözelim: - x + 1 ≤ 2 x - 5 - x - 1 ≤ 2 x - 5 4 ≤ 3 x x ≥ 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 x ≤ 6 Tüm koşulları birleştirelim: x ≥ - 1 x ≥ 4 3 x ≤ 6 Buna göre tam sayı çözümler: x = 2, 3, 4, 5, 6 İstenen toplam: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Sonuç: Doğru cevap 20 olduğu için B şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Soru: Mutlak değerli eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı isteniyor. 2 x - 5 ≤ x + 1 Mutlak değer her zaman sıfırdan küçük olamaz. Bu yüzden sağ tarafın negatif olduğu durumlarda eşitsizlik sağlanamaz. Önce sağ tarafın sıfırdan küçük olmaması gerekir: x + 1 ≥ 0 x ≥ - 1 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - x + 1 ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Sol tarafı çözelim: - x + 1 ≤ 2 x - 5 - x - 1 ≤ 2 x - 5 4 ≤ 3 x x ≥ 4 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 x ≤ 6 Tüm koşulları birleştirelim: x ≥ - 1 x ≥ 4 3 x ≤ 6 Buna göre tam sayı çözümler: x = 2, 3, 4, 5, 6 İstenen toplam: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Sonuç: Doğru cevap 20 olduğu için B şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: C

Koşullar: 0 ≤ x ≤ 10 3 ⁢ 2 x − 1 ≤ 5 x + 7 | x − 4 | > 2 İkinci eşitsizliği çözelim: 3 ⁢ 2 x − 1 ≤ 5 x + 7 6 x − 3 ≤ 5 x + 7 x ≤ 10 Birinci koşulla birlikte düşünürsek aralık değişmiyor: 0 ≤ x ≤ 10 Üçüncü koşulu çözelim: | x − 4 | > 2 Mutlak değer tanımına göre iki durum vardır: x − 4 > 2 x > 6 x − 4 < − 2 x < 2 Şimdi tüm koşulları aynı anda sağlayan tam sayıları bulalım: Aralık: 0 ≤ x ≤ 10 Ek koşul: x < 2   veya   x > 6 Bu durumda uygun tam sayılar: x ∈ 0, 1, 7, 8, 9, 10 Sayalım: 6 Doğru seçenek kontrolü: C şıkkı 6 olduğu için verilen doğru cevap C doğrudur.

1. Çözüm: Koşullar: 0 ≤ x ≤ 10 3 ⁢ 2 x − 1 ≤ 5 x + 7 | x − 4 | > 2 İkinci eşitsizliği çözelim: 3 ⁢ 2 x − 1 ≤ 5 x + 7 6 x − 3 ≤ 5 x + 7 x ≤ 10 Birinci koşulla birlikte düşünürsek aralık değişmiyor: 0 ≤ x ≤ 10 Üçüncü koşulu çözelim: | x − 4 | > 2 Mutlak değer tanımına göre iki durum vardır: x − 4 > 2 x > 6 x − 4 < − 2 x < 2 Şimdi tüm koşulları aynı anda sağlayan tam sayıları bulalım: Aralık: 0 ≤ x ≤ 10 Ek koşul: x < 2   veya   x > 6 Bu durumda uygun tam sayılar: x ∈ 0, 1, 7, 8, 9, 10 Sayalım: 6 Doğru seçenek kontrolü: C şıkkı 6 olduğu için verilen doğru cevap C doğrudur.

Doğru cevap: A

Seçenek A’yı kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 < 2 Tüm terimleri tek tarafta toplayalım: x − 2 x + 1 − 2 < 0 Payda ortaklaştırıp tek kesir yazalım: ( x − 2 ) − 2 ( x + 1 ) x + 1 < 0 Payı açıp sadeleştirelim: x − 2 − 2 x − 2 x + 1 < 0 Payı düzenleyelim: − x − 4 x + 1 < 0 Her iki tarafı −1 ile çarpalım (eşitsizlik yönü değişir): x + 4 x + 1 > 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan): x + 4 = 0 → x = − 4 x + 1 = 0 → x = − 1 İşaret incelemesi (kesrin pozitif olduğu aralıklar): x < − 4 x + 4 < 0, x + 1 < 0 x + 4 x + 1 > 0 − 4 < x < − 1 x + 4 > 0, x + 1 < 0 x + 4 x + 1 < 0 x > − 1 x + 4 > 0, x + 1 > 0 x + 4 x + 1 > 0 Sıkı eşitsizlik olduğu için x = -4 alınmaz; ayrıca payda sıfır olamayacağı için x = -1 zaten alınmaz. Çözüm kümesi: ( − ∞, − 4 ) ∪ ( − 1, ∞ ) Bu sonuç seçenek A ile aynıdır, doğru cevap A.

1. Çözüm: Seçenek A’yı kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 < 2 Tüm terimleri tek tarafta toplayalım: x − 2 x + 1 − 2 < 0 Payda ortaklaştırıp tek kesir yazalım: ( x − 2 ) − 2 ( x + 1 ) x + 1 < 0 Payı açıp sadeleştirelim: x − 2 − 2 x − 2 x + 1 < 0 Payı düzenleyelim: − x − 4 x + 1 < 0 Her iki tarafı −1 ile çarpalım (eşitsizlik yönü değişir): x + 4 x + 1 > 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan): x + 4 = 0 → x = − 4 x + 1 = 0 → x = − 1 İşaret incelemesi (kesrin pozitif olduğu aralıklar): x < − 4 x + 4 < 0, x + 1 < 0 x + 4 x + 1 > 0 − 4 < x < − 1 x + 4 > 0, x + 1 < 0 x + 4 x + 1 < 0 x > − 1 x + 4 > 0, x + 1 > 0 x + 4 x + 1 > 0 Sıkı eşitsizlik olduğu için x = -4 alınmaz; ayrıca payda sıfır olamayacağı için x = -1 zaten alınmaz. Çözüm kümesi: ( − ∞, − 4 ) ∪ ( − 1, ∞ ) Bu sonuç seçenek A ile aynıdır, doğru cevap A.

Doğru cevap: A

Soru: | 2 x - 1 | + | x + 2 | < 7 Mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan kritik noktaları bulalım: 2 x - 1 = 0 x = 1 2 x + 2 = 0 x = - 2 Buna göre üç aralıkta inceleme yaparız: x < - 2, - 2 ≤ x < 1 2, 1 2 ≤ x 1) Aralık: x < - 2 Bu aralıkta içler negatif olduğu için: | 2 x - 1 | = - ( 2 x - 1 ) | x + 2 | = - ( x + 2 ) Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - ( - 1 ) ) + ( - x - 2 ) < 7 Sadeleştirelim: - 3 x - 1 < 7 Çözelim: - 3 x < 8 ⇒ x > - 8 3 Aralık koşulu ile birleştirirsek: - 8 3 < x < - 2 2) Aralık: - 2 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - ( 2 x - 1 ), | x + 2 | = x + 2 Eşitsizlik: ( - 2 x - ( - 1 ) ) + x + 2 < 7 Sadeleştirelim: - x + 3 < 7 Çözelim: - x < 4 ⇒ x > - 4 Aralık koşulu ile birleştirince bu aralığın tamamı çözümde kalır: - 2 ≤ x < 1 2 3) Aralık: 1 2 ≤ x Bu aralıkta içler pozitif olduğu için: | 2 x - 1 | = 2 x - 1, | x + 2 | = x + 2 Eşitsizlik: 2 x - 1 + x + 2 < 7 Sadeleştirelim ve çözelim: 3 x + 1 < 7 ⇒ 3 x < 6 ⇒ x < 2 Aralık koşulu ile birleştirirsek: 1 2 ≤ x < 2 Tüm aralıkları birleştirelim: ( - 8 3, - 2 ) ⋃ [ - 2, 1 2 ) ⋃ [ 1 2, 2 ) = ( - 8 3, 2 ) Uç noktaların dahil olmadığını kontrol edelim: Birinci uç nokta için: x = - 8 3 ⇒ | 2 x - 1 | + | x + 2 | = 7 İkinci uç nokta için: x = 2 ⇒ | 2 x - 1 | + | x + 2 | = 7 Her iki uç noktada da sonuç eşit çıktığı için, eşitsizlik sıkı olduğundan uç noktalar çözümde yoktur. Sonuç: Çözüm kümesi ( - 8 3, 2 ) Bu nedenle doğru seçenek: A

1. Çözüm: Soru: | 2 x - 1 | + | x + 2 | < 7 Mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan kritik noktaları bulalım: 2 x - 1 = 0 x = 1 2 x + 2 = 0 x = - 2 Buna göre üç aralıkta inceleme yaparız: x < - 2, - 2 ≤ x < 1 2, 1 2 ≤ x 1) Aralık: x < - 2 Bu aralıkta içler negatif olduğu için: | 2 x - 1 | = - ( 2 x - 1 ) | x + 2 | = - ( x + 2 ) Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - ( - 1 ) ) + ( - x - 2 ) < 7 Sadeleştirelim: - 3 x - 1 < 7 Çözelim: - 3 x < 8 ⇒ x > - 8 3 Aralık koşulu ile birleştirirsek: - 8 3 < x < - 2 2) Aralık: - 2 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - ( 2 x - 1 ), | x + 2 | = x + 2 Eşitsizlik: ( - 2 x - ( - 1 ) ) + x + 2 < 7 Sadeleştirelim: - x + 3 < 7 Çözelim: - x < 4 ⇒ x > - 4 Aralık koşulu ile birleştirince bu aralığın tamamı çözümde kalır: - 2 ≤ x < 1 2 3) Aralık: 1 2 ≤ x Bu aralıkta içler pozitif olduğu için: | 2 x - 1 | = 2 x - 1, | x + 2 | = x + 2 Eşitsizlik: 2 x - 1 + x + 2 < 7 Sadeleştirelim ve çözelim: 3 x + 1 < 7 ⇒ 3 x < 6 ⇒ x < 2 Aralık koşulu ile birleştirirsek: 1 2 ≤ x < 2 Tüm aralıkları birleştirelim: ( - 8 3, - 2 ) ⋃ [ - 2, 1 2 ) ⋃ [ 1 2, 2 ) = ( - 8 3, 2 ) Uç noktaların dahil olmadığını kontrol edelim: Birinci uç nokta için: x = - 8 3 ⇒ | 2 x - 1 | + | x + 2 | = 7 İkinci uç nokta için: x = 2 ⇒ | 2 x - 1 | + | x + 2 | = 7 Her iki uç noktada da sonuç eşit çıktığı için, eşitsizlik sıkı olduğundan uç noktalar çözümde yoktur. Sonuç: Çözüm kümesi ( - 8 3, 2 ) Bu nedenle doğru seçenek: A

Doğru cevap: C

Önce şık C’de verilen toplamın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Bunun için iki eşitsizliği ayrı ayrı çözüp, tam sayı çözümlerini ortaklaştıracağız. 1) Mutlak değerli eşitsizlik: | 2 x - 1 | ≤ 5 Mutlak değer tanımından çift taraflı eşitsizlik yazalım: - 5 ≤ 2 x - 1 ≤ 5 Her tarafa 1 ekleyelim: - 4 ≤ 2 x ≤ 6 Her tarafı 2’ye bölelim: - 2 ≤ x ≤ 3 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar: x ∈ { - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 } 2) Rasyonel eşitsizlik: x + 2 x - 3 < 0 Kesrin işaret değiştirebileceği kritik değerler, payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir: x + 2 = 0 x = - 2 x - 3 = 0 x = 3 Buna göre sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) Kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir. Bu durum yalnızca şu aralıkta gerçekleşir: ( - 2, 3 ) Ayrıca eşitsizlik sıkı olduğu için (sıfıra eşit olamaz) payın sıfır olduğu değer alınmaz; paydanın sıfır olduğu değer de zaten tanımsızdır. Bu nedenle: x ≠ - 2, x ≠ 3 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar: x ∈ { - 1, 0, 1, 2 } 3) İki koşulu aynı anda sağlayan tam sayılar (kesişim): { - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 } ∩ { - 1, 0, 1, 2 } = { - 1, 0, 1, 2 } 4) Bu tam sayıların toplamı: ( - 1 ) + 0 + 1 + 2 = 2 Sonuç olarak doğru cevap şık C’dir. 2

1. Çözüm: Önce şık C’de verilen toplamın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Bunun için iki eşitsizliği ayrı ayrı çözüp, tam sayı çözümlerini ortaklaştıracağız. 1) Mutlak değerli eşitsizlik: | 2 x - 1 | ≤ 5 Mutlak değer tanımından çift taraflı eşitsizlik yazalım: - 5 ≤ 2 x - 1 ≤ 5 Her tarafa 1 ekleyelim: - 4 ≤ 2 x ≤ 6 Her tarafı 2’ye bölelim: - 2 ≤ x ≤ 3 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar: x ∈ { - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 } 2) Rasyonel eşitsizlik: x + 2 x - 3 < 0 Kesrin işaret değiştirebileceği kritik değerler, payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir: x + 2 = 0 x = - 2 x - 3 = 0 x = 3 Buna göre sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) Kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir. Bu durum yalnızca şu aralıkta gerçekleşir: ( - 2, 3 ) Ayrıca eşitsizlik sıkı olduğu için (sıfıra eşit olamaz) payın sıfır olduğu değer alınmaz; paydanın sıfır olduğu değer de zaten tanımsızdır. Bu nedenle: x ≠ - 2, x ≠ 3 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar: x ∈ { - 1, 0, 1, 2 } 3) İki koşulu aynı anda sağlayan tam sayılar (kesişim): { - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 } ∩ { - 1, 0, 1, 2 } = { - 1, 0, 1, 2 } 4) Bu tam sayıların toplamı: ( - 1 ) + 0 + 1 + 2 = 2 Sonuç olarak doğru cevap şık C’dir. 2

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: | x - 2 | + | x + 1 | < 7 Mutlak değerleri, kritik noktalar olan değerlerine göre inceleyelim. x - 2 = 0 x + 1 = 0 Buna göre üç aralık oluşur. 1. durum: İki kritik nokta arasındayken -1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta mutlak değerler şöyle açılır: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = x + 1 Toplayıp eşitsizliğe yazalım: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) < 7 3 < 7 Bu her zaman doğru olduğundan, bu aralıktaki tüm tam sayılar çözüm olur: { -1, 0, 1, 2 } 2. durum: Sağ tarafta x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizlik: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) < 7 2 x - 1 < 7 2 x < 8 x < 4 Bu durumda aralık: 2 ≤ x < 4 Tam sayılar: { 2, 3 } Burada yeni gelen tam sayı: 3 3. durum: Sol tarafta x ≤ -1 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = - x - 1 Eşitsizlik: ( 2 - x ) + ( - x - 1 ) < 7 1 - 2 x < 7 - 2 x < 6 x > -3 Birleştirince: -3 < x ≤ -1 Tam sayılar: { -2, -1 } Burada yeni gelen tam sayı: -2 Tüm uygun tam sayıları birleştirince: { -2, -1, 0, 1, 2, 3 } Bunların sayısı: 6 Doğru seçenek: B

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | x - 2 | + | x + 1 | < 7 Mutlak değerleri, kritik noktalar olan değerlerine göre inceleyelim. x - 2 = 0 x + 1 = 0 Buna göre üç aralık oluşur. 1. durum: İki kritik nokta arasındayken -1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta mutlak değerler şöyle açılır: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = x + 1 Toplayıp eşitsizliğe yazalım: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) < 7 3 < 7 Bu her zaman doğru olduğundan, bu aralıktaki tüm tam sayılar çözüm olur: { -1, 0, 1, 2 } 2. durum: Sağ tarafta x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizlik: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) < 7 2 x - 1 < 7 2 x < 8 x < 4 Bu durumda aralık: 2 ≤ x < 4 Tam sayılar: { 2, 3 } Burada yeni gelen tam sayı: 3 3. durum: Sol tarafta x ≤ -1 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = - x - 1 Eşitsizlik: ( 2 - x ) + ( - x - 1 ) < 7 1 - 2 x < 7 - 2 x < 6 x > -3 Birleştirince: -3 < x ≤ -1 Tam sayılar: { -2, -1 } Burada yeni gelen tam sayı: -2 Tüm uygun tam sayıları birleştirince: { -2, -1, 0, 1, 2, 3 } Bunların sayısı: 6 Doğru seçenek: B