9. Sınıf Matematik Denklemler Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçel çözümler kümesini bulun:
$| x - 2 | = \frac{x^{2} - 4}{x - 1}$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?
$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x - 3) = 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce tanım koşulunu yazarız: logaritmanın içi pozitif olmalı. x - 1 > 0 ve x - 3 > 0 Buradan çözüm aralığı elde edilir. x > 3 Logaritma toplamı kuralını kullanırız. log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x - 3 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ( x - 3 ) ) = 3 Logaritma denkliğini üstel forma çeviririz. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 Çarpımı açıp denklemi sıfıra eşitleriz. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 x 2 - 4 x + 3 = 8 x 2 - 4 x - 5 = 0 Çarpanlara ayırırız. ( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0 Kökleri buluruz. x = 5 veya x = - 1 Tanım koşuluna göre yalnızca x > 3 sağlanmalıdır. Bu yüzden geçerli çözüm: x = 5 Sonuç: Doğru cevap C648 şıkkıdır.

Çözüm: Önce tanım koşulunu yazarız: logaritmanın içi pozitif olmalı. x - 1 > 0 ve x - 3 > 0 Buradan çözüm aralığı elde edilir. x > 3 Logaritma toplamı kuralını kullanırız. log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x - 3 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ( x - 3 ) ) = 3 Logaritma denkliğini üstel forma çeviririz. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 Çarpımı açıp denklemi sıfıra eşitleriz. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 x 2 - 4 x + 3 = 8 x 2 - 4 x - 5 = 0 Çarpanlara ayırırız. ( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0 Kökleri buluruz. x = 5 veya x = - 1 Tanım koşuluna göre yalnızca x > 3 sağlanmalıdır. Bu yüzden geçerli çözüm: x = 5 Sonuç: Doğru cevap C648 şıkkıdır.

Önce tanım koşulunu yazarız: logaritmanın içi pozitif olmalı.

$x - 1 > 0 ve x - 3 > 0$

Buradan çözüm aralığı elde edilir.

$x > 3$

Logaritma toplamı kuralını kullanırız.

$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x - 3) = 3$

$\log_{2} ((x - 1) (x - 3)) = 3$

Logaritma denkliğini üstel forma çeviririz.

$(x - 1) (x - 3) = 2^{3}$

$(x - 1) (x - 3) = 8$

Çarpımı açıp denklemi sıfıra eşitleriz.

$(x - 1) (x - 3) = 8$

$x^{2} - 4 x + 3 = 8$

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Çarpanlara ayırırız.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

Kökleri buluruz.

$x = 5 veya x = - 1$

Tanım koşuluna göre yalnızca $x > 3$ sağlanmalıdır. Bu yüzden geçerli çözüm:

$x = 5$

Sonuç: Doğru cevap C3747 şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemi sağlayan reel sayı kaçtır?
$\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x - 1} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce kök içlerinin tanımlı olması gerekir. x - 1 ≥ 0, 2 x + 3 ≥ 0 Değişken tanımlayalım. a = x - 1, b = 2 x + 3 Denklem bu tanımlarla aşağıdaki hale gelir. a + b = 5 Buradan b = 5 - a Her iki tarafın karesini alalım ve b yerine 5 − a yazalım. b 2 = 5 - a 2 Şimdi köklerin tanımından b 2 = 2 x + 3, a 2 = x - 1 Eşitliği açalım. 2 x + 3 = 25 - 10 a + a 2 Burada a 2 = x - 1 olduğuna göre yerine yazalım. 2 x + 3 = 25 - 10 a + x - 1 Sadeleştirelim. x + 4 = 24 - 10 a Buradan x = 20 - 10 a Şimdi tekrar a 2 = x - 1 denklemine yazalım. a 2 = 20 - 10 a - 1 Düzenleyelim. a 2 + 10 a - 19 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim. a = - 10 ± 10 2 + 76 2 Karekök içini sadeleştirelim. a = - 10 ± 176 2 = - 10 ± 4 11 2 a bir karekök olduğu için negatif olamaz. Bu yüzden pozitif olan kök seçilir. a = - 10 + 4 11 2 = - 5 + 2 11 Bulduğumuz a değeri ile x değerini hesaplayalım. x = 20 - 10 a = 20 - 10 ( - 5 + 2 11 ) = 70 - 20 11 Şıklarda 70 − 20√11 biçimi olmadığı için, verilen şıklarla uyuşup uyuşmadığını kontrol edelim: Şıklarda 71 − 30√5 gibi bir ifade var. Bu, bizim bulduğumuz değerle aynı değildir. Bu nedenle doğru cevap D1132 değildir. Sonuç: x = 70 - 20 11

Çözüm: Önce kök içlerinin tanımlı olması gerekir. x - 1 ≥ 0, 2 x + 3 ≥ 0 Değişken tanımlayalım. a = x - 1, b = 2 x + 3 Denklem bu tanımlarla aşağıdaki hale gelir. a + b = 5 Buradan b = 5 - a Her iki tarafın karesini alalım ve b yerine 5 − a yazalım. b 2 = 5 - a 2 Şimdi köklerin tanımından b 2 = 2 x + 3, a 2 = x - 1 Eşitliği açalım. 2 x + 3 = 25 - 10 a + a 2 Burada a 2 = x - 1 olduğuna göre yerine yazalım. 2 x + 3 = 25 - 10 a + x - 1 Sadeleştirelim. x + 4 = 24 - 10 a Buradan x = 20 - 10 a Şimdi tekrar a 2 = x - 1 denklemine yazalım. a 2 = 20 - 10 a - 1 Düzenleyelim. a 2 + 10 a - 19 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim. a = - 10 ± 10 2 + 76 2 Karekök içini sadeleştirelim. a = - 10 ± 176 2 = - 10 ± 4 11 2 a bir karekök olduğu için negatif olamaz. Bu yüzden pozitif olan kök seçilir. a = - 10 + 4 11 2 = - 5 + 2 11 Bulduğumuz a değeri ile x değerini hesaplayalım. x = 20 - 10 a = 20 - 10 ( - 5 + 2 11 ) = 70 - 20 11 Şıklarda 70 − 20√11 biçimi olmadığı için, verilen şıklarla uyuşup uyuşmadığını kontrol edelim: Şıklarda 71 − 30√5 gibi bir ifade var. Bu, bizim bulduğumuz değerle aynı değildir. Bu nedenle doğru cevap D1132 değildir. Sonuç: x = 70 - 20 11

Önce kök içlerinin tanımlı olması gerekir.

x - 1 \geq 0, 2 x + 3 \geq 0

Değişken tanımlayalım.

a = \sqrt{x - 1}, b = \sqrt{2 x + 3}

Denklem bu tanımlarla aşağıdaki hale gelir.

a + b = 5

Buradan

b = 5 - a

Her iki tarafın karesini alalım ve b yerine 5 − a yazalım.

b^{2} = {5 - a}^{2}

Şimdi köklerin tanımından

b^{2} = 2 x + 3, a^{2} = x - 1

Eşitliği açalım.

2 x + 3 = 25 - 10 a + a^{2}

Burada

a^{2} = x - 1

olduğuna göre yerine yazalım.

2 x + 3 = 25 - 10 a + x - 1

Sadeleştirelim.

x + 4 = 24 - 10 a

Buradan

x = 20 - 10 a

Şimdi tekrar

a^{2} = x - 1

denklemine yazalım.

a^{2} = 20 - 10 a - 1

Düzenleyelim.

a^{2} + 10 a - 19 = 0

İkinci dereceden denklemi çözelim.

a = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} + 76}}{2}

Karekök içini sadeleştirelim.

a = \frac{- 10 \pm \sqrt{176}}{2} = \frac{- 10 \pm 4 \sqrt{11}}{2}

a bir karekök olduğu için negatif olamaz. Bu yüzden pozitif olan kök seçilir.

a = \frac{- 10 + 4 \sqrt{11}}{2} = - 5 + 2 \sqrt{11}

Bulduğumuz a değeri ile x değerini hesaplayalım.

x = 20 - 10 a = 20 - 10 (- 5 + 2 \sqrt{11}) = 70 - 20 \sqrt{11}

Şıklarda 70 − 20√11 biçimi olmadığı için, verilen şıklarla uyuşup uyuşmadığını kontrol edelim: Şıklarda 71 − 30√5 gibi bir ifade var. Bu, bizim bulduğumuz değerle aynı değildir.

Bu nedenle doğru cevap A değildir.

Sonuç:

x = 70 - 20 \sqrt{11}

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin reel kökleri toplamı kaçtır?
$|2 x - 3| + |x + 1| = 7$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değerlerin içinin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu yüzden 3 aralıkta inceleyelim: ( - ∞, - 1 ), [ - 1, 3 2 ), [ 3 2, ∞ ) 1) x < - 1 Bu aralıkta 2 x - 3 = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 x + 1 = - x + 1 = - x - 1 Denklem: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) = 7 - 3 x + 2 = 7 ⇒ - 3 x = 5 ⇒ x = - 5 3 Bulduğumuz değer bu aralıkta olduğu için köktür. 2) - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta 2 x - 3 = - 2 x + 3 x + 1 = x + 1 Denklem: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) = 7 - x + 4 = 7 ⇒ - x = 3 ⇒ x = - 3 Ancak x = - 3 ≮ - 1 olduğu için bu aralıktan gelmez, kök değildir. 3) x ≥ 3 2 Bu aralıkta her ikisi de pozitif: 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denklem: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) = 7 3 x - 2 = 7 ⇒ 3 x = 9 ⇒ x = 3 Bu değer aralıkta olduğu için köktür. Reel kökler: x = - 5 3, x = 3 Toplam: - 5 3 + 3 = 4 3 Sonuç 4 3 olduğundan doğru seçenek A’dır. (A kontrolü: A şıkkı ile aynı.)

Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 3 + x + 1 = 7 Mutlak değerlerin içinin işaret değiştirdiği noktalar: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu yüzden 3 aralıkta inceleyelim: ( - ∞, - 1 ), [ - 1, 3 2 ), [ 3 2, ∞ ) 1) x < - 1 Bu aralıkta 2 x - 3 = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 x + 1 = - x + 1 = - x - 1 Denklem: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) = 7 - 3 x + 2 = 7 ⇒ - 3 x = 5 ⇒ x = - 5 3 Bulduğumuz değer bu aralıkta olduğu için köktür. 2) - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta 2 x - 3 = - 2 x + 3 x + 1 = x + 1 Denklem: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) = 7 - x + 4 = 7 ⇒ - x = 3 ⇒ x = - 3 Ancak x = - 3 ≮ - 1 olduğu için bu aralıktan gelmez, kök değildir. 3) x ≥ 3 2 Bu aralıkta her ikisi de pozitif: 2 x - 3 = 2 x - 3 x + 1 = x + 1 Denklem: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) = 7 3 x - 2 = 7 ⇒ 3 x = 9 ⇒ x = 3 Bu değer aralıkta olduğu için köktür. Reel kökler: x = - 5 3, x = 3 Toplam: - 5 3 + 3 = 4 3 Sonuç 4 3 olduğundan doğru seçenek A’dır. (A kontrolü: A şıkkı ile aynı.)

Verilen denklem:

|2 x - 3| + |x + 1| = 7

Mutlak değerlerin içinin işaret değiştirdiği noktalar:

2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Bu yüzden 3 aralıkta inceleyelim:

(- \infty, - 1), [- 1, \frac{3}{2}), [\frac{3}{2}, \infty)

1)

x < - 1

Bu aralıkta

|2 x - 3| = - (2 x - 3) = - 2 x + 3

|x + 1| = - (x + 1) = - x - 1

Denklem:

(- 2 x + 3) + (- x - 1) = 7

- 3 x + 2 = 7 \Rightarrow - 3 x = 5 \Rightarrow x = - \frac{5}{3}

Bulduğumuz değer bu aralıkta olduğu için köktür.

2)

- 1 \leq x < \frac{3}{2}

Bu aralıkta

|2 x - 3| = - 2 x + 3

|x + 1| = x + 1

Denklem:

(- 2 x + 3) + (x + 1) = 7

- x + 4 = 7 \Rightarrow - x = 3 \Rightarrow x = - 3

Ancak

x = - 3 ≮ - 1

olduğu için bu aralıktan gelmez, kök değildir.

3)

x \geq \frac{3}{2}

Bu aralıkta her ikisi de pozitif:

|2 x - 3| = 2 x - 3

|x + 1| = x + 1

Denklem:

(2 x - 3) + (x + 1) = 7

3 x - 2 = 7 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3

Bu değer aralıkta olduğu için köktür.

Reel kökler:

x = - \frac{5}{3}, x = 3

Toplam:

- \frac{5}{3} + 3 = \frac{4}{3}

Sonuç

\frac{4}{3}

olduğundan doğru seçenek A’dır. (A kontrolü: A şıkkı ile aynı.)

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$|x^{2} - 5 x + 4| = 2 x - 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen denklem: x 2 - 5 x + 4 = 2 x - 1 Mutlak değerin sağ tarafı negatif olamaz, bu yüzden önce şu koşulu yazarız: 2 x - 1 ≥ 0 Buradan: x ≥ 1 2 Şimdi mutlak değer içini çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 4 = x - 1 x - 4 Durum 1: İçerisi sıfır veya pozitif olsun: x 2 - 5 x + 4 ≥ 0 Bu eşitsizlik, kökler 1 ve 4 olduğundan: x ≤ 1 veya x ≥ 4 Bu durumda mutlak değer kalkar ve denklem: x 2 - 5 x + 4 = 2 x - 1 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 7 x + 5 = 0 Kökler: x = 7 2 ± 29 2 Yani: x 1 = 7 2 - 29 2, x 2 = 7 2 + 29 2 Bu iki kökün, ayrıca hem x ≥ 1 2 koşulunu hem de x ≤ 1 veya x ≥ 4 koşulunu sağladığı görülür; dolayısıyla ikisi de geçerli çözümdür. Durum 2: İçerisi negatif olsun: x 2 - 5 x + 4 < 0 Bu da: 1 < x < 4 Bu durumda A = - A olacağından denklem: - x 2 - 5 x + 4 = 2 x - 1 Düzenleyelim: - x 2 + 5 x - 4 = 2 x - 1 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 3 x + 3 = 0 Diskriminant: Δ = - 3 + - 12 Bu değer negatiftir, dolayısıyla bu durumdan gerçek kök gelmez. O hâlde gerçek çözümler yalnızca Durum 1’den gelen iki köktür. Kökler toplamı: x 1 + x 2 = 7 Doğru seçenek: 7 Yani B şıkkı doğrudur.

Çözüm: Verilen denklem: x 2 - 5 x + 4 = 2 x - 1 Mutlak değerin sağ tarafı negatif olamaz, bu yüzden önce şu koşulu yazarız: 2 x - 1 ≥ 0 Buradan: x ≥ 1 2 Şimdi mutlak değer içini çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 4 = x - 1 x - 4 Durum 1: İçerisi sıfır veya pozitif olsun: x 2 - 5 x + 4 ≥ 0 Bu eşitsizlik, kökler 1 ve 4 olduğundan: x ≤ 1 veya x ≥ 4 Bu durumda mutlak değer kalkar ve denklem: x 2 - 5 x + 4 = 2 x - 1 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 7 x + 5 = 0 Kökler: x = 7 2 ± 29 2 Yani: x 1 = 7 2 - 29 2, x 2 = 7 2 + 29 2 Bu iki kökün, ayrıca hem x ≥ 1 2 koşulunu hem de x ≤ 1 veya x ≥ 4 koşulunu sağladığı görülür; dolayısıyla ikisi de geçerli çözümdür. Durum 2: İçerisi negatif olsun: x 2 - 5 x + 4 < 0 Bu da: 1 < x < 4 Bu durumda A = - A olacağından denklem: - x 2 - 5 x + 4 = 2 x - 1 Düzenleyelim: - x 2 + 5 x - 4 = 2 x - 1 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 3 x + 3 = 0 Diskriminant: Δ = - 3 + - 12 Bu değer negatiftir, dolayısıyla bu durumdan gerçek kök gelmez. O hâlde gerçek çözümler yalnızca Durum 1’den gelen iki köktür. Kökler toplamı: x 1 + x 2 = 7 Doğru seçenek: 7 Yani B şıkkı doğrudur.

Verilen denklem:

|x^{2} - 5 x + 4| = 2 x - 1

Mutlak değerin sağ tarafı negatif olamaz, bu yüzden önce şu koşulu yazarız:

2 x - 1 \geq 0

Buradan:

x \geq \frac{1}{2}

Şimdi mutlak değer içini çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)

Durum 1: İçerisi sıfır veya pozitif olsun:

x^{2} - 5 x + 4 \geq 0

Bu eşitsizlik, kökler $1$ ve $4$ olduğundan:

x \leq 1 veya x \geq 4

Bu durumda mutlak değer kalkar ve denklem:

x^{2} - 5 x + 4 = 2 x - 1

Tüm terimleri bir tarafa alalım:

x^{2} - 7 x + 5 = 0

Kökler:

x = \frac{7}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2}

Yani:

x_{1} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{29}}{2}, x_{2} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}

Bu iki kökün, ayrıca hem

x \geq \frac{1}{2}

koşulunu hem de

x \leq 1 veya x \geq 4

koşulunu sağladığı görülür; dolayısıyla ikisi de geçerli çözümdür.

Durum 2: İçerisi negatif olsun:

x^{2} - 5 x + 4 < 0

Bu da:

1 < x < 4

Bu durumda

|A| = - A

olacağından denklem:

- (x^{2} - 5 x + 4) = 2 x - 1

Düzenleyelim:

- x^{2} + 5 x - 4 = 2 x - 1

Tüm terimleri bir tarafa alalım:

x^{2} - 3 x + 3 = 0

Diskriminant:

Δ = -^{3} + - 12

Bu değer negatiftir, dolayısıyla bu durumdan gerçek kök gelmez.

O hâlde gerçek çözümler yalnızca Durum 1’den gelen iki köktür. Kökler toplamı:

x_{1} + x_{2} = 7

Doğru seçenek:

7

Yani B şıkkı doğrudur.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesindeki $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 - 2 x} = 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: 2 x - 1 + 5 - 2 x = 2 Köklerin tanımlı olması için içlerinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: 2 x - 1 ≥ 0 5 - 2 x ≥ 0 Buradan: 1 2 ≤ x ≤ 5 2 Kareköklü ifadeleri kısaltalım: a = 2 x - 1 b = 5 - 2 x Denklem: a + b = 2 Her iki tarafın karesini alalım: a + b 2 = 2 2 Açalım: a 2 + b 2 + 2 a b = 4 Şimdi yerine yazalım: a 2 = 2 x - 1 b 2 = 5 - 2 x Toplayınca: a 2 + b 2 = 2 x - 1 + 5 - 2 x = 4 Bunu karesi alınmış denklemde kullanalım: 4 + 2 a b = 4 Buradan: 2 a b = 0 a b = 0 Çarpımın sıfır olması için en az biri sıfır olmalı: a = 0 ∨ b = 0 1. durum: 2 x - 1 = 0 İçi sıfır olmalı: 2 x - 1 = 0 x = 1 2 Kontrol: 2 1 2 - 1 + 5 - 2 1 2 = 0 + 4 = 2 2. durum: 5 - 2 x = 0 İçi sıfır olmalı: 5 - 2 x = 0 x = 5 2 Kontrol: 2 5 2 - 1 + 5 - 2 5 2 = 4 + 0 = 2 Çözüm kümesindeki değerlerin toplamı: 1 2 + 5 2 = 6 2 = 3 Doğru seçenek kontrolü: Sonuç 3 olduğu için doğru cevap C906 ’dir.

Çözüm: Verilen denklem: 2 x - 1 + 5 - 2 x = 2 Köklerin tanımlı olması için içlerinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir: 2 x - 1 ≥ 0 5 - 2 x ≥ 0 Buradan: 1 2 ≤ x ≤ 5 2 Kareköklü ifadeleri kısaltalım: a = 2 x - 1 b = 5 - 2 x Denklem: a + b = 2 Her iki tarafın karesini alalım: a + b 2 = 2 2 Açalım: a 2 + b 2 + 2 a b = 4 Şimdi yerine yazalım: a 2 = 2 x - 1 b 2 = 5 - 2 x Toplayınca: a 2 + b 2 = 2 x - 1 + 5 - 2 x = 4 Bunu karesi alınmış denklemde kullanalım: 4 + 2 a b = 4 Buradan: 2 a b = 0 a b = 0 Çarpımın sıfır olması için en az biri sıfır olmalı: a = 0 ∨ b = 0 1. durum: 2 x - 1 = 0 İçi sıfır olmalı: 2 x - 1 = 0 x = 1 2 Kontrol: 2 1 2 - 1 + 5 - 2 1 2 = 0 + 4 = 2 2. durum: 5 - 2 x = 0 İçi sıfır olmalı: 5 - 2 x = 0 x = 5 2 Kontrol: 2 5 2 - 1 + 5 - 2 5 2 = 4 + 0 = 2 Çözüm kümesindeki değerlerin toplamı: 1 2 + 5 2 = 6 2 = 3 Doğru seçenek kontrolü: Sonuç 3 olduğu için doğru cevap C906 ’dir.

Verilen denklem:

\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 - 2 x} = 2

Köklerin tanımlı olması için içlerinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir:

2 x - 1 \geq 0

5 - 2 x \geq 0

Buradan:

\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}

Kareköklü ifadeleri kısaltalım:

a = \sqrt{2 x - 1}

b = \sqrt{5 - 2 x}

Denklem:

a + b = 2

Her iki tarafın karesini alalım:

{a + b}^{2} = 2^{2}

Açalım:

a^{2} + b^{2} + 2 a b = 4

Şimdi yerine yazalım:

a^{2} = 2 x - 1

b^{2} = 5 - 2 x

Toplayınca:

a^{2} + b^{2} = 2 x - 1 + 5 - 2 x = 4

Bunu karesi alınmış denklemde kullanalım:

4 + 2 a b = 4

Buradan:

2 a b = 0

a b = 0

Çarpımın sıfır olması için en az biri sıfır olmalı:

a = 0 \lor b = 0

1. durum:

\sqrt{2 x - 1} = 0

İçi sıfır olmalı:

2 x - 1 = 0

x = \frac{1}{2}

Kontrol:

\sqrt{2 \frac{1}{2} - 1} + \sqrt{5 - 2 \frac{1}{2}} = 0 + \sqrt{4} = 2

2. durum:

\sqrt{5 - 2 x} = 0

İçi sıfır olmalı:

5 - 2 x = 0

x = \frac{5}{2}

Kontrol:

\sqrt{2 \frac{5}{2} - 1} + \sqrt{5 - 2 \frac{5}{2}} = \sqrt{4} + 0 = 2

Çözüm kümesindeki değerlerin toplamı:

\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3

Doğru seçenek kontrolü:

Sonuç

3

olduğu için doğru cevap B’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} + \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçel sayı çözümünü bulunuz:
$\sqrt{2 x + 3} = x - 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{|x - 2|} = 4$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Cevap kontrolü Verilen denklem çözülünce kökler toplamı şıkkıC59ndaki değere eşit çıkıyor. Yani doğru cevap C98. 2) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz) x ≠ - 2 ∧ x ≠ 1 3) Denklemi paydalardan kurtarma Her iki tarafı ortak çarpan ile çarpalım: x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 5 ( x + 2 ) ( x - 1 ) ⋅ x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 5 ⋅ ( x + 2 ) ( x - 1 ) 4) Sadeleştirme x - 1 2 + x + 2 2 = 5 ( x + 2 ) ( x - 1 ) 5) Açma işlemleri x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1 x + 2 2 = x 2 + 4 x + 4 ( x + 2 ) ( x - 1 ) = x 2 + x - 2 6) Denklemde yerine yazıp düzenleme x 2 - 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 = 5 ( x 2 + x - 2 ) 2 x 2 + 2 x + 5 = 5 x 2 + 5 x - 10 0 = 3 x 2 + 3 x - 15 x 2 + x - 5 = 0 7) Kökler toplamı İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı: Eğer a x 2 + b x + c = 0 ise x 1 + x 2 = - b a Burada: a = 1, b = 1 x 1 + x 2 = - 1 1 = - 1 8) Sonuç ve şık Çözüm kümesinin elemanları toplamı - 1 Doğru cevap: C949.

Çözüm: 1) Cevap kontrolü Verilen denklem çözülünce kökler toplamı şıkkıC59ndaki değere eşit çıkıyor. Yani doğru cevap C98. 2) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz) x ≠ - 2 ∧ x ≠ 1 3) Denklemi paydalardan kurtarma Her iki tarafı ortak çarpan ile çarpalım: x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 5 ( x + 2 ) ( x - 1 ) ⋅ x - 1 x + 2 + x + 2 x - 1 = 5 ⋅ ( x + 2 ) ( x - 1 ) 4) Sadeleştirme x - 1 2 + x + 2 2 = 5 ( x + 2 ) ( x - 1 ) 5) Açma işlemleri x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1 x + 2 2 = x 2 + 4 x + 4 ( x + 2 ) ( x - 1 ) = x 2 + x - 2 6) Denklemde yerine yazıp düzenleme x 2 - 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 = 5 ( x 2 + x - 2 ) 2 x 2 + 2 x + 5 = 5 x 2 + 5 x - 10 0 = 3 x 2 + 3 x - 15 x 2 + x - 5 = 0 7) Kökler toplamı İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı: Eğer a x 2 + b x + c = 0 ise x 1 + x 2 = - b a Burada: a = 1, b = 1 x 1 + x 2 = - 1 1 = - 1 8) Sonuç ve şık Çözüm kümesinin elemanları toplamı - 1 Doğru cevap: C949.

1) Cevap kontrolü

Verilen denklem çözülünce kökler toplamı şıkkıC127ndaki değere eşit çıkıyor. Yani doğru cevap A.

2) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz)

x \neq - 2 \land x \neq 1

3) Denklemi paydalardan kurtarma

Her iki tarafı ortak çarpan ile çarpalım:

\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5

(x + 2) (x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5 \cdot (x + 2) (x - 1)

4) Sadeleştirme

{x - 1}^{2} + {x + 2}^{2} = 5 (x + 2) (x - 1)

5) Açma işlemleri

{x - 1}^{2} = x^{2} - 2 x + 1

{x + 2}^{2} = x^{2} + 4 x + 4

(x + 2) (x - 1) = x^{2} + x - 2

6) Denklemde yerine yazıp düzenleme

x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} + 4 x + 4 = 5 (x^{2} + x - 2)

2 x^{2} + 2 x + 5 = 5 x^{2} + 5 x - 10

0 = 3 x^{2} + 3 x - 15

x^{2} + x - 5 = 0

7) Kökler toplamı

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı:

Eğer a x^{2} + b x + c = 0 ise x 1 + x 2 = - \frac{b}{a}

Burada:

a = 1, b = 1

x 1 + x 2 = - \frac{1}{1} = - 1

8) Sonuç ve şık

Çözüm kümesinin elemanları toplamı - 1

Doğru cevap: A.

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

9. Sınıf Denklemler Testleri

Denklem Çözme

Denklem Problemleri

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

Aşağıdaki denklemin gerçel çözümler kümesini bulun:
$| x - 2 | = \frac{x^{2} - 4}{x - 1}$

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?
$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x - 3) = 3$

Aşağıdaki denklemi sağlayan reel sayı kaçtır?
$\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x - 1} = 5$

Aşağıdaki denklemin reel kökleri toplamı kaçtır?
$|2 x - 3| + |x + 1| = 7$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$|x^{2} - 5 x + 4| = 2 x - 1$

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesindeki $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 - 2 x} = 2$

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} + \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 5$

Aşağıdaki denklemin gerçel sayı çözümünü bulunuz:
$\sqrt{2 x + 3} = x - 1$

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{|x - 2|} = 4$

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$

Denklemler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

9. Sınıf Denklemler Testleri

Denklem Çözme

Denklem Problemleri

9. Sınıf Matematik Denklemler Testleri

Aşağıdaki denklemin gerçel çözümler kümesini bulun:|x-2|=x2-4x-1

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?log2(x-1)+log2(x-3)=3

Aşağıdaki denklemi sağlayan reel sayı kaçtır?2x+3+x-1=5

Aşağıdaki denklemin reel kökleri toplamı kaçtır?2x-3+x+1=7

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?x2-5x+4=2x-1

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesindeki x değerlerinin toplamı kaçtır?2x-1+5-2x=2

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?x2-5x+6x-2+x2-5x+6x-3=5

Aşağıdaki denklemin gerçel sayı çözümünü bulunuz:2x+3=x−1

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?x2-5x+6x-2=4

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?x-1x+2+x+2x-1=5

Denklemler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Aşağıdaki denklemin gerçel çözümler kümesini bulun:
$| x - 2 | = \frac{x^{2} - 4}{x - 1}$

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?
$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x - 3) = 3$

Aşağıdaki denklemi sağlayan reel sayı kaçtır?
$\sqrt{2 x + 3} + \sqrt{x - 1} = 5$

Aşağıdaki denklemin reel kökleri toplamı kaçtır?
$|2 x - 3| + |x + 1| = 7$

Aşağıdaki denklemin gerçek çözümlerinin toplamı kaçtır?
$|x^{2} - 5 x + 4| = 2 x - 1$

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesindeki $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{5 - 2 x} = 2$

Aşağıdaki denklemin çözümü kaçtır?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 2} + \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 5$

Aşağıdaki denklemin gerçel sayı çözümünü bulunuz:
$\sqrt{2 x + 3} = x - 1$

Aşağıdaki denklemin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{|x - 2|} = 4$

Aşağıdaki denklemin çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 1} = 5$