9. Sınıf Matematik Mutlak Değer Testleri

Doğru cevap: C

Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 1 = 0  ⇒  x = - 1 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 3 2, x ≥ 3 2 1) Aralık: x ≤ - 1 Bu aralıkta: 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) = 7 - 3 x + 2 = 7  ⇒  - 3 x = 5  ⇒  x = - 5 3 Kontrol (aralık şartı): - 5 3 ≤ - 1 Sağlıyor, bu kök geçerli. 2) Aralık: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) = 7 - x + 4 = 7  ⇒  x = - 3 Kontrol (aralık şartı): - 3 ≥ - 1 Bu doğru değildir; dolayısıyla bu aralıktan kök gelmez. 3) Aralık: x ≥ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) = 7 3 x - 2 = 7  ⇒  3 x = 9  ⇒  x = 3 Aralık şartını sağlar, bu kök geçerlidir. Gerçek kökler ve toplamları: x ∈ - 5 3, 3 - 5 3 + 3 = 4 3 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Çözüm: Denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 1 = 0  ⇒  x = - 1 Bu nedenle sayı doğrusunu şu aralıklara ayırırız: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 3 2, x ≥ 3 2 1) Aralık: x ≤ - 1 Bu aralıkta: 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = - ( x + 1 ) = - x - 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) = 7 - 3 x + 2 = 7  ⇒  - 3 x = 5  ⇒  x = - 5 3 Kontrol (aralık şartı): - 5 3 ≤ - 1 Sağlıyor, bu kök geçerli. 2) Aralık: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 = - ( 2 x - 3 ) = - 2 x + 3 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) = 7 - x + 4 = 7  ⇒  x = - 3 Kontrol (aralık şartı): - 3 ≥ - 1 Bu doğru değildir; dolayısıyla bu aralıktan kök gelmez. 3) Aralık: x ≥ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) = 7 3 x - 2 = 7  ⇒  3 x = 9  ⇒  x = 3 Aralık şartını sağlar, bu kök geçerlidir. Gerçek kökler ve toplamları: x ∈ - 5 3, 3 - 5 3 + 3 = 4 3 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Denklem: x - 2 + 2 x + 1 = 7 Mutlak değer içlerini sıfır yapan kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0   =>   x = 2 2 x + 1 = 0   =>   x = - 1 2 Bu noktalara göre aralıkları inceleyelim. 1) Aralık: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatif veya sıfırdır, bu yüzden: x - 2 = - x - 2 2 x + 1 = - 2 x + 1 Denkleme yerleştirip çözelim: - x - 2 + - 2 x + 1 = 7 - x + 2 + - 2 x - 1 = 7 - 3 x + 1 = 7 - 3 x = 6   =>   x = - 2 Bulunan değer aralığa uygundur. 2) Aralık: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta birinci ifade negatif/sıfır, ikinci ifade pozitif/sıfırdır: x - 2 = - x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yerleştirip çözelim: - x - 2 + 2 x + 1 = 7 x + 3 = 7   =>   x = 4 Bulunan değer bu aralığa uymadığı için elenir. 3) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitif veya sıfırdır: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yerleştirip çözelim: x - 2 + 2 x + 1 = 7 3 x - 1 = 7 3 x = 8   =>   x = 8 3 Bulunan değer aralığa uygundur. Çözüm kümesi iki elemanlıdır ve bu sayıların çarpımı: - 2 × 8 3 = - 16 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Denklem: x - 2 + 2 x + 1 = 7 Mutlak değer içlerini sıfır yapan kritik noktaları bulalım: x - 2 = 0   =>   x = 2 2 x + 1 = 0   =>   x = - 1 2 Bu noktalara göre aralıkları inceleyelim. 1) Aralık: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatif veya sıfırdır, bu yüzden: x - 2 = - x - 2 2 x + 1 = - 2 x + 1 Denkleme yerleştirip çözelim: - x - 2 + - 2 x + 1 = 7 - x + 2 + - 2 x - 1 = 7 - 3 x + 1 = 7 - 3 x = 6   =>   x = - 2 Bulunan değer aralığa uygundur. 2) Aralık: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta birinci ifade negatif/sıfır, ikinci ifade pozitif/sıfırdır: x - 2 = - x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yerleştirip çözelim: - x - 2 + 2 x + 1 = 7 x + 3 = 7   =>   x = 4 Bulunan değer bu aralığa uymadığı için elenir. 3) Aralık: x ≥ 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitif veya sıfırdır: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yerleştirip çözelim: x - 2 + 2 x + 1 = 7 3 x - 1 = 7 3 x = 8   =>   x = 8 3 Bulunan değer aralığa uygundur. Çözüm kümesi iki elemanlıdır ve bu sayıların çarpımı: - 2 × 8 3 = - 16 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

İfade: | x - 2 | + | 2 x + 1 | Mutlak değerlerin içi sıfır yapan noktalar kritik noktaları verir: x - $2 = 0$ 2 x + $1 = 0$ Buna göre aralıkları bu noktalara göre inceleyeceğiz. 1) Durum: x <= - 1 2 Bu aralıkta: x - 2 < 0 2 x + 1 <= 0 Dolayısıyla mutlak değerler: | x - 2 | = - x - 2 | 2 x + 1 | = - 2 x + 1 İfade: - x - 2 - 2 x + 1 Sadeleştirelim: - x + 2 - 2 x - 1 = - 3 x + 1 Bu doğrusal ifade bu aralıkta en küçük değerini sağ uçta alır. Sağ uç noktada hesaplayalım: x = - 1 2 - 3 ( - 1 2 ) + $1 = 3$ $2 + 1 = 5$ 2 2) Durum: - 1 2 <= x < 2 Bu aralıkta: x - 2 < 0 2 x + 1 >= 0 Dolayısıyla: | x - 2 | = - x - 2 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 İfade: - x - 2 + 2 x + 1 = x + 3 Bu da doğrusal ve artandır; en küçük değerini sol uçta alır. Sol uçta hesaplayalım: x = - 1 2 - 1 $2 + 3 = 5$ 2 3) Durum: x >= 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitif: | x - 2 | = x - 2 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 İfade: x - 2 + 2 x + $1 = 3$ x - 1 Bu da artandır; en küçük değerini sol uçta alır. Sol uçta: $x = 2$3 ⋅ $2 - 1 = 5$ Tüm aralıklardan bulunan en küçük değer: 5 2 < 5 En küçük değer 5/2 olur. Sonuç (Doğru şık kontrolü): min ( | x - 2 | + | 2 x + 1 | ) = 5 2 Bu değer şıklarda B seçeneğidir; yani doğru cevap B.

1. Çözüm: İfade: | x - 2 | + | 2 x + 1 | Mutlak değerlerin içi sıfır yapan noktalar kritik noktaları verir: x - $2 = 0$ 2 x + $1 = 0$ Buna göre aralıkları bu noktalara göre inceleyeceğiz. 1) Durum: x <= - 1 2 Bu aralıkta: x - 2 < 0 2 x + 1 <= 0 Dolayısıyla mutlak değerler: | x - 2 | = - x - 2 | 2 x + 1 | = - 2 x + 1 İfade: - x - 2 - 2 x + 1 Sadeleştirelim: - x + 2 - 2 x - 1 = - 3 x + 1 Bu doğrusal ifade bu aralıkta en küçük değerini sağ uçta alır. Sağ uç noktada hesaplayalım: x = - 1 2 - 3 ( - 1 2 ) + $1 = 3$ $2 + 1 = 5$ 2 2) Durum: - 1 2 <= x < 2 Bu aralıkta: x - 2 < 0 2 x + 1 >= 0 Dolayısıyla: | x - 2 | = - x - 2 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 İfade: - x - 2 + 2 x + 1 = x + 3 Bu da doğrusal ve artandır; en küçük değerini sol uçta alır. Sol uçta hesaplayalım: x = - 1 2 - 1 $2 + 3 = 5$ 2 3) Durum: x >= 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitif: | x - 2 | = x - 2 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 İfade: x - 2 + 2 x + $1 = 3$ x - 1 Bu da artandır; en küçük değerini sol uçta alır. Sol uçta: $x = 2$3 ⋅ $2 - 1 = 5$ Tüm aralıklardan bulunan en küçük değer: 5 2 < 5 En küçük değer 5/2 olur. Sonuç (Doğru şık kontrolü): min ( | x - 2 | + | 2 x + 1 | ) = 5 2 Bu değer şıklarda B seçeneğidir; yani doğru cevap B.

Doğru cevap: A

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: A

Soruya göre çözümler, aşağıdaki mutlak değerli denklemi sağlayan tüm değerlerdir: | x - 2 | + | 2 x + 1 | = 7 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: x - 2 = 0  ⇒  x = 2 2 x + 1 = 0  ⇒  x = - 1 2 Bu iki noktaya göre üç aralıkta inceleme yapacağız. Durum 1: Değişken büyük ya da eşit olduğunda (her iki iç ifade de negatif olmayan) mutlak değerler aynen açılır: x ≥ 2 | x - 2 | = x - 2 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 x - 2 + 2 x + 1 = 7 3 x - 1 = 7 3 x = 8  ⇒  x = 8 3 Bulduğumuz değer bu aralığa uygundur, yani bir çözümdür. Durum 2: Değişken iki kritik değer arasında olduğunda birinci iç ifade negatif, ikinci iç ifade negatif olmayan olur: - 1 2 ≤ x ≤ 2 | x - 2 | = 2 - x | 2 x + 1 | = 2 x + 1 2 - x + 2 x + 1 = 7 x + 3 = 7 x = 4 Bulunan değer bu aralığın dışında kaldığı için bu durumdan çözüm gelmez. Durum 3: Değişken küçük ya da eşit olduğunda her iki iç ifade de negatiftir, mutlak değerler işaret değiştirerek açılır: x ≤ - 1 2 | x - 2 | = 2 - x | 2 x + 1 | = - 2 x + 1 2 - x + - 2 x + 1 = 7 1 - 3 x = 7 - 3 x = 6  ⇒  x = - 2 Bulduğumuz değer bu aralığa uygundur, yani bir çözümdür. Çözümler: x ∈ { - 2, 8 3 } İstenen, çözümlerin toplamıdır: - 2 + 8 3 = 2 3 Bu değer şıklardan A ile aynıdır: 2 3 = 2 3 Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Soruya göre çözümler, aşağıdaki mutlak değerli denklemi sağlayan tüm değerlerdir: | x - 2 | + | 2 x + 1 | = 7 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: x - 2 = 0  ⇒  x = 2 2 x + 1 = 0  ⇒  x = - 1 2 Bu iki noktaya göre üç aralıkta inceleme yapacağız. Durum 1: Değişken büyük ya da eşit olduğunda (her iki iç ifade de negatif olmayan) mutlak değerler aynen açılır: x ≥ 2 | x - 2 | = x - 2 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 x - 2 + 2 x + 1 = 7 3 x - 1 = 7 3 x = 8  ⇒  x = 8 3 Bulduğumuz değer bu aralığa uygundur, yani bir çözümdür. Durum 2: Değişken iki kritik değer arasında olduğunda birinci iç ifade negatif, ikinci iç ifade negatif olmayan olur: - 1 2 ≤ x ≤ 2 | x - 2 | = 2 - x | 2 x + 1 | = 2 x + 1 2 - x + 2 x + 1 = 7 x + 3 = 7 x = 4 Bulunan değer bu aralığın dışında kaldığı için bu durumdan çözüm gelmez. Durum 3: Değişken küçük ya da eşit olduğunda her iki iç ifade de negatiftir, mutlak değerler işaret değiştirerek açılır: x ≤ - 1 2 | x - 2 | = 2 - x | 2 x + 1 | = - 2 x + 1 2 - x + - 2 x + 1 = 7 1 - 3 x = 7 - 3 x = 6  ⇒  x = - 2 Bulduğumuz değer bu aralığa uygundur, yani bir çözümdür. Çözümler: x ∈ { - 2, 8 3 } İstenen, çözümlerin toplamıdır: - 2 + 8 3 = 2 3 Bu değer şıklardan A ile aynıdır: 2 3 = 2 3 Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: B

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: B

İfadeyi f ( x ) = x - 2 + x + 1 + 2 x - 3 şeklinde tanımlayalım. Mutlak değerlerin içlerinin sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır: x - $2 = 0$, x + $1 = 0$, 2 x - $3 = 0$ Buradan $x = 2$, x = - 1, $x = 3$2 olur ve sıralama - 1 < 3 2 < 2 şeklindedir. Bu noktalara göre aralık aralık inceleyeceğiz. 1) x ≤ - 1 Bu aralıkta işaretlere göre x - $2 = 2$ - x, x + 1 = - x - 1, 2 x - $3 = 3$ - 2 x olur. Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( - x - 1 ) + ( 3 - 2 x ) = 4 - 4 x Bu doğrusal ifade bu aralıkta x arttıkça azalır, dolayısıyla en küçük değer sağ uçta alınır: f ( - 1 ) = 4 - 4 ( - 1 ) = 8 2) - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta x - $2 = 2$ - x, x + 1 = x + 1, 2 x - $3 = 3$ - 2 x olur. Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 1 ) + ( 3 - 2 x ) = 6 - 2 x Bu da doğrusal ve x arttıkça azalır, bu yüzden en küçük değer sağ uçta alınır: f ( 3 2 ) = 6 - 2 × 3 $2 = 3$ 3) 3 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta x - $2 = 2$ - x, x + 1 = x + 1, 2 x - $3 = 2$ x - 3 olur. Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 3 ) = 2 x Bu aralıkta x arttıkça artar; en küçük değer sol uçta alınır: f ( 3 2 ) = 2 × 3 $2 = 3$ 4) x ≥ 2 Bu aralıkta x - 2 = x - 2, x + 1 = x + 1, 2 x - $3 = 2$ x - 3 Toplayalım: f ( x ) = ( x - 2 ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 3 ) = 4 x - 4 Bu ifade artandır; bu aralıkta en küçük değer $x = 2$için olur: f ( 2 ) = 4 × $2 - 4 = 4$ Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: 8, 3, 3, 4 Genel minimum 3 olur ve bu değer $x = 3$2 noktasında alınır. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: İfadeyi f ( x ) = x - 2 + x + 1 + 2 x - 3 şeklinde tanımlayalım. Mutlak değerlerin içlerinin sıfır olduğu noktalar kritik noktalardır: x - $2 = 0$, x + $1 = 0$, 2 x - $3 = 0$ Buradan $x = 2$, x = - 1, $x = 3$2 olur ve sıralama - 1 < 3 2 < 2 şeklindedir. Bu noktalara göre aralık aralık inceleyeceğiz. 1) x ≤ - 1 Bu aralıkta işaretlere göre x - $2 = 2$ - x, x + 1 = - x - 1, 2 x - $3 = 3$ - 2 x olur. Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( - x - 1 ) + ( 3 - 2 x ) = 4 - 4 x Bu doğrusal ifade bu aralıkta x arttıkça azalır, dolayısıyla en küçük değer sağ uçta alınır: f ( - 1 ) = 4 - 4 ( - 1 ) = 8 2) - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta x - $2 = 2$ - x, x + 1 = x + 1, 2 x - $3 = 3$ - 2 x olur. Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 1 ) + ( 3 - 2 x ) = 6 - 2 x Bu da doğrusal ve x arttıkça azalır, bu yüzden en küçük değer sağ uçta alınır: f ( 3 2 ) = 6 - 2 × 3 $2 = 3$ 3) 3 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta x - $2 = 2$ - x, x + 1 = x + 1, 2 x - $3 = 2$ x - 3 olur. Toplayalım: f ( x ) = ( 2 - x ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 3 ) = 2 x Bu aralıkta x arttıkça artar; en küçük değer sol uçta alınır: f ( 3 2 ) = 2 × 3 $2 = 3$ 4) x ≥ 2 Bu aralıkta x - 2 = x - 2, x + 1 = x + 1, 2 x - $3 = 2$ x - 3 Toplayalım: f ( x ) = ( x - 2 ) + ( x + 1 ) + ( 2 x - 3 ) = 4 x - 4 Bu ifade artandır; bu aralıkta en küçük değer $x = 2$için olur: f ( 2 ) = 4 × $2 - 4 = 4$ Tüm aralıklardaki en küçük değerleri karşılaştıralım: 8, 3, 3, 4 Genel minimum 3 olur ve bu değer $x = 3$2 noktasında alınır. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen denklem için çözüm sayısını, mutlak değerlerin oluşturduğu toplam uzaklık yorumu ile inceleyelim. | x − 1 | + | x − m | = 4 Fonksiyon tanımlayıp en küçük değerini bulalım. f ( x ) = | x − 1 | + | x − m | Sayı doğrusunda iki nokta arası uzaklık toplamı yorumu yapalım. Bunun için uçları sıralayalım. $a = min$( 1, m ), $b = max$( 1, m ) $d = b$− a = | m − 1 | Toplam uzaklık fonksiyonu parçalara ayrılır. Orta bölgede (iki nokta arasında) toplam uzaklık sabittir ve en küçüktür. f ( x ) = a + b − 2 x eğer x ≤ a d eğer a ≤ x ≤ b 2 x − a − b eğer x ≥ b Buna göre en küçük değer orta bölgede alınır. min x ∈ ℝ f ( x ) = d = | m − 1 | Şimdi denklem, yatay doğru ile kesişim sayısı olarak yorumlanır. Üç olasılık vardır. f ( x ) = 4 Birinci durum: En küçük değer hedef değerden büyükse çözüm yoktur. | m − 1 | > 4 ⇒ çözüm yok İkinci durum: En küçük değer hedef değere eşitse, orta bölgedeki her nokta çözüm olur; yani sonsuz çözüm vardır. | m − 1 | = 4 ⇒ tüm x için a ≤ x ≤ b çözüm Üçüncü durum: En küçük değer hedef değerden küçükse, sol tarafta ve sağ tarafta iki ayrı kesişim oluşur; yani iki çözüm vardır. Nitekim dış bölgelerde doğrusal denklemlerden iki ayrı kök elde edilir. | m − 1 | < 4 ⇒ iki çözüm a + b − 2 $x = 4$⇒ $x = a + b$− 4 2 2 x − a − $b = 4$⇒ $x = a + b + 4$2 Sonuç: Çözüm sayısı hiçbir durumda tam olarak bir olamaz (ya hiç yok, ya iki tane var, ya da sonsuz tane var). Bu yüzden istenen değerler kümesi boştur. İstenen m kümesi = ∅ Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Verilen denklem için çözüm sayısını, mutlak değerlerin oluşturduğu toplam uzaklık yorumu ile inceleyelim. | x − 1 | + | x − m | = 4 Fonksiyon tanımlayıp en küçük değerini bulalım. f ( x ) = | x − 1 | + | x − m | Sayı doğrusunda iki nokta arası uzaklık toplamı yorumu yapalım. Bunun için uçları sıralayalım. $a = min$( 1, m ), $b = max$( 1, m ) $d = b$− a = | m − 1 | Toplam uzaklık fonksiyonu parçalara ayrılır. Orta bölgede (iki nokta arasında) toplam uzaklık sabittir ve en küçüktür. f ( x ) = a + b − 2 x eğer x ≤ a d eğer a ≤ x ≤ b 2 x − a − b eğer x ≥ b Buna göre en küçük değer orta bölgede alınır. min x ∈ ℝ f ( x ) = d = | m − 1 | Şimdi denklem, yatay doğru ile kesişim sayısı olarak yorumlanır. Üç olasılık vardır. f ( x ) = 4 Birinci durum: En küçük değer hedef değerden büyükse çözüm yoktur. | m − 1 | > 4 ⇒ çözüm yok İkinci durum: En küçük değer hedef değere eşitse, orta bölgedeki her nokta çözüm olur; yani sonsuz çözüm vardır. | m − 1 | = 4 ⇒ tüm x için a ≤ x ≤ b çözüm Üçüncü durum: En küçük değer hedef değerden küçükse, sol tarafta ve sağ tarafta iki ayrı kesişim oluşur; yani iki çözüm vardır. Nitekim dış bölgelerde doğrusal denklemlerden iki ayrı kök elde edilir. | m − 1 | < 4 ⇒ iki çözüm a + b − 2 $x = 4$⇒ $x = a + b$− 4 2 2 x − a − $b = 4$⇒ $x = a + b + 4$2 Sonuç: Çözüm sayısı hiçbir durumda tam olarak bir olamaz (ya hiç yok, ya iki tane var, ya da sonsuz tane var). Bu yüzden istenen değerler kümesi boştur. İstenen m kümesi = ∅ Doğru seçenek: A

Doğru cevap: A

Eşitsizlik: x - 2 + x + 1 ≤ 2 x - 1 + 1 Mutlak değerlerin işaret değiştireceği kritik noktalar: x = - 1 $x = 1$2 $x = 2$1. Durum: x < - 1 Bu aralıkta mutlak değerleri açalım: x - $2 = 2$ - x x + 1 = - x - 1 2 x - $1 = 1$ - 2 x Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 - x ) + ( - x - 1 ) ≤ ( 1 - 2 x ) + 1 1 - 2 x ≤ 2 - 2 x 1 ≤ 2 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler çözümdür. 2. Durum: - 1 < x < 1 2 Mutlak değerleri açalım: x - $2 = 2$ - x x + 1 = x + 1 2 x - $1 = 1$ - 2 x Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) ≤ ( 1 - 2 x ) + 1 3 ≤ 2 - 2 x 1 ≤ - 2 x x ≤ - 1 2 Bu durumun aralık şartı ile birleştirince: - 1 < x ≤ - 1 2 3. Durum: 1 2 < x < 2 Mutlak değerleri açalım: x - $2 = 2$ - x x + 1 = x + 1 2 x - $1 = 2$ x - 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) ≤ ( 2 x - 1 ) + 1 3 ≤ 2 x x ≥ 3 2 Bu durumun aralık şartı ile birleştirince: 3 2 ≤ x < 2 Ayrıca sınır kontrolü: Bu noktada sağ taraf: $x = 1$2 yerine yazılırsa: 1 2 - 2 + 1 2 + 1 ≤ 2 × 1 2 - 1 + 1 3 ≤ 1 Yanlış olduğundan bu nokta çözüm değildir. 4. Durum: x ≥ 2 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 2 x - $1 = 2$ x - 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) ≤ ( 2 x - 1 ) + 1 2 x - 1 ≤ 2 x - 1 ≤ 0 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler çözümdür. Tüm durumları birleştirince çözüm kümesi: - ∞, - 1 2 ∪ 3 2, ∞ A şıkkı ile karşılaştırma: A şıkkı: - ∞, 1 2 ∪ 3 2, ∞ Doğru çözüm kümesinin sol sınırı farklı olduğundan A şıkkı doğru değildir.

1. Çözüm: Eşitsizlik: x - 2 + x + 1 ≤ 2 x - 1 + 1 Mutlak değerlerin işaret değiştireceği kritik noktalar: x = - 1 $x = 1$2 $x = 2$1. Durum: x < - 1 Bu aralıkta mutlak değerleri açalım: x - $2 = 2$ - x x + 1 = - x - 1 2 x - $1 = 1$ - 2 x Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 - x ) + ( - x - 1 ) ≤ ( 1 - 2 x ) + 1 1 - 2 x ≤ 2 - 2 x 1 ≤ 2 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler çözümdür. 2. Durum: - 1 < x < 1 2 Mutlak değerleri açalım: x - $2 = 2$ - x x + 1 = x + 1 2 x - $1 = 1$ - 2 x Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) ≤ ( 1 - 2 x ) + 1 3 ≤ 2 - 2 x 1 ≤ - 2 x x ≤ - 1 2 Bu durumun aralık şartı ile birleştirince: - 1 < x ≤ - 1 2 3. Durum: 1 2 < x < 2 Mutlak değerleri açalım: x - $2 = 2$ - x x + 1 = x + 1 2 x - $1 = 2$ x - 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( 2 - x ) + ( x + 1 ) ≤ ( 2 x - 1 ) + 1 3 ≤ 2 x x ≥ 3 2 Bu durumun aralık şartı ile birleştirince: 3 2 ≤ x < 2 Ayrıca sınır kontrolü: Bu noktada sağ taraf: $x = 1$2 yerine yazılırsa: 1 2 - 2 + 1 2 + 1 ≤ 2 × 1 2 - 1 + 1 3 ≤ 1 Yanlış olduğundan bu nokta çözüm değildir. 4. Durum: x ≥ 2 Mutlak değerleri açalım: x - 2 = x - 2 x + 1 = x + 1 2 x - $1 = 2$ x - 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: ( x - 2 ) + ( x + 1 ) ≤ ( 2 x - 1 ) + 1 2 x - 1 ≤ 2 x - 1 ≤ 0 Her zaman doğru olduğundan bu aralıktaki tüm değerler çözümdür. Tüm durumları birleştirince çözüm kümesi: - ∞, - 1 2 ∪ 3 2, ∞ A şıkkı ile karşılaştırma: A şıkkı: - ∞, 1 2 ∪ 3 2, ∞ Doğru çözüm kümesinin sol sınırı farklı olduğundan A şıkkı doğru değildir.

Doğru cevap: B

Verilen denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 1 = 0  ⇒  x = - 1 Bu nedenle doğru parçalı inceleme aralıkları: x < - 1,   - 1 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1) Durum: ( ) x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir. 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 2 x - 3 + x + 1 = 7 3 x - 2 = 7  ⇒  3 x = 9  ⇒  x = 3 Bulunan değer aralığı sağladığı için geçerlidir. 2) Durum: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta birinci ifade negatiftir, ikinci ifade pozitiftir. 2 x - 3 = - 2 x - 3 = 3 - 2 x x + 1 = x + 1 3 - 2 x + x + 1 = 7 4 - x = 7  ⇒  - x = 3  ⇒  x = - 3 Bulunan değer bu aralıkta olmadığı için geçersizdir. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir. 2 x - 3 = 3 - 2 x x + 1 = - x + 1 = - x - 1 3 - 2 x + - x - 1 = 7 2 - 3 x = 7  ⇒  - 3 x = 5  ⇒  x = - 5 3 Bulunan değer aralığı sağladığı için geçerlidir. Geçerli çözümler: x = 3, x = - 5 3 Dolayısıyla gerçek çözüm sayısı: 2 Kontrol: Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değer içlerinin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 2 x + 1 = 0  ⇒  x = - 1 Bu nedenle doğru parçalı inceleme aralıkları: x < - 1,   - 1 ≤ x < 3 2,   x ≥ 3 2 1) Durum: ( ) x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir. 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 2 x - 3 + x + 1 = 7 3 x - 2 = 7  ⇒  3 x = 9  ⇒  x = 3 Bulunan değer aralığı sağladığı için geçerlidir. 2) Durum: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta birinci ifade negatiftir, ikinci ifade pozitiftir. 2 x - 3 = - 2 x - 3 = 3 - 2 x x + 1 = x + 1 3 - 2 x + x + 1 = 7 4 - x = 7  ⇒  - x = 3  ⇒  x = - 3 Bulunan değer bu aralıkta olmadığı için geçersizdir. 3) Durum: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir. 2 x - 3 = 3 - 2 x x + 1 = - x + 1 = - x - 1 3 - 2 x + - x - 1 = 7 2 - 3 x = 7  ⇒  - 3 x = 5  ⇒  x = - 5 3 Bulunan değer aralığı sağladığı için geçerlidir. Geçerli çözümler: x = 3, x = - 5 3 Dolayısıyla gerçek çözüm sayısı: 2 Kontrol: Doğru cevap B şıkkıdır.