9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü B şıkkındaki değeri test edeceğiz: $B = 25$. 2) 1. koşul: 12 | (7n + 5) 12 ∣ ( 7 n + 5 ) 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) 7 n ≡ - 5 ≡ 7 ( mod 12 ) 3) 7'nin 12'ye göre tersi ile çözme 7 · $7 = 49$ ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 · 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) 4) 2. koşul: 9 | (5n + 1) 9 ∣ ( 5 n + 1 ) 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 5 n ≡ - 1 ≡ 8 ( mod 9 ) 5) 5'in 9'a göre tersi ile çözme 5 · $2 = 10$ ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 2 · $8 = 16$ ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) 6) İki koşulu birlikte çözme n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlkinden: $n = 1 + 12$k Bunu ikinciye yazalım: 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 7) Sadeleştirme 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) k ≡ 2 ( mod 3 ) $k = 2 + 3$t 8) n'i bulma ve en küçük pozitif değeri seçme $n = 1 + 12$( 2 + 3 t ) $n = 25 + 36$t En küçük pozitif değer için: $t = 0$⇒ $n = 25$9) B şıkkını doğrulama 7 · $25 + 5 = 180$, 12 ∣ 180 5 · $25 + 1 = 126$, 9 ∣ 126 Dolayısıyla doğru cevap B.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü B şıkkındaki değeri test edeceğiz: $B = 25$. 2) 1. koşul: 12 | (7n + 5) 12 ∣ ( 7 n + 5 ) 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) 7 n ≡ - 5 ≡ 7 ( mod 12 ) 3) 7'nin 12'ye göre tersi ile çözme 7 · $7 = 49$ ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 · 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 1 ( mod 12 ) 4) 2. koşul: 9 | (5n + 1) 9 ∣ ( 5 n + 1 ) 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) 5 n ≡ - 1 ≡ 8 ( mod 9 ) 5) 5'in 9'a göre tersi ile çözme 5 · $2 = 10$ ≡ 1 ( mod 9 ) n ≡ 2 · $8 = 16$ ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) 6) İki koşulu birlikte çözme n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) İlkinden: $n = 1 + 12$k Bunu ikinciye yazalım: 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 7) Sadeleştirme 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) k ≡ 2 ( mod 3 ) $k = 2 + 3$t 8) n'i bulma ve en küçük pozitif değeri seçme $n = 1 + 12$( 2 + 3 t ) $n = 25 + 36$t En küçük pozitif değer için: $t = 0$⇒ $n = 25$9) B şıkkını doğrulama 7 · $25 + 5 = 180$, 12 ∣ 180 5 · $25 + 1 = 126$, 9 ∣ 126 Dolayısıyla doğru cevap B.

Doğru cevap: B

Doğru şık kontrolü: B: 35 Aşağıdaki adımlarda en küçük sayının 35 olduğu bulunacaktır; dolayısıyla doğru cevap B olur. Kalan bilgisine göre sayı şu biçimde yazılır: n = 8 k + 3 Burada k bir doğal sayıdır. Sayı 5 ile tam bölündüğü için: n ≡ 0 ( mod 5 ) Yerine yazalım: 8 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) 8 sayısının 5 ile bölümünden kalan: 8 ≡ 3 ( mod 5 ) Bu yüzden denklem: 3 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 3 k ≡ 2 ( mod 5 ) Her iki tarafı 3 ’ün 5 ’e göre ters elemanı ile çarpalım. Çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) Bu nedenle: k ≡ 2 · 2 ( mod 5 ) k ≡ 4 ( mod 5 ) En küçük uygun k değeri: k = 4 Bunu n = 8 k + 3 ifadesinde yerine koyarsak: n = 8 · 4 + 3 = 35 Sonuç: n = 35 Doğru cevap: B

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: B: 35 Aşağıdaki adımlarda en küçük sayının 35 olduğu bulunacaktır; dolayısıyla doğru cevap B olur. Kalan bilgisine göre sayı şu biçimde yazılır: n = 8 k + 3 Burada k bir doğal sayıdır. Sayı 5 ile tam bölündüğü için: n ≡ 0 ( mod 5 ) Yerine yazalım: 8 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) 8 sayısının 5 ile bölümünden kalan: 8 ≡ 3 ( mod 5 ) Bu yüzden denklem: 3 k + 3 ≡ 0 ( mod 5 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 3 k ≡ 2 ( mod 5 ) Her iki tarafı 3 ’ün 5 ’e göre ters elemanı ile çarpalım. Çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1 ( mod 5 ) Bu nedenle: k ≡ 2 · 2 ( mod 5 ) k ≡ 4 ( mod 5 ) En küçük uygun k değeri: k = 4 Bunu n = 8 k + 3 ifadesinde yerine koyarsak: n = 8 · 4 + 3 = 35 Sonuç: n = 35 Doğru cevap: B

Doğru cevap: A

Bölünebilme koşulunu sağlamak için ifadeyi modüler aritmetikte inceleyelim. Önce katsayıları mod alalım: 2026 ≡ 2 ( mod 11 ) 2025 ≡ 1 ( mod 11 ) Buna göre ifade: 2026 k + 2025 ≡ 2 k + 1 ( mod 11 ) Tam bölünme için kalan sıfır olmalıdır: 2 k + 1 ≡ 0 ( mod 11 ) 2 k ≡ 10 ( mod 11 ) Modüler ters kullanarak çözelim. Aşağıdaki çarpımda kalan: 2 ⋅ 6 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı bu tersle çarpalım: k ≡ 10 ⋅ 6 = 60 ≡ 5 ( mod 11 ) En küçük pozitif çözüm: k = 5 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Bölünebilme koşulunu sağlamak için ifadeyi modüler aritmetikte inceleyelim. Önce katsayıları mod alalım: 2026 ≡ 2 ( mod 11 ) 2025 ≡ 1 ( mod 11 ) Buna göre ifade: 2026 k + 2025 ≡ 2 k + 1 ( mod 11 ) Tam bölünme için kalan sıfır olmalıdır: 2 k + 1 ≡ 0 ( mod 11 ) 2 k ≡ 10 ( mod 11 ) Modüler ters kullanarak çözelim. Aşağıdaki çarpımda kalan: 2 ⋅ 6 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı bu tersle çarpalım: k ≡ 10 ⋅ 6 = 60 ≡ 5 ( mod 11 ) En küçük pozitif çözüm: k = 5 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Koşulları birlikte çözelim: 1) İlk koşulu parametreleyelim. n ≡ 1 mod 6 $n = 1 + 6$k 2) Bunu ikinci koşulda kullanalım. n ≡ 2 mod 7 1 + 6 k ≡ 2 mod 7 6 k ≡ 1 mod 7 3) Burada mod 7’de 6 sayısı, −1’e denktir. 6 ≡ − 1 mod 7 − k ≡ 1 mod 7 k ≡ − 1 ≡ 6 mod 7 $k = 6 + 7$t 4) k’yı n ifadesine geri yazalım. $n = 1 + 6$( 6 + 7 t ) $n = 37 + 42$t 5) Üçüncü koşulu kullanalım. n ≡ 3 mod 8 37 + 42 t ≡ 3 mod 8 6) Mod 8’e göre sadeleştirelim. 37 ≡ 5 mod 8 42 ≡ 2 mod 8 5 + 2 t ≡ 3 mod 8 2 t ≡ − 2 ≡ 6 mod 8 7) Her iki tarafı 2’ye bölelim (bu durumda çözümler mod 4’e iner). t ≡ 3 mod 4 $t = 3 + 4$s 8) n’i bulalım. $n = 37 + 42$( 3 + 4 s ) $n = 163 + 168$s En küçük pozitif değer için s yerine en küçük uygun tam sayı alınır: $s = 0$⇒ $n = 163$9) Şık kontrolü: B şıkkı 163 olduğundan doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: Koşulları birlikte çözelim: 1) İlk koşulu parametreleyelim. n ≡ 1 mod 6 $n = 1 + 6$k 2) Bunu ikinci koşulda kullanalım. n ≡ 2 mod 7 1 + 6 k ≡ 2 mod 7 6 k ≡ 1 mod 7 3) Burada mod 7’de 6 sayısı, −1’e denktir. 6 ≡ − 1 mod 7 − k ≡ 1 mod 7 k ≡ − 1 ≡ 6 mod 7 $k = 6 + 7$t 4) k’yı n ifadesine geri yazalım. $n = 1 + 6$( 6 + 7 t ) $n = 37 + 42$t 5) Üçüncü koşulu kullanalım. n ≡ 3 mod 8 37 + 42 t ≡ 3 mod 8 6) Mod 8’e göre sadeleştirelim. 37 ≡ 5 mod 8 42 ≡ 2 mod 8 5 + 2 t ≡ 3 mod 8 2 t ≡ − 2 ≡ 6 mod 8 7) Her iki tarafı 2’ye bölelim (bu durumda çözümler mod 4’e iner). t ≡ 3 mod 4 $t = 3 + 4$s 8) n’i bulalım. $n = 37 + 42$( 3 + 4 s ) $n = 163 + 168$s En küçük pozitif değer için s yerine en küçük uygun tam sayı alınır: $s = 0$⇒ $n = 163$9) Şık kontrolü: B şıkkı 163 olduğundan doğru cevap B’dir.

Doğru cevap: B

Verilen sayı, rakamları sırasıyla şu şekilde olan bir sayıdır: 3 7 x 5 Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9 ile tam bölünebilmesi gerekir. Rakamlar toplamını yazalım: 3 + 7 + x + 5 Önce sabit rakamları toplayalım: 3 + 7 + 5 = 15 O hâlde rakamlar toplamı: 15 + x Bu toplam 9 ile tam bölünmeli, yani 9 'un katı olmalıdır. Modüler olarak yazalım: 15 + x ≡ 0   ( mod   9 ) Şimdi 15 'in 9 'a göre kalanını bulalım: 15 ≡ 6   ( mod   9 ) Yerine yazalım: 6 + x ≡ 0   ( mod   9 ) Buradan: x ≡ 3   ( mod   9 ) Ancak x bir rakam olduğuna göre 0 ile 9 arasındadır; bu koşulu sağlayan tek rakam: x = 3 Sonuç: Doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Verilen sayı, rakamları sırasıyla şu şekilde olan bir sayıdır: 3 7 x 5 Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9 ile tam bölünebilmesi gerekir. Rakamlar toplamını yazalım: 3 + 7 + x + 5 Önce sabit rakamları toplayalım: 3 + 7 + 5 = 15 O hâlde rakamlar toplamı: 15 + x Bu toplam 9 ile tam bölünmeli, yani 9 'un katı olmalıdır. Modüler olarak yazalım: 15 + x ≡ 0   ( mod   9 ) Şimdi 15 'in 9 'a göre kalanını bulalım: 15 ≡ 6   ( mod   9 ) Yerine yazalım: 6 + x ≡ 0   ( mod   9 ) Buradan: x ≡ 3   ( mod   9 ) Ancak x bir rakam olduğuna göre 0 ile 9 arasındadır; bu koşulu sağlayan tek rakam: x = 3 Sonuç: Doğru seçenek B 'dir.

Doğru cevap: C

Koşulu bölünebilme şeklinde yazalım: 45 | 12 x Bu, bir tam sayı k olmak üzere şu anlama gelir: 12 $x = 45$k Ortak böleni bulalım: EBOB ( 12, 45 ) = 3 Denklemi her iki taraftan bu ortak bölece bölelim: 4 $x = 15$k Şimdi bu iki sayının aralarında asal olduğunu görelim: EBOB ( 4, 15 ) = 1 Aralarında asal oldukları için 4 sayısı sağ tarafı bölemeyeceğinden, x mutlaka 15 'in katı olmalıdır. En küçük pozitif değer: $x = 15$Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

1. Çözüm: Koşulu bölünebilme şeklinde yazalım: 45 | 12 x Bu, bir tam sayı k olmak üzere şu anlama gelir: 12 $x = 45$k Ortak böleni bulalım: EBOB ( 12, 45 ) = 3 Denklemi her iki taraftan bu ortak bölece bölelim: 4 $x = 15$k Şimdi bu iki sayının aralarında asal olduğunu görelim: EBOB ( 4, 15 ) = 1 Aralarında asal oldukları için 4 sayısı sağ tarafı bölemeyeceğinden, x mutlaka 15 'in katı olmalıdır. En küçük pozitif değer: $x = 15$Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

Doğru cevap: A

Şıkları kontrol etmek için verilen üç koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. 1) İkinci koşuldan başlayalım: n ≡ 5 ( mod 8 ) Buna göre: $n = 5 + 8$k 2) Bunu birinci koşulda kullanalım: n ≡ 4 ( mod 9 ) Yerine yazalım: 5 + 8 k ≡ 4 ( mod 9 ) Buradan: 8 k ≡ − 1 ( mod 9 ) Mod 9'da 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) olduğundan denklem: − k ≡ − 1 ( mod 9 ) olur, yani: k ≡ 1 ( mod 9 ) Dolayısıyla: $k = 1 + 9$t 3) Şimdi $n = 5 + 8$k ifadesinde $k = 1 + 9$t yerine yazalım: $n = 5 + 8$( 1 + 9 t ) Sadeleştirelim: $n = 13 + 72$t 4) Üçüncü koşulu uygulayalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) $n = 13 + 72$t olduğundan: 13 + 72 t ≡ 3 ( mod 7 ) Mod 7'de sadeleştirelim: 13 ≡ 6 ( mod 7 ) 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Böylece: 6 + 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) Buradan: 2 t ≡ − 3 ( mod 7 ) Mod 7'de − 3 ≡ 4 ( mod 7 ) olduğundan: 2 t ≡ 4 ( mod 7 ) Mod 7'de 2'nin tersi 4'tür (çünkü 2 ⋅ 4 ≡ 1 ( mod 7 ) ), iki tarafı 4 ile çarpalım: t ≡ 16 ( mod 7 ) Yani: t ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: $t = 2 + 7$s 5) Son olarak $n = 13 + 72$t içinde yerine yazalım: $n = 13 + 72$( 2 + 7 s ) Sadeleştirelim: $n = 157 + 504$s En küçük pozitif değer için $s = 0$alınır: $n = 157$6) Sonuç ve şık kontrolü: Bulduğumuz değer $n = 157$olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Şıkları kontrol etmek için verilen üç koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. 1) İkinci koşuldan başlayalım: n ≡ 5 ( mod 8 ) Buna göre: $n = 5 + 8$k 2) Bunu birinci koşulda kullanalım: n ≡ 4 ( mod 9 ) Yerine yazalım: 5 + 8 k ≡ 4 ( mod 9 ) Buradan: 8 k ≡ − 1 ( mod 9 ) Mod 9'da 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) olduğundan denklem: − k ≡ − 1 ( mod 9 ) olur, yani: k ≡ 1 ( mod 9 ) Dolayısıyla: $k = 1 + 9$t 3) Şimdi $n = 5 + 8$k ifadesinde $k = 1 + 9$t yerine yazalım: $n = 5 + 8$( 1 + 9 t ) Sadeleştirelim: $n = 13 + 72$t 4) Üçüncü koşulu uygulayalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) $n = 13 + 72$t olduğundan: 13 + 72 t ≡ 3 ( mod 7 ) Mod 7'de sadeleştirelim: 13 ≡ 6 ( mod 7 ) 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Böylece: 6 + 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) Buradan: 2 t ≡ − 3 ( mod 7 ) Mod 7'de − 3 ≡ 4 ( mod 7 ) olduğundan: 2 t ≡ 4 ( mod 7 ) Mod 7'de 2'nin tersi 4'tür (çünkü 2 ⋅ 4 ≡ 1 ( mod 7 ) ), iki tarafı 4 ile çarpalım: t ≡ 16 ( mod 7 ) Yani: t ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: $t = 2 + 7$s 5) Son olarak $n = 13 + 72$t içinde yerine yazalım: $n = 13 + 72$( 2 + 7 s ) Sadeleştirelim: $n = 157 + 504$s En küçük pozitif değer için $s = 0$alınır: $n = 157$6) Sonuç ve şık kontrolü: Bulduğumuz değer $n = 157$olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Seçenek B kontrolü: B şıkkındaki a değeri doğru. Dokuz ile bölünebilme kuralına göre, bir sayının rakamları toplamı 9 ile tam bölünüyorsa sayı da 9 ile tam bölünür. Verilen üç basamaklı sayının rakamları toplamını yazalım: 4 + 8 + a Toplayalım: 4 + 8 + $a = 12 + a$Bu toplamın 9 ile tam bölünebilmesi gerekir: 12 + a ≡ 0 ( 9 ) Rakam olduğu için a değerleri 0 ile 9 arasındadır. Bu aralıkta 12 ile toplanınca 9 ’un katı yapan değerleri kontrol edelim: 12 + $a = 18$Buradan a bulunur: $a = 6$Sonuç: a değeri B şıkkıdır.

1. Çözüm: Seçenek B kontrolü: B şıkkındaki a değeri doğru. Dokuz ile bölünebilme kuralına göre, bir sayının rakamları toplamı 9 ile tam bölünüyorsa sayı da 9 ile tam bölünür. Verilen üç basamaklı sayının rakamları toplamını yazalım: 4 + 8 + a Toplayalım: 4 + 8 + $a = 12 + a$Bu toplamın 9 ile tam bölünebilmesi gerekir: 12 + a ≡ 0 ( 9 ) Rakam olduğu için a değerleri 0 ile 9 arasındadır. Bu aralıkta 12 ile toplanınca 9 ’un katı yapan değerleri kontrol edelim: 12 + $a = 18$Buradan a bulunur: $a = 6$Sonuç: a değeri B şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: Doğru cevap B değildir. Doğru sonuç 17 çıkıyor. Verilen sayı: $N = 400000 + a$⋅ 10000 + 8000 + b ⋅ 100 + 60 + c 2) 72 ile bölünebilme koşulu (asal çarpanlara ayırma): $72 = 8$ ⋅ 9 Dolayısıyla aynı anda 8’e ve 9’a bölünebilmelidir. 3) 9’a bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 4 + a + 8 + b + 6 + $c = 18 + a + b + c$18 ≡ 0  (mod 9) N  9’a bölünür ⇔ a + b + c ≡ 0  (mod 9) 4) 8’e bölünebilme: Son 3 basamak 8’in katı olmalı. Son üç basamak: 100 b + 60 + c Mod 8 inceleyelim: 100 ≡ 4  (mod 8) 60 ≡ 4  (mod 8) 100 b + 60 + c ≡ 4 b + 4 + c  (mod 8) N  8’e bölünür ⇔ 4 b + 4 + c ≡ 0  (mod 8) Burada b’nin tek-çift olmasına göre: • b çift ise: 4 b ≡ 0  (mod 8) 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 4  (mod 8) Rakam olduğundan: $c = 4$• b tek ise: 4 b ≡ 4  (mod 8) 4 + 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 0  (mod 8) Rakam olduğundan: c ∈ { 0, 8 } Buna göre uygun (b,c) ikilileri sayısı: • b çift: 5 seçenek ( 0,2,4,6,8 ) ve her biri için $c=4$→ 5 ikili • b tek: 5 seçenek ( 1,3,5,7,9 ) ve her biri için 2 seçenek $c=0 veya c=8$ → 10 ikili Toplam (b,c) ikilisi = $5 + 10 = 15$ 5) Şimdi her uygun (b,c) için a sayısını bulalım: a + b + c ≡ 0  (mod 9) Bu kongruans a ’yı mod 9’a göre tek bir değere zorlar; ancak 0 kalanı gerekiyorsa a için iki rakam olabilir: a ≡ 0  (mod 9) ⇒ a ∈ { 0, 9 } 6) Durumlara ayıralım: Durum 1: b çift ve $c=4$. Bu durumda b+c değerleri 4,6,8,10,12 olur ve hiçbiri 9’un katı değildir, dolayısıyla her birinde a tek seçilir: Bu durumdan gelen sayı = 5 Durum 2: b tek ve $c=0$. Burada b+$c=b$olur. Sadece $b=9$iken 9’un katıdır, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(9,0) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ $2 = 6$ Durum 3: $b tek ve c=8$. Burada b+c sadece $b=1$iken 9’un katı olur $1+8=9$, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(1,8) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ $2 = 6$ 7) Toplam: $5 + 6 + 6 = 17$ Sonuç: N sayısı 17 farklı değer alabilir. Bu nedenle B şıkkı ( 15 ) yanlıştır.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: Doğru cevap B değildir. Doğru sonuç 17 çıkıyor. Verilen sayı: $N = 400000 + a$⋅ 10000 + 8000 + b ⋅ 100 + 60 + c 2) 72 ile bölünebilme koşulu (asal çarpanlara ayırma): $72 = 8$ ⋅ 9 Dolayısıyla aynı anda 8’e ve 9’a bölünebilmelidir. 3) 9’a bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. 4 + a + 8 + b + 6 + $c = 18 + a + b + c$18 ≡ 0  (mod 9) N  9’a bölünür ⇔ a + b + c ≡ 0  (mod 9) 4) 8’e bölünebilme: Son 3 basamak 8’in katı olmalı. Son üç basamak: 100 b + 60 + c Mod 8 inceleyelim: 100 ≡ 4  (mod 8) 60 ≡ 4  (mod 8) 100 b + 60 + c ≡ 4 b + 4 + c  (mod 8) N  8’e bölünür ⇔ 4 b + 4 + c ≡ 0  (mod 8) Burada b’nin tek-çift olmasına göre: • b çift ise: 4 b ≡ 0  (mod 8) 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 4  (mod 8) Rakam olduğundan: $c = 4$• b tek ise: 4 b ≡ 4  (mod 8) 4 + 4 + c ≡ 0  (mod 8) c ≡ 0  (mod 8) Rakam olduğundan: c ∈ { 0, 8 } Buna göre uygun (b,c) ikilileri sayısı: • b çift: 5 seçenek ( 0,2,4,6,8 ) ve her biri için $c=4$→ 5 ikili • b tek: 5 seçenek ( 1,3,5,7,9 ) ve her biri için 2 seçenek $c=0 veya c=8$ → 10 ikili Toplam (b,c) ikilisi = $5 + 10 = 15$ 5) Şimdi her uygun (b,c) için a sayısını bulalım: a + b + c ≡ 0  (mod 9) Bu kongruans a ’yı mod 9’a göre tek bir değere zorlar; ancak 0 kalanı gerekiyorsa a için iki rakam olabilir: a ≡ 0  (mod 9) ⇒ a ∈ { 0, 9 } 6) Durumlara ayıralım: Durum 1: b çift ve $c=4$. Bu durumda b+c değerleri 4,6,8,10,12 olur ve hiçbiri 9’un katı değildir, dolayısıyla her birinde a tek seçilir: Bu durumdan gelen sayı = 5 Durum 2: b tek ve $c=0$. Burada b+$c=b$olur. Sadece $b=9$iken 9’un katıdır, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(9,0) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ $2 = 6$ Durum 3: $b tek ve c=8$. Burada b+c sadece $b=1$iken 9’un katı olur $1+8=9$, o zaman a iki değer alır. (b,c)=(1,8) ⇒ a ∈ { 0, 9 } Bu durumdan gelen sayı = 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ $2 = 6$ 7) Toplam: $5 + 6 + 6 = 17$ Sonuç: N sayısı 17 farklı değer alabilir. Bu nedenle B şıkkı ( 15 ) yanlıştır.

Doğru cevap: C

Önce verilen sayıyı yazalım: 4 x 7 Bir sayının dokuz ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı dokuzun katı olmalıdır. 4 + x + 7 Toplamı sadeleştirelim: 11 + x Bu toplam dokuzun bir katı olmalı. Üç basamaklı sayı olduğundan uygun katı kontrol edelim: 11 + x = 18 Buradan x 'i bulalım: x = 7 Sonuç: Doğru seçenek C 'dir.

1. Çözüm: Önce verilen sayıyı yazalım: 4 x 7 Bir sayının dokuz ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı dokuzun katı olmalıdır. 4 + x + 7 Toplamı sadeleştirelim: 11 + x Bu toplam dokuzun bir katı olmalı. Üç basamaklı sayı olduğundan uygun katı kontrol edelim: 11 + x = 18 Buradan x 'i bulalım: x = 7 Sonuç: Doğru seçenek C 'dir.