9. Sınıf Matematik Mutlak Değer Testleri

Doğru cevap: A

1) Fonksiyon: f ( x ) = x − 1 + x + 2 + 2 x − 3 2) Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar (içlerinin sıfır olduğu yerler): x − 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 2 = 0 ⇒ x = − 2 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3 2 Sıralama: − 2 < 1 < 3 2 3) Aralıklara göre mutlak değerleri açalım. Aralık 1: x < − 2 x − 1 = 1 − x x + 2 = − x − 2 2 x − 3 = − 2 x + 3 f ( x ) = ( 1 − x ) + ( − x − 2 ) + ( − 2 x + 3 ) = 2 − 4 x Bu aralıkta eğim: − 4 < 0 Yani bu aralıkta artan (x büyüdükçe) fonksiyon azalır; en küçük değer sağ uçta olur: x = − 2 f ( − 2 ) = − 3 + 0 + − 7 = 10 Aralık 2: − 2 ≤ x < 1 x − 1 = 1 − x x + 2 = x + 2 2 x − 3 = − 2 x + 3 f ( x ) = ( 1 − x ) + ( x + 2 ) + ( − 2 x + 3 ) = 6 − 2 x Bu aralıkta eğim: − 2 < 0 Yani yine sağ uca giderken değer küçülür; sağ uç: x = 1 f ( 1 ) = 0 + 3 + − 1 = 4 Aralık 3: 1 ≤ x < 3 2 x − 1 = x − 1 x + 2 = x + 2 2 x − 3 = − 2 x + 3 f ( x ) = ( x − 1 ) + ( x + 2 ) + ( − 2 x + 3 ) = 4 Bu aralıkta fonksiyon sabittir; değer her yerde aynıdır: f ( x ) = 4 Aralık 4: x ≥ 3 2 x − 1 = x − 1 x + 2 = x + 2 2 x − 3 = 2 x − 3 f ( x ) = ( x − 1 ) + ( x + 2 ) + ( 2 x − 3 ) = 4 x − 2 Bu aralıkta eğim: 4 > 0 Yani sol uçta en küçüktür: x = 3 2 f ( 3 2 ) = 4 ⋅ 3 2 − 2 = 4 4) Sonuç: En küçük değer 4 olur ve bu değer 1 ≤ x ≤ 3 2 aralığındaki tüm x değerlerinde elde edilir. 5) Şık kontrolü: Minimum değer 4 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Fonksiyon: f ( x ) = x − 1 + x + 2 + 2 x − 3 2) Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar (içlerinin sıfır olduğu yerler): x − 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 2 = 0 ⇒ x = − 2 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3 2 Sıralama: − 2 < 1 < 3 2 3) Aralıklara göre mutlak değerleri açalım. Aralık 1: x < − 2 x − 1 = 1 − x x + 2 = − x − 2 2 x − 3 = − 2 x + 3 f ( x ) = ( 1 − x ) + ( − x − 2 ) + ( − 2 x + 3 ) = 2 − 4 x Bu aralıkta eğim: − 4 < 0 Yani bu aralıkta artan (x büyüdükçe) fonksiyon azalır; en küçük değer sağ uçta olur: x = − 2 f ( − 2 ) = − 3 + 0 + − 7 = 10 Aralık 2: − 2 ≤ x < 1 x − 1 = 1 − x x + 2 = x + 2 2 x − 3 = − 2 x + 3 f ( x ) = ( 1 − x ) + ( x + 2 ) + ( − 2 x + 3 ) = 6 − 2 x Bu aralıkta eğim: − 2 < 0 Yani yine sağ uca giderken değer küçülür; sağ uç: x = 1 f ( 1 ) = 0 + 3 + − 1 = 4 Aralık 3: 1 ≤ x < 3 2 x − 1 = x − 1 x + 2 = x + 2 2 x − 3 = − 2 x + 3 f ( x ) = ( x − 1 ) + ( x + 2 ) + ( − 2 x + 3 ) = 4 Bu aralıkta fonksiyon sabittir; değer her yerde aynıdır: f ( x ) = 4 Aralık 4: x ≥ 3 2 x − 1 = x − 1 x + 2 = x + 2 2 x − 3 = 2 x − 3 f ( x ) = ( x − 1 ) + ( x + 2 ) + ( 2 x − 3 ) = 4 x − 2 Bu aralıkta eğim: 4 > 0 Yani sol uçta en küçüktür: x = 3 2 f ( 3 2 ) = 4 ⋅ 3 2 − 2 = 4 4) Sonuç: En küçük değer 4 olur ve bu değer 1 ≤ x ≤ 3 2 aralığındaki tüm x değerlerinde elde edilir. 5) Şık kontrolü: Minimum değer 4 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen denklem: x - 1 + x + 2 = 2 x + 1 + 3 Mutlak değerlerin işaret değiştireceği kritik noktalar: x - 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu nedenle aralıkları şu şekilde inceleriz: ( - ∞, - 2 ), [ - 2, - 1 2 ), [ - 1 2, 1 ), [ 1, ∞ ) 1) Durum: x < - 2 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = - x - 2 2 x + 1 = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( - x - 2 ) = ( - 2 x - 1 ) + 3 - 2 x - 1 = - 2 x + 2 - 1 = 2 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: - 2 ≤ x < - 1 2 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = x + 2 2 x + 1 = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = ( - 2 x - 1 ) + 3 3 = - 2 x + 2 - 2 x = 1 x = - 1 2 Bulunan değer bu aralıkta uç noktadır ve aralıkta dahil değildir, bu yüzden burada çözüm olarak kabul edilmez. 3) Durum: - 1 2 ≤ x < 1 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = x + 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = ( 2 x + 1 ) + 3 3 = 2 x + 4 2 x = - 1 x = - 1 2 Bu değer aralıkta bulunduğu için çözümdür. 4) Durum: x ≥ 1 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x + 2 = x + 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = ( 2 x + 1 ) + 3 2 x + 1 = 2 x + 4 1 = 4 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. Sonuç (çözüm kümesi): { - 1 2 } Doğru şık kontrolü: A   ✓

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 1 + x + 2 = 2 x + 1 + 3 Mutlak değerlerin işaret değiştireceği kritik noktalar: x - 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu nedenle aralıkları şu şekilde inceleriz: ( - ∞, - 2 ), [ - 2, - 1 2 ), [ - 1 2, 1 ), [ 1, ∞ ) 1) Durum: x < - 2 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = - x - 2 2 x + 1 = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( - x - 2 ) = ( - 2 x - 1 ) + 3 - 2 x - 1 = - 2 x + 2 - 1 = 2 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: - 2 ≤ x < - 1 2 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = x + 2 2 x + 1 = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = ( - 2 x - 1 ) + 3 3 = - 2 x + 2 - 2 x = 1 x = - 1 2 Bulunan değer bu aralıkta uç noktadır ve aralıkta dahil değildir, bu yüzden burada çözüm olarak kabul edilmez. 3) Durum: - 1 2 ≤ x < 1 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = x + 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = ( 2 x + 1 ) + 3 3 = 2 x + 4 2 x = - 1 x = - 1 2 Bu değer aralıkta bulunduğu için çözümdür. 4) Durum: x ≥ 1 Bu aralıkta: x - 1 = x - 1 x + 2 = x + 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = ( 2 x + 1 ) + 3 2 x + 1 = 2 x + 4 1 = 4 Çelişki olduğu için bu aralıkta çözüm yoktur. Sonuç (çözüm kümesi): { - 1 2 } Doğru şık kontrolü: A   ✓

Doğru cevap: C

Seçenek kontrolü: Üç farklı reel çözüm için doğru değer, C şıkkındaki değerdir. Verilen denklem: x - 1 - 2 = a İçteki mutlak değer için bir yardımcı değişken tanımlayalım: u = x - 1 Buradan her zaman u ≥ 0 olur ve denklem şu hale gelir: u - 2 = a Mutlak değer denklemini çözelim. Önce çözüm olabilmesi için: a ≥ 0 olmalıdır. Sonra: u - 2 = a veya u - 2 = - a Dolayısıyla iki olası değer elde edilir: u = 2 + a u = 2 - a Şimdi her bir u değeri için x - 1 = u çözülür: x = 1 ± u Buna göre: • u pozitifse iki farklı kök verir. • u sıfırsa tek kök verir. Kök sayısını inceleyelim. Birinci değer: u = 2 + a Burada 2 + a > 0 olduğundan her durumda iki kök üretir. İkinci değer: u = 2 - a Bunun çözüm üretebilmesi için 2 - a ≥ 0 yani a ≤ 2 gerekir. Tam olarak üç farklı reel kök olması için ikinci durumun tek kök vermesi gerekir; bu da u = 0 olduğu zamandır. Yani: 2 - a = 0 a = 2 Kontrol (kök sayısı): • a = 2 iken u = 2 + a = 4 iki kök, u = 2 - a = 0 tek kök verir; toplamda üç farklı reel kök olur. Sonuç: a = 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.

1. Çözüm: Seçenek kontrolü: Üç farklı reel çözüm için doğru değer, C şıkkındaki değerdir. Verilen denklem: x - 1 - 2 = a İçteki mutlak değer için bir yardımcı değişken tanımlayalım: u = x - 1 Buradan her zaman u ≥ 0 olur ve denklem şu hale gelir: u - 2 = a Mutlak değer denklemini çözelim. Önce çözüm olabilmesi için: a ≥ 0 olmalıdır. Sonra: u - 2 = a veya u - 2 = - a Dolayısıyla iki olası değer elde edilir: u = 2 + a u = 2 - a Şimdi her bir u değeri için x - 1 = u çözülür: x = 1 ± u Buna göre: • u pozitifse iki farklı kök verir. • u sıfırsa tek kök verir. Kök sayısını inceleyelim. Birinci değer: u = 2 + a Burada 2 + a > 0 olduğundan her durumda iki kök üretir. İkinci değer: u = 2 - a Bunun çözüm üretebilmesi için 2 - a ≥ 0 yani a ≤ 2 gerekir. Tam olarak üç farklı reel kök olması için ikinci durumun tek kök vermesi gerekir; bu da u = 0 olduğu zamandır. Yani: 2 - a = 0 a = 2 Kontrol (kök sayısı): • a = 2 iken u = 2 + a = 4 iki kök, u = 2 - a = 0 tek kök verir; toplamda üç farklı reel kök olur. Sonuç: a = 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.

Doğru cevap: D

İfade: f ( x ) = | x - 2 | + | 2 x + 1 | İkinci mutlak değeri sadeleştirelim: | 2 x + 1 | = | 2 ( x + 1 2 ) | = 2 | x + 1 2 | Dolayısıyla: f ( x ) = | x - 2 | + 2 | x + 1 2 | Kritik noktalar (mutlak değer içlerinin sıfır olduğu yerler): x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 2 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu noktalara göre aralık aralık inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = - x - 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( - x - 1 2 ) = 1 - 3 x Burada eğim - 3 olduğu için aralıkta artan x ile azalan bir fonksiyondur; minimum sağ uçta alınır: f ( - 1 2 ) = 1 - 3 ( - 1 2 ) = 1 + 3 2 = 5 2 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( x + 1 2 ) = x + 3 Burada eğim 1 olduğu için fonksiyon artandır; minimum sol uçta alınır: f ( - 1 2 ) = - 1 2 + 3 = 5 2 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = x - 2 + 2 ( x + 1 2 ) = 3 x - 1 Eğim pozitif olduğu için minimum bu aralığın sol ucunda alınır: f ( 2 ) = 3 × 2 - 1 = 5 Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: 5 2 < 5 Sonuç olarak ifadenin en küçük değeri: min ( f ) = 5 2 Bu değer x = - 1 2 için elde edilir. Dolayısıyla doğru seçenek D1238’dır.

1. Çözüm: İfade: f ( x ) = | x - 2 | + | 2 x + 1 | İkinci mutlak değeri sadeleştirelim: | 2 x + 1 | = | 2 ( x + 1 2 ) | = 2 | x + 1 2 | Dolayısıyla: f ( x ) = | x - 2 | + 2 | x + 1 2 | Kritik noktalar (mutlak değer içlerinin sıfır olduğu yerler): x - 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 2 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu noktalara göre aralık aralık inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = - x - 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( - x - 1 2 ) = 1 - 3 x Burada eğim - 3 olduğu için aralıkta artan x ile azalan bir fonksiyondur; minimum sağ uçta alınır: f ( - 1 2 ) = 1 - 3 ( - 1 2 ) = 1 + 3 2 = 5 2 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = 2 - x | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = 2 - x + 2 ( x + 1 2 ) = x + 3 Burada eğim 1 olduğu için fonksiyon artandır; minimum sol uçta alınır: f ( - 1 2 ) = - 1 2 + 3 = 5 2 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 1 2 | = x + 1 2 O hâlde: f ( x ) = x - 2 + 2 ( x + 1 2 ) = 3 x - 1 Eğim pozitif olduğu için minimum bu aralığın sol ucunda alınır: f ( 2 ) = 3 × 2 - 1 = 5 Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: 5 2 < 5 Sonuç olarak ifadenin en küçük değeri: min ( f ) = 5 2 Bu değer x = - 1 2 için elde edilir. Dolayısıyla doğru seçenek D1238’dır.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: | x - 2 | + | x + 4 | = | 2 x - 1 | + 5 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 2 x = - 4 x = 1 2 Bu yüzden ekseni şu aralıklarda inceleyeceğiz: x < - 4 - 4 ≤ x < 1 2 1 2 ≤ x < 2 x ≥ 2 1) Aralık: x < - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = - x - 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 4 ) = ( - 2 x + 1 ) + 5 - 2 x - 2 = - 2 x + 6 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. 2) Aralık: - 4 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Sol taraf: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( - 2 x + 1 ) + 5 6 = - 2 x + 6 x = 0 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 3) Aralık: 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Sol taraf yine: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( 2 x - 1 ) + 5 6 = 2 x + 4 x = 1 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 4) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 4 ) = ( 2 x - 1 ) + 5 2 x + 2 = 2 x + 4 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. Reel çözümler: x = 0 x = 1 Çözümlerin toplamı: 0 + 1 = 1 Doğru seçenek A1185 ’dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: | x - 2 | + | x + 4 | = | 2 x - 1 | + 5 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 2 x = - 4 x = 1 2 Bu yüzden ekseni şu aralıklarda inceleyeceğiz: x < - 4 - 4 ≤ x < 1 2 1 2 ≤ x < 2 x ≥ 2 1) Aralık: x < - 4 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = - x - 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 4 ) = ( - 2 x + 1 ) + 5 - 2 x - 2 = - 2 x + 6 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. 2) Aralık: - 4 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 Sol taraf: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( - 2 x + 1 ) + 5 6 = - 2 x + 6 x = 0 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 3) Aralık: 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Sol taraf yine: ( - x + 2 ) + ( x + 4 ) = 6 Denklem: 6 = ( 2 x - 1 ) + 5 6 = 2 x + 4 x = 1 Bulunan değer aralıkta olduğu için geçerlidir. 4) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 4 | = x + 4 | 2 x - 1 | = 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( x + 4 ) = ( 2 x - 1 ) + 5 2 x + 2 = 2 x + 4 Bu eşitlik sağlanmaz, çözüm yoktur. Reel çözümler: x = 0 x = 1 Çözümlerin toplamı: 0 + 1 = 1 Doğru seçenek A1185 ’dir.

Doğru cevap: B

Denklem: | | x - 2 | - 5 | = 1 Önce içteki mutlak değeri bir değişkenle sadeleştirelim: a = | x - 2 | Bu durumda denklem şu hale gelir: | a - 5 | = 1 Mutlak değer eşitliğini iki duruma ayırırız: a - 5 = 1 a - 5 = - 1 Buradan a değerlerini bulalım: a = 6 a = 4 Şimdi tekrar a yerine yazalım: | x - 2 | = 6 | x - 2 | = 4 Birinci denklem: | x - 2 | = 6 İki durum: x - 2 = 6 x - 2 = - 6 Çözümler: x = 8 x = - 4 İkinci denklem: | x - 2 | = 4 İki durum: x - 2 = 4 x - 2 = - 4 Çözümler: x = 6 x = - 2 Tüm reel çözümler: { - 4, - 2, 6, 8 } Toplam farklı reel çözüm sayısı: 4 Dolayısıyla doğru seçenek B579 ’dir.

1. Çözüm: Denklem: | | x - 2 | - 5 | = 1 Önce içteki mutlak değeri bir değişkenle sadeleştirelim: a = | x - 2 | Bu durumda denklem şu hale gelir: | a - 5 | = 1 Mutlak değer eşitliğini iki duruma ayırırız: a - 5 = 1 a - 5 = - 1 Buradan a değerlerini bulalım: a = 6 a = 4 Şimdi tekrar a yerine yazalım: | x - 2 | = 6 | x - 2 | = 4 Birinci denklem: | x - 2 | = 6 İki durum: x - 2 = 6 x - 2 = - 6 Çözümler: x = 8 x = - 4 İkinci denklem: | x - 2 | = 4 İki durum: x - 2 = 4 x - 2 = - 4 Çözümler: x = 6 x = - 2 Tüm reel çözümler: { - 4, - 2, 6, 8 } Toplam farklı reel çözüm sayısı: 4 Dolayısıyla doğru seçenek B579 ’dir.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0   ⇒   x = 3 2 x + 1 = 0   ⇒   x = - 1 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x < - 1,   - 1 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1. Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Çözelim: 3 x - 2 = 7   ⇒   3 x = 9   ⇒   x = 3 Bulduğumuz kök aralığa uygundur. 2. Durum: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 < 0,   x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: 2 x - 3 = - 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denklem: - 2 x - 3 + x + 1 = 7 Çözelim: - 2 x + 3 + x + 1 = 7   ⇒   - x + 4 = 7   ⇒   x = - 3 Ancak - 3 < - 1 olduğu için bu kök bu aralıkta geçerli değildir. 3. Durum: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir: 2 x - 3 < 0,   x + 1 < 0 Dolayısıyla: 2 x - 3 = - 2 x - 3 x + 1 = - x + 1 Denklem: - 2 x - 3 - x + 1 = 7 Çözelim: - 2 x + 3 - x - 1 = 7   ⇒   - 3 x + 2 = 7 - 3 x = 5   ⇒   x = - 5 3 Bulduğumuz kök aralığa uygundur. Gerçek kökler: x = 3,   x = - 5 3 Toplamları: 3 + - 5 3 = 4 3 Bulunan sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: 4 3 Yani şıkkıC1293 doğrudur.

1. Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0   ⇒   x = 3 2 x + 1 = 0   ⇒   x = - 1 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x < - 1,   - 1 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1. Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Çözelim: 3 x - 2 = 7   ⇒   3 x = 9   ⇒   x = 3 Bulduğumuz kök aralığa uygundur. 2. Durum: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 < 0,   x + 1 ≥ 0 Dolayısıyla: 2 x - 3 = - 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denklem: - 2 x - 3 + x + 1 = 7 Çözelim: - 2 x + 3 + x + 1 = 7   ⇒   - x + 4 = 7   ⇒   x = - 3 Ancak - 3 < - 1 olduğu için bu kök bu aralıkta geçerli değildir. 3. Durum: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir: 2 x - 3 < 0,   x + 1 < 0 Dolayısıyla: 2 x - 3 = - 2 x - 3 x + 1 = - x + 1 Denklem: - 2 x - 3 - x + 1 = 7 Çözelim: - 2 x + 3 - x - 1 = 7   ⇒   - 3 x + 2 = 7 - 3 x = 5   ⇒   x = - 5 3 Bulduğumuz kök aralığa uygundur. Gerçek kökler: x = 3,   x = - 5 3 Toplamları: 3 + - 5 3 = 4 3 Bulunan sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: 4 3 Yani şıkkıC1293 doğrudur.

Doğru cevap: D

Önce mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0 2 x + 1 = 0 x = 2  ve  x = - 1 2 Bu nedenle sayı doğrusunu üç aralıkta inceleyeceğiz. x < - 1 2 - 1 2 ≤ x < 2 x ≥ 2 Birinci aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta mutlak değerler şu şekilde açılır: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( 2 x + 1 ) = 9 3 x - 1 = 9 3 x = 10 x = 10 3 Bulunan değer bu aralığı sağlar. İkinci aralık: - 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 - x ) + ( 2 x + 1 ) = 9 x + 3 = 9 x = 6 Bulunan değer bu aralığı sağlamadığı için bu aralıktan çözüm gelmez. Üçüncü aralık: x < - 1 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = - ( 2 x + 1 ) Denkleme yazalım: ( 2 - x ) + ( - ( 2 x + 1 ) ) = 9 2 - x - 2 x - 1 = 9 1 - 3 x = 9 - 3 x = 8 x = - 8 3 Bulunan değer bu aralığı sağlar. Gerçek sayı çözümlerinin çarpımı: x = 10 3  ve  x = - 8 3 10 3 · ( - 8 3 ) = - 80 9 Sonuç olarak doğru seçenek: D969 - 80 9

1. Çözüm: Önce mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0 2 x + 1 = 0 x = 2  ve  x = - 1 2 Bu nedenle sayı doğrusunu üç aralıkta inceleyeceğiz. x < - 1 2 - 1 2 ≤ x < 2 x ≥ 2 Birinci aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta mutlak değerler şu şekilde açılır: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( x - 2 ) + ( 2 x + 1 ) = 9 3 x - 1 = 9 3 x = 10 x = 10 3 Bulunan değer bu aralığı sağlar. İkinci aralık: - 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 - x ) + ( 2 x + 1 ) = 9 x + 3 = 9 x = 6 Bulunan değer bu aralığı sağlamadığı için bu aralıktan çözüm gelmez. Üçüncü aralık: x < - 1 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = - ( 2 x + 1 ) Denkleme yazalım: ( 2 - x ) + ( - ( 2 x + 1 ) ) = 9 2 - x - 2 x - 1 = 9 1 - 3 x = 9 - 3 x = 8 x = - 8 3 Bulunan değer bu aralığı sağlar. Gerçek sayı çözümlerinin çarpımı: x = 10 3  ve  x = - 8 3 10 3 · ( - 8 3 ) = - 80 9 Sonuç olarak doğru seçenek: D969 - 80 9

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: | | x - 2 | - 3 | ≤ 1 Mutlak değer içini sadeleştirmek için: t = | x - 2 | Bu durumda eşitsizlik: | t - 3 | ≤ 1 Mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevirirsek: - 1 ≤ t - 3 ≤ 1 Her tarafa 3 ekleyelim: 2 ≤ t ≤ 4 Şimdi t yerine tekrar | x - 2 | yazalım: 2 ≤ | x - 2 | ≤ 4 Bu, iki koşulun aynı anda sağlanması demektir: ( 2 ≤ | x - 2 | ) ∧ ( | x - 2 | ≤ 4 ) Önce | x - 2 | ≤ 4 için: - 4 ≤ x - 2 ≤ 4 - 2 ≤ x ≤ 6 Sonra 2 ≤ | x - 2 | için: | x - 2 | ≥ 2 Bu da iki parçalıdır: x - 2 ≤ - 2 ∨ x - 2 ≥ 2 x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 İkisini birlikte sağlamak için kesişim alınır: ( - 2 ≤ x ≤ 6 ) ∧ ( x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 ) Buna göre çözüm kümesi: [ - 2, 0 ] ∪ [ 4, 6 ] Bu seçeneklerde A şıkkıdır; yani doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | | x - 2 | - 3 | ≤ 1 Mutlak değer içini sadeleştirmek için: t = | x - 2 | Bu durumda eşitsizlik: | t - 3 | ≤ 1 Mutlak değerli eşitsizliği çift taraflı eşitsizliğe çevirirsek: - 1 ≤ t - 3 ≤ 1 Her tarafa 3 ekleyelim: 2 ≤ t ≤ 4 Şimdi t yerine tekrar | x - 2 | yazalım: 2 ≤ | x - 2 | ≤ 4 Bu, iki koşulun aynı anda sağlanması demektir: ( 2 ≤ | x - 2 | ) ∧ ( | x - 2 | ≤ 4 ) Önce | x - 2 | ≤ 4 için: - 4 ≤ x - 2 ≤ 4 - 2 ≤ x ≤ 6 Sonra 2 ≤ | x - 2 | için: | x - 2 | ≥ 2 Bu da iki parçalıdır: x - 2 ≤ - 2 ∨ x - 2 ≥ 2 x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 İkisini birlikte sağlamak için kesişim alınır: ( - 2 ≤ x ≤ 6 ) ∧ ( x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 ) Buna göre çözüm kümesi: [ - 2, 0 ] ∪ [ 4, 6 ] Bu seçeneklerde A şıkkıdır; yani doğru cevap A.

Doğru cevap: B

Önce verilen eşitsizliği yazalım: | | x - 2 | - 3 | ≤ 1 Kolaylaştırmak için aşağıdaki dönüşümü yapalım: a = | x - 2 | Bu durumda eşitsizlik: | a - 3 | ≤ 1 Mutlak değer eşitsizliği kuralını uygulayalım: | a - 3 | ≤ 1 ⇔ 3 - 1 ≤ a ≤ 3 + 1 2 ≤ a ≤ 4 Şimdi tekrar a yerine yazalım: 2 ≤ | x - 2 | ≤ 4 Bu, iki koşulun birlikte sağlanması demektir: | x - 2 | ≥ 2 | x - 2 | ≤ 4 İkinci eşitsizliği çözelim: | x - 2 | ≤ 4 ⇔ - 4 ≤ x - 2 ≤ 4 - 2 ≤ x ≤ 6 Birinci eşitsizliği çözelim: | x - 2 | ≥ 2 ⇔ x - 2 ≤ - 2 ∨ x - 2 ≥ 2 x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 Şimdi iki sonucu kesiştirelim: [ - 2, 6 ] ∩ ( - ∞, 0 ] = [ - 2, 0 ] [ - 2, 6 ] ∩ [ 4, ∞ ) = [ 4, 6 ] Dolayısıyla çözüm kümesi: [ - 2, 0 ] ∪ [ 4, 6 ] Toplam uzunluğu bulalım: uzunluk = ( 0 - ( - 2 ) ) + ( 6 - 4 ) uzunluk = 2 + 2 = 4 Sonuç toplam uzunluk B seçeneğidir: 4 İsteğe bağlı görsel (sayı doğrusu): -2 0 4 6

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizliği yazalım: | | x - 2 | - 3 | ≤ 1 Kolaylaştırmak için aşağıdaki dönüşümü yapalım: a = | x - 2 | Bu durumda eşitsizlik: | a - 3 | ≤ 1 Mutlak değer eşitsizliği kuralını uygulayalım: | a - 3 | ≤ 1 ⇔ 3 - 1 ≤ a ≤ 3 + 1 2 ≤ a ≤ 4 Şimdi tekrar a yerine yazalım: 2 ≤ | x - 2 | ≤ 4 Bu, iki koşulun birlikte sağlanması demektir: | x - 2 | ≥ 2 | x - 2 | ≤ 4 İkinci eşitsizliği çözelim: | x - 2 | ≤ 4 ⇔ - 4 ≤ x - 2 ≤ 4 - 2 ≤ x ≤ 6 Birinci eşitsizliği çözelim: | x - 2 | ≥ 2 ⇔ x - 2 ≤ - 2 ∨ x - 2 ≥ 2 x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 Şimdi iki sonucu kesiştirelim: [ - 2, 6 ] ∩ ( - ∞, 0 ] = [ - 2, 0 ] [ - 2, 6 ] ∩ [ 4, ∞ ) = [ 4, 6 ] Dolayısıyla çözüm kümesi: [ - 2, 0 ] ∪ [ 4, 6 ] Toplam uzunluğu bulalım: uzunluk = ( 0 - ( - 2 ) ) + ( 6 - 4 ) uzunluk = 2 + 2 = 4 Sonuç toplam uzunluk B seçeneğidir: 4 İsteğe bağlı görsel (sayı doğrusu): -2 0 4 6