8. Sınıf Matematik Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: A

Önce verilen eşitsizliği yazalım: | 2 x - 5 | + | x + 1 | ≤ 9 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği (içinin sıfır olduğu) noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 ⇒ x = 5 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu iki noktaya göre 3 aralıkta inceleyeceğiz. 1. Durum: Aşağıdaki aralık x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifadenin içi de negatif olur, bu yüzden mutlak değerler eksi ile açılır: | 2 x - 5 | = - ( 2 x - 5 ) = - 2 x + 5 | x + 1 | = - ( x + 1 ) = - x - 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 5 ) + ( - x - 1 ) ≤ 9 - 3 x + 4 ≤ 9 ⇒ - 3 x ≤ 5 ⇒ x ≥ - 5 3 Bu durumun kendi şartıyla birleştirince: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 2. Durum: Aşağıdaki aralık - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta birinci ifade negatiftir, ikinci ifade ise sıfır veya pozitiftir: | 2 x - 5 | = - 2 x + 5 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( - 2 x + 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 9 - x + 6 ≤ 9 ⇒ - x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 3 Bulduğumuz şart bu aralıktaki tüm değerleri zaten kapsadığı için, bu aralığın tamamı çözüm olur: - 1 ≤ x ≤ 5 2 3. Durum: Aşağıdaki aralık x ≥ 5 2 Bu aralıkta her iki ifade de sıfır veya pozitiftir, mutlak değerler aynen çıkar: | 2 x - 5 | = 2 x - 5, | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( 2 x - 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 9 3 x - 4 ≤ 9 ⇒ 3 x ≤ 13 ⇒ x ≤ 13 3 Bu durumun çözüm aralığı: 5 2 ≤ x ≤ 13 3 Tüm durumları birleştirince çözüm kümesi şu aralıktır: - 5 3 ≤ x ≤ 13 3 Bu aralıktaki en büyük tam sayıyı bulalım: 4 ≤ 13 3 < 5 Dolayısıyla en büyük tam sayı değer 4 olur. Bu da şıkkıA1559dır. Verilen “C” cevabı doğrudur.

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizliği yazalım: | 2 x - 5 | + | x + 1 | ≤ 9 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği (içinin sıfır olduğu) noktaları bulalım: 2 x - 5 = 0 ⇒ x = 5 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu iki noktaya göre 3 aralıkta inceleyeceğiz. 1. Durum: Aşağıdaki aralık x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifadenin içi de negatif olur, bu yüzden mutlak değerler eksi ile açılır: | 2 x - 5 | = - ( 2 x - 5 ) = - 2 x + 5 | x + 1 | = - ( x + 1 ) = - x - 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 5 ) + ( - x - 1 ) ≤ 9 - 3 x + 4 ≤ 9 ⇒ - 3 x ≤ 5 ⇒ x ≥ - 5 3 Bu durumun kendi şartıyla birleştirince: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 2. Durum: Aşağıdaki aralık - 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta birinci ifade negatiftir, ikinci ifade ise sıfır veya pozitiftir: | 2 x - 5 | = - 2 x + 5 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( - 2 x + 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 9 - x + 6 ≤ 9 ⇒ - x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 3 Bulduğumuz şart bu aralıktaki tüm değerleri zaten kapsadığı için, bu aralığın tamamı çözüm olur: - 1 ≤ x ≤ 5 2 3. Durum: Aşağıdaki aralık x ≥ 5 2 Bu aralıkta her iki ifade de sıfır veya pozitiftir, mutlak değerler aynen çıkar: | 2 x - 5 | = 2 x - 5, | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliği çözelim: ( 2 x - 5 ) + ( x + 1 ) ≤ 9 3 x - 4 ≤ 9 ⇒ 3 x ≤ 13 ⇒ x ≤ 13 3 Bu durumun çözüm aralığı: 5 2 ≤ x ≤ 13 3 Tüm durumları birleştirince çözüm kümesi şu aralıktır: - 5 3 ≤ x ≤ 13 3 Bu aralıktaki en büyük tam sayıyı bulalım: 4 ≤ 13 3 < 5 Dolayısıyla en büyük tam sayı değer 4 olur. Bu da şıkkıA1559dır. Verilen “C” cevabı doğrudur.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik ve koşul: ( x − 2 ) ( x − 5 ) x − 3 < 0 0 ≤ x ≤ 6 İşaret incelemesi için kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x − 5 = 0 ⇒ x = 5 x − 3 = 0 ⇒ x = 3 Bu noktalara göre aralıkları belirleyelim: ( − ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 5 ), ( 5, ∞ ) Her aralıkta ifadenin işaretini bulalım (test değeriyle): Aralık Test değeri İşaret ( − ∞, 2 ) x = 1 ( 1 − 2 ) ( 1 − 5 ) 1 − 3 < 0 ( 2, 3 ) x = 5 2 ( 5 2 − 2 ) ( 5 2 − 5 ) 5 2 − 3 > 0 ( 3, 5 ) x = 4 ( 4 − 2 ) ( 4 − 5 ) 4 − 3 < 0 ( 5, ∞ ) x = 6 ( 6 − 2 ) ( 6 − 5 ) 6 − 3 > 0 Buna göre eşitsizliğin sağlandığı aralıklar: ( − ∞, 2 ) ∪ ( 3, 5 ) Ayrıca sıkı eşitsizlik olduğu için payın sıfır olduğu değerler alınmaz ve paydanın sıfır olduğu değer zaten tanımsızdır: x ≠ 2 x ≠ 3 x ≠ 5 Şimdi koşulla kesiştirelim: ( ( − ∞, 2 ) ∪ ( 3, 5 ) ) ∩ [ 0, 6 ] = [ 0, 2 ) ∪ ( 3, 5 ) Bu aralıklardaki tam sayılar: { 0, 1, 4 } Dolayısıyla farklı tam sayı sayısı: 3 Doğru seçenek: B1219

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik ve koşul: ( x − 2 ) ( x − 5 ) x − 3 < 0 0 ≤ x ≤ 6 İşaret incelemesi için kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x − 5 = 0 ⇒ x = 5 x − 3 = 0 ⇒ x = 3 Bu noktalara göre aralıkları belirleyelim: ( − ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 5 ), ( 5, ∞ ) Her aralıkta ifadenin işaretini bulalım (test değeriyle): Aralık Test değeri İşaret ( − ∞, 2 ) x = 1 ( 1 − 2 ) ( 1 − 5 ) 1 − 3 < 0 ( 2, 3 ) x = 5 2 ( 5 2 − 2 ) ( 5 2 − 5 ) 5 2 − 3 > 0 ( 3, 5 ) x = 4 ( 4 − 2 ) ( 4 − 5 ) 4 − 3 < 0 ( 5, ∞ ) x = 6 ( 6 − 2 ) ( 6 − 5 ) 6 − 3 > 0 Buna göre eşitsizliğin sağlandığı aralıklar: ( − ∞, 2 ) ∪ ( 3, 5 ) Ayrıca sıkı eşitsizlik olduğu için payın sıfır olduğu değerler alınmaz ve paydanın sıfır olduğu değer zaten tanımsızdır: x ≠ 2 x ≠ 3 x ≠ 5 Şimdi koşulla kesiştirelim: ( ( − ∞, 2 ) ∪ ( 3, 5 ) ) ∩ [ 0, 6 ] = [ 0, 2 ) ∪ ( 3, 5 ) Bu aralıklardaki tam sayılar: { 0, 1, 4 } Dolayısıyla farklı tam sayı sayısı: 3 Doğru seçenek: B1219

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: ( x - 3 ) ( x + 2 ) x - 1 ≤ 0 Kesrin işaretini belirlemek için payı ve paydayı sıfır yapan değerleri bulalım. Pay: ( x - 3 ) ( x + 2 ) = 0 x = 3   veya   x = - 2 Payda: x - 1 = 0 x = 1 Kritik noktalar: - 2, 1, 3 Buna göre sayı doğrusu aralıkları: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 1 ), ( 1, 3 ), ( 3, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip kesrin işaretini bulalım. 1) x = - 3 ( - 3 - 3 ) ( - 3 + 2 ) - 3 - 1 = ( - 6 ) ( - 1 ) - 4 Pay   > 0,   payda   < 0   ⇒   kesir   < 0 Bu aralık çözümde vardır. 2) x = 0 ( 0 - 3 ) ( 0 + 2 ) 0 - 1 = ( - 3 ) ( 2 ) - 1 Pay   < 0,   payda   < 0   ⇒   kesir   > 0 Bu aralık çözümde yoktur. 3) x = 2 ( 2 - 3 ) ( 2 + 2 ) 2 - 1 = ( - 1 ) ( 4 ) 1 Pay   < 0,   payda   > 0   ⇒   kesir   < 0 Bu aralık çözümde vardır. 4) x = 4 ( 4 - 3 ) ( 4 + 2 ) 4 - 1 = ( 1 ) ( 6 ) 3 Pay   > 0,   payda   > 0   ⇒   kesir   > 0 Bu aralık çözümde yoktur. Eşitsizlik ( x - 3 ) ( x + 2 ) x - 1 ≤ 0 olduğu için, kesrin negatif olduğu aralıklar ve kesri sıfır yapan değerler alınır; paydayı sıfır yapan değer alınmaz. x = - 2   ve   x = 3   dahil x = 1   hariç Çözüm kümesi: ( - ∞, - 2 ] ∪ ( 1, 3 ] Bu seçenek şıkkıC1335dır. Yani doğru cevap C1352 olarak kontrol edildi ve doğrudur.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x - 3 ) ( x + 2 ) x - 1 ≤ 0 Kesrin işaretini belirlemek için payı ve paydayı sıfır yapan değerleri bulalım. Pay: ( x - 3 ) ( x + 2 ) = 0 x = 3   veya   x = - 2 Payda: x - 1 = 0 x = 1 Kritik noktalar: - 2, 1, 3 Buna göre sayı doğrusu aralıkları: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 1 ), ( 1, 3 ), ( 3, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip kesrin işaretini bulalım. 1) x = - 3 ( - 3 - 3 ) ( - 3 + 2 ) - 3 - 1 = ( - 6 ) ( - 1 ) - 4 Pay   > 0,   payda   < 0   ⇒   kesir   < 0 Bu aralık çözümde vardır. 2) x = 0 ( 0 - 3 ) ( 0 + 2 ) 0 - 1 = ( - 3 ) ( 2 ) - 1 Pay   < 0,   payda   < 0   ⇒   kesir   > 0 Bu aralık çözümde yoktur. 3) x = 2 ( 2 - 3 ) ( 2 + 2 ) 2 - 1 = ( - 1 ) ( 4 ) 1 Pay   < 0,   payda   > 0   ⇒   kesir   < 0 Bu aralık çözümde vardır. 4) x = 4 ( 4 - 3 ) ( 4 + 2 ) 4 - 1 = ( 1 ) ( 6 ) 3 Pay   > 0,   payda   > 0   ⇒   kesir   > 0 Bu aralık çözümde yoktur. Eşitsizlik ( x - 3 ) ( x + 2 ) x - 1 ≤ 0 olduğu için, kesrin negatif olduğu aralıklar ve kesri sıfır yapan değerler alınır; paydayı sıfır yapan değer alınmaz. x = - 2   ve   x = 3   dahil x = 1   hariç Çözüm kümesi: ( - ∞, - 2 ] ∪ ( 1, 3 ] Bu seçenek şıkkıC1335dır. Yani doğru cevap C1352 olarak kontrol edildi ve doğrudur.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: | 2 x − 3 | < x + 5 Mutlak değerli bir ifadenin | A | < B şeklinde çözümü için öncelikle sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 5 > 0 x > − 5 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: − x + 5 < 2 x − 3 < x + 5 Sol tarafı çözelim: 2 x − 3 > − x − 5 3 x > − 2 x > − 2 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x − 3 < x + 5 x < 8 Tüm koşulları birleştirirsek: x > − 5 ∧ x > − 2 3 ∧ x < 8 Bu durumda tam sayılar: x ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } Bu tam sayıların toplamı: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Dolayısıyla doğru seçenek: D649 28

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x − 3 | < x + 5 Mutlak değerli bir ifadenin | A | < B şeklinde çözümü için öncelikle sağ tarafın pozitif olması gerekir: x + 5 > 0 x > − 5 Şimdi mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: − x + 5 < 2 x − 3 < x + 5 Sol tarafı çözelim: 2 x − 3 > − x − 5 3 x > − 2 x > − 2 3 Sağ tarafı çözelim: 2 x − 3 < x + 5 x < 8 Tüm koşulları birleştirirsek: x > − 5 ∧ x > − 2 3 ∧ x < 8 Bu durumda tam sayılar: x ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } Bu tam sayıların toplamı: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Dolayısıyla doğru seçenek: D649 28

Doğru cevap: A

Verilen koşul: - 5 < x < 6 Eşitsizlik: x - 4 x - 1 ≤ 2 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x - 4 x - 1 - 2 ≤ 0 Ortak paydada birleştirelim: x - 4 - 2 ( x - 1 ) x - 1 ≤ 0 Payı sadeleştirelim: x - 4 - 2 x + 2 x - 1 ≤ 0 Payı düzenleyelim: - x - 2 x - 1 ≤ 0 Her iki tarafı - 1 ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir): x + 2 x - 1 ≥ 0 Kritik noktalar: x + 2 = 0 x = - 2 x - 1 = 0 x = 1 İşaret incelemesi sonucunda kesrin ≥ 0 olması için: x ≤ - 2   veya   x > 1 Şimdi bunu verilen aralıkla birlikte düşünelim: - 5 < x < 6 Bu aralıktaki tam sayılar: { - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Bunlardan x ≤ - 2 veya x > 1 şartını sağlayanlar: { - 4, - 3, - 2, 2, 3, 4, 5 } Toplam kaç tane olduğuna bakalım: 7 Dolayısıyla doğru seçenek A751’dir; şıkkıA775ndaki değer doğrudur.

1. Çözüm: Verilen koşul: - 5 < x < 6 Eşitsizlik: x - 4 x - 1 ≤ 2 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x - 4 x - 1 - 2 ≤ 0 Ortak paydada birleştirelim: x - 4 - 2 ( x - 1 ) x - 1 ≤ 0 Payı sadeleştirelim: x - 4 - 2 x + 2 x - 1 ≤ 0 Payı düzenleyelim: - x - 2 x - 1 ≤ 0 Her iki tarafı - 1 ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir): x + 2 x - 1 ≥ 0 Kritik noktalar: x + 2 = 0 x = - 2 x - 1 = 0 x = 1 İşaret incelemesi sonucunda kesrin ≥ 0 olması için: x ≤ - 2   veya   x > 1 Şimdi bunu verilen aralıkla birlikte düşünelim: - 5 < x < 6 Bu aralıktaki tam sayılar: { - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } Bunlardan x ≤ - 2 veya x > 1 şartını sağlayanlar: { - 4, - 3, - 2, 2, 3, 4, 5 } Toplam kaç tane olduğuna bakalım: 7 Dolayısıyla doğru seçenek A751’dir; şıkkıA775ndaki değer doğrudur.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 Mutlak değerlerin içlerinin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu noktalara göre 3 aralıkta inceleyeceğiz: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 3 2, x ≥ 3 2 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizliği yazalım: - 2 x - 3 + - x + 1 ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 ⇒ - 3 x ≤ 5 ⇒ x ≥ - 5 3 Bu durumla birleştirince: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 Bu aralıktaki tam sayılar: x = - 1 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta x + 1 ≥ 0, 2 x - 3 ≤ 0 Dolayısıyla: | x + 1 | = x + 1 | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 Eşitsizliği çözelim: - 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 ⇒ - x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 3 Zaten aralık - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu yüzden bu aralığın tamamı uygundur. Tam sayılar: x = - 1, 0, 1 3) Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliği çözelim: 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 ⇒ 3 x ≤ 9 ⇒ x ≤ 3 Bu durumda: 3 2 ≤ x ≤ 3 Bu aralıktaki tam sayılar: x = 2, 3 Şimdi hepsini sayalım: 1 + 3 + 2 = 6 Sonuç: Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı 6 Dolayısıyla doğru seçenek C B şıkkı 5 olduğu için doğru cevap B değildir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 Mutlak değerlerin içlerinin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu noktalara göre 3 aralıkta inceleyeceğiz: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 3 2, x ≥ 3 2 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizliği yazalım: - 2 x - 3 + - x + 1 ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 ⇒ - 3 x ≤ 5 ⇒ x ≥ - 5 3 Bu durumla birleştirince: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 Bu aralıktaki tam sayılar: x = - 1 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta x + 1 ≥ 0, 2 x - 3 ≤ 0 Dolayısıyla: | x + 1 | = x + 1 | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 Eşitsizliği çözelim: - 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 ⇒ - x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 3 Zaten aralık - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu yüzden bu aralığın tamamı uygundur. Tam sayılar: x = - 1, 0, 1 3) Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliği çözelim: 2 x - 3 + x + 1 ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 ⇒ 3 x ≤ 9 ⇒ x ≤ 3 Bu durumda: 3 2 ≤ x ≤ 3 Bu aralıktaki tam sayılar: x = 2, 3 Şimdi hepsini sayalım: 1 + 3 + 2 = 6 Sonuç: Eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı 6 Dolayısıyla doğru seçenek C B şıkkı 5 olduğu için doğru cevap B değildir.

Doğru cevap: C

Soruya göre arananlar, aşağıdaki koşulları sağlayan tam sayılardır: x ∈ ℤ, − 3 ≤ x ≤ 5 x − 3 x + 1 ≤ x + 2 x − 2 Önce tanım gereği paydalar sıfır olamaz: x ≠ − 1, x ≠ 2 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: x − 3 x + 1 − x + 2 x − 2 ≤ 0 Ortak paydada birleştirelim: ( x − 3 ) ( x − 2 ) − ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≤ 0 Pay kısmını açıp sadeleştirelim: ( x − 3 ) ( x − 2 ) = x 2 − 5 x + 6 ( x + 2 ) ( x + 1 ) = x 2 + 3 x + 2 ( x 2 − 5 x + 6 ) − ( x 2 + 3 x + 2 ) = − 8 x + 4 = 4 ( 1 − 2 x ) Böylece eşitsizlik şu hale gelir: 4 ( 1 − 2 x ) ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≤ 0 Pozitif bir sayı ile sadeleştirelim ve işareti daha rahat incelemek için her iki tarafı -1 ile çarpalım: 2 x − 1 ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≥ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = − 1, x = 1 2, x = 2 İşaret incelemesi sonucunda çözüm aralıkları: x ∈ ( − 1, 1 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) Şimdi hem aralık koşulunu hem de tam sayı koşulunu uygulayalım: x ∈ ℤ, − 3 ≤ x ≤ 5, x ≠ − 1, x ≠ 2 Bu koşulları sağlayan tam sayılar: x ∈ { 0, 3, 4, 5 } Toplam: 0 + 3 + 4 + 5 = 12 Sonuç 12 olduğundan doğru şık B ’dir.

1. Çözüm: Soruya göre arananlar, aşağıdaki koşulları sağlayan tam sayılardır: x ∈ ℤ, − 3 ≤ x ≤ 5 x − 3 x + 1 ≤ x + 2 x − 2 Önce tanım gereği paydalar sıfır olamaz: x ≠ − 1, x ≠ 2 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: x − 3 x + 1 − x + 2 x − 2 ≤ 0 Ortak paydada birleştirelim: ( x − 3 ) ( x − 2 ) − ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≤ 0 Pay kısmını açıp sadeleştirelim: ( x − 3 ) ( x − 2 ) = x 2 − 5 x + 6 ( x + 2 ) ( x + 1 ) = x 2 + 3 x + 2 ( x 2 − 5 x + 6 ) − ( x 2 + 3 x + 2 ) = − 8 x + 4 = 4 ( 1 − 2 x ) Böylece eşitsizlik şu hale gelir: 4 ( 1 − 2 x ) ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≤ 0 Pozitif bir sayı ile sadeleştirelim ve işareti daha rahat incelemek için her iki tarafı -1 ile çarpalım: 2 x − 1 ( x + 1 ) ( x − 2 ) ≥ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = − 1, x = 1 2, x = 2 İşaret incelemesi sonucunda çözüm aralıkları: x ∈ ( − 1, 1 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) Şimdi hem aralık koşulunu hem de tam sayı koşulunu uygulayalım: x ∈ ℤ, − 3 ≤ x ≤ 5, x ≠ − 1, x ≠ 2 Bu koşulları sağlayan tam sayılar: x ∈ { 0, 3, 4, 5 } Toplam: 0 + 3 + 4 + 5 = 12 Sonuç 12 olduğundan doğru şık B ’dir.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: x − 1 x + 2 ≥ 2 Önce tanım kümesi kısıtını yazalım (payda sıfır olamaz): x ≠ − 2 Her iki taraftan 2 çıkaralım: x − 1 x + 2 − 2 ≥ 0 Ortak paydada birleştirelim: ( x − 1 ) − 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 Payı açıp sadeleştirelim: x − 1 − 2 x − 4 x + 2 ≥ 0 − x − 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı -1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = − 5, x = − 2 İşaret incelemesi: x < − 5 ⇒ x + 5 x + 2 > 0 − 5 < x < − 2 ⇒ x + 5 x + 2 < 0 x > − 2 ⇒ x + 5 x + 2 > 0 İstenen koşul 0 'dan küçük veya eşit olmasıydı; bu, sadece ortadaki aralıkta sağlanır. Ayrıca payın sıfır olduğu değer dahil, paydanın sıfır olduğu değer dahil değildir: [ − 5, − 2 ) Sonuç: Doğru cevap şıklardan D 'dir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x − 1 x + 2 ≥ 2 Önce tanım kümesi kısıtını yazalım (payda sıfır olamaz): x ≠ − 2 Her iki taraftan 2 çıkaralım: x − 1 x + 2 − 2 ≥ 0 Ortak paydada birleştirelim: ( x − 1 ) − 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 Payı açıp sadeleştirelim: x − 1 − 2 x − 4 x + 2 ≥ 0 − x − 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı -1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = − 5, x = − 2 İşaret incelemesi: x < − 5 ⇒ x + 5 x + 2 > 0 − 5 < x < − 2 ⇒ x + 5 x + 2 < 0 x > − 2 ⇒ x + 5 x + 2 > 0 İstenen koşul 0 'dan küçük veya eşit olmasıydı; bu, sadece ortadaki aralıkta sağlanır. Ayrıca payın sıfır olduğu değer dahil, paydanın sıfır olduğu değer dahil değildir: [ − 5, − 2 ) Sonuç: Doğru cevap şıklardan D 'dir.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x − 1 x + 2 x − 3 ≤ 0 Önce tanım koşulu: payda sıfır olamaz. x ≠ 3 Eşitsizliğin işaretinin değişebileceği kritik noktalar; payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. x − 1 x + 2 = 0 x = − 2 ∨ x = 1 x = 3 Bu kritik noktalara göre sayı doğrusunu aralıklara ayırırız: − ∞ − 2 − 2 1 1 3 3 ∞ Her aralıktan bir örnek değer seçip ifadenin işaretine bakacağız. Aralık − ∞ − 2 için örnek seçim: x = − 3 Bu aralıkta ifade negatif çıkar, yani eşitsizliği sağlar. Aralık − 2 1 için örnek seçim: x = 0 Bu aralıkta ifade pozitif çıkar, yani eşitsizliği sağlamaz. Aralık 1 3 için örnek seçim: x = 2 Bu aralıkta ifade negatif çıkar, yani eşitsizliği sağlar. Aralık 3 ∞ için örnek seçim: x = 4 Bu aralıkta ifade pozitif çıkar, yani eşitsizliği sağlamaz. Uç noktaların durumu: Payı sıfır yapan değerlerde ifade sıfır olur ve ≤ 0 olduğu için bu noktalar dahil edilir; paydayı sıfır yapan değer dahil edilmez. x = − 2 x = 1 x ≠ 3 Çözüm kümesi: − ∞ − 2 ∪ 1 3 Bu aralık, A şıkkındaki aralıkla aynıdır. Doğru cevap: A.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x − 1 x + 2 x − 3 ≤ 0 Önce tanım koşulu: payda sıfır olamaz. x ≠ 3 Eşitsizliğin işaretinin değişebileceği kritik noktalar; payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. x − 1 x + 2 = 0 x = − 2 ∨ x = 1 x = 3 Bu kritik noktalara göre sayı doğrusunu aralıklara ayırırız: − ∞ − 2 − 2 1 1 3 3 ∞ Her aralıktan bir örnek değer seçip ifadenin işaretine bakacağız. Aralık − ∞ − 2 için örnek seçim: x = − 3 Bu aralıkta ifade negatif çıkar, yani eşitsizliği sağlar. Aralık − 2 1 için örnek seçim: x = 0 Bu aralıkta ifade pozitif çıkar, yani eşitsizliği sağlamaz. Aralık 1 3 için örnek seçim: x = 2 Bu aralıkta ifade negatif çıkar, yani eşitsizliği sağlar. Aralık 3 ∞ için örnek seçim: x = 4 Bu aralıkta ifade pozitif çıkar, yani eşitsizliği sağlamaz. Uç noktaların durumu: Payı sıfır yapan değerlerde ifade sıfır olur ve ≤ 0 olduğu için bu noktalar dahil edilir; paydayı sıfır yapan değer dahil edilmez. x = − 2 x = 1 x ≠ 3 Çözüm kümesi: − ∞ − 2 ∪ 1 3 Bu aralık, A şıkkındaki aralıkla aynıdır. Doğru cevap: A.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | < 7 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirebileceği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu nedenle sayı doğrusu şu aralıklara ayrılır: ( - ∞, - 1 ), [ - 1, 3 2 ), [ 3 2, ∞ ) 1) Aralık: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden mutlak değerler işaret değiştirir: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( - x + 1 ) < 7 - 3 x + 2 < 7 - 3 x < 5 x > - 5 3 Bu aralık koşuluyla birleştirince: ( - 5 3, - 1 ) 2) Aralık: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta x + 1 ≥ 0 ve 2 x - 3 < 0 olduğu için: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 - x + 4 < 7 - x < 3 x > - 3 Bu sonuç verilen aralığın tamamında sağlandığı için bu aralıktaki tüm değerler uygundur: [ - 1, 3 2 ) 3) Aralık: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatife düşmez, bu yüzden: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 3 x - 2 < 7 3 x < 9 x < 3 Bu aralık koşuluyla birleştirince: [ 3 2, 3 ) Tüm uygun değerleri birleştirelim: ( - 5 3, - 1 ) ∪ [ - 1, 3 ) ( - 5 3, 3 ) Sonuç aralığı şıklardan ( - 5 3, 3 ) olduğu için doğru cevap B1205 ’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | < 7 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirebileceği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu nedenle sayı doğrusu şu aralıklara ayrılır: ( - ∞, - 1 ), [ - 1, 3 2 ), [ 3 2, ∞ ) 1) Aralık: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden mutlak değerler işaret değiştirir: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( - x + 1 ) < 7 - 3 x + 2 < 7 - 3 x < 5 x > - 5 3 Bu aralık koşuluyla birleştirince: ( - 5 3, - 1 ) 2) Aralık: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta x + 1 ≥ 0 ve 2 x - 3 < 0 olduğu için: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 - x + 4 < 7 - x < 3 x > - 3 Bu sonuç verilen aralığın tamamında sağlandığı için bu aralıktaki tüm değerler uygundur: [ - 1, 3 2 ) 3) Aralık: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatife düşmez, bu yüzden: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 3 x - 2 < 7 3 x < 9 x < 3 Bu aralık koşuluyla birleştirince: [ 3 2, 3 ) Tüm uygun değerleri birleştirelim: ( - 5 3, - 1 ) ∪ [ - 1, 3 ) ( - 5 3, 3 ) Sonuç aralığı şıklardan ( - 5 3, 3 ) olduğu için doğru cevap B1205 ’dır.