9. Sınıf Matematik Denklemler Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçel çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} + \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = 2 x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce paydaların sıfır olmaması gerekir (tanım koşulu): x ≠ 2 ∧ x ≠ − 2 İlk kesri çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = x − 2 x − 3 Bu durumda (tanım koşulu ile) sadeleştirme: x 2 − 5 x + 6 x − 2 = x − 2 x − 3 x − 2 = x − 3 İkinci kesri de çarpanlara ayıralım ve sadeleştirelim: x 2 − 4 = x − 2 x + 2 x 2 − 4 x + 2 = x − 2 x + 2 x + 2 = x − 2 Denklem şimdi şu hale gelir: x − 3 + x − 2 = 2 x Sol tarafı toplayalım: 2 x − 5 = 2 x Her iki taraftan da aynı ifadeyi çıkaralım: 2 x − 5 − 2 x = 2 x − 2 x − 5 = 0 Bu bir çelişkidir, dolayısıyla denklemin gerçel sayılarda çözümü yoktur: ∅ Sonuç: Doğru seçenek C769 ’dır.

Çözüm: Önce paydaların sıfır olmaması gerekir (tanım koşulu): x ≠ 2 ∧ x ≠ − 2 İlk kesri çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = x − 2 x − 3 Bu durumda (tanım koşulu ile) sadeleştirme: x 2 − 5 x + 6 x − 2 = x − 2 x − 3 x − 2 = x − 3 İkinci kesri de çarpanlara ayıralım ve sadeleştirelim: x 2 − 4 = x − 2 x + 2 x 2 − 4 x + 2 = x − 2 x + 2 x + 2 = x − 2 Denklem şimdi şu hale gelir: x − 3 + x − 2 = 2 x Sol tarafı toplayalım: 2 x − 5 = 2 x Her iki taraftan da aynı ifadeyi çıkaralım: 2 x − 5 − 2 x = 2 x − 2 x − 5 = 0 Bu bir çelişkidir, dolayısıyla denklemin gerçel sayılarda çözümü yoktur: ∅ Sonuç: Doğru seçenek C769 ’dır.

Önce paydaların sıfır olmaması gerekir (tanım koşulu):

x \neq 2 \land x \neq - 2

İlk kesri çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Bu durumda (tanım koşulu ile) sadeleştirme:

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} = \frac{(x - 2) (x - 3)}{x - 2} = x - 3

İkinci kesri de çarpanlara ayıralım ve sadeleştirelim:

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 2} = x - 2

Denklem şimdi şu hale gelir:

(x - 3) + (x - 2) = 2 x

Sol tarafı toplayalım:

2 x - 5 = 2 x

Her iki taraftan da aynı ifadeyi çıkaralım:

2 x - 5 - 2 x = 2 x - 2 x

- 5 = 0

Bu bir çelişkidir, dolayısıyla denklemin gerçel sayılarda çözümü yoktur:

\emptyset

Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$|x - 2| + |2 x + 1| = 7$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen denklem: x - 2 + 2 x + 1 = 7 Mutlak değer içlerini sıfır yapan noktalar: x - 2 = 0 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu nedenle üç aralıkta inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir: x - 2 = - x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = - 2 x + 1 = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: 2 - x + - 2 x - 1 = 7 1 - 3 x = 7 - 3 x = 6 ⇒ x = - 2 Bulunan değer aralıkta uygundur. 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: 2 - x + 2 x + 1 = 7 3 + x = 7 ⇒ x = 4 Ancak bu değer aralıkta olmadığı için bu durumdan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: x - 2 + 2 x + 1 = 7 3 x - 1 = 7 3 x = 8 ⇒ x = 8 3 Bulunan değer aralıkta uygundur. Gerçek çözümler: x = - 2, x = 8 3 Çözümlerin toplamı: - 2 + 8 3 = 2 3 Sonuç şıklar arasında C ile aynıdır. (C doğru)

Çözüm: Verilen denklem: x - 2 + 2 x + 1 = 7 Mutlak değer içlerini sıfır yapan noktalar: x - 2 = 0 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2 Bu nedenle üç aralıkta inceleyelim. 1) Durum: x ≤ - 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir: x - 2 = - x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = - 2 x + 1 = - 2 x - 1 Denkleme yazalım: 2 - x + - 2 x - 1 = 7 1 - 3 x = 7 - 3 x = 6 ⇒ x = - 2 Bulunan değer aralıkta uygundur. 2) Durum: - 1 2 ≤ x ≤ 2 Bu aralıkta: x - 2 = 2 - x 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: 2 - x + 2 x + 1 = 7 3 + x = 7 ⇒ x = 4 Ancak bu değer aralıkta olmadığı için bu durumdan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: x - 2 = x - 2 2 x + 1 = 2 x + 1 Denkleme yazalım: x - 2 + 2 x + 1 = 7 3 x - 1 = 7 3 x = 8 ⇒ x = 8 3 Bulunan değer aralıkta uygundur. Gerçek çözümler: x = - 2, x = 8 3 Çözümlerin toplamı: - 2 + 8 3 = 2 3 Sonuç şıklar arasında C ile aynıdır. (C doğru)

Verilen denklem:

|x - 2| + |2 x + 1| = 7

Mutlak değer içlerini sıfır yapan noktalar:

x - 2 = 0

2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{- 1}{2}

Bu nedenle üç aralıkta inceleyelim.

1) Durum:

x \leq \frac{- 1}{2}

Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir:

|x - 2| = - x - 2 = 2 - x

|2 x + 1| = - 2 x + 1 = - 2 x - 1

Denkleme yazalım:

2 - x + - 2 x - 1 = 7

1 - 3 x = 7

- 3 x = 6 \Rightarrow x = - 2

Bulunan değer aralıkta uygundur.

2) Durum:

\frac{- 1}{2} \leq x \leq 2

Bu aralıkta:

|x - 2| = 2 - x

|2 x + 1| = 2 x + 1

Denkleme yazalım:

2 - x + 2 x + 1 = 7

3 + x = 7 \Rightarrow x = 4

Ancak bu değer aralıkta olmadığı için bu durumdan çözüm gelmez.

3) Durum:

x \geq 2

Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir:

|x - 2| = x - 2

|2 x + 1| = 2 x + 1

Denkleme yazalım:

x - 2 + 2 x + 1 = 7

3 x - 1 = 7

3 x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}

Bulunan değer aralıkta uygundur.

Gerçek çözümler:

x = - 2, x = \frac{8}{3}

Çözümlerin toplamı:

- 2 + \frac{8}{3} = \frac{2}{3}

Sonuç şıklar arasında C ile aynıdır. (C doğru)

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi sağlayan gerçek $x$ değeri kaçtır?
$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{3 - x} = 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: 2 x - 1 + 3 - x = 2 Tanım kümesi için kök içlerinin negatif olmaması gerekir: 2 x - 1 ≥ 0 3 - x ≥ 0 Buradan: 1 2 ≤ x ≤ 3 Kök ifadeleri sadeleştirmek için: a = 2 x - 1 b = 3 - x Denklem: a + b = 2 Her iki tarafın karesini alalım: ( a + b ) 2 = 2 2 a 2 + b 2 + 2 a b = 4 Yerine yazalım: ( 2 x - 1 ) + ( 3 - x ) + 2 a b = 4 x + 2 + 2 a b = 4 2 a b = 2 - x a b = 1 - x 2 Sol taraf bir kök çarpımı olduğundan negatif olamaz: a b ≥ 0 Dolayısıyla: 1 - x 2 ≥ 0 x ≤ 2 Şimdi ikinci kez karesini alarak denklemi çözelim: a b = ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) = 1 - x 2 ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) = ( 1 - x 2 ) 2 Düzenleyelim: ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) = 1 - x + x 2 4 - 2 x 2 + 7 x - 3 = 1 - x + x 2 4 Paydadan kurtarmak için her iki tarafı uygun bir sayı ile çarpıp toplayalım: 9 x 2 - 32 x + 16 = 0 Kök içinde ayırarak çözelim: x = 32 ± 32 2 - 4 · 9 · 16 2 · 9 x = 32 ± 448 18 x = 32 ± 8 7 18 x = 16 ± 4 7 9 Aday çözümler: x = 16 - 4 7 9 x = 16 + 4 7 9 Bir önceki adımda elde ettiğimiz zorunlu koşul: x ≤ 2 İkinci aday için: 16 + 4 7 9 > 2 Bu nedenle ikinci aday denklemi sağlayamaz (karesini alma işleminde fazladan kök gelmiştir). Geriye yalnızca birinci aday kalır. Sonuç: x = 16 - 4 7 9 Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 1 + 3 - x = 2 Tanım kümesi için kök içlerinin negatif olmaması gerekir: 2 x - 1 ≥ 0 3 - x ≥ 0 Buradan: 1 2 ≤ x ≤ 3 Kök ifadeleri sadeleştirmek için: a = 2 x - 1 b = 3 - x Denklem: a + b = 2 Her iki tarafın karesini alalım: ( a + b ) 2 = 2 2 a 2 + b 2 + 2 a b = 4 Yerine yazalım: ( 2 x - 1 ) + ( 3 - x ) + 2 a b = 4 x + 2 + 2 a b = 4 2 a b = 2 - x a b = 1 - x 2 Sol taraf bir kök çarpımı olduğundan negatif olamaz: a b ≥ 0 Dolayısıyla: 1 - x 2 ≥ 0 x ≤ 2 Şimdi ikinci kez karesini alarak denklemi çözelim: a b = ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) = 1 - x 2 ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) = ( 1 - x 2 ) 2 Düzenleyelim: ( 2 x - 1 ) ( 3 - x ) = 1 - x + x 2 4 - 2 x 2 + 7 x - 3 = 1 - x + x 2 4 Paydadan kurtarmak için her iki tarafı uygun bir sayı ile çarpıp toplayalım: 9 x 2 - 32 x + 16 = 0 Kök içinde ayırarak çözelim: x = 32 ± 32 2 - 4 · 9 · 16 2 · 9 x = 32 ± 448 18 x = 32 ± 8 7 18 x = 16 ± 4 7 9 Aday çözümler: x = 16 - 4 7 9 x = 16 + 4 7 9 Bir önceki adımda elde ettiğimiz zorunlu koşul: x ≤ 2 İkinci aday için: 16 + 4 7 9 > 2 Bu nedenle ikinci aday denklemi sağlayamaz (karesini alma işleminde fazladan kök gelmiştir). Geriye yalnızca birinci aday kalır. Sonuç: x = 16 - 4 7 9 Doğru cevap A şıkkıdır.

Verilen denklem:

\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{3 - x} = 2

Tanım kümesi için kök içlerinin negatif olmaması gerekir:

2 x - 1 \geq 0

3 - x \geq 0

Buradan:

\frac{1}{2} \leq x \leq 3

Kök ifadeleri sadeleştirmek için:

a = \sqrt{2 x - 1}

b = \sqrt{3 - x}

Denklem:

a + b = 2

Her iki tarafın karesini alalım:

{(a + b)}^{2} = 2^{2}

a^{2} + b^{2} + 2 a b = 4

Yerine yazalım:

(2 x - 1) + (3 - x) + 2 a b = 4

x + 2 + 2 a b = 4

2 a b = 2 - x

a b = 1 - \frac{x}{2}

Sol taraf bir kök çarpımı olduğundan negatif olamaz:

a b \geq 0

Dolayısıyla:

1 - \frac{x}{2} \geq 0

x \leq 2

Şimdi ikinci kez karesini alarak denklemi çözelim:

a b = \sqrt{(2 x - 1) (3 - x)}

\sqrt{(2 x - 1) (3 - x)} = 1 - \frac{x}{2}

(2 x - 1) (3 - x) = {(1 - \frac{x}{2})}^{2}

Düzenleyelim:

(2 x - 1) (3 - x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{4}

- 2 x^{2} + 7 x - 3 = 1 - x + \frac{x^{2}}{4}

Paydadan kurtarmak için her iki tarafı uygun bir sayı ile çarpıp toplayalım:

9 x^{2} - 32 x + 16 = 0

Kök içinde ayırarak çözelim:

x = \frac{32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}

x = \frac{32 \pm \sqrt{448}}{18}

x = \frac{32 \pm 8 \sqrt{7}}{18}

x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{7}}{9}

Aday çözümler:

x = \frac{16 - 4 \sqrt{7}}{9}

x = \frac{16 + 4 \sqrt{7}}{9}

Bir önceki adımda elde ettiğimiz zorunlu koşul:

x \leq 2

İkinci aday için:

\frac{16 + 4 \sqrt{7}}{9} > 2

Bu nedenle ikinci aday denklemi sağlayamaz (karesini alma işleminde fazladan kök gelmiştir). Geriye yalnızca birinci aday kalır.

Sonuç:

x = \frac{16 - 4 \sqrt{7}}{9}

Doğru cevap A şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$|x - 1| + |x + 2| = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Aşağıdaki denklem verilmiştir: x - 1 + x + 2 = 5 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x - 1 = 0 x = 1 x + 2 = 0 x = - 2 Bu nedenle sayı doğrusunu üç aralıkta inceleyeceğiz: x < - 2 - 2 ≤ x ≤ 1 x > 1 1) Durum: x > 1 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: x - 1 = x - 1 x + 2 = x + 2 Denklemi çözelim: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = 5 2 x + 1 = 5 2 x = 4 x = 2 Bulunan kök bu aralığı sağlar: 2 > 1 2) Durum: - 2 ≤ x ≤ 1 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = x + 2 Denklemi yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = 5 3 = 5 Bu mümkün olmadığı için bu aralıktan gerçek kök gelmez. 3) Durum: x < - 2 Bu aralıkta her iki ifade negatiftir: x - 1 = 1 - x x + 2 = - x - 2 Denklemi çözelim: ( 1 - x ) + ( - x - 2 ) = 5 - 2 x - 1 = 5 - 2 x = 6 x = - 3 Bulunan kök bu aralığı sağlar: - 3 < - 2 Gerçek kökler: x = - 3 x = 2 Köklerin toplamı: ( - 3 ) + 2 = - 1 Şıklarda verilen: şıkkıB886: - 1 Bulduğumuz toplam ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B942’dır.

Çözüm: Aşağıdaki denklem verilmiştir: x - 1 + x + 2 = 5 Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar: x - 1 = 0 x = 1 x + 2 = 0 x = - 2 Bu nedenle sayı doğrusunu üç aralıkta inceleyeceğiz: x < - 2 - 2 ≤ x ≤ 1 x > 1 1) Durum: x > 1 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir: x - 1 = x - 1 x + 2 = x + 2 Denklemi çözelim: ( x - 1 ) + ( x + 2 ) = 5 2 x + 1 = 5 2 x = 4 x = 2 Bulunan kök bu aralığı sağlar: 2 > 1 2) Durum: - 2 ≤ x ≤ 1 Bu aralıkta: x - 1 = 1 - x x + 2 = x + 2 Denklemi yazalım: ( 1 - x ) + ( x + 2 ) = 5 3 = 5 Bu mümkün olmadığı için bu aralıktan gerçek kök gelmez. 3) Durum: x < - 2 Bu aralıkta her iki ifade negatiftir: x - 1 = 1 - x x + 2 = - x - 2 Denklemi çözelim: ( 1 - x ) + ( - x - 2 ) = 5 - 2 x - 1 = 5 - 2 x = 6 x = - 3 Bulunan kök bu aralığı sağlar: - 3 < - 2 Gerçek kökler: x = - 3 x = 2 Köklerin toplamı: ( - 3 ) + 2 = - 1 Şıklarda verilen: şıkkıB886: - 1 Bulduğumuz toplam ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B942’dır.

Aşağıdaki denklem verilmiştir:

|x - 1| + |x + 2| = 5

Mutlak değer ifadelerinin işaret değiştirdiği kritik noktalar:

x - 1 = 0

x = 1

x + 2 = 0

x = - 2

Bu nedenle sayı doğrusunu üç aralıkta inceleyeceğiz:

x < - 2

- 2 \leq x \leq 1

x > 1

1) Durum:

x > 1

Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir:

|x - 1| = x - 1

|x + 2| = x + 2

Denklemi çözelim:

(x - 1) + (x + 2) = 5

2 x + 1 = 5

2 x = 4

x = 2

Bulunan kök bu aralığı sağlar:

2 > 1

2) Durum:

- 2 \leq x \leq 1

Bu aralıkta:

|x - 1| = 1 - x

|x + 2| = x + 2

Denklemi yazalım:

(1 - x) + (x + 2) = 5

3 = 5

Bu mümkün olmadığı için bu aralıktan gerçek kök gelmez.

3) Durum:

x < - 2

Bu aralıkta her iki ifade negatiftir:

|x - 1| = 1 - x

|x + 2| = - x - 2

Denklemi çözelim:

(1 - x) + (- x - 2) = 5

- 2 x - 1 = 5

- 2 x = 6

x = - 3

Bulunan kök bu aralığı sağlar:

- 3 < - 2

Gerçek kökler:

x = - 3

x = 2

Köklerin toplamı:

(- 3) + 2 = - 1

Şıklarda verilen:

şıkkıB6267:

- 1

Bulduğumuz toplam ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B6436’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
$|x^{2} - 5 x + 6| = x - 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçek sayılar kümesinde aşağıdaki denklemin kök sayısı kaçtır?
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - x} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Soru denklemi: x + 2 + 5 - x = 5 Tanım kümesi için kök içleri negatif olamaz: x + 2 ≥ 0 5 - x ≥ 0 Buradan: - 2 ≤ x ≤ 5 Kısaltma yapalım: a = x + 2 b = 5 - x Bu durumda: a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 5 Ayrıca karelerini toplayalım: a 2 + b 2 = ( x + 2 ) + ( 5 - x ) = 7 a + b = 5 eşitliğinin karesini alalım: ( a + b ) 2 = 25 Diğer yandan: ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b a 2 + b 2 = 7 olduğundan yerine yazalım: 25 = 7 + 2 a b Buradan: a b = 9 Şimdi a + b = 5 ve a b = 9 koşullarını sağlayan gerçek a ≥ 0, b ≥ 0 var mı diye bakalım. a + b = 5 ve a b = 9 ise, a sayısı şu denklemin kökü olmalıdır: t 2 - 5 t + 9 = 0 Bu ikinci derece denklemin diskriminantı: Δ = ( - 5 ) 2 - 4 · 1 · 9 = 25 - 36 = - 11 Diskriminant negatif olduğundan bu denklemin gerçek kökü yoktur. Dolayısıyla gerçek a, b çifti de yoktur. Sonuç olarak verilen denklem gerçek sayılarda çözüm vermez; kök sayısı: 0 Doğru seçenek: D916.

Çözüm: Soru denklemi: x + 2 + 5 - x = 5 Tanım kümesi için kök içleri negatif olamaz: x + 2 ≥ 0 5 - x ≥ 0 Buradan: - 2 ≤ x ≤ 5 Kısaltma yapalım: a = x + 2 b = 5 - x Bu durumda: a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 5 Ayrıca karelerini toplayalım: a 2 + b 2 = ( x + 2 ) + ( 5 - x ) = 7 a + b = 5 eşitliğinin karesini alalım: ( a + b ) 2 = 25 Diğer yandan: ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a b a 2 + b 2 = 7 olduğundan yerine yazalım: 25 = 7 + 2 a b Buradan: a b = 9 Şimdi a + b = 5 ve a b = 9 koşullarını sağlayan gerçek a ≥ 0, b ≥ 0 var mı diye bakalım. a + b = 5 ve a b = 9 ise, a sayısı şu denklemin kökü olmalıdır: t 2 - 5 t + 9 = 0 Bu ikinci derece denklemin diskriminantı: Δ = ( - 5 ) 2 - 4 · 1 · 9 = 25 - 36 = - 11 Diskriminant negatif olduğundan bu denklemin gerçek kökü yoktur. Dolayısıyla gerçek a, b çifti de yoktur. Sonuç olarak verilen denklem gerçek sayılarda çözüm vermez; kök sayısı: 0 Doğru seçenek: D916.

Soru denklemi:

\sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - x} = 5

Tanım kümesi için kök içleri negatif olamaz:

x + 2 \geq 0

5 - x \geq 0

Buradan:

- 2 \leq x \leq 5

Kısaltma yapalım:

a = \sqrt{x + 2}

b = \sqrt{5 - x}

Bu durumda:

a \geq 0, b \geq 0, a + b = 5

Ayrıca karelerini toplayalım:

a^{2} + b^{2} = (x + 2) + (5 - x) = 7

$a + b = 5$ eşitliğinin karesini alalım:

{(a + b)}^{2} = 25

Diğer yandan:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b

$a^{2} + b^{2} = 7$ olduğundan yerine yazalım:

25 = 7 + 2 a b

Buradan:

a b = 9

Şimdi $a + b = 5$ ve $a b = 9$ koşullarını sağlayan gerçek $a \geq 0, b \geq 0$ var mı diye bakalım.

$a + b = 5$ ve $a b = 9$ ise, $a$ sayısı şu denklemin kökü olmalıdır:

t^{2} - 5 t + 9 = 0

Bu ikinci derece denklemin diskriminantı:

Δ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 25 - 36 = - 11

Diskriminant negatif olduğundan bu denklemin gerçek kökü yoktur. Dolayısıyla gerçek $a, b$ çifti de yoktur.

Sonuç olarak verilen denklem gerçek sayılarda çözüm vermez; kök sayısı:

0

Doğru seçenek: D5216.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin pozitif kökü kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$
$x \neq 1, x \neq - 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Denklemi düzenleyelim ve paydaları yok edelim: x − 1 x + 2 + x + 2 x − 1 = 5 2) Kısa bir değişken tanımlayalım: t = x − 1 x + 2 Bu durumda ikinci kesir, tersine eşittir: x + 2 x − 1 = 1 t 3) Denklem artık tek değişkenli olur: t + 1 t = 5 4) Her iki tarafı t ile çarpalım: t 2 + 1 = 5 t 5) Standart ikinci dereceden denkleme getirelim: t 2 − 5 t + 1 = 0 6) Kökleri bulalım: t = 5 ± 21 2 7) Şimdi t yerine tekrar (x−1)/(x+2) yazıp x çözelim: x − 1 x + 2 = 5 ± 21 2 Pozitif kökü verecek olan seçim, daha küçük ve pozitif olan değerdir: x − 1 x + 2 = 5 − 21 2 8) Çapraz çarpım yapalım: 2 ( x − 1 ) = ( 5 − 21 ) ( x + 2 ) 9) Düzenleyip x yalnız bırakalım (sonuç sadeleşir): x = 21 − 1 2 10) Bu değer pozitiftir ve yasaklı değerlerden değildir; dolayısıyla denklemin pozitif kökü budur. Şık kontrolü: − 1 + 21 2 Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: 1) Denklemi düzenleyelim ve paydaları yok edelim: x − 1 x + 2 + x + 2 x − 1 = 5 2) Kısa bir değişken tanımlayalım: t = x − 1 x + 2 Bu durumda ikinci kesir, tersine eşittir: x + 2 x − 1 = 1 t 3) Denklem artık tek değişkenli olur: t + 1 t = 5 4) Her iki tarafı t ile çarpalım: t 2 + 1 = 5 t 5) Standart ikinci dereceden denkleme getirelim: t 2 − 5 t + 1 = 0 6) Kökleri bulalım: t = 5 ± 21 2 7) Şimdi t yerine tekrar (x−1)/(x+2) yazıp x çözelim: x − 1 x + 2 = 5 ± 21 2 Pozitif kökü verecek olan seçim, daha küçük ve pozitif olan değerdir: x − 1 x + 2 = 5 − 21 2 8) Çapraz çarpım yapalım: 2 ( x − 1 ) = ( 5 − 21 ) ( x + 2 ) 9) Düzenleyip x yalnız bırakalım (sonuç sadeleşir): x = 21 − 1 2 10) Bu değer pozitiftir ve yasaklı değerlerden değildir; dolayısıyla denklemin pozitif kökü budur. Şık kontrolü: − 1 + 21 2 Doğru cevap A şıkkıdır.

1) Denklemi düzenleyelim ve paydaları yok edelim:

\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5

2) Kısa bir değişken tanımlayalım:

t = \frac{x - 1}{x + 2}

Bu durumda ikinci kesir, tersine eşittir:

\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{1}{t}

3) Denklem artık tek değişkenli olur:

t + \frac{1}{t} = 5

4) Her iki tarafı t ile çarpalım:

t^{2} + 1 = 5 t

5) Standart ikinci dereceden denkleme getirelim:

t^{2} - 5 t + 1 = 0

6) Kökleri bulalım:

t = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}

7) Şimdi t yerine tekrar (x−1)/(x+2) yazıp x çözelim:

\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}

Pozitif kökü verecek olan seçim, daha küçük ve pozitif olan değerdir:

\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}

8) Çapraz çarpım yapalım:

2 (x - 1) = (5 - \sqrt{21}) (x + 2)

9) Düzenleyip x yalnız bırakalım (sonuç sadeleşir):

x = \frac{\sqrt{21} - 1}{2}

10) Bu değer pozitiftir ve yasaklı değerlerden değildir; dolayısıyla denklemin pozitif kökü budur. Şık kontrolü:

\frac{- 1 + \sqrt{21}}{2}

Doğru cevap A şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Denklemin tanım koşulu: x ≠ - 2, x ≠ 1 Verilen denklem: x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 5 Düzenleme için değişken dönüşümü yapalım: a = x - 1 x + 2 Bu durumda: x + 2 x - 1 = 1 a Denklem: a + 1 a = 5 Her iki tarafı a ile çarpalım: a 2 - 5 a + 1 = 0 Kökler için Vieta: a 1 + a 2 = 5 a 1 ⋅ a 2 = 1 Şimdi a ile x arasındaki ilişkiyi bulalım: a = x - 1 x + 2 Çapraz çarpım: a ( x + 2 ) = x - 1 Şöyle düzenleyelim: a x + 2 a = x - 1 x ( 1 - a ) = 1 + 2 a x = 1 + 2 a 1 - a Toplam gerçek çözümler toplamı: x 1 + x 2 = 1 + 2 a 1 1 - a 1 + 1 + 2 a 2 1 - a 2 Ortak payda ile toplayalım: x 1 + x 2 = ( 1 + 2 a 1 ) ( 1 - a 2 ) + ( 1 + 2 a 2 ) ( 1 - a 1 ) ( 1 - a 1 ) ( 1 - a 2 ) Payda: ( 1 - a 1 ) ( 1 - a 2 ) = 1 - ( a 1 + a 2 ) + a 1 a 2 = 1 - 5 + 1 = - 3 Pay: ( 1 + 2 a 1 ) ( 1 - a 2 ) + ( 1 + 2 a 2 ) ( 1 - a 1 ) = 2 + ( a 1 + a 2 ) - 4 a 1 a 2 = 2 + 5 - 4 ⋅ 1 = 3 Dolayısıyla: x 1 + x 2 = 3 - 3 = - 1 Sonuç: Gerçek çözümlerin toplamı şıktaki değerle uyuşur. Doğru cevap: - 1 Yani şıkkıB969 doğrudur.

Çözüm: Denklemin tanım koşulu: x ≠ - 2, x ≠ 1 Verilen denklem: x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 5 Düzenleme için değişken dönüşümü yapalım: a = x - 1 x + 2 Bu durumda: x + 2 x - 1 = 1 a Denklem: a + 1 a = 5 Her iki tarafı a ile çarpalım: a 2 - 5 a + 1 = 0 Kökler için Vieta: a 1 + a 2 = 5 a 1 ⋅ a 2 = 1 Şimdi a ile x arasındaki ilişkiyi bulalım: a = x - 1 x + 2 Çapraz çarpım: a ( x + 2 ) = x - 1 Şöyle düzenleyelim: a x + 2 a = x - 1 x ( 1 - a ) = 1 + 2 a x = 1 + 2 a 1 - a Toplam gerçek çözümler toplamı: x 1 + x 2 = 1 + 2 a 1 1 - a 1 + 1 + 2 a 2 1 - a 2 Ortak payda ile toplayalım: x 1 + x 2 = ( 1 + 2 a 1 ) ( 1 - a 2 ) + ( 1 + 2 a 2 ) ( 1 - a 1 ) ( 1 - a 1 ) ( 1 - a 2 ) Payda: ( 1 - a 1 ) ( 1 - a 2 ) = 1 - ( a 1 + a 2 ) + a 1 a 2 = 1 - 5 + 1 = - 3 Pay: ( 1 + 2 a 1 ) ( 1 - a 2 ) + ( 1 + 2 a 2 ) ( 1 - a 1 ) = 2 + ( a 1 + a 2 ) - 4 a 1 a 2 = 2 + 5 - 4 ⋅ 1 = 3 Dolayısıyla: x 1 + x 2 = 3 - 3 = - 1 Sonuç: Gerçek çözümlerin toplamı şıktaki değerle uyuşur. Doğru cevap: - 1 Yani şıkkıB969 doğrudur.

Denklemin tanım koşulu:

x \neq - 2, x \neq 1

Verilen denklem:

\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5

Düzenleme için değişken dönüşümü yapalım:

a = \frac{x - 1}{x + 2}

Bu durumda:

\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{1}{a}

Denklem:

a + \frac{1}{a} = 5

Her iki tarafı $a$ ile çarpalım:

a^{2} - 5 a + 1 = 0

Kökler için Vieta:

a_{1} + a_{2} = 5

a_{1} \cdot a_{2} = 1

Şimdi $a$ ile $x$ arasındaki ilişkiyi bulalım:

a = \frac{x - 1}{x + 2}

Çapraz çarpım:

a (x + 2) = x - 1

Şöyle düzenleyelim:

a x + 2 a = x - 1

x (1 - a) = 1 + 2 a

x = \frac{1 + 2 a}{1 - a}

Toplam gerçek çözümler toplamı:

x_{1} + x_{2} = \frac{1 + 2 a_{1}}{1 - a_{1}} + \frac{1 + 2 a_{2}}{1 - a_{2}}

Ortak payda ile toplayalım:

x_{1} + x_{2} = \frac{(1 + 2 a_{1}) (1 - a_{2}) + (1 + 2 a_{2}) (1 - a_{1})}{(1 - a_{1}) (1 - a_{2})}

Payda:

(1 - a_{1}) (1 - a_{2}) = 1 - (a_{1} + a_{2}) + a_{1} a_{2}

= 1 - 5 + 1 = - 3

Pay:

(1 + 2 a_{1}) (1 - a_{2}) + (1 + 2 a_{2}) (1 - a_{1}) = 2 + (a_{1} + a_{2}) - 4 a_{1} a_{2}

= 2 + 5 - 4 \cdot 1 = 3

Dolayısıyla:

x_{1} + x_{2} = \frac{3}{- 3} = - 1

Sonuç: Gerçek çözümlerin toplamı şıktaki değerle uyuşur.

Doğru cevap:

- 1

Yani A şıkkı doğrudur.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif çözümü bulunuz:
$\sqrt{2 x + 3} = | x - 1 |$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değerini bulun.
$\frac{(\sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 1})}{(\sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 1})} = \frac{1}{3}$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

9. Sınıf Denklemler Testleri

Denklem Çözme

Denklem Problemleri

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

Aşağıdaki denklemin gerçel çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} + \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = 2 x$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$|x - 2| + |2 x + 1| = 7$

Aşağıdaki denklemi sağlayan gerçek $x$ değeri kaçtır?
$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{3 - x} = 2$

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$|x - 1| + |x + 2| = 5$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
$|x^{2} - 5 x + 6| = x - 2$

Gerçek sayılar kümesinde aşağıdaki denklemin kök sayısı kaçtır?
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - x} = 5$

Aşağıdaki denklemin pozitif kökü kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$
$x \neq 1, x \neq - 2$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$

Pozitif çözümü bulunuz:
$\sqrt{2 x + 3} = | x - 1 |$

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değerini bulun.
$\frac{(\sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 1})}{(\sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 1})} = \frac{1}{3}$

Denklemler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

9. Sınıf Denklemler Testleri

Denklem Çözme

Denklem Problemleri

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

Aşağıdaki denklemin gerçel çözüm kümesini bulunuz.x2-5x+6x-2+x2-4x+2=2x

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?x-2+2x+1=7

Aşağıdaki denklemi sağlayan gerçek x değeri kaçtır?2x-1+3-x=2

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?x-1+x+2=5

Aşağıdaki denklemin gerçek çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?x2-5x+6=x-2

Gerçek sayılar kümesinde aşağıdaki denklemin kök sayısı kaçtır?x+2+5-x=5

Aşağıdaki denklemin pozitif kökü kaçtır?x-1x+2+x+2x-1=5x≠1,x≠-2

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?x-1x+2+x+2x-1=5

Pozitif çözümü bulunuz:2x+3=|x-1|

Aşağıdaki denklemi sağlayan x değerini bulun.x+5-x+1x+5+x+1=13

Denklemler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Aşağıdaki denklemin gerçel çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} + \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = 2 x$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$|x - 2| + |2 x + 1| = 7$

Aşağıdaki denklemi sağlayan gerçek $x$ değeri kaçtır?
$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{3 - x} = 2$

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$|x - 1| + |x + 2| = 5$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
$|x^{2} - 5 x + 6| = x - 2$

Gerçek sayılar kümesinde aşağıdaki denklemin kök sayısı kaçtır?
$\sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - x} = 5$

Aşağıdaki denklemin pozitif kökü kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$
$x \neq 1, x \neq - 2$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$

Pozitif çözümü bulunuz:
$\sqrt{2 x + 3} = | x - 1 |$

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değerini bulun.
$\frac{(\sqrt{x + 5} - \sqrt{x + 1})}{(\sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 1})} = \frac{1}{3}$