8. Sınıf Matematik Cebirsel İfadeler ve Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: A

Eşitsizliğin sağ tarafı mutlak değerden küçük olamayacağı için önce sağ tarafın sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir: x + 1 ≥ 0 Mutlak değerli eşitsizliği, çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Birinci koşulu çözelim: x ≥ - 1 Çift taraflı eşitsizliğin sol kısmını çözelim: - x - 1 ≤ 2 x - 5 4 ≤ 3 x x ≥ 4 3 Çift taraflı eşitsizliğin sağ kısmını çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 x ≤ 6 Tüm koşulları birleştirip tam sayıları seçelim. Kesirli alt sınırdan dolayı en küçük tam sayı değerini alırız: 2 ≤ x ≤ 6 Bu aralıktaki tam sayılar ve toplamları: 2, 3, 4, 5, 6 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Toplam değeri aşağıdaki gibidir; verilen şıklarda bu değer seçeneğiA699dir: 20

1. Çözüm: Eşitsizliğin sağ tarafı mutlak değerden küçük olamayacağı için önce sağ tarafın sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir: x + 1 ≥ 0 Mutlak değerli eşitsizliği, çift taraflı eşitsizliğe çeviririz: - ( x + 1 ) ≤ 2 x - 5 ≤ x + 1 Birinci koşulu çözelim: x ≥ - 1 Çift taraflı eşitsizliğin sol kısmını çözelim: - x - 1 ≤ 2 x - 5 4 ≤ 3 x x ≥ 4 3 Çift taraflı eşitsizliğin sağ kısmını çözelim: 2 x - 5 ≤ x + 1 x ≤ 6 Tüm koşulları birleştirip tam sayıları seçelim. Kesirli alt sınırdan dolayı en küçük tam sayı değerini alırız: 2 ≤ x ≤ 6 Bu aralıktaki tam sayılar ve toplamları: 2, 3, 4, 5, 6 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 Toplam değeri aşağıdaki gibidir; verilen şıklarda bu değer seçeneğiA699dir: 20

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 5 + 1 < x 2 Kesirlerden kurtulmak için her iki tarafı ortak payda ile çarpalım: 10 ⋅ 2 x − 3 5 + 1 < 10 ⋅ x 2 dağıtalım: 10 ⋅ 2 x − 3 5 + 10 < 10 ⋅ x 2 Sadeleştirelim: 2 ⋅ 2 x − 3 + 10 < 5 x Sol tarafı açalım: 4 x − 6 + 10 < 5 x Benzer terimleri toplayalım: 4 x + 4 < 5 x Her iki taraftan aynı terimi çıkaralım: 4 < x Buna göre eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değeri: 5 Bu değer şıklarda B seçeneğidir; yani verilen “B” cevabı doğrudur.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 5 + 1 < x 2 Kesirlerden kurtulmak için her iki tarafı ortak payda ile çarpalım: 10 ⋅ 2 x − 3 5 + 1 < 10 ⋅ x 2 dağıtalım: 10 ⋅ 2 x − 3 5 + 10 < 10 ⋅ x 2 Sadeleştirelim: 2 ⋅ 2 x − 3 + 10 < 5 x Sol tarafı açalım: 4 x − 6 + 10 < 5 x Benzer terimleri toplayalım: 4 x + 4 < 5 x Her iki taraftan aynı terimi çıkaralım: 4 < x Buna göre eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değeri: 5 Bu değer şıklarda B seçeneğidir; yani verilen “B” cevabı doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: 2 x − 5 ≥ x + 1 1) Önce sağ tarafın işaretine bakalım. Eğer sağ taraf sıfırdan küçük veya eşitse, mutlak değer her zaman sıfırdan büyük-eşit olacağı için eşitsizlik otomatik sağlanır. x + 1 ≤ 0 x ≤ − 1 Bu durumda çözüm kümesine şu aralık kesinlikle dahildir: − ∞, − 1 2) Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu durumu inceleyelim: x + 1 > 0 x > − 1 Bu koşul altında mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım. 2.a) Birinci durum: mutlak değerin içi sıfırdan büyük-eşit olsun. 2 x − 5 ≥ 0 x ≥ 5 2 Bu durumda mutlak değer açılır: 2 x − 5 ≥ x + 1 x ≥ 6 Buradan gelen çözüm: 6, ∞ 2.b) İkinci durum: mutlak değerin içi sıfırdan küçük olsun. 2 x − 5 < 0 x < 5 2 Bu durumda mutlak değer eksiyle açılır: − ( 2 x − 5 ) ≥ x + 1 − 2 x + 5 ≥ x + 1 4 ≥ 3 x x ≤ 4 3 Ayrıca bu kısımda x > − 1 koşulu da vardı. Birleştirince: − 1, 4 3 3) Tüm çözümleri birleştirelim: − ∞, − 1 ∪ − 1, 4 3 ∪ 6, ∞ İlk iki aralık birleşince: − ∞, 4 3 ∪ 6, ∞ Sonuç: Doğru cevap C1204 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x − 5 ≥ x + 1 1) Önce sağ tarafın işaretine bakalım. Eğer sağ taraf sıfırdan küçük veya eşitse, mutlak değer her zaman sıfırdan büyük-eşit olacağı için eşitsizlik otomatik sağlanır. x + 1 ≤ 0 x ≤ − 1 Bu durumda çözüm kümesine şu aralık kesinlikle dahildir: − ∞, − 1 2) Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu durumu inceleyelim: x + 1 > 0 x > − 1 Bu koşul altında mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım. 2.a) Birinci durum: mutlak değerin içi sıfırdan büyük-eşit olsun. 2 x − 5 ≥ 0 x ≥ 5 2 Bu durumda mutlak değer açılır: 2 x − 5 ≥ x + 1 x ≥ 6 Buradan gelen çözüm: 6, ∞ 2.b) İkinci durum: mutlak değerin içi sıfırdan küçük olsun. 2 x − 5 < 0 x < 5 2 Bu durumda mutlak değer eksiyle açılır: − ( 2 x − 5 ) ≥ x + 1 − 2 x + 5 ≥ x + 1 4 ≥ 3 x x ≤ 4 3 Ayrıca bu kısımda x > − 1 koşulu da vardı. Birleştirince: − 1, 4 3 3) Tüm çözümleri birleştirelim: − ∞, − 1 ∪ − 1, 4 3 ∪ 6, ∞ İlk iki aralık birleşince: − ∞, 4 3 ∪ 6, ∞ Sonuç: Doğru cevap C1204 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Eşitsizlik: ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 ≤ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): ( x + 1 ) = 0 ⇒ x = − 1 ( x − 2 ) = 0 ⇒ x = 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3 Sayı doğrusunu bu noktalara göre aralıklara ayıralım: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaret incelemesi (her aralıktan bir değer seçilerek pay ve paydanın işareti bulunur): Aralık Pay Payda Kesrin işareti ( − ∞, − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 x − 3 < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 < 0 ( − 1, 2 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) < 0 x − 3 < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 > 0 ( 2, 3 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 x − 3 < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 < 0 ( 3, ∞ ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 x − 3 > 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 > 0 Koşul ( küçük-eşit ) olduğu için negatif olduğu aralıklar ve payı sıfır yapan uç noktalar dahil edilir; paydayı sıfır yapan değer çözümde olamaz. Dahil/haric durumları: x = − 1 ⇒ ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 = 0 ⇒ dahil x = 2 ⇒ ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 = 0 ⇒ dahil x = 3 ⇒ ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 tanımsız ⇒ hariç Bu yüzden çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ] ∪ [ 2, 3 ) Sonuç: Verilen şıklardan doğru cevap D1441 ’dir.

1. Çözüm: Eşitsizlik: ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 ≤ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): ( x + 1 ) = 0 ⇒ x = − 1 ( x − 2 ) = 0 ⇒ x = 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3 Sayı doğrusunu bu noktalara göre aralıklara ayıralım: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, ∞ ) İşaret incelemesi (her aralıktan bir değer seçilerek pay ve paydanın işareti bulunur): Aralık Pay Payda Kesrin işareti ( − ∞, − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 x − 3 < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 < 0 ( − 1, 2 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) < 0 x − 3 < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 > 0 ( 2, 3 ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 x − 3 < 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 < 0 ( 3, ∞ ) ( x − 2 ) ( x + 1 ) > 0 x − 3 > 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 > 0 Koşul ( küçük-eşit ) olduğu için negatif olduğu aralıklar ve payı sıfır yapan uç noktalar dahil edilir; paydayı sıfır yapan değer çözümde olamaz. Dahil/haric durumları: x = − 1 ⇒ ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 = 0 ⇒ dahil x = 2 ⇒ ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 = 0 ⇒ dahil x = 3 ⇒ ( x − 2 ) ( x + 1 ) x − 3 tanımsız ⇒ hariç Bu yüzden çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ] ∪ [ 2, 3 ) Sonuç: Verilen şıklardan doğru cevap D1441 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: 3 x - 2 < 2 x + 5 Mutlak değerli bir ifadenin bir sayıdan küçük olabilmesi için sağ tarafın pozitif olması gerekir: 2 x + 5 > 0 Buradan elde edilen koşul: x > - 5 2 Tam sayılar için bu koşul: x ≥ - 2 Mutlak değer eşitsizliği kuralı: A < B ⟺ - B < A < B Burada yerine koyarsak: - ( 2 x + 5 ) < 3 x - 2 < 2 x + 5 Sol tarafı çözelim: - 2 x - 5 < 3 x - 2 - 5 + 2 < 3 x + 2 x - 3 < 5 x x > - 3 5 Tam sayılar için: x ≥ 0 Sağ tarafı çözelim: 3 x - 2 < 2 x + 5 x < 7 Tüm koşulları birlikte sağlayan tam sayılar: x ≥ 0, x < 7 Bu da şu tam sayıları verir: x ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Bu değerlerin sayısı: 7 Dolayısıyla doğru seçenek A657’dir ( şıkkıA681ndaki değer).

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 3 x - 2 < 2 x + 5 Mutlak değerli bir ifadenin bir sayıdan küçük olabilmesi için sağ tarafın pozitif olması gerekir: 2 x + 5 > 0 Buradan elde edilen koşul: x > - 5 2 Tam sayılar için bu koşul: x ≥ - 2 Mutlak değer eşitsizliği kuralı: A < B ⟺ - B < A < B Burada yerine koyarsak: - ( 2 x + 5 ) < 3 x - 2 < 2 x + 5 Sol tarafı çözelim: - 2 x - 5 < 3 x - 2 - 5 + 2 < 3 x + 2 x - 3 < 5 x x > - 3 5 Tam sayılar için: x ≥ 0 Sağ tarafı çözelim: 3 x - 2 < 2 x + 5 x < 7 Tüm koşulları birlikte sağlayan tam sayılar: x ≥ 0, x < 7 Bu da şu tam sayıları verir: x ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Bu değerlerin sayısı: 7 Dolayısıyla doğru seçenek A657’dir ( şıkkıA681ndaki değer).

Doğru cevap: B

Verilen bileşik eşitsizlik: 3 x − 4 < 5 x − 12 ≤ 2 ( x + 5 ) Bunu iki ayrı eşitsizlik olarak ele alalım: 3 x − 4 < 5 x − 12 5 x − 12 ≤ 2 ( x + 5 ) 1. eşitsizliği çözelim: 3 x − 4 < 5 x − 12 Tarafları düzenleyelim: 8 < 2 x Her iki tarafı 2'ye bölelim: x > 4 2. eşitsizliği çözelim: 5 x − 12 ≤ 2 ( x + 5 ) Sağ tarafı açalım: 5 x − 12 ≤ 2 x + 10 Tarafları düzenleyelim: 3 x ≤ 22 Her iki tarafı 3'e bölelim: x ≤ 22 3 Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değerleri bulalım: x > 4   ve   x ≤ 22 3 Bu aralıktaki tam sayılar: x ∈ { 5, 6, 7 } Tam sayıların toplamı: 5 + 6 + 7 = 18 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen bileşik eşitsizlik: 3 x − 4 < 5 x − 12 ≤ 2 ( x + 5 ) Bunu iki ayrı eşitsizlik olarak ele alalım: 3 x − 4 < 5 x − 12 5 x − 12 ≤ 2 ( x + 5 ) 1. eşitsizliği çözelim: 3 x − 4 < 5 x − 12 Tarafları düzenleyelim: 8 < 2 x Her iki tarafı 2'ye bölelim: x > 4 2. eşitsizliği çözelim: 5 x − 12 ≤ 2 ( x + 5 ) Sağ tarafı açalım: 5 x − 12 ≤ 2 x + 10 Tarafları düzenleyelim: 3 x ≤ 22 Her iki tarafı 3'e bölelim: x ≤ 22 3 Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değerleri bulalım: x > 4   ve   x ≤ 22 3 Bu aralıktaki tam sayılar: x ∈ { 5, 6, 7 } Tam sayıların toplamı: 5 + 6 + 7 = 18 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

Doğru cevap: C

Sistemi birlikte sağlayan değerler aranıyor: x - 2 ≥ 3 2 x + 1 < 7 Mutlak değer eşitsizliği için iki durum yazılır: x - 2 ≥ 3 ∨ x - 2 ≤ - 3 Bu iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim: x - 2 ≥ 3 x ≥ 5 x - 2 ≤ - 3 x ≤ - 1 Bu yüzden birinci eşitsizliğin çözüm kümesi şöyledir: x ≤ - 1 ∨ x ≥ 5 Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: 2 x + 1 < 7 2 x < 6 x < 3 Sistem, iki koşulun aynı anda sağlanmasını ister. Bu yüzden kesişim alınır: x ≤ - 1 ∨ x ≥ 5 ∧ x < 3 x değeri 3 ten küçük olmalı; bu durumda x ≥ 5 kısmı sistemle çelişir. Geriye şu kalır: x ≤ - 1 Sonuç seçeneklerle karşılaştırılırsa çözüm kümesi şıkkıC708yla aynıdır. Yani şıkkıC733 doğrudur.

1. Çözüm: Sistemi birlikte sağlayan değerler aranıyor: x - 2 ≥ 3 2 x + 1 < 7 Mutlak değer eşitsizliği için iki durum yazılır: x - 2 ≥ 3 ∨ x - 2 ≤ - 3 Bu iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim: x - 2 ≥ 3 x ≥ 5 x - 2 ≤ - 3 x ≤ - 1 Bu yüzden birinci eşitsizliğin çözüm kümesi şöyledir: x ≤ - 1 ∨ x ≥ 5 Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: 2 x + 1 < 7 2 x < 6 x < 3 Sistem, iki koşulun aynı anda sağlanmasını ister. Bu yüzden kesişim alınır: x ≤ - 1 ∨ x ≥ 5 ∧ x < 3 x değeri 3 ten küçük olmalı; bu durumda x ≥ 5 kısmı sistemle çelişir. Geriye şu kalır: x ≤ - 1 Sonuç seçeneklerle karşılaştırılırsa çözüm kümesi şıkkıC708yla aynıdır. Yani şıkkıC733 doğrudur.

Doğru cevap: D

Benzer terimler toplanır: $3x+2x=5x$. Sabit terim $-4$ kalır.

1. Çözüm: Benzer terimler toplanır: $3x+2x=5x$. Sabit terim $-4$ kalır.

Doğru cevap: A

dağılma özelliği uygulanır: $2\cdot x+2\cdot5=2x+10$.

1. Çözüm: dağılma özelliği uygulanır: $2\cdot x+2\cdot5=2x+10$.

Doğru cevap: B

İki tarafa 3 eklenir: $x>10$.

1. Çözüm: İki tarafa 3 eklenir: $x>10$.