8. Sınıf Matematik

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

8. sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar testleri; asal sayıları, asal çarpanlara ayırmayı, pozitif bölenleri, ortak bölen ve ortak katları pekiştirir. Sorularda EBOB ile EKOK'un hangi problem türünde kullanılacağını doğru belirlemek önemlidir.

Asal Çarpanlar ve Bölenler

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, sayının bölenlerini ve çarpan ilişkilerini görmeyi kolaylaştırır. Pozitif bölen sayısı bulunurken asal çarpanların üslerinden yararlanılır.

EBOB ve EKOK Problemleri

EBOB ortak parçalara ayırma ve en büyük ortak ölçüyü bulma problemlerinde; EKOK ise birlikte tekrar eden olayların ne zaman buluşacağını belirlemede kullanılır. 8. Sınıf sorularında verilen sayıların ortak bölen mi yoksa ortak kat mı gerektirdiğine dikkat et.

Test seç

16 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test

13. Test

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusu 13. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 18$
ve
$EKOK (a, b) = 540$
olduğuna göre $a$ kaç farklı değer alabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen EBOB ve EKOK değerlerinden yararlanarak şu temel bağıntıyı kullanırız: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Soruda verilen değerleri yerine yazalım: a ⋅ b = 18 ⋅ 540 Çarpımı hesaplayalım: a ⋅ b = 9720 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım: a = 18 x, b = 18 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK ifadesi şu olur: EKOK ( a, b ) = 18 x y Sorudaki EKOK değerini kullanarak çarpımı bulalım: 18 x y = 540 Her iki tarafı ortak sayıya bölelim: x y = 30 Ayrıca x ile y aralarında asal olmalı. Çarpımın asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Aralarında asal kalmaları için bu asal çarpanların her biri ya tamamen x tarafına ya da tamamen y tarafına gitmelidir. Üç farklı asal çarpan olduğundan, her birinin iki seçeneği vardır: 2 3 = 8 Bu, mümkün (sıralı) (x,y) çiftlerinin sayısıdır. Bu çiftlerde x değerleri de farklı olur. Mümkün x değerlerini gösterelim: x ∈ { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } Her bir x için a değeri şu şekilde belirlenir: a = 18 x Dolayısıyla a toplam sekiz farklı değer alabilir. Bu da verilen şıklarda B seçeneğidir: 8

Çözüm: Verilen EBOB ve EKOK değerlerinden yararlanarak şu temel bağıntıyı kullanırız: a ⋅ b = EBOB ( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Soruda verilen değerleri yerine yazalım: a ⋅ b = 18 ⋅ 540 Çarpımı hesaplayalım: a ⋅ b = 9720 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım: a = 18 x, b = 18 y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK ifadesi şu olur: EKOK ( a, b ) = 18 x y Sorudaki EKOK değerini kullanarak çarpımı bulalım: 18 x y = 540 Her iki tarafı ortak sayıya bölelim: x y = 30 Ayrıca x ile y aralarında asal olmalı. Çarpımın asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Aralarında asal kalmaları için bu asal çarpanların her biri ya tamamen x tarafına ya da tamamen y tarafına gitmelidir. Üç farklı asal çarpan olduğundan, her birinin iki seçeneği vardır: 2 3 = 8 Bu, mümkün (sıralı) (x,y) çiftlerinin sayısıdır. Bu çiftlerde x değerleri de farklı olur. Mümkün x değerlerini gösterelim: x ∈ { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } Her bir x için a değeri şu şekilde belirlenir: a = 18 x Dolayısıyla a toplam sekiz farklı değer alabilir. Bu da verilen şıklarda B seçeneğidir: 8

Verilen EBOB ve EKOK değerlerinden yararlanarak şu temel bağıntıyı kullanırız:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Soruda verilen değerleri yerine yazalım:

a \cdot b = 18 \cdot 540

Çarpımı hesaplayalım:

a \cdot b = 9720

EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım:

a = 18 x, b = 18 y, EBOB (x, y) = 1

Bu durumda EKOK ifadesi şu olur:

EKOK (a, b) = 18 x y

Sorudaki EKOK değerini kullanarak çarpımı bulalım:

18 x y = 540

Her iki tarafı ortak sayıya bölelim:

x y = 30

Ayrıca x ile y aralarında asal olmalı. Çarpımın asal çarpanlarına ayıralım:

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

Aralarında asal kalmaları için bu asal çarpanların her biri ya tamamen x tarafına ya da tamamen y tarafına gitmelidir. Üç farklı asal çarpan olduğundan, her birinin iki seçeneği vardır:

2^{3} = 8

Bu, mümkün (sıralı) (x,y) çiftlerinin sayısıdır. Bu çiftlerde x değerleri de farklı olur. Mümkün x değerlerini gösterelim:

x \in {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Her bir x için a değeri şu şekilde belirlenir:

a = 18 x

Dolayısıyla a toplam sekiz farklı değer alabilir. Bu da verilen şıklarda B seçeneğidir:

8

2. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayı $n$ için $EBOB (n, 84) = 12$ ve $EKOK (n, 90) = 900$ koşulları sağlanıyor.
Ayrıca $n < 500$ .
Buna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce şık A ’nın doğru olup olmadığını kontrol etmek için koşulları kullanarak n ’yi bulalım. Verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım. 84 = 2 2 · 3 · 7 90 = 2 · 3 2 · 5 900 = 2 2 · 3 2 · 5 2 EBOB koşulunu kullanalım. EBOB n 84 = 12 Bu, n ’nin en azından 12 ’yi içermesi gerektiğini ve ayrıca 84 ’te olup EBOB’a girmeyen asal çarpanın 7 olduğunu gösterir (yani n sayısı 7 ’ye bölünmemelidir). EKOK koşulunu kullanalım. EKOK n 90 = 900 EKOK’ta üsler “en büyük üs” olduğundan, n ’nin asal çarpanlarındaki üsler şu şartları sağlamalıdır: n = 2 x · 3 y · 5 z max x 1 = 2 max y 2 = 2 max z 1 = 2 Buradan üsleri bulalım: x = 2 z = 2 y ≤ 2 EBOB koşulundan da n ’de en az bir tane 3 olmalı (çünkü EBOB 12 ’de 3 var): y ≥ 1 Dolayısıyla: 1 ≤ y ≤ 2 O halde n şu biçimdedir: n = 2 2 · 3 y · 5 2 y için iki olasılık vardır: y = 1 ⇒ n = 2 2 · 3 · 5 2 = 300 y = 2 ⇒ n = 2 2 · 3 2 · 5 2 = 900 Son koşul: n < 500 Bu koşulu sağlayan değer: n = 300 Sonuç: Doğru cevap C939 şıkkıdır. 300

Çözüm: Önce şık A ’nın doğru olup olmadığını kontrol etmek için koşulları kullanarak n ’yi bulalım. Verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım. 84 = 2 2 · 3 · 7 90 = 2 · 3 2 · 5 900 = 2 2 · 3 2 · 5 2 EBOB koşulunu kullanalım. EBOB n 84 = 12 Bu, n ’nin en azından 12 ’yi içermesi gerektiğini ve ayrıca 84 ’te olup EBOB’a girmeyen asal çarpanın 7 olduğunu gösterir (yani n sayısı 7 ’ye bölünmemelidir). EKOK koşulunu kullanalım. EKOK n 90 = 900 EKOK’ta üsler “en büyük üs” olduğundan, n ’nin asal çarpanlarındaki üsler şu şartları sağlamalıdır: n = 2 x · 3 y · 5 z max x 1 = 2 max y 2 = 2 max z 1 = 2 Buradan üsleri bulalım: x = 2 z = 2 y ≤ 2 EBOB koşulundan da n ’de en az bir tane 3 olmalı (çünkü EBOB 12 ’de 3 var): y ≥ 1 Dolayısıyla: 1 ≤ y ≤ 2 O halde n şu biçimdedir: n = 2 2 · 3 y · 5 2 y için iki olasılık vardır: y = 1 ⇒ n = 2 2 · 3 · 5 2 = 300 y = 2 ⇒ n = 2 2 · 3 2 · 5 2 = 900 Son koşul: n < 500 Bu koşulu sağlayan değer: n = 300 Sonuç: Doğru cevap C939 şıkkıdır. 300

Önce şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol etmek için koşulları kullanarak n’yi bulalım.

Verilen sayıları asal çarpanlarına ayıralım.

84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5

900 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

EBOB koşulunu kullanalım.

EBOB (n, 84) = 12

Bu, n’nin en azından 12’yi içermesi gerektiğini ve ayrıca 84’te olup EBOB’a girmeyen asal çarpanın 7 olduğunu gösterir (yani n sayısı 7’ye bölünmemelidir).

EKOK koşulunu kullanalım.

EKOK (n, 90) = 900

EKOK’ta üsler “en büyük üs” olduğundan, n’nin asal çarpanlarındaki üsler şu şartları sağlamalıdır:

n = 2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}

max (x, 1) = 2

max (y, 2) = 2

max (z, 1) = 2

Buradan üsleri bulalım:

x = 2

z = 2

y \leq 2

EBOB koşulundan da n’de en az bir tane 3 olmalı (çünkü EBOB 12’de 3 var):

y \geq 1

Dolayısıyla:

1 \leq y \leq 2

O halde n şu biçimdedir:

n = 2^{2} \cdot 3^{y} \cdot 5^{2}

y için iki olasılık vardır:

y = 1 \Rightarrow n = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} = 300

y = 2 \Rightarrow n = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} = 900

Son koşul:

n < 500

Bu koşulu sağlayan değer:

n = 300

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

300

3. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif bir n tam sayısı $60$ sayısının katıdır ve n sayısının pozitif bölen sayısı $24$ tür.
Buna göre n’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $x$ ve $y$ doğal sayıları için $x + y$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
$EBOB (x, y) = 18$
$EKOK (x, y) = 1260$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları birlikte kullanmak için temel bağıntıyı yazalım: EBOB ( x, y ) ⋅ EKOK ( x, y ) = x ⋅ y EBOB değeri verildiği için sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım: x = 18 a y = 18 b Burada ortak bölen tam olarak EBOB olduğundan: EBOB ( a, b ) = 1 EKOK ifadesini yazalım. EBOB koşulu sayesinde EKOK şu olur: EKOK ( x, y ) = EKOK ( 18 a, 18 b ) = 18 a b Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 18 a b = 1260 Buradan çarpım bulunur: a b = 1260 18 = 70 Toplamı en küçük yapmak için, çarpımı sabit olan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerinde a ile b toplamını en küçük seçmeliyiz. 70 sayısının aralarında asal çarpan çiftleri: a = 1, b = 70 a = 2, b = 35 a = 5, b = 14 a = 7, b = 10 Bu çiftlerde a+b toplamları: 1 + 70 = 71 2 + 35 = 37 5 + 14 = 19 7 + 10 = 17 En küçük toplam: a + b = 17 İstenen toplam: x + y = 18 a + 18 b = 18 ( a + b ) x + y = 18 ⋅ 17 = 306 Sonuç: en küçük değer x + y = 306 Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen koşulları birlikte kullanmak için temel bağıntıyı yazalım: EBOB ( x, y ) ⋅ EKOK ( x, y ) = x ⋅ y EBOB değeri verildiği için sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım: x = 18 a y = 18 b Burada ortak bölen tam olarak EBOB olduğundan: EBOB ( a, b ) = 1 EKOK ifadesini yazalım. EBOB koşulu sayesinde EKOK şu olur: EKOK ( x, y ) = EKOK ( 18 a, 18 b ) = 18 a b Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 18 a b = 1260 Buradan çarpım bulunur: a b = 1260 18 = 70 Toplamı en küçük yapmak için, çarpımı sabit olan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerinde a ile b toplamını en küçük seçmeliyiz. 70 sayısının aralarında asal çarpan çiftleri: a = 1, b = 70 a = 2, b = 35 a = 5, b = 14 a = 7, b = 10 Bu çiftlerde a+b toplamları: 1 + 70 = 71 2 + 35 = 37 5 + 14 = 19 7 + 10 = 17 En küçük toplam: a + b = 17 İstenen toplam: x + y = 18 a + 18 b = 18 ( a + b ) x + y = 18 ⋅ 17 = 306 Sonuç: en küçük değer x + y = 306 Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

Verilen koşulları birlikte kullanmak için temel bağıntıyı yazalım:

EBOB (x, y) \cdot EKOK (x, y) = x \cdot y

EBOB değeri verildiği için sayıları bu ortak bölen cinsinden yazalım:

x = 18 a

y = 18 b

Burada ortak bölen tam olarak EBOB olduğundan:

EBOB (a, b) = 1

EKOK ifadesini yazalım. EBOB koşulu sayesinde EKOK şu olur:

EKOK (x, y) = EKOK (18 a, 18 b) = 18 a b

Verilen EKOK değerini yerine yazalım:

18 a b = 1260

Buradan çarpım bulunur:

a b = \frac{1260}{18} = 70

Toplamı en küçük yapmak için, çarpımı sabit olan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerinde a ile b toplamını en küçük seçmeliyiz.

70 sayısının aralarında asal çarpan çiftleri:

a = 1, b = 70

a = 2, b = 35

a = 5, b = 14

a = 7, b = 10

Bu çiftlerde a+b toplamları:

1 + 70 = 71

2 + 35 = 37

5 + 14 = 19

7 + 10 = 17

En küçük toplam:

a + b = 17

İstenen toplam:

x + y = 18 a + 18 b = 18 (a + b)

x + y = 18 \cdot 17 = 306

Sonuç: en küçük değer

x + y = 306

Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayı $n$ için $EKOK (n, 18) = 126$ ve $EBOB (n, 30) = 6$ koşulları sağlanıyor. Buna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Şıkları kontrol etmek için verilen EKOK ve EBOB koşullarını asal çarpanlar üzerinden inceleyelim. Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 18 = 2 · 3 2 30 = 2 · 3 · 5 126 = 2 · 3 2 · 7 EKOK koşulu: EKOK ( n, 18 ) = 126 EKOK, asal çarpanlarda “büyük üsleri” alır. 18 = 2 · 3 2 olduğuna göre EKOK’un 126 = 2 · 3 2 · 7 çıkması için n mutlaka 7 çarpanını içermeli ve 2 ile 3 üsleri en fazla şu aralıklarda olmalıdır: n = 2 a · 3 b · 7 a ∈ { 0, 1 }, b ∈ { 0, 1, 2 } EBOB koşulu: EBOB ( n, 30 ) = 6 EBOB, asal çarpanlarda “küçük üsleri” alır. 30 = 2 · 3 · 5 ve 6 = 2 · 3 olduğuna göre: - EBOB’un içinde 2 olabilmesi için a = 1 - EBOB’un içinde 3 olabilmesi için b ≥ 1 - EBOB’un içinde 5 olmaması için n sayısı 5 ile bölünmemelidir (zaten yukarıdaki EKOK şartından n içinde 5 bulunamaz). Bu durumda a = 1 ve b ∈ { 1, 2 } olur. O hâlde olası n değerleri: n = 2 · 3 · 7 = 42 n = 2 · 3 2 · 7 = 126 Şıkları tek tek doğrulama: 1) n = 42 EKOK ( 42, 18 ) = 126 EBOB ( 42, 30 ) = 6 2) n = 126 EKOK ( 126, 18 ) = 126 EBOB ( 126, 30 ) = 6 Sonuç: şıkkıB1030 doğrudur; ancak D şıkkı da koşulları sağladığı için soru tek doğru cevaba sahip değildir.

Çözüm: Şıkları kontrol etmek için verilen EKOK ve EBOB koşullarını asal çarpanlar üzerinden inceleyelim. Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım: 18 = 2 · 3 2 30 = 2 · 3 · 5 126 = 2 · 3 2 · 7 EKOK koşulu: EKOK ( n, 18 ) = 126 EKOK, asal çarpanlarda “büyük üsleri” alır. 18 = 2 · 3 2 olduğuna göre EKOK’un 126 = 2 · 3 2 · 7 çıkması için n mutlaka 7 çarpanını içermeli ve 2 ile 3 üsleri en fazla şu aralıklarda olmalıdır: n = 2 a · 3 b · 7 a ∈ { 0, 1 }, b ∈ { 0, 1, 2 } EBOB koşulu: EBOB ( n, 30 ) = 6 EBOB, asal çarpanlarda “küçük üsleri” alır. 30 = 2 · 3 · 5 ve 6 = 2 · 3 olduğuna göre: - EBOB’un içinde 2 olabilmesi için a = 1 - EBOB’un içinde 3 olabilmesi için b ≥ 1 - EBOB’un içinde 5 olmaması için n sayısı 5 ile bölünmemelidir (zaten yukarıdaki EKOK şartından n içinde 5 bulunamaz). Bu durumda a = 1 ve b ∈ { 1, 2 } olur. O hâlde olası n değerleri: n = 2 · 3 · 7 = 42 n = 2 · 3 2 · 7 = 126 Şıkları tek tek doğrulama: 1) n = 42 EKOK ( 42, 18 ) = 126 EBOB ( 42, 30 ) = 6 2) n = 126 EKOK ( 126, 18 ) = 126 EBOB ( 126, 30 ) = 6 Sonuç: şıkkıB1030 doğrudur; ancak D şıkkı da koşulları sağladığı için soru tek doğru cevaba sahip değildir.

Şıkları kontrol etmek için verilen EKOK ve EBOB koşullarını asal çarpanlar üzerinden inceleyelim.

Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

18 = 2 \cdot 3^{2}

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7

EKOK koşulu:

EKOK (n, 18) = 126

EKOK, asal çarpanlarda “büyük üsleri” alır. $18 = 2 \cdot 3^{2}$ olduğuna göre EKOK’un $126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ çıkması için n mutlaka $7$ çarpanını içermeli ve $2$ ile $3$ üsleri en fazla şu aralıklarda olmalıdır:

n = 2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 7

a \in {0, 1}, b \in {0, 1, 2}

EBOB koşulu:

EBOB (n, 30) = 6

EBOB, asal çarpanlarda “küçük üsleri” alır. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ ve $6 = 2 \cdot 3$ olduğuna göre:

- EBOB’un içinde $2$ olabilmesi için $a = 1$

- EBOB’un içinde $3$ olabilmesi için $b \geq 1$

- EBOB’un içinde $5$ olmaması için $n$ sayısı $5$ ile bölünmemelidir (zaten yukarıdaki EKOK şartından $n$ içinde $5$ bulunamaz).

Bu durumda $a = 1$ ve $b \in {1, 2}$ olur. O hâlde olası $n$ değerleri:

n = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

n = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 = 126

Şıkları tek tek doğrulama:

1) $n = 42$

EKOK (42, 18) = 126

EBOB (42, 30) = 6

2) $n = 126$

EKOK (126, 18) = 126

EBOB (126, 30) = 6

Sonuç: şıkkıB4734 doğrudur; ancak D şıkkı da koşulları sağladığı için soru tek doğru cevaba sahip değildir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 420$ olduğuna göre, $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$30$ ’un katı olan bir doğal sayının pozitif bölen sayısı $12$ ’dir.
Bu koşulları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Kontrol: Doğru seçeneğin A olup olmadığını bulmak için en küçük sayıyı oluşturacağız. Verilen koşul: Sayı, 30 ’un katı ve pozitif bölen sayısı 12 olmalıdır. Önce 30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2 × 3 × 5 Aradığımız sayı n = 30 k olduğundan, içinde mutlaka 2, 3, 5 asal çarpanları en az birer kez bulunur. Bu nedenle n = 2 a × 3 b × 5 c ve a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 olmalıdır. Pozitif bölen sayısı formülü: d ( n ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) Verilen koşula göre: ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 12 Ayrıca a, b, c en az 1 olduğu için a + 1, b + 1, c + 1 de en az 2 olur. Şimdi 12 sayısını, her biri en az 2 olan 3 çarpanın çarpımı şeklinde yazalım: 12 = 3 × 2 × 2 Bu durumda ( a + 1 ), ( b + 1 ), ( c + 1 ) değerleri 3, 2, 2 olmalıdır. Buradan üsler: a, b, c = 2, 1, 1 En küçük sayıyı elde etmek için en büyük üs en küçük asal sayıya verilmelidir. Yani: n = 2 2 × 3 1 × 5 1 n = 4 × 3 × 5 = 60 Kontrol (bölen sayısı): 60 = 2 2 × 3 1 × 5 1 d ( 60 ) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 3 × 2 × 2 = 12 Sonuç: Koşulları sağlayan en küçük doğal sayı 60 olur. Bu da şıkkıD1067dır; yani A doğrudur.

Çözüm: Kontrol: Doğru seçeneğin A olup olmadığını bulmak için en küçük sayıyı oluşturacağız. Verilen koşul: Sayı, 30 ’un katı ve pozitif bölen sayısı 12 olmalıdır. Önce 30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2 × 3 × 5 Aradığımız sayı n = 30 k olduğundan, içinde mutlaka 2, 3, 5 asal çarpanları en az birer kez bulunur. Bu nedenle n = 2 a × 3 b × 5 c ve a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1 olmalıdır. Pozitif bölen sayısı formülü: d ( n ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) Verilen koşula göre: ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) = 12 Ayrıca a, b, c en az 1 olduğu için a + 1, b + 1, c + 1 de en az 2 olur. Şimdi 12 sayısını, her biri en az 2 olan 3 çarpanın çarpımı şeklinde yazalım: 12 = 3 × 2 × 2 Bu durumda ( a + 1 ), ( b + 1 ), ( c + 1 ) değerleri 3, 2, 2 olmalıdır. Buradan üsler: a, b, c = 2, 1, 1 En küçük sayıyı elde etmek için en büyük üs en küçük asal sayıya verilmelidir. Yani: n = 2 2 × 3 1 × 5 1 n = 4 × 3 × 5 = 60 Kontrol (bölen sayısı): 60 = 2 2 × 3 1 × 5 1 d ( 60 ) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 3 × 2 × 2 = 12 Sonuç: Koşulları sağlayan en küçük doğal sayı 60 olur. Bu da şıkkıD1067dır; yani A doğrudur.

Kontrol: Doğru seçeneğin A olup olmadığını bulmak için en küçük sayıyı oluşturacağız.

Verilen koşul: Sayı,

30

’un katı ve pozitif bölen sayısı

12

olmalıdır.

Önce

30

sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

30 = 2 \times 3 \times 5

Aradığımız sayı

n = 30 k

olduğundan, içinde mutlaka

2, 3, 5

asal çarpanları en az birer kez bulunur.

Bu nedenle

n = 2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c}

a \geq 1, b \geq 1, c \geq 1

olmalıdır.

Pozitif bölen sayısı formülü:

d (n) = (a + 1) (b + 1) (c + 1)

Verilen koşula göre:

(a + 1) (b + 1) (c + 1) = 12

Ayrıca

a, b, c

en az

1

olduğu için

a + 1, b + 1, c + 1

de en az

2

olur.

Şimdi

12

sayısını, her biri en az

2

olan

3

çarpanın çarpımı şeklinde yazalım:

12 = 3 \times 2 \times 2

Bu durumda

(a + 1), (b + 1), (c + 1)

değerleri

3, 2, 2

olmalıdır. Buradan üsler:

a, b, c = 2, 1, 1

En küçük sayıyı elde etmek için en büyük üs en küçük asal sayıya verilmelidir. Yani:

n = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}

n = 4 \times 3 \times 5 = 60

Kontrol (bölen sayısı):

60 = 2^{2} \times 3^{1} \times 5^{1}

d (60) = (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 3 \times 2 \times 2 = 12

Sonuç: Koşulları sağlayan en küçük doğal sayı

60

olur. Bu da A şıkkıdır; yani A doğrudur.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $EBOB (a, b) = 24$ ve $EKOK (a, b) = 840$ olduğuna göre, $a < b$ şartıyla $b - a$ farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

EBOB'u $18$ ve EKOK'u $630$ olan iki doğal sayının farkı en küçük kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenlere göre iki sayı için aşağıdaki gösterimi yapalım: a = 18 x b = 18 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Ortak çarpan dışarı alınır; içerdeki sayılar aralarında asal olduğu için EKOK çarpımlarına eşittir: EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 · x · y Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 18 · x · y = 630 x · y = 35 Çarpımı sağlayan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini yazalım: 35 = 1 · 35 35 = 5 · 7 EBOB ( 1, 35 ) = 1 EBOB ( 5, 7 ) = 1 Farkı en küçük yapmak için aralarında asal çarpan çiftlerinde birbirine en yakın olanı seçmeliyiz. Fark bağıntısı: | a - b | = | 18 x - 18 y | = 18 · | x - y | Çiftleri kontrol edelim: | 1 - 35 | = 34 | 5 - 7 | = 2 18 · 2 = 36 En küçük fark elde edilir ve doğru seçenek kontrolü: | a - b | = 36 Bu değer şık A ile aynıdır; yani doğru cevap B780 ’dır.

Çözüm: Verilenlere göre iki sayı için aşağıdaki gösterimi yapalım: a = 18 x b = 18 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Ortak çarpan dışarı alınır; içerdeki sayılar aralarında asal olduğu için EKOK çarpımlarına eşittir: EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 · x · y Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 18 · x · y = 630 x · y = 35 Çarpımı sağlayan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini yazalım: 35 = 1 · 35 35 = 5 · 7 EBOB ( 1, 35 ) = 1 EBOB ( 5, 7 ) = 1 Farkı en küçük yapmak için aralarında asal çarpan çiftlerinde birbirine en yakın olanı seçmeliyiz. Fark bağıntısı: | a - b | = | 18 x - 18 y | = 18 · | x - y | Çiftleri kontrol edelim: | 1 - 35 | = 34 | 5 - 7 | = 2 18 · 2 = 36 En küçük fark elde edilir ve doğru seçenek kontrolü: | a - b | = 36 Bu değer şık A ile aynıdır; yani doğru cevap B780 ’dır.

Verilenlere göre iki sayı için aşağıdaki gösterimi yapalım:

a = 18 x

b = 18 y

EBOB (x, y) = 1

EKOK bağıntısını kullanalım. Ortak çarpan dışarı alınır; içerdeki sayılar aralarında asal olduğu için EKOK çarpımlarına eşittir:

EKOK (18 x, 18 y) = 18 \cdot x \cdot y

Verilen EKOK değerini yerine yazalım:

18 \cdot x \cdot y = 630

x \cdot y = 35

Çarpımı sağlayan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini yazalım:

35 = 1 \cdot 35

35 = 5 \cdot 7

EBOB (1, 35) = 1

EBOB (5, 7) = 1

Farkı en küçük yapmak için aralarında asal çarpan çiftlerinde birbirine en yakın olanı seçmeliyiz. Fark bağıntısı:

| a - b | = | 18 x - 18 y | = 18 \cdot | x - y |

Çiftleri kontrol edelim:

| 1 - 35 | = 34

| 5 - 7 | = 2

18 \cdot 2 = 36

En küçük fark elde edilir ve doğru seçenek kontrolü:

| a - b | = 36

Bu değer şık A ile aynıdır; yani doğru cevap A’dır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

İki doğal sayı $a$ ve $b$ için EBOB $(a, b) = 18$ ve EKOK $(a, b) = 630$ olduğuna göre, bu iki sayıdan küçük olan en fazla kaç olabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 630 Ortak bölenleri ayırmak için sayıları aşağıdaki gibi yazalım: a = 18 x b = 18 y Bu durumda, ortak bölen tamamen çıkarıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: ( 18 x ) · ( 18 y ) = 18 · 630 Sadeleştirelim: 18 · 18 · x y = 18 · 630 18 · x y = 630 x y = 35 Şimdi x y = 35 olup EBOB ( x, y ) = 1 koşulunu sağlayan çarpan ikililerini bulalım: 35 = 1 · 35 35 = 5 · 7 Bu ikililerde sayılar aralarında asal olduğu için ikisi de uygundur. Şimdi her ikili için a = 18 x ve b = 18 y hesaplayalım: 1) x = 1, y = 35 a = 18 · 1 = 18 b = 18 · 35 = 630 Küçük olan = 18 2) x = 5, y = 7 a = 18 · 5 = 90 b = 18 · 7 = 126 Küçük olan = 90 Küçük olan sayının alabileceği en büyük değer: 90 Dolayısıyla doğru seçenek: C

Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 630 Ortak bölenleri ayırmak için sayıları aşağıdaki gibi yazalım: a = 18 x b = 18 y Bu durumda, ortak bölen tamamen çıkarıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: ( 18 x ) · ( 18 y ) = 18 · 630 Sadeleştirelim: 18 · 18 · x y = 18 · 630 18 · x y = 630 x y = 35 Şimdi x y = 35 olup EBOB ( x, y ) = 1 koşulunu sağlayan çarpan ikililerini bulalım: 35 = 1 · 35 35 = 5 · 7 Bu ikililerde sayılar aralarında asal olduğu için ikisi de uygundur. Şimdi her ikili için a = 18 x ve b = 18 y hesaplayalım: 1) x = 1, y = 35 a = 18 · 1 = 18 b = 18 · 35 = 630 Küçük olan = 18 2) x = 5, y = 7 a = 18 · 5 = 90 b = 18 · 7 = 126 Küçük olan = 90 Küçük olan sayının alabileceği en büyük değer: 90 Dolayısıyla doğru seçenek: C

Verilenler:

EBOB (a, b) = 18

EKOK (a, b) = 630

Ortak bölenleri ayırmak için sayıları aşağıdaki gibi yazalım:

a = 18 x

b = 18 y

Bu durumda, ortak bölen tamamen çıkarıldığı için:

EBOB (x, y) = 1

EKOK bağıntısını kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Yerine yazalım:

(18 x) \cdot (18 y) = 18 \cdot 630

Sadeleştirelim:

18 \cdot 18 \cdot x y = 18 \cdot 630

18 \cdot x y = 630

x y = 35

Şimdi $x y = 35$ olup $EBOB (x, y) = 1$ koşulunu sağlayan çarpan ikililerini bulalım:

35 = 1 \cdot 35

35 = 5 \cdot 7

Bu ikililerde sayılar aralarında asal olduğu için ikisi de uygundur. Şimdi her ikili için $a = 18 x$ ve $b = 18 y$ hesaplayalım:

1) $x = 1, y = 35$

a = 18 \cdot 1 = 18

b = 18 \cdot 35 = 630

Küçük olan = 18

2) $x = 5, y = 7$

a = 18 \cdot 5 = 90

b = 18 \cdot 7 = 126

Küçük olan = 90

Küçük olan sayının alabileceği en büyük değer:

90

Dolayısıyla doğru seçenek:

C

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

EBOB hangi problemlerde kullanılır?

Sayıları eşit ve en büyük parçalara ayırma veya ortak ölçü bulma problemlerinde EBOB kullanılır.

EKOK hangi problemlerde kullanılır?

Farklı aralıklarla tekrarlanan olayların aynı anda gerçekleşeceği zamanı bulma problemlerinde EKOK kullanılır.

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

Sayı asal çarpanlarına ayrılır ve çarpanların uygun üsleri kullanılarak pozitif bölenler belirlenir.

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

Asal Çarpanlar ve Bölenler

EBOB ve EKOK Problemleri

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Pozitif tam sayılar a ve b içinEBOB(a,b)=18veEKOK(a,b)=540olduğuna göre a kaç farklı değer alabilir?

Pozitif tam sayı n için EBOBn84=12 ve EKOKn90=900 koşulları sağlanıyor.Ayrıca n<500.Buna göre n kaçtır?

Pozitif bir n tam sayısı 60 sayısının katıdır ve n sayısının pozitif bölen sayısı 24 tür. Buna göre n’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan x ve y doğal sayıları için x+y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?EBOB(x,y)=18EKOK(x,y)=1260

Pozitif tam sayı n için EKOK(n,18)=126 ve EBOB(n,30)=6 koşulları sağlanıyor. Buna göre n kaçtır?

a ve b pozitif tam sayıları için EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=420 olduğuna göre, a+b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

30’un katı olan bir doğal sayının pozitif bölen sayısı 12’dir.Bu koşulları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?

a ve b pozitif tam sayıları için EBOB(a,b)=24 ve EKOK(a,b)=840 olduğuna göre, a<b şartıyla b-a farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?

EBOB'u 18 ve EKOK'u 630 olan iki doğal sayının farkı en küçük kaçtır?

İki doğal sayı a ve b için EBOB(a,b)=18 ve EKOK(a,b)=630 olduğuna göre, bu iki sayıdan küçük olan en fazla kaç olabilir?

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 18$
ve
$EKOK (a, b) = 540$
olduğuna göre $a$ kaç farklı değer alabilir?

Pozitif tam sayı $n$ için $EBOB (n, 84) = 12$ ve $EKOK (n, 90) = 900$ koşulları sağlanıyor.
Ayrıca $n < 500$ .
Buna göre $n$ kaçtır?

Pozitif bir n tam sayısı $60$ sayısının katıdır ve n sayısının pozitif bölen sayısı $24$ tür.
Buna göre n’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan $x$ ve $y$ doğal sayıları için $x + y$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
$EBOB (x, y) = 18$
$EKOK (x, y) = 1260$

Pozitif tam sayı $n$ için $EKOK (n, 18) = 126$ ve $EBOB (n, 30) = 6$ koşulları sağlanıyor. Buna göre $n$ kaçtır?

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 420$ olduğuna göre, $a + b$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$30$ ’un katı olan bir doğal sayının pozitif bölen sayısı $12$ ’dir.
Bu koşulları sağlayan en küçük doğal sayı kaçtır?

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $EBOB (a, b) = 24$ ve $EKOK (a, b) = 840$ olduğuna göre, $a < b$ şartıyla $b - a$ farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?

EBOB'u $18$ ve EKOK'u $630$ olan iki doğal sayının farkı en küçük kaçtır?

İki doğal sayı $a$ ve $b$ için EBOB $(a, b) = 18$ ve EKOK $(a, b) = 630$ olduğuna göre, bu iki sayıdan küçük olan en fazla kaç olabilir?