9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme testleri; bölme algoritmasını, kalanlı bölmeyi, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kurallarını pekiştirir.

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının belirli sayılara bölünüp bölünmediğini hızlı anlamak için basamak, rakam toplamı ve son basamak kuralları kullanılır. 6 ile bölünebilmek için sayının hem 2 hem 3 ile bölünebilmesi gerekir.

Kalanlı Bölme

Bölme işleminde bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan bağıntısı kullanılır. Kalan her zaman bölen sayıdan küçük olmalıdır.

Test seç

14 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test

5. Test

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusu 5. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif tam sayı $n$ aşağıdaki koşulları sağlıyor:
$12 ∣ (7 n + 5)$
$9 ∣ (5 n + 1)$
$n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü B şıkkındaki değeri test edeceğiz: B = 25. 2) 1. koşul: 12 | (7n + 5) 12 ∣ ( 7 n + 5 ) 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) 7 n ≡ - 5 ≡ 7 ( mod 12 ) 3) 7'nin 12'ye göre tersi ile çözme 7 · 7 = 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 · 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) 4) 2. koşul: 9 | (5n + 1) 9 ∣ ( 5 n + 1 ) 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 5 n ≡ - 1 ≡ 8 ( mod 9 ) 5) 5'in 9'a göre tersi ile çözme 5 · 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 2 · 8 = 16 ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) 6) İki koşulu birlikte çözme n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlkinden: n = 1 + 12 k Bunu ikinciye yazalım: 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 7) Sadeleştirme 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) k ≡ 2 ( mod 3 ) k = 2 + 3 t 8) n'i bulma ve en küçük pozitif değeri seçme n = 1 + 12 ( 2 + 3 t ) n = 25 + 36 t En küçük pozitif değer için: t = 0 ⇒ n = 25 9) B şıkkını doğrulama 7 · 25 + 5 = 180, 12 ∣ 180 5 · 25 + 1 = 126, 9 ∣ 126 Dolayısıyla doğru cevap B.

Çözüm: 1) Şık kontrolü B şıkkındaki değeri test edeceğiz: B = 25. 2) 1. koşul: 12 | (7n + 5) 12 ∣ ( 7 n + 5 ) 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) 7 n ≡ - 5 ≡ 7 ( mod 12 ) 3) 7'nin 12'ye göre tersi ile çözme 7 · 7 = 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 · 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) 4) 2. koşul: 9 | (5n + 1) 9 ∣ ( 5 n + 1 ) 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 5 n ≡ - 1 ≡ 8 ( mod 9 ) 5) 5'in 9'a göre tersi ile çözme 5 · 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 2 · 8 = 16 ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) 6) İki koşulu birlikte çözme n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlkinden: n = 1 + 12 k Bunu ikinciye yazalım: 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 7) Sadeleştirme 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) k ≡ 2 ( mod 3 ) k = 2 + 3 t 8) n'i bulma ve en küçük pozitif değeri seçme n = 1 + 12 ( 2 + 3 t ) n = 25 + 36 t En küçük pozitif değer için: t = 0 ⇒ n = 25 9) B şıkkını doğrulama 7 · 25 + 5 = 180, 12 ∣ 180 5 · 25 + 1 = 126, 9 ∣ 126 Dolayısıyla doğru cevap B.

1) Şık kontrolü
B şıkkındaki değeri test edeceğiz: B = 25.

2) 1. koşul: 12 | (7n + 5)

12 ∣ (7 n + 5)

7 n + 5 \equiv 0 (\mod 12)

7 n \equiv - 5 \equiv 7 (\mod 12)

3) 7'nin 12'ye göre tersi ile çözme

7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 (\mod 12)

n \equiv 7 \cdot 7 \equiv 49 \equiv 1 (\mod 12)

n \equiv 1 (\mod 12)

4) 2. koşul: 9 | (5n + 1)

9 ∣ (5 n + 1)

5 n + 1 \equiv 0 (\mod 9)

5 n \equiv - 1 \equiv 8 (\mod 9)

5) 5'in 9'a göre tersi ile çözme

5 \cdot 2 = 10 \equiv 1 (\mod 9)

n \equiv 2 \cdot 8 = 16 \equiv 7 (\mod 9)

n \equiv 7 (\mod 9)

6) İki koşulu birlikte çözme

n \equiv 1 (\mod 12)

n \equiv 7 (\mod 9)

İlkinden:

n = 1 + 12 k

Bunu ikinciye yazalım:

1 + 12 k \equiv 7 (\mod 9)

12 k \equiv 6 (\mod 9)

7) Sadeleştirme

12 k \equiv 6 (\mod 9)

3 k \equiv 6 (\mod 9)

k \equiv 2 (\mod 3)

k = 2 + 3 t

8) n'i bulma ve en küçük pozitif değeri seçme

n = 1 + 12 (2 + 3 t)

n = 25 + 36 t

En küçük pozitif değer için:

t = 0 \Rightarrow n = 25

9) B şıkkını doğrulama

7 \cdot 25 + 5 = 180, 12 ∣ 180

5 \cdot 25 + 1 = 126, 9 ∣ 126

Dolayısıyla doğru cevap B.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayı $8$ ile bölündüğünde kalan $3$ oluyor ve bu sayı $5$ ile tam bölünüyor. Buna göre en küçük sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif tam sayı $k$ kaçtır ki $2026 k + 2025$ sayısı $11$ ile tam bölünsün?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$n \equiv 1 mod 6$ , $n \equiv 2 mod 7$ ve $n \equiv 3 mod 8$ koşullarını sağlayan en küçük pozitif $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Koşulları birlikte çözelim: 1) İlk koşulu parametreleyelim. n ≡ 1 mod 6 n = 1 + 6 k 2) Bunu ikinci koşulda kullanalım. n ≡ 2 mod 7 1 + 6 k ≡ 2 mod 7 6 k ≡ 1 mod 7 3) Burada mod 7’de 6 sayısı, −1’e denktir. 6 ≡ − 1 mod 7 − k ≡ 1 mod 7 k ≡ − 1 ≡ 6 mod 7 k = 6 + 7 t 4) k’yı n ifadesine geri yazalım. n = 1 + 6 ( 6 + 7 t ) n = 37 + 42 t 5) Üçüncü koşulu kullanalım. n ≡ 3 mod 8 37 + 42 t ≡ 3 mod 8 6) Mod 8’e göre sadeleştirelim. 37 ≡ 5 mod 8 42 ≡ 2 mod 8 5 + 2 t ≡ 3 mod 8 2 t ≡ − 2 ≡ 6 mod 8 7) Her iki tarafı 2’ye bölelim (bu durumda çözümler mod 4’e iner). t ≡ 3 mod 4 t = 3 + 4 s 8) n’i bulalım. n = 37 + 42 ( 3 + 4 s ) n = 163 + 168 s En küçük pozitif değer için s yerine en küçük uygun tam sayı alınır: s = 0 ⇒ n = 163 9) Şık kontrolü: B şıkkı 163 olduğundan doğru cevap B’dir.

Çözüm: Koşulları birlikte çözelim: 1) İlk koşulu parametreleyelim. n ≡ 1 mod 6 n = 1 + 6 k 2) Bunu ikinci koşulda kullanalım. n ≡ 2 mod 7 1 + 6 k ≡ 2 mod 7 6 k ≡ 1 mod 7 3) Burada mod 7’de 6 sayısı, −1’e denktir. 6 ≡ − 1 mod 7 − k ≡ 1 mod 7 k ≡ − 1 ≡ 6 mod 7 k = 6 + 7 t 4) k’yı n ifadesine geri yazalım. n = 1 + 6 ( 6 + 7 t ) n = 37 + 42 t 5) Üçüncü koşulu kullanalım. n ≡ 3 mod 8 37 + 42 t ≡ 3 mod 8 6) Mod 8’e göre sadeleştirelim. 37 ≡ 5 mod 8 42 ≡ 2 mod 8 5 + 2 t ≡ 3 mod 8 2 t ≡ − 2 ≡ 6 mod 8 7) Her iki tarafı 2’ye bölelim (bu durumda çözümler mod 4’e iner). t ≡ 3 mod 4 t = 3 + 4 s 8) n’i bulalım. n = 37 + 42 ( 3 + 4 s ) n = 163 + 168 s En küçük pozitif değer için s yerine en küçük uygun tam sayı alınır: s = 0 ⇒ n = 163 9) Şık kontrolü: B şıkkı 163 olduğundan doğru cevap B’dir.

Koşulları birlikte çözelim:

1) İlk koşulu parametreleyelim.

$n \equiv 1 mod 6$

$n = 1 + 6 k$

2) Bunu ikinci koşulda kullanalım.

$n \equiv 2 mod 7$

$1 + 6 k \equiv 2 mod 7$

$6 k \equiv 1 mod 7$

3) Burada mod 7’de 6 sayısı, −1’e denktir.

$6 \equiv - 1 mod 7$

$- k \equiv 1 mod 7$

$k \equiv - 1 \equiv 6 mod 7$

$k = 6 + 7 t$

4) k’yı n ifadesine geri yazalım.

$n = 1 + 6 (6 + 7 t)$

$n = 37 + 42 t$

5) Üçüncü koşulu kullanalım.

$n \equiv 3 mod 8$

$37 + 42 t \equiv 3 mod 8$

6) Mod 8’e göre sadeleştirelim.

$37 \equiv 5 mod 8$

$42 \equiv 2 mod 8$

$5 + 2 t \equiv 3 mod 8$

$2 t \equiv - 2 \equiv 6 mod 8$

7) Her iki tarafı 2’ye bölelim (bu durumda çözümler mod 4’e iner).

$t \equiv 3 mod 4$

$t = 3 + 4 s$

8) n’i bulalım.

$n = 37 + 42 (3 + 4 s)$

$n = 163 + 168 s$

En küçük pozitif değer için s yerine en küçük uygun tam sayı alınır:

$s = 0 \Rightarrow n = 163$

9) Şık kontrolü: B şıkkı 163 olduğundan doğru cevap B’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$37 x 5$ sayısı $9$ ile tam bölünebilmektedir. $x$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif $x$ tam sayısı için $12 x$ sayısı $45$ ile tam bölünmektedir. $x$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif $n$ tam sayısı için aşağıdakiler sağlanıyor:
$n \equiv 4 (\mod 9)$
$n \equiv 5 (\mod 8)$
$n \equiv 3 (\mod 7)$
$n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Şıkları kontrol etmek için verilen üç koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. 1) İkinci koşuldan başlayalım: n ≡ 5 ( mod 8 ) Buna göre: n = 5 + 8 k 2) Bunu birinci koşulda kullanalım: n ≡ 4 ( mod 9 ) Yerine yazalım: 5 + 8 k ≡ 4 ( mod 9 ) Buradan: 8 k ≡ − 1 ( mod 9 ) Mod 9'da 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) olduğundan denklem: − k ≡ − 1 ( mod 9 ) olur, yani: k ≡ 1 ( mod 9 ) Dolayısıyla: k = 1 + 9 t 3) Şimdi n = 5 + 8 k ifadesinde k = 1 + 9 t yerine yazalım: n = 5 + 8 ( 1 + 9 t ) Sadeleştirelim: n = 13 + 72 t 4) Üçüncü koşulu uygulayalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) n = 13 + 72 t olduğundan: 13 + 72 t ≡ 3 ( mod 7 ) Mod 7'de sadeleştirelim: 13 ≡ 6 ( mod 7 ) 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Böylece: 6 + 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) Buradan: 2 t ≡ − 3 ( mod 7 ) Mod 7'de − 3 ≡ 4 ( mod 7 ) olduğundan: 2 t ≡ 4 ( mod 7 ) Mod 7'de 2'nin tersi 4'tür (çünkü 2 ⋅ 4 ≡ 1 ( mod 7 ) ), iki tarafı 4 ile çarpalım: t ≡ 16 ( mod 7 ) Yani: t ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: t = 2 + 7 s 5) Son olarak n = 13 + 72 t içinde yerine yazalım: n = 13 + 72 ( 2 + 7 s ) Sadeleştirelim: n = 157 + 504 s En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 157 6) Sonuç ve şık kontrolü: Bulduğumuz değer n = 157 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Şıkları kontrol etmek için verilen üç koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. 1) İkinci koşuldan başlayalım: n ≡ 5 ( mod 8 ) Buna göre: n = 5 + 8 k 2) Bunu birinci koşulda kullanalım: n ≡ 4 ( mod 9 ) Yerine yazalım: 5 + 8 k ≡ 4 ( mod 9 ) Buradan: 8 k ≡ − 1 ( mod 9 ) Mod 9'da 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) olduğundan denklem: − k ≡ − 1 ( mod 9 ) olur, yani: k ≡ 1 ( mod 9 ) Dolayısıyla: k = 1 + 9 t 3) Şimdi n = 5 + 8 k ifadesinde k = 1 + 9 t yerine yazalım: n = 5 + 8 ( 1 + 9 t ) Sadeleştirelim: n = 13 + 72 t 4) Üçüncü koşulu uygulayalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) n = 13 + 72 t olduğundan: 13 + 72 t ≡ 3 ( mod 7 ) Mod 7'de sadeleştirelim: 13 ≡ 6 ( mod 7 ) 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Böylece: 6 + 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) Buradan: 2 t ≡ − 3 ( mod 7 ) Mod 7'de − 3 ≡ 4 ( mod 7 ) olduğundan: 2 t ≡ 4 ( mod 7 ) Mod 7'de 2'nin tersi 4'tür (çünkü 2 ⋅ 4 ≡ 1 ( mod 7 ) ), iki tarafı 4 ile çarpalım: t ≡ 16 ( mod 7 ) Yani: t ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: t = 2 + 7 s 5) Son olarak n = 13 + 72 t içinde yerine yazalım: n = 13 + 72 ( 2 + 7 s ) Sadeleştirelim: n = 157 + 504 s En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 157 6) Sonuç ve şık kontrolü: Bulduğumuz değer n = 157 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

Şıkları kontrol etmek için verilen üç koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım.

1) İkinci koşuldan başlayalım:

n \equiv 5 (\mod 8)

Buna göre:

n = 5 + 8 k

2) Bunu birinci koşulda kullanalım:

n \equiv 4 (\mod 9)

Yerine yazalım:

5 + 8 k \equiv 4 (\mod 9)

Buradan:

8 k \equiv - 1 (\mod 9)

Mod 9'da $8 \equiv - 1 (\mod 9)$ olduğundan denklem:

- k \equiv - 1 (\mod 9)

olur, yani:

k \equiv 1 (\mod 9)

Dolayısıyla:

k = 1 + 9 t

3) Şimdi $n = 5 + 8 k$ ifadesinde $k = 1 + 9 t$ yerine yazalım:

n = 5 + 8 (1 + 9 t)

Sadeleştirelim:

n = 13 + 72 t

4) Üçüncü koşulu uygulayalım:

n \equiv 3 (\mod 7)

$n = 13 + 72 t$ olduğundan:

13 + 72 t \equiv 3 (\mod 7)

Mod 7'de sadeleştirelim:

13 \equiv 6 (\mod 7)

72 \equiv 2 (\mod 7)

Böylece:

6 + 2 t \equiv 3 (\mod 7)

Buradan:

2 t \equiv - 3 (\mod 7)

Mod 7'de $- 3 \equiv 4 (\mod 7)$ olduğundan:

2 t \equiv 4 (\mod 7)

Mod 7'de 2'nin tersi 4'tür (çünkü $2 \cdot 4 \equiv 1 (\mod 7)$ ), iki tarafı 4 ile çarpalım:

t \equiv 16 (\mod 7)

Yani:

t \equiv 2 (\mod 7)

Dolayısıyla:

t = 2 + 7 s

5) Son olarak $n = 13 + 72 t$ içinde yerine yazalım:

n = 13 + 72 (2 + 7 s)

Sadeleştirelim:

n = 157 + 504 s

En küçük pozitif değer için $s = 0$ alınır:

n = 157

6) Sonuç ve şık kontrolü: Bulduğumuz değer $n = 157$ olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Üç basamaklı $48 a$ sayısı $9$ ile tam bölünebiliyorsa $a$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$N$ altı basamaklı sayısı $4 a 8 b 6 c$ biçimindedir ( $a$ , $b$ , $c$ birer rakam). $N$ sayısı $72$ ile tam bölünebiliyorsa $N$ kaç farklı değer alabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: Doğru cevap B değildir. Doğru sonuç 17 çıkıyor. Verilen sayı: N = 400000 + a ⋅ 10000 + 8000 + b ⋅ 100 + 60 + c 2) 72 ile bölünebilme koşulu (asal çarpanlara ayırma): 72 = 8 ⋅ 9 Dolayısıyla aynı anda 8’e ve 9’a bölünebilmelidir. 3) 9’a bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 4 + a + 8 + b + 6 + c = 18 + a + b + c 18 ≡ 0 (mod 9) N 9’a bölünür ⇔ a + b + c ≡ 0 (mod 9) 4) 8’e bölünebilme: Son 3 basamak 8’in katı olmalı. Son üç basamak: 100 b + 60 + c Mod 8 inceleyelim: 100 ≡ 4 (mod 8) 60 ≡ 4 (mod 8) 100 b + 60 + c ≡ 4 b + 4 + c (mod 8) N 8’e bölünür ⇔ 4 b + 4 + c ≡ 0 (mod 8) Burada b’nin tek-çift olmasına göre: • b çift ise: 4 b ≡ 0 (mod 8) 4 + c ≡ 0 (mod 8) c ≡ 4 (mod 8) Rakam olduğundan: c = 4 • b tek ise: 4 b ≡ 4 (mod 8) 4 + 4 + c ≡ 0 (mod 8) c ≡ 0 (mod 8) Rakam olduğundan: c ∈ { 0, 8 } Buna göre uygun (b,c) ikilileri sayısı: • b çift: 5 seçenek ( 0,2,4,6,8 ) ve her biri için c=4 → 5 ikili • b tek: 5 seçenek ( 1,3,5,7,9 ) ve her biri için 2 seçenek ( c=0 veya c=8 ) → 10 ikili Toplam (b,c) ikilisi = 5 + 10 = 15 5) Şimdi her uygun (b,c) için a sayısını bulalım: a + b + c ≡ 0 (mod 9) Bu kongruans a ’yı mod 9’a göre tek bir değere zorlar; ancak 0 kalanı gerekiyorsa a için iki rakam olabilir: a ≡ 0 (mod 9) ⇒ a ∈ { 0, 9 } 6) Durumlara ayıralım: Durum 1: b çift ve c=4. Bu durumda b+c değerleri 4,6,8,10,12 olur ve hiçbiri 9’un katı değildir, dolayısıyla her birinde a tek seçilir: Bu durumdan gelen sayı = 5 Durum 2: b tek ve c=0. Burada b+c=b olur. Sadece b=9 iken 9’un katıdır, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(9,0) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 Durum 3: b tek ve c=8. Burada b+c sadece b=1 iken 9’un katı olur ( 1+8=9 ), o zaman a iki değer alır. (b,c)=(1,8) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 7) Toplam: 5 + 6 + 6 = 17 Sonuç: N sayısı 17 farklı değer alabilir. Bu nedenle B şıkkı ( 15 ) yanlıştır.

Çözüm: 1) Şık kontrolü: Doğru cevap B değildir. Doğru sonuç 17 çıkıyor. Verilen sayı: N = 400000 + a ⋅ 10000 + 8000 + b ⋅ 100 + 60 + c 2) 72 ile bölünebilme koşulu (asal çarpanlara ayırma): 72 = 8 ⋅ 9 Dolayısıyla aynı anda 8’e ve 9’a bölünebilmelidir. 3) 9’a bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 4 + a + 8 + b + 6 + c = 18 + a + b + c 18 ≡ 0 (mod 9) N 9’a bölünür ⇔ a + b + c ≡ 0 (mod 9) 4) 8’e bölünebilme: Son 3 basamak 8’in katı olmalı. Son üç basamak: 100 b + 60 + c Mod 8 inceleyelim: 100 ≡ 4 (mod 8) 60 ≡ 4 (mod 8) 100 b + 60 + c ≡ 4 b + 4 + c (mod 8) N 8’e bölünür ⇔ 4 b + 4 + c ≡ 0 (mod 8) Burada b’nin tek-çift olmasına göre: • b çift ise: 4 b ≡ 0 (mod 8) 4 + c ≡ 0 (mod 8) c ≡ 4 (mod 8) Rakam olduğundan: c = 4 • b tek ise: 4 b ≡ 4 (mod 8) 4 + 4 + c ≡ 0 (mod 8) c ≡ 0 (mod 8) Rakam olduğundan: c ∈ { 0, 8 } Buna göre uygun (b,c) ikilileri sayısı: • b çift: 5 seçenek ( 0,2,4,6,8 ) ve her biri için c=4 → 5 ikili • b tek: 5 seçenek ( 1,3,5,7,9 ) ve her biri için 2 seçenek ( c=0 veya c=8 ) → 10 ikili Toplam (b,c) ikilisi = 5 + 10 = 15 5) Şimdi her uygun (b,c) için a sayısını bulalım: a + b + c ≡ 0 (mod 9) Bu kongruans a ’yı mod 9’a göre tek bir değere zorlar; ancak 0 kalanı gerekiyorsa a için iki rakam olabilir: a ≡ 0 (mod 9) ⇒ a ∈ { 0, 9 } 6) Durumlara ayıralım: Durum 1: b çift ve c=4. Bu durumda b+c değerleri 4,6,8,10,12 olur ve hiçbiri 9’un katı değildir, dolayısıyla her birinde a tek seçilir: Bu durumdan gelen sayı = 5 Durum 2: b tek ve c=0. Burada b+c=b olur. Sadece b=9 iken 9’un katıdır, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(9,0) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 Durum 3: b tek ve c=8. Burada b+c sadece b=1 iken 9’un katı olur ( 1+8=9 ), o zaman a iki değer alır. (b,c)=(1,8) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = 6 7) Toplam: 5 + 6 + 6 = 17 Sonuç: N sayısı 17 farklı değer alabilir. Bu nedenle B şıkkı ( 15 ) yanlıştır.

1) Şık kontrolü: Doğru cevap B değildir. Doğru sonuç 17 çıkıyor.

Verilen sayı:

N = 400000 + a \cdot 10000 + 8000 + b \cdot 100 + 60 + c

2) 72 ile bölünebilme koşulu (asal çarpanlara ayırma):

72 = 8 \cdot 9

Dolayısıyla aynı anda 8’e ve 9’a bölünebilmelidir.

3) 9’a bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı.

4 + a + 8 + b + 6 + c = 18 + a + b + c

18 \equiv 0 (mod 9)

N 9’a bölünür \Leftrightarrow a + b + c \equiv 0 (mod 9)

4) 8’e bölünebilme: Son 3 basamak 8’in katı olmalı. Son üç basamak:

100 b + 60 + c

Mod 8 inceleyelim:

100 \equiv 4 (mod 8)

60 \equiv 4 (mod 8)

100 b + 60 + c \equiv 4 b + 4 + c (mod 8)

N 8’e bölünür \Leftrightarrow 4 b + 4 + c \equiv 0 (mod 8)

Burada b’nin tek-çift olmasına göre:

• b çift ise:

4 b \equiv 0 (mod 8)

4 + c \equiv 0 (mod 8)

c \equiv 4 (mod 8)

Rakam olduğundan:

c = 4

• b tek ise:

4 b \equiv 4 (mod 8)

4 + 4 + c \equiv 0 (mod 8)

c \equiv 0 (mod 8)

Rakam olduğundan:

c \in {0, 8}

Buna göre uygun (b,c) ikilileri sayısı:

• b çift: 5 seçenek (0,2,4,6,8) ve her biri için c=4 → 5 ikili

• b tek: 5 seçenek (1,3,5,7,9) ve her biri için 2 seçenek (c=0 veya c=8) → 10 ikili

Toplam (b,c) ikilisi = 5 + 10 = 15

5) Şimdi her uygun (b,c) için a sayısını bulalım:

a + b + c \equiv 0 (mod 9)

Bu kongruans a’yı mod 9’a göre tek bir değere zorlar; ancak 0 kalanı gerekiyorsa a için iki rakam olabilir:

a \equiv 0 (mod 9) \Rightarrow a \in {0, 9}

6) Durumlara ayıralım:

Durum 1:b çift ve c=4. Bu durumda b+c değerleri 4,6,8,10,12 olur ve hiçbiri 9’un katı değildir, dolayısıyla her birinde a tek seçilir:

Bu durumdan gelen sayı = 5

Durum 2:b tek ve c=0. Burada b+c=b olur. Sadece b=9 iken 9’un katıdır, o zaman a iki değer alır.

(b,c)=(9,0) \Rightarrow a \in {0, 9}

Bu durumdan gelen sayı = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 6

Durum 3:b tek ve c=8. Burada b+c sadece b=1 iken 9’un katı olur (1+8=9), o zaman a iki değer alır.

(b,c)=(1,8) \Rightarrow a \in {0, 9}

Bu durumdan gelen sayı = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 6

7) Toplam:

5 + 6 + 6 = 17

Sonuç:N sayısı 17 farklı değer alabilir. Bu nedenle B şıkkı ( $15$ ) yanlıştır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki üç basamaklı sayıda $x$ yerine hangi rakam yazılırsa sayı $9$ ile tam bölünür?
$4 x 7$

Lütfen önce bir cevap seç.

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

6 ile bölünebilme kuralı nedir?

Bir sayı hem 2 hem 3 ile bölünebiliyorsa 6 ile bölünebilir.

Kalanlı bölmede temel bağıntı nedir?

Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan bağıntısı kullanılır.

Kalanın alabileceği değerler nasıldır?

Kalan sıfır veya pozitif olabilir ancak bölen sayıdan küçük olmalıdır.

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölünebilme Kuralları

Kalanlı Bölme

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

En küçük pozitif tam sayı n aşağıdaki koşulları sağlıyor:12∣(7n+5)9∣(5n+1)n kaçtır?

Bir doğal sayı 8 ile bölündüğünde kalan 3 oluyor ve bu sayı 5 ile tam bölünüyor. Buna göre en küçük sayı kaçtır?

En küçük pozitif tam sayı k kaçtır ki 2026k+2025 sayısı 11 ile tam bölünsün?

n≡1 mod 6, n≡2 mod 7 ve n≡3 mod 8 koşullarını sağlayan en küçük pozitif n kaçtır?

37x5 sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. x kaçtır?

En küçük pozitif x tam sayısı için 12x sayısı 45 ile tam bölünmektedir. x kaçtır?

En küçük pozitif n tam sayısı için aşağıdakiler sağlanıyor:n≡4(mod9)n≡5(mod8)n≡3(mod7)n kaçtır?

Üç basamaklı48asayısı9ile tam bölünebiliyorsaakaçtır?

N altı basamaklı sayısı 4a8b6c biçimindedir (a, b, c birer rakam). N sayısı 72 ile tam bölünebiliyorsa N kaç farklı değer alabilir?

Aşağıdaki üç basamaklı sayıda x yerine hangi rakam yazılırsa sayı 9 ile tam bölünür?4x7

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

En küçük pozitif tam sayı $n$ aşağıdaki koşulları sağlıyor:
$12 ∣ (7 n + 5)$
$9 ∣ (5 n + 1)$
$n$ kaçtır?

Bir doğal sayı $8$ ile bölündüğünde kalan $3$ oluyor ve bu sayı $5$ ile tam bölünüyor. Buna göre en küçük sayı kaçtır?

En küçük pozitif tam sayı $k$ kaçtır ki $2026 k + 2025$ sayısı $11$ ile tam bölünsün?

$n \equiv 1 mod 6$ , $n \equiv 2 mod 7$ ve $n \equiv 3 mod 8$ koşullarını sağlayan en küçük pozitif $n$ kaçtır?

$37 x 5$ sayısı $9$ ile tam bölünebilmektedir. $x$ kaçtır?

En küçük pozitif $x$ tam sayısı için $12 x$ sayısı $45$ ile tam bölünmektedir. $x$ kaçtır?

En küçük pozitif $n$ tam sayısı için aşağıdakiler sağlanıyor:
$n \equiv 4 (\mod 9)$
$n \equiv 5 (\mod 8)$
$n \equiv 3 (\mod 7)$
$n$ kaçtır?

Üç basamaklı $48 a$ sayısı $9$ ile tam bölünebiliyorsa $a$ kaçtır?

$N$ altı basamaklı sayısı $4 a 8 b 6 c$ biçimindedir ( $a$ , $b$ , $c$ birer rakam). $N$ sayısı $72$ ile tam bölünebiliyorsa $N$ kaç farklı değer alabilir?

Aşağıdaki üç basamaklı sayıda $x$ yerine hangi rakam yazılırsa sayı $9$ ile tam bölünür?
$4 x 7$