9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme testleri; bölme algoritmasını, kalanlı bölmeyi, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kurallarını pekiştirir.

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının belirli sayılara bölünüp bölünmediğini hızlı anlamak için basamak, rakam toplamı ve son basamak kuralları kullanılır. 6 ile bölünebilmek için sayının hem 2 hem 3 ile bölünebilmesi gerekir.

Kalanlı Bölme

Bölme işleminde bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan bağıntısı kullanılır. Kalan her zaman bölen sayıdan küçük olmalıdır.

Test seç

14 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test

12. Test

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusu 12. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$7 a 3 b$ sayısı $36$ ile tam bölünebiliyorsa, $(a, b)$ ikilisi kaç farklı değer alır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen sayı bir basamak değeri gösterimiyle şu şekilde yazılabilir: N = 7000 + 100 a + 30 + b Bölünebilme şartını çarpanlara ayıralım: 36 = 4 ⋅ 9 Dolayısıyla sayı hem bölünebilmek için aşağıdaki iki koşulu aynı anda sağlamalıdır: 4 | N ve 9 | N Önce son iki basamak ile 4 ’e bölünebilme kuralını kullanalım. Son iki basamak: 3 b Bu iki basamaklı sayı: 30 + b Şartımız: 30 + b ≡ 0 ( mod 4 ) Buradan b ’nin alabileceği basamak değerleri: b ∈ { 2, 6 } Şimdi 9 ’a bölünebilme için rakamlar toplamını kullanalım: 7 + a + 3 + b = 10 + a + b Koşul: 10 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Bu da şu eşdeğer koşulu verir: a + b ≡ 8 ( mod 9 ) Şimdi b değerlerini tek tek deneyelim. Eğer: b = 2 ise: a + 2 ≡ 8 ( mod 9 ) Buradan: a ≡ 6 ( mod 9 ) Basamak olduğu için: a = 6 Eğer: b = 6 ise: a + 6 ≡ 8 ( mod 9 ) Buradan: a ≡ 2 ( mod 9 ) Basamak olduğu için: a = 2 Bulunan ikililer: ( a, b ) ∈ { ( 6, 2 ), ( 2, 6 ) } Dolayısıyla (a,b) ikilisi iki farklı değer alır ve doğru seçenek D1142 ’dir. 2

Çözüm: Verilen sayı bir basamak değeri gösterimiyle şu şekilde yazılabilir: N = 7000 + 100 a + 30 + b Bölünebilme şartını çarpanlara ayıralım: 36 = 4 ⋅ 9 Dolayısıyla sayı hem bölünebilmek için aşağıdaki iki koşulu aynı anda sağlamalıdır: 4 | N ve 9 | N Önce son iki basamak ile 4 ’e bölünebilme kuralını kullanalım. Son iki basamak: 3 b Bu iki basamaklı sayı: 30 + b Şartımız: 30 + b ≡ 0 ( mod 4 ) Buradan b ’nin alabileceği basamak değerleri: b ∈ { 2, 6 } Şimdi 9 ’a bölünebilme için rakamlar toplamını kullanalım: 7 + a + 3 + b = 10 + a + b Koşul: 10 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Bu da şu eşdeğer koşulu verir: a + b ≡ 8 ( mod 9 ) Şimdi b değerlerini tek tek deneyelim. Eğer: b = 2 ise: a + 2 ≡ 8 ( mod 9 ) Buradan: a ≡ 6 ( mod 9 ) Basamak olduğu için: a = 6 Eğer: b = 6 ise: a + 6 ≡ 8 ( mod 9 ) Buradan: a ≡ 2 ( mod 9 ) Basamak olduğu için: a = 2 Bulunan ikililer: ( a, b ) ∈ { ( 6, 2 ), ( 2, 6 ) } Dolayısıyla (a,b) ikilisi iki farklı değer alır ve doğru seçenek D1142 ’dir. 2

Verilen sayı bir basamak değeri gösterimiyle şu şekilde yazılabilir:

N = 7000 + 100 a + 30 + b

Bölünebilme şartını çarpanlara ayıralım:

36 = 4 \cdot 9

Dolayısıyla sayı hem bölünebilmek için aşağıdaki iki koşulu aynı anda sağlamalıdır:

4 | N ve 9 | N

Önce son iki basamak ile 4’e bölünebilme kuralını kullanalım. Son iki basamak:

3 b

Bu iki basamaklı sayı:

30 + b

Şartımız:

30 + b \equiv 0 (mod 4)

Buradan b’nin alabileceği basamak değerleri:

b \in {2, 6}

Şimdi 9’a bölünebilme için rakamlar toplamını kullanalım:

7 + a + 3 + b = 10 + a + b

Koşul:

10 + a + b \equiv 0 (mod 9)

Bu da şu eşdeğer koşulu verir:

a + b \equiv 8 (mod 9)

Şimdi b değerlerini tek tek deneyelim.

Eğer:

b = 2

ise:

a + 2 \equiv 8 (mod 9)

Buradan:

a \equiv 6 (mod 9)

Basamak olduğu için:

a = 6

Eğer:

b = 6

ise:

a + 6 \equiv 8 (mod 9)

Buradan:

a \equiv 2 (mod 9)

Basamak olduğu için:

a = 2

Bulunan ikililer:

(a, b) \in {(6, 2), (2, 6)}

Dolayısıyla (a,b) ikilisi iki farklı değer alır ve doğru seçenek B’dir.

2

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayı $n$ için;
$3 n + 4$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $2$ ,
$5 n - 1$ sayısı $9$ ile bölündüğünde kalan $6$ olmaktadır.
Buna göre $n$ sayısının $63$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Verilen koşulları eşitlik-kalan biçiminden kongruans biçimine çevirelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 2) Birinci kongruansı çözelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 3 n ≡ 2 - 4 ≡ - 2 ≡ 5 ( mod 7 ) Bu adımda, katsayının tersi ile çarpacağız. 3 ⋅ 5 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) n ≡ 5 ⋅ 5 ≡ 25 ≡ 4 ( mod 7 ) 3) İkinci kongruansı çözelim. 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 5 n ≡ 6 + 1 ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayının tersini bulalım. 5 ⋅ 2 ≡ 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 7 ⋅ 2 ≡ 14 ≡ 5 ( mod 9 ) 4) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değeri (Çin Kalan Teoremi mantığıyla) bulalım. n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlkinden parametreleyelim. n = 4 + 7 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım. 4 + 7 k ≡ 5 ( mod 9 ) 7 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada da katsayının tersini kullanalım. 7 ⋅ 4 ≡ 28 ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ 4 ( mod 9 ) Dolayısıyla en küçük uygun değer için seçebiliriz. k = 4 n = 4 + 7 ⋅ 4 = 32 5) Bulduğumuz değer, her iki modülün çarpımıyla periyodiktir. n ≡ 32 ( mod 63 ) Sonuç olarak, şıkkıA1178 doğru mu kontrolü: kalan değeri aşağıdaki gibidir. 32

Çözüm: 1) Verilen koşulları eşitlik-kalan biçiminden kongruans biçimine çevirelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 2) Birinci kongruansı çözelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 3 n ≡ 2 - 4 ≡ - 2 ≡ 5 ( mod 7 ) Bu adımda, katsayının tersi ile çarpacağız. 3 ⋅ 5 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) n ≡ 5 ⋅ 5 ≡ 25 ≡ 4 ( mod 7 ) 3) İkinci kongruansı çözelim. 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 5 n ≡ 6 + 1 ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayının tersini bulalım. 5 ⋅ 2 ≡ 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 7 ⋅ 2 ≡ 14 ≡ 5 ( mod 9 ) 4) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değeri (Çin Kalan Teoremi mantığıyla) bulalım. n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlkinden parametreleyelim. n = 4 + 7 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım. 4 + 7 k ≡ 5 ( mod 9 ) 7 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada da katsayının tersini kullanalım. 7 ⋅ 4 ≡ 28 ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ 4 ( mod 9 ) Dolayısıyla en küçük uygun değer için seçebiliriz. k = 4 n = 4 + 7 ⋅ 4 = 32 5) Bulduğumuz değer, her iki modülün çarpımıyla periyodiktir. n ≡ 32 ( mod 63 ) Sonuç olarak, şıkkıA1178 doğru mu kontrolü: kalan değeri aşağıdaki gibidir. 32

1) Verilen koşulları eşitlik-kalan biçiminden kongruans biçimine çevirelim.

3 n + 4 \equiv 2 (mod 7)

5 n - 1 \equiv 6 (mod 9)

2) Birinci kongruansı çözelim.

3 n + 4 \equiv 2 (mod 7)

3 n \equiv 2 - 4 \equiv - 2 \equiv 5 (mod 7)

Bu adımda, katsayının tersi ile çarpacağız.

3 \cdot 5 \equiv 15 \equiv 1 (mod 7)

n \equiv 5 \cdot 5 \equiv 25 \equiv 4 (mod 7)

3) İkinci kongruansı çözelim.

5 n - 1 \equiv 6 (mod 9)

5 n \equiv 6 + 1 \equiv 7 (mod 9)

Katsayının tersini bulalım.

5 \cdot 2 \equiv 10 \equiv 1 (mod 9)

n \equiv 7 \cdot 2 \equiv 14 \equiv 5 (mod 9)

4) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değeri (Çin Kalan Teoremi mantığıyla) bulalım.

n \equiv 4 (mod 7)

n \equiv 5 (mod 9)

İlkinden parametreleyelim.

n = 4 + 7 k

Bunu ikinci koşulda yerine yazalım.

4 + 7 k \equiv 5 (mod 9)

7 k \equiv 1 (mod 9)

Burada da katsayının tersini kullanalım.

7 \cdot 4 \equiv 28 \equiv 1 (mod 9)

k \equiv 4 (mod 9)

Dolayısıyla en küçük uygun değer için seçebiliriz.

k = 4

n = 4 + 7 \cdot 4 = 32

5) Bulduğumuz değer, her iki modülün çarpımıyla periyodiktir.

n \equiv 32 (mod 63)

Sonuç olarak, şıkkıA5115 doğru mu kontrolü: kalan değeri aşağıdaki gibidir.

32

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki sayının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$2026^{2026} + 2025^{2025}$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki sayının $37$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$N = \sum_{k = 0}^{2025} 10^{k}$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Dört basamaklı $3 a 6 b$ sayısı $72$ ile tam bölünebiliyor. $a$ ve $b$ birer rakamdır.
Bu koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Kontrol edilecek sayı: 3 a 6 b Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Bu nedenle sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuza bölünür: 3 + a + 6 + b = a + b + 9 Buradan: a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam oldukları için: a + b ∈ { 0, 9, 18 } Sekize bölünebilme için son üç basamak sekize bölünür: a 6 b ⏞ = 100 a + 60 + b Mod sekiz ile sadeleştirelim: 100 a + 60 + b ≡ 4 a + 4 + b ( mod 8 ) Dolayısıyla koşul: 4 a + 4 + b ≡ 0 ( mod 8 ) Şimdi dokuza bölünebilme durumlarını tek tek inceleyelim. Durum: a + b = 0 Bu ancak şu iken olur: a = 0, b = 0 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ≢ 0 ( mod 8 ) Uygun değil. Durum: a + b = 9 Buradan: b = 9 − a Sekiz koşuluna yazalım: 4 a + 4 + ( 9 − a ) = 3 a + 13 Mod sekiz: 3 a + 13 ≡ 0 ( mod 8 ) 3 a + 5 ≡ 0 ( mod 8 ) 3 a ≡ 3 ( mod 8 ) Mod sekizde üç tersinir olduğundan: a ≡ 1 ( mod 8 ) Rakam olduğuna göre: a ∈ { 1, 9 } Buna karşılık gelen b değerleri: a = 1 ⇒ b = 8 a = 9 ⇒ b = 0 Uygun sayılar: 3168, 3960 Durum: a + b = 18 Bu ancak şu iken olur: a = 9, b = 9 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ⋅ 9 + 4 + 9 = 49 ≢ 0 ( mod 8 ) Uygun değil. Koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı: 3168 + 3960 = 7128 Sonuç: Doğru cevap D1518 şıkkıdır. 7128

Çözüm: Kontrol edilecek sayı: 3 a 6 b Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Bu nedenle sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuza bölünür: 3 + a + 6 + b = a + b + 9 Buradan: a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam oldukları için: a + b ∈ { 0, 9, 18 } Sekize bölünebilme için son üç basamak sekize bölünür: a 6 b ⏞ = 100 a + 60 + b Mod sekiz ile sadeleştirelim: 100 a + 60 + b ≡ 4 a + 4 + b ( mod 8 ) Dolayısıyla koşul: 4 a + 4 + b ≡ 0 ( mod 8 ) Şimdi dokuza bölünebilme durumlarını tek tek inceleyelim. Durum: a + b = 0 Bu ancak şu iken olur: a = 0, b = 0 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ≢ 0 ( mod 8 ) Uygun değil. Durum: a + b = 9 Buradan: b = 9 − a Sekiz koşuluna yazalım: 4 a + 4 + ( 9 − a ) = 3 a + 13 Mod sekiz: 3 a + 13 ≡ 0 ( mod 8 ) 3 a + 5 ≡ 0 ( mod 8 ) 3 a ≡ 3 ( mod 8 ) Mod sekizde üç tersinir olduğundan: a ≡ 1 ( mod 8 ) Rakam olduğuna göre: a ∈ { 1, 9 } Buna karşılık gelen b değerleri: a = 1 ⇒ b = 8 a = 9 ⇒ b = 0 Uygun sayılar: 3168, 3960 Durum: a + b = 18 Bu ancak şu iken olur: a = 9, b = 9 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ⋅ 9 + 4 + 9 = 49 ≢ 0 ( mod 8 ) Uygun değil. Koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı: 3168 + 3960 = 7128 Sonuç: Doğru cevap D1518 şıkkıdır. 7128

Kontrol edilecek sayı:

3 a 6 b

Bölünebilme koşulu:

72 = 8 \cdot 9

Bu nedenle sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir.

Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuza bölünür:

3 + a + 6 + b = a + b + 9

Buradan:

a + b \equiv 0 (mod 9)

Rakam oldukları için:

a + b \in {0, 9, 18}

Sekize bölünebilme için son üç basamak sekize bölünür:

\overset{⏞}{a 6 b} = 100 a + 60 + b

Mod sekiz ile sadeleştirelim:

100 a + 60 + b \equiv 4 a + 4 + b (mod 8)

Dolayısıyla koşul:

4 a + 4 + b \equiv 0 (mod 8)

Şimdi dokuza bölünebilme durumlarını tek tek inceleyelim.

Durum:

a + b = 0

Bu ancak şu iken olur:

a = 0, b = 0

Sekiz koşulunu kontrol:

4 a + 4 + b = 4 ≢ 0 (mod 8)

Uygun değil.

Durum:

a + b = 9

Buradan:

b = 9 - a

Sekiz koşuluna yazalım:

4 a + 4 + (9 - a) = 3 a + 13

Mod sekiz:

3 a + 13 \equiv 0 (mod 8)

3 a + 5 \equiv 0 (mod 8)

3 a \equiv 3 (mod 8)

Mod sekizde üç tersinir olduğundan:

a \equiv 1 (mod 8)

Rakam olduğuna göre:

a \in {1, 9}

Buna karşılık gelen b değerleri:

a = 1 \Rightarrow b = 8 a = 9 \Rightarrow b = 0

Uygun sayılar:

3168, 3960

Durum:

a + b = 18

Bu ancak şu iken olur:

a = 9, b = 9

Sekiz koşulunu kontrol:

4 a + 4 + b = 4 \cdot 9 + 4 + 9 = 49 ≢ 0 (mod 8)

Uygun değil.

Koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı:

3168 + 3960 = 7128

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

7128

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki $2^{2025}$ sayısının $63$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$n$ pozitif tamsayısı $12$ ile bölündüğünde kalan $5$ , $18$ ile bölündüğünde kalan $11$ oluyor. En küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$2^{n} \equiv 1 (\mod 105)$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) Modülü asal çarpanlarına ayıralım: 105 = 3 · 5 · 7 Koşulun sağlanması için aynı anda şu üç kongruens sağlanmalıdır: 2 n ≡ 1 ( mod 3 ) 2 n ≡ 1 ( mod 5 ) 2 n ≡ 1 ( mod 7 ) Önce ( mod 3 ) inceleyelim: 2 ≡ - 1 ( mod 3 ) Bu yüzden: 2 2 ≡ 1 ( mod 3 ) Buradan en küçük periyot: ord ( 2; 3 ) = 2 Şimdi ( mod 5 ) için kuvvetleri kontrol edelim: 2 1 ≡ 2 ( mod 5 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 5 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 3 ( mod 5 ) 2 4 ≡ 16 ≡ 1 ( mod 5 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 5 ) = 4 Şimdi ( mod 7 ) için: 2 1 ≡ 2 ( mod 7 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 7 ) = 3 O halde 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) olması için n değeri şu sayıların ortak katı olmalıdır: 2, 4, 3 En küçük ortak kat: EKOK ( 2, 4, 3 ) = 12 Bu değerin gerçekten en küçük olduğunu kontrol için daha küçük bölenleri deneyelim: 12 ’s bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6 Örneğin 2 6 = 64 ve 64 ≡ 64 ( mod 105 ) ≠ 1 Dolayısıyla daha küçük bir değer sağlamaz; en küçük değer 12 olur. Sonuç: Doğru cevap 12 yani şıkkıC1020dır.

Çözüm: Verilen koşul: 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) Modülü asal çarpanlarına ayıralım: 105 = 3 · 5 · 7 Koşulun sağlanması için aynı anda şu üç kongruens sağlanmalıdır: 2 n ≡ 1 ( mod 3 ) 2 n ≡ 1 ( mod 5 ) 2 n ≡ 1 ( mod 7 ) Önce ( mod 3 ) inceleyelim: 2 ≡ - 1 ( mod 3 ) Bu yüzden: 2 2 ≡ 1 ( mod 3 ) Buradan en küçük periyot: ord ( 2; 3 ) = 2 Şimdi ( mod 5 ) için kuvvetleri kontrol edelim: 2 1 ≡ 2 ( mod 5 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 5 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 3 ( mod 5 ) 2 4 ≡ 16 ≡ 1 ( mod 5 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 5 ) = 4 Şimdi ( mod 7 ) için: 2 1 ≡ 2 ( mod 7 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 7 ) = 3 O halde 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) olması için n değeri şu sayıların ortak katı olmalıdır: 2, 4, 3 En küçük ortak kat: EKOK ( 2, 4, 3 ) = 12 Bu değerin gerçekten en küçük olduğunu kontrol için daha küçük bölenleri deneyelim: 12 ’s bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6 Örneğin 2 6 = 64 ve 64 ≡ 64 ( mod 105 ) ≠ 1 Dolayısıyla daha küçük bir değer sağlamaz; en küçük değer 12 olur. Sonuç: Doğru cevap 12 yani şıkkıC1020dır.

Verilen koşul:

2^{n} \equiv 1 (mod 105)

Modülü asal çarpanlarına ayıralım:

105 = 3 \cdot 5 \cdot 7

Koşulun sağlanması için aynı anda şu üç kongruens sağlanmalıdır:

2^{n} \equiv 1 (mod 3)

2^{n} \equiv 1 (mod 5)

2^{n} \equiv 1 (mod 7)

Önce

(mod 3)

inceleyelim:

2 \equiv - 1 (mod 3)

Bu yüzden:

2^{2} \equiv 1 (mod 3)

Buradan en küçük periyot:

ord (2; 3) = 2

Şimdi

(mod 5)

için kuvvetleri kontrol edelim:

2^{1} \equiv 2 (mod 5)

2^{2} \equiv 4 (mod 5)

2^{3} \equiv 8 \equiv 3 (mod 5)

2^{4} \equiv 16 \equiv 1 (mod 5)

Dolayısıyla en küçük periyot:

ord (2; 5) = 4

Şimdi

(mod 7)

için:

2^{1} \equiv 2 (mod 7)

2^{2} \equiv 4 (mod 7)

2^{3} \equiv 8 \equiv 1 (mod 7)

Dolayısıyla en küçük periyot:

ord (2; 7) = 3

O halde

2^{n} \equiv 1 (mod 105)

olması için

n

değeri şu sayıların ortak katı olmalıdır:

2, 4, 3

En küçük ortak kat:

EKOK (2, 4, 3) = 12

Bu değerin gerçekten en küçük olduğunu kontrol için daha küçük bölenleri deneyelim:

12 ’s bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6

Örneğin

2^{6} = 64

64 \equiv 64 (mod 105) \neq 1

Dolayısıyla daha küçük bir değer sağlamaz; en küçük değer

12

olur.

Sonuç: Doğru cevap

12

yani

şıkkıC5421dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki sayının $9$ ile bölünmesinden kalan kaçtır?
$2^{2025} + 5^{2025}$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Altı basamaklı $2 a 4 b 2 c$ sayısı hem $9$ hem $11$ ile tam bölünüyorsa, $a, b, c$ rakamları kaç farklı üçlü olabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Şıklardaki seçeneğiA11, 45 olduğundan, bulacağımız üçlü sayısı 45 çıkarsa doğru cevap A73 olur. Sayıyı 2 a 4 b 2 c şeklinde düşünelim ve S = a + b + c tanımlayalım. 1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 2 + a + 4 + b + 2 + c = S + 8 Bu nedenle S + 8 ≡ 0 (mod 9 ) yani S ≡ 1 (mod 9 ) 2) 11 ile bölünebilme: (tek sıradakilerin toplamı) − (çift sıradakilerin toplamı) 11’in katı olmalı. ( 2 + 4 + 2 ) - ( a + b + c ) ≡ 0 (mod 11 ) Buradan 8 - S ≡ 0 (mod 11 ) yani S ≡ 8 (mod 11 ) 3) İki koşulu birlikte sağlama: Ayrıca 0 ≤ a, b, c ≤ 9 olduğundan 0 ≤ S ≤ 27 olur. Şimdi S ≡ 8 (mod 11 ) eşitliğine göre bu aralıkta olası değerler: S = 8, 19 Bunlardan 8 ≢ 1 (mod 9 ) ama 19 ≡ 1 (mod 9 ) olduğundan tek mümkün toplam S = 19 yani a + b + c = 19 4) Üçlü sayısını sayma: Şimdi a + b + c = 19 denkleminin, 0 ≤ a, b, c ≤ 9 koşuluyla kaç çözümü olduğunu bulalım. Önce üst sınır yokmuş gibi (sadece a, b, c ≥ 0 iken) çözüm sayısı: ( 21 2 ) = 210 Şimdi a, b, c ≤ 9 koşulunu sağlayamayanları çıkaralım. Örneğin a ≥ 10 olsun. O zaman a = a ′ + 10 yazıp yerine koyarsak: a ′ + b + c = 9 Bunun çözüm sayısı: ( 11 2 ) = 55 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerli olduğundan toplam çıkarılacak sayı: 3 ⋅ 55 = 165 İki basamağın birden ≥ 10 olması mümkün değildir; çünkü o zaman toplam en az 20 olur ve üçüncüsü de en az 0 olduğu için toplam a + b + c = 19 olamaz. Bu yüzden kesişim düzeltmesi yok. Sonuç: 210 - 165 = 45 Demek ki ( a, b, c ) üçlülerinin sayısı 45 olur; doğru cevap A1771 ’dir.

Çözüm: Şıklardaki seçeneğiA11, 45 olduğundan, bulacağımız üçlü sayısı 45 çıkarsa doğru cevap A73 olur. Sayıyı 2 a 4 b 2 c şeklinde düşünelim ve S = a + b + c tanımlayalım. 1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 2 + a + 4 + b + 2 + c = S + 8 Bu nedenle S + 8 ≡ 0 (mod 9 ) yani S ≡ 1 (mod 9 ) 2) 11 ile bölünebilme: (tek sıradakilerin toplamı) − (çift sıradakilerin toplamı) 11’in katı olmalı. ( 2 + 4 + 2 ) - ( a + b + c ) ≡ 0 (mod 11 ) Buradan 8 - S ≡ 0 (mod 11 ) yani S ≡ 8 (mod 11 ) 3) İki koşulu birlikte sağlama: Ayrıca 0 ≤ a, b, c ≤ 9 olduğundan 0 ≤ S ≤ 27 olur. Şimdi S ≡ 8 (mod 11 ) eşitliğine göre bu aralıkta olası değerler: S = 8, 19 Bunlardan 8 ≢ 1 (mod 9 ) ama 19 ≡ 1 (mod 9 ) olduğundan tek mümkün toplam S = 19 yani a + b + c = 19 4) Üçlü sayısını sayma: Şimdi a + b + c = 19 denkleminin, 0 ≤ a, b, c ≤ 9 koşuluyla kaç çözümü olduğunu bulalım. Önce üst sınır yokmuş gibi (sadece a, b, c ≥ 0 iken) çözüm sayısı: ( 21 2 ) = 210 Şimdi a, b, c ≤ 9 koşulunu sağlayamayanları çıkaralım. Örneğin a ≥ 10 olsun. O zaman a = a ′ + 10 yazıp yerine koyarsak: a ′ + b + c = 9 Bunun çözüm sayısı: ( 11 2 ) = 55 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerli olduğundan toplam çıkarılacak sayı: 3 ⋅ 55 = 165 İki basamağın birden ≥ 10 olması mümkün değildir; çünkü o zaman toplam en az 20 olur ve üçüncüsü de en az 0 olduğu için toplam a + b + c = 19 olamaz. Bu yüzden kesişim düzeltmesi yok. Sonuç: 210 - 165 = 45 Demek ki ( a, b, c ) üçlülerinin sayısı 45 olur; doğru cevap A1771 ’dir.

Şıklardaki B seçeneği,

45

olduğundan, bulacağımız üçlü sayısı $45$ çıkarsa doğru cevap B olur.

Sayıyı

2 a 4 b 2 c

şeklinde düşünelim ve

S = a + b + c

tanımlayalım.

1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı.

2 + a + 4 + b + 2 + c = S + 8

Bu nedenle

S + 8 \equiv 0 (mod 9)

yani

S \equiv 1 (mod 9)

2) 11 ile bölünebilme: (tek sıradakilerin toplamı) − (çift sıradakilerin toplamı) 11’in katı olmalı.

(2 + 4 + 2) - (a + b + c) \equiv 0 (mod 11)

Buradan

8 - S \equiv 0 (mod 11)

yani

S \equiv 8 (mod 11)

3) İki koşulu birlikte sağlama: Ayrıca

0 \leq a, b, c \leq 9

olduğundan

0 \leq S \leq 27

olur. Şimdi

S \equiv 8 (mod 11)

eşitliğine göre bu aralıkta olası değerler:

S = 8, 19

Bunlardan

8 ≢ 1 (mod 9)

ama

19 \equiv 1 (mod 9)

olduğundan tek mümkün toplam

S = 19

yani

a + b + c = 19

4) Üçlü sayısını sayma: Şimdi

a + b + c = 19

denkleminin,

0 \leq a, b, c \leq 9

koşuluyla kaç çözümü olduğunu bulalım.

Önce üst sınır yokmuş gibi (sadece

a, b, c \geq 0

iken) çözüm sayısı:

(\begin{matrix} 21 \\ 2 \end{matrix}) = 210

Şimdi

a, b, c \leq 9

koşulunu sağlayamayanları çıkaralım. Örneğin

a \geq 10

olsun. O zaman

a = a' + 10

yazıp yerine koyarsak:

a' + b + c = 9

Bunun çözüm sayısı:

(\begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix}) = 55

Aynı sayı

b \geq 10

c \geq 10

için de geçerli olduğundan toplam çıkarılacak sayı:

3 \cdot 55 = 165

İki basamağın birden

\geq 10

olması mümkün değildir; çünkü o zaman toplam en az

20

olur ve üçüncüsü de en az

0

olduğu için toplam

a + b + c = 19

olamaz. Bu yüzden kesişim düzeltmesi yok.

Sonuç:

210 - 165 = 45

Demek ki

(a, b, c)

üçlülerinin sayısı

45

olur; doğru cevap B’dir.

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

6 ile bölünebilme kuralı nedir?

Bir sayı hem 2 hem 3 ile bölünebiliyorsa 6 ile bölünebilir.

Kalanlı bölmede temel bağıntı nedir?

Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan bağıntısı kullanılır.

Kalanın alabileceği değerler nasıldır?

Kalan sıfır veya pozitif olabilir ancak bölen sayıdan küçük olmalıdır.

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölünebilme Kuralları

Kalanlı Bölme

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

7a3b sayısı 36 ile tam bölünebiliyorsa, (a,b) ikilisi kaç farklı değer alır?

Bir doğal sayı n için;3n+4 sayısı 7 ile bölündüğünde kalan 2,5n-1 sayısı 9 ile bölündüğünde kalan 6 olmaktadır.Buna göre n sayısının 63 ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıdaki sayının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?20262026+20252025

Aşağıdaki sayının 37 ile bölümünden kalan kaçtır?N=∑k=0202510k

Dört basamaklı 3a6b sayısı 72 ile tam bölünebiliyor. a ve b birer rakamdır.Bu koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı kaçtır?

Aşağıdaki 22025 sayısının 63 ile bölümünden kalan kaçtır?

n pozitif tamsayısı 12 ile bölündüğünde kalan 5, 18 ile bölündüğünde kalan 11 oluyor. En küçük n kaçtır?

2n≡1(mod105) koşulunu sağlayan en küçük pozitif n kaçtır?

Aşağıdaki sayının 9 ile bölünmesinden kalan kaçtır?22025+52025

Altı basamaklı 2a4b2c sayısı hem 9 hem 11 ile tam bölünüyorsa, a,b,c rakamları kaç farklı üçlü olabilir?

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

$7 a 3 b$ sayısı $36$ ile tam bölünebiliyorsa, $(a, b)$ ikilisi kaç farklı değer alır?

Bir doğal sayı $n$ için;
$3 n + 4$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $2$ ,
$5 n - 1$ sayısı $9$ ile bölündüğünde kalan $6$ olmaktadır.
Buna göre $n$ sayısının $63$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Aşağıdaki sayının $7$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$2026^{2026} + 2025^{2025}$

Aşağıdaki sayının $37$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$N = \sum_{k = 0}^{2025} 10^{k}$

Dört basamaklı $3 a 6 b$ sayısı $72$ ile tam bölünebiliyor. $a$ ve $b$ birer rakamdır.
Bu koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı kaçtır?

Aşağıdaki $2^{2025}$ sayısının $63$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$n$ pozitif tamsayısı $12$ ile bölündüğünde kalan $5$ , $18$ ile bölündüğünde kalan $11$ oluyor. En küçük $n$ kaçtır?

$2^{n} \equiv 1 (\mod 105)$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif $n$ kaçtır?

Aşağıdaki sayının $9$ ile bölünmesinden kalan kaçtır?
$2^{2025} + 5^{2025}$

Altı basamaklı $2 a 4 b 2 c$ sayısı hem $9$ hem $11$ ile tam bölünüyorsa, $a, b, c$ rakamları kaç farklı üçlü olabilir?