9. Sınıf Matematik Mutlak Değer Testleri

Doğru cevap: B

Verilen denklem: | x - 3 | = | 2 x + 1 | Mutlak değerlerde şu özelliği kullanırız: | A | = | B | ⇔ A = B veya A = - B Burada A = x - 3 ve B = 2 x + 1 1. Durum: x - 3 = 2 x + 1 Düzenleyelim: x - 2 x = 1 + 3 - x = 4 x = - 4 2. Durum: x - 3 = - 2 x + 1 Eksi işaretini dağıtalım ve düzenleyelim: x - 3 = - 2 x - 1 x + 2 x = - 1 + 3 3 x = 2 x = 2 3 Çözüm kümesi elemanları: { - 4, 2 3 } Elemanlar toplamı: - 4 + 2 3 Paydaları eşitleyelim: - 4 = - 12 3 - 12 3 + 2 3 = - 10 3 Sonuç: Toplam = - 10 3 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; yani doğru cevap B531.

1. Çözüm: Verilen denklem: | x - 3 | = | 2 x + 1 | Mutlak değerlerde şu özelliği kullanırız: | A | = | B | ⇔ A = B veya A = - B Burada A = x - 3 ve B = 2 x + 1 1. Durum: x - 3 = 2 x + 1 Düzenleyelim: x - 2 x = 1 + 3 - x = 4 x = - 4 2. Durum: x - 3 = - 2 x + 1 Eksi işaretini dağıtalım ve düzenleyelim: x - 3 = - 2 x - 1 x + 2 x = - 1 + 3 3 x = 2 x = 2 3 Çözüm kümesi elemanları: { - 4, 2 3 } Elemanlar toplamı: - 4 + 2 3 Paydaları eşitleyelim: - 4 = - 12 3 - 12 3 + 2 3 = - 10 3 Sonuç: Toplam = - 10 3 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; yani doğru cevap B531.

Doğru cevap: C

İfadeyi bir fonksiyon gibi ele alalım: f ( x ) = x - 3 + x + 1 + 2 x - 1 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar, içlerinin sıfır olduğu yerlerdir: x - 3 = 0 ⇒ x = 3 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 2 Bu noktalara göre aralıkları sıralayalım: - 1 < 1 2 < 3 1. Aralık için: x ≤ - 1 İşaretlere göre mutlak değerleri açalım: x - 3 = 3 - x x + 1 = - x - 1 2 x - 1 = - 2 x + 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 3 - x ) + ( - x - 1 ) + ( - 2 x + 1 ) = 3 - 4 x Bu aralıkta doğrusal ifade azalan olduğundan en küçük değer sağ uçta alınır: x = - 1 f ( - 1 ) = 7 2. Aralık için: - 1 ≤ x ≤ 1 2 Mutlak değerleri açalım: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 2 x - 1 = 1 - 2 x Toplayalım: f ( x ) = ( 3 - x ) + ( x + 1 ) + ( 1 - 2 x ) = 5 - 2 x Bu aralıkta doğrusal ifade azalan olduğundan en küçük değer sağ uçta alınır: x = 1 2 f ( 1 2 ) = 4 3. Aralık için: 1 2 ≤ x ≤ 3 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 2 x - 1 = 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 3 - x ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 1 ) = 3 + 2 x Bu aralıkta doğrusal ifade artan olduğundan en küçük değer sol uçta alınır: x = 1 2 f ( 1 2 ) = 4 4. Aralık için: x ≥ 3 Mutlak değerleri açalım: x - 3 = x - 3 x + 1 = x + 1 2 x - 1 = 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( x - 3 ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 1 ) = 4 x - 3 Bu aralıkta doğrusal ifade artan olduğundan en küçük değer sol uçta alınır: x = 3 f ( 3 ) = 9 Bulduğumuz en küçük değer: 7, 4, 4, 9 = 4 Dolayısıyla doğru cevap C1457 seçeneğidir. Bu en küçük değer şu noktada alınır: x = 1 2

1. Çözüm: İfadeyi bir fonksiyon gibi ele alalım: f ( x ) = x - 3 + x + 1 + 2 x - 1 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar, içlerinin sıfır olduğu yerlerdir: x - 3 = 0 ⇒ x = 3 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 2 Bu noktalara göre aralıkları sıralayalım: - 1 < 1 2 < 3 1. Aralık için: x ≤ - 1 İşaretlere göre mutlak değerleri açalım: x - 3 = 3 - x x + 1 = - x - 1 2 x - 1 = - 2 x + 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 3 - x ) + ( - x - 1 ) + ( - 2 x + 1 ) = 3 - 4 x Bu aralıkta doğrusal ifade azalan olduğundan en küçük değer sağ uçta alınır: x = - 1 f ( - 1 ) = 7 2. Aralık için: - 1 ≤ x ≤ 1 2 Mutlak değerleri açalım: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 2 x - 1 = 1 - 2 x Toplayalım: f ( x ) = ( 3 - x ) + ( x + 1 ) + ( 1 - 2 x ) = 5 - 2 x Bu aralıkta doğrusal ifade azalan olduğundan en küçük değer sağ uçta alınır: x = 1 2 f ( 1 2 ) = 4 3. Aralık için: 1 2 ≤ x ≤ 3 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 2 x - 1 = 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( 3 - x ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 1 ) = 3 + 2 x Bu aralıkta doğrusal ifade artan olduğundan en küçük değer sol uçta alınır: x = 1 2 f ( 1 2 ) = 4 4. Aralık için: x ≥ 3 Mutlak değerleri açalım: x - 3 = x - 3 x + 1 = x + 1 2 x - 1 = 2 x - 1 Toplayalım: f ( x ) = ( x - 3 ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 1 ) = 4 x - 3 Bu aralıkta doğrusal ifade artan olduğundan en küçük değer sol uçta alınır: x = 3 f ( 3 ) = 9 Bulduğumuz en küçük değer: 7, 4, 4, 9 = 4 Dolayısıyla doğru cevap C1457 seçeneğidir. Bu en küçük değer şu noktada alınır: x = 1 2

Doğru cevap: D

Verilen denklem: | x - 3 | = x + 1 Mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğu için sağ taraf da sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır: x + 1 ≥ 0 x ≥ - 1 Şimdi mutlak değeri iki duruma göre inceleyelim: 1) Durum: x ≥ 3 Bu durumda: | x - 3 | = x - 3 Denkleme yazalım: x - 3 = x + 1 Her iki taraftan da x çıkaralım: - 3 = 1 Bu imkânsız olduğu için bu durumdan çözüm gelmez. 2) Durum: x < 3 Bu durumda: | x - 3 | = 3 - x Denkleme yazalım: 3 - x = x + 1 Taraf tarafa düzenleyelim: 3 - 1 = x + x 2 = 2 x x = 1 Kontrol: Bulduğumuz değer hem koşulu sağlıyor hem de sağ taraf negatif olmuyor. 1 < 3 1 ≥ - 1 Sonuç: x = 1 Doğru cevap D648 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen denklem: | x - 3 | = x + 1 Mutlak değer her zaman sıfırdan büyük veya eşit olduğu için sağ taraf da sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır: x + 1 ≥ 0 x ≥ - 1 Şimdi mutlak değeri iki duruma göre inceleyelim: 1) Durum: x ≥ 3 Bu durumda: | x - 3 | = x - 3 Denkleme yazalım: x - 3 = x + 1 Her iki taraftan da x çıkaralım: - 3 = 1 Bu imkânsız olduğu için bu durumdan çözüm gelmez. 2) Durum: x < 3 Bu durumda: | x - 3 | = 3 - x Denkleme yazalım: 3 - x = x + 1 Taraf tarafa düzenleyelim: 3 - 1 = x + x 2 = 2 x x = 1 Kontrol: Bulduğumuz değer hem koşulu sağlıyor hem de sağ taraf negatif olmuyor. 1 < 3 1 ≥ - 1 Sonuç: x = 1 Doğru cevap D648 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Soruda verilen eşitsizlik: | x - 3 | < 2 Mutlak değer kuralı: | a | < b ⟺ - b < a < b Burada a = x - 3 ve b = 2 olduğundan eşitsizliği çift taraflı yazalım: - 2 < x - 3 < 2 Şimdi her tarafa 3 ekleyelim: - 2 + 3 < x - 3 + 3 < 2 + 3 Sadeleştirme: 1 < x < 5 Bu aralık şıklarda 1 < x < 5 ifadesine karşılık gelir. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Soruda verilen eşitsizlik: | x - 3 | < 2 Mutlak değer kuralı: | a | < b ⟺ - b < a < b Burada a = x - 3 ve b = 2 olduğundan eşitsizliği çift taraflı yazalım: - 2 < x - 3 < 2 Şimdi her tarafa 3 ekleyelim: - 2 + 3 < x - 3 + 3 < 2 + 3 Sadeleştirme: 1 < x < 5 Bu aralık şıklarda 1 < x < 5 ifadesine karşılık gelir. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Denklem: | 2 x - 3 | + | x + 1 | = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 2, x = - 1 1) Durum: x >= 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 3 x - 2 = 7 3 x = 9 x = 3 Kontrol: 3 >= 3 2 sağlar, çözüm geçerli. 2) Durum: - 1 <= x < 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = x + 1 Denklem: 3 - 2 x + x + 1 = 7 4 - x = 7 x = - 3 Kontrol: - 3 <= x olduğu için x = - 3 bu aralıkta değildir, geçersiz. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = - x + 1 Denklem: 3 - 2 x + - x + 1 = 7 2 - 3 x = 7 - 3 x = 5 x = - 5 3 Kontrol: - 5 3 < - 1 sağlar, çözüm geçerli. Geçerli çözümler: x = 3, x = - 5 3 Gerçel çözüm sayısı: 2 Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Denklem: | 2 x - 3 | + | x + 1 | = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0 x + 1 = 0 x = 3 2, x = - 1 1) Durum: x >= 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 3 x - 2 = 7 3 x = 9 x = 3 Kontrol: 3 >= 3 2 sağlar, çözüm geçerli. 2) Durum: - 1 <= x < 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = x + 1 Denklem: 3 - 2 x + x + 1 = 7 4 - x = 7 x = - 3 Kontrol: - 3 <= x olduğu için x = - 3 bu aralıkta değildir, geçersiz. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = 3 - 2 x | x + 1 | = - x + 1 Denklem: 3 - 2 x + - x + 1 = 7 2 - 3 x = 7 - 3 x = 5 x = - 5 3 Kontrol: - 5 3 < - 1 sağlar, çözüm geçerli. Geçerli çözümler: x = 3, x = - 5 3 Gerçel çözüm sayısı: 2 Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: | x - 2 | = | 2 x + 1 | Mutlak değerlerin eşitliği için iki durum incelenir: 1) İçler eşit olabilir: x - 2 = 2 x + 1 x - 2 - 2 x = 1 - x - 2 = 1 - x = 3 x = - 3 2) İçler zıt işaretli olabilir: x - 2 = - ( 2 x + 1 ) x - 2 = - 2 x - 1 x + 2 x = - 1 + 2 3 x = 1 x = 1 3 Çözüm kümesi: { - 3, 1 3 } Bu küme şıklarda seçeneğiC328dir; dolayısıyla doğru cevap C355 ’dır.

1. Çözüm: Verilen denklem: | x - 2 | = | 2 x + 1 | Mutlak değerlerin eşitliği için iki durum incelenir: 1) İçler eşit olabilir: x - 2 = 2 x + 1 x - 2 - 2 x = 1 - x - 2 = 1 - x = 3 x = - 3 2) İçler zıt işaretli olabilir: x - 2 = - ( 2 x + 1 ) x - 2 = - 2 x - 1 x + 2 x = - 1 + 2 3 x = 1 x = 1 3 Çözüm kümesi: { - 3, 1 3 } Bu küme şıklarda seçeneğiC328dir; dolayısıyla doğru cevap C355 ’dır.

Doğru cevap: D

Denklem: 2 x - 5 = 3 Mutlak değer tanımına göre iki durum yazılır: 2 x - 5 = 3 2 x - 5 = - 3 1. durumun çözümü: 2 x - 5 = 3 2 x = 8 x = 4 2. durumun çözümü: 2 x - 5 = - 3 2 x = 2 x = 1 Çözümlerin toplamı: 4 + 1 = 5 Toplam şık olarak A ile uyumludur.

1. Çözüm: Denklem: 2 x - 5 = 3 Mutlak değer tanımına göre iki durum yazılır: 2 x - 5 = 3 2 x - 5 = - 3 1. durumun çözümü: 2 x - 5 = 3 2 x = 8 x = 4 2. durumun çözümü: 2 x - 5 = - 3 2 x = 2 x = 1 Çözümlerin toplamı: 4 + 1 = 5 Toplam şık olarak A ile uyumludur.

Doğru cevap: A

Denklem: | x - 1 | + | x + 2 | = | 2 x - 3 | + 4 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 2, x = 1, x = 3 2 Bu noktalara göre aralıklar incelenir. Durum 1: x < - 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = - x - 2 | 2 x - 3 | = 3 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( - x - 2 ) = ( 3 - 2 x ) + 4 - 2 x - 1 = 7 - 2 x - 1 = 7 Çelişki olduğu için bu aralıktan çözüm gelmez. Durum 2: - 2 ≤ x < 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = x + 2 | 2 x - 3 | = 3 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = ( 3 - 2 x ) + 4 3 = 7 - 2 x 2 x = 4 x = 2 Bulunan değer bu aralıkta olmadığı için bu aralıktan çözüm gelmez. Durum 3: 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 | 2 x - 3 | = 3 - 2 x Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = ( 3 - 2 x ) + 4 2 x + 1 = 7 - 2 x 4 x = 6 x = 3 2 Bulunan değer aralığın sağ ucudur; bu yüzden ayrıca kontrol edilir. Durum 4: x ≥ 3 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 | 2 x - 3 | = 2 x - 3 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = ( 2 x - 3 ) + 4 2 x + 1 = 2 x + 1 Bu eşitlik her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler çözümdür. Sınır noktası kontrolü: x = 3 2 | 3 2 - 1 | + | 3 2 + 2 | = | 2 · 3 2 - 3 | + 4 | 1 2 | + | 7 2 | = | 0 | + 4 4 = 4 Sınır değer de sağlandığı için dahil edilir. Çözüm kümesi: [ 3 2, ∞ ) Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Denklem: | x - 1 | + | x + 2 | = | 2 x - 3 | + 4 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 2, x = 1, x = 3 2 Bu noktalara göre aralıklar incelenir. Durum 1: x < - 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = - x - 2 | 2 x - 3 | = 3 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( - x - 2 ) = ( 3 - 2 x ) + 4 - 2 x - 1 = 7 - 2 x - 1 = 7 Çelişki olduğu için bu aralıktan çözüm gelmez. Durum 2: - 2 ≤ x < 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = x + 2 | 2 x - 3 | = 3 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = ( 3 - 2 x ) + 4 3 = 7 - 2 x 2 x = 4 x = 2 Bulunan değer bu aralıkta olmadığı için bu aralıktan çözüm gelmez. Durum 3: 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 | 2 x - 3 | = 3 - 2 x Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = ( 3 - 2 x ) + 4 2 x + 1 = 7 - 2 x 4 x = 6 x = 3 2 Bulunan değer aralığın sağ ucudur; bu yüzden ayrıca kontrol edilir. Durum 4: x ≥ 3 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 | 2 x - 3 | = 2 x - 3 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = ( 2 x - 3 ) + 4 2 x + 1 = 2 x + 1 Bu eşitlik her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler çözümdür. Sınır noktası kontrolü: x = 3 2 | 3 2 - 1 | + | 3 2 + 2 | = | 2 · 3 2 - 3 | + 4 | 1 2 | + | 7 2 | = | 0 | + 4 4 = 4 Sınır değer de sağlandığı için dahil edilir. Çözüm kümesi: [ 3 2, ∞ ) Doğru seçenek: A

Doğru cevap: B

Denklem: | x - 2 | + | x + 1 | = 5 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: x - 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu nedenle sayıyı 3 bölgeye ayırırız: x < - 1 - 1 ≤ x ≤ 2 x > 2 1) Durum: x > 2 Bu bölgede her iki ifade de pozitif olur: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: x - 2 + x + 1 = 5 2 x - 1 = 5 2 x = 6 x = 3 Bulunan değer bu aralıkta uygundur: 3 > 2 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 2 Bu bölgede: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: 2 - x + x + 1 = 5 3 = 5 Bu bir çelişkidir, dolayısıyla bu aralıkta çözüm yoktur. 3) Durum: x < - 1 Bu bölgede her iki ifade de negatif olur (mutlak değer dışarı çıkınca işaret değiştirir): | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = - x - 1 Denkleme yazalım: 2 - x + - x - 1 = 5 1 - 2 x = 5 - 2 x = 4 x = - 2 Bulunan değer bu aralıkta uygundur: - 2 < - 1 Toplam çözümler: x = - 2 x = 3 Dolayısıyla farklı çözüm sayısı: 2 Doğru seçenek B903’dir.

1. Çözüm: Denklem: | x - 2 | + | x + 1 | = 5 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: x - 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = - 1 Bu nedenle sayıyı 3 bölgeye ayırırız: x < - 1 - 1 ≤ x ≤ 2 x > 2 1) Durum: x > 2 Bu bölgede her iki ifade de pozitif olur: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: x - 2 + x + 1 = 5 2 x - 1 = 5 2 x = 6 x = 3 Bulunan değer bu aralıkta uygundur: 3 > 2 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 2 Bu bölgede: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: 2 - x + x + 1 = 5 3 = 5 Bu bir çelişkidir, dolayısıyla bu aralıkta çözüm yoktur. 3) Durum: x < - 1 Bu bölgede her iki ifade de negatif olur (mutlak değer dışarı çıkınca işaret değiştirir): | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = - x - 1 Denkleme yazalım: 2 - x + - x - 1 = 5 1 - 2 x = 5 - 2 x = 4 x = - 2 Bulunan değer bu aralıkta uygundur: - 2 < - 1 Toplam çözümler: x = - 2 x = 3 Dolayısıyla farklı çözüm sayısı: 2 Doğru seçenek B903’dir.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: 2 x - 5 = 3 Mutlak değer tanımı gereği iki durum incelenir: 2 x - 5 = 3 2 x - 5 = - 3 1. durumun çözümü: 2 x - 5 = 3 2 x = 8 x = 4 2. durumun çözümü: 2 x - 5 = - 3 2 x = 2 x = 1 Çözüm kümesindeki elemanların toplamı: 4 + 1 = 5 Sonuç: 5 Doğru cevap C253 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 5 = 3 Mutlak değer tanımı gereği iki durum incelenir: 2 x - 5 = 3 2 x - 5 = - 3 1. durumun çözümü: 2 x - 5 = 3 2 x = 8 x = 4 2. durumun çözümü: 2 x - 5 = - 3 2 x = 2 x = 1 Çözüm kümesindeki elemanların toplamı: 4 + 1 = 5 Sonuç: 5 Doğru cevap C253 şıkkıdır.