9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: B

Verilen sayı: 3 a 4 Bir sayının ile tam bölünebilmesi için hem ile hem de ile tam bölünebilmesi gerekir. 6 = 2 · 3 Önce ile bölünebilme: Son basamak çift olmalı. Son basamak olduğundan koşul sağlanır. 4 Şimdi ile bölünebilme: Rakamlar toplamı ’ün katı olmalı. 3 + a + 4 = a + 7 Bu toplamın ’e bölünebilmesi için: a + 7 ≡ 0 (mod 3 ) Çünkü sayısının ile bölümünden kalan ’dir: 7 ≡ 1 (mod 3 ) Yerine koyarsak: a + 1 ≡ 0 (mod 3 ) Buradan: a ≡ 2 (mod 3 ) Rakam olan değerler: a ∈ { 2, 5, 8 } Bu değerlerin toplamı: 2 + 5 + 8 = 15 Sonuç olduğu için doğru seçenek B ’dir (kontrol: B doğru ). 15

1. Çözüm: Verilen sayı: 3 a 4 Bir sayının ile tam bölünebilmesi için hem ile hem de ile tam bölünebilmesi gerekir. 6 = 2 · 3 Önce ile bölünebilme: Son basamak çift olmalı. Son basamak olduğundan koşul sağlanır. 4 Şimdi ile bölünebilme: Rakamlar toplamı ’ün katı olmalı. 3 + a + 4 = a + 7 Bu toplamın ’e bölünebilmesi için: a + 7 ≡ 0 (mod 3 ) Çünkü sayısının ile bölümünden kalan ’dir: 7 ≡ 1 (mod 3 ) Yerine koyarsak: a + 1 ≡ 0 (mod 3 ) Buradan: a ≡ 2 (mod 3 ) Rakam olan değerler: a ∈ { 2, 5, 8 } Bu değerlerin toplamı: 2 + 5 + 8 = 15 Sonuç olduğu için doğru seçenek B ’dir (kontrol: B doğru ). 15

Doğru cevap: C

Bölünebilme için önce sayıyı çarpanlarına ayıralım: 792 = 8 ⋅ 9 ⋅ 11 Dolayısıyla sayı aynı anda 8, 9 ve 11 ile tam bölünebilmelidir. Sayı biçimi: N = a 3 b 1 c 4 1) 8 ile bölünebilme (son üç basamak): Son üç basamak 1 c 4 = 100 + 10 c + 4 = 104 + 10 c Burada 104 = 13 ⋅ 8 olduğundan koşul: 104 + 10 c ≡ 0 ( mod   8 ) yani 10 c ≡ 0 ( mod   8 ) ve 2 c ≡ 0 ( mod   8 ) Buradan c ≡ 0 ( mod   4 ) olur, yani c ∈ { 0, 4, 8 } 2) 9 ile bölünebilme (rakamlar toplamı): a + 3 + b + 1 + c + 4 = a + b + c + 8 Bu toplam a + b + c + 8 ≡ 0 ( mod   9 ) olmalı. Buradan S = a + b + c dersek S ≡ 1 ( mod   9 ) 3) 11 ile bölünebilme (alternatif toplam): Altı basamaklı sayıda (tek sıralar) − (çift sıralar) kuralını uygularız. Tek sıralar: a + b + c Çift sıralar: 3 + 1 + 4 = 8 Koşul: ( a + b + c ) − 8 ≡ 0 ( mod   11 ) yani S ≡ 8 ( mod   11 ) 4) İki koşulu birlikte sağlayan S değerini bulalım. Önce olası aralık: 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, c ∈ { 0, 4, 8 } Dolayısıyla 1 ≤ S ≤ 26 Şimdi S ≡ 1 ( mod   9 ) olan değerler aralıkta S ∈ { 1, 10, 19 } Ayrıca S ≡ 8 ( mod   11 ) olan değerler aralıkta S ∈ { 8, 19 } Kesişim: S = 19 5) Şimdi a + b + c = 19 şartını, c ∈ { 0, 4, 8 } ile birlikte sayalım. Durum c = 0: a + b = 19 Ama a ≤ 9, b ≤ 9 ⇒ a + b ≤ 18 Bu yüzden çözüm yok. Durum c = 4: a + b = 15 Koşullar: 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9 Buradan b = 15 − a olup 0 ≤ b ≤ 9 için 0 ≤ 15 − a ≤ 9 buradan 6 ≤ a ≤ 9 yani 4 adet çözüm vardır. Durum c = 8: a + b = 11 Benzer şekilde b = 11 − a ve 0 ≤ b ≤ 9 şartından 2 ≤ a ≤ 9 yani 8 adet çözüm vardır. Toplam sayı: 0 + 4 + 8 = 12 Sonuç: Doğru seçenek C1924 ’dir.

1. Çözüm: Bölünebilme için önce sayıyı çarpanlarına ayıralım: 792 = 8 ⋅ 9 ⋅ 11 Dolayısıyla sayı aynı anda 8, 9 ve 11 ile tam bölünebilmelidir. Sayı biçimi: N = a 3 b 1 c 4 1) 8 ile bölünebilme (son üç basamak): Son üç basamak 1 c 4 = 100 + 10 c + 4 = 104 + 10 c Burada 104 = 13 ⋅ 8 olduğundan koşul: 104 + 10 c ≡ 0 ( mod   8 ) yani 10 c ≡ 0 ( mod   8 ) ve 2 c ≡ 0 ( mod   8 ) Buradan c ≡ 0 ( mod   4 ) olur, yani c ∈ { 0, 4, 8 } 2) 9 ile bölünebilme (rakamlar toplamı): a + 3 + b + 1 + c + 4 = a + b + c + 8 Bu toplam a + b + c + 8 ≡ 0 ( mod   9 ) olmalı. Buradan S = a + b + c dersek S ≡ 1 ( mod   9 ) 3) 11 ile bölünebilme (alternatif toplam): Altı basamaklı sayıda (tek sıralar) − (çift sıralar) kuralını uygularız. Tek sıralar: a + b + c Çift sıralar: 3 + 1 + 4 = 8 Koşul: ( a + b + c ) − 8 ≡ 0 ( mod   11 ) yani S ≡ 8 ( mod   11 ) 4) İki koşulu birlikte sağlayan S değerini bulalım. Önce olası aralık: 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9, c ∈ { 0, 4, 8 } Dolayısıyla 1 ≤ S ≤ 26 Şimdi S ≡ 1 ( mod   9 ) olan değerler aralıkta S ∈ { 1, 10, 19 } Ayrıca S ≡ 8 ( mod   11 ) olan değerler aralıkta S ∈ { 8, 19 } Kesişim: S = 19 5) Şimdi a + b + c = 19 şartını, c ∈ { 0, 4, 8 } ile birlikte sayalım. Durum c = 0: a + b = 19 Ama a ≤ 9, b ≤ 9 ⇒ a + b ≤ 18 Bu yüzden çözüm yok. Durum c = 4: a + b = 15 Koşullar: 1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9 Buradan b = 15 − a olup 0 ≤ b ≤ 9 için 0 ≤ 15 − a ≤ 9 buradan 6 ≤ a ≤ 9 yani 4 adet çözüm vardır. Durum c = 8: a + b = 11 Benzer şekilde b = 11 − a ve 0 ≤ b ≤ 9 şartından 2 ≤ a ≤ 9 yani 8 adet çözüm vardır. Toplam sayı: 0 + 4 + 8 = 12 Sonuç: Doğru seçenek C1924 ’dir.

Doğru cevap: D

9 ile bölünebilme kuralı: Rakamlar toplamı 9’un katıysa sayı 9 ile tam bölünür. Verilen sayı 7 a 5 Rakamlar toplamı: 7 + a + 5 Toplamı sadeleştirelim: 7 + 5 + a = 12 + a 9 ile tam bölünebilmesi için bu toplam 9’un katı olmalı: 12 + a = 9 k Buradan: a = 9 k - 12 a bir rakam olduğundan uygun 9’un katını seçelim. Toplamın 9’un katı olması için 12 + a = 18 O hâlde: a = 18 - 12 = 6 Sonuç: Doğru seçenek D387

1. Çözüm: 9 ile bölünebilme kuralı: Rakamlar toplamı 9’un katıysa sayı 9 ile tam bölünür. Verilen sayı 7 a 5 Rakamlar toplamı: 7 + a + 5 Toplamı sadeleştirelim: 7 + 5 + a = 12 + a 9 ile tam bölünebilmesi için bu toplam 9’un katı olmalı: 12 + a = 9 k Buradan: a = 9 k - 12 a bir rakam olduğundan uygun 9’un katını seçelim. Toplamın 9’un katı olması için 12 + a = 18 O hâlde: a = 18 - 12 = 6 Sonuç: Doğru seçenek D387

Doğru cevap: A

Önce kuralı hatırlayalım: Bir sayı 15 ile tam bölünebilmek için hem 3 hem de 5 ile tam bölünmelidir. 15 = 3 × 5 5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Şıkların hepsi 5 ile biter, yani hepsi 5 ile tam bölünür. 125, 135, 145, 155 Şimdi 3 ile bölünebilmeyi kontrol edelim: Rakamlar toplamı 3 ’ün katı olmalı. A şıkkı: 1 + 2 + 5 = 8 8, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 125 sayısı 15 ile tam bölünmez. şıkkıA421: 1 + 3 + 5 = 9 9, 3 ’ün katıdır; ayrıca sayı 5 ile de bölünüyordu. Bu nedenle 135 sayısı 15 ile tam bölünür. C şıkkı: 1 + 4 + 5 = 10 10, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 145 sayısı 15 ile tam bölünmez. D şıkkı: 1 + 5 + 5 = 11 11, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 155 sayısı 15 ile tam bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A727 ’dir. 135 ÷ 15 = 9

1. Çözüm: Önce kuralı hatırlayalım: Bir sayı 15 ile tam bölünebilmek için hem 3 hem de 5 ile tam bölünmelidir. 15 = 3 × 5 5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Şıkların hepsi 5 ile biter, yani hepsi 5 ile tam bölünür. 125, 135, 145, 155 Şimdi 3 ile bölünebilmeyi kontrol edelim: Rakamlar toplamı 3 ’ün katı olmalı. A şıkkı: 1 + 2 + 5 = 8 8, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 125 sayısı 15 ile tam bölünmez. şıkkıA421: 1 + 3 + 5 = 9 9, 3 ’ün katıdır; ayrıca sayı 5 ile de bölünüyordu. Bu nedenle 135 sayısı 15 ile tam bölünür. C şıkkı: 1 + 4 + 5 = 10 10, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 145 sayısı 15 ile tam bölünmez. D şıkkı: 1 + 5 + 5 = 11 11, 3 ’ün katı değildir; bu yüzden 155 sayısı 15 ile tam bölünmez. Sonuç: Doğru cevap A727 ’dir. 135 ÷ 15 = 9

Doğru cevap: B

Verilen bölünebilme koşullarını denkliğe (mod) çevirelim. 12 | 5 n + 7 9 | 7 n - 1 Birinci koşul: 5 n + 7 ≡ 0 ( mod 12 ) 5 n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) İkinci koşul: 7 n - 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 7 n ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan pozitif tam sayı yı bulalım. n ≡ 1 ( mod 12 ) n = 12 k + 1 12 k + 1 ≡ 4 ( mod 9 ) 12 k ≡ 3 ( mod 9 ) 3 k ≡ 3 ( mod 9 ) k ≡ 1 ( mod 3 ) Buna göre: k = 3 t + 1 n = 12 ( 3 t + 1 ) + 1 n = 36 t + 13 n = 13 En küçük pozitif çözüm n = 13 olduğundan doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen bölünebilme koşullarını denkliğe (mod) çevirelim. 12 | 5 n + 7 9 | 7 n - 1 Birinci koşul: 5 n + 7 ≡ 0 ( mod 12 ) 5 n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) İkinci koşul: 7 n - 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 7 n ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan pozitif tam sayı yı bulalım. n ≡ 1 ( mod 12 ) n = 12 k + 1 12 k + 1 ≡ 4 ( mod 9 ) 12 k ≡ 3 ( mod 9 ) 3 k ≡ 3 ( mod 9 ) k ≡ 1 ( mod 3 ) Buna göre: k = 3 t + 1 n = 12 ( 3 t + 1 ) + 1 n = 36 t + 13 n = 13 En küçük pozitif çözüm n = 13 olduğundan doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

Verilen sayı 7 a 2 b olup koşul: 36 ∣ 7 a 2 b Bunun için aynı anda hem 4 ∣ 7 a 2 b hem de 9 ∣ 7 a 2 b sağlanmalıdır. Önce dörde bölünebilme: Son iki basamak 2 b olduğundan bu iki basamaklı sayı 20 + b şeklinde yazılır ve koşul 4 ∣ 20 + b olur. Çünkü 4 ∣ 20 olduğundan geriye 4 ∣ b kalır; yani b ∈ { 0, 4, 8 } Şimdi dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı 7 + a + 2 + b olur. Bu toplam 9 + a + b şeklinde olduğundan dokuza bölünebilmesi için 9 ∣ a + b gerekir. En küçük sayıyı bulmak için önce en küçük a seçilir. Bunun için önce b = 0 deneyelim. Bu durumda koşul 9 ∣ a + 0 olur ve en küçük uygun değer a = 0 Böylece en küçük sayı 7020 olur. Kontrol: 36 × 195 = 7020 Şimdi şıkkıC739nı kontrol edelim: 7128 Bu sayı için son iki basamak 28 olup 4 ∣ 28 ve rakamlar toplamı 7 + 1 + 2 + 8 = 18 olduğundan 9 ∣ 18 sağlanır; yani şıkkıC900 gerçekten 36 ile tam bölünür. Ancak en küçük sayı değildir çünkü 7020 < 7128 Sonuç: Doğru en küçük sayı 7020 olduğundan doğru cevap C1028 değildir.

1. Çözüm: Verilen sayı 7 a 2 b olup koşul: 36 ∣ 7 a 2 b Bunun için aynı anda hem 4 ∣ 7 a 2 b hem de 9 ∣ 7 a 2 b sağlanmalıdır. Önce dörde bölünebilme: Son iki basamak 2 b olduğundan bu iki basamaklı sayı 20 + b şeklinde yazılır ve koşul 4 ∣ 20 + b olur. Çünkü 4 ∣ 20 olduğundan geriye 4 ∣ b kalır; yani b ∈ { 0, 4, 8 } Şimdi dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı 7 + a + 2 + b olur. Bu toplam 9 + a + b şeklinde olduğundan dokuza bölünebilmesi için 9 ∣ a + b gerekir. En küçük sayıyı bulmak için önce en küçük a seçilir. Bunun için önce b = 0 deneyelim. Bu durumda koşul 9 ∣ a + 0 olur ve en küçük uygun değer a = 0 Böylece en küçük sayı 7020 olur. Kontrol: 36 × 195 = 7020 Şimdi şıkkıC739nı kontrol edelim: 7128 Bu sayı için son iki basamak 28 olup 4 ∣ 28 ve rakamlar toplamı 7 + 1 + 2 + 8 = 18 olduğundan 9 ∣ 18 sağlanır; yani şıkkıC900 gerçekten 36 ile tam bölünür. Ancak en küçük sayı değildir çünkü 7020 < 7128 Sonuç: Doğru en küçük sayı 7020 olduğundan doğru cevap C1028 değildir.

Doğru cevap: D

Bölünebilme koşulunu parçalayalım: 72 = 8 × 9 Dolayısıyla sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Sayıyı açık yazalım: N = a 4 8 a 6 N = a × 10000 + 4 × 1000 + 8 × 100 + a × 10 + 6 Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakılır: 8 a 6 Bu üç basamaklı sayı: 8 a 6 = 806 + 10 a Sekize bölünebilme koşulu (modüler aritmetik ile): 806 + 10 a ≡ 0 ( mod 8 ) 6 + 2 a ≡ 0 ( mod 8 ) 2 a ≡ 2 ( mod 8 ) a ≡ 1 ( mod 4 ) Buna göre rakam olan a için olası değerler: a ∈ { 1, 5, 9 } Şimdi dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmeli. S = a + 4 + 8 + a + 6 S = 2 a + 18 Dokuza bölünebilme koşulu: 2 a + 18 ≡ 0 ( mod 9 ) 2 a ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğu için buradan: a ∈ { 0, 9 } İki koşulun ortak çözümü: { 1, 5, 9 } ∩ { 0, 9 } = { 9 } Sonuç: a = 9 Dolayısıyla doğru seçenek D881 ’dır.

1. Çözüm: Bölünebilme koşulunu parçalayalım: 72 = 8 × 9 Dolayısıyla sayı hem sekize hem dokuza tam bölünmelidir. Sayıyı açık yazalım: N = a 4 8 a 6 N = a × 10000 + 4 × 1000 + 8 × 100 + a × 10 + 6 Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakılır: 8 a 6 Bu üç basamaklı sayı: 8 a 6 = 806 + 10 a Sekize bölünebilme koşulu (modüler aritmetik ile): 806 + 10 a ≡ 0 ( mod 8 ) 6 + 2 a ≡ 0 ( mod 8 ) 2 a ≡ 2 ( mod 8 ) a ≡ 1 ( mod 4 ) Buna göre rakam olan a için olası değerler: a ∈ { 1, 5, 9 } Şimdi dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünmeli. S = a + 4 + 8 + a + 6 S = 2 a + 18 Dokuza bölünebilme koşulu: 2 a + 18 ≡ 0 ( mod 9 ) 2 a ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğu için buradan: a ∈ { 0, 9 } İki koşulun ortak çözümü: { 1, 5, 9 } ∩ { 0, 9 } = { 9 } Sonuç: a = 9 Dolayısıyla doğru seçenek D881 ’dır.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları birlikte sağlayan doğal sayının on sekiz ile bölümünden kalanı bulalım. Koşulları eşdeğer kongruens olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 9 ) n ≡ 2 ( mod 6 ) İlk koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 9 k + 5 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 9 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Her iki tarafı sadeleştirelim: 3 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Taraflardan 5 çıkaralım: 3 k ≡ 2 − 5 ( mod 6 ) Sağ tarafı düzenleyelim: 3 k ≡ − 3 ( mod 6 ) Aynı modda eşdeğer bir kalana geçelim: − 3 ≡ 3 ( mod 6 ) Dolayısıyla: 3 k ≡ 3 ( mod 6 ) Bu eşitlikten k için mod 2 sonucunu çıkaralım: k ≡ 1 ( mod 2 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 2 t + 1 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 9 ( 2 t + 1 ) + 5 Düzenlersek: n = 18 t + 14 Bu, n sayısının 18 ile bölümünden kalanın şu olduğunu gösterir: n ≡ 14 ( mod 18 ) Sonuç: Doğru kalan şıkkıA795ndaki değerdir.

1. Çözüm: Verilen koşulları birlikte sağlayan doğal sayının on sekiz ile bölümünden kalanı bulalım. Koşulları eşdeğer kongruens olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 9 ) n ≡ 2 ( mod 6 ) İlk koşuldan n sayısını parametreleyelim: n = 9 k + 5 Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 9 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Her iki tarafı sadeleştirelim: 3 k + 5 ≡ 2 ( mod 6 ) Taraflardan 5 çıkaralım: 3 k ≡ 2 − 5 ( mod 6 ) Sağ tarafı düzenleyelim: 3 k ≡ − 3 ( mod 6 ) Aynı modda eşdeğer bir kalana geçelim: − 3 ≡ 3 ( mod 6 ) Dolayısıyla: 3 k ≡ 3 ( mod 6 ) Bu eşitlikten k için mod 2 sonucunu çıkaralım: k ≡ 1 ( mod 2 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 2 t + 1 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 9 ( 2 t + 1 ) + 5 Düzenlersek: n = 18 t + 14 Bu, n sayısının 18 ile bölümünden kalanın şu olduğunu gösterir: n ≡ 14 ( mod 18 ) Sonuç: Doğru kalan şıkkıA795ndaki değerdir.

Doğru cevap: B

Verilen koşulları eşdeğer olarak kongruans şeklinde yazalım: 7 n + 5 ≡ 0 (mod 12 ) 5 n + 7 ≡ 0 (mod 9 ) Birinci kongruansı çözelim: 7 n + 5 ≡ 0 (mod 12 ) 7 n ≡ − 5 (mod 12 ) − 5 ≡ 7 (mod 12 ) 7 n ≡ 7 (mod 12 ) Burada 7 ile sadeleştirmek için tersini kullanalım. Çünkü: 7 ⋅ 7 = 49 ≡ 1 (mod 12 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım: n ≡ 1 (mod 12 ) İkinci kongruansı çözelim: 5 n + 7 ≡ 0 (mod 9 ) 5 n ≡ − 7 (mod 9 ) − 7 ≡ 2 (mod 9 ) 5 n ≡ 2 (mod 9 ) Bu kez 5 ’in mod 9 ’daki tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 (mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 4 (mod 9 ) Şimdi iki sonucu birlikte sağlayan en küçük pozitif n ’yi bulalım: n ≡ 1 (mod 12 ) n ≡ 4 (mod 9 ) Birinciden n ’yi parametreleyelim: n = 12 k + 1 Bunu ikinci koşula yazalım: 12 k + 1 ≡ 4 (mod 9 ) 12 k ≡ 3 (mod 9 ) Burada 12 ’yi mod 9 ’da sadeleştirelim: 12 ≡ 3 (mod 9 ) 3 k ≡ 3 (mod 9 ) Her iki tarafı 3 ’e bölelim (burada ortak bölen 3 olduğu için mod 9 yerine mod 3 ’e indirgeriz): k ≡ 1 (mod 3 ) O hâlde: k = 3 t + 1 Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 12 ( 3 t + 1 ) + 1 n = 36 t + 13 En küçük pozitif değer için t ’yi 0 alırız: n = 13 Sonuç: En küçük n değeri 13 olduğundan doğru seçenek B1325 ’dır.

1. Çözüm: Verilen koşulları eşdeğer olarak kongruans şeklinde yazalım: 7 n + 5 ≡ 0 (mod 12 ) 5 n + 7 ≡ 0 (mod 9 ) Birinci kongruansı çözelim: 7 n + 5 ≡ 0 (mod 12 ) 7 n ≡ − 5 (mod 12 ) − 5 ≡ 7 (mod 12 ) 7 n ≡ 7 (mod 12 ) Burada 7 ile sadeleştirmek için tersini kullanalım. Çünkü: 7 ⋅ 7 = 49 ≡ 1 (mod 12 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım: n ≡ 1 (mod 12 ) İkinci kongruansı çözelim: 5 n + 7 ≡ 0 (mod 9 ) 5 n ≡ − 7 (mod 9 ) − 7 ≡ 2 (mod 9 ) 5 n ≡ 2 (mod 9 ) Bu kez 5 ’in mod 9 ’daki tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 (mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 4 (mod 9 ) Şimdi iki sonucu birlikte sağlayan en küçük pozitif n ’yi bulalım: n ≡ 1 (mod 12 ) n ≡ 4 (mod 9 ) Birinciden n ’yi parametreleyelim: n = 12 k + 1 Bunu ikinci koşula yazalım: 12 k + 1 ≡ 4 (mod 9 ) 12 k ≡ 3 (mod 9 ) Burada 12 ’yi mod 9 ’da sadeleştirelim: 12 ≡ 3 (mod 9 ) 3 k ≡ 3 (mod 9 ) Her iki tarafı 3 ’e bölelim (burada ortak bölen 3 olduğu için mod 9 yerine mod 3 ’e indirgeriz): k ≡ 1 (mod 3 ) O hâlde: k = 3 t + 1 Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 12 ( 3 t + 1 ) + 1 n = 36 t + 13 En küçük pozitif değer için t ’yi 0 alırız: n = 13 Sonuç: En küçük n değeri 13 olduğundan doğru seçenek B1325 ’dır.

Doğru cevap: C

Koşulları matematiksel olarak yazalım: x = 4 k ( k pozitif tam sayı ) x = 5 n + 3 ( n tam sayı ) İkinci koşul, kalanı ifade eden eşdeğer bir biçimde şöyle de yazılabilir: x ≡ 3 ( mod 5 ) Birinci koşula göre aday değerler, ( ) sayısının katlarıdır. En küçük pozitif kattan başlayıp ( ) ile bölümünden kalanlara bakalım: x x mod 5 4 4 8 3 12 2 16 1 20 0 Tablodan, kalan koşulunu sağlayan en küçük değer görülür: x = 8 Bu değer şıklarda seçeneğiC434dir; dolayısıyla doğru cevap C461 ’dır.

1. Çözüm: Koşulları matematiksel olarak yazalım: x = 4 k ( k pozitif tam sayı ) x = 5 n + 3 ( n tam sayı ) İkinci koşul, kalanı ifade eden eşdeğer bir biçimde şöyle de yazılabilir: x ≡ 3 ( mod 5 ) Birinci koşula göre aday değerler, ( ) sayısının katlarıdır. En küçük pozitif kattan başlayıp ( ) ile bölümünden kalanlara bakalım: x x mod 5 4 4 8 3 12 2 16 1 20 0 Tablodan, kalan koşulunu sağlayan en küçük değer görülür: x = 8 Bu değer şıklarda seçeneğiC434dir; dolayısıyla doğru cevap C461 ’dır.