9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: D

İstenen: Seçenekteki sayının hem aşağıdaki sayılara kalansız bölünmesi. 4 6 Bir sayının her ikisine de bölünebilmesi için bu iki sayının EKOK’una bölünebilmesi yeterlidir. EKOK ( 4, 6 ) EKOK’u bulalım (asal çarpanlarına ayıralım): 4 = 2 2 6 = 2 · 3 En büyük kuvvetleri alırsak: EKOK ( 4, 6 ) = 2 2 · 3 = 12 Şimdi seçeneklerin 12 ile bölümünden kalan var mı kontrol edelim. A seçeneği: 78 = 12 · 6 + 6 Kalan olduğu için uygun değil. B seçeneği: 82 = 12 · 6 + 10 Kalan olduğu için uygun değil. seçeneğiD492: 84 = 12 · 7 Kalansız bölünür, yani hem 4 hem de 6 ile kalansız bölünür. 84 = 4 · 21 84 = 6 · 14 D seçeneği: 86 = 12 · 7 + 2 Kalan olduğu için uygun değil. Sonuç: Verilen doğru cevap D674 seçeneğidir.

1. Çözüm: İstenen: Seçenekteki sayının hem aşağıdaki sayılara kalansız bölünmesi. 4 6 Bir sayının her ikisine de bölünebilmesi için bu iki sayının EKOK’una bölünebilmesi yeterlidir. EKOK ( 4, 6 ) EKOK’u bulalım (asal çarpanlarına ayıralım): 4 = 2 2 6 = 2 · 3 En büyük kuvvetleri alırsak: EKOK ( 4, 6 ) = 2 2 · 3 = 12 Şimdi seçeneklerin 12 ile bölümünden kalan var mı kontrol edelim. A seçeneği: 78 = 12 · 6 + 6 Kalan olduğu için uygun değil. B seçeneği: 82 = 12 · 6 + 10 Kalan olduğu için uygun değil. seçeneğiD492: 84 = 12 · 7 Kalansız bölünür, yani hem 4 hem de 6 ile kalansız bölünür. 84 = 4 · 21 84 = 6 · 14 D seçeneği: 86 = 12 · 7 + 2 Kalan olduğu için uygun değil. Sonuç: Verilen doğru cevap D674 seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Aranan sayı kırk beş ile tam bölündüğüne göre şu şekilde yazılır: n = 45 k Ayrıca on bir ile bölündüğünde kalan sekiz olduğundan: n ≡ 8 ( mod 11 ) Yerine koyarsak: 45 k ≡ 8 ( mod 11 ) Burada kırk beş sayısının on bir ile bölümünden kalan bulunur: 45 ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden denklem sadeleşir: k ≡ 8 ( mod 11 ) Genel çözüm: k = 8 + 11 t Buradan n bulunur: n = 45 ( 8 + 11 t ) = 360 + 495 t En küçük dört basamaklı sayı için: 360 + 495 t ≥ 1000 Kontrol: t = 1 ⇒ n = 855 ( d ö rt basamakl ı ğ ı de ğ il ) Bir sonraki değer: t = 2 ⇒ n = 360 + 495 ⋅ 2 = 1350 Şimdi koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: 1350 ÷ 45 = 30 1350 = 11 ⋅ 122 + 8 Sonuç olarak en küçük dört basamaklı sayı bin üç yüz elli olup seçeneklerden: Do ğ ru cevap: A834 ( 1350 )

1. Çözüm: Aranan sayı kırk beş ile tam bölündüğüne göre şu şekilde yazılır: n = 45 k Ayrıca on bir ile bölündüğünde kalan sekiz olduğundan: n ≡ 8 ( mod 11 ) Yerine koyarsak: 45 k ≡ 8 ( mod 11 ) Burada kırk beş sayısının on bir ile bölümünden kalan bulunur: 45 ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden denklem sadeleşir: k ≡ 8 ( mod 11 ) Genel çözüm: k = 8 + 11 t Buradan n bulunur: n = 45 ( 8 + 11 t ) = 360 + 495 t En küçük dört basamaklı sayı için: 360 + 495 t ≥ 1000 Kontrol: t = 1 ⇒ n = 855 ( d ö rt basamakl ı ğ ı de ğ il ) Bir sonraki değer: t = 2 ⇒ n = 360 + 495 ⋅ 2 = 1350 Şimdi koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim: 1350 ÷ 45 = 30 1350 = 11 ⋅ 122 + 8 Sonuç olarak en küçük dört basamaklı sayı bin üç yüz elli olup seçeneklerden: Do ğ ru cevap: A834 ( 1350 )

Doğru cevap: B

Verilen koşulları modüler denklem olarak yazalım: n ≡ 2 ( mod 5 ) n ≡ 1 ( mod 3 ) Önce ilk koşula göre n sayısının 15 ’e göre alabileceği kalanı bulalım. n sayısı 5 ile bölününce kalan 2 olduğundan, 0 ile 14 arasındaki sayılardan yalnızca şunlar uygundur: n ≡ 2, 7, 12 ( mod 15 ) Şimdi bu adayların aynı zamanda 3 ile bölününce kalanının 1 olup olmadığını kontrol edelim: 2 ≡ 2 ( mod 3 ) 7 ≡ 1 ( mod 3 ) 12 ≡ 0 ( mod 3 ) Yalnızca 7 sayısı ikinci koşulu sağlar. Bu nedenle n sayısının 15 ile bölümünden kalan kesin olarak: n ≡ 7 ( mod 15 ) Sonuç: Kalan 7 olur. Doğru seçenek B560 ’dır.

1. Çözüm: Verilen koşulları modüler denklem olarak yazalım: n ≡ 2 ( mod 5 ) n ≡ 1 ( mod 3 ) Önce ilk koşula göre n sayısının 15 ’e göre alabileceği kalanı bulalım. n sayısı 5 ile bölününce kalan 2 olduğundan, 0 ile 14 arasındaki sayılardan yalnızca şunlar uygundur: n ≡ 2, 7, 12 ( mod 15 ) Şimdi bu adayların aynı zamanda 3 ile bölününce kalanının 1 olup olmadığını kontrol edelim: 2 ≡ 2 ( mod 3 ) 7 ≡ 1 ( mod 3 ) 12 ≡ 0 ( mod 3 ) Yalnızca 7 sayısı ikinci koşulu sağlar. Bu nedenle n sayısının 15 ile bölümünden kalan kesin olarak: n ≡ 7 ( mod 15 ) Sonuç: Kalan 7 olur. Doğru seçenek B560 ’dır.

Doğru cevap: C

Önce sayıyı modulo ile sadeleştirelim: N = 2025 2026 + 2026 2025 Tabanları modulo içinde bulalım: 2025 ≡ 2 (mod 7 ) 2026 ≡ 3 (mod 7 ) Bu durumda: N ≡ 2 2026 + 3 2025 (mod 7 ) Asal modda üsleri küçültmek için Fermat kullanacağız: a 6 ≡ 1 (mod 7 ) Üsleri modulo altı ile sadeleştirelim: 2026 ≡ 4 (mod 6 ) 2025 ≡ 3 (mod 6 ) Buna göre kuvvetleri hesaplayalım: 2 2026 ≡ 2 4 = 16 ≡ 2 (mod 7 ) 3 2025 ≡ 3 3 = 27 ≡ 6 (mod 7 ) Toplayıp kalanı bulalım: N ≡ 2 + 6 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Sonuç olarak bölümden kalan: 1 Bu da şıkkıC591dır; yani verilen cevap A doğru.

1. Çözüm: Önce sayıyı modulo ile sadeleştirelim: N = 2025 2026 + 2026 2025 Tabanları modulo içinde bulalım: 2025 ≡ 2 (mod 7 ) 2026 ≡ 3 (mod 7 ) Bu durumda: N ≡ 2 2026 + 3 2025 (mod 7 ) Asal modda üsleri küçültmek için Fermat kullanacağız: a 6 ≡ 1 (mod 7 ) Üsleri modulo altı ile sadeleştirelim: 2026 ≡ 4 (mod 6 ) 2025 ≡ 3 (mod 6 ) Buna göre kuvvetleri hesaplayalım: 2 2026 ≡ 2 4 = 16 ≡ 2 (mod 7 ) 3 2025 ≡ 3 3 = 27 ≡ 6 (mod 7 ) Toplayıp kalanı bulalım: N ≡ 2 + 6 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Sonuç olarak bölümden kalan: 1 Bu da şıkkıC591dır; yani verilen cevap A doğru.

Doğru cevap: D

Verilen koşulları eşitlik (modüler aritmetik) olarak yazalım: n ≡ 4 ( mod 6 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlk koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 6 k + 4 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 6 k + 4 ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki taraftan aynı sayıyı çıkaralım: 6 k ≡ 3 ( mod 9 ) Bu eşitlikte ortak bölen 3 ile sadeleştirebiliriz (çünkü 3, hem 6 hem 9 hem de 3 ’ü böler): 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Buradan k ’yi bulalım. 2 ’nin 3 modulo tersinin yine 2 olduğunu kullanabiliriz: k ≡ 2 ( mod 3 ) O hâlde k şu şekilde yazılır: k = 3 t + 2 Bunu n ifadesinde yerine koyalım: n = 6 ( 3 t + 2 ) + 4 Düzenleyelim: n = 18 t + 16 En küçük doğal değer için t ’yi en küçük alırız: t = 0 ⇒ n = 16 Sonuç: En küçük değer 16 olur. Bu da şıkkıD697dır; yani doğru cevap D714 ’dır.

1. Çözüm: Verilen koşulları eşitlik (modüler aritmetik) olarak yazalım: n ≡ 4 ( mod 6 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlk koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 6 k + 4 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 6 k + 4 ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki taraftan aynı sayıyı çıkaralım: 6 k ≡ 3 ( mod 9 ) Bu eşitlikte ortak bölen 3 ile sadeleştirebiliriz (çünkü 3, hem 6 hem 9 hem de 3 ’ü böler): 2 k ≡ 1 ( mod 3 ) Buradan k ’yi bulalım. 2 ’nin 3 modulo tersinin yine 2 olduğunu kullanabiliriz: k ≡ 2 ( mod 3 ) O hâlde k şu şekilde yazılır: k = 3 t + 2 Bunu n ifadesinde yerine koyalım: n = 6 ( 3 t + 2 ) + 4 Düzenleyelim: n = 18 t + 16 En küçük doğal değer için t ’yi en küçük alırız: t = 0 ⇒ n = 16 Sonuç: En küçük değer 16 olur. Bu da şıkkıD697dır; yani doğru cevap D714 ’dır.

Doğru cevap: A

Verilen altı basamaklı sayı: N = 9 a 3 b 6 c ¯ Bölünebilme koşullarını ortak bir toplam üzerinden yazalım: S = a + b + c Dokuz ile bölünebilme (rakamlar toplamı): 9 + a + 3 + b + 6 + c = 18 + S 18 + S ≡ 0 ( mod 9 ) S ≡ 0 ( mod 9 ) On bir ile bölünebilme (alternatif toplam): ( 9 + 3 + 6 ) - ( a + b + c ) = 18 - S 18 - S ≡ 0 ( mod 11 ) S ≡ 18 ( mod 11 ) S ≡ 7 ( mod 11 ) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan S değerini bulalım. Rakamlar olduğundan: 0 ≤ S ≤ 27 Ayrıca S ≡ 0 ( mod 9 ) olduğundan olası değerler: S ∈ { 0, 9, 18, 27 } Bunlardan S ≡ 7 ( mod 11 ) koşulunu sağlayanı seçelim: 18 ≡ 7 ( mod 11 ) S = 18 Demek ki problem, a + b + c = 18 denklemini sağlayan ve her biri rakam olan üçlüleri saymaya indirgenir: 0 ≤ a, b, c ≤ 9 Önce üst sınır olmadan (sadece negatif olmayan tam sayılar) çözüm sayısı: N = C 20 2 = 190 Şimdi rakam olma şartı için a, b, c ≤ 9 olmalı. Örneğin a ≥ 10 olanları çıkaralım: a = a ' + 10 a ' + b + c = 8 N ( a ≥ 10 ) = C 10 2 = 45 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerlidir. İki değişkenin aynı anda ≥ 10 olması ise imkânsızdır (çünkü toplam 18 ): 18 - 10 - 10 < 0 Bu yüzden doğrudan çıkarma yeterli: N = 190 - 3 ⋅ 45 = 55 Sonuç: 55 farklı sayı yazılabilir. Bu da verilen şıklarda 55 olduğundan doğru seçenek A1367 'dir.

1. Çözüm: Verilen altı basamaklı sayı: N = 9 a 3 b 6 c ¯ Bölünebilme koşullarını ortak bir toplam üzerinden yazalım: S = a + b + c Dokuz ile bölünebilme (rakamlar toplamı): 9 + a + 3 + b + 6 + c = 18 + S 18 + S ≡ 0 ( mod 9 ) S ≡ 0 ( mod 9 ) On bir ile bölünebilme (alternatif toplam): ( 9 + 3 + 6 ) - ( a + b + c ) = 18 - S 18 - S ≡ 0 ( mod 11 ) S ≡ 18 ( mod 11 ) S ≡ 7 ( mod 11 ) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan S değerini bulalım. Rakamlar olduğundan: 0 ≤ S ≤ 27 Ayrıca S ≡ 0 ( mod 9 ) olduğundan olası değerler: S ∈ { 0, 9, 18, 27 } Bunlardan S ≡ 7 ( mod 11 ) koşulunu sağlayanı seçelim: 18 ≡ 7 ( mod 11 ) S = 18 Demek ki problem, a + b + c = 18 denklemini sağlayan ve her biri rakam olan üçlüleri saymaya indirgenir: 0 ≤ a, b, c ≤ 9 Önce üst sınır olmadan (sadece negatif olmayan tam sayılar) çözüm sayısı: N = C 20 2 = 190 Şimdi rakam olma şartı için a, b, c ≤ 9 olmalı. Örneğin a ≥ 10 olanları çıkaralım: a = a ' + 10 a ' + b + c = 8 N ( a ≥ 10 ) = C 10 2 = 45 Aynı sayı b ≥ 10 ve c ≥ 10 için de geçerlidir. İki değişkenin aynı anda ≥ 10 olması ise imkânsızdır (çünkü toplam 18 ): 18 - 10 - 10 < 0 Bu yüzden doğrudan çıkarma yeterli: N = 190 - 3 ⋅ 45 = 55 Sonuç: 55 farklı sayı yazılabilir. Bu da verilen şıklarda 55 olduğundan doğru seçenek A1367 'dir.

Doğru cevap: B

Verilen koşulları denklem/congruence olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 4 ) n ≡ 2 ( mod 3 ) İlk koşuldan sayı şu biçimdedir: n = 4 k + 3 Bu tür sayıların on iki ile bölümünden kalanları bulmak için, on iki modunda olası değerleri yazalım (çünkü on iki, dört ’ün katıdır): n ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ n ≡ 3, 7, 11 ( mod 12 ) Şimdi ikinci koşulu sağlayanı seçelim; yani üç ile bölününce kalanı iki olanı: 3 ≡ 0 ( mod 3 ) 7 ≡ 1 ( mod 3 ) 11 ≡ 2 ( mod 3 ) Uyan değer on bir olduğundan: n ≡ 11 ( mod 12 ) Sonuç: on iki ile bölündüğünde kalan 11 Bu da şıkkıB529dır; yani D doğrudur.

1. Çözüm: Verilen koşulları denklem/congruence olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 4 ) n ≡ 2 ( mod 3 ) İlk koşuldan sayı şu biçimdedir: n = 4 k + 3 Bu tür sayıların on iki ile bölümünden kalanları bulmak için, on iki modunda olası değerleri yazalım (çünkü on iki, dört ’ün katıdır): n ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ n ≡ 3, 7, 11 ( mod 12 ) Şimdi ikinci koşulu sağlayanı seçelim; yani üç ile bölününce kalanı iki olanı: 3 ≡ 0 ( mod 3 ) 7 ≡ 1 ( mod 3 ) 11 ≡ 2 ( mod 3 ) Uyan değer on bir olduğundan: n ≡ 11 ( mod 12 ) Sonuç: on iki ile bölündüğünde kalan 11 Bu da şıkkıB529dır; yani D doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilen sayının bölme işlemini kontrol edelim: 2025 9 Önce sayıyı 9'un katı olarak yazalım: 2025 = 9 × 225 Bu eşitlik, sayının 9'a tam bölündüğünü gösterir. Bölme algoritmasına göre: 2025 = 9 × 225 + 0 Buradan kalan: 0 Sonuç: Doğru seçenek C236 ’dır.

1. Çözüm: Verilen sayının bölme işlemini kontrol edelim: 2025 9 Önce sayıyı 9'un katı olarak yazalım: 2025 = 9 × 225 Bu eşitlik, sayının 9'a tam bölündüğünü gösterir. Bölme algoritmasına göre: 2025 = 9 × 225 + 0 Buradan kalan: 0 Sonuç: Doğru seçenek C236 ’dır.

Doğru cevap: D

Önce verilen sayıyı tanımlayalım: 72 ⏞ a 3 b 6 (1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9 'un katı olmalıdır. 7 + 2 + a + 3 + b + 6 = 18 + a + b 18 zaten 9 'un katı olduğundan şart şuna iner: a + b ≡ 0  (mod  9 ) Rakam oldukları için olası toplamlar: a + b ∈ { 0, 9, 18 } (2) 8 ile bölünebilme: Son üç basamak 8 'e bölünmelidir. Burada son üç basamak: 3 b 6 Bu sayıyı cebirsel yazalım: 3 b 6 = 300 + 10 b + 6 8 'e göre kalanla inceleyelim: 300 ≡ 4  (mod  8 ) 10 b ≡ 2 b  (mod  8 ) 6 ≡ 6  (mod  8 ) Toplayınca: 300 + 10 b + 6 ≡ 4 + 2 b + 6 = 10 + 2 b ≡ 2 + 2 b  (mod  8 ) 8 ile tam bölünebilmesi için bu kalanın 0 olması gerekir: 2 + 2 b ≡ 0  (mod  8 ) Her tarafı 2 parantezine alalım: 2 ( 1 + b ) ≡ 0  (mod  8 ) Bu da şu anlama gelir: 1 + b ≡ 0  (mod  4 ) Dolayısıyla: b ≡ 3  (mod  4 ) Rakam olduğuna göre: b ∈ { 3, 7 } (3) Şimdi 9 ile bölünebilme şartındaki olası toplamlarla birleştirelim. Durum 1: b = 3 a + 3 ∈ { 0, 9, 18 } a ∈ { 6, 15, -3 } Rakam olabileceği tek değer: a = 6 Durum 2: b = 7 a + 7 ∈ { 0, 9, 18 } a ∈ { 2, 11, -7 } Rakam olabileceği tek değer: a = 2 Her iki durumda da toplam aynıdır: a + b = 9 Bu nedenle doğru seçenek D1370 'dir.

1. Çözüm: Önce verilen sayıyı tanımlayalım: 72 ⏞ a 3 b 6 (1) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9 'un katı olmalıdır. 7 + 2 + a + 3 + b + 6 = 18 + a + b 18 zaten 9 'un katı olduğundan şart şuna iner: a + b ≡ 0  (mod  9 ) Rakam oldukları için olası toplamlar: a + b ∈ { 0, 9, 18 } (2) 8 ile bölünebilme: Son üç basamak 8 'e bölünmelidir. Burada son üç basamak: 3 b 6 Bu sayıyı cebirsel yazalım: 3 b 6 = 300 + 10 b + 6 8 'e göre kalanla inceleyelim: 300 ≡ 4  (mod  8 ) 10 b ≡ 2 b  (mod  8 ) 6 ≡ 6  (mod  8 ) Toplayınca: 300 + 10 b + 6 ≡ 4 + 2 b + 6 = 10 + 2 b ≡ 2 + 2 b  (mod  8 ) 8 ile tam bölünebilmesi için bu kalanın 0 olması gerekir: 2 + 2 b ≡ 0  (mod  8 ) Her tarafı 2 parantezine alalım: 2 ( 1 + b ) ≡ 0  (mod  8 ) Bu da şu anlama gelir: 1 + b ≡ 0  (mod  4 ) Dolayısıyla: b ≡ 3  (mod  4 ) Rakam olduğuna göre: b ∈ { 3, 7 } (3) Şimdi 9 ile bölünebilme şartındaki olası toplamlarla birleştirelim. Durum 1: b = 3 a + 3 ∈ { 0, 9, 18 } a ∈ { 6, 15, -3 } Rakam olabileceği tek değer: a = 6 Durum 2: b = 7 a + 7 ∈ { 0, 9, 18 } a ∈ { 2, 11, -7 } Rakam olabileceği tek değer: a = 2 Her iki durumda da toplam aynıdır: a + b = 9 Bu nedenle doğru seçenek D1370 'dir.

Doğru cevap: A

Verilen bilgiye göre k bir tam sayı olmak üzere: N = 8 k + 5 Şimdi bu ifadeyi 4 ile bölmeye uygun şekilde düzenleyelim: N = 8 k + 5 = 4 ( 2 k + 1 ) + 1 Burada 4 ’ün katı olan kısım bölündüğünde kalan vermez, kalan sadece sondaki sayıdan gelir: N  sayısının  4  ile bölümünden kalan  1 Sonuç: Doğru cevap A312 ’dir.

1. Çözüm: Verilen bilgiye göre k bir tam sayı olmak üzere: N = 8 k + 5 Şimdi bu ifadeyi 4 ile bölmeye uygun şekilde düzenleyelim: N = 8 k + 5 = 4 ( 2 k + 1 ) + 1 Burada 4 ’ün katı olan kısım bölündüğünde kalan vermez, kalan sadece sondaki sayıdan gelir: N  sayısının  4  ile bölümünden kalan  1 Sonuç: Doğru cevap A312 ’dir.