8. Sınıf Matematik Cebirsel İfadeler ve Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: B

Önce verilen eşitsizliği blok olarak yazalım. - 2 < 3 x - 5 ≤ 7 Her tarafa aynı sayıyı ekleyebiliriz. Her tarafa ekleyelim. - 2 + 5 < 3 x - 5 + 5 ≤ 7 + 5 İşlemleri sadeleştirelim. 3 < 3 x ≤ 12 Pozitif bir sayıya böldüğümüzde eşitsizlik yönleri değişmez. Her tarafı bölelim. 3 3 < 3 x 3 ≤ 12 3 Sonuç eşitsizliğini yazalım. 1 < x ≤ 4 Bu koşulu sağlayan tam sayıları listeleyelim. x ∈ { 2, 3, 4 } Bu tam sayıların toplamını bulalım. 2 + 3 + 4 = 9 Bulduğumuz toplam şıklarda B seçeneğindeki değerle aynıdır. Yani B doğrudur.

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizliği blok olarak yazalım. - 2 < 3 x - 5 ≤ 7 Her tarafa aynı sayıyı ekleyebiliriz. Her tarafa ekleyelim. - 2 + 5 < 3 x - 5 + 5 ≤ 7 + 5 İşlemleri sadeleştirelim. 3 < 3 x ≤ 12 Pozitif bir sayıya böldüğümüzde eşitsizlik yönleri değişmez. Her tarafı bölelim. 3 3 < 3 x 3 ≤ 12 3 Sonuç eşitsizliğini yazalım. 1 < x ≤ 4 Bu koşulu sağlayan tam sayıları listeleyelim. x ∈ { 2, 3, 4 } Bu tam sayıların toplamını bulalım. 2 + 3 + 4 = 9 Bulduğumuz toplam şıklarda B seçeneğindeki değerle aynıdır. Yani B doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: 2 x - 5 = 0 ⇒ x = 5 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 1. Durum: x < - 1 Bu aralıkta her ikisi de negatiftir, mutlak değerler açılır: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = - x - 1 Yerine yazalım: - 2 x + 5 + - x - 1 ≤ 7 - 3 x + 4 ≤ 7 - 3 x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 1 Bu sonuç, x < - 1 ile çelişir; bu durumda çözüm yoktur. 2. Durum: - 1 ≤ x < 5 2 Bu aralıkta x + 1 ≥ 0 ve 2 x - 5 < 0 olur. Mutlak değerleri açalım: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Yerine yazalım: - 2 x + 5 + x + 1 ≤ 7 - x + 6 ≤ 7 - x ≤ 1 ⇒ x ≥ - 1 Bu koşul zaten aralıkta sağlandığı için bu aralıktaki tüm tam sayılar çözümdür. Tam sayılar: x = - 1, 0, 1, 2 Bu aralıktan gelen çözüm sayısı: 4 3. Durum: x ≥ 5 2 Bu aralıkta her ikisi de pozitiftir: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Yerine yazalım: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 7 3 x - 4 ≤ 7 3 x ≤ 11 ⇒ x ≤ 11 3 Dolayısıyla bu durumda: 5 2 ≤ x ≤ 11 3 Bu aralıktaki tam sayı: x = 3 Bu aralıktan gelen çözüm sayısı: 1 Toplam tam sayı çözüm sayısı: 4 + 1 = 5 Dolayısıyla doğru cevap C1141 seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: 2 x - 5 = 0 ⇒ x = 5 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 1. Durum: x < - 1 Bu aralıkta her ikisi de negatiftir, mutlak değerler açılır: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = - x - 1 Yerine yazalım: - 2 x + 5 + - x - 1 ≤ 7 - 3 x + 4 ≤ 7 - 3 x ≤ 3 ⇒ x ≥ - 1 Bu sonuç, x < - 1 ile çelişir; bu durumda çözüm yoktur. 2. Durum: - 1 ≤ x < 5 2 Bu aralıkta x + 1 ≥ 0 ve 2 x - 5 < 0 olur. Mutlak değerleri açalım: 2 x - 5 = - 2 x + 5 x + 1 = x + 1 Yerine yazalım: - 2 x + 5 + x + 1 ≤ 7 - x + 6 ≤ 7 - x ≤ 1 ⇒ x ≥ - 1 Bu koşul zaten aralıkta sağlandığı için bu aralıktaki tüm tam sayılar çözümdür. Tam sayılar: x = - 1, 0, 1, 2 Bu aralıktan gelen çözüm sayısı: 4 3. Durum: x ≥ 5 2 Bu aralıkta her ikisi de pozitiftir: 2 x - 5 = 2 x - 5 x + 1 = x + 1 Yerine yazalım: 2 x - 5 + x + 1 ≤ 7 3 x - 4 ≤ 7 3 x ≤ 11 ⇒ x ≤ 11 3 Dolayısıyla bu durumda: 5 2 ≤ x ≤ 11 3 Bu aralıktaki tam sayı: x = 3 Bu aralıktan gelen çözüm sayısı: 1 Toplam tam sayı çözüm sayısı: 4 + 1 = 5 Dolayısıyla doğru cevap C1141 seçeneğidir.

Doğru cevap: D

Soru: | 2 x - 5 | ≥ x + 1 1) Önce sağ tarafın işaretine göre durum belirleyelim. Sağ tarafın sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık: x + 1 ≤ 0 x ≤ - 1 Bu aralıkta sağ taraf sıfırdan küçük veya eşit olduğundan, mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşittir; dolayısıyla eşitsizlik bu aralıkta her zaman sağlanır. Bu yüzden çözüm kümesine şu aralık kesinlikle dahildir: ( - ∞, - 1 ] 2) Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu duruma geçelim. x + 1 > 0 x > - 1 Bu durumda, mutlak değer eşitsizliği iki parçaya ayrılır: 2 x - 5 ≥ x + 1 veya 2 x - 5 ≤ - x + 1 2.1) Birinci eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 ≥ x + 1 2 x - x ≥ 1 + 5 x ≥ 6 Bu sonuç zaten x > - 1 koşulunu sağlar. 2.2) İkinci eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 ≤ - x + 1 2 x + x ≤ 5 - 1 3 x ≤ 4 x ≤ 4 3 Bu parçada ayrıca x > - 1 koşulu da vardı. Birleştirince: ( - 1, 4 3 ] 3) Tüm parçaları birleştirelim. İlk durumdan: ( - ∞, - 1 ] İkinci durumdan: ( - 1, 4 3 ] ∪ [ 6, ∞ ) Birleşim: ( - ∞, 4 3 ] ∪ [ 6, ∞ ) 4) Şık kontrolü: Bulunan çözüm kümesi: ( - ∞, 4 3 ] ∪ [ 6, ∞ ) Bu, şıkkıD1174 ile aynıdır. Doğru cevap D1195’dır.

1. Çözüm: Soru: | 2 x - 5 | ≥ x + 1 1) Önce sağ tarafın işaretine göre durum belirleyelim. Sağ tarafın sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık: x + 1 ≤ 0 x ≤ - 1 Bu aralıkta sağ taraf sıfırdan küçük veya eşit olduğundan, mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşittir; dolayısıyla eşitsizlik bu aralıkta her zaman sağlanır. Bu yüzden çözüm kümesine şu aralık kesinlikle dahildir: ( - ∞, - 1 ] 2) Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu duruma geçelim. x + 1 > 0 x > - 1 Bu durumda, mutlak değer eşitsizliği iki parçaya ayrılır: 2 x - 5 ≥ x + 1 veya 2 x - 5 ≤ - x + 1 2.1) Birinci eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 ≥ x + 1 2 x - x ≥ 1 + 5 x ≥ 6 Bu sonuç zaten x > - 1 koşulunu sağlar. 2.2) İkinci eşitsizliği çözelim: 2 x - 5 ≤ - x + 1 2 x + x ≤ 5 - 1 3 x ≤ 4 x ≤ 4 3 Bu parçada ayrıca x > - 1 koşulu da vardı. Birleştirince: ( - 1, 4 3 ] 3) Tüm parçaları birleştirelim. İlk durumdan: ( - ∞, - 1 ] İkinci durumdan: ( - 1, 4 3 ] ∪ [ 6, ∞ ) Birleşim: ( - ∞, 4 3 ] ∪ [ 6, ∞ ) 4) Şık kontrolü: Bulunan çözüm kümesi: ( - ∞, 4 3 ] ∪ [ 6, ∞ ) Bu, şıkkıD1174 ile aynıdır. Doğru cevap D1195’dır.

Doğru cevap: A

Soru eşitsizliği: 2 x − 3 5 + x + 1 2 ≥ 4 Paydaları eşitlemek için 5 ve 2 sayılarının ortak katı olarak 10 seçip her iki tarafı 10 ile çarpalım: 10 ⋅ ( 2 x − 3 5 + x + 1 2 ) ≥ 10 ⋅ 4 Çarpıp sadeleştirelim: 2 ⋅ ( 2 x − 3 ) + 5 ⋅ ( x + 1 ) ≥ 40 dağıtalım: ( 4 x − 6 ) + ( 5 x + 5 ) ≥ 40 Benzer terimleri toplayalım: 9 x − 1 ≥ 40 Her iki tarafa 1 ekleyelim: 9 x ≥ 41 9 ile bölelim (pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): x ≥ 41 9 Bu değerden büyük veya eşit en küçük tam sayı: x = 5 Sonuç: Doğru cevap A607 şıkkıdır.

1. Çözüm: Soru eşitsizliği: 2 x − 3 5 + x + 1 2 ≥ 4 Paydaları eşitlemek için 5 ve 2 sayılarının ortak katı olarak 10 seçip her iki tarafı 10 ile çarpalım: 10 ⋅ ( 2 x − 3 5 + x + 1 2 ) ≥ 10 ⋅ 4 Çarpıp sadeleştirelim: 2 ⋅ ( 2 x − 3 ) + 5 ⋅ ( x + 1 ) ≥ 40 dağıtalım: ( 4 x − 6 ) + ( 5 x + 5 ) ≥ 40 Benzer terimleri toplayalım: 9 x − 1 ≥ 40 Her iki tarafa 1 ekleyelim: 9 x ≥ 41 9 ile bölelim (pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): x ≥ 41 9 Bu değerden büyük veya eşit en küçük tam sayı: x = 5 Sonuç: Doğru cevap A607 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Önce paydanın sıfır olamayacağını belirleyelim. x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 Eşitsizliği tek kesre indirgemek için her iki taraftan 1 çıkaralım. 2 x − 3 x + 1 − 1 > 0 Ortak payda ile tek kesir hâline getirelim. 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 > 0 Payı sadeleştirelim. 2 x − 3 − x − 1 x + 1 > 0 x − 4 x + 1 > 0 Kesrin işareti; payın ve paydanın işaretine göre belirlenir. Kritik noktalar: x − 4 = 0 x = 4 x + 1 = 0 x = − 1 Aralıkları inceleyelim (işaret tablosu mantığı): Aralıklar: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 4 ), ( 4, ∞ ) (−∞, −1) aralığında pay ve payda aynı işaretli olur, kesir pozitiftir. (−1, 4) aralığında pay ve payda zıt işaretli olur, kesir negatiftir. (4, ∞) aralığında pay ve payda aynı işaretli olur, kesir pozitiftir. Eşitsizlik 0 ’dan büyük istendiği için pozitif olduğu aralıkları alırız. Ayrıca paydanın sıfır olduğu değer çözüme giremez; eşitsizlik sıkı olduğu için payın sıfır olduğu değer de çözüme girmez. x ≠ − 1 x ≠ 4 Çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 4, ∞ ) Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: B995

1. Çözüm: Önce paydanın sıfır olamayacağını belirleyelim. x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 Eşitsizliği tek kesre indirgemek için her iki taraftan 1 çıkaralım. 2 x − 3 x + 1 − 1 > 0 Ortak payda ile tek kesir hâline getirelim. 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 > 0 Payı sadeleştirelim. 2 x − 3 − x − 1 x + 1 > 0 x − 4 x + 1 > 0 Kesrin işareti; payın ve paydanın işaretine göre belirlenir. Kritik noktalar: x − 4 = 0 x = 4 x + 1 = 0 x = − 1 Aralıkları inceleyelim (işaret tablosu mantığı): Aralıklar: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 4 ), ( 4, ∞ ) (−∞, −1) aralığında pay ve payda aynı işaretli olur, kesir pozitiftir. (−1, 4) aralığında pay ve payda zıt işaretli olur, kesir negatiftir. (4, ∞) aralığında pay ve payda aynı işaretli olur, kesir pozitiftir. Eşitsizlik 0 ’dan büyük istendiği için pozitif olduğu aralıkları alırız. Ayrıca paydanın sıfır olduğu değer çözüme giremez; eşitsizlik sıkı olduğu için payın sıfır olduğu değer de çözüme girmez. x ≠ − 1 x ≠ 4 Çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 4, ∞ ) Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: B995

Doğru cevap: C

1. koşulu düzenleyelim: 2 x - 3 x + 1 > 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım (tek kesirde toplayalım): 2 x - 3 x + 1 - 1 > 0 2 x - 3 - x + 1 x + 1 > 0 x - 4 x + 1 > 0 İşaret incelemesi için kritik noktalar: x = 4 x = - 1 Kesir ifadesi, pay ve paydanın işareti aynı olduğunda pozitiftir. Buna göre çözüm aralıkları: x < - 1 x > 4 Not: x = 4 değeri eşitsizlik sıkı olduğu için ( > ) alınmaz; x = - 1 ise payda sıfır olduğu için zaten tanımsızdır. 2. koşulu inceleyelim: x - 4 ⋅ x + 2 ≤ 0 Burada her çarpan mutlak değer olduğundan her biri sıfır veya pozitiftir. Bu yüzden çarpımın 0 'dan küçük olması mümkün değildir; ancak 0 olabilir. O hâlde: x - 4 ⋅ x + 2 = 0 Bu da şu durumlarda olur: x - 4 = 0 x = 4 x + 2 = 0 x = - 2 İki koşulu aynı anda sağlayan tam sayıları bulmak için kesişim alalım. 1. koşul: x < - 1 x > 4 2. koşuldan gelen adaylar: x = 4 x = - 2 Kontrol: x = 4 değeri 1. koşulu sağlamaz (eşitlik çıkıyor). x = - 2 değeri 1. koşulu sağlar çünkü - 2 < - 1 Koşulları sağlayan tek tam sayı değer: x = - 2 Bu değerlerin toplamı: - 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C1062 şıkkı - 2

1. Çözüm: 1. koşulu düzenleyelim: 2 x - 3 x + 1 > 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım (tek kesirde toplayalım): 2 x - 3 x + 1 - 1 > 0 2 x - 3 - x + 1 x + 1 > 0 x - 4 x + 1 > 0 İşaret incelemesi için kritik noktalar: x = 4 x = - 1 Kesir ifadesi, pay ve paydanın işareti aynı olduğunda pozitiftir. Buna göre çözüm aralıkları: x < - 1 x > 4 Not: x = 4 değeri eşitsizlik sıkı olduğu için ( > ) alınmaz; x = - 1 ise payda sıfır olduğu için zaten tanımsızdır. 2. koşulu inceleyelim: x - 4 ⋅ x + 2 ≤ 0 Burada her çarpan mutlak değer olduğundan her biri sıfır veya pozitiftir. Bu yüzden çarpımın 0 'dan küçük olması mümkün değildir; ancak 0 olabilir. O hâlde: x - 4 ⋅ x + 2 = 0 Bu da şu durumlarda olur: x - 4 = 0 x = 4 x + 2 = 0 x = - 2 İki koşulu aynı anda sağlayan tam sayıları bulmak için kesişim alalım. 1. koşul: x < - 1 x > 4 2. koşuldan gelen adaylar: x = 4 x = - 2 Kontrol: x = 4 değeri 1. koşulu sağlamaz (eşitlik çıkıyor). x = - 2 değeri 1. koşulu sağlar çünkü - 2 < - 1 Koşulları sağlayan tek tam sayı değer: x = - 2 Bu değerlerin toplamı: - 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C1062 şıkkı - 2

Doğru cevap: D

1) Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 2) Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 3) Aralıkları bu kritik noktalara göre inceleyelim. Aralık I: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizlik: ( - 2 x - 3 ) + ( - x + 1 ) ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 Fakat bu aralıkta aynı anda x < - 1 olmalı. Bu iki koşulun kesişiminde tam sayı yoktur; dolayısıyla bu aralıktan çözüm gelmez. Aralık II: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 < 0 x + 1 ≥ 0 Bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizlik: ( - 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 Bu aralıkta kalan tam sayılar: x = - 1, 0, 1 Aralık III: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: 2 x - 3 ≥ 0 x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizlik: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 Bu aralıkta kalan tam sayılar: x = 2, 3 4) Tüm tam sayı çözümler ve toplamları: x = - 1, 0, 1, 2, 3 ( - 1 ) + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 5) Toplam 5 olduğu için doğru seçenek D1156 'dir. (Yani şıkkıD1188 doğru.)

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 2) Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 3) Aralıkları bu kritik noktalara göre inceleyelim. Aralık I: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizlik: ( - 2 x - 3 ) + ( - x + 1 ) ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 Fakat bu aralıkta aynı anda x < - 1 olmalı. Bu iki koşulun kesişiminde tam sayı yoktur; dolayısıyla bu aralıktan çözüm gelmez. Aralık II: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 < 0 x + 1 ≥ 0 Bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizlik: ( - 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 Bu aralıkta kalan tam sayılar: x = - 1, 0, 1 Aralık III: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: 2 x - 3 ≥ 0 x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizlik: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 Bu aralıkta kalan tam sayılar: x = 2, 3 4) Tüm tam sayı çözümler ve toplamları: x = - 1, 0, 1, 2, 3 ( - 1 ) + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 5) Toplam 5 olduğu için doğru seçenek D1156 'dir. (Yani şıkkıD1188 doğru.)

Doğru cevap: A

1) Eşitsizlik: ( x + 1 ) ( x - 4 ) x - 2 ≥ 0 2) Kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): ( x + 1 ) ( x - 4 ) = 0 ⇒ x = - 1, x = 4 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 Burada payda sıfır olamaz, bu yüzden x ≠ 2 3) Sayı doğrusunu kritik noktalara göre aralıklara ayıralım: ( - ∞, - 1 ), ( - 1, 2 ), ( 2, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) Her aralıkta işaret inceleyelim (örnek değer seçerek): • Aralık ( - ∞, - 1 ) için örnek x = - 2 ( - 2 + 1 ) ( - 2 - 4 ) - 2 - 2 = ( - 1 ) ( - 6 ) - 4 < 0 Bu aralık çözümde yok. • Aralık ( - 1, 2 ) için örnek x = 0 ( 0 + 1 ) ( 0 - 4 ) 0 - 2 = ( 1 ) ( - 4 ) - 2 > 0 Bu aralık çözümde var. Ayrıca x = - 1 payı sıfır yaptığı için dahil edilir; fakat x = 2 tanımsız olduğu için dahil edilmez. • Aralık ( 2, 4 ) için örnek x = 3 ( 3 + 1 ) ( 3 - 4 ) 3 - 2 = ( 4 ) ( - 1 ) 1 < 0 Bu aralık çözümde yok. • Aralık ( 4, ∞ ) için örnek x = 5 ( 5 + 1 ) ( 5 - 4 ) 5 - 2 = ( 6 ) ( 1 ) 3 > 0 Bu aralık çözümde var. Ayrıca x = 4 payı sıfır yaptığı için dahil edilir. 5) Çözüm kümesini yazalım: [ - 1, 2 ) ∪ [ 4, ∞ ) Bu, seçeneklerden A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

1. Çözüm: 1) Eşitsizlik: ( x + 1 ) ( x - 4 ) x - 2 ≥ 0 2) Kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): ( x + 1 ) ( x - 4 ) = 0 ⇒ x = - 1, x = 4 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 Burada payda sıfır olamaz, bu yüzden x ≠ 2 3) Sayı doğrusunu kritik noktalara göre aralıklara ayıralım: ( - ∞, - 1 ), ( - 1, 2 ), ( 2, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) Her aralıkta işaret inceleyelim (örnek değer seçerek): • Aralık ( - ∞, - 1 ) için örnek x = - 2 ( - 2 + 1 ) ( - 2 - 4 ) - 2 - 2 = ( - 1 ) ( - 6 ) - 4 < 0 Bu aralık çözümde yok. • Aralık ( - 1, 2 ) için örnek x = 0 ( 0 + 1 ) ( 0 - 4 ) 0 - 2 = ( 1 ) ( - 4 ) - 2 > 0 Bu aralık çözümde var. Ayrıca x = - 1 payı sıfır yaptığı için dahil edilir; fakat x = 2 tanımsız olduğu için dahil edilmez. • Aralık ( 2, 4 ) için örnek x = 3 ( 3 + 1 ) ( 3 - 4 ) 3 - 2 = ( 4 ) ( - 1 ) 1 < 0 Bu aralık çözümde yok. • Aralık ( 4, ∞ ) için örnek x = 5 ( 5 + 1 ) ( 5 - 4 ) 5 - 2 = ( 6 ) ( 1 ) 3 > 0 Bu aralık çözümde var. Ayrıca x = 4 payı sıfır yaptığı için dahil edilir. 5) Çözüm kümesini yazalım: [ - 1, 2 ) ∪ [ 4, ∞ ) Bu, seçeneklerden A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

Doğru cevap: B

Sorudaki eşitsizlik: 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 Önemli fikir: Mutlak değer her zaman sıfırdan büyük/eşittir. Bu yüzden önce sağ tarafın sıfırdan küçük/eşit olduğu durumu inceleyelim. 2 x + 5 ≤ 0 2 x ≤ - 5 x ≤ - 5 2 Bu aralıkta eşitsizlik her zaman sağlanır. Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu durumu inceleyelim: 2 x + 5 > 0 x > - 5 2 Bu durumda 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 eşitsizliği iki duruma ayrılır: 1. durum: 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 x ≥ 7 2. durum: 3 x - 2 ≤ - 2 x + 5 3 x - 2 ≤ - 2 x - 5 5 x ≤ - 3 x ≤ - 3 5 Bu çözüm, zaten x > - 5 2 şartıyla birlikte düşünülmelidir; kesişim alınır: - 5 2 < x ≤ - 3 5 Tüm çözümleri birleştirelim: Sağ tarafın 2 x + 5 ≤ 0 olduğu yerden: x ∈ - ∞, - 5 2 ve diğer durumdan: x ∈ - 5 2, - 3 5 ∪ 7, ∞ Birleşince: x ∈ - ∞, - 3 5 ∪ 7, ∞ Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap B931.

1. Çözüm: Sorudaki eşitsizlik: 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 Önemli fikir: Mutlak değer her zaman sıfırdan büyük/eşittir. Bu yüzden önce sağ tarafın sıfırdan küçük/eşit olduğu durumu inceleyelim. 2 x + 5 ≤ 0 2 x ≤ - 5 x ≤ - 5 2 Bu aralıkta eşitsizlik her zaman sağlanır. Şimdi sağ tarafın pozitif olduğu durumu inceleyelim: 2 x + 5 > 0 x > - 5 2 Bu durumda 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 eşitsizliği iki duruma ayrılır: 1. durum: 3 x - 2 ≥ 2 x + 5 x ≥ 7 2. durum: 3 x - 2 ≤ - 2 x + 5 3 x - 2 ≤ - 2 x - 5 5 x ≤ - 3 x ≤ - 3 5 Bu çözüm, zaten x > - 5 2 şartıyla birlikte düşünülmelidir; kesişim alınır: - 5 2 < x ≤ - 3 5 Tüm çözümleri birleştirelim: Sağ tarafın 2 x + 5 ≤ 0 olduğu yerden: x ∈ - ∞, - 5 2 ve diğer durumdan: x ∈ - 5 2, - 3 5 ∪ 7, ∞ Birleşince: x ∈ - ∞, - 3 5 ∪ 7, ∞ Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap B931.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek: C Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 x + 1 ≥ 1 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ − 1 Her iki taraftan da 1 çıkaralım: 2 x − 3 x + 1 − 1 ≥ 0 Paydası ortak olacak şekilde yazalım: 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x − 4 x + 1 ≥ 0 Kritik değerler (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = 4 x = − 1 Aralıkların işaretini test edelim. Birinci aralık için: x = − 2 x − 4 x + 1 = − 6 − 1 > 0 İkinci aralık için: x = 0 x − 4 x + 1 = − 4 1 < 0 Üçüncü aralık için: x = 5 x − 4 x + 1 = 1 6 > 0 İstenen koşul sıfırdan büyük veya eşit olduğundan, pozitif çıkan aralıklar alınır. Ayrıca payı sıfır yapan değer dahil edilir, paydayı sıfır yapan değer dahil edilmez: ( − ∞, − 1 ) ∪ [ 4, ∞ )

1. Çözüm: Doğru seçenek: C Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 x + 1 ≥ 1 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ − 1 Her iki taraftan da 1 çıkaralım: 2 x − 3 x + 1 − 1 ≥ 0 Paydası ortak olacak şekilde yazalım: 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x − 4 x + 1 ≥ 0 Kritik değerler (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): x = 4 x = − 1 Aralıkların işaretini test edelim. Birinci aralık için: x = − 2 x − 4 x + 1 = − 6 − 1 > 0 İkinci aralık için: x = 0 x − 4 x + 1 = − 4 1 < 0 Üçüncü aralık için: x = 5 x − 4 x + 1 = 1 6 > 0 İstenen koşul sıfırdan büyük veya eşit olduğundan, pozitif çıkan aralıklar alınır. Ayrıca payı sıfır yapan değer dahil edilir, paydayı sıfır yapan değer dahil edilmez: ( − ∞, − 1 ) ∪ [ 4, ∞ )