8. Sınıf Matematik

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

8. sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar testleri; asal sayıları, asal çarpanlara ayırmayı, pozitif bölenleri, ortak bölen ve ortak katları pekiştirir. Sorularda EBOB ile EKOK'un hangi problem türünde kullanılacağını doğru belirlemek önemlidir.

Asal Çarpanlar ve Bölenler

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, sayının bölenlerini ve çarpan ilişkilerini görmeyi kolaylaştırır. Pozitif bölen sayısı bulunurken asal çarpanların üslerinden yararlanılır.

EBOB ve EKOK Problemleri

EBOB ortak parçalara ayırma ve en büyük ortak ölçüyü bulma problemlerinde; EKOK ise birlikte tekrar eden olayların ne zaman buluşacağını belirlemede kullanılır. 8. Sınıf sorularında verilen sayıların ortak bölen mi yoksa ortak kat mı gerektirdiğine dikkat et.

Test seç

16 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test 15. Test 16. Test

10. Test

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

Çarpanlar ve Katlar konusu 10. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 360$ olduğuna göre $a + b$ toplamının alabileceği farklı değer sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 360 EBOB 12 olduğuna göre sayıları 12 ile çarpılmış iki aralarında asal sayı şeklinde yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK özelliğini kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Bu değer 360 verilmişti: 12 x y = 360 x y = 30 Şimdi çarpımı 30 olan ve aralarında asal olan ikilileri bulalım. 30’un çarpan çiftleri: x, y = 1, 30 x, y = 2, 15 x, y = 3, 10 x, y = 5, 6 Bu dört çiftin her birinde aralarında asal olma koşulu sağlanır. Her çift için toplamı hesaplayalım: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) x, y = 1, 30 ⇒ a + b = 12 ( 31 ) = 372 x, y = 2, 15 ⇒ a + b = 12 ( 17 ) = 204 x, y = 3, 10 ⇒ a + b = 12 ( 13 ) = 156 x, y = 5, 6 ⇒ a + b = 12 ( 11 ) = 132 Bulunan toplamların hepsi birbirinden farklıdır. Bu yüzden farklı değer sayısı: 4 Dolayısıyla doğru seçenek C926’dır.

Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 360 EBOB 12 olduğuna göre sayıları 12 ile çarpılmış iki aralarında asal sayı şeklinde yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 EKOK özelliğini kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Bu değer 360 verilmişti: 12 x y = 360 x y = 30 Şimdi çarpımı 30 olan ve aralarında asal olan ikilileri bulalım. 30’un çarpan çiftleri: x, y = 1, 30 x, y = 2, 15 x, y = 3, 10 x, y = 5, 6 Bu dört çiftin her birinde aralarında asal olma koşulu sağlanır. Her çift için toplamı hesaplayalım: a + b = 12 x + 12 y = 12 ( x + y ) x, y = 1, 30 ⇒ a + b = 12 ( 31 ) = 372 x, y = 2, 15 ⇒ a + b = 12 ( 17 ) = 204 x, y = 3, 10 ⇒ a + b = 12 ( 13 ) = 156 x, y = 5, 6 ⇒ a + b = 12 ( 11 ) = 132 Bulunan toplamların hepsi birbirinden farklıdır. Bu yüzden farklı değer sayısı: 4 Dolayısıyla doğru seçenek C926’dır.

Verilenler:

EBOB (a, b) = 12

EKOK (a, b) = 360

EBOB 12 olduğuna göre sayıları 12 ile çarpılmış iki aralarında asal sayı şeklinde yazabiliriz:

a = 12 x

b = 12 y

EBOB (x, y) = 1

EKOK özelliğini kullanalım. Aralarında asal oldukları için:

EKOK (12 x, 12 y) = 12 x y

Bu değer 360 verilmişti:

12 x y = 360

x y = 30

Şimdi çarpımı 30 olan ve aralarında asal olan ikilileri bulalım. 30’un çarpan çiftleri:

x, y = 1, 30

x, y = 2, 15

x, y = 3, 10

x, y = 5, 6

Bu dört çiftin her birinde aralarında asal olma koşulu sağlanır.

Her çift için toplamı hesaplayalım:

a + b = 12 x + 12 y = 12 (x + y)

x, y = 1, 30 \Rightarrow a + b = 12 (31) = 372

x, y = 2, 15 \Rightarrow a + b = 12 (17) = 204

x, y = 3, 10 \Rightarrow a + b = 12 (13) = 156

x, y = 5, 6 \Rightarrow a + b = 12 (11) = 132

Bulunan toplamların hepsi birbirinden farklıdır. Bu yüzden farklı değer sayısı:

4

Dolayısıyla doğru seçenek C3531’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

İki pozitif tam sayının EBOB'u $12$ ve EKOK'u $420$ 'dir. Bu sayılar, toplamları en küçük olacak şekilde seçildiğine göre küçük sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 Pozitif tam sayılar için temel ilişkiyi kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buna göre: a · b = 12 · 420 EBOB'u dışarı ayırarak sayıları yazalım: a = 12 x b = 12 y Burada toplamın en küçük olması için x ve y aralarında asal seçilmelidir: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Bu değer soruda verilen EKOK'a eşit olmalı: 12 x y = 420 Buradan: x y = 35 x ve y aralarında asal ve çarpımları 35 olacak şekilde seçilmelidir. Uygun asal çarpan çiftleri: x = 1, y = 35 x = 5, y = 7 Toplamı en küçük yapan çifti bulmak için x + y karşılaştıralım: 1 + 35 = 36 5 + 7 = 12 En küçük toplam 12 olduğu için: x = 5, y = 7 Şimdi sayıları bulalım: a = 12 · 5 = 60 b = 12 · 7 = 84 Küçük sayı 60 olur. Seçenek kontrolü: Küçük sayı 60 olduğundan doğru cevap D860 'dir.

Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 Pozitif tam sayılar için temel ilişkiyi kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buna göre: a · b = 12 · 420 EBOB'u dışarı ayırarak sayıları yazalım: a = 12 x b = 12 y Burada toplamın en küçük olması için x ve y aralarında asal seçilmelidir: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Bu değer soruda verilen EKOK'a eşit olmalı: 12 x y = 420 Buradan: x y = 35 x ve y aralarında asal ve çarpımları 35 olacak şekilde seçilmelidir. Uygun asal çarpan çiftleri: x = 1, y = 35 x = 5, y = 7 Toplamı en küçük yapan çifti bulmak için x + y karşılaştıralım: 1 + 35 = 36 5 + 7 = 12 En küçük toplam 12 olduğu için: x = 5, y = 7 Şimdi sayıları bulalım: a = 12 · 5 = 60 b = 12 · 7 = 84 Küçük sayı 60 olur. Seçenek kontrolü: Küçük sayı 60 olduğundan doğru cevap D860 'dir.

Verilenler:

EBOB (a, b) = 12

EKOK (a, b) = 420

Pozitif tam sayılar için temel ilişkiyi kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Buna göre:

a \cdot b = 12 \cdot 420

EBOB'u dışarı ayırarak sayıları yazalım:

a = 12 x

b = 12 y

Burada toplamın en küçük olması için x ve y aralarında asal seçilmelidir:

EBOB (x, y) = 1

EKOK bağıntısını kullanalım. Aralarında asal oldukları için:

EKOK (12 x, 12 y) = 12 x y

Bu değer soruda verilen EKOK'a eşit olmalı:

12 x y = 420

Buradan:

x y = 35

x ve y aralarında asal ve çarpımları 35 olacak şekilde seçilmelidir. Uygun asal çarpan çiftleri:

x = 1, y = 35

x = 5, y = 7

Toplamı en küçük yapan çifti bulmak için x+y karşılaştıralım:

1 + 35 = 36

5 + 7 = 12

En küçük toplam 12 olduğu için:

x = 5, y = 7

Şimdi sayıları bulalım:

a = 12 \cdot 5 = 60

b = 12 \cdot 7 = 84

Küçük sayı $60$ olur.

Seçenek kontrolü: Küçük sayı $60$ olduğundan doğru cevap C'dir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

$n$ doğal sayısı için:
$n \equiv 3 (\mod 8)$
$n \equiv 4 (\mod 9)$
$n \equiv 4 (\mod 7)$
Koşullarını sağlayan $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce iki koşulda aynı kalanı veren denklemleri birleştirelim: Verilen: n ≡ 4 ( mod 9 ) n ≡ 4 ( mod 7 ) Her ikisinde de kalan 4 olduğundan, 9 ve 7 aralarında asal olduğu için birlikte şu anlama gelir: n ≡ 4 ( mod 63 ) n = 63 t + 4 Şimdi bunu diğer koşulda yerine yazalım: n ≡ 3 ( mod 8 ) 63 t + 4 ≡ 3 ( mod 8 ) Mod 8 'de 63 'ü sadeleştirelim: 63 ≡ 7 ( mod 8 ) 63 t + 4 ≡ 7 t + 4 ( mod 8 ) 7 t + 4 ≡ 3 ( mod 8 ) Her iki taraftan 4 çıkaralım: 7 t ≡ − 1 ( mod 8 ) − 1 ≡ 7 ( mod 8 ) 7 t ≡ 7 ( mod 8 ) Mod 8 'de 7 'nin tersi yine 7 'dir (çünkü 7·7 kalanı 1 yapar). Bu yüzden her iki tarafı 7 ile çarpalım: 7 ⋅ 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 8 ) t ≡ 1 ( mod 8 ) Buna göre t şu biçimdedir ve en küçük değerini seçeriz: t = 8 m + 1 t = 1 Şimdi n = 63t + 4 ’te yerine yazalım: n = 63 ⋅ 1 + 4 = 67 Kontrol: 67 = 8 ⋅ 8 + 3 67 = 9 ⋅ 7 + 4 67 = 7 ⋅ 9 + 4 Sonuç: En küçük değer 67 olduğundan doğru cevap A1010 ’dir.

Çözüm: Önce iki koşulda aynı kalanı veren denklemleri birleştirelim: Verilen: n ≡ 4 ( mod 9 ) n ≡ 4 ( mod 7 ) Her ikisinde de kalan 4 olduğundan, 9 ve 7 aralarında asal olduğu için birlikte şu anlama gelir: n ≡ 4 ( mod 63 ) n = 63 t + 4 Şimdi bunu diğer koşulda yerine yazalım: n ≡ 3 ( mod 8 ) 63 t + 4 ≡ 3 ( mod 8 ) Mod 8 'de 63 'ü sadeleştirelim: 63 ≡ 7 ( mod 8 ) 63 t + 4 ≡ 7 t + 4 ( mod 8 ) 7 t + 4 ≡ 3 ( mod 8 ) Her iki taraftan 4 çıkaralım: 7 t ≡ − 1 ( mod 8 ) − 1 ≡ 7 ( mod 8 ) 7 t ≡ 7 ( mod 8 ) Mod 8 'de 7 'nin tersi yine 7 'dir (çünkü 7·7 kalanı 1 yapar). Bu yüzden her iki tarafı 7 ile çarpalım: 7 ⋅ 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 8 ) t ≡ 1 ( mod 8 ) Buna göre t şu biçimdedir ve en küçük değerini seçeriz: t = 8 m + 1 t = 1 Şimdi n = 63t + 4 ’te yerine yazalım: n = 63 ⋅ 1 + 4 = 67 Kontrol: 67 = 8 ⋅ 8 + 3 67 = 9 ⋅ 7 + 4 67 = 7 ⋅ 9 + 4 Sonuç: En küçük değer 67 olduğundan doğru cevap A1010 ’dir.

Önce iki koşulda aynı kalanı veren denklemleri birleştirelim:

Verilen:

n \equiv 4 (mod 9)

n \equiv 4 (mod 7)

Her ikisinde de kalan 4 olduğundan, 9 ve 7 aralarında asal olduğu için birlikte şu anlama gelir:

n \equiv 4 (mod 63)

n = 63 t + 4

Şimdi bunu diğer koşulda yerine yazalım:

n \equiv 3 (mod 8)

63 t + 4 \equiv 3 (mod 8)

Mod 8'de 63'ü sadeleştirelim:

63 \equiv 7 (mod 8)

63 t + 4 \equiv 7 t + 4 (mod 8)

7 t + 4 \equiv 3 (mod 8)

Her iki taraftan 4 çıkaralım:

7 t \equiv - 1 (mod 8)

- 1 \equiv 7 (mod 8)

7 t \equiv 7 (mod 8)

Mod 8'de 7'nin tersi yine 7'dir (çünkü 7·7 kalanı 1 yapar). Bu yüzden her iki tarafı 7 ile çarpalım:

7 \cdot 7 \equiv 49 \equiv 1 (mod 8)

t \equiv 1 (mod 8)

Buna göre t şu biçimdedir ve en küçük değerini seçeriz:

t = 8 m + 1

t = 1

Şimdi n = 63t + 4’te yerine yazalım:

n = 63 \cdot 1 + 4 = 67

Kontrol:

67 = 8 \cdot 8 + 3

67 = 9 \cdot 7 + 4

67 = 7 \cdot 9 + 4

Sonuç: En küçük değer 67 olduğundan doğru cevap B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$EKOK (n, 84) = 420$ olduğuna göre $n$ kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşul: EKOK ( n, 84 ) = 420 Önce sayıların asal çarpanlarına ayrılışını yazalım: 84 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 420 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 EKOK ’ta her asalın üssü, iki sayıdaki üslerin en büyüğüdür. Bu yüzden n ’yi şu şekilde yazalım: n = 2 a ⋅ 3 b ⋅ 5 d ⋅ 7 c Şimdi her asal için EKOK koşulundan üsleri sınırlandıralım. Asal 2 için: max ( a, 2 ) = 2 ⇒ a ≤ 2 Asal 3 için: max ( b, 1 ) = 1 ⇒ b ≤ 1 Asal 7 için: max ( c, 1 ) = 1 ⇒ c ≤ 1 Asal 5 için dikkat: 84 sayısında 5 çarpanı yoktur, yani üs 0 ’dır. EKOK ’ta 5 üssü 1 olduğuna göre bu üssü n sağlamalıdır: max ( d, 0 ) = 1 ⇒ d = 1 Buna göre üslerin alabileceği değerler: a ∈ { 0, 1, 2 }, b ∈ { 0, 1 }, c ∈ { 0, 1 }, d = 1 Toplam farklı n sayısı, seçenek sayılarının çarpımıdır: 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 12 Sonuç olarak n ’nin alabileceği farklı doğal sayı değerlerinin sayısı: 12 Bu değer şıklarda seçeneğiB978dir; yani doğru cevap B998 ’dir.

Çözüm: Verilen koşul: EKOK ( n, 84 ) = 420 Önce sayıların asal çarpanlarına ayrılışını yazalım: 84 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 420 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 EKOK ’ta her asalın üssü, iki sayıdaki üslerin en büyüğüdür. Bu yüzden n ’yi şu şekilde yazalım: n = 2 a ⋅ 3 b ⋅ 5 d ⋅ 7 c Şimdi her asal için EKOK koşulundan üsleri sınırlandıralım. Asal 2 için: max ( a, 2 ) = 2 ⇒ a ≤ 2 Asal 3 için: max ( b, 1 ) = 1 ⇒ b ≤ 1 Asal 7 için: max ( c, 1 ) = 1 ⇒ c ≤ 1 Asal 5 için dikkat: 84 sayısında 5 çarpanı yoktur, yani üs 0 ’dır. EKOK ’ta 5 üssü 1 olduğuna göre bu üssü n sağlamalıdır: max ( d, 0 ) = 1 ⇒ d = 1 Buna göre üslerin alabileceği değerler: a ∈ { 0, 1, 2 }, b ∈ { 0, 1 }, c ∈ { 0, 1 }, d = 1 Toplam farklı n sayısı, seçenek sayılarının çarpımıdır: 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 12 Sonuç olarak n ’nin alabileceği farklı doğal sayı değerlerinin sayısı: 12 Bu değer şıklarda seçeneğiB978dir; yani doğru cevap B998 ’dir.

Verilen koşul:

EKOK (n, 84) = 420

Önce sayıların asal çarpanlarına ayrılışını yazalım:

84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

420 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

EKOK’ta her asalın üssü, iki sayıdaki üslerin en büyüğüdür. Bu yüzden n’yi şu şekilde yazalım:

n = 2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{d} \cdot 7^{c}

Şimdi her asal için EKOK koşulundan üsleri sınırlandıralım.

Asal 2 için:

\max (a, 2) = 2 \Rightarrow a \leq 2

Asal 3 için:

\max (b, 1) = 1 \Rightarrow b \leq 1

Asal 7 için:

\max (c, 1) = 1 \Rightarrow c \leq 1

Asal 5 için dikkat: 84 sayısında 5 çarpanı yoktur, yani üs 0’dır. EKOK’ta 5 üssü 1 olduğuna göre bu üssü n sağlamalıdır:

\max (d, 0) = 1 \Rightarrow d = 1

Buna göre üslerin alabileceği değerler:

a \in {0, 1, 2}, b \in {0, 1}, c \in {0, 1}, d = 1

Toplam farklı n sayısı, seçenek sayılarının çarpımıdır:

3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 12

Sonuç olarak n’nin alabileceği farklı doğal sayı değerlerinin sayısı:

12

Bu değer şıklarda C seçeneğidir; yani doğru cevap C’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?
$x$ sayısı $8$ ile tam bölünür.
$x + 3$ sayısı $9$ ile tam bölünür.
$x + 5$ sayısı $7$ ile tam bölünür.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Koşulları eşdeğer kalan denklemleri (modüler denklemler) olarak yazalım: x ≡ 0 (mod 8 ) x + 3 ≡ 0 (mod 9 ) x + 5 ≡ 0 (mod 7 ) İkinci ve üçüncü koşulu, x yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: x ≡ − 3 ≡ 6 (mod 9 ) x ≡ − 5 ≡ 2 (mod 7 ) Birinci koşuldan x sayısını şöyle yazabiliriz: x = 8 k Bunu x ≡ 6 (mod 9 ) denkleminde kullanalım: 8 k ≡ 6 (mod 9 ) 8 ≡ − 1 (mod 9 ) olduğundan: − k ≡ 6 (mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarparsak: k ≡ − 6 ≡ 3 (mod 9 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 3 + 9 t Bunu x = 8 k içinde yazalım: x = 8 ( 3 + 9 t ) = 24 + 72 t Şimdi üçüncü koşulu uygulayalım: x ≡ 2 (mod 7 ) x = 24 + 72 t yazdığımıza göre: 24 + 72 t ≡ 2 (mod 7 ) Kalanları bulalım: 24 ≡ 3 (mod 7 ) 72 ≡ 2 (mod 7 ) Böylece: 3 + 2 t ≡ 2 (mod 7 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 2 t ≡ − 1 ≡ 6 (mod 7 ) 2 sayısının (mod 7 ) tersini kullanarak t ’yi bulalım. Çünkü: 2 · 4 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Her iki tarafı 4 ile çarpalım: t ≡ 6 · 4 = 24 ≡ 3 (mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için t = 3 alınabilir. O zaman: x = 24 + 72 · 3 = 240 Bulduğumuz değer seçeneklerde şıkkıC1035dır; yani doğru cevap C1052 ’dir. x = 240

Çözüm: Koşulları eşdeğer kalan denklemleri (modüler denklemler) olarak yazalım: x ≡ 0 (mod 8 ) x + 3 ≡ 0 (mod 9 ) x + 5 ≡ 0 (mod 7 ) İkinci ve üçüncü koşulu, x yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: x ≡ − 3 ≡ 6 (mod 9 ) x ≡ − 5 ≡ 2 (mod 7 ) Birinci koşuldan x sayısını şöyle yazabiliriz: x = 8 k Bunu x ≡ 6 (mod 9 ) denkleminde kullanalım: 8 k ≡ 6 (mod 9 ) 8 ≡ − 1 (mod 9 ) olduğundan: − k ≡ 6 (mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarparsak: k ≡ − 6 ≡ 3 (mod 9 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 3 + 9 t Bunu x = 8 k içinde yazalım: x = 8 ( 3 + 9 t ) = 24 + 72 t Şimdi üçüncü koşulu uygulayalım: x ≡ 2 (mod 7 ) x = 24 + 72 t yazdığımıza göre: 24 + 72 t ≡ 2 (mod 7 ) Kalanları bulalım: 24 ≡ 3 (mod 7 ) 72 ≡ 2 (mod 7 ) Böylece: 3 + 2 t ≡ 2 (mod 7 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 2 t ≡ − 1 ≡ 6 (mod 7 ) 2 sayısının (mod 7 ) tersini kullanarak t ’yi bulalım. Çünkü: 2 · 4 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Her iki tarafı 4 ile çarpalım: t ≡ 6 · 4 = 24 ≡ 3 (mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için t = 3 alınabilir. O zaman: x = 24 + 72 · 3 = 240 Bulduğumuz değer seçeneklerde şıkkıC1035dır; yani doğru cevap C1052 ’dir. x = 240

Koşulları eşdeğer kalan denklemleri (modüler denklemler) olarak yazalım:

x \equiv 0 (mod 8)

x + 3 \equiv 0 (mod 9)

x + 5 \equiv 0 (mod 7)

İkinci ve üçüncü koşulu, $x$ yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim:

x \equiv - 3 \equiv 6 (mod 9)

x \equiv - 5 \equiv 2 (mod 7)

Birinci koşuldan $x$ sayısını şöyle yazabiliriz:

x = 8 k

Bunu $x \equiv 6 (mod 9)$ denkleminde kullanalım:

8 k \equiv 6 (mod 9)

$8 \equiv - 1 (mod 9)$ olduğundan:

- k \equiv 6 (mod 9)

Her iki tarafı $- 1$ ile çarparsak:

k \equiv - 6 \equiv 3 (mod 9)

O hâlde $k$ şu biçimdedir:

k = 3 + 9 t

Bunu $x = 8 k$ içinde yazalım:

x = 8 (3 + 9 t) = 24 + 72 t

Şimdi üçüncü koşulu uygulayalım:

x \equiv 2 (mod 7)

$x = 24 + 72 t$ yazdığımıza göre:

24 + 72 t \equiv 2 (mod 7)

Kalanları bulalım:

24 \equiv 3 (mod 7)

72 \equiv 2 (mod 7)

Böylece:

3 + 2 t \equiv 2 (mod 7)

Her iki taraftan $3$ çıkaralım:

2 t \equiv - 1 \equiv 6 (mod 7)

$2$ sayısının $(mod 7)$ tersini kullanarak $t$ ’yi bulalım. Çünkü:

2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 (mod 7)

Her iki tarafı $4$ ile çarpalım:

t \equiv 6 \cdot 4 = 24 \equiv 3 (mod 7)

En küçük pozitif çözüm için $t = 3$ alınabilir. O zaman:

x = 24 + 72 \cdot 3 = 240

Bulduğumuz değer seçeneklerde B şıkkıdır; yani doğru cevap B’dir.

x = 240

6. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif iki farklı tam sayı $a$ ve $b$ için $EBOB (a, b) = 18$ ve $EKOK (a, b) = 630$ olduğuna göre $a + b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 630 İki sayının EBOB’u 18 olduğuna göre sayıları 18’in katı şeklinde yazalım: a = 18 x b = 18 y Burada ortak çarpan tamamen 18’e alındığı için EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Bilinir ki: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Bunu EKOK ( a, b ) = a · b EBOB ( a, b ) şeklinde de yazabiliriz. Yerine koyarsak: 630 = ( 18 x ) · ( 18 y ) 18 Sadeleştirelim: 630 = 18 x y x y = 630 18 = 35 Şimdi x y = 35 olduğuna göre pozitif tam sayı çarpan çiftleri: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Ayrıca şartımız: EBOB ( x, y ) = 1 Bu iki çiftin de EBOB’u 1’dir, yani ikisi de uygundur. Amaç a + b ifadesinin en küçük değerini bulmak: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) Bu yüzden x + y en küçük olmalı. Çiftleri deneyelim: 1) ( x, y ) = ( 1, 35 ) a + b = 18 ( 1 + 35 ) = 18 · 36 = 648 2) ( x, y ) = ( 5, 7 ) a + b = 18 ( 5 + 7 ) = 18 · 12 = 216 En küçük toplam: 216 Bu değer şıklarda seçeneğiD937dir. Yani doğru cevap D957’dir.

Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 630 İki sayının EBOB’u 18 olduğuna göre sayıları 18’in katı şeklinde yazalım: a = 18 x b = 18 y Burada ortak çarpan tamamen 18’e alındığı için EBOB ( x, y ) = 1 EKOK bağıntısını kullanalım. Bilinir ki: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Bunu EKOK ( a, b ) = a · b EBOB ( a, b ) şeklinde de yazabiliriz. Yerine koyarsak: 630 = ( 18 x ) · ( 18 y ) 18 Sadeleştirelim: 630 = 18 x y x y = 630 18 = 35 Şimdi x y = 35 olduğuna göre pozitif tam sayı çarpan çiftleri: ( x, y ) = ( 1, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 7 ) Ayrıca şartımız: EBOB ( x, y ) = 1 Bu iki çiftin de EBOB’u 1’dir, yani ikisi de uygundur. Amaç a + b ifadesinin en küçük değerini bulmak: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) Bu yüzden x + y en küçük olmalı. Çiftleri deneyelim: 1) ( x, y ) = ( 1, 35 ) a + b = 18 ( 1 + 35 ) = 18 · 36 = 648 2) ( x, y ) = ( 5, 7 ) a + b = 18 ( 5 + 7 ) = 18 · 12 = 216 En küçük toplam: 216 Bu değer şıklarda seçeneğiD937dir. Yani doğru cevap D957’dir.

Verilenler:

EBOB (a, b) = 18

EKOK (a, b) = 630

İki sayının EBOB’u 18 olduğuna göre sayıları 18’in katı şeklinde yazalım:

a = 18 x

b = 18 y

Burada ortak çarpan tamamen 18’e alındığı için

EBOB (x, y) = 1

EKOK bağıntısını kullanalım. Bilinir ki:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Bunu

EKOK (a, b) = \frac{a \cdot b}{EBOB (a, b)}

şeklinde de yazabiliriz. Yerine koyarsak:

630 = \frac{(18 x) \cdot (18 y)}{18}

Sadeleştirelim:

630 = 18 x y

x y = \frac{630}{18} = 35

Şimdi $x y = 35$ olduğuna göre pozitif tam sayı çarpan çiftleri:

(x, y) = (1, 35)

(x, y) = (5, 7)

Ayrıca şartımız:

EBOB (x, y) = 1

Bu iki çiftin de EBOB’u 1’dir, yani ikisi de uygundur.

Amaç $a + b$ ifadesinin en küçük değerini bulmak:

a + b = 18 x + 18 y = 18 (x + y)

Bu yüzden $x + y$ en küçük olmalı.

Çiftleri deneyelim:

(x, y) = (1, 35)

a + b = 18 (1 + 35) = 18 \cdot 36 = 648

(x, y) = (5, 7)

a + b = 18 (5 + 7) = 18 \cdot 12 = 216

En küçük toplam:

216

Bu değer şıklarda B seçeneğidir. Yani doğru cevap D4598’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayı $n$ , $3$ ile bölündüğünde kalan $1$ , $4$ ile bölündüğünde kalan $2$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $3$ olmaktadır. Buna göre $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları denkliğe (kalan ilişkisine) çevirelim: n ≡ 1 ( mod 3 ) n ≡ 2 ( mod 4 ) n ≡ 3 ( mod 5 ) İlk denkliğe göre n sayısını şöyle yazabiliriz: n = 3 k + 1 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 3 k + 1 ≡ 2 ( mod 4 ) Her iki taraftan 1 çıkaralım: 3 k ≡ 1 ( mod 4 ) 3 sayısı 4 ile bölümden kalan olarak -1 gibidir; bu yüzden: - k ≡ 1 ( mod 4 ) Her iki tarafı -1 ile çarpalım: k ≡ - 1 ( mod 4 ) -1, 4 ile bölümde 3 ile aynıdır: k ≡ 3 ( mod 4 ) O hâlde k sayısını şöyle yazabiliriz: k = 4 t + 3 Bunu n=3k+1 içinde yerine yazalım: n = 3 ( 4 t + 3 ) + 1 n = 12 t + 10 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım: 12 t + 10 ≡ 3 ( mod 5 ) 10 sayısı 5 ile tam bölünür, yani kalan olarak 0 olur. Ayrıca 12 sayısı 5 ile bölümden 2 kalanını verir. Bu nedenle: 2 t ≡ 3 ( mod 5 ) 2 ’nin 5 ’e göre çarpma tersi 3 ’tür (çünkü kalan olarak 1 verir). Her iki tarafı 3 ile çarpalım: 3 ⋅ 2 t ≡ 3 ⋅ 3 ( mod 5 ) t ≡ 9 ( mod 5 ) 9 sayısı 5 ile bölümden 4 kalanını verir: t ≡ 4 ( mod 5 ) O hâlde t sayısını şöyle yazabiliriz: t = 5 s + 4 Bunu n=12t+10 içinde yerine yazalım: n = 12 ( 5 s + 4 ) + 10 n = 60 s + 58 En küçük doğal sayı değeri için s ’yi en küçük alırız: s = 0 n = 58 Bu değer şıklarda A seçeneğidir; yani doğru cevap A ’dır.

Çözüm: Verilen koşulları denkliğe (kalan ilişkisine) çevirelim: n ≡ 1 ( mod 3 ) n ≡ 2 ( mod 4 ) n ≡ 3 ( mod 5 ) İlk denkliğe göre n sayısını şöyle yazabiliriz: n = 3 k + 1 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 3 k + 1 ≡ 2 ( mod 4 ) Her iki taraftan 1 çıkaralım: 3 k ≡ 1 ( mod 4 ) 3 sayısı 4 ile bölümden kalan olarak -1 gibidir; bu yüzden: - k ≡ 1 ( mod 4 ) Her iki tarafı -1 ile çarpalım: k ≡ - 1 ( mod 4 ) -1, 4 ile bölümde 3 ile aynıdır: k ≡ 3 ( mod 4 ) O hâlde k sayısını şöyle yazabiliriz: k = 4 t + 3 Bunu n=3k+1 içinde yerine yazalım: n = 3 ( 4 t + 3 ) + 1 n = 12 t + 10 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım: 12 t + 10 ≡ 3 ( mod 5 ) 10 sayısı 5 ile tam bölünür, yani kalan olarak 0 olur. Ayrıca 12 sayısı 5 ile bölümden 2 kalanını verir. Bu nedenle: 2 t ≡ 3 ( mod 5 ) 2 ’nin 5 ’e göre çarpma tersi 3 ’tür (çünkü kalan olarak 1 verir). Her iki tarafı 3 ile çarpalım: 3 ⋅ 2 t ≡ 3 ⋅ 3 ( mod 5 ) t ≡ 9 ( mod 5 ) 9 sayısı 5 ile bölümden 4 kalanını verir: t ≡ 4 ( mod 5 ) O hâlde t sayısını şöyle yazabiliriz: t = 5 s + 4 Bunu n=12t+10 içinde yerine yazalım: n = 12 ( 5 s + 4 ) + 10 n = 60 s + 58 En küçük doğal sayı değeri için s ’yi en küçük alırız: s = 0 n = 58 Bu değer şıklarda A seçeneğidir; yani doğru cevap A ’dır.

Verilen koşulları denkliğe (kalan ilişkisine) çevirelim:

n \equiv 1 (mod 3)

n \equiv 2 (mod 4)

n \equiv 3 (mod 5)

İlk denkliğe göre n sayısını şöyle yazabiliriz:

n = 3 k + 1

Bunu ikinci koşulda kullanalım:

3 k + 1 \equiv 2 (mod 4)

Her iki taraftan 1 çıkaralım:

3 k \equiv 1 (mod 4)

3 sayısı 4 ile bölümden kalan olarak -1 gibidir; bu yüzden:

- k \equiv 1 (mod 4)

Her iki tarafı -1 ile çarpalım:

k \equiv - 1 (mod 4)

-1, 4 ile bölümde 3 ile aynıdır:

k \equiv 3 (mod 4)

O hâlde k sayısını şöyle yazabiliriz:

k = 4 t + 3

Bunu n=3k+1 içinde yerine yazalım:

n = 3 (4 t + 3) + 1

n = 12 t + 10

Şimdi üçüncü koşulu kullanalım:

12 t + 10 \equiv 3 (mod 5)

10 sayısı 5 ile tam bölünür, yani kalan olarak 0 olur. Ayrıca 12 sayısı 5 ile bölümden 2 kalanını verir. Bu nedenle:

2 t \equiv 3 (mod 5)

2’nin 5’e göre çarpma tersi 3’tür (çünkü kalan olarak 1 verir). Her iki tarafı 3 ile çarpalım:

3 \cdot 2 t \equiv 3 \cdot 3 (mod 5)

t \equiv 9 (mod 5)

9 sayısı 5 ile bölümden 4 kalanını verir:

t \equiv 4 (mod 5)

O hâlde t sayısını şöyle yazabiliriz:

t = 5 s + 4

Bunu n=12t+10 içinde yerine yazalım:

n = 12 (5 s + 4) + 10

n = 60 s + 58

En küçük doğal sayı değeri için s’yi en küçük alırız:

s = 0

n = 58

Bu değer şıklarda A seçeneğidir; yani doğru cevap A’dır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$a$ ve $b$ doğal sayıları için
$EBOB (a, b) = 24$
$EKOK (a, b) = 360$
$a + b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$360$ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi $120$ sayısını bölmez?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $a + b$ kaçtır?
$EBOB (a, b) = 12$
$EKOK (a, b) = 420$
$a$ sayısı $60$ ’ın katı ve $100$ ’den küçüktür.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen koşullar: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 İki sayı için temel bağıntıyı kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 12 · 420 = 5040 EBOB 12 olduğuna göre her iki sayı da 12’nin katıdır. Ortak çarpanı ayıralım: a = 12 x b = 12 y Bu durumda aralarında asal olacak şekilde: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK koşulunu bu yazılışla kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( a, b ) = 12 x y 420 = 12 x y x y = 35 Ayrıca a sayısı 60’ın katı ve 100’den küçüktür. Bu iki koşulu birlikte yazalım: a = 12 x ve a < 100 12 x < 100 ⇒ x < 100 12 x ≤ 8 Ayrıca 60’ın katı olma şartı: 60 | a = 12 x ⇒ 60 | 12 x ⇒ 5 | x Şimdi x sayısı hem 5’in katı hem de 8’den küçük/eşit olmalı: x = 5 Çünkü 8’den küçük/eşit 5’in katı yalnızca 5’tir. O hâlde: y = 35 x = 35 5 = 7 Şimdi a ve b ’yi bulalım: a = 12 · 5 = 60 b = 12 · 7 = 84 Toplam: a + b = 60 + 84 = 144 Doğru cevap D861 ’dir.

Çözüm: Verilen koşullar: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 420 İki sayı için temel bağıntıyı kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 12 · 420 = 5040 EBOB 12 olduğuna göre her iki sayı da 12’nin katıdır. Ortak çarpanı ayıralım: a = 12 x b = 12 y Bu durumda aralarında asal olacak şekilde: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK koşulunu bu yazılışla kullanalım. Aralarında asal oldukları için: EKOK ( a, b ) = 12 x y 420 = 12 x y x y = 35 Ayrıca a sayısı 60’ın katı ve 100’den küçüktür. Bu iki koşulu birlikte yazalım: a = 12 x ve a < 100 12 x < 100 ⇒ x < 100 12 x ≤ 8 Ayrıca 60’ın katı olma şartı: 60 | a = 12 x ⇒ 60 | 12 x ⇒ 5 | x Şimdi x sayısı hem 5’in katı hem de 8’den küçük/eşit olmalı: x = 5 Çünkü 8’den küçük/eşit 5’in katı yalnızca 5’tir. O hâlde: y = 35 x = 35 5 = 7 Şimdi a ve b ’yi bulalım: a = 12 · 5 = 60 b = 12 · 7 = 84 Toplam: a + b = 60 + 84 = 144 Doğru cevap D861 ’dir.

Verilen koşullar:

EBOB (a, b) = 12

EKOK (a, b) = 420

İki sayı için temel bağıntıyı kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

a \cdot b = 12 \cdot 420 = 5040

EBOB 12 olduğuna göre her iki sayı da 12’nin katıdır. Ortak çarpanı ayıralım:

a = 12 x

b = 12 y

Bu durumda aralarında asal olacak şekilde:

EBOB (x, y) = 1

EKOK koşulunu bu yazılışla kullanalım. Aralarında asal oldukları için:

EKOK (a, b) = 12 x y

420 = 12 x y

x y = 35

Ayrıca a sayısı 60’ın katı ve 100’den küçüktür. Bu iki koşulu birlikte yazalım:

a = 12 x ve a < 100

12 x < 100 \Rightarrow x < \frac{100}{12}

x \leq 8

Ayrıca 60’ın katı olma şartı:

60 | a = 12 x \Rightarrow 60 | 12 x \Rightarrow 5 | x

Şimdi x sayısı hem 5’in katı hem de 8’den küçük/eşit olmalı:

x = 5

Çünkü 8’den küçük/eşit 5’in katı yalnızca 5’tir. O hâlde:

y = \frac{35}{x} = \frac{35}{5} = 7

Şimdi a ve b’yi bulalım:

a = 12 \cdot 5 = 60

b = 12 \cdot 7 = 84

Toplam:

a + b = 60 + 84 = 144

Doğru cevap B’dir.

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

EBOB hangi problemlerde kullanılır?

Sayıları eşit ve en büyük parçalara ayırma veya ortak ölçü bulma problemlerinde EBOB kullanılır.

EKOK hangi problemlerde kullanılır?

Farklı aralıklarla tekrarlanan olayların aynı anda gerçekleşeceği zamanı bulma problemlerinde EKOK kullanılır.

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

Sayı asal çarpanlarına ayrılır ve çarpanların uygun üsleri kullanılarak pozitif bölenler belirlenir.

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Testleri

Asal Çarpanlar ve Bölenler

EBOB ve EKOK Problemleri

8. Sınıf Matematik Carpanlar ve Katlar Testleri

EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=360 olduğuna göre a+b toplamının alabileceği farklı değer sayısı kaçtır?

İki pozitif tam sayının EBOB'u 12 ve EKOK'u 420'dir. Bu sayılar, toplamları en küçük olacak şekilde seçildiğine göre küçük sayı kaçtır?

n doğal sayısı için:n≡3(mod8)n≡4(mod9)n≡4(mod7)Koşullarını sağlayan n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

EKOK(n,84)=420 olduğuna göre n kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı x kaçtır?x sayısı 8 ile tam bölünür.x+3 sayısı 9 ile tam bölünür.x+5 sayısı 7 ile tam bölünür.

Pozitif iki farklı tam sayı a ve b için EBOB(a,b)=18 ve EKOK(a,b)=630 olduğuna göre a+b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir doğal sayı n, 3 ile bölündüğünde kalan 1, 4 ile bölündüğünde kalan 2, 5 ile bölündüğünde kalan 3 olmaktadır. Buna göre n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

a ve b doğal sayıları içinEBOB(a,b)=24EKOK(a,b)=360a+b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

360 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 120 sayısını bölmez?

Aşağıdaki koşulları sağlayan a ve b pozitif tam sayıları için a+b kaçtır?EBOB(a,b)=12EKOK(a,b)=420a sayısı 60’ın katı ve 100’den küçüktür.

Çarpanlar ve Katlar Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

$EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 360$ olduğuna göre $a + b$ toplamının alabileceği farklı değer sayısı kaçtır?

İki pozitif tam sayının EBOB'u $12$ ve EKOK'u $420$ 'dir. Bu sayılar, toplamları en küçük olacak şekilde seçildiğine göre küçük sayı kaçtır?

$n$ doğal sayısı için:
$n \equiv 3 (\mod 8)$
$n \equiv 4 (\mod 9)$
$n \equiv 4 (\mod 7)$
Koşullarını sağlayan $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$EKOK (n, 84) = 420$ olduğuna göre $n$ kaç farklı doğal sayı değeri alabilir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?
$x$ sayısı $8$ ile tam bölünür.
$x + 3$ sayısı $9$ ile tam bölünür.
$x + 5$ sayısı $7$ ile tam bölünür.

Pozitif iki farklı tam sayı $a$ ve $b$ için $EBOB (a, b) = 18$ ve $EKOK (a, b) = 630$ olduğuna göre $a + b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir doğal sayı $n$ , $3$ ile bölündüğünde kalan $1$ , $4$ ile bölündüğünde kalan $2$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $3$ olmaktadır. Buna göre $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$a$ ve $b$ doğal sayıları için
$EBOB (a, b) = 24$
$EKOK (a, b) = 360$
$a + b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$360$ sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi $120$ sayısını bölmez?

Aşağıdaki koşulları sağlayan $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için $a + b$ kaçtır?
$EBOB (a, b) = 12$
$EKOK (a, b) = 420$
$a$ sayısı $60$ ’ın katı ve $100$ ’den küçüktür.