8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Doğru cevap: A

Kontrol: Doğru seçeneğin C olup olmadığını bulmak için EBOB değerini hesaplayalım. Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 54 = 2 × 3 3 72 = 2 3 × 3 2 EBOB için ortak asal çarpanların üslerinin küçüğü alınır: EBOB ( 54, 72 ) = 2 1 × 3 2 Çarpımı hesaplayalım: 2 1 × 3 2 = 2 × 9 = 18 Sonuç: EBOB ( 54, 72 ) = 18 Buna göre doğru cevap A347 ’dir.

1. Çözüm: Kontrol: Doğru seçeneğin C olup olmadığını bulmak için EBOB değerini hesaplayalım. Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 54 = 2 × 3 3 72 = 2 3 × 3 2 EBOB için ortak asal çarpanların üslerinin küçüğü alınır: EBOB ( 54, 72 ) = 2 1 × 3 2 Çarpımı hesaplayalım: 2 1 × 3 2 = 2 × 9 = 18 Sonuç: EBOB ( 54, 72 ) = 18 Buna göre doğru cevap A347 ’dir.

Doğru cevap: B

Önce 12 sayısının katı olma koşulunu hatırlayalım: Bir sayı, 12 ile kalansız bölünüyorsa 12 ’nin katıdır. A şıkkını kontrol edelim: 36 12 = 3 Sonuç tam sayı çıktığı için 36, 12 ’nin katıdır. B şıkkını kontrol edelim: 48 12 = 4 Sonuç tam sayı çıktığı için 48, 12 ’nin katıdır. şıkkıB276nı kontrol edelim (kalansız bölünüyor mu diye bakalım): 50 = 12 × 4 + 2 Kalan olduğu için 50, 12 ’nin katı değildir. D şıkkını kontrol edelim: 60 12 = 5 Sonuç tam sayı çıktığı için 60, 12 ’nin katıdır. Bu nedenle doğru cevap B501 ’dir. (Yani doğru cevap olarak verilen seçeneğiB557 doğrudur.)

1. Çözüm: Önce 12 sayısının katı olma koşulunu hatırlayalım: Bir sayı, 12 ile kalansız bölünüyorsa 12 ’nin katıdır. A şıkkını kontrol edelim: 36 12 = 3 Sonuç tam sayı çıktığı için 36, 12 ’nin katıdır. B şıkkını kontrol edelim: 48 12 = 4 Sonuç tam sayı çıktığı için 48, 12 ’nin katıdır. şıkkıB276nı kontrol edelim (kalansız bölünüyor mu diye bakalım): 50 = 12 × 4 + 2 Kalan olduğu için 50, 12 ’nin katı değildir. D şıkkını kontrol edelim: 60 12 = 5 Sonuç tam sayı çıktığı için 60, 12 ’nin katıdır. Bu nedenle doğru cevap B501 ’dir. (Yani doğru cevap olarak verilen seçeneğiB557 doğrudur.)

Doğru cevap: C

Verilen sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için asal çarpanlarına ayıralım. Birinci sayı: 24 = 2 3 · 3 İkinci sayı: 36 = 2 2 · 3 2 EBOB bulunurken ortak asal çarpanların üslerinden küçük olanı alınır. min ( 3, 2 ) = 2 min ( 1, 2 ) = 1 Bu nedenle EBOB: 2 2 · 3 1 = 12 EBOB ( 24, 36 ) = 12 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için asal çarpanlarına ayıralım. Birinci sayı: 24 = 2 3 · 3 İkinci sayı: 36 = 2 2 · 3 2 EBOB bulunurken ortak asal çarpanların üslerinden küçük olanı alınır. min ( 3, 2 ) = 2 min ( 1, 2 ) = 1 Bu nedenle EBOB: 2 2 · 3 1 = 12 EBOB ( 24, 36 ) = 12 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

Doğru cevap: D

Doğru şık kontrolü: Koşulları MathML ile yazalım. n = 36 · k EKOK ( n, 108 ) = 540 Sayıları asal çarpanlarına ayıralım. 36 = 2 2 · 3 2 108 = 2 2 · 3 3 540 = 2 2 · 3 3 · 5 EKOK, her asalın en büyük üssünü alır. Bu yüzden 108 ile birlikte EKOK'un 540 olabilmesi için n ’nin asal çarpanları şu biçimde olmalıdır: n = 2 a · 3 b · 5 c Burada 540 ’ta 2 ’nin en büyük üssü 2 olduğundan a bunu aşamaz; 3 için de benzer şekilde. a ≤ 2 b ≤ 3 Ayrıca 540 ’ta 5 vardır ama 108 ’de yoktur; EKOK’un 5 içermesi için n mutlaka 5 içermelidir. c = 1 n, 36 ’nın katı olduğundan 2 ve 3 üsleri en az 36 ’daki kadar olmalı: a ≥ 2 b ≥ 2 Bu iki koşulu birlikte düşünürsek: a = 2 2 ≤ b ≤ 3 En küçük n değeri için b en küçük seçilir: b = 2 Bu durumda: n = 2 2 · 3 2 · 5 n = 4 · 9 · 5 = 180 Sonuç: En küçük değer 180 olduğu için doğru cevap D801 şıkkıdır. n = 180

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Koşulları MathML ile yazalım. n = 36 · k EKOK ( n, 108 ) = 540 Sayıları asal çarpanlarına ayıralım. 36 = 2 2 · 3 2 108 = 2 2 · 3 3 540 = 2 2 · 3 3 · 5 EKOK, her asalın en büyük üssünü alır. Bu yüzden 108 ile birlikte EKOK'un 540 olabilmesi için n ’nin asal çarpanları şu biçimde olmalıdır: n = 2 a · 3 b · 5 c Burada 540 ’ta 2 ’nin en büyük üssü 2 olduğundan a bunu aşamaz; 3 için de benzer şekilde. a ≤ 2 b ≤ 3 Ayrıca 540 ’ta 5 vardır ama 108 ’de yoktur; EKOK’un 5 içermesi için n mutlaka 5 içermelidir. c = 1 n, 36 ’nın katı olduğundan 2 ve 3 üsleri en az 36 ’daki kadar olmalı: a ≥ 2 b ≥ 2 Bu iki koşulu birlikte düşünürsek: a = 2 2 ≤ b ≤ 3 En küçük n değeri için b en küçük seçilir: b = 2 Bu durumda: n = 2 2 · 3 2 · 5 n = 4 · 9 · 5 = 180 Sonuç: En küçük değer 180 olduğu için doğru cevap D801 şıkkıdır. n = 180

Doğru cevap: A

Önce verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 360 = 2 3 · 3 2 · 5 54 = 2 · 3 3 Bu iki sayının EKOK’u, her asalın en büyük üssü alınarak bulunur: EKOK ( 360, 54 ) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1080 O hâlde n sayısı bu EKOK’un katı olmalıdır: n = 1080 · k Şimdi n ’nin asal çarpan şeklini yazalım. n, 360 ve 54 ile bölünebildiği için en az şu üsleri içermelidir: n = 2 a · 3 b · 5 c ve a ≥ 3, b ≥ 3, c ≥ 1 Pozitif bölen sayısı formülü: d ( n ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) Eğer 2, 3, 5 dışında bir asal daha çarpan olsaydı bölen sayısı en az bir kat daha artardı. Çünkü en küçük durumda yeni asalın üssü 1 olur ve bölen sayısı en az iki ile çarpılır: ( 3 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 64 > 48 Bu yüzden n sadece 2, 3, 5 asal çarpanlarından oluşmalıdır ve şu eşitlik sağlanır: ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 48 En küçük n için önce c ’yi en küçük alırız: c = 1 ⇒ ( a + 1 ) ( b + 1 ) · 2 = 48 ⇒ ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 24 Ayrıca a ≥ 3 ve b ≥ 3 olduğundan: a + 1 ≥ 4, b + 1 ≥ 4 Bu koşullarla 24 ’ü sağlayan en uygun çarpanlar: 24 = 6 · 4 Buradan: a + 1 = 6 ⇒ a = 5, b + 1 = 4 ⇒ b = 3, c = 1 O hâlde en küçük n: n = 2 5 · 3 3 · 5 1 = 4320 Kontrol (bölen sayısı): d ( n ) = ( 5 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6 · 4 · 2 = 48 Sonuç: En küçük değer 4320 olduğundan doğru cevap A1254 ’dir.

1. Çözüm: Önce verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 360 = 2 3 · 3 2 · 5 54 = 2 · 3 3 Bu iki sayının EKOK’u, her asalın en büyük üssü alınarak bulunur: EKOK ( 360, 54 ) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1080 O hâlde n sayısı bu EKOK’un katı olmalıdır: n = 1080 · k Şimdi n ’nin asal çarpan şeklini yazalım. n, 360 ve 54 ile bölünebildiği için en az şu üsleri içermelidir: n = 2 a · 3 b · 5 c ve a ≥ 3, b ≥ 3, c ≥ 1 Pozitif bölen sayısı formülü: d ( n ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) Eğer 2, 3, 5 dışında bir asal daha çarpan olsaydı bölen sayısı en az bir kat daha artardı. Çünkü en küçük durumda yeni asalın üssü 1 olur ve bölen sayısı en az iki ile çarpılır: ( 3 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 64 > 48 Bu yüzden n sadece 2, 3, 5 asal çarpanlarından oluşmalıdır ve şu eşitlik sağlanır: ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 48 En küçük n için önce c ’yi en küçük alırız: c = 1 ⇒ ( a + 1 ) ( b + 1 ) · 2 = 48 ⇒ ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 24 Ayrıca a ≥ 3 ve b ≥ 3 olduğundan: a + 1 ≥ 4, b + 1 ≥ 4 Bu koşullarla 24 ’ü sağlayan en uygun çarpanlar: 24 = 6 · 4 Buradan: a + 1 = 6 ⇒ a = 5, b + 1 = 4 ⇒ b = 3, c = 1 O hâlde en küçük n: n = 2 5 · 3 3 · 5 1 = 4320 Kontrol (bölen sayısı): d ( n ) = ( 5 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6 · 4 · 2 = 48 Sonuç: En küçük değer 4320 olduğundan doğru cevap A1254 ’dir.

Doğru cevap: B

1) Cevap kontrolü: Doğru seçenek B19 ’dir. 2) Koşulları matematiksel olarak yazalım. n = 12 k n ≡ 6 ( mod 18 ) 3) Yerine koyma: 12 k ≡ 6 ( mod 18 ) 4) Sadeleştirelim: Her iki tarafı ve modülü 6 ile sadeleştiririz. 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) 5) Kongruansı çözelim: 2 k ≡ 1 ifadesinde 2 ’nin mod 3 ’te tersi yine 2 ’dir. k ≡ 2 ( mod 3 ) 6) Parametreleyelim: k = 3 t + 2 7) Sayıyı bulalım: n = 12 ( 3 t + 2 ) = 36 t + 24 8) Üç basamaklı en küçük değeri seçelim: n ≥ 100 36 t + 24 ≥ 100 36 t ≥ 76 t ≥ 76 36 Buna göre en küçük tam sayı değer: t = 3 n = 36 · 3 + 24 = 132 9) Kontrol: 132 = 12 · 11 132 = 18 · 7 + 6 Sonuç: Aranan sayı şıkkıB619ndaki değerdir.

1. Çözüm: 1) Cevap kontrolü: Doğru seçenek B19 ’dir. 2) Koşulları matematiksel olarak yazalım. n = 12 k n ≡ 6 ( mod 18 ) 3) Yerine koyma: 12 k ≡ 6 ( mod 18 ) 4) Sadeleştirelim: Her iki tarafı ve modülü 6 ile sadeleştiririz. 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) 5) Kongruansı çözelim: 2 k ≡ 1 ifadesinde 2 ’nin mod 3 ’te tersi yine 2 ’dir. k ≡ 2 ( mod 3 ) 6) Parametreleyelim: k = 3 t + 2 7) Sayıyı bulalım: n = 12 ( 3 t + 2 ) = 36 t + 24 8) Üç basamaklı en küçük değeri seçelim: n ≥ 100 36 t + 24 ≥ 100 36 t ≥ 76 t ≥ 76 36 Buna göre en küçük tam sayı değer: t = 3 n = 36 · 3 + 24 = 132 9) Kontrol: 132 = 12 · 11 132 = 18 · 7 + 6 Sonuç: Aranan sayı şıkkıB619ndaki değerdir.

Doğru cevap: C

Önce verilenlere göre N sayısının hangi sayılara bölünebildiğini yazalım: N  tam bölünür  60  ve  84 Buna göre N, bu iki sayının EKOK’unun katı olmalıdır. Önce asal ๺rpanlara ayıralım: 60 = 2 2 × 3 × 5 84 = 2 2 × 3 × 7 EKOK, her asal ๺rpanın en büyük kuvveti alınarak bulunur: EKOK ( 60, 84 ) = 2 2 × 3 × 5 × 7 = 420 O hâlde N sayısını bu EKOK’un katı olarak yazabiliriz: N = 420 k Şimdi verilen iki bölme ifadesini bulalım: N 60 = 420 60 k = 7 k N 84 = 420 84 k = 5 k Bu iki sayının EBOB’u verilmişti. EBOB’u hesaplayalım: EBOB ( 7 k, 5 k ) = k × EBOB ( 7, 5 ) EBOB ( 7, 5 ) = 1 EBOB ( 7 k, 5 k ) = k Soruda bu EBOB değeri verilmişti: k = 12 Buna göre N ’nin en küçük değeri: N = 420 × 12 = 5040 Bulunan değer şıklarda D seçeneğine karşılık gelir; yani doğru cevap D ’dir.

1. Çözüm: Önce verilenlere göre N sayısının hangi sayılara bölünebildiğini yazalım: N  tam bölünür  60  ve  84 Buna göre N, bu iki sayının EKOK’unun katı olmalıdır. Önce asal ๺rpanlara ayıralım: 60 = 2 2 × 3 × 5 84 = 2 2 × 3 × 7 EKOK, her asal ๺rpanın en büyük kuvveti alınarak bulunur: EKOK ( 60, 84 ) = 2 2 × 3 × 5 × 7 = 420 O hâlde N sayısını bu EKOK’un katı olarak yazabiliriz: N = 420 k Şimdi verilen iki bölme ifadesini bulalım: N 60 = 420 60 k = 7 k N 84 = 420 84 k = 5 k Bu iki sayının EBOB’u verilmişti. EBOB’u hesaplayalım: EBOB ( 7 k, 5 k ) = k × EBOB ( 7, 5 ) EBOB ( 7, 5 ) = 1 EBOB ( 7 k, 5 k ) = k Soruda bu EBOB değeri verilmişti: k = 12 Buna göre N ’nin en küçük değeri: N = 420 × 12 = 5040 Bulunan değer şıklarda D seçeneğine karşılık gelir; yani doğru cevap D ’dir.

Doğru cevap: D

Hem iki sayıya da tam bölünen en küçük pozitif sayı, bu sayıların EKOK’udur. Verilen sayılar: 84, 90 Önce asal çarpanlarına ayıralım. Birinci sayı: 84 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 İkinci sayı: 90 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EKOK alınırken her asalın en büyük üssü seçilir: n = EKOK ( 84, 90 ) = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 Bu sayının asal çarpanlarının sayısı (tekrarlı) üslerin toplamıdır: 2 + 2 + 1 + 1 = 6 Sonuç olarak doğru seçenek D432 ’dir.

1. Çözüm: Hem iki sayıya da tam bölünen en küçük pozitif sayı, bu sayıların EKOK’udur. Verilen sayılar: 84, 90 Önce asal çarpanlarına ayıralım. Birinci sayı: 84 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 İkinci sayı: 90 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EKOK alınırken her asalın en büyük üssü seçilir: n = EKOK ( 84, 90 ) = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 Bu sayının asal çarpanlarının sayısı (tekrarlı) üslerin toplamıdır: 2 + 2 + 1 + 1 = 6 Sonuç olarak doğru seçenek D432 ’dir.

Doğru cevap: A

Sayı hem bu iki sayıya tam bölündüğüne göre, en küçük böyle n değeri bu sayıların EKOK’unun katı olmalıdır. n = EKOK ( 72, 90 ) ⋅ k Burada k pozitif tam sayıdır. EKOK’u bulmak için asal çarpanlara ayıralım. 72 = 2 3 ⋅ 3 2 90 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EKOK, her asalın en büyük üssü alınarak bulunur. EKOK ( 72, 90 ) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360 Bu durumda genel ifade: n = 360 k Şimdi verilen koşuldaki iki sayıyı yazalım. n 72 = 360 72 k = 5 k n 90 = 360 90 k = 4 k Bu iki sayının aralarında asal olması isteniyor, yani OBEB’leri bir olmalı. OBEB ( 5 k, 4 k ) = k ⋅ OBEB ( 5, 4 ) = k ⋅ 1 = k Aralarında asal olmaları için bu değer bir olmalı. k = 1 O hâlde: n = 360 ⋅ 1 = 360 Doğru seçenek A721 ’dir.

1. Çözüm: Sayı hem bu iki sayıya tam bölündüğüne göre, en küçük böyle n değeri bu sayıların EKOK’unun katı olmalıdır. n = EKOK ( 72, 90 ) ⋅ k Burada k pozitif tam sayıdır. EKOK’u bulmak için asal çarpanlara ayıralım. 72 = 2 3 ⋅ 3 2 90 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EKOK, her asalın en büyük üssü alınarak bulunur. EKOK ( 72, 90 ) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360 Bu durumda genel ifade: n = 360 k Şimdi verilen koşuldaki iki sayıyı yazalım. n 72 = 360 72 k = 5 k n 90 = 360 90 k = 4 k Bu iki sayının aralarında asal olması isteniyor, yani OBEB’leri bir olmalı. OBEB ( 5 k, 4 k ) = k ⋅ OBEB ( 5, 4 ) = k ⋅ 1 = k Aralarında asal olmaları için bu değer bir olmalı. k = 1 O hâlde: n = 360 ⋅ 1 = 360 Doğru seçenek A721 ’dir.

Doğru cevap: B

1) İki sayı için temel bağıntı: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) 2) Verilen değerleri yerine yazalım: a · b = 12 · 360 3) Çarpımı hesaplayalım: a · b = 4320 4) Sayılardan biri verildiğine göre diğerini bulalım: a = 60 b = 4320 60 = 72 5) Sonuç: Diğer sayı aşağıdaki değerdir ve bu da B şıkkıyla aynıdır. b = 72 Dolayısıyla doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: 1) İki sayı için temel bağıntı: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) 2) Verilen değerleri yerine yazalım: a · b = 12 · 360 3) Çarpımı hesaplayalım: a · b = 4320 4) Sayılardan biri verildiğine göre diğerini bulalım: a = 60 b = 4320 60 = 72 5) Sonuç: Diğer sayı aşağıdaki değerdir ve bu da B şıkkıyla aynıdır. b = 72 Dolayısıyla doğru cevap B’dir.