9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

Denklemler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Denklemler Testleri

Denklemler testleri; birinci dereceden denklemleri, parantezli ifadeleri, kesirli denklemleri ve denklem kurma problemlerini pekiştirir. Sorularda eşitliğin iki tarafına yapılan işlemlerin dengeli olması gerekir.

Denklem Çözme

Denklem çözerken önce parantezler açılır, benzer terimler birleştirilir ve bilinmeyen yalnız bırakılır. Kesirli denklemlerde paydaları yok etmek için ortak kat kullanılabilir.

Denklem Problemleri

Sayı, yaş, işçi, hareket ve karışım problemlerinde verilenler değişkenle ifade edilerek eşitlik kurulur. Değişkenin neyi temsil ettiği net belirlenmelidir.

Test seç

14 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test

10. Test

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

Denklemler konusu 10. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi çözünüz:
$3 (2 x - 1) = 5 x + 7$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin reel çözümlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Doğru cevabı kontrolü: Reel çözümlerin toplamı A şıkkındaki değere eşit mi bulacağız. 2) Tanım kümesi (paydalar sıfır olamaz): x ≠ - 1, x ≠ 2 3) Denklemin paydalarını ortak paydada toplayalım: x - 2 x + 1 + x + 1 x - 2 = 5 4) Ortak payda ile yazalım: x - 2 2 + x + 1 2 x + 1 x - 2 = 5 5) Payı ve paydayı açalım: x - 2 2 + x + 1 2 = x * x - 4 x + 4 + x * x + 2 x + 1 x 2 - x - 2 = x * x - x - 2 6) Payı sadeleştirelim: x 2 - 4 x + 4 + x 2 + 2 x + 1 = 2 x 2 - 2 x + 5 7) Denklem şu hale gelir: 2 x 2 - 2 x + 5 x 2 - x - 2 = 5 8) Her iki tarafı paydayla çarpalım: 2 x 2 - 2 x + 5 = 5 ( x 2 - x - 2 ) 9) Düzenleyip sıfıra eşitleyelim: 2 x 2 - 2 x + 5 = 5 x 2 - 5 x - 10 0 = 5 x 2 - 5 x - 10 - 2 x 2 - 2 x + 5 0 = 3 x 2 - 3 x - 15 10) Her tarafı 3'e bölelim: x 2 - x - 5 = 0 11) Kökler ve kökler toplamı: x = 1 ± 21 2 x + x = 1 12) Bulduğumuz kökler tanım kümesine uygundur ( 1 ± 21 2 ≠ - 1, 1 ± 21 2 ≠ 2 ), bu yüzden her ikisi de geçerli çözümdür. Sonuç: Reel çözümlerin toplamı 1 Bu da A şıkkıdır. (A doğru)

Çözüm: 1) Doğru cevabı kontrolü: Reel çözümlerin toplamı A şıkkındaki değere eşit mi bulacağız. 2) Tanım kümesi (paydalar sıfır olamaz): x ≠ - 1, x ≠ 2 3) Denklemin paydalarını ortak paydada toplayalım: x - 2 x + 1 + x + 1 x - 2 = 5 4) Ortak payda ile yazalım: x - 2 2 + x + 1 2 x + 1 x - 2 = 5 5) Payı ve paydayı açalım: x - 2 2 + x + 1 2 = x * x - 4 x + 4 + x * x + 2 x + 1 x 2 - x - 2 = x * x - x - 2 6) Payı sadeleştirelim: x 2 - 4 x + 4 + x 2 + 2 x + 1 = 2 x 2 - 2 x + 5 7) Denklem şu hale gelir: 2 x 2 - 2 x + 5 x 2 - x - 2 = 5 8) Her iki tarafı paydayla çarpalım: 2 x 2 - 2 x + 5 = 5 ( x 2 - x - 2 ) 9) Düzenleyip sıfıra eşitleyelim: 2 x 2 - 2 x + 5 = 5 x 2 - 5 x - 10 0 = 5 x 2 - 5 x - 10 - 2 x 2 - 2 x + 5 0 = 3 x 2 - 3 x - 15 10) Her tarafı 3'e bölelim: x 2 - x - 5 = 0 11) Kökler ve kökler toplamı: x = 1 ± 21 2 x + x = 1 12) Bulduğumuz kökler tanım kümesine uygundur ( 1 ± 21 2 ≠ - 1, 1 ± 21 2 ≠ 2 ), bu yüzden her ikisi de geçerli çözümdür. Sonuç: Reel çözümlerin toplamı 1 Bu da A şıkkıdır. (A doğru)

1) Doğru cevabı kontrolü: Reel çözümlerin toplamı A şıkkındaki değere eşit mi bulacağız.

2) Tanım kümesi (paydalar sıfır olamaz):

x \neq - 1, x \neq 2

3) Denklemin paydalarını ortak paydada toplayalım:

\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = 5

4) Ortak payda ile yazalım:

\frac{{x - 2}^{2} + {x + 1}^{2}}{x + 1 x - 2} = 5

5) Payı ve paydayı açalım:

{x - 2}^{2} + {x + 1}^{2} = x * x - 4 x + 4 + x * x + 2 x + 1

x^{2} - x - 2 = x * x - x - 2

6) Payı sadeleştirelim:

x^{2} - 4 x + 4 + x^{2} + 2 x + 1 = 2 x^{2} - 2 x + 5

7) Denklem şu hale gelir:

\frac{2 x^{2} - 2 x + 5}{x^{2} - x - 2} = 5

8) Her iki tarafı paydayla çarpalım:

2 x^{2} - 2 x + 5 = 5 (x^{2} - x - 2)

9) Düzenleyip sıfıra eşitleyelim:

2 x^{2} - 2 x + 5 = 5 x^{2} - 5 x - 10

0 = 5 x^{2} - 5 x - 10 - 2 x^{2} - 2 x + 5

0 = 3 x^{2} - 3 x - 15

10) Her tarafı 3'e bölelim:

x^{2} - x - 5 = 0

11) Kökler ve kökler toplamı:

x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}

x + x = 1

12) Bulduğumuz kökler tanım kümesine uygundur (

\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} \neq - 1, \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} \neq 2

), bu yüzden her ikisi de geçerli çözümdür.

Sonuç: Reel çözümlerin toplamı

1

Bu da A şıkkıdır. (A doğru)

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi sağlayan x değerini bulun:
$3 (2 x - 1) = 5 x + 4$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi sağlayan bilinmeyen değeri bulunuz.
$3 (2 x - 1) = 5 x + 7$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değeri nedir?
$\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x - 1} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce şıkkıD5nın doğru olup olmadığını kontrol edeceğiz; çözüm sonunda bulunan değer şıkkıD84yla aynı çıkarsa B doğrudur. Verilen denklem: 2 x + 3 + x - 1 = 5 Tanım gereği kök içleri negatif olamaz: x - 1 ≥ 0 2 x + 3 ≥ 0 Buradan özellikle gerekli olan koşul: x ≥ 1 Bir kökü yalnız bırakıp diğer tarafa atalım: 2 x + 3 = 5 - x - 1 Sol taraf kök olduğu için sağ taraf da negatif olamaz: 5 - x - 1 ≥ 0 Şimdi her iki tarafın karesini alalım: 2 x + 3 = 5 - x - 1 2 Sağ tarafı açalım: 2 x + 3 = 25 - 10 x - 1 + x - 1 Düzenleyelim (kökü yalnız bırakalım): x - 21 = - 10 x - 1 Her iki tarafı eksiyle çarpalım: 21 - x = 10 x - 1 Sağ taraf negatif olamayacağı için bu adım ayrıca şunu gerektirir: 21 - x ≥ 0 Şimdi tekrar karesini alalım: 21 - x 2 = 100 x - 1 Açalım ve standart denkleme getirelim: x 2 - 42 x + 441 = 100 x - 100 x 2 - 142 x + 541 = 0 Diskriminant: Δ = 142 2 - 4 · 541 = 18000 = 3600 · 5 Kökünü alalım: 18000 = 60 5 Kökler: x = 142 ± 60 5 2 = 71 ± 30 5 Koşulları (özellikle elde ettiğimiz x ≤ 21 ve x ≥ 1 ) sağlayan kökü seçelim. Büyük olan kök bu aralığın dışındadır, bu yüzden elenir; kalan: x = 71 - 30 5 Hızlı doğrulama (kare alma kaynaklı sahte kök var mı diye): x - 1 = 5 - 2 x + 3 2 x + 3 + x - 1 = 5 Sonuç: Bulduğumuz değer x = 71 - 30 5 Bu ifade seçeneklerde şıkkıD1327dır. Dolayısıyla doğru cevap D1351’dir.

Çözüm: Önce şıkkıD5nın doğru olup olmadığını kontrol edeceğiz; çözüm sonunda bulunan değer şıkkıD84yla aynı çıkarsa B doğrudur. Verilen denklem: 2 x + 3 + x - 1 = 5 Tanım gereği kök içleri negatif olamaz: x - 1 ≥ 0 2 x + 3 ≥ 0 Buradan özellikle gerekli olan koşul: x ≥ 1 Bir kökü yalnız bırakıp diğer tarafa atalım: 2 x + 3 = 5 - x - 1 Sol taraf kök olduğu için sağ taraf da negatif olamaz: 5 - x - 1 ≥ 0 Şimdi her iki tarafın karesini alalım: 2 x + 3 = 5 - x - 1 2 Sağ tarafı açalım: 2 x + 3 = 25 - 10 x - 1 + x - 1 Düzenleyelim (kökü yalnız bırakalım): x - 21 = - 10 x - 1 Her iki tarafı eksiyle çarpalım: 21 - x = 10 x - 1 Sağ taraf negatif olamayacağı için bu adım ayrıca şunu gerektirir: 21 - x ≥ 0 Şimdi tekrar karesini alalım: 21 - x 2 = 100 x - 1 Açalım ve standart denkleme getirelim: x 2 - 42 x + 441 = 100 x - 100 x 2 - 142 x + 541 = 0 Diskriminant: Δ = 142 2 - 4 · 541 = 18000 = 3600 · 5 Kökünü alalım: 18000 = 60 5 Kökler: x = 142 ± 60 5 2 = 71 ± 30 5 Koşulları (özellikle elde ettiğimiz x ≤ 21 ve x ≥ 1 ) sağlayan kökü seçelim. Büyük olan kök bu aralığın dışındadır, bu yüzden elenir; kalan: x = 71 - 30 5 Hızlı doğrulama (kare alma kaynaklı sahte kök var mı diye): x - 1 = 5 - 2 x + 3 2 x + 3 + x - 1 = 5 Sonuç: Bulduğumuz değer x = 71 - 30 5 Bu ifade seçeneklerde şıkkıD1327dır. Dolayısıyla doğru cevap D1351’dir.

Önce şıkkıD52nın doğru olup olmadığını kontrol edeceğiz; çözüm sonunda bulunan değer şıkkıD131yla aynı çıkarsa B doğrudur.

Verilen denklem:

\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x - 1} = 5

Tanım gereği kök içleri negatif olamaz:

x - 1 \geq 0

2 x + 3 \geq 0

Buradan özellikle gerekli olan koşul:

x \geq 1

Bir kökü yalnız bırakıp diğer tarafa atalım:

\sqrt{2 x + 3} = 5 - \sqrt{x - 1}

Sol taraf kök olduğu için sağ taraf da negatif olamaz:

5 - \sqrt{x - 1} \geq 0

Şimdi her iki tarafın karesini alalım:

2 x + 3 = {5 - \sqrt{x - 1}}^{2}

Sağ tarafı açalım:

2 x + 3 = 25 - 10 \sqrt{x - 1} + x - 1

Düzenleyelim (kökü yalnız bırakalım):

x - 21 = - 10 \sqrt{x - 1}

Her iki tarafı eksiyle çarpalım:

21 - x = 10 \sqrt{x - 1}

Sağ taraf negatif olamayacağı için bu adım ayrıca şunu gerektirir:

21 - x \geq 0

Şimdi tekrar karesini alalım:

{21 - x}^{2} = 100 x - 1

Açalım ve standart denkleme getirelim:

x^{2} - 42 x + 441 = 100 x - 100

x^{2} - 142 x + 541 = 0

Diskriminant:

Δ = 142^{2} - 4 \cdot 541 = 18000 = 3600 \cdot 5

Kökünü alalım:

\sqrt{18000} = 60 \sqrt{5}

Kökler:

x = \frac{142 \pm 60 \sqrt{5}}{2} = 71 \pm 30 \sqrt{5}

Koşulları (özellikle elde ettiğimiz x ≤ 21 ve x ≥ 1) sağlayan kökü seçelim. Büyük olan kök bu aralığın dışındadır, bu yüzden elenir; kalan:

x = 71 - 30 \sqrt{5}

Hızlı doğrulama (kare alma kaynaklı sahte kök var mı diye):

\sqrt{x - 1} = 5 - \sqrt{2 x + 3}

\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x - 1} = 5

Sonuç: Bulduğumuz değer

x = 71 - 30 \sqrt{5}

Bu ifade seçeneklerde şıkkıD7366dır. Dolayısıyla doğru cevap D7390’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesindeki sayıların toplamı kaçtır?
$\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{5 - x} = 4$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: 2 x + 3 + 5 - x = 4 1) Tanım kümesi (kök içleri sıfırdan büyük/eşit olmalı): 2 x + 3 ≥ 0 ve 5 - x ≥ 0 x ≥ - 3 2 ve x ≤ 5 2) Karekökleri sadeleştirmek için: a = 2 x + 3 ve b = 5 - x a + b = 4 3) Her iki tarafın karesini alalım: a + b 2 = 4 2 a 2 + b 2 + 2 a b = 16 4) Yerine yazalım: a 2 = 2 x + 3 ve b 2 = 5 - x 2 x + 3 + 5 - x + 2 a b = 16 x + 8 + 2 a b = 16 2 a b = 8 - x ⇒ a b = 4 - x 2 5) Ayrıca a b = 2 x + 3 5 - x Bu yüzden (iki tarafı da kareleyelim): 2 x + 3 5 - x = 4 - x 2 2 6) Açalım: 2 x + 3 5 - x = - 2 x 2 + 7 x + 15 4 - x 2 2 = 16 - 4 x + x 2 4 - 2 x 2 + 7 x + 15 = 16 - 4 x + x 2 4 7) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: - 9 4 x 2 + 11 x - 1 = 0 4 ile çarpalım: - 9 x 2 + 44 x - 4 = 0 9 x 2 - 44 x + 4 = 0 8) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = 44 ± 44 2 - 4 · 9 · 4 2 · 9 x = 44 ± 1792 18 1792 = 256 · 7 = 16 7 x = 44 ± 16 7 18 = 22 ± 8 7 9 9) Bulunan iki çözüm tanım aralığında olduğundan ve denklemi sağladığından (kare alma adımlarından sonra kontrol edilir), çözüm kümesindeki sayıların toplamı: 22 + 8 7 9 + 22 - 8 7 9 = 44 9 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen denklem: 2 x + 3 + 5 - x = 4 1) Tanım kümesi (kök içleri sıfırdan büyük/eşit olmalı): 2 x + 3 ≥ 0 ve 5 - x ≥ 0 x ≥ - 3 2 ve x ≤ 5 2) Karekökleri sadeleştirmek için: a = 2 x + 3 ve b = 5 - x a + b = 4 3) Her iki tarafın karesini alalım: a + b 2 = 4 2 a 2 + b 2 + 2 a b = 16 4) Yerine yazalım: a 2 = 2 x + 3 ve b 2 = 5 - x 2 x + 3 + 5 - x + 2 a b = 16 x + 8 + 2 a b = 16 2 a b = 8 - x ⇒ a b = 4 - x 2 5) Ayrıca a b = 2 x + 3 5 - x Bu yüzden (iki tarafı da kareleyelim): 2 x + 3 5 - x = 4 - x 2 2 6) Açalım: 2 x + 3 5 - x = - 2 x 2 + 7 x + 15 4 - x 2 2 = 16 - 4 x + x 2 4 - 2 x 2 + 7 x + 15 = 16 - 4 x + x 2 4 7) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: - 9 4 x 2 + 11 x - 1 = 0 4 ile çarpalım: - 9 x 2 + 44 x - 4 = 0 9 x 2 - 44 x + 4 = 0 8) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = 44 ± 44 2 - 4 · 9 · 4 2 · 9 x = 44 ± 1792 18 1792 = 256 · 7 = 16 7 x = 44 ± 16 7 18 = 22 ± 8 7 9 9) Bulunan iki çözüm tanım aralığında olduğundan ve denklemi sağladığından (kare alma adımlarından sonra kontrol edilir), çözüm kümesindeki sayıların toplamı: 22 + 8 7 9 + 22 - 8 7 9 = 44 9 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Verilen denklem:

\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{5 - x} = 4

1) Tanım kümesi (kök içleri sıfırdan büyük/eşit olmalı):

2 x + 3 \geq 0 ve 5 - x \geq 0

x \geq - \frac{3}{2} ve x \leq 5

2) Karekökleri sadeleştirmek için:

a = \sqrt{2 x + 3} ve b = \sqrt{5 - x}

a + b = 4

3) Her iki tarafın karesini alalım:

{a + b}^{2} = 4^{2}

a^{2} + b^{2} + 2 a b = 16

4) Yerine yazalım:

a^{2} = 2 x + 3 ve b^{2} = 5 - x

2 x + 3 + 5 - x + 2 a b = 16

x + 8 + 2 a b = 16

2 a b = 8 - x ⇒ a b = 4 - \frac{x}{2}

5) Ayrıca

a b = \sqrt{2 x + 3 5 - x}

Bu yüzden (iki tarafı da kareleyelim):

2 x + 3 5 - x = {4 - \frac{x}{2}}^{2}

6) Açalım:

2 x + 3 5 - x = - 2 x^{2} + 7 x + 15

{4 - \frac{x}{2}}^{2} = 16 - 4 x + \frac{x^{2}}{4}

- 2 x^{2} + 7 x + 15 = 16 - 4 x + \frac{x^{2}}{4}

7) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

- \frac{9}{4} x^{2} + 11 x - 1 = 0

4 ile çarpalım: - 9 x^{2} + 44 x - 4 = 0

9 x^{2} - 44 x + 4 = 0

8) İkinci dereceden denklemi çözelim:

x = \frac{44 \pm \sqrt{44^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9}

x = \frac{44 \pm \sqrt{1792}}{18}

\sqrt{1792} = \sqrt{256 \cdot 7} = 16 \sqrt{7}

x = \frac{44 \pm 16 \sqrt{7}}{18} = \frac{22 \pm 8 \sqrt{7}}{9}

9) Bulunan iki çözüm tanım aralığında olduğundan ve denklemi sağladığından (kare alma adımlarından sonra kontrol edilir), çözüm kümesindeki sayıların toplamı:

\frac{22 + 8 \sqrt{7}}{9} + \frac{22 - 8 \sqrt{7}}{9} = \frac{44}{9}

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin çözümü nedir?
$\sqrt{2 x + 3} = x - 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 10$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Soruda verilen denklem: x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 10 Önce tanım koşulunu yazalım (paydalar sıfır olamaz): x ≠ - 2 ve x ≠ 1 Dönüşüm yapalım: t = x - 1 x + 2 Bu durumda ikinci kesir: x + 2 x - 1 = 1 t Denklem şu hale gelir: t + 1 t = 10 Her iki tarafı t ile çarpalım: t 2 - 10 t + 1 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: t = 10 ± 10 2 - 4 2 t = 10 ± 96 2 = 10 ± 4 6 2 = 5 ± 2 6 Şimdi iki durumu ayrı ayrı çözelim. 1) x - 1 x + 2 = 5 + 2 6 İçler-dışlar çarpımı: x - 1 = ( 5 + 2 6 ) ( x + 2 ) Düzenleyip çözelim: x - 1 = ( 5 + 2 6 ) x + 10 + 4 6 ( - 4 - 2 6 ) x = 11 + 4 6 x = - 11 + 4 6 4 + 2 6 = - 2 + 3 6 4 2) x - 1 x + 2 = 5 - 2 6 İçler-dışlar çarpımı: x - 1 = ( 5 - 2 6 ) ( x + 2 ) Düzenleyip çözelim: x - 1 = ( 5 - 2 6 ) x + 10 - 4 6 ( - 4 + 2 6 ) x = 11 - 4 6 x = 11 - 4 6 - 4 + 2 6 = 3 6 - 2 4 Bulduğumuz değerler tanım koşulunu sağlıyor mu kontrol edelim: { 3 6 - 2 4, - 2 + 3 6 4 } ∩ ( ℝ ∖ { - 2, 1 } ) = { 3 6 - 2 4, - 2 + 3 6 4 } Sonuç: Çözüm kümesi { 3 6 - 2 4, - 2 + 3 6 4 } Bu tam olarak şıkkıC1065dır. Dolayısıyla doğru cevap C1089’dır.

Çözüm: Soruda verilen denklem: x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 10 Önce tanım koşulunu yazalım (paydalar sıfır olamaz): x ≠ - 2 ve x ≠ 1 Dönüşüm yapalım: t = x - 1 x + 2 Bu durumda ikinci kesir: x + 2 x - 1 = 1 t Denklem şu hale gelir: t + 1 t = 10 Her iki tarafı t ile çarpalım: t 2 - 10 t + 1 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: t = 10 ± 10 2 - 4 2 t = 10 ± 96 2 = 10 ± 4 6 2 = 5 ± 2 6 Şimdi iki durumu ayrı ayrı çözelim. 1) x - 1 x + 2 = 5 + 2 6 İçler-dışlar çarpımı: x - 1 = ( 5 + 2 6 ) ( x + 2 ) Düzenleyip çözelim: x - 1 = ( 5 + 2 6 ) x + 10 + 4 6 ( - 4 - 2 6 ) x = 11 + 4 6 x = - 11 + 4 6 4 + 2 6 = - 2 + 3 6 4 2) x - 1 x + 2 = 5 - 2 6 İçler-dışlar çarpımı: x - 1 = ( 5 - 2 6 ) ( x + 2 ) Düzenleyip çözelim: x - 1 = ( 5 - 2 6 ) x + 10 - 4 6 ( - 4 + 2 6 ) x = 11 - 4 6 x = 11 - 4 6 - 4 + 2 6 = 3 6 - 2 4 Bulduğumuz değerler tanım koşulunu sağlıyor mu kontrol edelim: { 3 6 - 2 4, - 2 + 3 6 4 } ∩ ( ℝ ∖ { - 2, 1 } ) = { 3 6 - 2 4, - 2 + 3 6 4 } Sonuç: Çözüm kümesi { 3 6 - 2 4, - 2 + 3 6 4 } Bu tam olarak şıkkıC1065dır. Dolayısıyla doğru cevap C1089’dır.

Soruda verilen denklem:

\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 10

Önce tanım koşulunu yazalım (paydalar sıfır olamaz):

x \neq - 2 ve x \neq 1

Dönüşüm yapalım:

t = \frac{x - 1}{x + 2}

Bu durumda ikinci kesir:

\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{1}{t}

Denklem şu hale gelir:

t + \frac{1}{t} = 10

Her iki tarafı $t$ ile çarpalım:

t^{2} - 10 t + 1 = 0

İkinci dereceden denklemi çözelim:

t = \frac{10 \pm \sqrt{10^{2} - 4}}{2}

t = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4 \sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2 \sqrt{6}

Şimdi iki durumu ayrı ayrı çözelim.

\frac{x - 1}{x + 2} = 5 + 2 \sqrt{6}

İçler-dışlar çarpımı:

x - 1 = (5 + 2 \sqrt{6}) (x + 2)

Düzenleyip çözelim:

x - 1 = (5 + 2 \sqrt{6}) x + 10 + 4 \sqrt{6}

(- 4 - 2 \sqrt{6}) x = 11 + 4 \sqrt{6}

x = - \frac{11 + 4 \sqrt{6}}{4 + 2 \sqrt{6}} = - \frac{2 + 3 \sqrt{6}}{4}

\frac{x - 1}{x + 2} = 5 - 2 \sqrt{6}

İçler-dışlar çarpımı:

x - 1 = (5 - 2 \sqrt{6}) (x + 2)

Düzenleyip çözelim:

x - 1 = (5 - 2 \sqrt{6}) x + 10 - 4 \sqrt{6}

(- 4 + 2 \sqrt{6}) x = 11 - 4 \sqrt{6}

x = \frac{11 - 4 \sqrt{6}}{- 4 + 2 \sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6} - 2}{4}

Bulduğumuz değerler tanım koşulunu sağlıyor mu kontrol edelim:

{\frac{3 \sqrt{6} - 2}{4}, - \frac{2 + 3 \sqrt{6}}{4}} \cap (ℝ ∖ {- 2, 1}) = {\frac{3 \sqrt{6} - 2}{4}, - \frac{2 + 3 \sqrt{6}}{4}}

Sonuç: Çözüm kümesi

{\frac{3 \sqrt{6} - 2}{4}, - \frac{2 + 3 \sqrt{6}}{4}}

Bu tam olarak şıkkıC6761dır. Dolayısıyla doğru cevap C6785’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek kök sayısı kaçtır?
$| x^{2} - 4 x + 3 | = x - 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen denklem: | x 2 - 4 x + 3 | = x - 1 Sol taraf mutlak değer olduğu için her zaman negatif olamaz; bu yüzden sağ tarafın da negatif olmaması gerekir: x - 1 ≥ 0 x ≥ 1 Mutlak değerin içini çarpanlara ayıralım: x 2 - 4 x + 3 = ( x - 1 ) ( x - 3 ) Şimdi iki durum inceleyelim. 1) İçerisi sıfır veya pozitifken | x 2 - 4 x + 3 | = x 2 - 4 x + 3 Bu durumda denklem: x 2 - 4 x + 3 = x - 1 x 2 - 5 x + 4 = 0 ( x - 1 ) ( x - 4 ) = 0 x = 1 veya x = 4 2) İçerisi negatifken | x 2 - 4 x + 3 | = - x 2 - 4 x + 3 Bu durumda denklem: - x 2 - 4 x + 3 = x - 1 - x 2 + 3 x - 2 = 0 x 2 - 3 x + 2 = 0 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0 x = 1 veya x = 2 Bu ikinci durum “içerisi negatif” şartıyla uyumlu olmalıdır; bu şart: x 2 - 4 x + 3 < 0 ( x - 1 ) ( x - 3 ) < 0 1 < x < 3 Burada sadece x = 2 uygundur ( x = 1 için içerisi negatif değildir). Tüm çözümler: x ∈ { 1, 2, 4 } Dolayısıyla gerçek kök sayısı: 3 Doğru seçenek: D922.

Çözüm: Verilen denklem: | x 2 - 4 x + 3 | = x - 1 Sol taraf mutlak değer olduğu için her zaman negatif olamaz; bu yüzden sağ tarafın da negatif olmaması gerekir: x - 1 ≥ 0 x ≥ 1 Mutlak değerin içini çarpanlara ayıralım: x 2 - 4 x + 3 = ( x - 1 ) ( x - 3 ) Şimdi iki durum inceleyelim. 1) İçerisi sıfır veya pozitifken | x 2 - 4 x + 3 | = x 2 - 4 x + 3 Bu durumda denklem: x 2 - 4 x + 3 = x - 1 x 2 - 5 x + 4 = 0 ( x - 1 ) ( x - 4 ) = 0 x = 1 veya x = 4 2) İçerisi negatifken | x 2 - 4 x + 3 | = - x 2 - 4 x + 3 Bu durumda denklem: - x 2 - 4 x + 3 = x - 1 - x 2 + 3 x - 2 = 0 x 2 - 3 x + 2 = 0 ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0 x = 1 veya x = 2 Bu ikinci durum “içerisi negatif” şartıyla uyumlu olmalıdır; bu şart: x 2 - 4 x + 3 < 0 ( x - 1 ) ( x - 3 ) < 0 1 < x < 3 Burada sadece x = 2 uygundur ( x = 1 için içerisi negatif değildir). Tüm çözümler: x ∈ { 1, 2, 4 } Dolayısıyla gerçek kök sayısı: 3 Doğru seçenek: D922.

Verilen denklem:

| x^{2} - 4 x + 3 | = x - 1

Sol taraf mutlak değer olduğu için her zaman negatif olamaz; bu yüzden sağ tarafın da negatif olmaması gerekir:

x - 1 \geq 0

x \geq 1

Mutlak değerin içini çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

Şimdi iki durum inceleyelim.

1) İçerisi sıfır veya pozitifken

| x^{2} - 4 x + 3 | = x^{2} - 4 x + 3

Bu durumda denklem:

x^{2} - 4 x + 3 = x - 1

x^{2} - 5 x + 4 = 0

(x - 1) (x - 4) = 0

x = 1 veya x = 4

2) İçerisi negatifken

| x^{2} - 4 x + 3 | = - x^{2} - 4 x + 3

Bu durumda denklem:

- x^{2} - 4 x + 3 = x - 1

- x^{2} + 3 x - 2 = 0

x^{2} - 3 x + 2 = 0

(x - 1) (x - 2) = 0

x = 1 veya x = 2

Bu ikinci durum “içerisi negatif” şartıyla uyumlu olmalıdır; bu şart:

x^{2} - 4 x + 3 < 0

(x - 1) (x - 3) < 0

1 < x < 3

Burada sadece

x = 2

uygundur (

x = 1

için içerisi negatif değildir).

Tüm çözümler:

x \in {1, 2, 4}

Dolayısıyla gerçek kök sayısı:

3

Doğru seçenek: C.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: x − 1 x + 2 + x + 2 x − 1 = 5 Tanım gereği paydalar sıfır olamaz: x ≠ − 2, x ≠ 1 Her iki tarafı ortak payda ile çarpalım: ( x − 1 ) ( x − 1 ) + ( x + 2 ) ( x + 2 ) = 5 ( x + 2 ) ( x − 1 ) Kareleri açalım: x 2 − 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 = 5 ( x + 2 ) ( x − 1 ) Sol tarafı sadeleştirelim: 2 x 2 + 2 x + 5 = 5 ( x + 2 ) ( x − 1 ) Sağ tarafta çarpımı açalım: ( x + 2 ) ( x − 1 ) = x 2 + x − 2 Yerine yazalım: 2 x 2 + 2 x + 5 = 5 x 2 + 5 x − 10 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 0 = 3 x 2 + 3 x − 15 Ortak çarpanı ayıralım: 0 = 3 ( x 2 + x − 5 ) Dolayısıyla: x 2 + x − 5 = 0 İkinci dereceden denklemin kökleri toplamı (Vieta): x _ 1 + x _ 2 = − 1 1 = − 1 Bulunan köklerin tanım dışı olmaması için kontrol: ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) − 5 = − 3 ≠ 0 1 2 + 1 − 5 = − 3 ≠ 0 Sonuç: gerçek köklerin toplamı − 1 Bu değer A şıkkıdır; yani doğru cevap A’dır.

Çözüm: Verilen denklem: x − 1 x + 2 + x + 2 x − 1 = 5 Tanım gereği paydalar sıfır olamaz: x ≠ − 2, x ≠ 1 Her iki tarafı ortak payda ile çarpalım: ( x − 1 ) ( x − 1 ) + ( x + 2 ) ( x + 2 ) = 5 ( x + 2 ) ( x − 1 ) Kareleri açalım: x 2 − 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 = 5 ( x + 2 ) ( x − 1 ) Sol tarafı sadeleştirelim: 2 x 2 + 2 x + 5 = 5 ( x + 2 ) ( x − 1 ) Sağ tarafta çarpımı açalım: ( x + 2 ) ( x − 1 ) = x 2 + x − 2 Yerine yazalım: 2 x 2 + 2 x + 5 = 5 x 2 + 5 x − 10 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 0 = 3 x 2 + 3 x − 15 Ortak çarpanı ayıralım: 0 = 3 ( x 2 + x − 5 ) Dolayısıyla: x 2 + x − 5 = 0 İkinci dereceden denklemin kökleri toplamı (Vieta): x _ 1 + x _ 2 = − 1 1 = − 1 Bulunan köklerin tanım dışı olmaması için kontrol: ( − 2 ) 2 + ( − 2 ) − 5 = − 3 ≠ 0 1 2 + 1 − 5 = − 3 ≠ 0 Sonuç: gerçek köklerin toplamı − 1 Bu değer A şıkkıdır; yani doğru cevap A’dır.

Verilen denklem:

\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5

Tanım gereği paydalar sıfır olamaz:

x \neq - 2, x \neq 1

Her iki tarafı ortak payda ile çarpalım:

(x - 1) (x - 1) + (x + 2) (x + 2) = 5 (x + 2) (x - 1)

Kareleri açalım:

x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} + 4 x + 4 = 5 (x + 2) (x - 1)

Sol tarafı sadeleştirelim:

2 x^{2} + 2 x + 5 = 5 (x + 2) (x - 1)

Sağ tarafta çarpımı açalım:

(x + 2) (x - 1) = x^{2} + x - 2

Yerine yazalım:

2 x^{2} + 2 x + 5 = 5 x^{2} + 5 x - 10

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

0 = 3 x^{2} + 3 x - 15

Ortak çarpanı ayıralım:

0 = 3 (x^{2} + x - 5)

Dolayısıyla:

x^{2} + x - 5 = 0

İkinci dereceden denklemin kökleri toplamı (Vieta):

x_1 + x_2 = - \frac{1}{1} = - 1

Bulunan köklerin tanım dışı olmaması için kontrol:

(^{- 2) 2} + (- 2) - 5 = - 3 \neq 0

1^{2} + 1 - 5 = - 3 \neq 0

Sonuç: gerçek köklerin toplamı

- 1

Bu değer A şıkkıdır; yani doğru cevap A’dır.

Denklemler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Denklem çözerken temel ilke nedir?

Eşitliğin iki tarafına aynı işlem uygulanarak eşitlik korunur.

Kesirli denklem nasıl çözülür?

Paydaların ortak katı kullanılarak paydalar yok edilebilir ve denklem sadeleşir.

Denklem problemlerinde ilk adım nedir?

Bilinmeyen seçilir ve verilen bilgiler bu bilinmeyenle ifade edilir.

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

9. Sınıf Denklemler Testleri

Denklem Çözme

Denklem Problemleri

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

Aşağıdaki denklemi çözünüz:3⁢(2x−1)=5x+7

Aşağıdaki denklemin reel çözümlerinin toplamı kaçtır?x-2x+1+x+1x-2=5

Aşağıdaki denklemi sağlayan x değerini bulun:3⁢2x−1=5x+4

Aşağıdaki denklemi sağlayan bilinmeyen değeri bulunuz.3⁢(2x−1)=5x+7

Aşağıdaki denklemi sağlayan x değeri nedir?2x+3+x-1=5

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesindeki sayıların toplamı kaçtır?2x+3+5-x=4

Aşağıdaki denklemin çözümü nedir?2x+3=x-1

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesini bulunuz.x-1x+2+x+2x-1=10

Aşağıdaki denklemin gerçek kök sayısı kaçtır?|x2-4x+3|=x-1

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?x−1x+2+x+2x−1=5

Denklemler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Aşağıdaki denklemi çözünüz:
$3 (2 x - 1) = 5 x + 7$

Aşağıdaki denklemin reel çözümlerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = 5$

Aşağıdaki denklemi sağlayan x değerini bulun:
$3 (2 x - 1) = 5 x + 4$

Aşağıdaki denklemi sağlayan bilinmeyen değeri bulunuz.
$3 (2 x - 1) = 5 x + 7$

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değeri nedir?
$\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x - 1} = 5$

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesindeki sayıların toplamı kaçtır?
$\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{5 - x} = 4$

Aşağıdaki denklemin çözümü nedir?
$\sqrt{2 x + 3} = x - 1$

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 10$

Aşağıdaki denklemin gerçek kök sayısı kaçtır?
$| x^{2} - 4 x + 3 | = x - 1$

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$