8. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar Testleri

Doğru cevap: A

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 720 Adım 1: EBOB’u ortak çarpan olarak ayıralım. $a = 12$x $b = 12$y Burada EBOB ( x, y ) = 1 olmalıdır (yani x ve y aralarında asaldır). Adım 2: EBOB-EKOK bağıntısını kullanalım. a · $b = EBOB$( a, b ) · EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: 12 x · 12 $y = 12$· 720 Sadeleştirelim: 12 x $y = 720$x $y = 60$Adım 3: x ve y aralarında asal ve çarpımları 60 olacak. Önce asal çarpanlarına ayıralım: $60 = 2$ 2 · 3 · 5 Aralarında asal olmaları için her asal çarpanın tüm kuvveti ya tamamen x ’e ya da tamamen y ’ye gitmelidir. Adım 4: Farklı asal çarpan sayısı: 3 Her bir asal çarpan için iki seçim vardır (ya x ’e ya y ’ye). Bu yüzden sıralı ( x, y ) ikilisi sayısı: 2 $3 = 8$ Adım 5 (kontrol amaçlı): Uyan sıralı ( x, y ) ikilileri: ( 1, 60 ), ( 3, 20 ), ( 4, 15 ), ( 5, 12 ), ( 12, 5 ), ( 15, 4 ), ( 20, 3 ), ( 60, 1 ) Her birinden $a=12$x ve $b=12$y ile farklı sıralı ( a, b ) ikilileri elde edilir. Sonuç: Farklı sıralı ( a, b ) ikilisi sayısı 8 olur. Bu nedenle doğru seçenek A989 ’dir.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 720 Adım 1: EBOB’u ortak çarpan olarak ayıralım. $a = 12$x $b = 12$y Burada EBOB ( x, y ) = 1 olmalıdır (yani x ve y aralarında asaldır). Adım 2: EBOB-EKOK bağıntısını kullanalım. a · $b = EBOB$( a, b ) · EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: 12 x · 12 $y = 12$· 720 Sadeleştirelim: 12 x $y = 720$x $y = 60$Adım 3: x ve y aralarında asal ve çarpımları 60 olacak. Önce asal çarpanlarına ayıralım: $60 = 2$ 2 · 3 · 5 Aralarında asal olmaları için her asal çarpanın tüm kuvveti ya tamamen x ’e ya da tamamen y ’ye gitmelidir. Adım 4: Farklı asal çarpan sayısı: 3 Her bir asal çarpan için iki seçim vardır (ya x ’e ya y ’ye). Bu yüzden sıralı ( x, y ) ikilisi sayısı: 2 $3 = 8$ Adım 5 (kontrol amaçlı): Uyan sıralı ( x, y ) ikilileri: ( 1, 60 ), ( 3, 20 ), ( 4, 15 ), ( 5, 12 ), ( 12, 5 ), ( 15, 4 ), ( 20, 3 ), ( 60, 1 ) Her birinden $a=12$x ve $b=12$y ile farklı sıralı ( a, b ) ikilileri elde edilir. Sonuç: Farklı sıralı ( a, b ) ikilisi sayısı 8 olur. Bu nedenle doğru seçenek A989 ’dir.

Doğru cevap: B

Verilen koşul: E K O K ( n, 60 ) = 180 Önce asal çarpanlarına ayıralım: $60 = 2$ 2 × 3 × 5 $180 = 2$ 2 × 3 2 × 5 Bu nedenle n sayısı yalnızca bu asal sayıları içermelidir: $n = 2$a × 3 b × 5 c EKOK alınırken her asalın üssü, iki sayıdaki üslerin büyük olanıdır. Bu yüzden: max ( a, 2 ) = 2 max ( b, 1 ) = 2 max ( c, 1 ) = 1 Buradan üs aralıkları: a ∈ 0, 1, 2 $b = 2$c ∈ 0, 1 O hâlde tüm uygun n değerleri: 9, 18, 36, 45, 90, 180 Toplamları: $9 + 18 + 36 + 45 + 90 + 180 = 378$ Sonuç şıkkıB531dır.

1. Çözüm: Verilen koşul: E K O K ( n, 60 ) = 180 Önce asal çarpanlarına ayıralım: $60 = 2$ 2 × 3 × 5 $180 = 2$ 2 × 3 2 × 5 Bu nedenle n sayısı yalnızca bu asal sayıları içermelidir: $n = 2$a × 3 b × 5 c EKOK alınırken her asalın üssü, iki sayıdaki üslerin büyük olanıdır. Bu yüzden: max ( a, 2 ) = 2 max ( b, 1 ) = 2 max ( c, 1 ) = 1 Buradan üs aralıkları: a ∈ 0, 1, 2 $b = 2$c ∈ 0, 1 O hâlde tüm uygun n değerleri: 9, 18, 36, 45, 90, 180 Toplamları: $9 + 18 + 36 + 45 + 90 + 180 = 378$ Sonuç şıkkıB531dır.

Doğru cevap: C

24 ve 36’nın ortak bölenlerinin en büyüğü 12’dir.

1. Çözüm: 24 ve 36’nın ortak bölenlerinin en büyüğü 12’dir.

Doğru cevap: D

18=2·3², 30=2·3·5 olduğundan EKOK=2·3²·5=90’dır.

1. Çözüm: 18=2·3², 30=2·3·5 olduğundan EKOK=2·3²·5=90’dır.

Doğru cevap: A

2³·3²=8·9=72’dir.

1. Çözüm: 2³·3²=8·9=72’dir.

Doğru cevap: B

45=3²·5¹ olduğundan bölen sayısı (2+1)(1+1)=6’dır.

1. Çözüm: 45=3²·5¹ olduğundan bölen sayısı (2+1)(1+1)=6’dır.

Doğru cevap: C

Aralarında asal sayıların 1’den başka ortak böleni yoktur.

1. Çözüm: Aralarında asal sayıların 1’den başka ortak böleni yoktur.

Doğru cevap: D

12=2²·3, 20=2²·5; EKOK=2²·3·5=60’tır.

1. Çözüm: 12=2²·3, 20=2²·5; EKOK=2²·3·5=60’tır.

Doğru cevap: A

4 ve 6’nın en küçük ortak katı 12’dir.

1. Çözüm: 4 ve 6’nın en küçük ortak katı 12’dir.

Doğru cevap: B

60=4·15=2²·3·5’tir.

1. Çözüm: 60=4·15=2²·3·5’tir.