9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: A

Soruda istenen: Aşağıdaki seçeneklerden hangisi kalansız olarak belirtilen sayıya bölünür? Bunun için sayının şu çarpanlara aynı anda bölünebilmesi gerekir: 36 = 4 × 9 Yani bir sayı, hem dörde hem de dokuza bölünüyorsa, otuz altıya da bölünür. A şıkkını kontrol edelim: 1620 Dörde bölünebilme: Son iki basamak kontrol edilir. 20 ÷ 4 = 5 Son iki basamak dörde bölündüğü için sayı dörde bölünür. Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmelidir. 1 + 6 + 2 + 0 = 9 Rakamlar toplamı dokuza bölündüğü için sayı dokuza bölünür. Hem dörde hem dokuza bölündüğünden, otuz altıya da bölünür: 1620 ÷ 36 = 45 Diğer seçeneklere hızlı kontrol: B şıkkı: 1530 Son iki basamak: 30 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. C şıkkı: 1680 Rakamlar toplamı: 1 + 6 + 8 + 0 = 15 Dokuza bölünmediği için otuz altıya bölünmez. D şıkkı: 1710 Son iki basamak: 10 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A ve “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: Soruda istenen: Aşağıdaki seçeneklerden hangisi kalansız olarak belirtilen sayıya bölünür? Bunun için sayının şu çarpanlara aynı anda bölünebilmesi gerekir: 36 = 4 × 9 Yani bir sayı, hem dörde hem de dokuza bölünüyorsa, otuz altıya da bölünür. A şıkkını kontrol edelim: 1620 Dörde bölünebilme: Son iki basamak kontrol edilir. 20 ÷ 4 = 5 Son iki basamak dörde bölündüğü için sayı dörde bölünür. Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmelidir. 1 + 6 + 2 + 0 = 9 Rakamlar toplamı dokuza bölündüğü için sayı dokuza bölünür. Hem dörde hem dokuza bölündüğünden, otuz altıya da bölünür: 1620 ÷ 36 = 45 Diğer seçeneklere hızlı kontrol: B şıkkı: 1530 Son iki basamak: 30 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. C şıkkı: 1680 Rakamlar toplamı: 1 + 6 + 8 + 0 = 15 Dokuza bölünmediği için otuz altıya bölünmez. D şıkkı: 1710 Son iki basamak: 10 ÷ 4 ≠ tam sayı Dörde bölünmediği için otuz altıya bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A ve “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Doğru cevap: C

Doğru şık kontrolü: Bulunan kalan, verilen seçeneklerde C şıkkına karşılık gelir. Verilen koşulları kongruens (kalan) biçiminde yazalım: n ≡ 2 ( mod 3 ) n ≡ 4 ( mod 5 ) İkinci koşula göre sayı şu biçimdedir: n = 5 k + 4 Bu ifadeyi birinci koşulda kullanalım: 5 k + 4 ≡ 2 ( mod 3 ) Modül içinde sadeleştirelim: 5 ≡ 2 ( mod 3 ) 4 ≡ 1 ( mod 3 ) 2 k + 1 ≡ 2 ( mod 3 ) Buradan: 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Mod 3 içinde 2 sayısının tersi yine 2 ’dir; çünkü: 2 · 2 = 4 ≡ 1 ( mod 3 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 2 ( mod 3 ) O hâlde: k = 3 t + 2 Bunu n = 5 k + 4 içinde yerine yazalım: n = 5 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 15 t + 14 Bu da demektir ki n sayısı 15 ile bölündüğünde kalan: 14 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Bulunan kalan, verilen seçeneklerde C şıkkına karşılık gelir. Verilen koşulları kongruens (kalan) biçiminde yazalım: n ≡ 2 ( mod 3 ) n ≡ 4 ( mod 5 ) İkinci koşula göre sayı şu biçimdedir: n = 5 k + 4 Bu ifadeyi birinci koşulda kullanalım: 5 k + 4 ≡ 2 ( mod 3 ) Modül içinde sadeleştirelim: 5 ≡ 2 ( mod 3 ) 4 ≡ 1 ( mod 3 ) 2 k + 1 ≡ 2 ( mod 3 ) Buradan: 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Mod 3 içinde 2 sayısının tersi yine 2 ’dir; çünkü: 2 · 2 = 4 ≡ 1 ( mod 3 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 2 ( mod 3 ) O hâlde: k = 3 t + 2 Bunu n = 5 k + 4 içinde yerine yazalım: n = 5 ( 3 t + 2 ) + 4 n = 15 t + 14 Bu da demektir ki n sayısı 15 ile bölündüğünde kalan: 14 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Doğru cevap kontrolü: Dokuz ile bölünebilme kuralına göre bir doğal sayının rakamları toplamı dokuz ile tam bölünebilmelidir; bu yüzden doğru şık B ’dir. Adım 1: Sayıyı basamaklarına ayıralım. N = a k ⋅ 10 k + a k − 1 ⋅ 10 k − 1 + ⋯ + a 1 ⋅ 10 + a 0 Adım 2: Dokuz ile bölümünden kalan açısından 10 sayısının durumunu yazalım. 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Adım 3: Bu nedenle her kuvvet için kalan aynı olur. 10 k ≡ 1 ( mod 9 ) Adım 4: Sayının dokuz ile bölümünden kalanını basamaklar toplamına indirgeriz. N ≡ a k + a k − 1 + ⋯ + a 1 + a 0 ( mod 9 ) Adım 5: Sonuç: Sayının dokuz ile tam bölünebilmesi için rakamlar toplamı da dokuz ile tam bölünmelidir. 9 | N ⇔ 9 | a k + a k − 1 + ⋯ + a 1 + a 0 Bu nedenle sorunun cevabı: rakamları toplamı B şıkkındaki sayıya tam bölünmelidir.

1. Çözüm: Doğru cevap kontrolü: Dokuz ile bölünebilme kuralına göre bir doğal sayının rakamları toplamı dokuz ile tam bölünebilmelidir; bu yüzden doğru şık B ’dir. Adım 1: Sayıyı basamaklarına ayıralım. N = a k ⋅ 10 k + a k − 1 ⋅ 10 k − 1 + ⋯ + a 1 ⋅ 10 + a 0 Adım 2: Dokuz ile bölümünden kalan açısından 10 sayısının durumunu yazalım. 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Adım 3: Bu nedenle her kuvvet için kalan aynı olur. 10 k ≡ 1 ( mod 9 ) Adım 4: Sayının dokuz ile bölümünden kalanını basamaklar toplamına indirgeriz. N ≡ a k + a k − 1 + ⋯ + a 1 + a 0 ( mod 9 ) Adım 5: Sonuç: Sayının dokuz ile tam bölünebilmesi için rakamlar toplamı da dokuz ile tam bölünmelidir. 9 | N ⇔ 9 | a k + a k − 1 + ⋯ + a 1 + a 0 Bu nedenle sorunun cevabı: rakamları toplamı B şıkkındaki sayıya tam bölünmelidir.

Doğru cevap: B

9 ile bölünebilme kuralına göre bir sayının rakamları toplamı 9’un katı olmalıdır. Verilen üç basamaklı sayı: 3 x 4 Rakamlar toplamını yazalım: 3 + x + 4 Toplayıp sadeleştirelim: 3 + 4 + x = 7 + x 9’a tam bölünebilmesi için rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. Üç basamaklı olduğundan ve bir rakam seçileceğinden uygun katı seçelim: 7 + x = 9 Buradan: x = 2 Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: 9 ile bölünebilme kuralına göre bir sayının rakamları toplamı 9’un katı olmalıdır. Verilen üç basamaklı sayı: 3 x 4 Rakamlar toplamını yazalım: 3 + x + 4 Toplayıp sadeleştirelim: 3 + 4 + x = 7 + x 9’a tam bölünebilmesi için rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. Üç basamaklı olduğundan ve bir rakam seçileceğinden uygun katı seçelim: 7 + x = 9 Buradan: x = 2 Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: A

Koşul: Bir sayının n ≡ 5 ( mod 12 ) Bu, sayının şu biçimde yazılabileceği anlamına gelir: n = 12 k + 5 Şıkları tek tek kontrol edelim. A şıkkı: 41 = 12 · 3 + 5 Kalan sağlıyor, uygundur. B şıkkı: 34 = 12 · 2 + 10 Kalan değildir, uygun değildir. C şıkkı: 47 = 12 · 3 + 11 Kalan değildir, uygun değildir. D şıkkı: 50 = 12 · 4 + 2 Kalan değildir, uygun değildir. Sonuç: Koşulu sağlayan tek seçenek A şıkkıdır. Doğru cevap: A

1. Çözüm: Koşul: Bir sayının n ≡ 5 ( mod 12 ) Bu, sayının şu biçimde yazılabileceği anlamına gelir: n = 12 k + 5 Şıkları tek tek kontrol edelim. A şıkkı: 41 = 12 · 3 + 5 Kalan sağlıyor, uygundur. B şıkkı: 34 = 12 · 2 + 10 Kalan değildir, uygun değildir. C şıkkı: 47 = 12 · 3 + 11 Kalan değildir, uygun değildir. D şıkkı: 50 = 12 · 4 + 2 Kalan değildir, uygun değildir. Sonuç: Koşulu sağlayan tek seçenek A şıkkıdır. Doğru cevap: A

Doğru cevap: B

Bu soruda sayı 4 a 5 biçimindedir ve a bir rakamdır. 9 ile tam bölünebilme kuralına göre, rakamlar toplamı 9 ’un katı olmalıdır. Rakamlar toplamını yazalım: 4 + a + 5 Sadeleştirelim: 4 + a + 5 = a + 9 Bölünebilme şartı: a + 9 ≡ 0 ( mod 9 ) 9 sayısı 9 ile bölümden kalanını değiştirmediği için: a ≡ 0 ( mod 9 ) a bir rakam olduğundan alabileceği değerler: a ∈ { 0, 9 } Bu nedenle a toplam 2 farklı değer alır. Doğru seçenek: B.

1. Çözüm: Bu soruda sayı 4 a 5 biçimindedir ve a bir rakamdır. 9 ile tam bölünebilme kuralına göre, rakamlar toplamı 9 ’un katı olmalıdır. Rakamlar toplamını yazalım: 4 + a + 5 Sadeleştirelim: 4 + a + 5 = a + 9 Bölünebilme şartı: a + 9 ≡ 0 ( mod 9 ) 9 sayısı 9 ile bölümden kalanını değiştirmediği için: a ≡ 0 ( mod 9 ) a bir rakam olduğundan alabileceği değerler: a ∈ { 0, 9 } Bu nedenle a toplam 2 farklı değer alır. Doğru seçenek: B.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek kontrolü: Verilen bilgiye göre N ≡ 5 ( mod 9 ) Bu, N sayısının şu biçimde yazılabileceği anlamına gelir: N = 9 k + 5 ( k bir doğal sayıdır.) Şimdi bu ifadeyi 3 ile bölünebilirlik açısından düzenleyelim: N = 9 k + 5 = 3 ( 3 k ) + 5 Kalanı görmek için 5 sayısını 3 ’e göre ayıralım: 5 = 3 + 2 Yerine yazarsak: N = 3 ( 3 k ) + 3 + 2 = 3 ( 3 k + 1 ) + 2 Bu gösterim, N sayısının 3 ile bölünmesinde kalanın 2 olduğunu söyler. N ≡ 2 ( mod 3 ) Sonuç: Kalan 2 olduğundan doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru seçenek kontrolü: Verilen bilgiye göre N ≡ 5 ( mod 9 ) Bu, N sayısının şu biçimde yazılabileceği anlamına gelir: N = 9 k + 5 ( k bir doğal sayıdır.) Şimdi bu ifadeyi 3 ile bölünebilirlik açısından düzenleyelim: N = 9 k + 5 = 3 ( 3 k ) + 5 Kalanı görmek için 5 sayısını 3 ’e göre ayıralım: 5 = 3 + 2 Yerine yazarsak: N = 3 ( 3 k ) + 3 + 2 = 3 ( 3 k + 1 ) + 2 Bu gösterim, N sayısının 3 ile bölünmesinde kalanın 2 olduğunu söyler. N ≡ 2 ( mod 3 ) Sonuç: Kalan 2 olduğundan doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Bir sayının hem 12 hem de 25 ile tam bölünebilmesi için, bu iki sayının EKOK 'u ile tam bölünmesi gerekir. Önce asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 ⋅ 3 25 = 5 2 EKOK, asal çarpanların en büyük üsleri alınarak bulunur: EKOK ( 12, 25 ) = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 = 300 O hâlde aranan sayı 300 'ün katı olmalıdır. Şıkları kontrol edelim: A şıkkı: 200 ÷ 12 = 50 3 Tam sayı çıkmadığı için elenir. B şıkkı: 300 ÷ 12 = 25 300 ÷ 25 = 12 İkisi de tam sayı olduğundan uygundur. C şıkkı: 325 ÷ 25 = 13 325 ÷ 12 = 325 12 12 ile tam bölünmediği için elenir. D şıkkı: 450 ÷ 25 = 18 450 ÷ 12 = 75 2 12 ile tam bölünmediği için elenir. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. 300

1. Çözüm: Bir sayının hem 12 hem de 25 ile tam bölünebilmesi için, bu iki sayının EKOK 'u ile tam bölünmesi gerekir. Önce asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 ⋅ 3 25 = 5 2 EKOK, asal çarpanların en büyük üsleri alınarak bulunur: EKOK ( 12, 25 ) = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 2 = 300 O hâlde aranan sayı 300 'ün katı olmalıdır. Şıkları kontrol edelim: A şıkkı: 200 ÷ 12 = 50 3 Tam sayı çıkmadığı için elenir. B şıkkı: 300 ÷ 12 = 25 300 ÷ 25 = 12 İkisi de tam sayı olduğundan uygundur. C şıkkı: 325 ÷ 25 = 13 325 ÷ 12 = 325 12 12 ile tam bölünmediği için elenir. D şıkkı: 450 ÷ 25 = 18 450 ÷ 12 = 75 2 12 ile tam bölünmediği için elenir. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. 300

Doğru cevap: B

Verilen sayının aşağıdaki koşulu sağlaması isteniyor: 3 a 2 b   sayısı   180 ' e   tam bölünür Bölünebilme için önce çarpanlara ayıralım: 180 = 9 · 20 Dolayısıyla sayının hem 9 'a hem de 20 'ye bölünebilmesi gerekir (bu iki sayının ortak böleni 1 olduğu için birlikte sağlanınca 180 'e bölünebilir): 180 | 3 a 2 b   ⇔   9 | 3 a 2 b   ve   20 | 3 a 2 b Şimdi 20 'ye bölünebilme kuralını kullanalım: Son iki basamak 20 'nin katı olmalጝır. Son iki basamak: 2 b Bu iki basamağın alabileceği değerler (sonu 0 ile biten ve 20 'nin katı olanlar) arasında, onlar basamağı 2 olan tek seçenek: 2 b = 20 Buradan birler basamağı: b = 0 Artık sayı 3 a 20 Şimdi 9 'a bölünebilme kuralı: Rakamlar toplamı 9 'un katı olmalጝır. Rakamlar toplamı: 3 + a + 2 + 0 = a + 5 Bu toplam 9 'un katı olmalı: a + 5 = 9 Buradan: a = 4 Sonuç: Doğru cevap B 'dir.

1. Çözüm: Verilen sayının aşağıdaki koşulu sağlaması isteniyor: 3 a 2 b   sayısı   180 ' e   tam bölünür Bölünebilme için önce çarpanlara ayıralım: 180 = 9 · 20 Dolayısıyla sayının hem 9 'a hem de 20 'ye bölünebilmesi gerekir (bu iki sayının ortak böleni 1 olduğu için birlikte sağlanınca 180 'e bölünebilir): 180 | 3 a 2 b   ⇔   9 | 3 a 2 b   ve   20 | 3 a 2 b Şimdi 20 'ye bölünebilme kuralını kullanalım: Son iki basamak 20 'nin katı olmalጝır. Son iki basamak: 2 b Bu iki basamağın alabileceği değerler (sonu 0 ile biten ve 20 'nin katı olanlar) arasında, onlar basamağı 2 olan tek seçenek: 2 b = 20 Buradan birler basamağı: b = 0 Artık sayı 3 a 20 Şimdi 9 'a bölünebilme kuralı: Rakamlar toplamı 9 'un katı olmalጝır. Rakamlar toplamı: 3 + a + 2 + 0 = a + 5 Bu toplam 9 'un katı olmalı: a + 5 = 9 Buradan: a = 4 Sonuç: Doğru cevap B 'dir.

Doğru cevap: C

Verilen bilgiye göre: n ≡ 5 ( mod 9 ) Bu eşitlik, bir tam sayı k olmak üzere şu şekilde yazılabilir: n = 9 k + 5 Şimdi bu ifadeyi üç ile bölümden kalan açısından inceleyelim. Önce: 9 k ≡ 0 ( mod 3 ) Ayrıca: 5 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu iki sonucu birleştirirsek: n = 9 k + 5 ⇒ n ≡ 0 + 2 ≡ 2 ( mod 3 ) Sonuç: üç ile bölümünden kalan 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.

1. Çözüm: Verilen bilgiye göre: n ≡ 5 ( mod 9 ) Bu eşitlik, bir tam sayı k olmak üzere şu şekilde yazılabilir: n = 9 k + 5 Şimdi bu ifadeyi üç ile bölümden kalan açısından inceleyelim. Önce: 9 k ≡ 0 ( mod 3 ) Ayrıca: 5 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu iki sonucu birleştirirsek: n = 9 k + 5 ⇒ n ≡ 0 + 2 ≡ 2 ( mod 3 ) Sonuç: üç ile bölümünden kalan 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C.