9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: D

Verilen sayı bir basamak değeri gösterimiyle şu şekilde yazılabilir: $N = 7000 + 100$a + 30 + b Bölünebilme şartını çarpanlara ayıralım: $36 = 4$ ⋅ 9 Dolayısıyla sayı hem bölünebilmek için aşağıdaki iki koşulu aynı anda sağlamalıdır: 4 | N   ve   9 | N Önce son iki basamak ile 4 ’e bölünebilme kuralını kullanalım. Son iki basamak: 3 b Bu iki basamaklı sayı: 30 + b Şartımız: 30 + b ≡ 0   ( mod   4 ) Buradan b ’nin alabileceği basamak değerleri: b ∈ { 2, 6 } Şimdi 9 ’a bölünebilme için rakamlar toplamını kullanalım: 7 + a + 3 + $b = 10 + a + b$Koşul: 10 + a + b ≡ 0   ( mod   9 ) Bu da şu eşdeğer koşulu verir: a + b ≡ 8   ( mod   9 ) Şimdi b değerlerini tek tek deneyelim. Eğer: $b = 2$ise: a + 2 ≡ 8   ( mod   9 ) Buradan: a ≡ 6   ( mod   9 ) Basamak olduğu için: $a = 6$Eğer: $b = 6$ise: a + 6 ≡ 8   ( mod   9 ) Buradan: a ≡ 2   ( mod   9 ) Basamak olduğu için: $a = 2$Bulunan ikililer: ( a, b ) ∈ { ( 6, 2 ), ( 2, 6 ) } Dolayısıyla (a,b) ikilisi iki farklı değer alır ve doğru seçenek D1142 ’dir. 2

1. Çözüm: Verilen sayı bir basamak değeri gösterimiyle şu şekilde yazılabilir: $N = 7000 + 100$a + 30 + b Bölünebilme şartını çarpanlara ayıralım: $36 = 4$ ⋅ 9 Dolayısıyla sayı hem bölünebilmek için aşağıdaki iki koşulu aynı anda sağlamalıdır: 4 | N   ve   9 | N Önce son iki basamak ile 4 ’e bölünebilme kuralını kullanalım. Son iki basamak: 3 b Bu iki basamaklı sayı: 30 + b Şartımız: 30 + b ≡ 0   ( mod   4 ) Buradan b ’nin alabileceği basamak değerleri: b ∈ { 2, 6 } Şimdi 9 ’a bölünebilme için rakamlar toplamını kullanalım: 7 + a + 3 + $b = 10 + a + b$Koşul: 10 + a + b ≡ 0   ( mod   9 ) Bu da şu eşdeğer koşulu verir: a + b ≡ 8   ( mod   9 ) Şimdi b değerlerini tek tek deneyelim. Eğer: $b = 2$ise: a + 2 ≡ 8   ( mod   9 ) Buradan: a ≡ 6   ( mod   9 ) Basamak olduğu için: $a = 6$Eğer: $b = 6$ise: a + 6 ≡ 8   ( mod   9 ) Buradan: a ≡ 2   ( mod   9 ) Basamak olduğu için: $a = 2$Bulunan ikililer: ( a, b ) ∈ { ( 6, 2 ), ( 2, 6 ) } Dolayısıyla (a,b) ikilisi iki farklı değer alır ve doğru seçenek D1142 ’dir. 2

Doğru cevap: A

1) Verilen koşulları eşitlik-kalan biçiminden kongruans biçimine çevirelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 2) Birinci kongruansı çözelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 3 n ≡ 2 - 4 ≡ - 2 ≡ 5 ( mod 7 ) Bu adımda, katsayının tersi ile çarpacağız. 3 ⋅ 5 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) n ≡ 5 ⋅ 5 ≡ 25 ≡ 4 ( mod 7 ) 3) İkinci kongruansı çözelim. 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 5 n ≡ 6 + 1 ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayının tersini bulalım. 5 ⋅ 2 ≡ 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 7 ⋅ 2 ≡ 14 ≡ 5 ( mod 9 ) 4) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değeri (Çin Kalan Teoremi mantığıyla) bulalım. n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlkinden parametreleyelim. n = 4 + 7 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım. 4 + 7 k ≡ 5 ( mod 9 ) 7 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada da katsayının tersini kullanalım. 7 ⋅ 4 ≡ 28 ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ 4 ( mod 9 ) Dolayısıyla en küçük uygun değer için seçebiliriz. k = 4 n = 4 + 7 ⋅ 4 = 32 5) Bulduğumuz değer, her iki modülün çarpımıyla periyodiktir. n ≡ 32 ( mod 63 ) Sonuç olarak, şıkkıA1178 doğru mu kontrolü: kalan değeri aşağıdaki gibidir. 32

1. Çözüm: 1) Verilen koşulları eşitlik-kalan biçiminden kongruans biçimine çevirelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 2) Birinci kongruansı çözelim. 3 n + 4 ≡ 2 ( mod 7 ) 3 n ≡ 2 - 4 ≡ - 2 ≡ 5 ( mod 7 ) Bu adımda, katsayının tersi ile çarpacağız. 3 ⋅ 5 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) n ≡ 5 ⋅ 5 ≡ 25 ≡ 4 ( mod 7 ) 3) İkinci kongruansı çözelim. 5 n - 1 ≡ 6 ( mod 9 ) 5 n ≡ 6 + 1 ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayının tersini bulalım. 5 ⋅ 2 ≡ 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 7 ⋅ 2 ≡ 14 ≡ 5 ( mod 9 ) 4) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan değeri (Çin Kalan Teoremi mantığıyla) bulalım. n ≡ 4 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) İlkinden parametreleyelim. n = 4 + 7 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım. 4 + 7 k ≡ 5 ( mod 9 ) 7 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada da katsayının tersini kullanalım. 7 ⋅ 4 ≡ 28 ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ 4 ( mod 9 ) Dolayısıyla en küçük uygun değer için seçebiliriz. k = 4 n = 4 + 7 ⋅ 4 = 32 5) Bulduğumuz değer, her iki modülün çarpımıyla periyodiktir. n ≡ 32 ( mod 63 ) Sonuç olarak, şıkkıA1178 doğru mu kontrolü: kalan değeri aşağıdaki gibidir. 32

Doğru cevap: B

İstenen: aşağıdaki ifadenin bölümünden kalanını bulmak ve şık A mı kontrol etmek. 2026 2026 + 2025 2025 Bölen: 7 Önce tabanları mod indirgeriz: 2026 ≡ 3  (mod  7 ) 2025 ≡ 2  (mod  7 ) Bu yüzden ifade şu hale gelir: 2026 2026 + 2025 2025 ≡ 3 2026 + 2 2025  (mod  7 ) Modül asal olduğundan (ve tabanlar 7 ile aralarında asal olduğundan) üsleri 6 ile sadeleştiririz: 2026 ≡ 4  (mod  6 ) 2025 ≡ 3  (mod  6 ) Şimdi tek tek hesaplayalım: 3 2026 ≡ 3 4 = 81 ≡ 4  (mod  7 ) 2 2025 ≡ 2 3 = 8 ≡ 1  (mod  7 ) Toplayalım: 2026 2026 + 2025 2025 ≡ 4 + 1 = 5  (mod  7 ) Sonuç: kalan 5 Dolayısıyla doğru seçenek B763 ’dır.

1. Çözüm: İstenen: aşağıdaki ifadenin bölümünden kalanını bulmak ve şık A mı kontrol etmek. 2026 2026 + 2025 2025 Bölen: 7 Önce tabanları mod indirgeriz: 2026 ≡ 3  (mod  7 ) 2025 ≡ 2  (mod  7 ) Bu yüzden ifade şu hale gelir: 2026 2026 + 2025 2025 ≡ 3 2026 + 2 2025  (mod  7 ) Modül asal olduğundan (ve tabanlar 7 ile aralarında asal olduğundan) üsleri 6 ile sadeleştiririz: 2026 ≡ 4  (mod  6 ) 2025 ≡ 3  (mod  6 ) Şimdi tek tek hesaplayalım: 3 2026 ≡ 3 4 = 81 ≡ 4  (mod  7 ) 2 2025 ≡ 2 3 = 8 ≡ 1  (mod  7 ) Toplayalım: 2026 2026 + 2025 2025 ≡ 4 + 1 = 5  (mod  7 ) Sonuç: kalan 5 Dolayısıyla doğru seçenek B763 ’dır.

Doğru cevap: C

1) Verilen sayı N = ∑ k = 0 2025 10 k 2) Bu bir geometrik seridir: N = 10 2026 − 1 9 3) Mod 37 altında 10 ’un kuvvetlerini sadeleştirelim: 10 2 = 100 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 3 = 10 ⋅ 10 2 ≡ 10 ⋅ 26 = 260 ≡ 1 ( mod 37 ) 4) Buradan 10 3 ≡ 1 olduğu için 2026. kuvveti 3’e göre ayıralım: 2026 = 3 ⋅ 675 + 1 10 2026 = 10 3 675 ⋅ 10 ≡ 1 ⋅ 10 ≡ 10 ( mod 37 ) 5) Payı mod 37’de bulalım: 10 2026 − 1 ≡ 10 − 1 = 9 ( mod 37 ) 6) Bölme yerine 9’un tersini kullanalım. 9 ile 37 aralarında asal olduğundan ters vardır: 9 ⋅ 33 = 297 ≡ 1 ( mod 37 ) 7) O hâlde: N ≡ 10 2026 − 1 9 ≡ ( 10 2026 − 1 ) ⋅ 33 ≡ 9 ⋅ 33 ≡ 1 ( mod 37 ) Sonuç: 37 ile bölümden kalan 1 ’dir. Doğru seçenek C817 ’dir.

1. Çözüm: 1) Verilen sayı N = ∑ k = 0 2025 10 k 2) Bu bir geometrik seridir: N = 10 2026 − 1 9 3) Mod 37 altında 10 ’un kuvvetlerini sadeleştirelim: 10 2 = 100 ≡ 26 ( mod 37 ) 10 3 = 10 ⋅ 10 2 ≡ 10 ⋅ 26 = 260 ≡ 1 ( mod 37 ) 4) Buradan 10 3 ≡ 1 olduğu için 2026. kuvveti 3’e göre ayıralım: 2026 = 3 ⋅ 675 + 1 10 2026 = 10 3 675 ⋅ 10 ≡ 1 ⋅ 10 ≡ 10 ( mod 37 ) 5) Payı mod 37’de bulalım: 10 2026 − 1 ≡ 10 − 1 = 9 ( mod 37 ) 6) Bölme yerine 9’un tersini kullanalım. 9 ile 37 aralarında asal olduğundan ters vardır: 9 ⋅ 33 = 297 ≡ 1 ( mod 37 ) 7) O hâlde: N ≡ 10 2026 − 1 9 ≡ ( 10 2026 − 1 ) ⋅ 33 ≡ 9 ⋅ 33 ≡ 1 ( mod 37 ) Sonuç: 37 ile bölümden kalan 1 ’dir. Doğru seçenek C817 ’dir.

Doğru cevap: D

Kontrol edilecek sayı: 3 a 6 b Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Bu nedenle sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuza bölünür: 3 + a + 6 + b = a + b + 9 Buradan: a + b ≡ 0   ( mod   9 ) Rakam oldukları için: a + b ∈ { 0, 9, 18 } Sekize bölünebilme için son üç basamak sekize bölünür: a 6 b ⏞ = 100 a + 60 + b Mod sekiz ile sadeleştirelim: 100 a + 60 + b ≡ 4 a + 4 + b   ( mod   8 ) Dolayısıyla koşul: 4 a + 4 + b ≡ 0   ( mod   8 ) Şimdi dokuza bölünebilme durumlarını tek tek inceleyelim. Durum: a + b = 0 Bu ancak şu iken olur: a = 0,   b = 0 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ≢ 0   ( mod   8 ) Uygun değil. Durum: a + b = 9 Buradan: b = 9 − a Sekiz koşuluna yazalım: 4 a + 4 + ( 9 − a ) = 3 a + 13 Mod sekiz: 3 a + 13 ≡ 0   ( mod   8 ) 3 a + 5 ≡ 0   ( mod   8 ) 3 a ≡ 3   ( mod   8 ) Mod sekizde üç tersinir olduğundan: a ≡ 1   ( mod   8 ) Rakam olduğuna göre: a ∈ { 1, 9 } Buna karşılık gelen b değerleri: a = 1 ⇒ b = 8    a = 9 ⇒ b = 0 Uygun sayılar: 3168,   3960 Durum: a + b = 18 Bu ancak şu iken olur: a = 9,   b = 9 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ⋅ 9 + 4 + 9 = 49 ≢ 0   ( mod   8 ) Uygun değil. Koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı: 3168 + 3960 = 7128 Sonuç: Doğru cevap D1518 şıkkıdır. 7128

1. Çözüm: Kontrol edilecek sayı: 3 a 6 b Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Bu nedenle sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamı dokuza bölünür: 3 + a + 6 + b = a + b + 9 Buradan: a + b ≡ 0   ( mod   9 ) Rakam oldukları için: a + b ∈ { 0, 9, 18 } Sekize bölünebilme için son üç basamak sekize bölünür: a 6 b ⏞ = 100 a + 60 + b Mod sekiz ile sadeleştirelim: 100 a + 60 + b ≡ 4 a + 4 + b   ( mod   8 ) Dolayısıyla koşul: 4 a + 4 + b ≡ 0   ( mod   8 ) Şimdi dokuza bölünebilme durumlarını tek tek inceleyelim. Durum: a + b = 0 Bu ancak şu iken olur: a = 0,   b = 0 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ≢ 0   ( mod   8 ) Uygun değil. Durum: a + b = 9 Buradan: b = 9 − a Sekiz koşuluna yazalım: 4 a + 4 + ( 9 − a ) = 3 a + 13 Mod sekiz: 3 a + 13 ≡ 0   ( mod   8 ) 3 a + 5 ≡ 0   ( mod   8 ) 3 a ≡ 3   ( mod   8 ) Mod sekizde üç tersinir olduğundan: a ≡ 1   ( mod   8 ) Rakam olduğuna göre: a ∈ { 1, 9 } Buna karşılık gelen b değerleri: a = 1 ⇒ b = 8    a = 9 ⇒ b = 0 Uygun sayılar: 3168,   3960 Durum: a + b = 18 Bu ancak şu iken olur: a = 9,   b = 9 Sekiz koşulunu kontrol: 4 a + 4 + b = 4 ⋅ 9 + 4 + 9 = 49 ≢ 0   ( mod   8 ) Uygun değil. Koşulu sağlayan tüm sayıların toplamı: 3168 + 3960 = 7128 Sonuç: Doğru cevap D1518 şıkkıdır. 7128

Doğru cevap: A

Önce modülü çarpanlarına ayıralım: $63 = 9$ ⋅ 7 ve   gcd ( 9, 7 ) = 1 Şimdi sayıyı ayrı ayrı mod 7 ve mod 9 için inceleyelim. Önce mod 7: 2 $3 = 8$ ≡ 1   (mod   7 ) 2 $2025 = 2$ 3 675 ≡ 1 $675 = 1$   (mod   7 ) Şimdi mod 9. Euler totient değeri: φ ( 9 ) = 6 Dolayısıyla: 2 6 ≡ 1   (mod   9 ) Üssü mod 6 ile sadeleştirelim: $2025 = 6$ ⋅ 337 + 3   ⇒   2025 ≡ 3   (mod   6 ) O halde: 2 2025 ≡ 2 $3 = 8$   (mod   9 ) Şimdi Çin Kalan Teoremi ile şu sistemi çözelim: x ≡ 1   (mod   7 ) x ≡ 8   (mod   9 ) İkinci koşul mod 9 için kalanın zaten 8 olduğunu söylüyor. Bunun mod 7 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: 8 ≡ 1   (mod   7 ) Sağlıyor; dolayısıyla mod 63 için kalan 8 ’dir. Sonuç: 2 2025 ≡ 8   (mod   63 ) Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce modülü çarpanlarına ayıralım: $63 = 9$ ⋅ 7 ve   gcd ( 9, 7 ) = 1 Şimdi sayıyı ayrı ayrı mod 7 ve mod 9 için inceleyelim. Önce mod 7: 2 $3 = 8$ ≡ 1   (mod   7 ) 2 $2025 = 2$ 3 675 ≡ 1 $675 = 1$   (mod   7 ) Şimdi mod 9. Euler totient değeri: φ ( 9 ) = 6 Dolayısıyla: 2 6 ≡ 1   (mod   9 ) Üssü mod 6 ile sadeleştirelim: $2025 = 6$ ⋅ 337 + 3   ⇒   2025 ≡ 3   (mod   6 ) O halde: 2 2025 ≡ 2 $3 = 8$   (mod   9 ) Şimdi Çin Kalan Teoremi ile şu sistemi çözelim: x ≡ 1   (mod   7 ) x ≡ 8   (mod   9 ) İkinci koşul mod 9 için kalanın zaten 8 olduğunu söylüyor. Bunun mod 7 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: 8 ≡ 1   (mod   7 ) Sağlıyor; dolayısıyla mod 63 için kalan 8 ’dir. Sonuç: 2 2025 ≡ 8   (mod   63 ) Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen kalan bilgilerini denkliğe çeviriyoruz: n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 11 ( mod 18 ) İlk koşula göre sayı, bir tam sayı yardımıyla şöyle yazılır: $n = 12$k + 5 Bu ifadeyi ikinci koşulda kullanıyoruz: 12 k + 5 ≡ 11 ( mod 18 ) Her iki taraftan aynı sayı çıkararak sadeleştiriyoruz: 12 k ≡ 6 ( mod 18 ) Ortak bölen ile sadeleştiriyoruz: gcd ( 12, 18 ) = 6 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Bu denkliği sağlayan en küçük sınıfı buluyoruz: k ≡ 2 ( mod 3 ) Buna göre: $k = 3$t + 2 Yerine yazıp genel çözümü elde ediyoruz: $n = 12$( 3 t + 2 ) + 5 $n = 36$t + 29 En küçük pozitif değer için: $t = 0$$n = 29$Bu değer şıklarda seçeneğiB635dir; dolayısıyla doğru cevap B662’dır.

1. Çözüm: Verilen kalan bilgilerini denkliğe çeviriyoruz: n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 11 ( mod 18 ) İlk koşula göre sayı, bir tam sayı yardımıyla şöyle yazılır: $n = 12$k + 5 Bu ifadeyi ikinci koşulda kullanıyoruz: 12 k + 5 ≡ 11 ( mod 18 ) Her iki taraftan aynı sayı çıkararak sadeleştiriyoruz: 12 k ≡ 6 ( mod 18 ) Ortak bölen ile sadeleştiriyoruz: gcd ( 12, 18 ) = 6 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Bu denkliği sağlayan en küçük sınıfı buluyoruz: k ≡ 2 ( mod 3 ) Buna göre: $k = 3$t + 2 Yerine yazıp genel çözümü elde ediyoruz: $n = 12$( 3 t + 2 ) + 5 $n = 36$t + 29 En küçük pozitif değer için: $t = 0$$n = 29$Bu değer şıklarda seçeneğiB635dir; dolayısıyla doğru cevap B662’dır.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) Modülü asal çarpanlarına ayıralım: $105 = 3$ · 5 · 7 Koşulun sağlanması için aynı anda şu üç kongruens sağlanmalıdır: 2 n ≡ 1 ( mod 3 ) 2 n ≡ 1 ( mod 5 ) 2 n ≡ 1 ( mod 7 ) Önce ( mod 3 ) inceleyelim: 2 ≡ - 1 ( mod 3 ) Bu yüzden: 2 2 ≡ 1 ( mod 3 ) Buradan en küçük periyot: ord ( 2; 3 ) = 2 Şimdi ( mod 5 ) için kuvvetleri kontrol edelim: 2 1 ≡ 2 ( mod 5 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 5 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 3 ( mod 5 ) 2 4 ≡ 16 ≡ 1 ( mod 5 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 5 ) = 4 Şimdi ( mod 7 ) için: 2 1 ≡ 2 ( mod 7 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 7 ) = 3 O halde 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) olması için n değeri şu sayıların ortak katı olmalıdır: 2, 4, 3 En küçük ortak kat: EKOK ( 2, 4, 3 ) = 12 Bu değerin gerçekten en küçük olduğunu kontrol için daha küçük bölenleri deneyelim: 12 ’s bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6 Örneğin 2 $6 = 64$ ve 64 ≡ 64 ( mod 105 ) ≠ 1 Dolayısıyla daha küçük bir değer sağlamaz; en küçük değer 12 olur. Sonuç: Doğru cevap 12 yani şıkkıC1020dır.

1. Çözüm: Verilen koşul: 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) Modülü asal çarpanlarına ayıralım: $105 = 3$ · 5 · 7 Koşulun sağlanması için aynı anda şu üç kongruens sağlanmalıdır: 2 n ≡ 1 ( mod 3 ) 2 n ≡ 1 ( mod 5 ) 2 n ≡ 1 ( mod 7 ) Önce ( mod 3 ) inceleyelim: 2 ≡ - 1 ( mod 3 ) Bu yüzden: 2 2 ≡ 1 ( mod 3 ) Buradan en küçük periyot: ord ( 2; 3 ) = 2 Şimdi ( mod 5 ) için kuvvetleri kontrol edelim: 2 1 ≡ 2 ( mod 5 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 5 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 3 ( mod 5 ) 2 4 ≡ 16 ≡ 1 ( mod 5 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 5 ) = 4 Şimdi ( mod 7 ) için: 2 1 ≡ 2 ( mod 7 ) 2 2 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 3 ≡ 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük periyot: ord ( 2; 7 ) = 3 O halde 2 n ≡ 1 ( mod 105 ) olması için n değeri şu sayıların ortak katı olmalıdır: 2, 4, 3 En küçük ortak kat: EKOK ( 2, 4, 3 ) = 12 Bu değerin gerçekten en küçük olduğunu kontrol için daha küçük bölenleri deneyelim: 12 ’s bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6 Örneğin 2 $6 = 64$ ve 64 ≡ 64 ( mod 105 ) ≠ 1 Dolayısıyla daha küçük bir değer sağlamaz; en küçük değer 12 olur. Sonuç: Doğru cevap 12 yani şıkkıC1020dır.

Doğru cevap: D

Soruda istenen değer, aşağıdaki ifadenin mod değeridir: 2 2025 + 5 2025 Mod hesabında üslü ifadeler için periyot bulmak amacıyla, 9 ile aralarında asal olan tabanlarda Euler teoremini kullanabiliriz. Önce: φ ( 9 ) = 6 Üsleri 6 ile sadeleştirelim: $2025 = 6$ · 337 + 3 2025 ≡ 3  (mod  6 ) Şimdi ayrı ayrı kalanları bulalım. Birinci terim: 2 2025 ≡ 2 3  (mod  9 ) 2 $3 = 8$ 2 2025 ≡ 8  (mod  9 ) İkinci terim: 5 2025 ≡ 5 3  (mod  9 ) 5 $3 = 125$ 125 ≡ 8  (mod  9 ) 5 2025 ≡ 8  (mod  9 ) Toplayıp son kalanı bulalım: 2 2025 + 5 2025 ≡ 8 + 8  (mod  9 ) 16 ≡ 7  (mod  9 ) Kalan 7 çıkar. Bu nedenle doğru seçenek D667 ’dir. 7

1. Çözüm: Soruda istenen değer, aşağıdaki ifadenin mod değeridir: 2 2025 + 5 2025 Mod hesabında üslü ifadeler için periyot bulmak amacıyla, 9 ile aralarında asal olan tabanlarda Euler teoremini kullanabiliriz. Önce: φ ( 9 ) = 6 Üsleri 6 ile sadeleştirelim: $2025 = 6$ · 337 + 3 2025 ≡ 3  (mod  6 ) Şimdi ayrı ayrı kalanları bulalım. Birinci terim: 2 2025 ≡ 2 3  (mod  9 ) 2 $3 = 8$ 2 2025 ≡ 8  (mod  9 ) İkinci terim: 5 2025 ≡ 5 3  (mod  9 ) 5 $3 = 125$ 125 ≡ 8  (mod  9 ) 5 2025 ≡ 8  (mod  9 ) Toplayıp son kalanı bulalım: 2 2025 + 5 2025 ≡ 8 + 8  (mod  9 ) 16 ≡ 7  (mod  9 ) Kalan 7 çıkar. Bu nedenle doğru seçenek D667 ’dir. 7

Doğru cevap: A

Şıklardaki seçeneğiA11, 45 olduğundan, bulacağımız üçlü sayısı 45 çıkarsa doğru cevap A73 olur. Sayıyı 2 a 4 b 2 c şeklinde düşünelim ve $S = a + b + c$tanımlayalım. 1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 2 + a + 4 + b + 2 + $c = S + 8$Bu nedenle S + 8 ≡ 0   (mod   9 ) yani S ≡ 1   (mod   9 ) 2) 11 ile bölünebilme: (tek sıradakilerin toplamı) − (çift sıradakilerin toplamı) 11’in katı olmalı. ( 2 + 4 + 2 ) - ( a + b + c ) ≡ 0   (mod   11 ) Buradan 8 - S ≡ 0   (mod   11 ) yani S ≡ 8   (mod   11 ) 3) İki koşulu birlikte sağlama: Ayrıca 0 ≤ a, b, c ≤ 9 olduğundan 0 ≤ S ≤ 27 olur. Şimdi S ≡ 8   (mod   11 ) eşitliğine göre bu aralıkta olası değerler: $S = 8$, 19 Bunlardan 8 ≢ 1   (mod   9 ) ama 19 ≡ 1   (mod   9 ) olduğundan tek mümkün toplam $S = 19$yani a + b + $c = 19$4) Üçlü sayısını sayma: Şimdi a + b + $c = 19$denkleminin, 0 ≤ a, b, c ≤ 9 koşuluyla kaç çözümü olduğunu bulalım. Önce üst sınır yokmuş gibi (sadece a, b, c ≥ 0 iken) çözüm sayısı: ( 21 2 ) = 210 Şimdi a, b, c ≤ 9 koşulunu sağlayamayanları çıkaralım. Örneğin a ≥ 10 olsun. O zaman $a = a$′ + 10 yazıp yerine koyarsak: a ′ + b + $c = 9$Bunun çözüm sayısı: ( 11 2 ) = 55 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerli olduğundan toplam çıkarılacak sayı: 3 ⋅ $55 = 165$ İki basamağın birden ≥ 10 olması mümkün değildir; çünkü o zaman toplam en az 20 olur ve üçüncüsü de en az 0 olduğu için toplam a + b + $c = 19$olamaz. Bu yüzden kesişim düzeltmesi yok. Sonuç: $210 - 165 = 45$ Demek ki ( a, b, c ) üçlülerinin sayısı 45 olur; doğru cevap A1771 ’dir.

1. Çözüm: Şıklardaki seçeneğiA11, 45 olduğundan, bulacağımız üçlü sayısı 45 çıkarsa doğru cevap A73 olur. Sayıyı 2 a 4 b 2 c şeklinde düşünelim ve $S = a + b + c$tanımlayalım. 1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 2 + a + 4 + b + 2 + $c = S + 8$Bu nedenle S + 8 ≡ 0   (mod   9 ) yani S ≡ 1   (mod   9 ) 2) 11 ile bölünebilme: (tek sıradakilerin toplamı) − (çift sıradakilerin toplamı) 11’in katı olmalı. ( 2 + 4 + 2 ) - ( a + b + c ) ≡ 0   (mod   11 ) Buradan 8 - S ≡ 0   (mod   11 ) yani S ≡ 8   (mod   11 ) 3) İki koşulu birlikte sağlama: Ayrıca 0 ≤ a, b, c ≤ 9 olduğundan 0 ≤ S ≤ 27 olur. Şimdi S ≡ 8   (mod   11 ) eşitliğine göre bu aralıkta olası değerler: $S = 8$, 19 Bunlardan 8 ≢ 1   (mod   9 ) ama 19 ≡ 1   (mod   9 ) olduğundan tek mümkün toplam $S = 19$yani a + b + $c = 19$4) Üçlü sayısını sayma: Şimdi a + b + $c = 19$denkleminin, 0 ≤ a, b, c ≤ 9 koşuluyla kaç çözümü olduğunu bulalım. Önce üst sınır yokmuş gibi (sadece a, b, c ≥ 0 iken) çözüm sayısı: ( 21 2 ) = 210 Şimdi a, b, c ≤ 9 koşulunu sağlayamayanları çıkaralım. Örneğin a ≥ 10 olsun. O zaman $a = a$′ + 10 yazıp yerine koyarsak: a ′ + b + $c = 9$Bunun çözüm sayısı: ( 11 2 ) = 55 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerli olduğundan toplam çıkarılacak sayı: 3 ⋅ $55 = 165$ İki basamağın birden ≥ 10 olması mümkün değildir; çünkü o zaman toplam en az 20 olur ve üçüncüsü de en az 0 olduğu için toplam a + b + $c = 19$olamaz. Bu yüzden kesişim düzeltmesi yok. Sonuç: $210 - 165 = 45$ Demek ki ( a, b, c ) üçlülerinin sayısı 45 olur; doğru cevap A1771 ’dir.