Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

8. Sınıf Matematik

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

8. sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar testleri; asal sayıları, asal çarpanlara ayırmayı, pozitif bölenleri, ortak bölen ve ortak katları pekiştirir. Sorularda EBOB ile EKOK'un hangi problem türünde kullanılacağını doğru belirlemek önemlidir.

Asal Çarpanlar ve Bölenler

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, sayının bölenlerini ve çarpan ilişkilerini görmeyi kolaylaştırır. Pozitif bölen sayısı bulunurken asal çarpanların üslerinden yararlanılır.

EBOB ve EKOK Problemleri

EBOB ortak parçalara ayırma ve en büyük ortak ölçüyü bulma problemlerinde; EKOK ise birlikte tekrar eden olayların ne zaman buluşacağını belirlemede kullanılır. 8. Sınıf sorularında verilen sayıların ortak bölen mi yoksa ortak kat mı gerektirdiğine dikkat et.

Test seç

16 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test7. Test8. Test9. Test10. Test11. Test12. Test13. Test14. Test15. Test16. Test

15. Test

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusu 15. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

İki doğal sayının EKOK'u 180 ve EBOB'u 12'dir. Bu sayılardan büyük olan en fazla kaç olabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenlere göre büyük olan sayının en fazla değerini bulmak için sayıları EBOB ile ilişkilendirelim. EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 180 EBOB 12 olduğundan sayıları 12 katları şeklinde yazalım. (Buradaki çarpanların aralarında asal olması gerekir.) a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 x y Verilen EKOK değerini yerine yazarsak: 180 = 12 x y x y = 180 12 = 15 15 sayısının çarpan ikililerini ve aralarında asal olma şartını inceleyelim: x = 1 y = 15 x = 3 y = 5 Büyük sayının en fazla olması için x ve y değerlerinden büyük olanı en büyük seçilir; bu da 15 olur. Buna göre büyük sayı: 12 × 15 = 180 Sonuç: Büyük olan sayı en fazla 180 olabilir. Bu da şıkkıD709dır; yani doğru cevap D726 ’dır.

  1. Çözüm: Verilenlere göre büyük olan sayının en fazla değerini bulmak için sayıları EBOB ile ilişkilendirelim. EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 180 EBOB 12 olduğundan sayıları 12 katları şeklinde yazalım. (Buradaki çarpanların aralarında asal olması gerekir.) a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 x y Verilen EKOK değerini yerine yazarsak: 180 = 12 x y x y = 180 12 = 15 15 sayısının çarpan ikililerini ve aralarında asal olma şartını inceleyelim: x = 1 y = 15 x = 3 y = 5 Büyük sayının en fazla olması için x ve y değerlerinden büyük olanı en büyük seçilir; bu da 15 olur. Buna göre büyük sayı: 12 × 15 = 180 Sonuç: Büyük olan sayı en fazla 180 olabilir. Bu da şıkkıD709dır; yani doğru cevap D726 ’dır.

Verilenlere göre büyük olan sayının en fazla değerini bulmak için sayıları EBOB ile ilişkilendirelim.

EBOB(a,b)=12EKOK(a,b)=180

EBOB 12 olduğundan sayıları 12 katları şeklinde yazalım. (Buradaki çarpanların aralarında asal olması gerekir.)

a=12xb=12yEBOB(x,y)=1

EKOK bağıntısını kullanalım:

EKOK(a,b)=12xy

Verilen EKOK değerini yerine yazarsak:

180=12xyxy=18012=15

15 sayısının çarpan ikililerini ve aralarında asal olma şartını inceleyelim:

x=1y=15x=3y=5

Büyük sayının en fazla olması için x ve y değerlerinden büyük olanı en büyük seçilir; bu da 15 olur.

Buna göre büyük sayı:

12×15=180

Sonuç: Büyük olan sayı en fazla 180 olabilir. Bu da A şıkkıdır; yani doğru cevap A’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

İki pozitif tam sayı A ve B için EBOB'u 12, EKOK'u 420 olduğuna göre A+B toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilenler: EBOB ( A, B ) = 12 EKOK ( A, B ) = 420 İki pozitif tam sayı için temel bağıntıyı kullanalım: A ⋅ B = EBOB ( A, B ) ⋅ EKOK ( A, B ) Yerine yazalım: A ⋅ B = 12 ⋅ 420 = 5040 EBOB değeri bilindiği için sayıları şöyle yazabiliriz: A = 12 x B = 12 y Burada ortak çarpan kalmaması için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisi ile devam edelim. EBOB EBOB ( x, y ) = 1 olduğu için: EKOK ( A, B ) = 12 ⋅ x ⋅ y Verilen EKOK değerini yazalım: 12 ⋅ x ⋅ y = 420 Buradan: x ⋅ y = 35 Şimdi x ⋅ y = 35 olacak şekilde, aralarında asal (EBOB EBOB ( x, y ) = 1 ) çarpan çiftlerini bulalım: 1) x = 1, y = 35 2) x = 5, y = 7 Toplamı en küçük yapmak için A + B = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) ifadesinde x + y toplamını küçültmeliyiz. Çiftleri deneyelim: x = 1, y = 35 → A + B = 12 ( 1 + 35 ) = 432 x = 5, y = 7 → A + B = 12 ( 5 + 7 ) = 144 En küçük değer 144 olur. Bu nedenle doğru seçenek A şıkkıdır.

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( A, B ) = 12 EKOK ( A, B ) = 420 İki pozitif tam sayı için temel bağıntıyı kullanalım: A ⋅ B = EBOB ( A, B ) ⋅ EKOK ( A, B ) Yerine yazalım: A ⋅ B = 12 ⋅ 420 = 5040 EBOB değeri bilindiği için sayıları şöyle yazabiliriz: A = 12 x B = 12 y Burada ortak çarpan kalmaması için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisi ile devam edelim. EBOB EBOB ( x, y ) = 1 olduğu için: EKOK ( A, B ) = 12 ⋅ x ⋅ y Verilen EKOK değerini yazalım: 12 ⋅ x ⋅ y = 420 Buradan: x ⋅ y = 35 Şimdi x ⋅ y = 35 olacak şekilde, aralarında asal (EBOB EBOB ( x, y ) = 1 ) çarpan çiftlerini bulalım: 1) x = 1, y = 35 2) x = 5, y = 7 Toplamı en küçük yapmak için A + B = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) ifadesinde x + y toplamını küçültmeliyiz. Çiftleri deneyelim: x = 1, y = 35 → A + B = 12 ( 1 + 35 ) = 432 x = 5, y = 7 → A + B = 12 ( 5 + 7 ) = 144 En küçük değer 144 olur. Bu nedenle doğru seçenek A şıkkıdır.

Verilenler:

EBOB(A,B)=12EKOK(A,B)=420

İki pozitif tam sayı için temel bağıntıyı kullanalım:

A⋅B=EBOB(A,B)⋅EKOK(A,B)

Yerine yazalım:

A⋅B=12⋅420=5040

EBOB değeri bilindiği için sayıları şöyle yazabiliriz:

A=12xB=12y

Burada ortak çarpan kalmaması için:

EBOB(x,y)=1

EKOK bilgisi ile devam edelim. EBOB

EBOB(x,y)=1

olduğu için:

EKOK(A,B)=12⋅x⋅y

Verilen EKOK değerini yazalım:

12⋅x⋅y=420

Buradan:

x⋅y=35

Şimdi

x⋅y=35

olacak şekilde, aralarında asal (EBOB

EBOB(x,y)=1

) çarpan çiftlerini bulalım:

1)

x=1,y=35

2)

x=5,y=7

Toplamı en küçük yapmak için

A+B=12x+12y=12(x+y)

ifadesinde

x+y

toplamını küçültmeliyiz.

Çiftleri deneyelim:

x=1,y=35→A+B=12(1+35)=432
x=5,y=7→A+B=12(5+7)=144

En küçük değer

144

olur. Bu nedenle doğru seçenek

A

şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar a ve b için

EBOB(a,b)=6

ve

EKOK(a,b)=210

olduğuna göre a+b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 210 Özellik: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Bu yüzden: a ⋅ b = 6 ⋅ 210 = 1260 EBOB 6 olduğundan: a = 6 x b = 6 y ve EBOB ( x, y ) = 1 Şimdi EKOK’u kullanalım. ( EBOB ( x, y ) = 1 olduğu için) EKOK ( a, b ) = EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y Verilen EKOK 210 olduğuna göre: 6 x y = 210 x y = 35 x y = 35 olduğuna göre, EBOB ( x, y ) = 1 şartını sağlayan çarpan ikilileri: x = 1, y = 35 x = 5, y = 7 (Yer değiştirmeleri de aynı toplamları verir.) Her durum için a + b hesaplayalım: 1) x = 1, y = 35 a = 6 ⋅ 1 = 6 b = 6 ⋅ 35 = 210 a + b = 6 + 210 = 216 2) x = 5, y = 7 a = 6 ⋅ 5 = 30 b = 6 ⋅ 7 = 42 a + b = 30 + 42 = 72 En küçük toplam: min ( 216, 72 ) = 72 Dolayısıyla doğru seçenek: B769

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 6 EKOK ( a, b ) = 210 Özellik: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Bu yüzden: a ⋅ b = 6 ⋅ 210 = 1260 EBOB 6 olduğundan: a = 6 x b = 6 y ve EBOB ( x, y ) = 1 Şimdi EKOK’u kullanalım. ( EBOB ( x, y ) = 1 olduğu için) EKOK ( a, b ) = EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y Verilen EKOK 210 olduğuna göre: 6 x y = 210 x y = 35 x y = 35 olduğuna göre, EBOB ( x, y ) = 1 şartını sağlayan çarpan ikilileri: x = 1, y = 35 x = 5, y = 7 (Yer değiştirmeleri de aynı toplamları verir.) Her durum için a + b hesaplayalım: 1) x = 1, y = 35 a = 6 ⋅ 1 = 6 b = 6 ⋅ 35 = 210 a + b = 6 + 210 = 216 2) x = 5, y = 7 a = 6 ⋅ 5 = 30 b = 6 ⋅ 7 = 42 a + b = 30 + 42 = 72 En küçük toplam: min ( 216, 72 ) = 72 Dolayısıyla doğru seçenek: B769

Verilenler:

EBOB(a,b)=6EKOK(a,b)=210

Özellik:

a⋅b=EBOB(a,b)⋅EKOK(a,b)

Bu yüzden:

a⋅b=6⋅210=1260

EBOB 6 olduğundan:

a=6xb=6y

ve

EBOB(x,y)=1

Şimdi EKOK’u kullanalım. (EBOB(x,y)=1olduğu için)

EKOK(a,b)=EKOK(6x,6y)=6xy

Verilen EKOK 210 olduğuna göre:

6xy=210xy=35

xy=35

olduğuna göre, EBOB(x,y)=1 şartını sağlayan çarpan ikilileri:

x=1,y=35x=5,y=7

(Yer değiştirmeleri de aynı toplamları verir.)

Her durum için a+b hesaplayalım:

1) x=1,y=35

a=6⋅1=6b=6⋅35=210a+b=6+210=216

2) x=5,y=7

a=6⋅5=30b=6⋅7=42a+b=30+42=72

En küçük toplam:

min(216,72)=72

Dolayısıyla doğru seçenek:

A
4. SoruÇoktan Seçmeli

EBOB'u 18, EKOK'u 630 olan iki doğal sayıdan biri 90 ise diğer sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB = 18 EKOK = 630 Sayı = 90 İki doğal sayının çarpımı, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir. Birinci · İkinci = EBOB · EKOK Birinci sayı yerine verilen değeri yazalım ve ikinci sayıyı bulmak için bölelim. İkinci = EBOB · EKOK Birinci İkinci = 18 · 630 90 Önce sadeleştirelim. 630 90 = 7 İkinci = 18 · 7 Çarpımı hesaplayalım. İkinci = 126 Diğer sayı: 126 Doğru seçenek C367 ’dir.

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB = 18 EKOK = 630 Sayı = 90 İki doğal sayının çarpımı, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir. Birinci · İkinci = EBOB · EKOK Birinci sayı yerine verilen değeri yazalım ve ikinci sayıyı bulmak için bölelim. İkinci = EBOB · EKOK Birinci İkinci = 18 · 630 90 Önce sadeleştirelim. 630 90 = 7 İkinci = 18 · 7 Çarpımı hesaplayalım. İkinci = 126 Diğer sayı: 126 Doğru seçenek C367 ’dir.

Verilenler:

EBOB=18EKOK=630Sayı=90

İki doğal sayının çarpımı, EBOB ile EKOK’un çarpımına eşittir.

Birinci·İkinci=EBOB·EKOK

Birinci sayı yerine verilen değeri yazalım ve ikinci sayıyı bulmak için bölelim.

İkinci=EBOB·EKOKBirinciİkinci=18·63090

Önce sadeleştirelim.

63090=7İkinci=18·7

Çarpımı hesaplayalım.

İkinci=126

Diğer sayı:

126

Doğru seçenek B’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

a ve b pozitif tam sayıları için

EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=540 olduğuna göre

a+b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 540 2) İki sayı için temel ilişkiyi kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 12 · 540 = 6480 3) EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım: a = 12 x b = 12 y Bu durumda aralarında asal olma şartı: EBOB ( x, y ) = 1 4) EKOK üzerinden denklem kuralım. Aralarında asal olan iki sayının EKOK’u çarpımlarına eşittir: EKOK ( a, b ) = 12 · x · y 540 = 12 · x · y x · y = 45 5) Şimdi çarpımı verilen aralarında asal çarpan çiftlerini bulup toplamı en küçük yapanı seçelim: 45 = 1 · 45 45 = 3 · 15 45 = 5 · 9 Aralarında asal olma kontrolü: EBOB ( 1, 45 ) = 1 EBOB ( 3, 15 ) = 3 EBOB ( 5, 9 ) = 1 Uygun çiftler: ( 1, 45 ), ( 5, 9 ) 6) Toplamı en küçük yapanı seçelim: 1 + 45 = 46 5 + 9 = 14 En küçük toplam: x + y = 14 7) İstenen en küçük değeri bulalım: a + b = 12 x + 12 y a + b = 12 ( x + y ) = 12 · 14 = 168 8) Sonuç ve şık kontrolü: 168 Doğru cevap D920 şıkkıdır.

  1. Çözüm: 1) Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 540 2) İki sayı için temel ilişkiyi kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 12 · 540 = 6480 3) EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım: a = 12 x b = 12 y Bu durumda aralarında asal olma şartı: EBOB ( x, y ) = 1 4) EKOK üzerinden denklem kuralım. Aralarında asal olan iki sayının EKOK’u çarpımlarına eşittir: EKOK ( a, b ) = 12 · x · y 540 = 12 · x · y x · y = 45 5) Şimdi çarpımı verilen aralarında asal çarpan çiftlerini bulup toplamı en küçük yapanı seçelim: 45 = 1 · 45 45 = 3 · 15 45 = 5 · 9 Aralarında asal olma kontrolü: EBOB ( 1, 45 ) = 1 EBOB ( 3, 15 ) = 3 EBOB ( 5, 9 ) = 1 Uygun çiftler: ( 1, 45 ), ( 5, 9 ) 6) Toplamı en küçük yapanı seçelim: 1 + 45 = 46 5 + 9 = 14 En küçük toplam: x + y = 14 7) İstenen en küçük değeri bulalım: a + b = 12 x + 12 y a + b = 12 ( x + y ) = 12 · 14 = 168 8) Sonuç ve şık kontrolü: 168 Doğru cevap D920 şıkkıdır.

1) Verilenler:

EBOB(a,b)=12EKOK(a,b)=540

2) İki sayı için temel ilişkiyi kullanalım:

a·b=EBOB(a,b)·EKOK(a,b)a·b=12·540=6480

3) EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım:

a=12xb=12y

Bu durumda aralarında asal olma şartı:

EBOB(x,y)=1

4) EKOK üzerinden denklem kuralım. Aralarında asal olan iki sayının EKOK’u çarpımlarına eşittir:

EKOK(a,b)=12·x·y540=12·x·yx·y=45

5) Şimdi çarpımı verilen aralarında asal çarpan çiftlerini bulup toplamı en küçük yapanı seçelim:

45=1·4545=3·1545=5·9

Aralarında asal olma kontrolü:

EBOB(1,45)=1EBOB(3,15)=3EBOB(5,9)=1

Uygun çiftler:

(1,45),(5,9)

6) Toplamı en küçük yapanı seçelim:

1+45=465+9=14

En küçük toplam:

x+y=14

7) İstenen en küçük değeri bulalım:

a+b=12x+12ya+b=12(x+y)=12·14=168

8) Sonuç ve şık kontrolü:

168

Doğru cevap B şıkkıdır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar A ve B için

EBOB(A,B)=18 ve EKOK(A,B)=1296 olduğuna göre, mümkün olan tüm A değerlerinin toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilenler: EBOB ( A, B ) = 18 EKOK ( A, B ) = 1296 Temel özellik: A · B = EBOB ( A, B ) · EKOK ( A, B ) A · B = 18 · 1296 = 23328 Ortak bölen çıkaralım: A = 18 x, B = 18 y Bu durumda: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ilişkisini kullanalım: EKOK ( A, B ) = 18 x y 1296 = 18 x y x y = 1296 18 = 72 72 = 2 3 · 3 2 EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan, asal çarpanların kuvvetleri paylaştırılırken aynı asal sayı iki tarafa birden bölünemez; yani her asal kuvveti tamamen ya x ya da y alır. Bu yüzden x için olası değerler, 2 3 kuvvetinin ve 3 2 kuvvetinin x tarafına geçip geçmemesine göre oluşur: x ∈ { 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72 } Toplamı daha hızlı bulmak için çarpım kuralı kullanalım: ∑ x x = ( 1 + 2 + 4 + 8 ) ( 1 + 3 + 9 ) ∑ x x = 15 · 13 = 195 A = 18 x olduğundan, tüm mümkün A değerlerinin toplamı: ∑ A A = 18 · ∑ x x = 18 · 195 = 3510 Şık kontrolü: 1620 ile bulunan sonuç 3510 aynı değildir. Bu nedenle doğru cevap A906 şıkkı değildir; hesaplanan doğru toplam 3510 olup şıklarda yer almamaktadır.

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( A, B ) = 18 EKOK ( A, B ) = 1296 Temel özellik: A · B = EBOB ( A, B ) · EKOK ( A, B ) A · B = 18 · 1296 = 23328 Ortak bölen çıkaralım: A = 18 x, B = 18 y Bu durumda: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ilişkisini kullanalım: EKOK ( A, B ) = 18 x y 1296 = 18 x y x y = 1296 18 = 72 72 = 2 3 · 3 2 EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan, asal çarpanların kuvvetleri paylaştırılırken aynı asal sayı iki tarafa birden bölünemez; yani her asal kuvveti tamamen ya x ya da y alır. Bu yüzden x için olası değerler, 2 3 kuvvetinin ve 3 2 kuvvetinin x tarafına geçip geçmemesine göre oluşur: x ∈ { 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72 } Toplamı daha hızlı bulmak için çarpım kuralı kullanalım: ∑ x x = ( 1 + 2 + 4 + 8 ) ( 1 + 3 + 9 ) ∑ x x = 15 · 13 = 195 A = 18 x olduğundan, tüm mümkün A değerlerinin toplamı: ∑ A A = 18 · ∑ x x = 18 · 195 = 3510 Şık kontrolü: 1620 ile bulunan sonuç 3510 aynı değildir. Bu nedenle doğru cevap A906 şıkkı değildir; hesaplanan doğru toplam 3510 olup şıklarda yer almamaktadır.

Verilenler:

EBOB(A,B)=18

EKOK(A,B)=1296

Temel özellik:

A·B=EBOB(A,B)·EKOK(A,B)

A·B=18·1296=23328

Ortak bölen çıkaralım:

A=18x,B=18y

Bu durumda:

EBOB(x,y)=1

EKOK ilişkisini kullanalım:

EKOK(A,B)=18xy

1296=18xy

xy=129618=72

72=23·32

EBOB(x,y)=1

olduğundan, asal çarpanların kuvvetleri paylaştırılırken aynı asal sayı iki tarafa birden bölünemez; yani her asal kuvveti tamamen ya x ya da y alır.

Bu yüzden x için olası değerler, 23 kuvvetinin ve 32 kuvvetinin x tarafına geçip geçmemesine göre oluşur:

x∈{1,2,4,8,3,6,12,24,9,18,36,72}

Toplamı daha hızlı bulmak için çarpım kuralı kullanalım:

∑xx=(1+2+4+8)(1+3+9)

∑xx=15·13=195

A=18x

olduğundan, tüm mümkün A değerlerinin toplamı:

∑AA=18·∑xx=18·195=3510

Şık kontrolü: 1620 ile bulunan sonuç 3510 aynı değildir. Bu nedenle doğru cevap B şıkkı değildir; hesaplanan doğru toplam 3510 olup şıklarda yer almamaktadır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

a ve b pozitif tam sayıları için EBOB değeri 12 ve EKOK değeri 420 olduğuna göre, a+b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru cevabı kontrol edelim ve en küçük toplamı bulalım. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 EBOB değeri 12 olduğundan, a ve b sayıları 12 ’nin katıdır. Bu yüzden: a = 12 x b = 12 y Burada x ve y aralarında asal olmalıdır; çünkü ortak bölenleri olsaydı EBOB daha büyük olurdu: EBOB ( x, y ) = 1 x ve y aralarında asal olduğundan: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilen EKOK değeri yerine yazalım: 12 x y = 420 Her iki tarafı 12 ’ye bölelim: x y = 35 35 ’in çarpan çiftlerini ve aralarında asal olma durumunu inceleyelim: x = 1, y = 35 x = 5, y = 7 Toplam: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) a + b en küçük olsun diye x + y en küçük olmalıdır. Çiftleri deneyelim: x = 1, y = 35 a + b = 12 ( 1 + 35 ) = 12 × 36 = 432 x = 5, y = 7 a + b = 12 ( 5 + 7 ) = 12 × 12 = 144 En küçük değer: a + b = 144 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

  1. Çözüm: Doğru cevabı kontrol edelim ve en küçük toplamı bulalım. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 EBOB değeri 12 olduğundan, a ve b sayıları 12 ’nin katıdır. Bu yüzden: a = 12 x b = 12 y Burada x ve y aralarında asal olmalıdır; çünkü ortak bölenleri olsaydı EBOB daha büyük olurdu: EBOB ( x, y ) = 1 x ve y aralarında asal olduğundan: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilen EKOK değeri yerine yazalım: 12 x y = 420 Her iki tarafı 12 ’ye bölelim: x y = 35 35 ’in çarpan çiftlerini ve aralarında asal olma durumunu inceleyelim: x = 1, y = 35 x = 5, y = 7 Toplam: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) a + b en küçük olsun diye x + y en küçük olmalıdır. Çiftleri deneyelim: x = 1, y = 35 a + b = 12 ( 1 + 35 ) = 12 × 36 = 432 x = 5, y = 7 a + b = 12 ( 5 + 7 ) = 12 × 12 = 144 En küçük değer: a + b = 144 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevabı kontrol edelim ve en küçük toplamı bulalım.

Verilenler:

EBOB(a,b)=12EKOK(a,b)=420

EBOB değeri 12 olduğundan, a ve b sayıları 12’nin katıdır. Bu yüzden:

a=12xb=12y

Burada x ve y aralarında asal olmalıdır; çünkü ortak bölenleri olsaydı EBOB daha büyük olurdu:

EBOB(x,y)=1

x ve y aralarında asal olduğundan:

EKOK(a,b)=EKOK(12x,12y)=12xy

Verilen EKOK değeri yerine yazalım:

12xy=420

Her iki tarafı 12’ye bölelim:

xy=35

35’in çarpan çiftlerini ve aralarında asal olma durumunu inceleyelim:

  • x=1,y=35
  • x=5,y=7

Toplam:

a+b=12x+12y=12(x+y)

a+b en küçük olsun diye x+y en küçük olmalıdır.

Çiftleri deneyelim:

x=1,y=35

a+b=12(1+35)=12×36=432

x=5,y=7

a+b=12(5+7)=12×12=144

En küçük değer:

a+b=144

Bu nedenle doğru seçenek B’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=420 olduğuna göre, a<b şartını sağlayan kaç farklı (a,b) ikilisi vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 İstenen koşul: a < b İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK çarpımına eşittir: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) a × b = 12 × 420 EBOB değeri on iki olduğuna göre sayıları şöyle yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y Burada ortak çarpan tamamen ayrıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisini kullanmak için şu ilişkiyi kurarız: EKOK ( a, b ) = 12 x y Çünkü EBOB ( x, y ) = 1 olduğunda ekok, çarpıma eşit olur. Buradan: 420 = 12 x y x y = 420 12 = 35 Şimdi x y = 35 olacak şekilde çarpan çiftlerini bulalım: 35 = 1 × 35 35 = 5 × 7 Ayrıca EBOB ( x, y ) = 1 şartını sağlamaları gerekir. Bu iki çiftin her ikisi de aralarında asaldır. a < b koşulu, 12 x < 12 y yani x < y demektir. Bu yüzden her çarpan çiftinden sadece küçük-büyük sıralı olanı alınır: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Şimdi a = 12 x ve b = 12 y ile ikilileri yazalım: ( a, b ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 60, 84 ) Koşulu sağlayan farklı ikili sayısı: 2 Bu nedenle doğru seçenek C1010’dir.

  1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 İstenen koşul: a < b İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK çarpımına eşittir: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) a × b = 12 × 420 EBOB değeri on iki olduğuna göre sayıları şöyle yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y Burada ortak çarpan tamamen ayrıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bilgisini kullanmak için şu ilişkiyi kurarız: EKOK ( a, b ) = 12 x y Çünkü EBOB ( x, y ) = 1 olduğunda ekok, çarpıma eşit olur. Buradan: 420 = 12 x y x y = 420 12 = 35 Şimdi x y = 35 olacak şekilde çarpan çiftlerini bulalım: 35 = 1 × 35 35 = 5 × 7 Ayrıca EBOB ( x, y ) = 1 şartını sağlamaları gerekir. Bu iki çiftin her ikisi de aralarında asaldır. a < b koşulu, 12 x < 12 y yani x < y demektir. Bu yüzden her çarpan çiftinden sadece küçük-büyük sıralı olanı alınır: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Şimdi a = 12 x ve b = 12 y ile ikilileri yazalım: ( a, b ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 60, 84 ) Koşulu sağlayan farklı ikili sayısı: 2 Bu nedenle doğru seçenek C1010’dir.

Verilenler:

EBOB(a,b)=12EKOK(a,b)=420

İstenen koşul:

a<b

İki sayının çarpımı, EBOB ile EKOK çarpımına eşittir:

a×b=EBOB(a,b)×EKOK(a,b)a×b=12×420

EBOB değeri on iki olduğuna göre sayıları şöyle yazabiliriz:

a=12xb=12y

Burada ortak çarpan tamamen ayrıldığı için:

EBOB(x,y)=1

EKOK bilgisini kullanmak için şu ilişkiyi kurarız:

EKOK(a,b)=12xy

Çünkü EBOB(x,y)=1 olduğunda ekok, çarpıma eşit olur.

Buradan:

420=12xyxy=42012=35

Şimdi xy=35 olacak şekilde çarpan çiftlerini bulalım:

35=1×3535=5×7

Ayrıca EBOB(x,y)=1 şartını sağlamaları gerekir. Bu iki çiftin her ikisi de aralarında asaldır.

a<b koşulu, 12x<12y yani x<y demektir.

Bu yüzden her çarpan çiftinden sadece küçük-büyük sıralı olanı alınır:

(x,y)=(1,35)(x,y)=(5,7)

Şimdi a=12x ve b=12y ile ikilileri yazalım:

(a,b)=(12,420)(a,b)=(60,84)

Koşulu sağlayan farklı ikili sayısı:

2

Bu nedenle doğru seçenek C3976’dir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Asal çarpanları yalnızca 2, 3 ve 5 olan bir doğal sayı n için EBOB(n,360)=30 ve n sayısının pozitif bölen sayısı 24 tür. Buna göre n kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Asal çarpanları yalnızca verilen sayılar olduğundan aşağıdaki gibi yazalım: n = 2 a 3 b 5 c Önce verilen sayının asal çarpanlarına ayıralım: 360 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 EBOB şartına göre ortak çarpanların üsleri, üslerin küçük olanına eşittir. Bu yüzden: EBOB ( n, 360 ) = 2 min ( a, 3 ) 3 min ( b, 2 ) 5 min ( c, 1 ) Verilen EBOB değeri ile karşılaştıralım: 2 min ( a, 3 ) 3 min ( b, 2 ) 5 min ( c, 1 ) = 30 = 2 1 3 1 5 1 Buradan üsler için şu eşitlikler gelir: min ( a, 3 ) = 1 min ( b, 2 ) = 1 min ( c, 1 ) = 1 Bunlardan sırasıyla: a = 1 b = 1 c ≥ 1 Pozitif bölen sayısı formülünü kullanalım: ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 24 Yerine yazalım: ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( c + 1 ) = 24 4 ( c + 1 ) = 24 c + 1 = 6 c = 5 Şimdi sayıyı bulalım: n = 2 1 3 1 5 5 n = 6 ⋅ 3125 n = 18750 Sonuç: Doğru seçenek D805 ’dir.

  1. Çözüm: Asal çarpanları yalnızca verilen sayılar olduğundan aşağıdaki gibi yazalım: n = 2 a 3 b 5 c Önce verilen sayının asal çarpanlarına ayıralım: 360 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 EBOB şartına göre ortak çarpanların üsleri, üslerin küçük olanına eşittir. Bu yüzden: EBOB ( n, 360 ) = 2 min ( a, 3 ) 3 min ( b, 2 ) 5 min ( c, 1 ) Verilen EBOB değeri ile karşılaştıralım: 2 min ( a, 3 ) 3 min ( b, 2 ) 5 min ( c, 1 ) = 30 = 2 1 3 1 5 1 Buradan üsler için şu eşitlikler gelir: min ( a, 3 ) = 1 min ( b, 2 ) = 1 min ( c, 1 ) = 1 Bunlardan sırasıyla: a = 1 b = 1 c ≥ 1 Pozitif bölen sayısı formülünü kullanalım: ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 24 Yerine yazalım: ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( c + 1 ) = 24 4 ( c + 1 ) = 24 c + 1 = 6 c = 5 Şimdi sayıyı bulalım: n = 2 1 3 1 5 5 n = 6 ⋅ 3125 n = 18750 Sonuç: Doğru seçenek D805 ’dir.

Asal çarpanları yalnızca verilen sayılar olduğundan aşağıdaki gibi yazalım:

n=2a3b5c

Önce verilen sayının asal çarpanlarına ayıralım:

360=23⋅32⋅51

EBOB şartına göre ortak çarpanların üsleri, üslerin küçük olanına eşittir. Bu yüzden:

EBOB(n,360)=2min(a,3)3min(b,2)5min(c,1)

Verilen EBOB değeri ile karşılaştıralım:

2min(a,3)3min(b,2)5min(c,1)=30=213151

Buradan üsler için şu eşitlikler gelir:

min(a,3)=1min(b,2)=1min(c,1)=1

Bunlardan sırasıyla:

a=1b=1c≥1

Pozitif bölen sayısı formülünü kullanalım:

(a+1)(b+1)(c+1)=24

Yerine yazalım:

(1+1)(1+1)(c+1)=244(c+1)=24c+1=6c=5

Şimdi sayıyı bulalım:

n=213155n=6⋅3125n=18750

Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Kırmızı bilyeler 72'şer, mavi bilyeler 90'ar paketler halinde satılıyor.

Paket açmadan kutuya konulan kırmızı ve mavi bilye sayıları birbirine eşit olacaksa, kutuda toplam en az kaç bilye bulunur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Kırmızı ve mavi bilye sayıları paket açmadan birbirine eşit olacağı için, her iki rengin bilye sayısı paket miktarlarının ortak katı olmalıdır. Kırmızı paket sayısı ve mavi paket sayısı: Kırmızı paket = 72 Mavi paket = 90 En az eşit bilye sayısını bulmak için EKOK hesaplarız. Önce asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 2 3 × 3 2 90 = 2 × 3 2 × 5 EKOK alınırken her asal çarpanın en büyük kuvveti seçilir: EKOK ( 72, 90 ) = 2 3 × 3 2 × 5 Hesaplayalım: 2 3 × 3 2 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360 Demek ki kutuya konulabilecek en az eşit kırmızı ve mavi bilye sayısı: Kırmızı = 360 Mavi = 360 Toplam bilye sayısı: 360 + 360 = 720 Sonuç: Doğru cevap A664 seçeneğidir.

  1. Çözüm: Kırmızı ve mavi bilye sayıları paket açmadan birbirine eşit olacağı için, her iki rengin bilye sayısı paket miktarlarının ortak katı olmalıdır. Kırmızı paket sayısı ve mavi paket sayısı: Kırmızı paket = 72 Mavi paket = 90 En az eşit bilye sayısını bulmak için EKOK hesaplarız. Önce asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 2 3 × 3 2 90 = 2 × 3 2 × 5 EKOK alınırken her asal çarpanın en büyük kuvveti seçilir: EKOK ( 72, 90 ) = 2 3 × 3 2 × 5 Hesaplayalım: 2 3 × 3 2 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360 Demek ki kutuya konulabilecek en az eşit kırmızı ve mavi bilye sayısı: Kırmızı = 360 Mavi = 360 Toplam bilye sayısı: 360 + 360 = 720 Sonuç: Doğru cevap A664 seçeneğidir.

Kırmızı ve mavi bilye sayıları paket açmadan birbirine eşit olacağı için, her iki rengin bilye sayısı paket miktarlarının ortak katı olmalıdır.

Kırmızı paket sayısı ve mavi paket sayısı:

Kırmızı paket=72Mavi paket=90

En az eşit bilye sayısını bulmak için EKOK hesaplarız.

Önce asal çarpanlarına ayıralım:

72=23×3290=2×32×5

EKOK alınırken her asal çarpanın en büyük kuvveti seçilir:

EKOK(72,90)=23×32×5

Hesaplayalım:

23×32×5=8×9×5=360

Demek ki kutuya konulabilecek en az eşit kırmızı ve mavi bilye sayısı:

Kırmızı=360Mavi=360

Toplam bilye sayısı:

360+360=720

Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

EBOB hangi problemlerde kullanılır?

Sayıları eşit ve en büyük parçalara ayırma veya ortak ölçü bulma problemlerinde EBOB kullanılır.

EKOK hangi problemlerde kullanılır?

Farklı aralıklarla tekrarlanan olayların aynı anda gerçekleşeceği zamanı bulma problemlerinde EKOK kullanılır.

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

Sayı asal çarpanlarına ayrılır ve çarpanların uygun üsleri kullanılarak pozitif bölenler belirlenir.