9. Sınıf Matematik Mutlak Değer Testleri

Doğru cevap: B

İfade: | | | x - 2 | - | x + 1 | | < 3 Ters üçgen eşitsizliği: | | a | - | b | | ≤ | a - b | Burada a = x - 2 b = x + 1 Üst sınırı hesaplayalım: | a - b | = | x - 2 - x + 1 | = | - 3 | = 3 Dolayısıyla her x ∈ R için | | | x - 2 | - | x + 1 | | | ≤ 3 olur; yani eşitsizliğin sağlanmaması ancak değer tam olarak 3 olursa mümkündür. Eşitliğin sağlandığı (yani değerin 3 olduğu) durumları bulalım. Bunun olması için ( x - 2 ) ( x + 1 ) ≥ 0 olmalıdır (iki ifade aynı işaretliyken sınır değere ulaşılır). Çözüm: x ≤ - 1 ∨ x ≥ 2 Bu aralıklarda ifade 3 olur ve bizim eşitsizliğimiz < 3 istediği için bu noktalar/arıklıklar çözüme dahil değildir. Geriye kalan bölgede - 1 < x < 2 olur ve bu durumda | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = x + 1 Dolayısıyla ifade: | | x - 2 | - | x + 1 | | = | 2 - x - x + 1 | = | 1 - 2 x | Şimdi eşitsizliği çözelim: | 1 - 2 x | < 3 - 3 < 1 - 2 x < 3 - 4 < - 2 x < 2 - 1 < x < 2 Yani çözüm kümesi ( - 1, 2 ) olur. Toplam uzunluk: 2 - ( - 1 ) = 3 Doğru cevap B990 şıkkıdır.

1. Çözüm: İfade: | | | x - 2 | - | x + 1 | | < 3 Ters üçgen eşitsizliği: | | a | - | b | | ≤ | a - b | Burada a = x - 2 b = x + 1 Üst sınırı hesaplayalım: | a - b | = | x - 2 - x + 1 | = | - 3 | = 3 Dolayısıyla her x ∈ R için | | | x - 2 | - | x + 1 | | | ≤ 3 olur; yani eşitsizliğin sağlanmaması ancak değer tam olarak 3 olursa mümkündür. Eşitliğin sağlandığı (yani değerin 3 olduğu) durumları bulalım. Bunun olması için ( x - 2 ) ( x + 1 ) ≥ 0 olmalıdır (iki ifade aynı işaretliyken sınır değere ulaşılır). Çözüm: x ≤ - 1 ∨ x ≥ 2 Bu aralıklarda ifade 3 olur ve bizim eşitsizliğimiz < 3 istediği için bu noktalar/arıklıklar çözüme dahil değildir. Geriye kalan bölgede - 1 < x < 2 olur ve bu durumda | x - 2 | = 2 - x | x + 1 | = x + 1 Dolayısıyla ifade: | | x - 2 | - | x + 1 | | = | 2 - x - x + 1 | = | 1 - 2 x | Şimdi eşitsizliği çözelim: | 1 - 2 x | < 3 - 3 < 1 - 2 x < 3 - 4 < - 2 x < 2 - 1 < x < 2 Yani çözüm kümesi ( - 1, 2 ) olur. Toplam uzunluk: 2 - ( - 1 ) = 3 Doğru cevap B990 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: x - 3 + x + 1 = 2 x - 1 + 2 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 1, x = 1, x = 3 Bu yüzden aralıkları tek tek inceleriz. 1) Durum: ( ) x ≥ 3 x - 3 = x - 3 x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 ( x - 3 ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 2 2 x - 2 = 2 x Bu eşitlik mümkün değildir, dolayısıyla bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: ( ) 1 ≤ x < 3 x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 2 4 = 2 x x = 2 Bulunan değer aralığa uygundur, bu yüzden çözümlerden biri 2 'dir. 3) Durum: ( ) -1 ≤ x < 1 x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = 1 - x ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 2 4 = 4 - 2 x x = 0 Bulunan değer aralığa uygundur, bu yüzden çözümlerden diğeri 0 'dır. 4) Durum: ( ) x < -1 x - 3 = 3 - x x + 1 = - x - 1 x - 1 = 1 - x ( 3 - x ) + ( - x - 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 2 2 - 2 x = 4 - 2 x Bu eşitlik mümkün değildir, dolayısıyla bu aralıkta da çözüm yoktur. Gerçek çözümler: x = 0, x = 2 Çözümlerin toplamı: 0 + 2 = 2 Sonuç: Doğru seçenek C 'dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: x - 3 + x + 1 = 2 x - 1 + 2 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = - 1, x = 1, x = 3 Bu yüzden aralıkları tek tek inceleriz. 1) Durum: ( ) x ≥ 3 x - 3 = x - 3 x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 ( x - 3 ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 2 2 x - 2 = 2 x Bu eşitlik mümkün değildir, dolayısıyla bu aralıkta çözüm yoktur. 2) Durum: ( ) 1 ≤ x < 3 x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = x - 1 ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( x - 1 ) + 2 4 = 2 x x = 2 Bulunan değer aralığa uygundur, bu yüzden çözümlerden biri 2 'dir. 3) Durum: ( ) -1 ≤ x < 1 x - 3 = 3 - x x + 1 = x + 1 x - 1 = 1 - x ( 3 - x ) + ( x + 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 2 4 = 4 - 2 x x = 0 Bulunan değer aralığa uygundur, bu yüzden çözümlerden diğeri 0 'dır. 4) Durum: ( ) x < -1 x - 3 = 3 - x x + 1 = - x - 1 x - 1 = 1 - x ( 3 - x ) + ( - x - 1 ) = 2 ( 1 - x ) + 2 2 - 2 x = 4 - 2 x Bu eşitlik mümkün değildir, dolayısıyla bu aralıkta da çözüm yoktur. Gerçek çözümler: x = 0, x = 2 Çözümlerin toplamı: 0 + 2 = 2 Sonuç: Doğru seçenek C 'dir.

Doğru cevap: D

Denklem: | 2 x - 3 | + | x + 1 | = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 1) Durum: x ≤ -1 Bu aralıkta 2x-3<0 ve x+1<0 olduğundan: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 | x + 1 | = - x + 1 = - x - 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) = 7 - 3 x + 2 = 7 - 3 x = 5 x = - 5 3 Bu değer x ≤ -1 koşulunu sağlar. 2) Durum: -1 ≤ x ≤ 3/2 Bu aralıkta 2x-3 ≤ 0 ve x+1 ≥ 0 olduğundan: | 2 x - 3 | = - 2 x + 3 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) = 7 - x + 4 = 7 x = - 3 Ancak -3 bu aralıkta olmadığı için bu durumdan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 3/2 Bu aralıkta 2x-3 ≥ 0 ve x+1 ≥ 0 olduğundan: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) = 7 3 x - 2 = 7 3 x = 9 x = 3 Bu değer x ≥ 3/2 koşulunu sağlar. Çözüm kümesi: { - 5 3, 3 } Elemanlar toplamı: ( - 5 3 ) + 3 - 5 3 + 9 3 = 4 3 Sonuç: Toplam 4 3 olduğu için doğru seçenek D924 ’dır.

1. Çözüm: Denklem: | 2 x - 3 | + | x + 1 | = 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: 2 x - 3 = 0 x = 3 2 x + 1 = 0 x = - 1 1) Durum: x ≤ -1 Bu aralıkta 2x-3<0 ve x+1<0 olduğundan: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 | x + 1 | = - x + 1 = - x - 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) = 7 - 3 x + 2 = 7 - 3 x = 5 x = - 5 3 Bu değer x ≤ -1 koşulunu sağlar. 2) Durum: -1 ≤ x ≤ 3/2 Bu aralıkta 2x-3 ≤ 0 ve x+1 ≥ 0 olduğundan: | 2 x - 3 | = - 2 x + 3 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) = 7 - x + 4 = 7 x = - 3 Ancak -3 bu aralıkta olmadığı için bu durumdan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 3/2 Bu aralıkta 2x-3 ≥ 0 ve x+1 ≥ 0 olduğundan: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Denkleme yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) = 7 3 x - 2 = 7 3 x = 9 x = 3 Bu değer x ≥ 3/2 koşulunu sağlar. Çözüm kümesi: { - 5 3, 3 } Elemanlar toplamı: ( - 5 3 ) + 3 - 5 3 + 9 3 = 4 3 Sonuç: Toplam 4 3 olduğu için doğru seçenek D924 ’dır.

Doğru cevap: A

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: B

Sorudaki ifade mutlak değer içerdiği için kritik noktaları belirleyip aralık aralık inceleyeceğiz. Denklem: | | x - 1 | - | x - 4 | | = | x - 2 | Kritik noktalar: 1, 2, 4 Buna göre aralıklar: ( - ∞, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 4 ], [ 4, ∞ ) Aralık: x ≤ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( 1 - x ) - ( 4 - x ) = - 3 Denklem: | - 3 | = | x - 2 | 3 = 2 - x x = - 1 Aralık: 1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( 4 - x ) = 2 x - 5 Denklem: | 2 x - 5 | = 2 - x Bu aralıkta eşitliği sağlayan değer çıkmaz (çözüm yoktur). Aralık: 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta yine: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Dolayısıyla: | 2 x - 5 | = x - 2 Alt durumlar: 1) 2 x - 5 ≥ 0 2 x - 5 = x - 2 x = 3 2) 2 x - 5 < 0 5 - 2 x = x - 2 7 = 3 x x = 7 3 Aralık: x ≥ 4 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = x - 4 Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( x - 4 ) = 3 Denklem: 3 = x - 2 x = 5 Bulunan tüm gerçek çözümler: x ∈ - 1, 7 3, 3, 5 Dolayısıyla çözüm sayısı dörttür; doğru seçenek B1078 ’dir.

1. Çözüm: Sorudaki ifade mutlak değer içerdiği için kritik noktaları belirleyip aralık aralık inceleyeceğiz. Denklem: | | x - 1 | - | x - 4 | | = | x - 2 | Kritik noktalar: 1, 2, 4 Buna göre aralıklar: ( - ∞, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 4 ], [ 4, ∞ ) Aralık: x ≤ 1 Bu aralıkta: | x - 1 | = 1 - x | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( 1 - x ) - ( 4 - x ) = - 3 Denklem: | - 3 | = | x - 2 | 3 = 2 - x x = - 1 Aralık: 1 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( 4 - x ) = 2 x - 5 Denklem: | 2 x - 5 | = 2 - x Bu aralıkta eşitliği sağlayan değer çıkmaz (çözüm yoktur). Aralık: 2 ≤ x ≤ 4 Bu aralıkta yine: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = 4 - x Dolayısıyla: | 2 x - 5 | = x - 2 Alt durumlar: 1) 2 x - 5 ≥ 0 2 x - 5 = x - 2 x = 3 2) 2 x - 5 < 0 5 - 2 x = x - 2 7 = 3 x x = 7 3 Aralık: x ≥ 4 Bu aralıkta: | x - 1 | = x - 1 | x - 4 | = x - 4 Sol tarafın içi: ( x - 1 ) - ( x - 4 ) = 3 Denklem: 3 = x - 2 x = 5 Bulunan tüm gerçek çözümler: x ∈ - 1, 7 3, 3, 5 Dolayısıyla çözüm sayısı dörttür; doğru seçenek B1078 ’dir.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: | x - 2 | + | x + 3 | = | 2 x + 1 | + 4 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 2 x = - 3 2 x + 1 = 0   ⇒   x = - 1 2 Bu yüzden aralıklar: ( - ∞, - 3 ),   [ - 3, - 1 2 ),   [ - 1 2, 2 ),   [ 2, ∞ ) 1) Durum: x < - 3 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 3 | = - x - 3 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 3 ) = ( - 2 x - 1 ) + 4 - 2 x - 1 = - 2 x + 3 Bu eşitlik mümkün değildir, bu aralıkta çözüm yok. 2) Durum: - 3 ≤ x < - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 3 | = x + 3 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Sol taraf sadeleşir: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 5 Denklem: 5 = ( - 2 x - 1 ) + 4 5 = - 2 x + 3 - 2 x = 2 x = - 1 Bulunan değer aralıkta olduğu için çözüm kabul edilir. 3) Durum: - 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 3 | = x + 3 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Yine sol taraf: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 5 Denklem: 5 = ( 2 x + 1 ) + 4 5 = 2 x + 5 2 x = 0 x = 0 Bulunan değer aralıkta olduğu için çözüm kabul edilir. 4) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 3 | = x + 3 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Denklem: ( x - 2 ) + ( x + 3 ) = ( 2 x + 1 ) + 4 2 x + 1 = 2 x + 5 Bu eşitlik mümkün değildir, bu aralıkta çözüm yok. Sonuç: Reel kökler kümesi { - 1, 0 } Dolayısıyla doğru seçenek C1306 ’dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: | x - 2 | + | x + 3 | = | 2 x + 1 | + 4 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x = 2 x = - 3 2 x + 1 = 0   ⇒   x = - 1 2 Bu yüzden aralıklar: ( - ∞, - 3 ),   [ - 3, - 1 2 ),   [ - 1 2, 2 ),   [ 2, ∞ ) 1) Durum: x < - 3 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 3 | = - x - 3 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: ( - x + 2 ) + ( - x - 3 ) = ( - 2 x - 1 ) + 4 - 2 x - 1 = - 2 x + 3 Bu eşitlik mümkün değildir, bu aralıkta çözüm yok. 2) Durum: - 3 ≤ x < - 1 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 3 | = x + 3 | 2 x + 1 | = - 2 x - 1 Sol taraf sadeleşir: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 5 Denklem: 5 = ( - 2 x - 1 ) + 4 5 = - 2 x + 3 - 2 x = 2 x = - 1 Bulunan değer aralıkta olduğu için çözüm kabul edilir. 3) Durum: - 1 2 ≤ x < 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = - x + 2 | x + 3 | = x + 3 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Yine sol taraf: ( - x + 2 ) + ( x + 3 ) = 5 Denklem: 5 = ( 2 x + 1 ) + 4 5 = 2 x + 5 2 x = 0 x = 0 Bulunan değer aralıkta olduğu için çözüm kabul edilir. 4) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: | x - 2 | = x - 2 | x + 3 | = x + 3 | 2 x + 1 | = 2 x + 1 Denklem: ( x - 2 ) + ( x + 3 ) = ( 2 x + 1 ) + 4 2 x + 1 = 2 x + 5 Bu eşitlik mümkün değildir, bu aralıkta çözüm yok. Sonuç: Reel kökler kümesi { - 1, 0 } Dolayısıyla doğru seçenek C1306 ’dir.

Doğru cevap: D

Mutlak değer bir sayının sıfıra uzaklığıdır ve negatif olmaz.

1. Çözüm: Mutlak değer bir sayının sıfıra uzaklığıdır ve negatif olmaz.

Doğru cevap: A

Sıfıra uzaklığı 5 olan sayılar -5 ve 5’tir.

1. Çözüm: Sıfıra uzaklığı 5 olan sayılar -5 ve 5’tir.

Doğru cevap: B

Mutlak değeri 3’ten küçük olan sayılar -3 ile 3 arasındadır.

1. Çözüm: Mutlak değeri 3’ten küçük olan sayılar -3 ile 3 arasındadır.

Doğru cevap: C

Önce parantez içi hesaplanır: $4-9=-5$. $|-5|=5$.

1. Çözüm: Önce parantez içi hesaplanır: $4-9=-5$. $|-5|=5$.