8. Sınıf Matematik

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

8. sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar testleri; asal sayıları, asal çarpanlara ayırmayı, pozitif bölenleri, ortak bölen ve ortak katları pekiştirir. Sorularda EBOB ile EKOK'un hangi problem türünde kullanılacağını doğru belirlemek önemlidir.

Asal Çarpanlar ve Bölenler

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, sayının bölenlerini ve çarpan ilişkilerini görmeyi kolaylaştırır. Pozitif bölen sayısı bulunurken asal çarpanların üslerinden yararlanılır.

EBOB ve EKOK Problemleri

EBOB ortak parçalara ayırma ve en büyük ortak ölçüyü bulma problemlerinde; EKOK ise birlikte tekrar eden olayların ne zaman buluşacağını belirlemede kullanılır. 8. Sınıf sorularında verilen sayıların ortak bölen mi yoksa ortak kat mı gerektirdiğine dikkat et.

Test seç

16 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test

11. Test

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusu 11. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$m$ ve $n$ doğal sayılarının EBOB'u $24$ ve EKOK'u $840$ olduğuna göre, $m$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $1$ ise $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Şık kontrolü (A mı?): Bulacağımız n değeri 168 çıkarsa doğru cevap D58 olacaktır. 2) EBOB–EKOK bağıntısı: Doğal sayılar için m · n = EBOB ( m, n ) · EKOK ( m, n ) Verilenleri yerine yazalım: m · n = 24 · 840 = 20160 3) EBOB'u kullanarak sayıları çarpanlara ayıralım: EBOB 24 olduğundan m = 24 a, n = 24 b, EBOB ( a, b ) = 1 4) EKOK bilgisinden a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım: EKOK ( m, n ) = 24 a b = 840 a b = 840 24 = 35 5) a ve b aralarında asal olduğuna göre 35’in aralarında asal çarpan çiftleri: ( a, b ) = ( 1, 35 ), ( 5, 7 ), ( 7, 5 ), ( 35, 1 ) 6) Kalan şartını kullanalım: Verilen koşul: m ≡ 1 ( mod 7 ) Ama m = 24 a Önce 24 ’ün 7 ile bölümünden kalanı bulalım: 24 ≡ 3 ( mod 7 ) O hâlde m = 24 a ≡ 3 a ( mod 7 ) Verilen koşula göre 3 a ≡ 1 ( mod 7 ) Bu eşitliği sağlayan a değerini seçenek çiftlerinden denetleyelim. Çiftlerdeki a adayları: a ∈ { 1, 5, 7, 35 } Kontrol: 3 · 5 = 15 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla a = 5 ⇒ b = 7 7) n sayısını bulalım: n = 24 b = 24 · 7 = 168 Sonuç: n değeri 168 olduğundan doğru cevap D1014 ’dır.

Çözüm: 1) Şık kontrolü (A mı?): Bulacağımız n değeri 168 çıkarsa doğru cevap D58 olacaktır. 2) EBOB–EKOK bağıntısı: Doğal sayılar için m · n = EBOB ( m, n ) · EKOK ( m, n ) Verilenleri yerine yazalım: m · n = 24 · 840 = 20160 3) EBOB'u kullanarak sayıları çarpanlara ayıralım: EBOB 24 olduğundan m = 24 a, n = 24 b, EBOB ( a, b ) = 1 4) EKOK bilgisinden a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım: EKOK ( m, n ) = 24 a b = 840 a b = 840 24 = 35 5) a ve b aralarında asal olduğuna göre 35’in aralarında asal çarpan çiftleri: ( a, b ) = ( 1, 35 ), ( 5, 7 ), ( 7, 5 ), ( 35, 1 ) 6) Kalan şartını kullanalım: Verilen koşul: m ≡ 1 ( mod 7 ) Ama m = 24 a Önce 24 ’ün 7 ile bölümünden kalanı bulalım: 24 ≡ 3 ( mod 7 ) O hâlde m = 24 a ≡ 3 a ( mod 7 ) Verilen koşula göre 3 a ≡ 1 ( mod 7 ) Bu eşitliği sağlayan a değerini seçenek çiftlerinden denetleyelim. Çiftlerdeki a adayları: a ∈ { 1, 5, 7, 35 } Kontrol: 3 · 5 = 15 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla a = 5 ⇒ b = 7 7) n sayısını bulalım: n = 24 b = 24 · 7 = 168 Sonuç: n değeri 168 olduğundan doğru cevap D1014 ’dır.

1) Şık kontrolü (A mı?):
Bulacağımız n değeri 168 çıkarsa doğru cevap A olacaktır.

2) EBOB–EKOK bağıntısı:
Doğal sayılar için

m \cdot n = EBOB (m, n) \cdot EKOK (m, n)

Verilenleri yerine yazalım:

m \cdot n = 24 \cdot 840 = 20160

3) EBOB'u kullanarak sayıları çarpanlara ayıralım:
EBOB

24

olduğundan

m = 24 a, n = 24 b, EBOB (a, b) = 1

4) EKOK bilgisindena ve b arasındaki ilişkiyi bulalım:

EKOK (m, n) = 24 a b = 840

a b = \frac{840}{24} = 35

5) a ve b aralarında asal olduğuna göre 35’in aralarında asal çarpan çiftleri:

(a, b) = (1, 35), (5, 7), (7, 5), (35, 1)

6) Kalan şartını kullanalım:
Verilen koşul:

m \equiv 1 (mod 7)

Ama

m = 24 a

Önce

24

’ün

7

ile bölümünden kalanı bulalım:

24 \equiv 3 (mod 7)

O hâlde

m = 24 a \equiv 3 a (mod 7)

Verilen koşula göre

3 a \equiv 1 (mod 7)

Bu eşitliği sağlayan

a

değerini seçenek çiftlerinden denetleyelim. Çiftlerdeki

a

adayları:

a \in {1, 5, 7, 35}

Kontrol:

3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 (mod 7)

Dolayısıyla

a = 5 \Rightarrow b = 7

7) n sayısını bulalım:

n = 24 b = 24 \cdot 7 = 168

Sonuç:n değeri 168 olduğundan doğru cevap A’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar a ve b için EBOB $(a, b) = 12$ ve EKOK $(a, b) = 420$ olduğuna göre $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

İki pozitif tam sayı $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 21$
$EKOK (a, b) = 420$
olduğuna göre $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Kontrol: Verilen koşullarla toplamın en küçük değeri şıklardan B olur. 1) İki pozitif tam sayı için temel bağıntıyı kullanalım: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) 2) Verileri yerine yazalım: a ⋅ b = 21 ⋅ 420 = 8820 3) EBOB 21 olduğuna göre sayıları 21’in katı şeklinde yazalım: a = 21 x b = 21 y Bu durumda ortak bölenin tam olarak 21 kalması için EBOB ( x, y ) = 1 4) EKOK bilgisini kullanalım. Ortak bölen 1 iken EKOK şu olur: EKOK ( a, b ) = 21 x y Verilen EKOK 420 olduğuna göre: 21 x y = 420 x y = 20 5) Şimdi çarpımı 20 olan ve aralarında asal olan (x, y) ikililerini bulalım: 20 = 1 ⋅ 20 20 = 2 ⋅ 10 20 = 4 ⋅ 5 Aralarında asal olma şartını kontrol edelim: EBOB ( 1, 20 ) = 1 EBOB ( 2, 10 ) = 2 EBOB ( 4, 5 ) = 1 Bu yüzden uygun ikililer: ( x, y ) = ( 1, 20 ) ( x, y ) = ( 4, 5 ) 6) Toplamı hesaplayalım. Birinci durum: a + b = 21 x + 21 y = 21 ( x + y ) = 21 ( 1 + 20 ) = 441 İkinci durum: a + b = 21 ( 4 + 5 ) = 189 7) En küçük toplam: min ( a + b ) = 189 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: Kontrol: Verilen koşullarla toplamın en küçük değeri şıklardan B olur. 1) İki pozitif tam sayı için temel bağıntıyı kullanalım: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) 2) Verileri yerine yazalım: a ⋅ b = 21 ⋅ 420 = 8820 3) EBOB 21 olduğuna göre sayıları 21’in katı şeklinde yazalım: a = 21 x b = 21 y Bu durumda ortak bölenin tam olarak 21 kalması için EBOB ( x, y ) = 1 4) EKOK bilgisini kullanalım. Ortak bölen 1 iken EKOK şu olur: EKOK ( a, b ) = 21 x y Verilen EKOK 420 olduğuna göre: 21 x y = 420 x y = 20 5) Şimdi çarpımı 20 olan ve aralarında asal olan (x, y) ikililerini bulalım: 20 = 1 ⋅ 20 20 = 2 ⋅ 10 20 = 4 ⋅ 5 Aralarında asal olma şartını kontrol edelim: EBOB ( 1, 20 ) = 1 EBOB ( 2, 10 ) = 2 EBOB ( 4, 5 ) = 1 Bu yüzden uygun ikililer: ( x, y ) = ( 1, 20 ) ( x, y ) = ( 4, 5 ) 6) Toplamı hesaplayalım. Birinci durum: a + b = 21 x + 21 y = 21 ( x + y ) = 21 ( 1 + 20 ) = 441 İkinci durum: a + b = 21 ( 4 + 5 ) = 189 7) En küçük toplam: min ( a + b ) = 189 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

Kontrol: Verilen koşullarla toplamın en küçük değeri şıklardan B olur.

1) İki pozitif tam sayı için temel bağıntıyı kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

2) Verileri yerine yazalım:

a \cdot b = 21 \cdot 420 = 8820

3) EBOB 21 olduğuna göre sayıları 21’in katı şeklinde yazalım:

a = 21 x

b = 21 y

Bu durumda ortak bölenin tam olarak 21 kalması için

EBOB (x, y) = 1

4) EKOK bilgisini kullanalım. Ortak bölen 1 iken EKOK şu olur:

EKOK (a, b) = 21 x y

Verilen EKOK 420 olduğuna göre:

21 x y = 420

x y = 20

5) Şimdi çarpımı 20 olan ve aralarında asal olan (x, y) ikililerini bulalım:

20 = 1 \cdot 20

20 = 2 \cdot 10

20 = 4 \cdot 5

Aralarında asal olma şartını kontrol edelim:

EBOB (1, 20) = 1

EBOB (2, 10) = 2

EBOB (4, 5) = 1

Bu yüzden uygun ikililer:

(x, y) = (1, 20)

(x, y) = (4, 5)

6) Toplamı hesaplayalım.

Birinci durum:

a + b = 21 x + 21 y = 21 (x + y) = 21 (1 + 20) = 441

İkinci durum:

a + b = 21 (4 + 5) = 189

7) En küçük toplam:

\min (a + b) = 189

Dolayısıyla doğru seçenek B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$EBOB (a, b) = 18$ , $EKOK (a, b) = 360$ ve $| a - b | = 18$ olduğuna göre küçük sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?
$\gcd (x, 84) = 12$
$lcm (x, 84) = 420$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

$n$ doğal sayısı $8$ ve $12$ ile bölündüğünde kalan $6$ , $15$ ile bölündüğünde kalan $12$ oluyor.
$n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif $n$ sayısı hem $12$ hem de $18$ sayılarının katıdır.
Ayrıca $n$ sayısı $20$ ile bölündüğünde kalan $8$ oluyor.
Buna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce ortak kat olma koşulundan başlayalım. Aranan sayı, verilen iki sayının en küçük ortak katına eşit ya da onun katı olmalıdır. İki sayının en küçük ortak katını bulalım: EKOK ( 12, 18 ) = 36 Bu yüzden aranan sayı aşağıdaki biçimdedir: n = 36 k k > 0 ve k bir tam sayıdır Şimdi bölme koşulunu kullanalım. Kalan koşulu şu şekilde yazılır: n ≡ 8 ( mod 20 ) n = 36 k yazdığımız için yerine koyup çözelim: 36 k ≡ 8 ( mod 20 ) Sol tarafta 36 sayısını 20 ile bölümünden kalan ile sadeleştirelim: 36 ≡ 16 ( mod 20 ) Böylece denklem: 16 k ≡ 8 ( mod 20 ) Her iki tarafı ortak bölenle sadeleştirebiliriz. Çünkü: EBOB ( 16, 20 ) = 4 Bu nedenle tüm tarafları 4 ile bölelim: 4 k ≡ 2 ( mod 5 ) Şimdi 4 sayısının mod 5 tersini kullanalım. Çünkü: 4 ≡ - 1 ( mod 5 ) Bu yüzden: - k ≡ 2 ( mod 5 ) Her iki tarafı - 1 ile çarparsak: k ≡ - 2 ( mod 5 ) Bu da: k ≡ 3 ( mod 5 ) En küçük pozitif çözüm için: k = 3 O hâlde: n = 36 × 3 = 108 Sonuç olarak doğru cevap B seçeneğidir.

Çözüm: Önce ortak kat olma koşulundan başlayalım. Aranan sayı, verilen iki sayının en küçük ortak katına eşit ya da onun katı olmalıdır. İki sayının en küçük ortak katını bulalım: EKOK ( 12, 18 ) = 36 Bu yüzden aranan sayı aşağıdaki biçimdedir: n = 36 k k > 0 ve k bir tam sayıdır Şimdi bölme koşulunu kullanalım. Kalan koşulu şu şekilde yazılır: n ≡ 8 ( mod 20 ) n = 36 k yazdığımız için yerine koyup çözelim: 36 k ≡ 8 ( mod 20 ) Sol tarafta 36 sayısını 20 ile bölümünden kalan ile sadeleştirelim: 36 ≡ 16 ( mod 20 ) Böylece denklem: 16 k ≡ 8 ( mod 20 ) Her iki tarafı ortak bölenle sadeleştirebiliriz. Çünkü: EBOB ( 16, 20 ) = 4 Bu nedenle tüm tarafları 4 ile bölelim: 4 k ≡ 2 ( mod 5 ) Şimdi 4 sayısının mod 5 tersini kullanalım. Çünkü: 4 ≡ - 1 ( mod 5 ) Bu yüzden: - k ≡ 2 ( mod 5 ) Her iki tarafı - 1 ile çarparsak: k ≡ - 2 ( mod 5 ) Bu da: k ≡ 3 ( mod 5 ) En küçük pozitif çözüm için: k = 3 O hâlde: n = 36 × 3 = 108 Sonuç olarak doğru cevap B seçeneğidir.

Önce ortak kat olma koşulundan başlayalım. Aranan sayı, verilen iki sayının en küçük ortak katına eşit ya da onun katı olmalıdır.

İki sayının en küçük ortak katını bulalım:

EKOK (12, 18) = 36

Bu yüzden aranan sayı aşağıdaki biçimdedir:

n = 36 k

k > 0 ve k bir tam sayıdır

Şimdi bölme koşulunu kullanalım. Kalan koşulu şu şekilde yazılır:

n \equiv 8 (mod 20)

$n = 36 k$ yazdığımız için yerine koyup çözelim:

36 k \equiv 8 (mod 20)

Sol tarafta $36$ sayısını $20$ ile bölümünden kalan ile sadeleştirelim:

36 \equiv 16 (mod 20)

Böylece denklem:

16 k \equiv 8 (mod 20)

Her iki tarafı ortak bölenle sadeleştirebiliriz. Çünkü:

EBOB (16, 20) = 4

Bu nedenle tüm tarafları $4$ ile bölelim:

4 k \equiv 2 (mod 5)

Şimdi $4$ sayısının mod $5$ tersini kullanalım. Çünkü:

4 \equiv - 1 (mod 5)

Bu yüzden:

- k \equiv 2 (mod 5)

Her iki tarafı $- 1$ ile çarparsak:

k \equiv - 2 (mod 5)

Bu da:

k \equiv 3 (mod 5)

En küçük pozitif çözüm için:

k = 3

O hâlde:

n = 36 \times 3 = 108

Sonuç olarak doğru cevap B seçeneğidir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutudaki kalemler $12$ şer, $15$ er veya $18$ erli paketlere ayrıldığında hiç kalem artmıyor.
Kutudaki kalem sayısı $200$ sayısından küçüktür.
Buna göre kutuda en fazla kaç kalem vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Kutudaki kalem sayısı, aşağıdaki paket büyüklüklerine göre hiç artmayacak şekilde ayrılabildiğine göre bu sayı her birine tam bölünmelidir: 12, 15, 18 Yani aranan sayı, bu sayıların ortak katıdır. En büyük değeri bulmak için önce bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. Asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 15 = 3 · 5 18 = 2 · 3 2 EKOK için her asal çarpanın en büyük kuvvetini alırız: EKOK ( 12, 15, 18 ) = 2 2 · 3 2 · 5 = 180 Kutudaki kalem sayısı bu EKOK’un katı olmalı ve ayrıca şu koşulu sağlamalıdır: kalem < 200 Bu durumda 180 sayısının katlarını kontrol edelim. Bir sonraki kat: 2 · 180 = 360 Bu değer 200 ’den küçük olmadığı için 200 ’den küçük en büyük ortak kat: 180 Bölünebildiğini de gösterelim: 180 ÷ 12 = 15 180 ÷ 15 = 12 180 ÷ 18 = 10 Sonuç olarak en fazla kalem sayısı 180 olur. Bu da C şıkkıdır; yani C doğrudur.

Çözüm: Kutudaki kalem sayısı, aşağıdaki paket büyüklüklerine göre hiç artmayacak şekilde ayrılabildiğine göre bu sayı her birine tam bölünmelidir: 12, 15, 18 Yani aranan sayı, bu sayıların ortak katıdır. En büyük değeri bulmak için önce bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. Asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 15 = 3 · 5 18 = 2 · 3 2 EKOK için her asal çarpanın en büyük kuvvetini alırız: EKOK ( 12, 15, 18 ) = 2 2 · 3 2 · 5 = 180 Kutudaki kalem sayısı bu EKOK’un katı olmalı ve ayrıca şu koşulu sağlamalıdır: kalem < 200 Bu durumda 180 sayısının katlarını kontrol edelim. Bir sonraki kat: 2 · 180 = 360 Bu değer 200 ’den küçük olmadığı için 200 ’den küçük en büyük ortak kat: 180 Bölünebildiğini de gösterelim: 180 ÷ 12 = 15 180 ÷ 15 = 12 180 ÷ 18 = 10 Sonuç olarak en fazla kalem sayısı 180 olur. Bu da C şıkkıdır; yani C doğrudur.

Kutudaki kalem sayısı, aşağıdaki paket büyüklüklerine göre hiç artmayacak şekilde ayrılabildiğine göre bu sayı her birine tam bölünmelidir:

12, 15, 18

Yani aranan sayı, bu sayıların ortak katıdır. En büyük değeri bulmak için önce bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.

Asal çarpanlarına ayıralım:

12 = 2^{2} \cdot 3

15 = 3 \cdot 5

18 = 2 \cdot 3^{2}

EKOK için her asal çarpanın en büyük kuvvetini alırız:

EKOK (12, 15, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 180

Kutudaki kalem sayısı bu EKOK’un katı olmalı ve ayrıca şu koşulu sağlamalıdır:

kalem < 200

Bu durumda $180$ sayısının katlarını kontrol edelim. Bir sonraki kat:

2 \cdot 180 = 360

Bu değer $200$ ’den küçük olmadığı için $200$ ’den küçük en büyük ortak kat:

180

Bölünebildiğini de gösterelim:

180 \div 12 = 15

180 \div 15 = 12

180 \div 18 = 10

Sonuç olarak en fazla kalem sayısı $180$ olur. Bu da C şıkkıdır; yani C doğrudur.

9. SoruÇoktan Seçmeli

İki doğal sayının EBOB'u $18$ , EKOK'u $1260$ ’tır. Sayılardan $a$ sayısı $45$ ile tam bölünmektedir. $a$ ’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenlerden iki doğal sayı için çarpım ilişkisini kullanalım: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) EBOB ve EKOK değerlerini yerleştirip çarpımı bulalım: a × b = 18 × 1260 = 22680 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şöyle yazalım: a = 18 x, b = 18 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK bağıntısından: EKOK ( a, b ) = 18 x y = 1260 x y = 1260 18 = 70 Ayrıca a sayısı 45 ile tam bölündüğü için asal çarpanları inceleyelim: 18 = 2 × 3 2 45 = 3 2 × 5 a = 18x olduğuna göre 18 içinde 3 kuvveti zaten var; 45 ile bölünebilmesi için x mutlaka 5 çarpanını içermelidir: a = 18 x ≡ 0 ( mod 45 ) ⇒ 5 ∣ x xy = 70 ve EBOB(x,y)=1 olduğundan, x sayısı 70 ’in böleni olup 5 içermelidir. Uygun x değerleri: x ∈ { 5, 10, 35, 70 } Her birinde y=70/x olup aralarında asal olma şartını kontrol edelim: x = 5 ⇒ y = 14, EBOB ( 5, 14 ) = 1 x = 10 ⇒ y = 7, EBOB ( 10, 7 ) = 1 x = 35 ⇒ y = 2, EBOB ( 35, 2 ) = 1 x = 70 ⇒ y = 1, EBOB ( 70, 1 ) = 1 Şimdi a = 18x değerlerini bulalım ve en küçüğünü seçelim: x = 5 ⇒ a = 18 × 5 = 90 x = 10 ⇒ a = 180 x = 35 ⇒ a = 630 x = 70 ⇒ a = 1260 En küçük değer: a = 90 Dolayısıyla doğru seçenek D1233 ’dır; verilen cevap anahtarı A doğru.

Çözüm: Verilenlerden iki doğal sayı için çarpım ilişkisini kullanalım: a × b = EBOB ( a, b ) × EKOK ( a, b ) EBOB ve EKOK değerlerini yerleştirip çarpımı bulalım: a × b = 18 × 1260 = 22680 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şöyle yazalım: a = 18 x, b = 18 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK bağıntısından: EKOK ( a, b ) = 18 x y = 1260 x y = 1260 18 = 70 Ayrıca a sayısı 45 ile tam bölündüğü için asal çarpanları inceleyelim: 18 = 2 × 3 2 45 = 3 2 × 5 a = 18x olduğuna göre 18 içinde 3 kuvveti zaten var; 45 ile bölünebilmesi için x mutlaka 5 çarpanını içermelidir: a = 18 x ≡ 0 ( mod 45 ) ⇒ 5 ∣ x xy = 70 ve EBOB(x,y)=1 olduğundan, x sayısı 70 ’in böleni olup 5 içermelidir. Uygun x değerleri: x ∈ { 5, 10, 35, 70 } Her birinde y=70/x olup aralarında asal olma şartını kontrol edelim: x = 5 ⇒ y = 14, EBOB ( 5, 14 ) = 1 x = 10 ⇒ y = 7, EBOB ( 10, 7 ) = 1 x = 35 ⇒ y = 2, EBOB ( 35, 2 ) = 1 x = 70 ⇒ y = 1, EBOB ( 70, 1 ) = 1 Şimdi a = 18x değerlerini bulalım ve en küçüğünü seçelim: x = 5 ⇒ a = 18 × 5 = 90 x = 10 ⇒ a = 180 x = 35 ⇒ a = 630 x = 70 ⇒ a = 1260 En küçük değer: a = 90 Dolayısıyla doğru seçenek D1233 ’dır; verilen cevap anahtarı A doğru.

Verilenlerden iki doğal sayı için çarpım ilişkisini kullanalım:

a \times b = EBOB (a, b) \times EKOK (a, b)

EBOB ve EKOK değerlerini yerleştirip çarpımı bulalım:

a \times b = 18 \times 1260 = 22680

EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şöyle yazalım:

a = 18 x, b = 18 y, EBOB (x, y) = 1

Bu durumda EKOK bağıntısından:

EKOK (a, b) = 18 x y = 1260

x y = \frac{1260}{18} = 70

Ayrıca a sayısı 45 ile tam bölündüğü için asal çarpanları inceleyelim:

18 = 2 \times 3^{2}

45 = 3^{2} \times 5

a = 18x olduğuna göre 18 içinde 3 kuvveti zaten var; 45 ile bölünebilmesi için x mutlaka 5 çarpanını içermelidir:

a = 18 x \equiv 0 (mod 45) \Rightarrow 5 ∣ x

xy = 70 ve EBOB(x,y)=1 olduğundan, x sayısı 70’in böleni olup 5 içermelidir. Uygun x değerleri:

x \in {5, 10, 35, 70}

Her birinde y=70/x olup aralarında asal olma şartını kontrol edelim:

x = 5 \Rightarrow y = 14, EBOB (5, 14) = 1

x = 10 \Rightarrow y = 7, EBOB (10, 7) = 1

x = 35 \Rightarrow y = 2, EBOB (35, 2) = 1

x = 70 \Rightarrow y = 1, EBOB (70, 1) = 1

Şimdi a = 18x değerlerini bulalım ve en küçüğünü seçelim:

x = 5 \Rightarrow a = 18 \times 5 = 90

x = 10 \Rightarrow a = 180

x = 35 \Rightarrow a = 630

x = 70 \Rightarrow a = 1260

En küçük değer:

a = 90

Dolayısıyla doğru seçenek A’dır; verilen cevap anahtarı A doğru.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Hem $12$ ’ye hem $18$ ’e kalansız bölünen ve pozitif bölen sayısı $12$ olan en küçük doğal sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen sayı hem verilen iki sayıya kalansız bölünmelidir; bu yüzden önce bu iki sayının EKOK’unu buluruz. EKOK ( 12, 18 ) Asal çarpanlara ayıralım. 12 = 2 2 × 3 18 = 2 × 3 2 EKOK için her asalın en büyük üssünü alırız. EKOK = 2 2 × 3 2 = 36 O halde aradığımız sayı şu biçimdedir. n = 36 × k Ayrıca pozitif bölen sayısı verilen değere eşit olmalı. Bölen sayısı formülü için sayıyı asal çarpanlarına göre yazarız. 36 = 2 2 × 3 2 n = 2 a × 3 b (gerekirse başka asallar da olabilir) Buradan: a ≥ 2 ve b ≥ 2 Asal çarpanlara ayrılmış biçimde bölen sayısı: d ( n ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Bu değerin istenen sayı olması gerekir. ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 12 Şimdi hem koşulları sağlayan hem de sayıyı en küçük yapan üsleri deneriz. Çarpan çiftleri: 12 = 3 × 4 Bu durumda: a + 1 = 3 ⇒ a = 2 b + 1 = 4 ⇒ b = 3 veya a + 1 = 4 ⇒ a = 3 b + 1 = 3 ⇒ b = 2 Şimdi iki aday sayıyı hesaplayıp en küçüğünü seçeriz. n = 2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108 n = 2 3 × 3 2 = 8 × 9 = 72 En küçük değer: 72 Bu nedenle doğru cevap A1074 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen sayı hem verilen iki sayıya kalansız bölünmelidir; bu yüzden önce bu iki sayının EKOK’unu buluruz. EKOK ( 12, 18 ) Asal çarpanlara ayıralım. 12 = 2 2 × 3 18 = 2 × 3 2 EKOK için her asalın en büyük üssünü alırız. EKOK = 2 2 × 3 2 = 36 O halde aradığımız sayı şu biçimdedir. n = 36 × k Ayrıca pozitif bölen sayısı verilen değere eşit olmalı. Bölen sayısı formülü için sayıyı asal çarpanlarına göre yazarız. 36 = 2 2 × 3 2 n = 2 a × 3 b (gerekirse başka asallar da olabilir) Buradan: a ≥ 2 ve b ≥ 2 Asal çarpanlara ayrılmış biçimde bölen sayısı: d ( n ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Bu değerin istenen sayı olması gerekir. ( a + 1 ) ( b + 1 ) = 12 Şimdi hem koşulları sağlayan hem de sayıyı en küçük yapan üsleri deneriz. Çarpan çiftleri: 12 = 3 × 4 Bu durumda: a + 1 = 3 ⇒ a = 2 b + 1 = 4 ⇒ b = 3 veya a + 1 = 4 ⇒ a = 3 b + 1 = 3 ⇒ b = 2 Şimdi iki aday sayıyı hesaplayıp en küçüğünü seçeriz. n = 2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108 n = 2 3 × 3 2 = 8 × 9 = 72 En küçük değer: 72 Bu nedenle doğru cevap A1074 şıkkıdır.

Verilen sayı hem verilen iki sayıya kalansız bölünmelidir; bu yüzden önce bu iki sayının EKOK’unu buluruz.

EKOK (12, 18)

Asal çarpanlara ayıralım.

12 = 2^{2} \times 3

18 = 2 \times 3^{2}

EKOK için her asalın en büyük üssünü alırız.

EKOK = 2^{2} \times 3^{2} = 36

O halde aradığımız sayı şu biçimdedir.

n = 36 \times k

Ayrıca pozitif bölen sayısı verilen değere eşit olmalı. Bölen sayısı formülü için sayıyı asal çarpanlarına göre yazarız.

36 = 2^{2} \times 3^{2}

n = 2^{a} \times 3^{b} (gerekirse başka asallar da olabilir)

Buradan : a \geq 2 ve b \geq 2

Asal çarpanlara ayrılmış biçimde bölen sayısı:

d (n) = (a + 1) (b + 1)

Bu değerin istenen sayı olması gerekir.

(a + 1) (b + 1) = 12

Şimdi hem koşulları sağlayan hem de sayıyı en küçük yapan üsleri deneriz. Çarpan çiftleri:

12 = 3 \times 4

Bu durumda:

a + 1 = 3 \Rightarrow a = 2 b + 1 = 4 \Rightarrow b = 3

veya

a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3 b + 1 = 3 \Rightarrow b = 2

Şimdi iki aday sayıyı hesaplayıp en küçüğünü seçeriz.

n = 2^{2} \times 3^{3} = 4 \times 27 = 108

n = 2^{3} \times 3^{2} = 8 \times 9 = 72

En küçük değer:

72

Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

EBOB hangi problemlerde kullanılır?

Sayıları eşit ve en büyük parçalara ayırma veya ortak ölçü bulma problemlerinde EBOB kullanılır.

EKOK hangi problemlerde kullanılır?

Farklı aralıklarla tekrarlanan olayların aynı anda gerçekleşeceği zamanı bulma problemlerinde EKOK kullanılır.

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

Sayı asal çarpanlarına ayrılır ve çarpanların uygun üsleri kullanılarak pozitif bölenler belirlenir.

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

Asal Çarpanlar ve Bölenler

EBOB ve EKOK Problemleri

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

m ve n doğal sayılarının EBOB'u 24 ve EKOK'u 840 olduğuna göre, m sayısı 7 ile bölündüğünde kalan 1 ise n kaçtır?

Pozitif tam sayılar a ve b için EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=420 olduğuna göre a+b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

İki pozitif tam sayı a ve b içinEBOB(a,b)=21EKOK(a,b)=420olduğuna göre a+b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

EBOB(a,b)=18, EKOK(a,b)=360 ve |a-b|=18 olduğuna göre küçük sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı x kaçtır?gcd(x,84)=12lcm(x,84)=420

n doğal sayısı 8 ve 12 ile bölündüğünde kalan 6, 15 ile bölündüğünde kalan 12 oluyor.n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

En küçük pozitif n sayısı hem 12 hem de 18 sayılarının katıdır.Ayrıca n sayısı 20 ile bölündüğünde kalan 8 oluyor.Buna göre n kaçtır?

Bir kutudaki kalemler 12şer, 15er veya 18erli paketlere ayrıldığında hiç kalem artmıyor.Kutudaki kalem sayısı 200 sayısından küçüktür.Buna göre kutuda en fazla kaç kalem vardır?

İki doğal sayının EBOB'u 18, EKOK'u 1260’tır. Sayılardan a sayısı 45 ile tam bölünmektedir. a’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

Hem 12’ye hem 18’e kalansız bölünen ve pozitif bölen sayısı 12 olan en küçük doğal sayı kaçtır?

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

$m$ ve $n$ doğal sayılarının EBOB'u $24$ ve EKOK'u $840$ olduğuna göre, $m$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $1$ ise $n$ kaçtır?

Pozitif tam sayılar a ve b için EBOB $(a, b) = 12$ ve EKOK $(a, b) = 420$ olduğuna göre $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

İki pozitif tam sayı $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 21$
$EKOK (a, b) = 420$
olduğuna göre $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$EBOB (a, b) = 18$ , $EKOK (a, b) = 360$ ve $| a - b | = 18$ olduğuna göre küçük sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?
$\gcd (x, 84) = 12$
$lcm (x, 84) = 420$

$n$ doğal sayısı $8$ ve $12$ ile bölündüğünde kalan $6$ , $15$ ile bölündüğünde kalan $12$ oluyor.
$n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

En küçük pozitif $n$ sayısı hem $12$ hem de $18$ sayılarının katıdır.
Ayrıca $n$ sayısı $20$ ile bölündüğünde kalan $8$ oluyor.
Buna göre $n$ kaçtır?

Bir kutudaki kalemler $12$ şer, $15$ er veya $18$ erli paketlere ayrıldığında hiç kalem artmıyor.
Kutudaki kalem sayısı $200$ sayısından küçüktür.
Buna göre kutuda en fazla kaç kalem vardır?

İki doğal sayının EBOB'u $18$ , EKOK'u $1260$ ’tır. Sayılardan $a$ sayısı $45$ ile tam bölünmektedir. $a$ ’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

Hem $12$ ’ye hem $18$ ’e kalansız bölünen ve pozitif bölen sayısı $12$ olan en küçük doğal sayı kaçtır?