8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Doğru cevap: A

Önce sayıyı asal çarpanlarına göre üstel biçimde yazarız. N = 2 a × 3 b × 5 c Burada asal çarpanları verilenler olduğu için üsler pozitiftir. a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 Pozitif bölen sayısı formülünü kullanırız. d ( N ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) Verilen bölen sayısı ile eşitleriz. ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 36 Şimdi, çarpımı verilen sayıya eşit olan ve her biri en az iki olan üç çarpan buluruz. 36 = 6 × 3 × 2 36 = 4 × 3 × 3 36 = 9 × 2 × 2 En küçük değeri bulmak için büyük üssü küçük asal sayıya (ikiye), küçük üssü büyük asal sayıya (beşe) vermek avantajlıdır. Bu yüzden her ayrıştırmada en büyük çarpanı ikiye ait olana eşleriz. Birinci ayrıştırma: a + 1 = 6, b + 1 = 3, c + 1 = 2 a = 5, b = 2, c = 1 N = 2 5 × 3 2 × 5 1 = 1440 İkinci ayrıştırma: a + 1 = 4, b + 1 = 3, c + 1 = 3 a = 3, b = 2, c = 2 N = 2 3 × 3 2 × 5 2 = 1800 Üçüncü ayrıştırma: a + 1 = 9, b + 1 = 2, c + 1 = 2 a = 8, b = 1, c = 1 N = 2 8 × 3 1 × 5 1 = 3840 Bulunan değerleri karşılaştırırız. 1440 < 1800 < 3840 En küçük değer: N = 1440 Dolayısıyla doğru seçenek A’dır.

1. Çözüm: Önce sayıyı asal çarpanlarına göre üstel biçimde yazarız. N = 2 a × 3 b × 5 c Burada asal çarpanları verilenler olduğu için üsler pozitiftir. a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 Pozitif bölen sayısı formülünü kullanırız. d ( N ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) Verilen bölen sayısı ile eşitleriz. ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 36 Şimdi, çarpımı verilen sayıya eşit olan ve her biri en az iki olan üç çarpan buluruz. 36 = 6 × 3 × 2 36 = 4 × 3 × 3 36 = 9 × 2 × 2 En küçük değeri bulmak için büyük üssü küçük asal sayıya (ikiye), küçük üssü büyük asal sayıya (beşe) vermek avantajlıdır. Bu yüzden her ayrıştırmada en büyük çarpanı ikiye ait olana eşleriz. Birinci ayrıştırma: a + 1 = 6, b + 1 = 3, c + 1 = 2 a = 5, b = 2, c = 1 N = 2 5 × 3 2 × 5 1 = 1440 İkinci ayrıştırma: a + 1 = 4, b + 1 = 3, c + 1 = 3 a = 3, b = 2, c = 2 N = 2 3 × 3 2 × 5 2 = 1800 Üçüncü ayrıştırma: a + 1 = 9, b + 1 = 2, c + 1 = 2 a = 8, b = 1, c = 1 N = 2 8 × 3 1 × 5 1 = 3840 Bulunan değerleri karşılaştırırız. 1440 < 1800 < 3840 En küçük değer: N = 1440 Dolayısıyla doğru seçenek A’dır.

Doğru cevap: B

Verilenler: EBOB ve EKOK bilgileriyle şu temel ilişkiyi kullanacağız: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Burada a yerine n, b yerine 72 yazalım: n ⋅ 72 = EBOB ( n, 72 ) ⋅ EKOK ( n, 72 ) Verilen değerleri yerine koyalım: n ⋅ 72 = 24 ⋅ 360 Sağ tarafı çarpalım: n ⋅ 72 = 8640 Her iki tarafı 72 ’ye bölelim: n = 8640 72 Bölmeyi yapalım: n = 120 Sonuç: n = 120. Bu da B şıkkı dır; yani doğru cevap B.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ve EKOK bilgileriyle şu temel ilişkiyi kullanacağız: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Burada a yerine n, b yerine 72 yazalım: n ⋅ 72 = EBOB ( n, 72 ) ⋅ EKOK ( n, 72 ) Verilen değerleri yerine koyalım: n ⋅ 72 = 24 ⋅ 360 Sağ tarafı çarpalım: n ⋅ 72 = 8640 Her iki tarafı 72 ’ye bölelim: n = 8640 72 Bölmeyi yapalım: n = 120 Sonuç: n = 120. Bu da B şıkkı dır; yani doğru cevap B.

Doğru cevap: C

1) Önce EKOK bulalım: 24 = 2 3 ⋅ 3 36 = 2 2 ⋅ 3 2 EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 ⋅ 3 2 = 72 2) Bu yüzden sayı aşağıdaki biçimdedir: N = 72 k 3) İkinci koşula göre: N ≡ 9  (mod  15 ) Yerine koyarsak: 72 k ≡ 9  (mod  15 ) 4) Mod 15 altında sadeleştirelim: 72 ≡ 12  (mod  15 ) 12 k ≡ 9  (mod  15 ) Her iki tarafı 3 ile bölelim: 4 k ≡ 3  (mod  5 ) 5) Mod 5 altında 4 'ün tersi 4 'tür (çünkü 4·4=16≡1): 4 ⋅ 4 = 16 ≡ 1  (mod  5 ) Bu yüzden her iki tarafı 4 ile çarparız: k ≡ 4 ⋅ 3 = 12 ≡ 2  (mod  5 ) k = 5 t + 2 6) En küçük doğal sayı için t=0 alırız: k = 2 N = 72 ⋅ 2 = 144 7) Kontrol: 144 ÷ 24 = 6 144 ÷ 36 = 4 144 = 15 ⋅ 9 + 9 8) Sonuç: Doğru cevap C843 seçeneğidir. N = 144

1. Çözüm: 1) Önce EKOK bulalım: 24 = 2 3 ⋅ 3 36 = 2 2 ⋅ 3 2 EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 ⋅ 3 2 = 72 2) Bu yüzden sayı aşağıdaki biçimdedir: N = 72 k 3) İkinci koşula göre: N ≡ 9  (mod  15 ) Yerine koyarsak: 72 k ≡ 9  (mod  15 ) 4) Mod 15 altında sadeleştirelim: 72 ≡ 12  (mod  15 ) 12 k ≡ 9  (mod  15 ) Her iki tarafı 3 ile bölelim: 4 k ≡ 3  (mod  5 ) 5) Mod 5 altında 4 'ün tersi 4 'tür (çünkü 4·4=16≡1): 4 ⋅ 4 = 16 ≡ 1  (mod  5 ) Bu yüzden her iki tarafı 4 ile çarparız: k ≡ 4 ⋅ 3 = 12 ≡ 2  (mod  5 ) k = 5 t + 2 6) En küçük doğal sayı için t=0 alırız: k = 2 N = 72 ⋅ 2 = 144 7) Kontrol: 144 ÷ 24 = 6 144 ÷ 36 = 4 144 = 15 ⋅ 9 + 9 8) Sonuç: Doğru cevap C843 seçeneğidir. N = 144

Doğru cevap: D

Önce hem ortak kat olma şartı için EKOK bulalım. 24 = 2 3 × 3 36 = 2 2 × 3 2 EKOK, asal çarpanların en büyük üsleri alınarak bulunur. EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 × 3 2 = 72 O hâlde aranan sayı mutlaka 72 sayısının katıdır. Şimdi aralığı sağlayan katları yazalım: 500 < 72 × 7 = 504 72 × 8 = 576 72 × 9 = 648 72 × 10 = 720 72 × 11 = 792 72 × 12 = 864 > 800 Şimdi “ 54 sayısının katı değildir” şartını uygulayalım. Bunun için 72 ile 54 sayılarının birlikte katı olma durumunu bulalım. 72 = 2 3 × 3 2 54 = 2 × 3 3 EKOK ( 72, 54 ) = 2 3 × 3 3 = 216 Demek ki yazdığımız listede 216 sayısının katı olanlar, aynı zamanda 54 sayısının da katıdır ve çıkarılmalıdır. 216 × 3 = 648 Listede sadece 648 çıkarılır. Kalan değerler: 504, 576, 720, 792 Toplamları: 504 + 576 + 720 + 792 = 2592 Sonuç 2592 olduğundan şıkkıD858 doğrudur.

1. Çözüm: Önce hem ortak kat olma şartı için EKOK bulalım. 24 = 2 3 × 3 36 = 2 2 × 3 2 EKOK, asal çarpanların en büyük üsleri alınarak bulunur. EKOK ( 24, 36 ) = 2 3 × 3 2 = 72 O hâlde aranan sayı mutlaka 72 sayısının katıdır. Şimdi aralığı sağlayan katları yazalım: 500 < 72 × 7 = 504 72 × 8 = 576 72 × 9 = 648 72 × 10 = 720 72 × 11 = 792 72 × 12 = 864 > 800 Şimdi “ 54 sayısının katı değildir” şartını uygulayalım. Bunun için 72 ile 54 sayılarının birlikte katı olma durumunu bulalım. 72 = 2 3 × 3 2 54 = 2 × 3 3 EKOK ( 72, 54 ) = 2 3 × 3 3 = 216 Demek ki yazdığımız listede 216 sayısının katı olanlar, aynı zamanda 54 sayısının da katıdır ve çıkarılmalıdır. 216 × 3 = 648 Listede sadece 648 çıkarılır. Kalan değerler: 504, 576, 720, 792 Toplamları: 504 + 576 + 720 + 792 = 2592 Sonuç 2592 olduğundan şıkkıD858 doğrudur.

Doğru cevap: A

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: B

Önce n sayısının 72 ve 96 ile tam bölünebilmesi için bu sayıların EKOK’unun katı olması gerekir. Asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 2 3 · 3 2 96 = 2 5 · 3 1 EKOK için her asalın en büyük üssünü alırız: EKOK ( 72, 96 ) = 2 5 · 3 2 = 32 · 9 = 288 Buna göre n sayısı n = 288 k şeklindedir. Verilen koşulda n 288 = k olur. Bu sayının 5 ’in katı olduğu, fakat 3 ’ün katı olmadığı söyleniyor. Yani k = 5 t olmalı ve aynı zamanda k sayısı 3 ile bölünmemelidir. En küçük böyle k değeri k = 5 çünkü 5, 5 ’in katıdır ve 3 ’ün katı değildir. O hâlde n = 288 · 5 = 1440 Sonuç: Doğru cevap B563 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce n sayısının 72 ve 96 ile tam bölünebilmesi için bu sayıların EKOK’unun katı olması gerekir. Asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 2 3 · 3 2 96 = 2 5 · 3 1 EKOK için her asalın en büyük üssünü alırız: EKOK ( 72, 96 ) = 2 5 · 3 2 = 32 · 9 = 288 Buna göre n sayısı n = 288 k şeklindedir. Verilen koşulda n 288 = k olur. Bu sayının 5 ’in katı olduğu, fakat 3 ’ün katı olmadığı söyleniyor. Yani k = 5 t olmalı ve aynı zamanda k sayısı 3 ile bölünmemelidir. En küçük böyle k değeri k = 5 çünkü 5, 5 ’in katıdır ve 3 ’ün katı değildir. O hâlde n = 288 · 5 = 1440 Sonuç: Doğru cevap B563 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilenler: EKOK ( A, B ) = 420 EBOB ( A, B ) = 6 Önce EBOB’u kullanarak A ve B ’yi yazalım: A = 6 x B = 6 y EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK hesabı sadeleşir (çünkü x ve y aralarında asal): EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y 6 x y = 420 x y = 70 Şimdi x·y=70 olacak şekilde aralarında asal çarpan çiftlerini deneriz (toplam en küçük olsun): 70 = 1 · 70 70 = 2 · 35 70 = 5 · 14 70 = 7 · 10 Her çift için A+B: A + B = 6 ( x + y ) x = 1, y = 70 ⇒ A + B = 6 ( 1 + 70 ) = 426 x = 2, y = 35 ⇒ A + B = 6 ( 2 + 35 ) = 222 x = 5, y = 14 ⇒ A + B = 6 ( 5 + 14 ) = 114 x = 7, y = 10 ⇒ A + B = 6 ( 7 + 10 ) = 102 En küçük toplam: A + B = 102 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilenler: EKOK ( A, B ) = 420 EBOB ( A, B ) = 6 Önce EBOB’u kullanarak A ve B ’yi yazalım: A = 6 x B = 6 y EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK hesabı sadeleşir (çünkü x ve y aralarında asal): EKOK ( 6 x, 6 y ) = 6 x y 6 x y = 420 x y = 70 Şimdi x·y=70 olacak şekilde aralarında asal çarpan çiftlerini deneriz (toplam en küçük olsun): 70 = 1 · 70 70 = 2 · 35 70 = 5 · 14 70 = 7 · 10 Her çift için A+B: A + B = 6 ( x + y ) x = 1, y = 70 ⇒ A + B = 6 ( 1 + 70 ) = 426 x = 2, y = 35 ⇒ A + B = 6 ( 2 + 35 ) = 222 x = 5, y = 14 ⇒ A + B = 6 ( 5 + 14 ) = 114 x = 7, y = 10 ⇒ A + B = 6 ( 7 + 10 ) = 102 En küçük toplam: A + B = 102 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Önce şıkları kontrol edelim: Bulacağımız farklı A + B değeri sayısı 4 çıkarsa doğru cevap D78 olur. Verilenler: EBOB ( A, B ) = 12 EKOK ( A, B ) = 360 EBOB’u 12 olduğuna göre A ve B ’yi şöyle yazarız: A = 12 x B = 12 y Burada x ve y aralarında asal olmalıdır. EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( A, B ) = 12 x y Verilen EKOK değeri 360 olduğundan: 12 x y = 360 x y = 30 Şimdi 30 ’un çarpan çiftlerini yazalım ve aralarında asal olma şartını kontrol edelim (sıra önemli değil): 30 = 1 × 30 30 = 2 × 15 30 = 3 × 10 30 = 5 × 6 Bu çiftlerin hepsinde sayılar aralarında asaldır, yani hepsi uygundur. İstenen ifade: A + B = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) Her çarpan çifti için x + y ve A + B değerlerini bulalım: x = 1, y = 30 A = 12, B = 360 A + B = 372 x = 2, y = 15 A = 24, B = 180 A + B = 204 x = 3, y = 10 A = 36, B = 120 A + B = 156 x = 5, y = 6 A = 60, B = 72 A + B = 132 Görüldüğü gibi A + B toplamı 4 farklı değer alır. 4 Sonuç: Doğru cevap D1004 ’dir.

1. Çözüm: Önce şıkları kontrol edelim: Bulacağımız farklı A + B değeri sayısı 4 çıkarsa doğru cevap D78 olur. Verilenler: EBOB ( A, B ) = 12 EKOK ( A, B ) = 360 EBOB’u 12 olduğuna göre A ve B ’yi şöyle yazarız: A = 12 x B = 12 y Burada x ve y aralarında asal olmalıdır. EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( A, B ) = 12 x y Verilen EKOK değeri 360 olduğundan: 12 x y = 360 x y = 30 Şimdi 30 ’un çarpan çiftlerini yazalım ve aralarında asal olma şartını kontrol edelim (sıra önemli değil): 30 = 1 × 30 30 = 2 × 15 30 = 3 × 10 30 = 5 × 6 Bu çiftlerin hepsinde sayılar aralarında asaldır, yani hepsi uygundur. İstenen ifade: A + B = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) Her çarpan çifti için x + y ve A + B değerlerini bulalım: x = 1, y = 30 A = 12, B = 360 A + B = 372 x = 2, y = 15 A = 24, B = 180 A + B = 204 x = 3, y = 10 A = 36, B = 120 A + B = 156 x = 5, y = 6 A = 60, B = 72 A + B = 132 Görüldüğü gibi A + B toplamı 4 farklı değer alır. 4 Sonuç: Doğru cevap D1004 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 Bilinen özellik: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Bu durumda: a ⋅ b = 12 ⋅ 420 = 5040 Ortak bölen 12 olduğundan a = 12 x ve b = 12 y yazalım. Burada: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ilişkisini kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 ⋅ x ⋅ y = 420 x ⋅ y = 420 12 = 35 Çarpımı 35 olan ve aralarında asal olan ikililer: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Amaç a + b toplamını en küçük yapmak. Toplam: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) En küçük x + y için ( x, y ) = ( 5, 7 ) seçilir: a + b = 12 ( 5 + 7 ) = 12 ⋅ 12 = 144 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 Bilinen özellik: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Bu durumda: a ⋅ b = 12 ⋅ 420 = 5040 Ortak bölen 12 olduğundan a = 12 x ve b = 12 y yazalım. Burada: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ilişkisini kullanalım: EKOK ( a, b ) = 12 ⋅ x ⋅ y = 420 x ⋅ y = 420 12 = 35 Çarpımı 35 olan ve aralarında asal olan ikililer: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Amaç a + b toplamını en küçük yapmak. Toplam: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) En küçük x + y için ( x, y ) = ( 5, 7 ) seçilir: a + b = 12 ( 5 + 7 ) = 12 ⋅ 12 = 144 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Önce n sayısının 12, 15 ve 18 sayılarının ortak katı olması gerektiğinden, bu sayıların EKOK’unu bulalım. Asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 15 = 3 · 5 18 = 2 · 3 2 EKOK, her asal çarpanın en büyük kuvveti alınarak bulunur: EKOK ( 12, 15, 18 ) = 2 2 · 3 2 · 5 = 180 Bu yüzden n sayısı şu biçimdedir: n = 180 k Burada k pozitif tam sayıdır. Şimdi kalan koşulunu kullanalım: n ≡ 6 ( mod 14 ) Yerine yazalım: 180 k ≡ 6 ( mod 14 ) 180 sayısını 14 ile bölümünden kalanı bulalım: 180 = 14 · 12 + 12 Bu nedenle: 180 k ≡ 12 k ( mod 14 ) 12 k ≡ 6 ( mod 14 ) Her tarafı 2 ile sadeleştirebiliriz (çünkü 12 ve 14 ortak olarak 2 ile bölünür): 12 k ≡ 6 ( mod 14 ) 6 k ≡ 3 ( mod 7 ) 6 sayısı 7 ile bölümünden 6 kalanını verir; yani: 6 ≡ - 1 ( mod 7 ) Bu yüzden: - k ≡ 3 ( mod 7 ) Her iki tarafı - 1 ile çarpalım: k ≡ - 3 ( mod 7 ) k ≡ 4 ( mod 7 ) En küçük pozitif çözüm: k = 4 Dolayısıyla: n = 180 · 4 = 720 Kontrol: 720 sayısı 12, 15, 18 için tam bölünür ve 720 sayısının 14 ile bölümünden kalan: 720 = 14 · 51 + 6 Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce n sayısının 12, 15 ve 18 sayılarının ortak katı olması gerektiğinden, bu sayıların EKOK’unu bulalım. Asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 15 = 3 · 5 18 = 2 · 3 2 EKOK, her asal çarpanın en büyük kuvveti alınarak bulunur: EKOK ( 12, 15, 18 ) = 2 2 · 3 2 · 5 = 180 Bu yüzden n sayısı şu biçimdedir: n = 180 k Burada k pozitif tam sayıdır. Şimdi kalan koşulunu kullanalım: n ≡ 6 ( mod 14 ) Yerine yazalım: 180 k ≡ 6 ( mod 14 ) 180 sayısını 14 ile bölümünden kalanı bulalım: 180 = 14 · 12 + 12 Bu nedenle: 180 k ≡ 12 k ( mod 14 ) 12 k ≡ 6 ( mod 14 ) Her tarafı 2 ile sadeleştirebiliriz (çünkü 12 ve 14 ortak olarak 2 ile bölünür): 12 k ≡ 6 ( mod 14 ) 6 k ≡ 3 ( mod 7 ) 6 sayısı 7 ile bölümünden 6 kalanını verir; yani: 6 ≡ - 1 ( mod 7 ) Bu yüzden: - k ≡ 3 ( mod 7 ) Her iki tarafı - 1 ile çarpalım: k ≡ - 3 ( mod 7 ) k ≡ 4 ( mod 7 ) En küçük pozitif çözüm: k = 4 Dolayısıyla: n = 180 · 4 = 720 Kontrol: 720 sayısı 12, 15, 18 için tam bölünür ve 720 sayısının 14 ile bölümünden kalan: 720 = 14 · 51 + 6 Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.