9. Sınıf Matematik Mutlak Değer Testleri

Doğru cevap: B

Verilen denklem: x - 3 + x + 1 = 2 ⁢ x - 1 + 4 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 1, x = 1, x = 3 Bu yüzden gerçek sayıları şu aralıklara ayırırız: ( - ∞, - 1 ], [ - 1, 1 ], [ 1, 3 ], [ 3, ∞ ) 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = - x - 1 x - 1 = 1 - x Denklem: ( 3 - x ) + ( - x - 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 4 2 - 2 x = 6 - 2 x 2 = 6 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 1 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = 1 - x Denklem: ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 4 4 = 6 - 2 x - 2 = - 2 x x = 1 Bulunan değer aralık koşulunu sağlıyor. 3) Durum: 1 ≤ x ≤ 3 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 Denklem: ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 4 = 2 x + 2 2 = 2 x x = 1 Yine x = 1 bulunur (sınır noktası olduğu için önceki durumla aynı köktür, yeni bir kök değildir). 4) Durum: x ≥ 3 Bu aralıkta: x - 3 = x - 3 x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 Denklem: ( x - 3 ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 2 x - 2 = 2 x + 2 - 2 = 2 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. Sonuç: Denklemin tek bir gerçek kökü vardır: x = 1 Dolayısıyla gerçek sayılarda çözüm sayısı: 1 Doğru seçenek: B.

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 3 + x + 1 = 2 ⁢ x - 1 + 4 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 1, x = 1, x = 3 Bu yüzden gerçek sayıları şu aralıklara ayırırız: ( - ∞, - 1 ], [ - 1, 1 ], [ 1, 3 ], [ 3, ∞ ) 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = - x - 1 x - 1 = 1 - x Denklem: ( 3 - x ) + ( - x - 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 4 2 - 2 x = 6 - 2 x 2 = 6 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 1 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = 1 - x Denklem: ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 4 4 = 6 - 2 x - 2 = - 2 x x = 1 Bulunan değer aralık koşulunu sağlıyor. 3) Durum: 1 ≤ x ≤ 3 Bu aralıkta: x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 Denklem: ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 4 = 2 x + 2 2 = 2 x x = 1 Yine x = 1 bulunur (sınır noktası olduğu için önceki durumla aynı köktür, yeni bir kök değildir). 4) Durum: x ≥ 3 Bu aralıkta: x - 3 = x - 3 x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 Denklem: ( x - 3 ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 2 x - 2 = 2 x + 2 - 2 = 2 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. Sonuç: Denklemin tek bir gerçek kökü vardır: x = 1 Dolayısıyla gerçek sayılarda çözüm sayısı: 1 Doğru seçenek: B.

Doğru cevap: B

Verilen denklem: x - 1 + x - 4 = 2 x - 5 + 3 Mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan kritik noktalar: x = 1, x = 5 2, x = 4 Bu noktalara göre aralıkları inceleyelim. Durum 1: x ≤ 1 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = 1 - x x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( 4 - x ) = ( 5 - 2 x ) + 3 Basitleştirelim: 5 - 2 x = 8 - 2 x Bu eşitlik sağlanmaz; bu aralıktan çözüm gelmez. Durum 2: 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = ( 5 - 2 x ) + 3 Sol taraf: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = 3 O halde: 3 = 5 - 2 x + 3 3 = 8 - 2 x 2 x = 5 x = 5 2 Bu değer aralıkta olduğundan bir çözümdür. Durum 3: 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 2 x - 5 Denklem: 3 = ( 2 x - 5 ) + 3 3 = 2 x - 2 2 x = 5 x = 5 2 Aynı kök tekrar geldi; yeni bir çözüm yoktur. Durum 4: x ≥ 4 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = x - 4 2 x - 5 = 2 x - 5 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x - 4 ) = ( 2 x - 5 ) + 3 Basitleştirelim: 2 x - 5 = 2 x - 2 Bu eşitlik sağlanmaz; bu aralıktan çözüm gelmez. Sonuç olarak tek gerçek kök vardır: x = 5 2 Gerçel çözüm sayısı: 1 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 1 + x - 4 = 2 x - 5 + 3 Mutlak değerlerin içlerini sıfır yapan kritik noktalar: x = 1, x = 5 2, x = 4 Bu noktalara göre aralıkları inceleyelim. Durum 1: x ≤ 1 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = 1 - x x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( 4 - x ) = ( 5 - 2 x ) + 3 Basitleştirelim: 5 - 2 x = 8 - 2 x Bu eşitlik sağlanmaz; bu aralıktan çözüm gelmez. Durum 2: 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = ( 5 - 2 x ) + 3 Sol taraf: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = 3 O halde: 3 = 5 - 2 x + 3 3 = 8 - 2 x 2 x = 5 x = 5 2 Bu değer aralıkta olduğundan bir çözümdür. Durum 3: 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 2 x - 5 Denklem: 3 = ( 2 x - 5 ) + 3 3 = 2 x - 2 2 x = 5 x = 5 2 Aynı kök tekrar geldi; yeni bir çözüm yoktur. Durum 4: x ≥ 4 Bu aralıkta mutlak değerler: x - 1 = x - 1 x - 4 = x - 4 2 x - 5 = 2 x - 5 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x - 4 ) = ( 2 x - 5 ) + 3 Basitleştirelim: 2 x - 5 = 2 x - 2 Bu eşitlik sağlanmaz; bu aralıktan çözüm gelmez. Sonuç olarak tek gerçek kök vardır: x = 5 2 Gerçel çözüm sayısı: 1 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: | | x - 1 | - | x + 3 | | = 2 Kritik noktalar (mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler): x - 1 = 0 x + 3 = 0 Buna göre sayı doğrusunu aralıklara ayırırız: x ≤ - 3 - 3 ≤ x ≤ 1 x ≥ 1 1) Aralık: x ≥ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x + 3 | = x + 3 Denklem: | ( x - 1 ) - ( x + 3 ) | = 2 | - 4 | = 2 Bu sağlanmaz, bu aralıktan kök gelmez. 2) Aralık: - 3 ≤ x ≤ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 3 | = x + 3 Denklem: | ( 1 - x ) - ( x + 3 ) | = 2 | - 2 x - 2 | = 2 | 2 x + 2 | = 2 2 ⋅ | x + 1 | = 2 | x + 1 | = 1 Buradan: x + 1 = 1 x = 0 x + 1 = - 1 x = - 2 Her iki değer de ilgili aralıkta olduğundan köktür. 3) Aralık: x ≤ - 3 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 3 | = - x - 3 Denklem: | ( 1 - x ) - ( - x - 3 ) | = 2 | 4 | = 2 Bu da sağlanmaz, bu aralıktan kök gelmez. Sonuç: Gerçek kökler x = - 2 x = 0 Gerçek kök sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.

1. Çözüm: Verilen denklem: | | x - 1 | - | x + 3 | | = 2 Kritik noktalar (mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler): x - 1 = 0 x + 3 = 0 Buna göre sayı doğrusunu aralıklara ayırırız: x ≤ - 3 - 3 ≤ x ≤ 1 x ≥ 1 1) Aralık: x ≥ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x + 3 | = x + 3 Denklem: | ( x - 1 ) - ( x + 3 ) | = 2 | - 4 | = 2 Bu sağlanmaz, bu aralıktan kök gelmez. 2) Aralık: - 3 ≤ x ≤ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 3 | = x + 3 Denklem: | ( 1 - x ) - ( x + 3 ) | = 2 | - 2 x - 2 | = 2 | 2 x + 2 | = 2 2 ⋅ | x + 1 | = 2 | x + 1 | = 1 Buradan: x + 1 = 1 x = 0 x + 1 = - 1 x = - 2 Her iki değer de ilgili aralıkta olduğundan köktür. 3) Aralık: x ≤ - 3 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x + 3 | = - x - 3 Denklem: | ( 1 - x ) - ( - x - 3 ) | = 2 | 4 | = 2 Bu da sağlanmaz, bu aralıktan kök gelmez. Sonuç: Gerçek kökler x = - 2 x = 0 Gerçek kök sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.

Doğru cevap: B

Verilen denklem: x - 2 + x + 3 = 2 ⁢ x - 1 + 4 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 3, x = 1, x = 2 Bu yüzden sayı doğrusunu şu aralıklarda inceleriz: x ≤ - 3;   - 3 ≤ x ≤ 1;   1 ≤ x ≤ 2;   x ≥ 2 1) Durum: x ≤ - 3 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = - x + 2 x + 3 = - x - 3 x - 1 = - x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 3 ) = 2 ( - x + 1 ) + 4 Sadeleştirelim: - 2 x - 1 = - 2 x + 6 Bu eşitlik sağlanamaz (çelişki), bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: - 3 ≤ x ≤ 1 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = - x + 2 x + 3 = x + 3 x - 1 = - x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 2 ( - x + 1 ) + 4 Sadeleştirelim: 5 = - 2 x + 6 Çözelim: - 2 x = - 1 x = 1 2 Bu değer aralıkta olduğu için 1 çözüm bulundu. 3) Durum: 1 ≤ x ≤ 2 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = - x + 2 x + 3 = x + 3 x - 1 = x - 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 Sadeleştirelim: 5 = 2 x + 2 Çözelim: 2 x = 3 x = 3 2 Bu değer aralıkta olduğu için 2. çözüm bulundu. 4) Durum: x ≥ 2 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = x - 2 x + 3 = x + 3 x - 1 = x - 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 3 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 Sadeleştirelim: 2 x + 1 = 2 x + 2 Bu eşitlik sağlanamaz (çelişki), bu aralıkta çözüm yoktur. Toplam farklı gerçek çözüm sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 2 + x + 3 = 2 ⁢ x - 1 + 4 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 3, x = 1, x = 2 Bu yüzden sayı doğrusunu şu aralıklarda inceleriz: x ≤ - 3;   - 3 ≤ x ≤ 1;   1 ≤ x ≤ 2;   x ≥ 2 1) Durum: x ≤ - 3 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = - x + 2 x + 3 = - x - 3 x - 1 = - x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 3 ) = 2 ( - x + 1 ) + 4 Sadeleştirelim: - 2 x - 1 = - 2 x + 6 Bu eşitlik sağlanamaz (çelişki), bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: - 3 ≤ x ≤ 1 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = - x + 2 x + 3 = x + 3 x - 1 = - x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 2 ( - x + 1 ) + 4 Sadeleştirelim: 5 = - 2 x + 6 Çözelim: - 2 x = - 1 x = 1 2 Bu değer aralıkta olduğu için 1 çözüm bulundu. 3) Durum: 1 ≤ x ≤ 2 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = - x + 2 x + 3 = x + 3 x - 1 = x - 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 Sadeleştirelim: 5 = 2 x + 2 Çözelim: 2 x = 3 x = 3 2 Bu değer aralıkta olduğu için 2. çözüm bulundu. 4) Durum: x ≥ 2 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = x - 2 x + 3 = x + 3 x - 1 = x - 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 3 ) = 2 ( x - 1 ) + 4 Sadeleştirelim: 2 x + 1 = 2 x + 2 Bu eşitlik sağlanamaz (çelişki), bu aralıkta çözüm yoktur. Toplam farklı gerçek çözüm sayısı: 2 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

Soru ifadesini f ( x ) = x − 2 + x + 1 − 2 x − 1 Mutlak değerlerin içinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 2 x − 1 = 0 ⇒ x = 1 2 Buna göre aralıklar: x ≤ − 1, − 1 ≤ x ≤ 1 2, 1 2 ≤ x ≤ 2, x ≥ 2 1) x ≤ − 1 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = − x − 1 2 x − 1 = 1 − 2 x Yerine yazalım: f ( x ) = ( 2 − x ) + ( − x − 1 ) − ( 1 − 2 x ) = 0 2) − 1 ≤ x ≤ 1 2 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = x + 1 2 x − 1 = 1 − 2 x Yerine yazalım: f ( x ) = ( 2 − x ) + ( x + 1 ) − ( 1 − 2 x ) = 2 + 2 x Bu doğrusal ifade artandır, maksimum sağ uçta olur: x = 1 2 ⇒ f ( 1 2 ) = 2 + 2 ⋅ 1 2 = 3 3) 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = x + 1 2 x − 1 = 2 x − 1 Yerine yazalım: f ( x ) = ( 2 − x ) + ( x + 1 ) − ( 2 x − 1 ) = 4 − 2 x Bu doğrusal ifade azalandır, maksimum sol uçta olur: x = 1 2 ⇒ f ( 1 2 ) = 3 4) x ≥ 2 Bu aralıkta: x − 2 = x − 2 x + 1 = x + 1 2 x − 1 = 2 x − 1 Yerine yazalım: f ( x ) = ( x − 2 ) + ( x + 1 ) − ( 2 x − 1 ) = 0 Tüm aralıklarda bulunan en büyük değer: f ( x ) ≤ 3 ve bu değer x = 1 2 için alınır. Dolayısıyla doğru cevap 3 olur; yani C şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Soru ifadesini f ( x ) = x − 2 + x + 1 − 2 x − 1 Mutlak değerlerin içinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 2 x − 1 = 0 ⇒ x = 1 2 Buna göre aralıklar: x ≤ − 1, − 1 ≤ x ≤ 1 2, 1 2 ≤ x ≤ 2, x ≥ 2 1) x ≤ − 1 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = − x − 1 2 x − 1 = 1 − 2 x Yerine yazalım: f ( x ) = ( 2 − x ) + ( − x − 1 ) − ( 1 − 2 x ) = 0 2) − 1 ≤ x ≤ 1 2 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = x + 1 2 x − 1 = 1 − 2 x Yerine yazalım: f ( x ) = ( 2 − x ) + ( x + 1 ) − ( 1 − 2 x ) = 2 + 2 x Bu doğrusal ifade artandır, maksimum sağ uçta olur: x = 1 2 ⇒ f ( 1 2 ) = 2 + 2 ⋅ 1 2 = 3 3) 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = x + 1 2 x − 1 = 2 x − 1 Yerine yazalım: f ( x ) = ( 2 − x ) + ( x + 1 ) − ( 2 x − 1 ) = 4 − 2 x Bu doğrusal ifade azalandır, maksimum sol uçta olur: x = 1 2 ⇒ f ( 1 2 ) = 3 4) x ≥ 2 Bu aralıkta: x − 2 = x − 2 x + 1 = x + 1 2 x − 1 = 2 x − 1 Yerine yazalım: f ( x ) = ( x − 2 ) + ( x + 1 ) − ( 2 x − 1 ) = 0 Tüm aralıklarda bulunan en büyük değer: f ( x ) ≤ 3 ve bu değer x = 1 2 için alınır. Dolayısıyla doğru cevap 3 olur; yani C şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: B

İfade için bir fonksiyon tanımlayalım: f ( x ) = x - 1 + x + 2 + 2 x - 3 Son terimi mutlak değerin içinden ortak katsayı alarak düzenleyelim: 2 x - 3 = 2 ( x - 3 2 ) = 2 x - 3 2 Böylece toplam, bir “ağırlıklı mutlak değer toplamı” olur: f ( x ) = x - 1 + x - - 2 + 2 x - 3 2 Bu tip ifadelerde minimum, “ağırlıklı medyan” noktasında alınır. Noktalar ve ağırlıkları: Noktalar:   - 2, 1, 3 2    Ağırlıklar:   1, 1, 2 Sıralı olarak soldan sağa giderken kümülatif ağırlıklar toplam ağırlığın yarısını geçtiği yerde minimum oluşur. Toplam ağırlık: 1 + 1 + 2 = 4 Yarısı: 4 2 = 2 Sıralı noktalar ve kümülatif ağırlık: - 2   için   1;   1   için   2;   3 2   için   4 Kümülatif ağırlık değeri, noktada x = 1 iken yarıya ulaşır; dolayısıyla minimum burada alınır. Şimdi değeri hesaplayalım: f ( 1 ) = 1 - 1 + 1 + 2 + 2 ⋅ 1 - 3 f ( 1 ) = 0 + 3 + 1 = 4 En küçük değer 4 olur. Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: İfade için bir fonksiyon tanımlayalım: f ( x ) = x - 1 + x + 2 + 2 x - 3 Son terimi mutlak değerin içinden ortak katsayı alarak düzenleyelim: 2 x - 3 = 2 ( x - 3 2 ) = 2 x - 3 2 Böylece toplam, bir “ağırlıklı mutlak değer toplamı” olur: f ( x ) = x - 1 + x - - 2 + 2 x - 3 2 Bu tip ifadelerde minimum, “ağırlıklı medyan” noktasında alınır. Noktalar ve ağırlıkları: Noktalar:   - 2, 1, 3 2    Ağırlıklar:   1, 1, 2 Sıralı olarak soldan sağa giderken kümülatif ağırlıklar toplam ağırlığın yarısını geçtiği yerde minimum oluşur. Toplam ağırlık: 1 + 1 + 2 = 4 Yarısı: 4 2 = 2 Sıralı noktalar ve kümülatif ağırlık: - 2   için   1;   1   için   2;   3 2   için   4 Kümülatif ağırlık değeri, noktada x = 1 iken yarıya ulaşır; dolayısıyla minimum burada alınır. Şimdi değeri hesaplayalım: f ( 1 ) = 1 - 1 + 1 + 2 + 2 ⋅ 1 - 3 f ( 1 ) = 0 + 3 + 1 = 4 En küçük değer 4 olur. Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

İfade: | x - 4 | + | x - 1 | + 2 | x + 2 | Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = -2, x = 1, x = 4 Fonksiyonu tanımlayalım: f ( x ) = | x - 4 | + | x - 1 | + 2 | x + 2 | Kritik noktalara göre aralıkları inceleyelim. 1) x ≥ 4 iken: | x - 4 | = x - 4 | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 Yerine yazalım: f ( x ) = ( x - 4 ) + ( x - 1 ) + 2 ( x + 2 ) = 4 x - 1 Bu aralıkta doğrusal ve artandır, en küçük değer sınırda x = 4 ’te: f ( 4 ) = 4 × 4 - 1 = 15 2) 1 ≤ x ≤ 4 iken: | x - 4 | = 4 - x | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 Yerine yazalım: f ( x ) = ( 4 - x ) + ( x - 1 ) + 2 ( x + 2 ) = 2 x + 7 Bu aralıkta doğrusal ve artandır, en küçük değer sol uçta x = 1 ’de: f ( 1 ) = 2 × 1 + 7 = 9 3) -2 ≤ x ≤ 1 iken: | x - 4 | = 4 - x | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = x + 2 Yerine yazalım: f ( x ) = ( 4 - x ) + ( 1 - x ) + 2 ( x + 2 ) = 9 Bu aralıkta ifade sabittir; her x için değer 9 olur. 4) x ≤ -2 iken: | x - 4 | = 4 - x | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = - ( x + 2 ) Yerine yazalım: f ( x ) = ( 4 - x ) + ( 1 - x ) + 2 ( - x - 2 ) = 1 - 4 x Bu aralıkta doğrusal ve azalandır; en küçük değer sağ uçta x = -2 ’de: f ( - 2 ) = 1 - 4 × ( - 2 ) = 9 Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: f ( 4 ) = 15, f ( 1 ) = 9, f ( - 2 ) = 9 Global minimum: f ( x ) = 9 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: İfade: | x - 4 | + | x - 1 | + 2 | x + 2 | Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = -2, x = 1, x = 4 Fonksiyonu tanımlayalım: f ( x ) = | x - 4 | + | x - 1 | + 2 | x + 2 | Kritik noktalara göre aralıkları inceleyelim. 1) x ≥ 4 iken: | x - 4 | = x - 4 | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 Yerine yazalım: f ( x ) = ( x - 4 ) + ( x - 1 ) + 2 ( x + 2 ) = 4 x - 1 Bu aralıkta doğrusal ve artandır, en küçük değer sınırda x = 4 ’te: f ( 4 ) = 4 × 4 - 1 = 15 2) 1 ≤ x ≤ 4 iken: | x - 4 | = 4 - x | x - 1 | = x - 1 | x + 2 | = x + 2 Yerine yazalım: f ( x ) = ( 4 - x ) + ( x - 1 ) + 2 ( x + 2 ) = 2 x + 7 Bu aralıkta doğrusal ve artandır, en küçük değer sol uçta x = 1 ’de: f ( 1 ) = 2 × 1 + 7 = 9 3) -2 ≤ x ≤ 1 iken: | x - 4 | = 4 - x | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = x + 2 Yerine yazalım: f ( x ) = ( 4 - x ) + ( 1 - x ) + 2 ( x + 2 ) = 9 Bu aralıkta ifade sabittir; her x için değer 9 olur. 4) x ≤ -2 iken: | x - 4 | = 4 - x | x - 1 | = 1 - x | x + 2 | = - ( x + 2 ) Yerine yazalım: f ( x ) = ( 4 - x ) + ( 1 - x ) + 2 ( - x - 2 ) = 1 - 4 x Bu aralıkta doğrusal ve azalandır; en küçük değer sağ uçta x = -2 ’de: f ( - 2 ) = 1 - 4 × ( - 2 ) = 9 Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: f ( 4 ) = 15, f ( 1 ) = 9, f ( - 2 ) = 9 Global minimum: f ( x ) = 9 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Soru: x - 1 + x - 4 = 2 x - 5 + 3 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirleyelim: x = 1 x = 4 2 x - 5 = 0 x = 5 2 Bu nedenle aralıkları şu şekilde inceleyeceğiz: x ≤ 1 1 ≤ x ≤ 5 2 5 2 ≤ x ≤ 4 x ≥ 4 1. Durum: Aralık x ≤ 1 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( 4 - x ) = ( 5 - 2 x ) + 3 Sadeleştirelim: 5 - 2 x = 8 - 2 x Bu eşitlik sağlanamaz, bu aralıkta çözüm yoktur. 2. Durum: Aralık 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Önce sol taraf: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = 3 Denklemi kuralım: 3 = ( 5 - 2 x ) + 3 Çözelim: 3 = 8 - 2 x 2 x = 5 x = 5 2 Bulduğumuz değer bu aralıkta olduğu için geçerlidir. 3. Durum: Aralık 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 2 x - 5 Yine sol taraf: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = 3 Denklem: 3 = ( 2 x - 5 ) + 3 Çözelim: 3 = 2 x - 2 2 x = 5 x = 5 2 Bu aralıkta da aynı çözüm elde edilir (uç noktada). 4. Durum: Aralık x ≥ 4 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x - 4 = x - 4 2 x - 5 = 2 x - 5 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x - 4 ) = ( 2 x - 5 ) + 3 Sadeleştirme: 2 x - 5 = 2 x - 2 Bu eşitlik sağlanamaz, bu aralıkta çözüm yoktur. Tüm gerçek çözümler: x = 5 2 Çözümlerin toplamı: 5 2 Sonuç: Doğru seçenek B

1. Çözüm: Soru: x - 1 + x - 4 = 2 x - 5 + 3 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirleyelim: x = 1 x = 4 2 x - 5 = 0 x = 5 2 Bu nedenle aralıkları şu şekilde inceleyeceğiz: x ≤ 1 1 ≤ x ≤ 5 2 5 2 ≤ x ≤ 4 x ≥ 4 1. Durum: Aralık x ≤ 1 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( 4 - x ) = ( 5 - 2 x ) + 3 Sadeleştirelim: 5 - 2 x = 8 - 2 x Bu eşitlik sağlanamaz, bu aralıkta çözüm yoktur. 2. Durum: Aralık 1 ≤ x ≤ 5 2 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 5 - 2 x Önce sol taraf: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = 3 Denklemi kuralım: 3 = ( 5 - 2 x ) + 3 Çözelim: 3 = 8 - 2 x 2 x = 5 x = 5 2 Bulduğumuz değer bu aralıkta olduğu için geçerlidir. 3. Durum: Aralık 5 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x - 4 = 4 - x 2 x - 5 = 2 x - 5 Yine sol taraf: ( x - 1 ) + ( 4 - x ) = 3 Denklem: 3 = ( 2 x - 5 ) + 3 Çözelim: 3 = 2 x - 2 2 x = 5 x = 5 2 Bu aralıkta da aynı çözüm elde edilir (uç noktada). 4. Durum: Aralık x ≥ 4 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x - 4 = x - 4 2 x - 5 = 2 x - 5 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x - 4 ) = ( 2 x - 5 ) + 3 Sadeleştirme: 2 x - 5 = 2 x - 2 Bu eşitlik sağlanamaz, bu aralıkta çözüm yoktur. Tüm gerçek çözümler: x = 5 2 Çözümlerin toplamı: 5 2 Sonuç: Doğru seçenek B

Doğru cevap: C

Verilen denklem: x - 2 + x + 1 = 5 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 1. Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta iki ifade de sıfırdan büyüktür: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) = 5 2 x - 1 = 5 2 x = 6 x = 3 Koşul kontrolü: 3 ≥ 2 2. Durum: - 1 ≤ x < 2 Bu aralıkta işaretler: x - 2 = - ( x - 2 ) x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: - ( x - 2 ) + ( x + 1 ) = 5 ( - x + 2 ) + ( x + 1 ) = 5 3 = 5 Çelişki olduğundan bu aralıktan çözüm gelmez. 3. Durum: x < - 1 Bu aralıkta iki ifade de sıfırdan küçüktür: x - 2 = - ( x - 2 ) x + 1 = - ( x + 1 ) Denkleme yazalım: - ( x - 2 ) + - ( x + 1 ) = 5 ( - x + 2 ) + ( - x - 1 ) = 5 - 2 x + 1 = 5 - 2 x = 4 x = - 2 Koşul kontrolü: - 2 < - 1 Sonuç (çözüm kümesi): - 2, 3 Dolayısıyla doğru seçenek: C

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 2 + x + 1 = 5 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 1. Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta iki ifade de sıfırdan büyüktür: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) = 5 2 x - 1 = 5 2 x = 6 x = 3 Koşul kontrolü: 3 ≥ 2 2. Durum: - 1 ≤ x < 2 Bu aralıkta işaretler: x - 2 = - ( x - 2 ) x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: - ( x - 2 ) + ( x + 1 ) = 5 ( - x + 2 ) + ( x + 1 ) = 5 3 = 5 Çelişki olduğundan bu aralıktan çözüm gelmez. 3. Durum: x < - 1 Bu aralıkta iki ifade de sıfırdan küçüktür: x - 2 = - ( x - 2 ) x + 1 = - ( x + 1 ) Denkleme yazalım: - ( x - 2 ) + - ( x + 1 ) = 5 ( - x + 2 ) + ( - x - 1 ) = 5 - 2 x + 1 = 5 - 2 x = 4 x = - 2 Koşul kontrolü: - 2 < - 1 Sonuç (çözüm kümesi): - 2, 3 Dolayısıyla doğru seçenek: C

Doğru cevap: A

Soru: 2 x - 1 - 3 = x - 2 Kolaylık için a = 2 x - 1 tanımlayalım. Böylece denklem a - 3 = x - 2 olur. Durum 1: a ≥ 3 Bu durumda a - 3 = a - 3 olur ve denklem a - 3 = x - 2 şeklindedir. Durum 1a: x ≥ 2 Bu durumda x - 2 = x - 2 olur. Denklem a - 3 = x - 2 buradan a = x + 1 yani 2 x - 1 = x + 1 olur. Bu aralıkta 2 x - 1 ≥ 0 olduğundan 2 x - 1 = x + 1 ve buradan x = 2 bulunur (koşulu da sağlar). Durum 1b: x < 2 Bu durumda x - 2 = 2 - x olur. Denklem a - 3 = 2 - x buradan a = 5 - x yani 2 x - 1 = 5 - x olur. Alt durumlar: Eğer x ≥ 1 2 ise 2 x - 1 = 5 - x buradan x = 2 çıkar; fakat x < 2 koşuluna uymaz. Eğer x < 1 2 ise 1 - 2 x = 5 - x buradan x = - 4 bulunur (koşulu da sağlar). Durum 2: a < 3 Bu durumda a - 3 = 3 - a olur ve denklem 3 - a = x - 2 buradan a = 3 - x - 2 yani 2 x - 1 = 3 - x - 2 elde edilir. Durum 2a: x ≥ 2 Bu durumda x - 2 = x - 2 olur ve 2 x - 1 = 5 - x denklemi çıkar. Bu aralıkta 2 x - 1 ≥ 0 olduğundan 2 x - 1 = 5 - x buradan x = 2 bulunur; fakat Durum 2 için a < 3 olmalıydı, burada a = 2 · 2 - 1 = 3 çıktığı için bu durumdan yeni çözüm gelmez. Durum 2b: x < 2 Bu durumda x - 2 = 2 - x olur ve 2 x - 1 = 1 + x elde edilir. Eğer x ≥ 1 2 ise 2 x - 1 = 1 + x buradan x = 2 çıkar; fakat x < 2 koşuluna uymaz. Eğer x < 1 2 ise 1 - 2 x = 1 + x buradan x = 0 bulunur (Durum 2 koşulunu sağlar). Bulunan reel çözümler: x ∈ - 4, 0, 2 Reel çözümlerin toplamı: - 4 + 0 + 2 = - 2 Şıklardan - 2 olduğu için doğru cevap A seçeneğidir.

1. Çözüm: Soru: 2 x - 1 - 3 = x - 2 Kolaylık için a = 2 x - 1 tanımlayalım. Böylece denklem a - 3 = x - 2 olur. Durum 1: a ≥ 3 Bu durumda a - 3 = a - 3 olur ve denklem a - 3 = x - 2 şeklindedir. Durum 1a: x ≥ 2 Bu durumda x - 2 = x - 2 olur. Denklem a - 3 = x - 2 buradan a = x + 1 yani 2 x - 1 = x + 1 olur. Bu aralıkta 2 x - 1 ≥ 0 olduğundan 2 x - 1 = x + 1 ve buradan x = 2 bulunur (koşulu da sağlar). Durum 1b: x < 2 Bu durumda x - 2 = 2 - x olur. Denklem a - 3 = 2 - x buradan a = 5 - x yani 2 x - 1 = 5 - x olur. Alt durumlar: Eğer x ≥ 1 2 ise 2 x - 1 = 5 - x buradan x = 2 çıkar; fakat x < 2 koşuluna uymaz. Eğer x < 1 2 ise 1 - 2 x = 5 - x buradan x = - 4 bulunur (koşulu da sağlar). Durum 2: a < 3 Bu durumda a - 3 = 3 - a olur ve denklem 3 - a = x - 2 buradan a = 3 - x - 2 yani 2 x - 1 = 3 - x - 2 elde edilir. Durum 2a: x ≥ 2 Bu durumda x - 2 = x - 2 olur ve 2 x - 1 = 5 - x denklemi çıkar. Bu aralıkta 2 x - 1 ≥ 0 olduğundan 2 x - 1 = 5 - x buradan x = 2 bulunur; fakat Durum 2 için a < 3 olmalıydı, burada a = 2 · 2 - 1 = 3 çıktığı için bu durumdan yeni çözüm gelmez. Durum 2b: x < 2 Bu durumda x - 2 = 2 - x olur ve 2 x - 1 = 1 + x elde edilir. Eğer x ≥ 1 2 ise 2 x - 1 = 1 + x buradan x = 2 çıkar; fakat x < 2 koşuluna uymaz. Eğer x < 1 2 ise 1 - 2 x = 1 + x buradan x = 0 bulunur (Durum 2 koşulunu sağlar). Bulunan reel çözümler: x ∈ - 4, 0, 2 Reel çözümlerin toplamı: - 4 + 0 + 2 = - 2 Şıklardan - 2 olduğu için doğru cevap A seçeneğidir.