9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: D

Koşulları kalan (mod) şeklinde yazalım. n + 1 ≡ 0 ( mod 4 ) n + 2 ≡ 0 ( mod 5 ) n + 3 ≡ 0 ( mod 6 ) n + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) İlk dört koşuldan, her birinde kalan aynı olduğundan n aynı anda hepsine göre aynı kalanı verir: n ≡ 3 ( mod 4 ) n ≡ 3 ( mod 5 ) n ≡ 3 ( mod 6 ) n ≡ 3 ( mod 7 ) Bu durumda n, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir. EKOK ( 4, 5, 6, 7 ) = 2 2 · 3 · 5 · 7 = 420 Dolayısıyla: n ≡ 3 ( mod 420 ) n = 420 k + 3 Şimdi son koşulu kullanalım: n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) n ≡ − 5 ( mod 11 ) ≡ 6 ( mod 11 ) n = 420k + 3 ifadesini bu koşula yerleştirelim: 420 k + 3 ≡ 6 ( mod 11 ) 420 k ≡ 3 ( mod 11 ) Önce 420 sayısını 11 ile bölümünden kalanla sadeleştirelim: 420 ≡ 2 ( mod 11 ) 2 k ≡ 3 ( mod 11 ) Şimdi 2 ’nin mod 11 ’de tersini bulalım: 2 · 6 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: k ≡ 6 · 3 ( mod 11 ) ≡ 18 ( mod 11 ) ≡ 7 ( mod 11 ) En küçük pozitif çözüm için en küçük uygun k değerini seçelim: k = 7 n = 420 · 7 + 3 = 2943 Sonuç: Doğru cevap şık D’dir. n = 2943

1. Çözüm: Koşulları kalan (mod) şeklinde yazalım. n + 1 ≡ 0 ( mod 4 ) n + 2 ≡ 0 ( mod 5 ) n + 3 ≡ 0 ( mod 6 ) n + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) İlk dört koşuldan, her birinde kalan aynı olduğundan n aynı anda hepsine göre aynı kalanı verir: n ≡ 3 ( mod 4 ) n ≡ 3 ( mod 5 ) n ≡ 3 ( mod 6 ) n ≡ 3 ( mod 7 ) Bu durumda n, bu sayıların EKOK’una göre de aynı kalanı vermelidir. EKOK ( 4, 5, 6, 7 ) = 2 2 · 3 · 5 · 7 = 420 Dolayısıyla: n ≡ 3 ( mod 420 ) n = 420 k + 3 Şimdi son koşulu kullanalım: n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) n ≡ − 5 ( mod 11 ) ≡ 6 ( mod 11 ) n = 420k + 3 ifadesini bu koşula yerleştirelim: 420 k + 3 ≡ 6 ( mod 11 ) 420 k ≡ 3 ( mod 11 ) Önce 420 sayısını 11 ile bölümünden kalanla sadeleştirelim: 420 ≡ 2 ( mod 11 ) 2 k ≡ 3 ( mod 11 ) Şimdi 2 ’nin mod 11 ’de tersini bulalım: 2 · 6 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: k ≡ 6 · 3 ( mod 11 ) ≡ 18 ( mod 11 ) ≡ 7 ( mod 11 ) En küçük pozitif çözüm için en küçük uygun k değerini seçelim: k = 7 n = 420 · 7 + 3 = 2943 Sonuç: Doğru cevap şık D’dir. n = 2943

Doğru cevap: A

Verilenler: N ≡ 18 ( mod 72 ) N ≡ 0 ( mod 45 ) Birinci koşulu eşitlik şeklinde yazalım: N = 72 k + 18 Bu ifadeyi ikinci koşula (kırk beşe tam bölünme) uyduralım: 72 k + 18 ≡ 0 ( mod 45 ) 72 k ≡ - 18 ( mod 45 ) 72 k ≡ 27 ( mod 45 ) Her iki tarafı da ortak bölenle sadeleştirelim. Burada: gcd ( 72, 45 ) = 9 Denklemi dokuz ile bölelim: 8 k ≡ 3 ( mod 5 ) Mod beşte sekiz, üç ile aynıdır: 8 ≡ 3 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 3 k ≡ 3 ( mod 5 ) Her iki tarafı üçe bölebiliriz (çünkü mod beşte üçün tersi vardır): k ≡ 1 ( mod 5 ) O hâlde: k = 5 t + 1 Bunu N = 72k + 18 içine yazalım: N = 72 ( 5 t + 1 ) + 18 N = 360 t + 72 + 18 N = 360 t + 90 Bu ifade, N sayısının üç yüz altmış ile bölümünden kalanı doğrudan verir: N ≡ 90 ( mod 360 ) Sonuç: Kalan 90 olur. Bu da A şıkkıdır; yani verilen doğru cevap A dır.

1. Çözüm: Verilenler: N ≡ 18 ( mod 72 ) N ≡ 0 ( mod 45 ) Birinci koşulu eşitlik şeklinde yazalım: N = 72 k + 18 Bu ifadeyi ikinci koşula (kırk beşe tam bölünme) uyduralım: 72 k + 18 ≡ 0 ( mod 45 ) 72 k ≡ - 18 ( mod 45 ) 72 k ≡ 27 ( mod 45 ) Her iki tarafı da ortak bölenle sadeleştirelim. Burada: gcd ( 72, 45 ) = 9 Denklemi dokuz ile bölelim: 8 k ≡ 3 ( mod 5 ) Mod beşte sekiz, üç ile aynıdır: 8 ≡ 3 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 3 k ≡ 3 ( mod 5 ) Her iki tarafı üçe bölebiliriz (çünkü mod beşte üçün tersi vardır): k ≡ 1 ( mod 5 ) O hâlde: k = 5 t + 1 Bunu N = 72k + 18 içine yazalım: N = 72 ( 5 t + 1 ) + 18 N = 360 t + 72 + 18 N = 360 t + 90 Bu ifade, N sayısının üç yüz altmış ile bölümünden kalanı doğrudan verir: N ≡ 90 ( mod 360 ) Sonuç: Kalan 90 olur. Bu da A şıkkıdır; yani verilen doğru cevap A dır.

Doğru cevap: B

Önce B şıkkını kontrol etmek için tüm koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif değeri bulalım. Koşulları birlikte yazalım: n ≡ 0 ( mod 18 ) n ≡ 24 ( mod 25 ) n ≡ 30 ( mod 32 ) Birinci koşuldan: n = 18 k Bunu üçüncü koşulda yerine yazalım: 18 k ≡ 30 ( mod 32 ) Bu doğrusal kongruansı sadeleştirelim. Ortak bölen: gcd ( 18, 32 ) = 2 Her tarafı ikiye bölelim: 9 k ≡ 15 ( mod 16 ) Burada ters eleman kullanalım. Önce: 9 ⋅ 9 = 81 ≡ 1 ( mod 16 ) Yani ters: 9 - 1 ≡ 9 ( mod 16 ) Her iki tarafı dokuz ile çarpalım: k ≡ 15 ⋅ 9 ( mod 16 ) k ≡ 135 ≡ 7 ( mod 16 ) Buradan: k = 16 t + 7 Dolayısıyla: n = 18 ( 16 t + 7 ) n = 288 t + 126 Yani ilk ve üçüncü koşul birlikte: n ≡ 126 ( mod 288 ) Şimdi ikinci koşulu da ekleyelim: 126 + 288 t ≡ 24 ( mod 25 ) Mod yirmi beş altında sadeleştirelim: 126 ≡ 1 ( mod 25 ) 288 ≡ 13 ( mod 25 ) Böylece: 1 + 13 t ≡ 24 ( mod 25 ) 13 t ≡ 23 ( mod 25 ) On üçünün mod yirmi beş tersini bulalım: 13 ⋅ 2 = 26 ≡ 1 ( mod 25 ) Her iki tarafı iki ile çarpalım: t ≡ 23 ⋅ 2 ( mod 25 ) t ≡ 46 ≡ 21 ( mod 25 ) O hâlde: t = 25 s + 21 ve: n = 288 ( 25 s + 21 ) + 126 n = 7200 s + 6174 En küçük pozitif değer için: s = 0 n = 6174 Bulunan değer şıklarda B seçeneğidir; yani doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: Önce B şıkkını kontrol etmek için tüm koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif değeri bulalım. Koşulları birlikte yazalım: n ≡ 0 ( mod 18 ) n ≡ 24 ( mod 25 ) n ≡ 30 ( mod 32 ) Birinci koşuldan: n = 18 k Bunu üçüncü koşulda yerine yazalım: 18 k ≡ 30 ( mod 32 ) Bu doğrusal kongruansı sadeleştirelim. Ortak bölen: gcd ( 18, 32 ) = 2 Her tarafı ikiye bölelim: 9 k ≡ 15 ( mod 16 ) Burada ters eleman kullanalım. Önce: 9 ⋅ 9 = 81 ≡ 1 ( mod 16 ) Yani ters: 9 - 1 ≡ 9 ( mod 16 ) Her iki tarafı dokuz ile çarpalım: k ≡ 15 ⋅ 9 ( mod 16 ) k ≡ 135 ≡ 7 ( mod 16 ) Buradan: k = 16 t + 7 Dolayısıyla: n = 18 ( 16 t + 7 ) n = 288 t + 126 Yani ilk ve üçüncü koşul birlikte: n ≡ 126 ( mod 288 ) Şimdi ikinci koşulu da ekleyelim: 126 + 288 t ≡ 24 ( mod 25 ) Mod yirmi beş altında sadeleştirelim: 126 ≡ 1 ( mod 25 ) 288 ≡ 13 ( mod 25 ) Böylece: 1 + 13 t ≡ 24 ( mod 25 ) 13 t ≡ 23 ( mod 25 ) On üçünün mod yirmi beş tersini bulalım: 13 ⋅ 2 = 26 ≡ 1 ( mod 25 ) Her iki tarafı iki ile çarpalım: t ≡ 23 ⋅ 2 ( mod 25 ) t ≡ 46 ≡ 21 ( mod 25 ) O hâlde: t = 25 s + 21 ve: n = 288 ( 25 s + 21 ) + 126 n = 7200 s + 6174 En küçük pozitif değer için: s = 0 n = 6174 Bulunan değer şıklarda B seçeneğidir; yani doğru cevap B’dir.

Doğru cevap: A

Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Sekiz ve dokuz aralarında asal olduğundan sayı, yetmiş iki ile tam bölünebilmek için hem sekiz hem dokuz ile tam bölünmelidir. Sayının basamak değeri ile yazılışı: N = 7000 + 100 a + 20 + b Dokuz ile bölünebilme: 7 + a + 2 + b = 9 + a + b 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam oldukları için toplamın alabileceği uygun değerleri kontrol edersek: a + b = 0, 9, 18 Koşul: a > b Bu koşulla birlikte yalnızca şu durum kalır: a + b = 9 Sekiz ile bölünebilme (son üç basamak): 100 a + 20 + b ≡ 0 ( mod 8 ) Burada b = 9 - a yazıp yerine koyalım: 100 a + 20 + 9 - a = 99 a + 29 Şimdi a + b = 9 ve a > b koşullarından olası çiftler: ( a, b ) = ( 9, 0 ), ( 8, 1 ), ( 7, 2 ), ( 6, 3 ), ( 5, 4 ) Sekiz ile bölünebilme için son üç basamağı kontrol edelim: 920 ÷ 8 = 115 Bu çift sağlıyor. Diğer çiftlerde son üç basamak sekize tam bölünmez, dolayısıyla tek çözüm: a = 9, b = 0 İstenen çarpım: a ⋅ b = 0 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Bölünebilme koşulu: 72 = 8 ⋅ 9 Sekiz ve dokuz aralarında asal olduğundan sayı, yetmiş iki ile tam bölünebilmek için hem sekiz hem dokuz ile tam bölünmelidir. Sayının basamak değeri ile yazılışı: N = 7000 + 100 a + 20 + b Dokuz ile bölünebilme: 7 + a + 2 + b = 9 + a + b 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam oldukları için toplamın alabileceği uygun değerleri kontrol edersek: a + b = 0, 9, 18 Koşul: a > b Bu koşulla birlikte yalnızca şu durum kalır: a + b = 9 Sekiz ile bölünebilme (son üç basamak): 100 a + 20 + b ≡ 0 ( mod 8 ) Burada b = 9 - a yazıp yerine koyalım: 100 a + 20 + 9 - a = 99 a + 29 Şimdi a + b = 9 ve a > b koşullarından olası çiftler: ( a, b ) = ( 9, 0 ), ( 8, 1 ), ( 7, 2 ), ( 6, 3 ), ( 5, 4 ) Sekiz ile bölünebilme için son üç basamağı kontrol edelim: 920 ÷ 8 = 115 Bu çift sağlıyor. Diğer çiftlerde son üç basamak sekize tam bölünmez, dolayısıyla tek çözüm: a = 9, b = 0 İstenen çarpım: a ⋅ b = 0 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilenler: 1) n sayısı 72 ile tam bölünüyor. 2) n sayısı 11 ile bölününce kalan 5 oluyor. Önce n için kat yazalım: n = 72 k Bu ifadeyi ikinci koşula (modüler aritmetik) göre yazalım: 72 k ≡ 5   ( mod   11 ) Şimdi 72 sayısını 11 ile bölümünden kalanla sadeleştirelim: 72 ≡ 6   ( mod   11 ) Bunu yerine yazarsak: 6 k ≡ 5   ( mod   11 ) Burada 6 ’nın 11 modundaki tersini bulalım. Ters, 6 x ≡ 1   ( mod   11 ) denklemini sağlayan sayıdır. Kontrol edelim: 6 × 2 = 12 ≡ 1   ( mod   11 ) Demek ki ters: 6 − 1 ≡ 2   ( mod   11 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 5 × 2 ≡ 10   ( mod   11 ) Bu durumda k şu biçimdedir: k = 10 + 11 t En küçük pozitif k değeri için t = 0 alınır: k = 10 Dolayısıyla en küçük n: n = 72 × 10 = 720 Sonuç: Doğru seçenek C ve en küçük değer: 720

1. Çözüm: Verilenler: 1) n sayısı 72 ile tam bölünüyor. 2) n sayısı 11 ile bölününce kalan 5 oluyor. Önce n için kat yazalım: n = 72 k Bu ifadeyi ikinci koşula (modüler aritmetik) göre yazalım: 72 k ≡ 5   ( mod   11 ) Şimdi 72 sayısını 11 ile bölümünden kalanla sadeleştirelim: 72 ≡ 6   ( mod   11 ) Bunu yerine yazarsak: 6 k ≡ 5   ( mod   11 ) Burada 6 ’nın 11 modundaki tersini bulalım. Ters, 6 x ≡ 1   ( mod   11 ) denklemini sağlayan sayıdır. Kontrol edelim: 6 × 2 = 12 ≡ 1   ( mod   11 ) Demek ki ters: 6 − 1 ≡ 2   ( mod   11 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 5 × 2 ≡ 10   ( mod   11 ) Bu durumda k şu biçimdedir: k = 10 + 11 t En küçük pozitif k değeri için t = 0 alınır: k = 10 Dolayısıyla en küçük n: n = 72 × 10 = 720 Sonuç: Doğru seçenek C ve en küçük değer: 720

Doğru cevap: A

1) Şık 11 (A) doğru mu kontrol edeceğiz. 2) İlk bölünebilme koşulunu kalan (mod) ile yazalım: 3 n + 2 ≡ 0 (mod 7 ) 3) Bu eşdeğerliği düzenleyelim: 3 n ≡ − 2 (mod 7 ) 3 n ≡ 5 (mod 7 ) 4) 3 sayısının 7 ile tersini bulalım: 3 · 5 = 15 ≡ 1 (mod 7 ) 5) Her iki tarafı bu ters ile çarpalım: n ≡ 5 · 5 (mod 7 ) n ≡ 25 ≡ 4 (mod 7 ) 6) İkinci bölünebilme koşulunu yazalım: 5 n − 1 ≡ 0 (mod 9 ) 5 n ≡ 1 (mod 9 ) 7) 5 sayısının 9 ile tersini bulalım: 5 · 2 = 10 ≡ 1 (mod 9 ) 8) Her iki tarafı bu ters ile çarpalım: n ≡ 2 (mod 9 ) 9) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri bulalım: n ≡ 4 (mod 7 ) n ≡ 2 (mod 9 ) 10) İkinci koşula göre adayları yazıp birinci koşulu kontrol edelim: n = 2, 11, 20, 29, 38, … 2 ≡ 2 (mod 7 ) 11 ≡ 4 (mod 7 ) 11) İlk uygun değer bulundu: n = 11 12) Sonuç: Doğru cevap 11 olduğundan A şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: 1) Şık 11 (A) doğru mu kontrol edeceğiz. 2) İlk bölünebilme koşulunu kalan (mod) ile yazalım: 3 n + 2 ≡ 0 (mod 7 ) 3) Bu eşdeğerliği düzenleyelim: 3 n ≡ − 2 (mod 7 ) 3 n ≡ 5 (mod 7 ) 4) 3 sayısının 7 ile tersini bulalım: 3 · 5 = 15 ≡ 1 (mod 7 ) 5) Her iki tarafı bu ters ile çarpalım: n ≡ 5 · 5 (mod 7 ) n ≡ 25 ≡ 4 (mod 7 ) 6) İkinci bölünebilme koşulunu yazalım: 5 n − 1 ≡ 0 (mod 9 ) 5 n ≡ 1 (mod 9 ) 7) 5 sayısının 9 ile tersini bulalım: 5 · 2 = 10 ≡ 1 (mod 9 ) 8) Her iki tarafı bu ters ile çarpalım: n ≡ 2 (mod 9 ) 9) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri bulalım: n ≡ 4 (mod 7 ) n ≡ 2 (mod 9 ) 10) İkinci koşula göre adayları yazıp birinci koşulu kontrol edelim: n = 2, 11, 20, 29, 38, … 2 ≡ 2 (mod 7 ) 11 ≡ 4 (mod 7 ) 11) İlk uygun değer bulundu: n = 11 12) Sonuç: Doğru cevap 11 olduğundan A şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: B

Verilen koşulları modüler denklem olarak yazalım: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 5 (mod 8 ) İlk denkleme göre n sayısını parametreleyelim: n = 4 + 9 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 4 + 9 k ≡ 5 (mod 8 ) Her iki taraftan 4 çıkaralım: 9 k ≡ 1 (mod 8 ) Mod 8 'de 9 ≡ 1 olduğundan: k ≡ 1 (mod 8 ) Buradan k için genel çözüm: k = 1 + 8 t Bunu n = 4 + 9k ifadesinde yerine koyalım: n = 4 + 9 ( 1 + 8 t ) n = 4 + 9 + 72 t n = 13 + 72 t Dolayısıyla n sayısının 72 ile bölümünden kalan: n ≡ 13 (mod 72 ) Sonuç: Kalan 13 olur. Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Verilen koşulları modüler denklem olarak yazalım: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 5 (mod 8 ) İlk denkleme göre n sayısını parametreleyelim: n = 4 + 9 k Bunu ikinci koşulda yerine yazalım: 4 + 9 k ≡ 5 (mod 8 ) Her iki taraftan 4 çıkaralım: 9 k ≡ 1 (mod 8 ) Mod 8 'de 9 ≡ 1 olduğundan: k ≡ 1 (mod 8 ) Buradan k için genel çözüm: k = 1 + 8 t Bunu n = 4 + 9k ifadesinde yerine koyalım: n = 4 + 9 ( 1 + 8 t ) n = 4 + 9 + 72 t n = 13 + 72 t Dolayısıyla n sayısının 72 ile bölümünden kalan: n ≡ 13 (mod 72 ) Sonuç: Kalan 13 olur. Bu nedenle doğru seçenek B 'dir.

Doğru cevap: A

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: C

Verilen koşulları eşitlik (modüler) biçimde yazalım: N ≡ 35  mod  72 N ≡ 8  mod  45 Birinci koşuldan tam sayı olacak şekilde yazalım: N = 72 k + 35 Bunu ikinci koşulda yerine koyup mod alalım: 72 k + 35 ≡ 8  mod  45 Taraflardan 35 çıkaralım: 72 k ≡ 8 − 35  mod  45 72 k ≡ − 27  mod  45 Negatif kalanı pozitif kalana çevirelim: − 27 ≡ 18  mod  45 72 k ≡ 18  mod  45 Sadeleştirmek için ortak böleni kullanalım: gcd ( 72, 45 ) = 9 Her tarafı 9 ile bölelim: 8 k ≡ 2  mod  5 Burada 8 sayısını mod 5 içinde sadeleştirelim: 8 ≡ 3  mod  5 3 k ≡ 2  mod  5 3 ’ün mod 5 ’te tersi 2 ’dir, çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1  mod  5 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 4  mod  5 Yani: k = 5 t + 4 Bunu N ifadesinde yerine yazalım: N = 72 ( 5 t + 4 ) + 35 N = 360 t + 288 + 35 N = 360 t + 323 Dolayısıyla N sayısının 360 ile bölümünden kalan: N ≡ 323  mod  360 Şıklardan bu değer C seçeneğidir; yani C doğru mu kontrolü: 323 Sonuç: C doğrudur.

1. Çözüm: Verilen koşulları eşitlik (modüler) biçimde yazalım: N ≡ 35  mod  72 N ≡ 8  mod  45 Birinci koşuldan tam sayı olacak şekilde yazalım: N = 72 k + 35 Bunu ikinci koşulda yerine koyup mod alalım: 72 k + 35 ≡ 8  mod  45 Taraflardan 35 çıkaralım: 72 k ≡ 8 − 35  mod  45 72 k ≡ − 27  mod  45 Negatif kalanı pozitif kalana çevirelim: − 27 ≡ 18  mod  45 72 k ≡ 18  mod  45 Sadeleştirmek için ortak böleni kullanalım: gcd ( 72, 45 ) = 9 Her tarafı 9 ile bölelim: 8 k ≡ 2  mod  5 Burada 8 sayısını mod 5 içinde sadeleştirelim: 8 ≡ 3  mod  5 3 k ≡ 2  mod  5 3 ’ün mod 5 ’te tersi 2 ’dir, çünkü: 3 · 2 = 6 ≡ 1  mod  5 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: k ≡ 4  mod  5 Yani: k = 5 t + 4 Bunu N ifadesinde yerine yazalım: N = 72 ( 5 t + 4 ) + 35 N = 360 t + 288 + 35 N = 360 t + 323 Dolayısıyla N sayısının 360 ile bölümünden kalan: N ≡ 323  mod  360 Şıklardan bu değer C seçeneğidir; yani C doğru mu kontrolü: 323 Sonuç: C doğrudur.

Doğru cevap: B

Verilen bölünebilme koşullarını eşdeğer kongruans (kalan) biçiminde yazalım: 2 n + 1 ≡ 0 ( mod   9 ) 3 n + 1 ≡ 0 ( mod   7 ) Birinci koşuldan: 2 n ≡ − 1 ≡ 8 ( mod   9 ) Burada iki sayısının dokuz ile çarpma tersi beş tir; çünkü: 2 · 5 = 10 ≡ 1 ( mod   9 ) Dolayısıyla her iki tarafı beş ile çarparsak: n ≡ 8 · 5 ≡ 40 ≡ 4 ( mod   9 ) İkinci koşuldan: 3 n ≡ − 1 ≡ 6 ( mod   7 ) Burada üç sayısının yedi ile çarpma tersi beş tir; çünkü: 3 · 5 = 15 ≡ 1 ( mod   7 ) Her iki tarafı beş ile çarpalım: n ≡ 6 · 5 ≡ 30 ≡ 2 ( mod   7 ) Şimdi sistemi birlikte çözelim. İlk kongruanstan: n = 9 t + 4 Bunu ikinci kongruansa yerleştirelim: 9 t + 4 ≡ 2 ( mod   7 ) 9 t ≡ − 2 ≡ 5 ( mod   7 ) Ayrıca: 9 ≡ 2 ( mod   7 ) Dolayısıyla: 2 t ≡ 5 ( mod   7 ) Burada iki sayısının yedi ile çarpma tersi dört tür; çünkü: 2 · 4 = 8 ≡ 1 ( mod   7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 5 · 4 ≡ 20 ≡ 6 ( mod   7 ) O hâlde: t = 7 s + 6 Bunu n ifadesinde kullanalım: n = 9 ( 7 s + 6 ) + 4 = 63 s + 58 Buna göre n sayısının altmış üç ile bölümünden kalan: 58 Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen bölünebilme koşullarını eşdeğer kongruans (kalan) biçiminde yazalım: 2 n + 1 ≡ 0 ( mod   9 ) 3 n + 1 ≡ 0 ( mod   7 ) Birinci koşuldan: 2 n ≡ − 1 ≡ 8 ( mod   9 ) Burada iki sayısının dokuz ile çarpma tersi beş tir; çünkü: 2 · 5 = 10 ≡ 1 ( mod   9 ) Dolayısıyla her iki tarafı beş ile çarparsak: n ≡ 8 · 5 ≡ 40 ≡ 4 ( mod   9 ) İkinci koşuldan: 3 n ≡ − 1 ≡ 6 ( mod   7 ) Burada üç sayısının yedi ile çarpma tersi beş tir; çünkü: 3 · 5 = 15 ≡ 1 ( mod   7 ) Her iki tarafı beş ile çarpalım: n ≡ 6 · 5 ≡ 30 ≡ 2 ( mod   7 ) Şimdi sistemi birlikte çözelim. İlk kongruanstan: n = 9 t + 4 Bunu ikinci kongruansa yerleştirelim: 9 t + 4 ≡ 2 ( mod   7 ) 9 t ≡ − 2 ≡ 5 ( mod   7 ) Ayrıca: 9 ≡ 2 ( mod   7 ) Dolayısıyla: 2 t ≡ 5 ( mod   7 ) Burada iki sayısının yedi ile çarpma tersi dört tür; çünkü: 2 · 4 = 8 ≡ 1 ( mod   7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 5 · 4 ≡ 20 ≡ 6 ( mod   7 ) O hâlde: t = 7 s + 6 Bunu n ifadesinde kullanalım: n = 9 ( 7 s + 6 ) + 4 = 63 s + 58 Buna göre n sayısının altmış üç ile bölümünden kalan: 58 Sonuç: Doğru seçenek B ’dir.