9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme testleri; bölme algoritmasını, kalanlı bölmeyi, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kurallarını pekiştirir.

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının belirli sayılara bölünüp bölünmediğini hızlı anlamak için basamak, rakam toplamı ve son basamak kuralları kullanılır. 6 ile bölünebilmek için sayının hem 2 hem 3 ile bölünebilmesi gerekir.

Kalanlı Bölme

Bölme işleminde bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan bağıntısı kullanılır. Kalan her zaman bölen sayıdan küçük olmalıdır.

Test seç

14 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test

9. Test

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusu 9. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$24$ ile tam bölünen bir pozitif tam sayı, $5$ ile bölündüğünde kalan $2$ olmaktadır. En küçük sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Beş basamaklı $\overline{9 a 7 b 3}$ sayısı $99$ ile tam bölünebiliyor. Buna göre bu sayının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen sayı: 9 a 7 b 3 ‾ Tam bölünebilme koşulu: 99 = 9 · 11 Bu yüzden sayı hem 9 'a hem de 11 'e tam bölünmelidir. 99 ∣ 9 a 7 b 3 ‾ ⇒ 9 ∣ 9 a 7 b 3 ‾ ∧ 11 ∣ 9 a 7 b 3 ‾ 1) 9 ile bölünebilme (rakamlar toplamı 9 'un katı olmalı): 9 + a + 7 + b + 3 = 19 + a + b Bu toplam 9 'un katı olmalı: 19 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 19 sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 olduğundan: a + b ≡ 8 ( mod 9 ) 2) 11 ile bölünebilme (tek sıradaki rakamlar toplamı − çift sıradaki rakamlar toplamı 11 'in katı olmalı): ( 9 + 7 + 3 ) - ( a + b ) = 19 - a - b Bu değer 11 'in katı olmalı: 19 - a - b ≡ 0 ( mod 11 ) Buradan: a + b ≡ 19 ( mod 11 ) ≡ 8 ( mod 11 ) Elimizde iki koşul var: a + b ≡ 8 ( mod 9 ) ∧ a + b ≡ 8 ( mod 11 ) 0 ile 9 arasında rakamlar olduğundan: 0 ≤ a + b ≤ 18 Bu aralıkta hem 9 'a göre hem 11 'e göre 8 ile aynı kalanı veren tek değer: a + b = 8 En küçük sayıyı elde etmek için önce a en küçük seçilir: a = 0 ⇒ b = 8 Buna göre en küçük değer: 9 0 7 8 3 ‾ = 90783 Kontrol (gerçekten 99 'a bölünüyor mu?): 90783 = 99 · 917 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır. 90783

Çözüm: Verilen sayı: 9 a 7 b 3 ‾ Tam bölünebilme koşulu: 99 = 9 · 11 Bu yüzden sayı hem 9 'a hem de 11 'e tam bölünmelidir. 99 ∣ 9 a 7 b 3 ‾ ⇒ 9 ∣ 9 a 7 b 3 ‾ ∧ 11 ∣ 9 a 7 b 3 ‾ 1) 9 ile bölünebilme (rakamlar toplamı 9 'un katı olmalı): 9 + a + 7 + b + 3 = 19 + a + b Bu toplam 9 'un katı olmalı: 19 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 19 sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 olduğundan: a + b ≡ 8 ( mod 9 ) 2) 11 ile bölünebilme (tek sıradaki rakamlar toplamı − çift sıradaki rakamlar toplamı 11 'in katı olmalı): ( 9 + 7 + 3 ) - ( a + b ) = 19 - a - b Bu değer 11 'in katı olmalı: 19 - a - b ≡ 0 ( mod 11 ) Buradan: a + b ≡ 19 ( mod 11 ) ≡ 8 ( mod 11 ) Elimizde iki koşul var: a + b ≡ 8 ( mod 9 ) ∧ a + b ≡ 8 ( mod 11 ) 0 ile 9 arasında rakamlar olduğundan: 0 ≤ a + b ≤ 18 Bu aralıkta hem 9 'a göre hem 11 'e göre 8 ile aynı kalanı veren tek değer: a + b = 8 En küçük sayıyı elde etmek için önce a en küçük seçilir: a = 0 ⇒ b = 8 Buna göre en küçük değer: 9 0 7 8 3 ‾ = 90783 Kontrol (gerçekten 99 'a bölünüyor mu?): 90783 = 99 · 917 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır. 90783

Verilen sayı:

\overline{9 a 7 b 3}

Tam bölünebilme koşulu:

99 = 9 \cdot 11

Bu yüzden sayı hem 9'a hem de 11'e tam bölünmelidir.

99 ∣ \overline{9 a 7 b 3} \Rightarrow 9 ∣ \overline{9 a 7 b 3} \land 11 ∣ \overline{9 a 7 b 3}

1)9 ile bölünebilme (rakamlar toplamı 9'un katı olmalı):

9 + a + 7 + b + 3 = 19 + a + b

Bu toplam 9'un katı olmalı:

19 + a + b \equiv 0 (\mod 9)

19 sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 olduğundan:

a + b \equiv 8 (\mod 9)

2)11 ile bölünebilme (tek sıradaki rakamlar toplamı − çift sıradaki rakamlar toplamı 11'in katı olmalı):

(9 + 7 + 3) - (a + b) = 19 - a - b

Bu değer 11'in katı olmalı:

19 - a - b \equiv 0 (\mod 11)

Buradan:

a + b \equiv 19 (\mod 11) \equiv 8 (\mod 11)

Elimizde iki koşul var:

a + b \equiv 8 (\mod 9) \land a + b \equiv 8 (\mod 11)

0 ile 9 arasında rakamlar olduğundan:

0 \leq a + b \leq 18

Bu aralıkta hem 9'a göre hem 11'e göre 8 ile aynı kalanı veren tek değer:

a + b = 8

En küçük sayıyı elde etmek için önce a en küçük seçilir:

a = 0 \Rightarrow b = 8

Buna göre en küçük değer:

\overline{90783} = 90783

Kontrol (gerçekten 99'a bölünüyor mu?):

90783 = 99 \cdot 917

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

90783

3. SoruÇoktan Seçmeli

$A = 10^{2026} + 10^{2025} + 10^{2024} + 10^{2023} + 10^{2022}$
$A$ sayısının $99$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Sorudaki sayı: A = 10 2026 + 10 2025 + 10 2024 + 10 2023 + 10 2022 İstenen kalan: A mod 99 Bunun için modüler aritmetiği, aşağıdaki çarpanlara ayıralım: 99 = 9 × 11 Önce mod dokuz: 10 ≡ 1 (mod 9 ) Bu yüzden her pozitif tam kuvvet için: 10 k ≡ 1 (mod 9 ) Toplamda beş terim olduğundan: A ≡ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 (mod 9 ) Şimdi mod on bir: 10 ≡ − 1 (mod 11 ) Üs tekse sonuç eksi bir, üs çiftse sonuç bir olur. Verilen üslerin paritesine göre: 10 2026 ≡ 1, 10 2025 ≡ − 1, 10 2024 ≡ 1, 10 2023 ≡ − 1, 10 2022 ≡ 1 (mod 11 ) Toplayalım: A ≡ 1 + ( − 1 ) + 1 + ( − 1 ) + 1 = 1 (mod 11 ) Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız (Çin Kalan Teoremi): A ≡ 5 (mod 9 ), A ≡ 1 (mod 11 ) İkinci koşuldan: A = 1 + 11 t Bunu birinci koşulda kullanırsak: 1 + 11 t ≡ 5 (mod 9 ) On bir sayısını mod dokuz indirgersek: 11 ≡ 2 (mod 9 ) Dolayısıyla: 1 + 2 t ≡ 5 (mod 9 ) Her iki taraftan bir çıkaralım: 2 t ≡ 4 (mod 9 ) Mod dokuz da iki nin tersi beş tir: 2 × 5 = 10 ≡ 1 (mod 9 ) Bu yüzden her iki tarafı beş ile çarparsak: t ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 2 (mod 9 ) En küçük uygun değer olarak: t = 2 Buradan: A = 1 + 11 × 2 = 23 Sonuç olarak kalan: 23 Bu da şıklarda C seçeneğidir; yani doğru cevap C.

Çözüm: Sorudaki sayı: A = 10 2026 + 10 2025 + 10 2024 + 10 2023 + 10 2022 İstenen kalan: A mod 99 Bunun için modüler aritmetiği, aşağıdaki çarpanlara ayıralım: 99 = 9 × 11 Önce mod dokuz: 10 ≡ 1 (mod 9 ) Bu yüzden her pozitif tam kuvvet için: 10 k ≡ 1 (mod 9 ) Toplamda beş terim olduğundan: A ≡ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 (mod 9 ) Şimdi mod on bir: 10 ≡ − 1 (mod 11 ) Üs tekse sonuç eksi bir, üs çiftse sonuç bir olur. Verilen üslerin paritesine göre: 10 2026 ≡ 1, 10 2025 ≡ − 1, 10 2024 ≡ 1, 10 2023 ≡ − 1, 10 2022 ≡ 1 (mod 11 ) Toplayalım: A ≡ 1 + ( − 1 ) + 1 + ( − 1 ) + 1 = 1 (mod 11 ) Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız (Çin Kalan Teoremi): A ≡ 5 (mod 9 ), A ≡ 1 (mod 11 ) İkinci koşuldan: A = 1 + 11 t Bunu birinci koşulda kullanırsak: 1 + 11 t ≡ 5 (mod 9 ) On bir sayısını mod dokuz indirgersek: 11 ≡ 2 (mod 9 ) Dolayısıyla: 1 + 2 t ≡ 5 (mod 9 ) Her iki taraftan bir çıkaralım: 2 t ≡ 4 (mod 9 ) Mod dokuz da iki nin tersi beş tir: 2 × 5 = 10 ≡ 1 (mod 9 ) Bu yüzden her iki tarafı beş ile çarparsak: t ≡ 4 × 5 = 20 ≡ 2 (mod 9 ) En küçük uygun değer olarak: t = 2 Buradan: A = 1 + 11 × 2 = 23 Sonuç olarak kalan: 23 Bu da şıklarda C seçeneğidir; yani doğru cevap C.

Sorudaki sayı:

A = 10^{2026} + 10^{2025} + 10^{2024} + 10^{2023} + 10^{2022}

İstenen kalan:

A mod 99

Bunun için modüler aritmetiği, aşağıdaki çarpanlara ayıralım:

99 = 9 \times 11

Önce mod dokuz:

10 \equiv 1 (mod 9)

Bu yüzden her pozitif tam kuvvet için:

10^{k} \equiv 1 (mod 9)

Toplamda beş terim olduğundan:

A \equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 (mod 9)

Şimdi mod on bir:

10 \equiv - 1 (mod 11)

Üs tekse sonuç eksi bir, üs çiftse sonuç bir olur. Verilen üslerin paritesine göre:

10^{2026} \equiv 1, 10^{2025} \equiv - 1, 10^{2024} \equiv 1, 10^{2023} \equiv - 1, 10^{2022} \equiv 1 (mod 11)

Toplayalım:

A \equiv 1 + (- 1) + 1 + (- 1) + 1 = 1 (mod 11)

Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız (Çin Kalan Teoremi):

A \equiv 5 (mod 9), A \equiv 1 (mod 11)

İkinci koşuldan:

A = 1 + 11 t

Bunu birinci koşulda kullanırsak:

1 + 11 t \equiv 5 (mod 9)

On bir sayısını mod dokuz indirgersek:

11 \equiv 2 (mod 9)

Dolayısıyla:

1 + 2 t \equiv 5 (mod 9)

Her iki taraftan bir çıkaralım:

2 t \equiv 4 (mod 9)

Mod dokuzda ikinin tersi beştir:

2 \times 5 = 10 \equiv 1 (mod 9)

Bu yüzden her iki tarafı beş ile çarparsak:

t \equiv 4 \times 5 = 20 \equiv 2 (mod 9)

En küçük uygun değer olarak:

t = 2

Buradan:

A = 1 + 11 \times 2 = 23

Sonuç olarak kalan:

23

Bu da şıklarda C seçeneğidir; yani doğru cevap C.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$n$ pozitif tamsayısı için $n$ 'nin $7$ ile bölümünden kalan $2$ , $9$ ile bölümünden kalan $5$ , $11$ ile bölümünden kalan $7$ ise en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları denklem/kongruens olarak yazalım: n ≡ 2 (mod 7 ) n ≡ 5 (mod 9 ) n ≡ 7 (mod 11 ) İlk koşuldan n = 7 k + 2 yazalım. Bunu dokuz ile bölümünden kalan koşulunda kullanalım: 7 k + 2 ≡ 5 (mod 9 ) 7 k ≡ 3 (mod 9 ) Burada 7 ≡ − 2 (mod 9 ) olduğundan: − 2 k ≡ 3 (mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım: 2 k ≡ − 3 (mod 9 ) Ayrıca − 3 ≡ 6 (mod 9 ) olduğundan: 2 k ≡ 6 (mod 9 ) Mod dokuzda 2 sayısının tersi 5 olduğu için: k ≡ 6 ⋅ 5 ≡ 30 ≡ 3 (mod 9 ) O hâlde k = 9 t + 3 yazabiliriz. Bunu n = 7 k + 2 içine koyalım: n = 7 ( 9 t + 3 ) + 2 = 63 t + 23 Şimdi on bir ile bölümünden kalan koşulunu uygulayalım: 63 t + 23 ≡ 7 (mod 11 ) Mod on birde sadeleştirelim: 63 ≡ 8 (mod 11 ) 23 ≡ 1 (mod 11 ) Buna göre: 8 t + 1 ≡ 7 (mod 11 ) 8 t ≡ 6 (mod 11 ) Mod on birde 8 sayısının tersi 7 çünkü: 8 ⋅ 7 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım: t ≡ 6 ⋅ 7 ≡ 42 ≡ 9 (mod 11 ) O hâlde t = 11 s + 9 yazıp n = 63 t + 23 içine koyarsak: n = 63 ( 11 s + 9 ) + 23 = 693 s + 590 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 590 Sonuç: Doğru cevap 590 olup A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen koşulları denklem/kongruens olarak yazalım: n ≡ 2 (mod 7 ) n ≡ 5 (mod 9 ) n ≡ 7 (mod 11 ) İlk koşuldan n = 7 k + 2 yazalım. Bunu dokuz ile bölümünden kalan koşulunda kullanalım: 7 k + 2 ≡ 5 (mod 9 ) 7 k ≡ 3 (mod 9 ) Burada 7 ≡ − 2 (mod 9 ) olduğundan: − 2 k ≡ 3 (mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım: 2 k ≡ − 3 (mod 9 ) Ayrıca − 3 ≡ 6 (mod 9 ) olduğundan: 2 k ≡ 6 (mod 9 ) Mod dokuzda 2 sayısının tersi 5 olduğu için: k ≡ 6 ⋅ 5 ≡ 30 ≡ 3 (mod 9 ) O hâlde k = 9 t + 3 yazabiliriz. Bunu n = 7 k + 2 içine koyalım: n = 7 ( 9 t + 3 ) + 2 = 63 t + 23 Şimdi on bir ile bölümünden kalan koşulunu uygulayalım: 63 t + 23 ≡ 7 (mod 11 ) Mod on birde sadeleştirelim: 63 ≡ 8 (mod 11 ) 23 ≡ 1 (mod 11 ) Buna göre: 8 t + 1 ≡ 7 (mod 11 ) 8 t ≡ 6 (mod 11 ) Mod on birde 8 sayısının tersi 7 çünkü: 8 ⋅ 7 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım: t ≡ 6 ⋅ 7 ≡ 42 ≡ 9 (mod 11 ) O hâlde t = 11 s + 9 yazıp n = 63 t + 23 içine koyarsak: n = 63 ( 11 s + 9 ) + 23 = 693 s + 590 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 590 Sonuç: Doğru cevap 590 olup A şıkkıdır.

Verilen koşulları denklem/kongruens olarak yazalım:

$n \equiv 2 (mod 7)$

$n \equiv 5 (mod 9)$

$n \equiv 7 (mod 11)$

İlk koşuldan $n = 7 k + 2$ yazalım.

Bunu dokuz ile bölümünden kalan koşulunda kullanalım:

$7 k + 2 \equiv 5 (mod 9)$

$7 k \equiv 3 (mod 9)$

Burada $7 \equiv - 2 (mod 9)$ olduğundan:

$- 2 k \equiv 3 (mod 9)$

Her iki tarafı $- 1$ ile çarpalım:

$2 k \equiv - 3 (mod 9)$

Ayrıca $- 3 \equiv 6 (mod 9)$ olduğundan:

$2 k \equiv 6 (mod 9)$

Mod dokuzda $2$ sayısının tersi $5$ olduğu için:

$k \equiv 6 \cdot 5 \equiv 30 \equiv 3 (mod 9)$

O hâlde $k = 9 t + 3$ yazabiliriz. Bunu $n = 7 k + 2$ içine koyalım:

$n = 7 (9 t + 3) + 2 = 63 t + 23$

Şimdi on bir ile bölümünden kalan koşulunu uygulayalım:

$63 t + 23 \equiv 7 (mod 11)$

Mod on birde sadeleştirelim:

$63 \equiv 8 (mod 11)$

$23 \equiv 1 (mod 11)$

Buna göre:

$8 t + 1 \equiv 7 (mod 11)$

$8 t \equiv 6 (mod 11)$

Mod on birde $8$ sayısının tersi $7$ çünkü:

$8 \cdot 7 = 56 \equiv 1 (mod 11)$

Her iki tarafı $7$ ile çarpalım:

$t \equiv 6 \cdot 7 \equiv 42 \equiv 9 (mod 11)$

O hâlde $t = 11 s + 9$ yazıp $n = 63 t + 23$ içine koyarsak:

$n = 63 (11 s + 9) + 23 = 693 s + 590$

En küçük pozitif değer için $s = 0$ alınır:

$n = 590$

Sonuç: Doğru cevap $590$ olup A şıkkıdır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük dört basamaklı, rakamları birbirinden farklı $N$ sayısı için
$N \equiv 0 (mod 9)$ ve $N \equiv 2 (mod 11)$ koşulları sağlanıyor.
Bu sayının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Koşulları birlikte çözmek için önce mod 9 ve mod 11’i tek bir mod altında birleştirelim. N ≡ 0 ( mod 9 ) N ≡ 2 ( mod 11 ) 2) İlk koşuldan N = 9k yazalım ve bunu mod 11’de kullanalım. N = 9 k 9 k ≡ 2 ( mod 11 ) 3) 9 sayısının mod 11’de tersini bulalım. Çünkü 9 ⋅ 5 = 45 ≡ 1 ( mod 11 ) Buradan mod 11’de 9 ile çarpmayı kaldırmak için her iki tarafı 5 ile çarparız: k ≡ 2 ⋅ 5 ≡ 10 ( mod 11 ) 4) O hâlde k = 11 t + 10 ve N = 9 ( 11 t + 10 ) = 99 t + 90 Yani tüm çözümler N ≡ 90 ( mod 99 ) 5) En küçük dört basamaklı sayı için 99t + 90 ifadesini 1000’i aşacak şekilde deneriz: t = 10 ⇒ N = 1080 1080’de rakamlar farklı değil (0 tekrarlı). t = 11 ⇒ N = 1179 1179’da rakamlar farklı değil (1 tekrarlı). t = 12 ⇒ N = 1278 1278’de rakamlar birbirinden farklıdır. Dolayısıyla aranan en küçük sayı N = 1278 6) Şimdi N ’nin 7 ile bölümünden kalanı bulalım: 1278 = 7 ⋅ 182 + 4 Bu nedenle kalan 4 7) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: 1) Koşulları birlikte çözmek için önce mod 9 ve mod 11’i tek bir mod altında birleştirelim. N ≡ 0 ( mod 9 ) N ≡ 2 ( mod 11 ) 2) İlk koşuldan N = 9k yazalım ve bunu mod 11’de kullanalım. N = 9 k 9 k ≡ 2 ( mod 11 ) 3) 9 sayısının mod 11’de tersini bulalım. Çünkü 9 ⋅ 5 = 45 ≡ 1 ( mod 11 ) Buradan mod 11’de 9 ile çarpmayı kaldırmak için her iki tarafı 5 ile çarparız: k ≡ 2 ⋅ 5 ≡ 10 ( mod 11 ) 4) O hâlde k = 11 t + 10 ve N = 9 ( 11 t + 10 ) = 99 t + 90 Yani tüm çözümler N ≡ 90 ( mod 99 ) 5) En küçük dört basamaklı sayı için 99t + 90 ifadesini 1000’i aşacak şekilde deneriz: t = 10 ⇒ N = 1080 1080’de rakamlar farklı değil (0 tekrarlı). t = 11 ⇒ N = 1179 1179’da rakamlar farklı değil (1 tekrarlı). t = 12 ⇒ N = 1278 1278’de rakamlar birbirinden farklıdır. Dolayısıyla aranan en küçük sayı N = 1278 6) Şimdi N ’nin 7 ile bölümünden kalanı bulalım: 1278 = 7 ⋅ 182 + 4 Bu nedenle kalan 4 7) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

1) Koşulları birlikte çözmek için önce mod 9 ve mod 11’i tek bir mod altında birleştirelim.

$N \equiv 0 (mod 9)$

$N \equiv 2 (mod 11)$

2) İlk koşuldan N = 9k yazalım ve bunu mod 11’de kullanalım.

$N = 9 k$

$9 k \equiv 2 (mod 11)$

3) 9 sayısının mod 11’de tersini bulalım. Çünkü

$9 \cdot 5 = 45 \equiv 1 (mod 11)$

Buradan mod 11’de 9 ile çarpmayı kaldırmak için her iki tarafı 5 ile çarparız:

$k \equiv 2 \cdot 5 \equiv 10 (mod 11)$

4) O hâlde

$k = 11 t + 10$

$N = 9 (11 t + 10) = 99 t + 90$

Yani tüm çözümler

$N \equiv 90 (mod 99)$

5) En küçük dört basamaklı sayı için 99t + 90 ifadesini 1000’i aşacak şekilde deneriz:

$t = 10 \Rightarrow N = 1080$

1080’de rakamlar farklı değil (0 tekrarlı).

$t = 11 \Rightarrow N = 1179$

1179’da rakamlar farklı değil (1 tekrarlı).

$t = 12 \Rightarrow N = 1278$

1278’de rakamlar birbirinden farklıdır. Dolayısıyla aranan en küçük sayı

$N = 1278$

6) Şimdi N’nin 7 ile bölümünden kalanı bulalım:

$1278 = 7 \cdot 182 + 4$

Bu nedenle kalan

$4$

7) Sonuç: Doğru seçenek B’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin belirtilen sayıya bölümünden kalan kaçtır?
$N = 10^{2025} + 7^{2025}$
$N sayısının 77 ile bölümünden kalan$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen ifade: N = 10 2025 + 7 2025 Bölen sayıyı çarpanlarına ayıralım: 77 = 7 · 11 Önce kalanını bulalım: N ≡ 10 2025 + 7 2025 (mod 7 ) Burada 10 ≡ 3 (mod 7 ), 7 2025 ≡ 0 (mod 7 ) Dolayısıyla N ≡ 3 2025 (mod 7 ) Üs küçültmek için: φ ( 7 ) = 6, 2025 ≡ 3 (mod 6 ) O hâlde 3 2025 ≡ 3 3 = 27 ≡ 6 (mod 7 ) Yani: N ≡ 6 (mod 7 ) Şimdi kalanını bulalım: N ≡ 10 2025 + 7 2025 (mod 11 ) Burada 10 ≡ − 1 (mod 11 ) Dolayısıyla 10 2025 ≡ ( − 1 ) 2025 = − 1 ≡ 10 (mod 11 ) Diğer terim için üssü küçültelim: φ ( 11 ) = 10, 2025 ≡ 5 (mod 10 ) Şimdi hesabı: 7 2 = 49 ≡ 5 (mod 11 ) 7 4 ≡ 5 2 = 25 ≡ 3 (mod 11 ) 7 5 ≡ 3 · 7 = 21 ≡ 10 (mod 11 ) Toplayalım: N ≡ 10 + 10 = 20 ≡ 9 (mod 11 ) Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız: N ≡ 6 (mod 7 ) N ≡ 9 (mod 11 ) Birinciden: N = 6 + 7 k Bunu ikinci koşula yazalım: 6 + 7 k ≡ 9 (mod 11 ) 7 k ≡ 3 (mod 11 ) Burada tersidir (çünkü ): 7 · 8 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Her iki tarafı ile çarpalım: k ≡ 3 · 8 = 24 ≡ 2 (mod 11 ) En küçük uygun için: k = 2 N = 6 + 7 · 2 = 20 Sonuç olarak kalan: 20 Bu nedenle doğru seçenek C ’dir; yani şıkkı doğrudur.

Çözüm: Verilen ifade: N = 10 2025 + 7 2025 Bölen sayıyı çarpanlarına ayıralım: 77 = 7 · 11 Önce kalanını bulalım: N ≡ 10 2025 + 7 2025 (mod 7 ) Burada 10 ≡ 3 (mod 7 ), 7 2025 ≡ 0 (mod 7 ) Dolayısıyla N ≡ 3 2025 (mod 7 ) Üs küçültmek için: φ ( 7 ) = 6, 2025 ≡ 3 (mod 6 ) O hâlde 3 2025 ≡ 3 3 = 27 ≡ 6 (mod 7 ) Yani: N ≡ 6 (mod 7 ) Şimdi kalanını bulalım: N ≡ 10 2025 + 7 2025 (mod 11 ) Burada 10 ≡ − 1 (mod 11 ) Dolayısıyla 10 2025 ≡ ( − 1 ) 2025 = − 1 ≡ 10 (mod 11 ) Diğer terim için üssü küçültelim: φ ( 11 ) = 10, 2025 ≡ 5 (mod 10 ) Şimdi hesabı: 7 2 = 49 ≡ 5 (mod 11 ) 7 4 ≡ 5 2 = 25 ≡ 3 (mod 11 ) 7 5 ≡ 3 · 7 = 21 ≡ 10 (mod 11 ) Toplayalım: N ≡ 10 + 10 = 20 ≡ 9 (mod 11 ) Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız: N ≡ 6 (mod 7 ) N ≡ 9 (mod 11 ) Birinciden: N = 6 + 7 k Bunu ikinci koşula yazalım: 6 + 7 k ≡ 9 (mod 11 ) 7 k ≡ 3 (mod 11 ) Burada tersidir (çünkü ): 7 · 8 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Her iki tarafı ile çarpalım: k ≡ 3 · 8 = 24 ≡ 2 (mod 11 ) En küçük uygun için: k = 2 N = 6 + 7 · 2 = 20 Sonuç olarak kalan: 20 Bu nedenle doğru seçenek C ’dir; yani şıkkı doğrudur.

Verilen ifade:

N = 10^{2025} + 7^{2025}

Bölen sayıyı çarpanlarına ayıralım:

77 = 7 \cdot 11

Önce kalanını bulalım:

N \equiv 10^{2025} + 7^{2025} (mod 7)

Burada

10 \equiv 3 (mod 7), 7^{2025} \equiv 0 (mod 7)

Dolayısıyla

N \equiv 3^{2025} (mod 7)

Üs küçültmek için:

φ (7) = 6, 2025 \equiv 3 (mod 6)

O hâlde

3^{2025} \equiv 3^{3} = 27 \equiv 6 (mod 7)

Yani:

N \equiv 6 (mod 7)

Şimdi kalanını bulalım:

N \equiv 10^{2025} + 7^{2025} (mod 11)

Burada

10 \equiv - 1 (mod 11)

Dolayısıyla

10^{2025} \equiv (^{- 1) 2025} = - 1 \equiv 10 (mod 11)

Diğer terim için üssü küçültelim:

φ (11) = 10, 2025 \equiv 5 (mod 10)

Şimdi hesabı:

7^{2} = 49 \equiv 5 (mod 11)

7^{4} \equiv 5^{2} = 25 \equiv 3 (mod 11)

7^{5} \equiv 3 \cdot 7 = 21 \equiv 10 (mod 11)

Toplayalım:

N \equiv 10 + 10 = 20 \equiv 9 (mod 11)

Şimdi şu iki koşulu aynı anda sağlayan sayıyı bulacağız:

N \equiv 6 (mod 7)

N \equiv 9 (mod 11)

Birinciden:

N = 6 + 7 k

Bunu ikinci koşula yazalım:

6 + 7 k \equiv 9 (mod 11)

7 k \equiv 3 (mod 11)

Burada tersidir (çünkü ):

7 \cdot 8 = 56 \equiv 1 (mod 11)

Her iki tarafı ile çarpalım:

k \equiv 3 \cdot 8 = 24 \equiv 2 (mod 11)

En küçük uygun için:

k = 2

N = 6 + 7 \cdot 2 = 20

Sonuç olarak kalan:

20

Bu nedenle doğru seçenek C’dir; yani şıkkı doğrudur.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Rakamları birbirinden farklı ve sıfırdan farklı olan üç basamaklı $\bar{a b c}$ sayısının iki kez yan yana yazılmasıyla elde edilen altı basamaklı $\bar{a b c a b c}$ sayısı $72$ ile kalansız bölünebiliyor.
Buna göre $a + b + c$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Altı basamaklı sayı, üç basamaklı sayının iki kez yan yana yazılmasıdır. Üç basamaklı sayıyı önce tek bir değişkenle gösterelim. x = 100 a + 10 b + c Bu durumda oluşan altı basamaklı sayı şu şekilde yazılır. a b c a b c ¯ = 1000 x + x = 1001 x Verilen koşul, bu sayının yetmiş iki ile kalansız bölünmesidir. 72 | 1001 x Şimdi yetmiş iki ile bin birin aralarında asal olduğunu gösterelim (Öklid algoritması). 1001 = 72 · 13 + 65 72 = 65 · 1 + 7 65 = 7 · 9 + 2 7 = 2 · 3 + 1 ⇒ gcd ( 1001, 72 ) = 1 Aralarında asal iki sayıdan biri çarpımı bölüyorsa, diğerini de bölmek zorundadır. Buradan üç basamaklı sayının yetmiş ikiye tam bölünmesi gerekir. 72 | 1001 x, gcd ( 1001, 72 ) = 1 ⇒ 72 | x Dolayısıyla üç basamaklı sayı hem dokuza hem de sekize tam bölünmelidir. 72 = 8 · 9 ⇒ 9 | x 8 | x Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuzun katı olmalıdır. Rakamlar sıfırdan farklı ve birbirinden farklı olduğuna göre en küçük toplam, dokuzun en küçük pozitif katı olan dokuz olabilir. Bu toplamı sağlayan en küçük farklı rakam üçlüsü şudur. 1 + 2 + 6 = 9 Şimdi bu rakamlarla oluşturulacak üç basamaklı sayının sekize bölünebilmesini de sağlamalıyız. Aşağıdaki düzenleme hem dokuza hem sekize bölünür. 216 = 72 · 3 Bu durumda altı basamaklı sayı da yetmiş ikiye bölünür (çünkü bin bir ile yetmiş iki aralarında asaldır ve üç basamaklı sayı yetmiş ikiye bölünmüştür). 216216 = 1001 · 216 72 | 216 ⇒ 72 | 216216 En küçük değer böylece bulunur ve verilen şıklarda A seçeneğiyle uyumludur. a + b + c = 9

Çözüm: Altı basamaklı sayı, üç basamaklı sayının iki kez yan yana yazılmasıdır. Üç basamaklı sayıyı önce tek bir değişkenle gösterelim. x = 100 a + 10 b + c Bu durumda oluşan altı basamaklı sayı şu şekilde yazılır. a b c a b c ¯ = 1000 x + x = 1001 x Verilen koşul, bu sayının yetmiş iki ile kalansız bölünmesidir. 72 | 1001 x Şimdi yetmiş iki ile bin birin aralarında asal olduğunu gösterelim (Öklid algoritması). 1001 = 72 · 13 + 65 72 = 65 · 1 + 7 65 = 7 · 9 + 2 7 = 2 · 3 + 1 ⇒ gcd ( 1001, 72 ) = 1 Aralarında asal iki sayıdan biri çarpımı bölüyorsa, diğerini de bölmek zorundadır. Buradan üç basamaklı sayının yetmiş ikiye tam bölünmesi gerekir. 72 | 1001 x, gcd ( 1001, 72 ) = 1 ⇒ 72 | x Dolayısıyla üç basamaklı sayı hem dokuza hem de sekize tam bölünmelidir. 72 = 8 · 9 ⇒ 9 | x 8 | x Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuzun katı olmalıdır. Rakamlar sıfırdan farklı ve birbirinden farklı olduğuna göre en küçük toplam, dokuzun en küçük pozitif katı olan dokuz olabilir. Bu toplamı sağlayan en küçük farklı rakam üçlüsü şudur. 1 + 2 + 6 = 9 Şimdi bu rakamlarla oluşturulacak üç basamaklı sayının sekize bölünebilmesini de sağlamalıyız. Aşağıdaki düzenleme hem dokuza hem sekize bölünür. 216 = 72 · 3 Bu durumda altı basamaklı sayı da yetmiş ikiye bölünür (çünkü bin bir ile yetmiş iki aralarında asaldır ve üç basamaklı sayı yetmiş ikiye bölünmüştür). 216216 = 1001 · 216 72 | 216 ⇒ 72 | 216216 En küçük değer böylece bulunur ve verilen şıklarda A seçeneğiyle uyumludur. a + b + c = 9

Altı basamaklı sayı, üç basamaklı sayının iki kez yan yana yazılmasıdır. Üç basamaklı sayıyı önce tek bir değişkenle gösterelim.

x = 100 a + 10 b + c

Bu durumda oluşan altı basamaklı sayı şu şekilde yazılır.

\bar{a b c a b c} = 1000 x + x = 1001 x

Verilen koşul, bu sayının yetmiş iki ile kalansız bölünmesidir.

72 | 1001 x

Şimdi yetmiş iki ile bin birin aralarında asal olduğunu gösterelim (Öklid algoritması).

1001 = 72 \cdot 13 + 65

72 = 65 \cdot 1 + 7

65 = 7 \cdot 9 + 2

7 = 2 \cdot 3 + 1

\Rightarrow \gcd (1001, 72) = 1

Aralarında asal iki sayıdan biri çarpımı bölüyorsa, diğerini de bölmek zorundadır. Buradan üç basamaklı sayının yetmiş ikiye tam bölünmesi gerekir.

72 | 1001 x, \gcd (1001, 72) = 1 \Rightarrow 72 | x

Dolayısıyla üç basamaklı sayı hem dokuza hem de sekize tam bölünmelidir.

72 = 8 \cdot 9 \Rightarrow 9 | x 8 | x

Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuzun katı olmalıdır. Rakamlar sıfırdan farklı ve birbirinden farklı olduğuna göre en küçük toplam, dokuzun en küçük pozitif katı olan dokuz olabilir. Bu toplamı sağlayan en küçük farklı rakam üçlüsü şudur.

1 + 2 + 6 = 9

Şimdi bu rakamlarla oluşturulacak üç basamaklı sayının sekize bölünebilmesini de sağlamalıyız. Aşağıdaki düzenleme hem dokuza hem sekize bölünür.

216 = 72 \cdot 3

Bu durumda altı basamaklı sayı da yetmiş ikiye bölünür (çünkü bin bir ile yetmiş iki aralarında asaldır ve üç basamaklı sayı yetmiş ikiye bölünmüştür).

216216 = 1001 \cdot 216

72 | 216 \Rightarrow 72 | 216216

En küçük değer böylece bulunur ve verilen şıklarda A seçeneğiyle uyumludur.

a + b + c = 9

8. SoruÇoktan Seçmeli

$n$ üç basamaklı bir tamsayı olsun.
$n \equiv 17 (mod 45)$ ve $16 | n$ koşulları sağlanıyor.
Buna göre $n$ 'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen koşullar: n ≡ 17 ( mod 45 ) 16 | n Birinci koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 17 + 45 k Şimdi 16 | n koşulunu bu ifadeye uygulayalım: 16 | ( 17 + 45 k ) Bu da aşağıdaki denkliğe eşdeğerdir: 17 + 45 k ≡ 0 ( mod 16 ) Mod 16 altında sadeleştirelim: 17 ≡ 1 ( mod 16 ) 45 ≡ 13 ( mod 16 ) Yerine yazalım: 1 + 13 k ≡ 0 ( mod 16 ) Buradan: 13 k ≡ 15 ( mod 16 ) 13 sayısının mod 16 altında tersini bulalım: 13 ⋅ 5 = 65 ≡ 1 ( mod 16 ) Demek ki ters eleman: 13 − 1 ≡ 5 ( mod 16 ) Her iki tarafı 5 ile çarpalım: k ≡ 15 ⋅ 5 ( mod 16 ) k ≡ 75 ( mod 16 ) k ≡ 11 ( mod 16 ) O hâlde: k = 11 + 16 t Şimdi n ifadesine geri dönelim: n = 17 + 45 k n = 17 + 45 ( 11 + 16 t ) n = 17 + 495 + 720 t n = 512 + 720 t n üç basamaklı olduğundan en küçük değer için t = 0 seçilir: n = 512 Bu değer üç basamaklıdır ve şartları sağlar. Sonuç: Doğru seçenek C ’dir. n = 512

Çözüm: Verilen koşullar: n ≡ 17 ( mod 45 ) 16 | n Birinci koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 17 + 45 k Şimdi 16 | n koşulunu bu ifadeye uygulayalım: 16 | ( 17 + 45 k ) Bu da aşağıdaki denkliğe eşdeğerdir: 17 + 45 k ≡ 0 ( mod 16 ) Mod 16 altında sadeleştirelim: 17 ≡ 1 ( mod 16 ) 45 ≡ 13 ( mod 16 ) Yerine yazalım: 1 + 13 k ≡ 0 ( mod 16 ) Buradan: 13 k ≡ 15 ( mod 16 ) 13 sayısının mod 16 altında tersini bulalım: 13 ⋅ 5 = 65 ≡ 1 ( mod 16 ) Demek ki ters eleman: 13 − 1 ≡ 5 ( mod 16 ) Her iki tarafı 5 ile çarpalım: k ≡ 15 ⋅ 5 ( mod 16 ) k ≡ 75 ( mod 16 ) k ≡ 11 ( mod 16 ) O hâlde: k = 11 + 16 t Şimdi n ifadesine geri dönelim: n = 17 + 45 k n = 17 + 45 ( 11 + 16 t ) n = 17 + 495 + 720 t n = 512 + 720 t n üç basamaklı olduğundan en küçük değer için t = 0 seçilir: n = 512 Bu değer üç basamaklıdır ve şartları sağlar. Sonuç: Doğru seçenek C ’dir. n = 512

Verilen koşullar:

n \equiv 17 (mod 45)

16 | n

Birinci koşuldan $n$ sayısını parametreleyelim:

n = 17 + 45 k

Şimdi $16 | n$ koşulunu bu ifadeye uygulayalım:

16 | (17 + 45 k)

Bu da aşağıdaki denkliğe eşdeğerdir:

17 + 45 k \equiv 0 (mod 16)

Mod $16$ altında sadeleştirelim:

17 \equiv 1 (mod 16)

45 \equiv 13 (mod 16)

Yerine yazalım:

1 + 13 k \equiv 0 (mod 16)

Buradan:

13 k \equiv 15 (mod 16)

$13$ sayısının mod $16$ altında tersini bulalım:

13 \cdot 5 = 65 \equiv 1 (mod 16)

Demek ki ters eleman:

13 - 1 \equiv 5 (mod 16)

Her iki tarafı $5$ ile çarpalım:

k \equiv 15 \cdot 5 (mod 16)

k \equiv 75 (mod 16)

k \equiv 11 (mod 16)

O hâlde:

k = 11 + 16 t

Şimdi $n$ ifadesine geri dönelim:

n = 17 + 45 k

n = 17 + 45 (11 + 16 t)

n = 17 + 495 + 720 t

n = 512 + 720 t

$n$ üç basamaklı olduğundan en küçük değer için $t = 0$ seçilir:

n = 512

Bu değer üç basamaklıdır ve şartları sağlar.

Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

n = 512

9. SoruÇoktan Seçmeli

$a$ bir rakam olmak üzere $8 a 6 a 4 a$ sayısı hem $9$ hem de $11$ ile tam bölünebilmektedir. $a$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen sayı: 8 a 6 a 4 a Hem 9 hem de 11 ile bölünebildiğine göre önce 9 ile bölünebilme koşulunu kullanalım (rakamlar toplamı 9 ’un katı olmalı): 8 + a + 6 + a + 4 + a 18 + 3 a Bu toplamın 9 ’un katı olması gerekir: 18 + 3 a ≡ 0 ( mod 9 ) 3 a ≡ 0 ( mod 9 ) Buradan a ’nın 3 ’ün katı bir rakam olması gerekir: a ∈ { 0, 3, 6, 9 } Şimdi 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım (tek ve çift basamaklardaki rakamlar toplamlarının farkı 11 ’in katı olmalı). Soldan başlayarak tek basamaklar: ( 8 + 6 + 4 ) - ( a + a + a ) 18 - 3 a Bu ifadenin 11 ’in katı olması gerekir: 18 - 3 a ∈ { …, - 22, - 11, 0, 11, 22, … } Aday değerleri deneyelim: a = 0 ⇒ 18 - 3 ⋅ 0 = 18 a = 3 ⇒ 18 - 3 ⋅ 3 = 9 a = 6 ⇒ 18 - 3 ⋅ 6 = 0 a = 9 ⇒ 18 - 3 ⋅ 9 = - 9 Yalnızca a = 6 için sonuç 0 olup 11 ’in katıdır. Dolayısıyla sayı hem 9 hem 11 ile tam bölünür. a = 6 Kontrol: Doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: Verilen sayı: 8 a 6 a 4 a Hem 9 hem de 11 ile bölünebildiğine göre önce 9 ile bölünebilme koşulunu kullanalım (rakamlar toplamı 9 ’un katı olmalı): 8 + a + 6 + a + 4 + a 18 + 3 a Bu toplamın 9 ’un katı olması gerekir: 18 + 3 a ≡ 0 ( mod 9 ) 3 a ≡ 0 ( mod 9 ) Buradan a ’nın 3 ’ün katı bir rakam olması gerekir: a ∈ { 0, 3, 6, 9 } Şimdi 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım (tek ve çift basamaklardaki rakamlar toplamlarının farkı 11 ’in katı olmalı). Soldan başlayarak tek basamaklar: ( 8 + 6 + 4 ) - ( a + a + a ) 18 - 3 a Bu ifadenin 11 ’in katı olması gerekir: 18 - 3 a ∈ { …, - 22, - 11, 0, 11, 22, … } Aday değerleri deneyelim: a = 0 ⇒ 18 - 3 ⋅ 0 = 18 a = 3 ⇒ 18 - 3 ⋅ 3 = 9 a = 6 ⇒ 18 - 3 ⋅ 6 = 0 a = 9 ⇒ 18 - 3 ⋅ 9 = - 9 Yalnızca a = 6 için sonuç 0 olup 11 ’in katıdır. Dolayısıyla sayı hem 9 hem 11 ile tam bölünür. a = 6 Kontrol: Doğru seçenek B ’dir.

Verilen sayı:

8 a 6 a 4 a

Hem 9 hem de 11 ile bölünebildiğine göre önce 9 ile bölünebilme koşulunu kullanalım (rakamlar toplamı 9’un katı olmalı):

8 + a + 6 + a + 4 + a

18 + 3 a

Bu toplamın 9’un katı olması gerekir:

18 + 3 a \equiv 0 (mod 9)

3 a \equiv 0 (mod 9)

Buradan a’nın 3’ün katı bir rakam olması gerekir:

a \in {0, 3, 6, 9}

Şimdi 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım (tek ve çift basamaklardaki rakamlar toplamlarının farkı 11’in katı olmalı). Soldan başlayarak tek basamaklar:

(8 + 6 + 4) - (a + a + a)

18 - 3 a

Bu ifadenin 11’in katı olması gerekir:

18 - 3 a \in {\dots, - 22, - 11, 0, 11, 22, \dots}

Aday değerleri deneyelim:

a = 0 \Rightarrow 18 - 3 \cdot 0 = 18

a = 3 \Rightarrow 18 - 3 \cdot 3 = 9

a = 6 \Rightarrow 18 - 3 \cdot 6 = 0

a = 9 \Rightarrow 18 - 3 \cdot 9 = - 9

Yalnızca a = 6 için sonuç 0 olup 11’in katıdır. Dolayısıyla sayı hem 9 hem 11 ile tam bölünür.

a = 6

Kontrol: Doğru seçenek B’dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$N$ beş basamaklı sayısı $4 a 2 b 6$ biçimindedir ve $132$ ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre $(a, b)$ sıralı ikililerinin sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Sayı şu biçimdedir: N = 4 0 0 0 0 + 1000 a + 200 + 10 b + 6 Tam bölüneceği sayı asal çarpanlarına ayrılır: 132 = 3 × 4 × 11 Dolayısıyla sayı; sırasıyla dörde, üçe ve on bire tam bölünmelidir. Dörde bölünebilme koşulu (son iki basamak): 10 b + 6 ≡ 0 ( mod 4 ) 10 b + 6 ≡ 2 b + 2 = 2 ( b + 1 ) ( mod 4 ) b ∈ { 1, 3, 5, 7, 9 } Üçe bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): 4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b ≡ 0 ( mod 3 ) a + b ≡ 0 ( mod 3 ) On bire bölünebilme koşulu (alternatif toplam): ( 4 + 2 + 6 ) - ( a + b ) ≡ 0 ( mod 11 ) 12 - ( a + b ) ≡ 0 ( mod 11 ) a + b ≡ 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Rakam oldukları için toplamın alabileceği aralık: 0 ≤ a + b ≤ 18 Bu aralıkta aşağıdaki koşulu sağlayan değerler bulunur: a + b ≡ 1 ( mod 11 ) a + b = 1 veya a + b = 12 Üçe bölünebilme koşulu ile birlikte kontrol edilirse: a + b = 1 ⇒ a + b ≡ 1 ( mod 3 ) (uymaz) a + b = 12 ⇒ a + b ≡ 0 ( mod 3 ) (uyar) O halde temel koşullar: a + b = 12 ve b ∈ { 1, 3, 5, 7, 9 } Tek tek deneyip uygun sıralı ikilileri yazalım: ( a, b ) ∈ { ( 9, 3 ), ( 7, 5 ), ( 5, 7 ), ( 3, 9 ) } Toplam sıralı ikili sayısı: 4 Sonuç olarak doğru seçenek D’dir ve verilen cevap doğrudur.

Çözüm: Sayı şu biçimdedir: N = 4 0 0 0 0 + 1000 a + 200 + 10 b + 6 Tam bölüneceği sayı asal çarpanlarına ayrılır: 132 = 3 × 4 × 11 Dolayısıyla sayı; sırasıyla dörde, üçe ve on bire tam bölünmelidir. Dörde bölünebilme koşulu (son iki basamak): 10 b + 6 ≡ 0 ( mod 4 ) 10 b + 6 ≡ 2 b + 2 = 2 ( b + 1 ) ( mod 4 ) b ∈ { 1, 3, 5, 7, 9 } Üçe bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): 4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b ≡ 0 ( mod 3 ) a + b ≡ 0 ( mod 3 ) On bire bölünebilme koşulu (alternatif toplam): ( 4 + 2 + 6 ) - ( a + b ) ≡ 0 ( mod 11 ) 12 - ( a + b ) ≡ 0 ( mod 11 ) a + b ≡ 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Rakam oldukları için toplamın alabileceği aralık: 0 ≤ a + b ≤ 18 Bu aralıkta aşağıdaki koşulu sağlayan değerler bulunur: a + b ≡ 1 ( mod 11 ) a + b = 1 veya a + b = 12 Üçe bölünebilme koşulu ile birlikte kontrol edilirse: a + b = 1 ⇒ a + b ≡ 1 ( mod 3 ) (uymaz) a + b = 12 ⇒ a + b ≡ 0 ( mod 3 ) (uyar) O halde temel koşullar: a + b = 12 ve b ∈ { 1, 3, 5, 7, 9 } Tek tek deneyip uygun sıralı ikilileri yazalım: ( a, b ) ∈ { ( 9, 3 ), ( 7, 5 ), ( 5, 7 ), ( 3, 9 ) } Toplam sıralı ikili sayısı: 4 Sonuç olarak doğru seçenek D’dir ve verilen cevap doğrudur.

Sayı şu biçimdedir:

N = 40000 + 1000 a + 200 + 10 b + 6

Tam bölüneceği sayı asal çarpanlarına ayrılır:

132 = 3 \times 4 \times 11

Dolayısıyla sayı; sırasıyla dörde, üçe ve on bire tam bölünmelidir.

Dörde bölünebilme koşulu (son iki basamak):

10 b + 6 \equiv 0 (mod 4)

10 b + 6 \equiv 2 b + 2 = 2 (b + 1) (mod 4)

b \in {1, 3, 5, 7, 9}

Üçe bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı):

4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b \equiv 0 (mod 3)

a + b \equiv 0 (mod 3)

On bire bölünebilme koşulu (alternatif toplam):

(4 + 2 + 6) - (a + b) \equiv 0 (mod 11)

12 - (a + b) \equiv 0 (mod 11)

a + b \equiv 12 \equiv 1 (mod 11)

Rakam oldukları için toplamın alabileceği aralık:

0 \leq a + b \leq 18

Bu aralıkta aşağıdaki koşulu sağlayan değerler bulunur:

a + b \equiv 1 (mod 11)

a + b = 1 veya a + b = 12

Üçe bölünebilme koşulu ile birlikte kontrol edilirse:

a + b = 1 \Rightarrow a + b \equiv 1 (mod 3) (uymaz)

a + b = 12 \Rightarrow a + b \equiv 0 (mod 3) (uyar)

O halde temel koşullar:

a + b = 12 ve b \in {1, 3, 5, 7, 9}

Tek tek deneyip uygun sıralı ikilileri yazalım:

(a, b) \in {(9, 3), (7, 5), (5, 7), (3, 9)}

Toplam sıralı ikili sayısı:

4

Sonuç olarak doğru seçenek D’dir ve verilen cevap doğrudur.

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

6 ile bölünebilme kuralı nedir?

Bir sayı hem 2 hem 3 ile bölünebiliyorsa 6 ile bölünebilir.

Kalanlı bölmede temel bağıntı nedir?

Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan bağıntısı kullanılır.

Kalanın alabileceği değerler nasıldır?

Kalan sıfır veya pozitif olabilir ancak bölen sayıdan küçük olmalıdır.

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölünebilme Kuralları

Kalanlı Bölme

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

24 ile tam bölünen bir pozitif tam sayı, 5 ile bölündüğünde kalan 2 olmaktadır. En küçük sayı kaçtır?

Beş basamaklı 9a7b3‾ sayısı 99 ile tam bölünebiliyor. Buna göre bu sayının alabileceği en küçük değer kaçtır?

A=102026+102025+102024+102023+102022A sayısının 99 ile bölümünden kalan kaçtır?

n pozitif tamsayısı için n'nin 7 ile bölümünden kalan 2, 9 ile bölümünden kalan 5, 11 ile bölümünden kalan 7 ise en küçük n kaçtır?

En küçük dört basamaklı, rakamları birbirinden farklı N sayısı içinN≡0(mod9) ve N≡2(mod11) koşulları sağlanıyor.Bu sayının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıdaki ifadenin belirtilen sayıya bölümünden kalan kaçtır?N=102025+72025N sayısının 77 ile bölümünden kalan

Rakamları birbirinden farklı ve sıfırdan farklı olan üç basamaklı abc¯ sayısının iki kez yan yana yazılmasıyla elde edilen altı basamaklı abcabc¯ sayısı 72 ile kalansız bölünebiliyor.Buna göre a+b+c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

n üç basamaklı bir tamsayı olsun.n≡17(mod45) ve 16|n koşulları sağlanıyor.Buna göre n'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

a bir rakam olmak üzere 8a6a4a sayısı hem 9 hem de 11 ile tam bölünebilmektedir. a kaçtır?

N beş basamaklı sayısı 4a2b6 biçimindedir ve 132 ile tam bölünebilmektedir.Buna göre (a,b) sıralı ikililerinin sayısı kaçtır?

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

$24$ ile tam bölünen bir pozitif tam sayı, $5$ ile bölündüğünde kalan $2$ olmaktadır. En küçük sayı kaçtır?

Beş basamaklı $\overline{9 a 7 b 3}$ sayısı $99$ ile tam bölünebiliyor. Buna göre bu sayının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$A = 10^{2026} + 10^{2025} + 10^{2024} + 10^{2023} + 10^{2022}$
$A$ sayısının $99$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$n$ pozitif tamsayısı için $n$ 'nin $7$ ile bölümünden kalan $2$ , $9$ ile bölümünden kalan $5$ , $11$ ile bölümünden kalan $7$ ise en küçük $n$ kaçtır?

En küçük dört basamaklı, rakamları birbirinden farklı $N$ sayısı için
$N \equiv 0 (mod 9)$ ve $N \equiv 2 (mod 11)$ koşulları sağlanıyor.
Bu sayının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıdaki ifadenin belirtilen sayıya bölümünden kalan kaçtır?
$N = 10^{2025} + 7^{2025}$
$N sayısının 77 ile bölümünden kalan$

$n$ üç basamaklı bir tamsayı olsun.
$n \equiv 17 (mod 45)$ ve $16 | n$ koşulları sağlanıyor.
Buna göre $n$ 'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$a$ bir rakam olmak üzere $8 a 6 a 4 a$ sayısı hem $9$ hem de $11$ ile tam bölünebilmektedir. $a$ kaçtır?

$N$ beş basamaklı sayısı $4 a 2 b 6$ biçimindedir ve $132$ ile tam bölünebilmektedir.
Buna göre $(a, b)$ sıralı ikililerinin sayısı kaçtır?