8. Sınıf Matematik

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

8. sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar testleri; asal sayıları, asal çarpanlara ayırmayı, pozitif bölenleri, ortak bölen ve ortak katları pekiştirir. Sorularda EBOB ile EKOK'un hangi problem türünde kullanılacağını doğru belirlemek önemlidir.

Asal Çarpanlar ve Bölenler

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, sayının bölenlerini ve çarpan ilişkilerini görmeyi kolaylaştırır. Pozitif bölen sayısı bulunurken asal çarpanların üslerinden yararlanılır.

EBOB ve EKOK Problemleri

EBOB ortak parçalara ayırma ve en büyük ortak ölçüyü bulma problemlerinde; EKOK ise birlikte tekrar eden olayların ne zaman buluşacağını belirlemede kullanılır. 8. Sınıf sorularında verilen sayıların ortak bölen mi yoksa ortak kat mı gerektirdiğine dikkat et.

Test seç

16 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test

14. Test

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusu 14. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?
$n mod 12 = 0$
$n mod 18 = 0$
$(n + 1) mod 5 = 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Koşullar: 1) n sayısı 12 ile bölününce kalan 0 2) n sayısı 18 ile bölününce kalan 0 3) n+1 sayısı 5 ile bölününce kalan 0 İlk iki koşul, n ’in hem 12 ’nin hem 18 ’in katı olduğunu söyler. Bu yüzden n, bu sayıların EKOK’una eşit bir sayının katıdır. n EKOK ( 12, 18 ) EKOK hesaplayalım: 12 = 2 2 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 3 2 EKOK için her asal çarpanın en büyük kuvveti alınır: EKOK ( 12, 18 ) = 2 2 ⋅ 3 2 = 36 O hâlde: n = 36 k Üçüncü koşul: ( n + 1 ) mod 5 = 0 Bu, n+1 sayısının 5 ’in katı olduğu anlamına gelir; yani n sayısı 5 ile bölününce 4 kalanını verir: n mod 5 = 4 n = 36k yazalım: 36 k mod 5 = 4 Şimdi 36 ’nın 5 ile bölümünden kalanı alalım: 36 mod 5 = 1 Bu yüzden: k mod 5 = 4 Bu koşulu sağlayan en küçük doğal sayı k değeri 4 olur. O hâlde en küçük n: n = 36 ⋅ 4 = 144 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır. Doğru cevap = 144

Çözüm: Koşullar: 1) n sayısı 12 ile bölününce kalan 0 2) n sayısı 18 ile bölününce kalan 0 3) n+1 sayısı 5 ile bölününce kalan 0 İlk iki koşul, n ’in hem 12 ’nin hem 18 ’in katı olduğunu söyler. Bu yüzden n, bu sayıların EKOK’una eşit bir sayının katıdır. n EKOK ( 12, 18 ) EKOK hesaplayalım: 12 = 2 2 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 3 2 EKOK için her asal çarpanın en büyük kuvveti alınır: EKOK ( 12, 18 ) = 2 2 ⋅ 3 2 = 36 O hâlde: n = 36 k Üçüncü koşul: ( n + 1 ) mod 5 = 0 Bu, n+1 sayısının 5 ’in katı olduğu anlamına gelir; yani n sayısı 5 ile bölününce 4 kalanını verir: n mod 5 = 4 n = 36k yazalım: 36 k mod 5 = 4 Şimdi 36 ’nın 5 ile bölümünden kalanı alalım: 36 mod 5 = 1 Bu yüzden: k mod 5 = 4 Bu koşulu sağlayan en küçük doğal sayı k değeri 4 olur. O hâlde en küçük n: n = 36 ⋅ 4 = 144 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır. Doğru cevap = 144

Koşullar:
1) n sayısı 12 ile bölününce kalan 0
2) n sayısı 18 ile bölününce kalan 0
3) n+1 sayısı 5 ile bölününce kalan 0

İlk iki koşul, n’in hem 12’nin hem 18’in katı olduğunu söyler. Bu yüzden n, bu sayıların EKOK’una eşit bir sayının katıdır.

n EKOK (12, 18)

EKOK hesaplayalım:

12 = 2^{2} \cdot 3

18 = 2 \cdot 3^{2}

EKOK için her asal çarpanın en büyük kuvveti alınır:

EKOK (12, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36

O hâlde:

n = 36 k

Üçüncü koşul:

(n + 1) mod 5 = 0

Bu, n+1 sayısının 5’in katı olduğu anlamına gelir; yani n sayısı 5 ile bölününce 4 kalanını verir:

n mod 5 = 4

n = 36k yazalım:

36 k mod 5 = 4

Şimdi 36’nın 5 ile bölümünden kalanı alalım:

36 mod 5 = 1

Bu yüzden:

k mod 5 = 4

Bu koşulu sağlayan en küçük doğal sayı k değeri 4 olur. O hâlde en küçük n:

n = 36 \cdot 4 = 144

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap = 144

2. SoruÇoktan Seçmeli

İki doğal sayının $EBOB = 12$ ve $EKOK = 360$ olduğuna göre, sayılardan biri $60$ ise diğer sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayı $24$ ve $36$ ile bölündüğünde her iki durumda da kalan $6$ oluyor.
Bu sayı $100$ 'den küçüktür. Buna göre bu sayının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayı $n$ , $72$ ve $120$ sayılarının ortak bölenidir ve $n$ 'nin asal çarpanları yalnızca $2$ ve $3$ 'tür. $n$ 'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$x$ ve $y$ doğal sayıları için $x < y$ olmak üzere:
$EBOB (x, y) = 12$ ve $EKOK (x, y) = 420$ .
Buna göre kaç farklı $(x, y)$ çifti vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen bilgiler: EBOB ( x, y ) = 12 EKOK ( x, y ) = 420 x < y EBOB ve EKOK arasındaki temel bağıntıyı kullanalım: x · y = EBOB ( x, y ) · EKOK ( x, y ) x · y = 12 · 420 = 5040 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım: x = 12 a y = 12 b Bu durumda, ortak çarpan dışarı alındığı için EBOB ( a, b ) = 1 olmalıdır (yani a ve b aralarında asal). EKOK’u yazalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( 12 a, 12 b ) = 12 a b 12 a b = 420 a b = 35 Şimdi a b = 35 olacak şekilde, aralarında asal çarpan çiftlerini bulalım: 35 = 1 · 35 35 = 5 · 7 Bu iki çarpan çiftinde de sayılar aralarında asaldır. Ayrıca x < y olduğundan a < b seçeriz. Buna göre olası çiftler: ( a, b ) = ( 1, 35 ) ( a, b ) = ( 5, 7 ) Şimdi her bir durum için x = 12 a ve y = 12 b hesaplayalım: ( a, b ) = ( 1, 35 ) ⇒ ( x, y ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 5, 7 ) ⇒ ( x, y ) = ( 60, 84 ) Toplam farklı ( x, y ) çifti sayısı: 2 Sonuç: Doğru cevap B ’dir.

Çözüm: Verilen bilgiler: EBOB ( x, y ) = 12 EKOK ( x, y ) = 420 x < y EBOB ve EKOK arasındaki temel bağıntıyı kullanalım: x · y = EBOB ( x, y ) · EKOK ( x, y ) x · y = 12 · 420 = 5040 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım: x = 12 a y = 12 b Bu durumda, ortak çarpan dışarı alındığı için EBOB ( a, b ) = 1 olmalıdır (yani a ve b aralarında asal). EKOK’u yazalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( 12 a, 12 b ) = 12 a b 12 a b = 420 a b = 35 Şimdi a b = 35 olacak şekilde, aralarında asal çarpan çiftlerini bulalım: 35 = 1 · 35 35 = 5 · 7 Bu iki çarpan çiftinde de sayılar aralarında asaldır. Ayrıca x < y olduğundan a < b seçeriz. Buna göre olası çiftler: ( a, b ) = ( 1, 35 ) ( a, b ) = ( 5, 7 ) Şimdi her bir durum için x = 12 a ve y = 12 b hesaplayalım: ( a, b ) = ( 1, 35 ) ⇒ ( x, y ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 5, 7 ) ⇒ ( x, y ) = ( 60, 84 ) Toplam farklı ( x, y ) çifti sayısı: 2 Sonuç: Doğru cevap B ’dir.

Verilen bilgiler:

EBOB (x, y) = 12

EKOK (x, y) = 420

x < y

EBOB ve EKOK arasındaki temel bağıntıyı kullanalım:

x \cdot y = EBOB (x, y) \cdot EKOK (x, y)

x \cdot y = 12 \cdot 420 = 5040

EBOB değeri ortak çarpan olduğundan, sayıları şu şekilde yazalım:

x = 12 a

y = 12 b

Bu durumda, ortak çarpan dışarı alındığı için $EBOB (a, b) = 1$ olmalıdır (yani $a$ ve $b$ aralarında asal).

EKOK’u yazalım. Aralarında asal oldukları için:

EKOK (12 a, 12 b) = 12 a b

12 a b = 420

a b = 35

Şimdi $a b = 35$ olacak şekilde, aralarında asal çarpan çiftlerini bulalım:

35 = 1 \cdot 35

35 = 5 \cdot 7

Bu iki çarpan çiftinde de sayılar aralarında asaldır. Ayrıca $x < y$ olduğundan $a < b$ seçeriz. Buna göre olası çiftler:

(a, b) = (1, 35)

(a, b) = (5, 7)

Şimdi her bir durum için $x = 12 a$ ve $y = 12 b$ hesaplayalım:

(a, b) = (1, 35) \Rightarrow (x, y) = (12, 420)

(a, b) = (5, 7) \Rightarrow (x, y) = (60, 84)

Toplam farklı $(x, y)$ çifti sayısı:

2

Sonuç: Doğru cevap B’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

EBOB'u $12$ ve EKOK'u $420$ olan iki doğal sayının toplamı en küçük kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük doğal sayı $n$ , $12$ ve $18$ sayılarının ortak katıdır, $24$ ’ün katı değildir ve pozitif bölen sayısı $12$ ’dir. $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Koşullara göre n sayısı, 12 ve 18 sayılarının ortak katı olmalıdır. Bu yüzden önce EKOK (en küçük ortak kat) bulunur. Asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 18 = 2 · 3 2 EKOK, her asal çarpanın en büyük üssü alınarak bulunur: EKOK ( 12, 18 ) = 2 2 · 3 2 = 36 Dolayısıyla n şu biçimdedir: n = 36 k Ayrıca pozitif bölen sayısı 12 olmalı ve 24 ’ün katı olmamalıdır. Şimdi en küçük k değerlerinden başlayalım. Birinci deneme: k = 1 ⇒ n = 36 36 = 2 2 · 3 2 Toplam bölen sayısı = ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) = 9 Bölen sayısı uygun değildir. İkinci deneme: k = 2 ⇒ n = 72 72 = 2 3 · 3 2 Toplam bölen sayısı = ( 3 + 1 ) ( 2 + 1 ) = 12 Bölen sayısı uygundur; fakat 24 ’ün katı olmama şartını kontrol edelim: 72 = 24 · 3 Bu yüzden 72 elenir. Üçüncü deneme: k = 3 ⇒ n = 108 108 = 2 2 · 3 3 Toplam bölen sayısı = ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) = 12 Şimdi 24 ’ün katı olup olmadığına bakalım. Önce 24 ’ü asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 · 3 Bir sayının 24 ’ün katı olabilmesi için en az 2 3 çarpanını içermesi gerekir. Fakat: 108 = 2 2 · 3 3 Burada 2 ’nin üssü 2 olduğu için 108, 24 ’ün katı değildir. Sonuç olarak en küçük uygun değer: n = 108 Bu değer şıklarda B seçeneğidir. Yani doğru cevap B ’dir.

Çözüm: Koşullara göre n sayısı, 12 ve 18 sayılarının ortak katı olmalıdır. Bu yüzden önce EKOK (en küçük ortak kat) bulunur. Asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 18 = 2 · 3 2 EKOK, her asal çarpanın en büyük üssü alınarak bulunur: EKOK ( 12, 18 ) = 2 2 · 3 2 = 36 Dolayısıyla n şu biçimdedir: n = 36 k Ayrıca pozitif bölen sayısı 12 olmalı ve 24 ’ün katı olmamalıdır. Şimdi en küçük k değerlerinden başlayalım. Birinci deneme: k = 1 ⇒ n = 36 36 = 2 2 · 3 2 Toplam bölen sayısı = ( 2 + 1 ) ( 2 + 1 ) = 9 Bölen sayısı uygun değildir. İkinci deneme: k = 2 ⇒ n = 72 72 = 2 3 · 3 2 Toplam bölen sayısı = ( 3 + 1 ) ( 2 + 1 ) = 12 Bölen sayısı uygundur; fakat 24 ’ün katı olmama şartını kontrol edelim: 72 = 24 · 3 Bu yüzden 72 elenir. Üçüncü deneme: k = 3 ⇒ n = 108 108 = 2 2 · 3 3 Toplam bölen sayısı = ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) = 12 Şimdi 24 ’ün katı olup olmadığına bakalım. Önce 24 ’ü asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 · 3 Bir sayının 24 ’ün katı olabilmesi için en az 2 3 çarpanını içermesi gerekir. Fakat: 108 = 2 2 · 3 3 Burada 2 ’nin üssü 2 olduğu için 108, 24 ’ün katı değildir. Sonuç olarak en küçük uygun değer: n = 108 Bu değer şıklarda B seçeneğidir. Yani doğru cevap B ’dir.

Koşullara göre $n$ sayısı, $12$ ve $18$ sayılarının ortak katı olmalıdır. Bu yüzden önce EKOK (en küçük ortak kat) bulunur.

Asal çarpanlarına ayıralım:

12 = 2^{2} \cdot 3

18 = 2 \cdot 3^{2}

EKOK, her asal çarpanın en büyük üssü alınarak bulunur:

EKOK (12, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36

Dolayısıyla $n$ şu biçimdedir:

n = 36 k

Ayrıca pozitif bölen sayısı $12$ olmalı ve $24$ ’ün katı olmamalıdır. Şimdi en küçük $k$ değerlerinden başlayalım.

Birinci deneme:

k = 1 \Rightarrow n = 36

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

Toplam bölen sayısı = (2 + 1) (2 + 1) = 9

Bölen sayısı uygun değildir.

İkinci deneme:

k = 2 \Rightarrow n = 72

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

Toplam bölen sayısı = (3 + 1) (2 + 1) = 12

Bölen sayısı uygundur; fakat $24$ ’ün katı olmama şartını kontrol edelim:

72 = 24 \cdot 3

Bu yüzden $72$ elenir.

Üçüncü deneme:

k = 3 \Rightarrow n = 108

108 = 2^{2} \cdot 3^{3}

Toplam bölen sayısı = (2 + 1) (3 + 1) = 12

Şimdi $24$ ’ün katı olup olmadığına bakalım. Önce $24$ ’ü asal çarpanlarına ayıralım:

24 = 2^{3} \cdot 3

Bir sayının $24$ ’ün katı olabilmesi için en az $2^{3}$ çarpanını içermesi gerekir. Fakat:

108 = 2^{2} \cdot 3^{3}

Burada $2$ ’nin üssü $2$ olduğu için $108$ , $24$ ’ün katı değildir.

Sonuç olarak en küçük uygun değer:

n = 108

Bu değer şıklarda B seçeneğidir. Yani doğru cevap B’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

EBOB'u $15$ ve EKOK'u $360$ olan iki doğal sayıdan biri $45$ ise diğer sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif $n$ tam sayısı hem $24$ hem $30$ ile tam bölünüyor.
Ayrıca $n$ ile $45$ 'in EKOK'u $360$ 'dır.
Buna göre $n$ 'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce tam bölünme koşulunu kullanırız. Pozitif sayı hem aşağıdaki iki sayıya tam bölündüğüne göre, bu iki sayının EKOK’una da tam bölünmelidir. n: 24 = 0, n: 30 = 0 Bu yüzden önce EKOK ( 24, 30 ) bulalım. Bunun için asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 ⋅ 3 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 EKOK alınırken her asalın en büyük üssü seçilir: EKOK ( 24, 30 ) = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 Dolayısıyla n bu sayının katıdır: n = 120 ⋅ k k ∈ Z + Şimdi ikinci koşulu kullanalım. n ile 45 ’in EKOK’u 360 verilmiş: EKOK ( n, 45 ) = 360 Asal çarpanlarına ayıralım: 45 = 3 2 ⋅ 5 360 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EKOK ( n, 45 ) tam olarak 360 olduğuna göre: • 360 ’ta olan asal çarpanların dışına çıkamayız (yoksa EKOK büyür). • 45 ’te 2 çarpanı olmadığı için, EKOK’ta görülen 2 kuvveti tamamen n ’den gelmelidir. n = 2 3 ⋅ 3 a ⋅ 5 b 0 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 1 Bir de n ’nin 120 ’nin katı olduğunu bulmuştuk. Bu da n ’nin içinde en az şu çarpanların bulunması demektir: 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 Buradan: • 3 en az bir tane olmalı, yani a en az 1. • 5 kesin olmalı, yani b 1 olmalı. a ≥ 1, b = 1 En küçük n için a ’yı en küçük seçeriz: a = 1, b = 1 n = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 Kontrol edelim: EKOK ( 120, 45 ) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360 Sonuç: Doğru cevap A ’dır. n = 120

Çözüm: Önce tam bölünme koşulunu kullanırız. Pozitif sayı hem aşağıdaki iki sayıya tam bölündüğüne göre, bu iki sayının EKOK’una da tam bölünmelidir. n: 24 = 0, n: 30 = 0 Bu yüzden önce EKOK ( 24, 30 ) bulalım. Bunun için asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2 3 ⋅ 3 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 EKOK alınırken her asalın en büyük üssü seçilir: EKOK ( 24, 30 ) = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 Dolayısıyla n bu sayının katıdır: n = 120 ⋅ k k ∈ Z + Şimdi ikinci koşulu kullanalım. n ile 45 ’in EKOK’u 360 verilmiş: EKOK ( n, 45 ) = 360 Asal çarpanlarına ayıralım: 45 = 3 2 ⋅ 5 360 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EKOK ( n, 45 ) tam olarak 360 olduğuna göre: • 360 ’ta olan asal çarpanların dışına çıkamayız (yoksa EKOK büyür). • 45 ’te 2 çarpanı olmadığı için, EKOK’ta görülen 2 kuvveti tamamen n ’den gelmelidir. n = 2 3 ⋅ 3 a ⋅ 5 b 0 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 1 Bir de n ’nin 120 ’nin katı olduğunu bulmuştuk. Bu da n ’nin içinde en az şu çarpanların bulunması demektir: 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 Buradan: • 3 en az bir tane olmalı, yani a en az 1. • 5 kesin olmalı, yani b 1 olmalı. a ≥ 1, b = 1 En küçük n için a ’yı en küçük seçeriz: a = 1, b = 1 n = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 Kontrol edelim: EKOK ( 120, 45 ) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360 Sonuç: Doğru cevap A ’dır. n = 120

Önce tam bölünme koşulunu kullanırız. Pozitif sayı hemaşağıdaki iki sayıya tam bölündüğüne göre, bu iki sayının EKOK’una da tam bölünmelidir.

n : 24 = 0, n : 30 = 0

Bu yüzdenönceEKOK(24,30)bulalım. Bunun için asal çarpanlarına ayıralım:

24 = 2^{3} \cdot 3

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

EKOK alınırken her asalın en büyük üssü seçilir:

EKOK (24, 30) = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120

Dolayısıyla n bu sayının katıdır:

n = 120 \cdot k

k \in Z^{+}

Şimdi ikinci koşulu kullanalım. n ile 45’in EKOK’u 360 verilmiş:

EKOK (n, 45) = 360

Asal çarpanlarına ayıralım:

45 = 3^{2} \cdot 5

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

EKOK(n,45)tam olarak360 olduğuna göre:

• 360’ta olan asal çarpanların dışına çıkamayız (yoksa EKOK büyür).

• 45’te 2 çarpanı olmadığı için, EKOK’ta görülen 2 kuvveti tamamen n’den gelmelidir.

n = 2^{3} \cdot 3^{a} \cdot 5^{b}

0 \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 1

Bir de n’nin 120’nin katı olduğunu bulmuştuk. Bu da n’nin içinde en az şu çarpanların bulunması demektir:

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

Buradan:

• 3 en az bir tane olmalı, yani a en az 1.

• 5 kesin olmalı, yani b1 olmalı.

a \geq 1, b = 1

En küçük n için a’yı en küçük seçeriz:

a = 1, b = 1

n = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120

Kontrol edelim:

EKOK (120, 45) = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 360

Sonuç: Doğru cevapA’dır.

n = 120

10. SoruÇoktan Seçmeli

EBOB'u $18$ ve EKOK'u $1260$ olan iki doğal sayının en küçük olası toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenler: EBOB = 18 EKOK = 1260 İki doğal sayıyı, EBOB ortak çarpanı olacak şekilde yazalım: a = 18 · x b = 18 · y Bu durumda ortak bölenin tam olarak on sekiz olabilmesi için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) 18 · x · 18 · y = 18 · 1260 Her iki tarafı on sekiz ile sadeleştirince: 18 · x · y = 1260 x · y = 1260 18 x · y = 70 Ayrıca x ve y aralarında asal olmalı. Çarpımları yetmiş olan aralarında asal ikilileri bulalım: 70 = 2 · 5 · 7 Aralarında asal çarpan çiftleri (ortak asal çarpan paylaşmayacak şekilde): ( x, y ) ∈ { ( 1, 70 ), ( 2, 35 ), ( 5, 14 ), ( 7, 10 ) } Toplam en küçük olsun diye x+y en küçük olmalı. Her ikili için toplamı hesaplayalım: 1 + 70 = 71 2 + 35 = 37 5 + 14 = 19 7 + 10 = 17 En küçük toplam on yedi olduğundan: a + b = 18 · ( x + y ) a + b = 18 · 17 a + b = 306 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Verilenler: EBOB = 18 EKOK = 1260 İki doğal sayıyı, EBOB ortak çarpanı olacak şekilde yazalım: a = 18 · x b = 18 · y Bu durumda ortak bölenin tam olarak on sekiz olabilmesi için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) 18 · x · 18 · y = 18 · 1260 Her iki tarafı on sekiz ile sadeleştirince: 18 · x · y = 1260 x · y = 1260 18 x · y = 70 Ayrıca x ve y aralarında asal olmalı. Çarpımları yetmiş olan aralarında asal ikilileri bulalım: 70 = 2 · 5 · 7 Aralarında asal çarpan çiftleri (ortak asal çarpan paylaşmayacak şekilde): ( x, y ) ∈ { ( 1, 70 ), ( 2, 35 ), ( 5, 14 ), ( 7, 10 ) } Toplam en küçük olsun diye x+y en küçük olmalı. Her ikili için toplamı hesaplayalım: 1 + 70 = 71 2 + 35 = 37 5 + 14 = 19 7 + 10 = 17 En küçük toplam on yedi olduğundan: a + b = 18 · ( x + y ) a + b = 18 · 17 a + b = 306 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Verilenler:

EBOB = 18

EKOK = 1260

İki doğal sayıyı, EBOB ortak çarpanı olacak şekilde yazalım:

a = 18 \cdot x

b = 18 \cdot y

Bu durumda ortak bölenin tam olarak on sekiz olabilmesi için:

EBOB (x, y) = 1

EKOK bağıntısını kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

18 \cdot x \cdot 18 \cdot y = 18 \cdot 1260

Her iki tarafı on sekiz ile sadeleştirince:

18 \cdot x \cdot y = 1260

x \cdot y = \frac{1260}{18}

x \cdot y = 70

Ayrıca x ve y aralarında asal olmalı. Çarpımları yetmiş olan aralarında asal ikilileri bulalım:

70 = 2 \cdot 5 \cdot 7

Aralarında asal çarpan çiftleri (ortak asal çarpan paylaşmayacak şekilde):

(x, y) \in {(1, 70), (2, 35), (5, 14), (7, 10)}

Toplam en küçük olsun diye x+y en küçük olmalı. Her ikili için toplamı hesaplayalım:

1 + 70 = 71

2 + 35 = 37

5 + 14 = 19

7 + 10 = 17

En küçük toplam on yedi olduğundan:

a + b = 18 \cdot (x + y)

a + b = 18 \cdot 17

a + b = 306

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

EBOB hangi problemlerde kullanılır?

Sayıları eşit ve en büyük parçalara ayırma veya ortak ölçü bulma problemlerinde EBOB kullanılır.

EKOK hangi problemlerde kullanılır?

Farklı aralıklarla tekrarlanan olayların aynı anda gerçekleşeceği zamanı bulma problemlerinde EKOK kullanılır.

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

Sayı asal çarpanlarına ayrılır ve çarpanların uygun üsleri kullanılarak pozitif bölenler belirlenir.

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

Asal Çarpanlar ve Bölenler

EBOB ve EKOK Problemleri

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?n mod 12=0n mod 18=0(n+1) mod 5=0

İki doğal sayının EBOB=12 ve EKOK=360 olduğuna göre, sayılardan biri 60 ise diğer sayı kaçtır?

Bir doğal sayı 24 ve 36 ile bölündüğünde her iki durumda da kalan 6 oluyor.Bu sayı 100'den küçüktür. Buna göre bu sayının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Bir doğal sayı n, 72 ve 120 sayılarının ortak bölenidir ve n'nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3'tür. n'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

x ve y doğal sayıları için x<y olmak üzere:EBOB(x,y)=12 ve EKOK(x,y)=420.Buna göre kaç farklı (x,y) çifti vardır?

EBOB'u 12 ve EKOK'u 420 olan iki doğal sayının toplamı en küçük kaçtır?

En küçük doğal sayı n, 12 ve 18 sayılarının ortak katıdır, 24’ün katı değildir ve pozitif bölen sayısı 12’dir. n kaçtır?

EBOB'u 15 ve EKOK'u 360 olan iki doğal sayıdan biri 45 ise diğer sayı kaçtır?

Pozitif n tam sayısı hem 24 hem 30 ile tam bölünüyor.Ayrıca n ile 45'in EKOK'u 360'dır.Buna göre n'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

EBOB'u 18 ve EKOK'u 1260 olan iki doğal sayının en küçük olası toplamı kaçtır?

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?
$n mod 12 = 0$
$n mod 18 = 0$
$(n + 1) mod 5 = 0$

İki doğal sayının $EBOB = 12$ ve $EKOK = 360$ olduğuna göre, sayılardan biri $60$ ise diğer sayı kaçtır?

Bir doğal sayı $24$ ve $36$ ile bölündüğünde her iki durumda da kalan $6$ oluyor.
Bu sayı $100$ 'den küçüktür. Buna göre bu sayının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Bir doğal sayı $n$ , $72$ ve $120$ sayılarının ortak bölenidir ve $n$ 'nin asal çarpanları yalnızca $2$ ve $3$ 'tür. $n$ 'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

$x$ ve $y$ doğal sayıları için $x < y$ olmak üzere:
$EBOB (x, y) = 12$ ve $EKOK (x, y) = 420$ .
Buna göre kaç farklı $(x, y)$ çifti vardır?

EBOB'u $12$ ve EKOK'u $420$ olan iki doğal sayının toplamı en küçük kaçtır?

En küçük doğal sayı $n$ , $12$ ve $18$ sayılarının ortak katıdır, $24$ ’ün katı değildir ve pozitif bölen sayısı $12$ ’dir. $n$ kaçtır?

EBOB'u $15$ ve EKOK'u $360$ olan iki doğal sayıdan biri $45$ ise diğer sayı kaçtır?

Pozitif $n$ tam sayısı hem $24$ hem $30$ ile tam bölünüyor.
Ayrıca $n$ ile $45$ 'in EKOK'u $360$ 'dır.
Buna göre $n$ 'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

EBOB'u $18$ ve EKOK'u $1260$ olan iki doğal sayının en küçük olası toplamı kaçtır?