9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif $n$ tam sayısı kaçtır?
$6 n + 1$ ifadesi $7$ ile tam bölünüyor.
$5 n + 2$ ifadesi $9$ ile tam bölünüyor.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Koşulları kongruans (modüler denklem) olarak yazalım: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) Birinci koşulu çözelim: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ −1 ( mod 7 ) −1 ≡ 6 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ 6 ( mod 7 ) Burada 6 ’nın yediye göre tersi yine 6 ’dır; çünkü: 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: n ≡ 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) İkinci koşulu çözelim: 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ −2 ( mod 9 ) −2 ≡ 7 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ 7 ( mod 9 ) Dokuz’a göre 5 ’in tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 2 ⋅ 7 = 14 ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birleştirelim: n ≡ 1 ( mod 7 ) ve n ≡ 5 ( mod 9 ) Birinci koşula göre n sayıları şu biçimdedir (yedişer artar): 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, … Bu listedeki sayılardan dokuz ile bölümünden kalan 5 olan (yani ikinci koşulu sağlayan) en küçük değer: n = 50 Sonuç: Doğru seçenek A858 ’dir.

Çözüm: Koşulları kongruans (modüler denklem) olarak yazalım: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) Birinci koşulu çözelim: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ −1 ( mod 7 ) −1 ≡ 6 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ 6 ( mod 7 ) Burada 6 ’nın yediye göre tersi yine 6 ’dır; çünkü: 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: n ≡ 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) İkinci koşulu çözelim: 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ −2 ( mod 9 ) −2 ≡ 7 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ 7 ( mod 9 ) Dokuz’a göre 5 ’in tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 2 ⋅ 7 = 14 ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birleştirelim: n ≡ 1 ( mod 7 ) ve n ≡ 5 ( mod 9 ) Birinci koşula göre n sayıları şu biçimdedir (yedişer artar): 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, … Bu listedeki sayılardan dokuz ile bölümünden kalan 5 olan (yani ikinci koşulu sağlayan) en küçük değer: n = 50 Sonuç: Doğru seçenek A858 ’dir.

Koşulları kongruans (modüler denklem) olarak yazalım:

6 n + 1 \equiv 0 (mod 7)

5 n + 2 \equiv 0 (mod 9)

Birinci koşulu çözelim:

6 n + 1 \equiv 0 (mod 7) \Rightarrow 6 n \equiv −1 (mod 7)

−1 \equiv 6 (mod 7) \Rightarrow 6 n \equiv 6 (mod 7)

Burada 6’nın yediye göre tersi yine 6’dır; çünkü:

6 \cdot 6 = 36 \equiv 1 (mod 7)

Her iki tarafı 6 ile çarpalım:

n \equiv 6 \cdot 6 = 36 \equiv 1 (mod 7)

İkinci koşulu çözelim:

5 n + 2 \equiv 0 (mod 9) \Rightarrow 5 n \equiv −2 (mod 9)

−2 \equiv 7 (mod 9) \Rightarrow 5 n \equiv 7 (mod 9)

Dokuz’a göre 5’in tersi 2’dir; çünkü:

5 \cdot 2 = 10 \equiv 1 (mod 9)

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

n \equiv 2 \cdot 7 = 14 \equiv 5 (mod 9)

Şimdi iki sonucu birleştirelim:

n \equiv 1 (mod 7) ve n \equiv 5 (mod 9)

Birinci koşula göre n sayıları şu biçimdedir (yedişer artar):

1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, \dots

Bu listedeki sayılardan dokuz ile bölümünden kalan 5 olan (yani ikinci koşulu sağlayan) en küçük değer:

n = 50

Sonuç: Doğru seçenek B’dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan sayının
$N = 3^{2026} + 4^{2026}$
$11$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Rakamları $a$ ve $b$ olan iki basamaklı $10 a + b$ sayısı yan yana iki kez yazılarak dört basamaklı $101 \times (10 a + b)$ sayısı elde ediliyor. Bu sayı $18$ ile bölünebildiğine göre kaç farklı $10 a + b$ vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$4 a 2 b 6$ sayısı $72$ ile tam bölünebiliyorsa, bu koşulu sağlayan en küçük sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Sayıyı şöyle tanımlayalım: N = 4 a 2 b 6 Tam bölünme koşulu: 72 = 8 × 9 Buradan şu sonuca gideriz: 72 ∣ N ⇔ 8 ∣ N ∧ 9 ∣ N Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakarız: N ≡ 2 b 6 (son üç basamak) Bu üç basamağı cebirsel yazalım: 2 b 6 = 200 + 10 b + 6 = 206 + 10 b Mod sekiz inceleyelim: 206 ≡ 6 10 b ≡ 2 b ( mod 8 ) Bölünebilme için kalan sıfır olmalı: 6 + 2 b ≡ 0 ( mod 8 ) Buradan: 2 b ≡ 2 ( mod 8 ) ⇔ b ≡ 1 ( mod 4 ) Yani b için olası rakamlar: b ∈ { 1, 5, 9 } Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamını kullanırız: S = 4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b Koşul: S ≡ 0 ( mod 9 ) Yerine koyarsak: 12 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) ⇔ a + b ≡ 6 ( mod 9 ) En küçük sayıyı bulmak için önce a rakamını en küçük seçeriz. Olası b değerleri: b ∈ { 1, 5, 9 } a için sırayla deneyelim. Birinci deneme: a = 0 ⇒ b ≡ 6 ( mod 9 ) ⇒ b = 6 Bu değer, b ∈ { 1, 5, 9 } kümesinde olmadığı için olmaz. İkinci deneme: a = 1 ⇒ b ≡ 5 ( mod 9 ) ⇒ b = 5 Bu değer uygundur ve sayıyı oluşturur: N = 41256 Şimdi bu sayının gerçekten yetmiş iki ile bölündüğünü kontrol edelim. Sekize bölünebilme kontrolü: 256 ÷ 8 = 32 Dokuza bölünebilme kontrolü (rakamlar toplamı): 4 + 1 + 2 + 5 + 6 = 18 18 ÷ 9 = 2 İkisi de sağlandığı için: 72 ∣ 41256 Sonuç olarak doğru seçenek D1524 ve koşulu sağlayan en küçük sayı: 41256

Çözüm: Sayıyı şöyle tanımlayalım: N = 4 a 2 b 6 Tam bölünme koşulu: 72 = 8 × 9 Buradan şu sonuca gideriz: 72 ∣ N ⇔ 8 ∣ N ∧ 9 ∣ N Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakarız: N ≡ 2 b 6 (son üç basamak) Bu üç basamağı cebirsel yazalım: 2 b 6 = 200 + 10 b + 6 = 206 + 10 b Mod sekiz inceleyelim: 206 ≡ 6 10 b ≡ 2 b ( mod 8 ) Bölünebilme için kalan sıfır olmalı: 6 + 2 b ≡ 0 ( mod 8 ) Buradan: 2 b ≡ 2 ( mod 8 ) ⇔ b ≡ 1 ( mod 4 ) Yani b için olası rakamlar: b ∈ { 1, 5, 9 } Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamını kullanırız: S = 4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b Koşul: S ≡ 0 ( mod 9 ) Yerine koyarsak: 12 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) ⇔ a + b ≡ 6 ( mod 9 ) En küçük sayıyı bulmak için önce a rakamını en küçük seçeriz. Olası b değerleri: b ∈ { 1, 5, 9 } a için sırayla deneyelim. Birinci deneme: a = 0 ⇒ b ≡ 6 ( mod 9 ) ⇒ b = 6 Bu değer, b ∈ { 1, 5, 9 } kümesinde olmadığı için olmaz. İkinci deneme: a = 1 ⇒ b ≡ 5 ( mod 9 ) ⇒ b = 5 Bu değer uygundur ve sayıyı oluşturur: N = 41256 Şimdi bu sayının gerçekten yetmiş iki ile bölündüğünü kontrol edelim. Sekize bölünebilme kontrolü: 256 ÷ 8 = 32 Dokuza bölünebilme kontrolü (rakamlar toplamı): 4 + 1 + 2 + 5 + 6 = 18 18 ÷ 9 = 2 İkisi de sağlandığı için: 72 ∣ 41256 Sonuç olarak doğru seçenek D1524 ve koşulu sağlayan en küçük sayı: 41256

Sayıyı şöyle tanımlayalım:

N = 4 a 2 b 6

Tam bölünme koşulu:

72 = 8 \times 9

Buradan şu sonuca gideriz:

72 ∣ N \Leftrightarrow 8 ∣ N \land 9 ∣ N

Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakarız:

N \equiv 2 b 6 (son üç basamak)

Bu üç basamağı cebirsel yazalım:

2 b 6 = 200 + 10 b + 6 = 206 + 10 b

Mod sekiz inceleyelim:

206 \equiv 6 10 b \equiv 2 b (mod 8)

Bölünebilme için kalan sıfır olmalı:

6 + 2 b \equiv 0 (mod 8)

Buradan:

2 b \equiv 2 (mod 8) \Leftrightarrow b \equiv 1 (mod 4)

Yani b için olası rakamlar:

b \in {1, 5, 9}

Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamını kullanırız:

S = 4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b

Koşul:

S \equiv 0 (mod 9)

Yerine koyarsak:

12 + a + b \equiv 0 (mod 9) \Leftrightarrow a + b \equiv 6 (mod 9)

En küçük sayıyı bulmak için önce a rakamını en küçük seçeriz.

Olası b değerleri:

b \in {1, 5, 9}

a için sırayla deneyelim.

Birinci deneme:

a = 0 \Rightarrow b \equiv 6 (mod 9) \Rightarrow b = 6

Bu değer,

b \in {1, 5, 9}

kümesinde olmadığı için olmaz.

İkinci deneme:

a = 1 \Rightarrow b \equiv 5 (mod 9) \Rightarrow b = 5

Bu değer uygundur ve sayıyı oluşturur:

N = 41256

Şimdi bu sayının gerçekten yetmiş iki ile bölündüğünü kontrol edelim.

Sekize bölünebilme kontrolü:

256 \div 8 = 32

Dokuza bölünebilme kontrolü (rakamlar toplamı):

4 + 1 + 2 + 5 + 6 = 18

18 \div 9 = 2

İkisi de sağlandığı için:

72 ∣ 41256

Sonuç olarak doğru seçenek A ve koşulu sağlayan en küçük sayı:

41256

5. SoruÇoktan Seçmeli

$7^{2025} + 5^{2025}$ ifadesinin $12$ ile bölünmesinden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$n$ sayısı $8$ ve $9$ ile tam bölünür.
$n$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $5$ olur.
$n$ sayısı $5$ ile bölündüğünde kalan $2$ olur.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce 8 ve 9 ile tam bölünebilme koşulunu birlikte ele alalım. lcm ( 8, 9 ) = 72 Bu yüzden n sayısı 72 ’nin katıdır. n = 72 k Şimdi 7 ile bölümden kalan koşulunu kullanalım. 72 k ≡ 5 ( mod 7 ) Önce 72 ’yi 7 ’ye göre sadeleştirelim. 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 k ≡ 5 ( mod 7 ) Burada 2 ’nin 7 ’ye göre tersi 4 ’tür (çünkü 2·4 kalanı 1 yapar). İki tarafı 4 ile çarpalım. 4 ⋅ 2 k ≡ 4 ⋅ 5 ( mod 7 ) k ≡ 20 ≡ 6 ( mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 7 t + 6 Bunu n=72k içinde yerine yazalım. n = 72 ( 7 t + 6 ) n = 504 t + 432 Şimdi 5 ile bölümden kalan koşulunu uygulayalım. n ≡ 2 ( mod 5 ) Bizde n=504t+432 olduğuna göre: 504 t + 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Katsayıları 5 ’e göre sadeleştirelim. 504 ≡ 4 ( mod 5 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 4 t + 2 ≡ 2 ( mod 5 ) 4 t ≡ 0 ( mod 5 ) Buradan t ’nin 5 ’in katı olması gerekir. t ≡ 0 ( mod 5 ) En küçük pozitif n için en küçük uygun t değerini seçelim. t = 0 n = 504 ⋅ 0 + 432 = 432 Hızlı kontrol: 432 ÷ 8 = 54 432 ÷ 9 = 48 432 ≡ 5 ( mod 7 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. n = 432

Çözüm: Önce 8 ve 9 ile tam bölünebilme koşulunu birlikte ele alalım. lcm ( 8, 9 ) = 72 Bu yüzden n sayısı 72 ’nin katıdır. n = 72 k Şimdi 7 ile bölümden kalan koşulunu kullanalım. 72 k ≡ 5 ( mod 7 ) Önce 72 ’yi 7 ’ye göre sadeleştirelim. 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 k ≡ 5 ( mod 7 ) Burada 2 ’nin 7 ’ye göre tersi 4 ’tür (çünkü 2·4 kalanı 1 yapar). İki tarafı 4 ile çarpalım. 4 ⋅ 2 k ≡ 4 ⋅ 5 ( mod 7 ) k ≡ 20 ≡ 6 ( mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 7 t + 6 Bunu n=72k içinde yerine yazalım. n = 72 ( 7 t + 6 ) n = 504 t + 432 Şimdi 5 ile bölümden kalan koşulunu uygulayalım. n ≡ 2 ( mod 5 ) Bizde n=504t+432 olduğuna göre: 504 t + 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Katsayıları 5 ’e göre sadeleştirelim. 504 ≡ 4 ( mod 5 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 4 t + 2 ≡ 2 ( mod 5 ) 4 t ≡ 0 ( mod 5 ) Buradan t ’nin 5 ’in katı olması gerekir. t ≡ 0 ( mod 5 ) En küçük pozitif n için en küçük uygun t değerini seçelim. t = 0 n = 504 ⋅ 0 + 432 = 432 Hızlı kontrol: 432 ÷ 8 = 54 432 ÷ 9 = 48 432 ≡ 5 ( mod 7 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. n = 432

Önce 8 ve 9 ile tam bölünebilme koşulunu birlikte ele alalım.

lcm (8, 9) = 72

Bu yüzden n sayısı 72’nin katıdır.

n = 72 k

Şimdi 7 ile bölümden kalan koşulunu kullanalım.

72 k \equiv 5 (\mod 7)

Önce 72’yi 7’ye göre sadeleştirelim.

72 \equiv 2 (\mod 7)

Dolayısıyla:

2 k \equiv 5 (\mod 7)

Burada 2’nin 7’ye göre tersi 4’tür (çünkü 2·4 kalanı 1 yapar). İki tarafı 4 ile çarpalım.

4 \cdot 2 k \equiv 4 \cdot 5 (\mod 7)

k \equiv 20 \equiv 6 (\mod 7)

O hâlde k şu biçimdedir:

k = 7 t + 6

Bunu n=72k içinde yerine yazalım.

n = 72 (7 t + 6)

n = 504 t + 432

Şimdi 5 ile bölümden kalan koşulunu uygulayalım.

n \equiv 2 (\mod 5)

Bizde n=504t+432 olduğuna göre:

504 t + 432 \equiv 2 (\mod 5)

Katsayıları 5’e göre sadeleştirelim.

504 \equiv 4 (\mod 5)

432 \equiv 2 (\mod 5)

Dolayısıyla:

4 t + 2 \equiv 2 (\mod 5)

4 t \equiv 0 (\mod 5)

Buradan t’nin 5’in katı olması gerekir.

t \equiv 0 (\mod 5)

En küçük pozitif n için en küçük uygun t değerini seçelim.

t = 0

n = 504 \cdot 0 + 432 = 432

Hızlı kontrol:

432 \div 8 = 54

432 \div 9 = 48

432 \equiv 5 (\mod 7)

432 \equiv 2 (\mod 5)

Sonuç: Doğru seçenek B’dir.

n = 432

7. SoruÇoktan Seçmeli

Beş basamaklı $4 x 7 y 2$ sayısı $66$ ile tam bölünebildiğine göre $x + y$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım: 66 = 2 × 3 × 11 Verilen sayı: 4 x 7 y 2 Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur. On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır. Tek sıralar: 4 + 7 + 2 = 13 Çift sıralar: x + y Fark: 13 - ( x + y ) Bu fark on birin katı olmalı: 13 - ( x + y ) ∈ { 11, 0, - 11 } Buradan olası durumlar: 13 - ( x + y ) = 11 ⇒ x + y = 2 13 - ( x + y ) = 0 ⇒ x + y = 13 13 - ( x + y ) = - 11 ⇒ x + y = 24 Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir. Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı: 4 + x + 7 + y + 2 = 13 + ( x + y ) Olasılıkları deneyelim: x + y = 2 ⇒ 13 + 2 = 15 15 ≡ 0 ( mod 3 ) x + y = 13 ⇒ 13 + 13 = 26 26 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu yüzden sadece birinci durum uygundur. Sonuç: x + y = 2 Dolayısıyla doğru seçenek C1010’dir.

Çözüm: Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım: 66 = 2 × 3 × 11 Verilen sayı: 4 x 7 y 2 Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur. On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır. Tek sıralar: 4 + 7 + 2 = 13 Çift sıralar: x + y Fark: 13 - ( x + y ) Bu fark on birin katı olmalı: 13 - ( x + y ) ∈ { 11, 0, - 11 } Buradan olası durumlar: 13 - ( x + y ) = 11 ⇒ x + y = 2 13 - ( x + y ) = 0 ⇒ x + y = 13 13 - ( x + y ) = - 11 ⇒ x + y = 24 Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir. Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı: 4 + x + 7 + y + 2 = 13 + ( x + y ) Olasılıkları deneyelim: x + y = 2 ⇒ 13 + 2 = 15 15 ≡ 0 ( mod 3 ) x + y = 13 ⇒ 13 + 13 = 26 26 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu yüzden sadece birinci durum uygundur. Sonuç: x + y = 2 Dolayısıyla doğru seçenek C1010’dir.

Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım:

66 = 2 \times 3 \times 11

Verilen sayı:

4 x 7 y 2

Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur.

On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır.

Tek sıralar:

4 + 7 + 2 = 13

Çift sıralar:

x + y

Fark:

13 - (x + y)

Bu fark on birin katı olmalı:

13 - (x + y) \in {11, 0, - 11}

Buradan olası durumlar:

13 - (x + y) = 11 \Rightarrow x + y = 2

13 - (x + y) = 0 \Rightarrow x + y = 13

13 - (x + y) = - 11 \Rightarrow x + y = 24

Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir.

Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı:

4 + x + 7 + y + 2 = 13 + (x + y)

Olasılıkları deneyelim:

x + y = 2 \Rightarrow 13 + 2 = 15

15 \equiv 0 (\mod 3)

x + y = 13 \Rightarrow 13 + 13 = 26

26 \equiv 2 (\mod 3)

Bu yüzden sadece birinci durum uygundur.

Sonuç:

x + y = 2

Dolayısıyla doğru seçenek C3628’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif $n$ tam sayısı kaçtır?
$n$ sayısı $8$ ile tam bölünür.
$n$ sayısı $9$ ile bölündüğünde kalan $7$ olur.
$n$ sayısı $11$ ile bölündüğünde kalan $10$ olur.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Şık B kontrolü: Koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. n ≡ 0 ( mod 8 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 10 ( mod 11 ) İlk koşuldan sayıyı yeni bir değişkenle yazalım. n = 8 k Bunu ikinci koşulda kullanalım. 8 k ≡ 7 ( mod 9 ) Mod 9 altında 8 ≡ −1 olduğundan sadeleştirelim. − k ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım. k ≡ 2 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılır: k = 9 t + 2 Buradan n ifadesini bulalım. n = 8 ( 9 t + 2 ) = 72 t + 16 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. 72 t + 16 ≡ 10 ( mod 11 ) Mod 11 altında 72 ≡ 6 ve 16 ≡ 5 olduğundan: 6 t + 5 ≡ 10 ( mod 11 ) Her iki taraftan 5 çıkaralım. 6 t ≡ 5 ( mod 11 ) Mod 11 altında 6 sayısının tersi 2 ’dir, çünkü: 6 · 2 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarpalım. t ≡ 10 ( mod 11 ) O hâlde: t = 11 s + 10 Bunu n = 72 t + 16 ifadesinde yerine yazalım. n = 72 ( 11 s + 10 ) + 16 = 792 s + 736 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 736 Kontrol: 736 ÷ 8 = 92 736 = 9 · 81 + 7 736 = 11 · 66 + 10 Sonuç: Doğru cevap D982 ’dir.

Çözüm: Şık B kontrolü: Koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. n ≡ 0 ( mod 8 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 10 ( mod 11 ) İlk koşuldan sayıyı yeni bir değişkenle yazalım. n = 8 k Bunu ikinci koşulda kullanalım. 8 k ≡ 7 ( mod 9 ) Mod 9 altında 8 ≡ −1 olduğundan sadeleştirelim. − k ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım. k ≡ 2 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılır: k = 9 t + 2 Buradan n ifadesini bulalım. n = 8 ( 9 t + 2 ) = 72 t + 16 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. 72 t + 16 ≡ 10 ( mod 11 ) Mod 11 altında 72 ≡ 6 ve 16 ≡ 5 olduğundan: 6 t + 5 ≡ 10 ( mod 11 ) Her iki taraftan 5 çıkaralım. 6 t ≡ 5 ( mod 11 ) Mod 11 altında 6 sayısının tersi 2 ’dir, çünkü: 6 · 2 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarpalım. t ≡ 10 ( mod 11 ) O hâlde: t = 11 s + 10 Bunu n = 72 t + 16 ifadesinde yerine yazalım. n = 72 ( 11 s + 10 ) + 16 = 792 s + 736 En küçük pozitif değer için s = 0 alınır: n = 736 Kontrol: 736 ÷ 8 = 92 736 = 9 · 81 + 7 736 = 11 · 66 + 10 Sonuç: Doğru cevap D982 ’dir.

Şık B kontrolü: Koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım.

\begin{matrix} n \equiv 0 (\mod 8) \\ n \equiv 7 (\mod 9) \\ n \equiv 10 (\mod 11) \end{matrix}

İlk koşuldan sayıyı yeni bir değişkenle yazalım.

n = 8 k

Bunu ikinci koşulda kullanalım.

8 k \equiv 7 (\mod 9)

Mod $9$ altında $8 \equiv −1$ olduğundan sadeleştirelim.

- k \equiv 7 (\mod 9)

Her iki tarafı $- 1$ ile çarpalım.

k \equiv 2 (\mod 9)

O hâlde $k$ şöyle yazılır:

k = 9 t + 2

Buradan $n$ ifadesini bulalım.

n = 8 (9 t + 2) = 72 t + 16

Şimdi üçüncü koşulu kullanalım.

72 t + 16 \equiv 10 (\mod 11)

Mod $11$ altında $72 \equiv 6$ ve $16 \equiv 5$ olduğundan:

6 t + 5 \equiv 10 (\mod 11)

Her iki taraftan $5$ çıkaralım.

6 t \equiv 5 (\mod 11)

Mod $11$ altında $6$ sayısının tersi $2$ ’dir, çünkü:

6 \cdot 2 = 12 \equiv 1 (\mod 11)

Bu yüzden her iki tarafı $2$ ile çarpalım.

t \equiv 10 (\mod 11)

O hâlde:

t = 11 s + 10

Bunu $n = 72 t + 16$ ifadesinde yerine yazalım.

n = 72 (11 s + 10) + 16 = 792 s + 736

En küçük pozitif değer için $s = 0$ alınır:

n = 736

Kontrol:

\begin{matrix} 736 \div 8 = 92 \\ 736 = 9 \cdot 81 + 7 \\ 736 = 11 \cdot 66 + 10 \end{matrix}

Sonuç: Doğru cevap B’dir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$\overline{a 7 b 2 c}$ beş basamaklı sayısında $a$ , $b$ , $c$ birbirinden farklı rakamlardır ve $a$ sıfır değildir.
Bu sayı $99$ ile tam bölünebildiğine göre kaç farklı sayı yazılabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen sayı a 7 b 2 c ‾ şeklindedir. Burada a, b, c birbirinden farklı rakamlar ve a ≠ 0 tır. Sayı 99 ile tam bölünebildiğine göre hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): a + 7 + b + 2 + c Bu toplam a + b + c + 9 olduğundan, 9 ile bölünebilmesi için a + b + c ≡ 0 ( mod 9 ) yani a + b + c ifadesi 9 ’un katı olmalıdır. 2) 11 ile bölünebilme koşulu (alternatif toplam): a - 7 + b - 2 + c Bu ifade a + b + c - 9 olur. 11 ile bölünebilmesi için a + b + c - 9 ifadesi 11 ’in katı olmalıdır. Şimdi a + b + c toplamının alabileceği aralığı düşünelim: üç rakamın toplamı en fazla 9 + 8 + 7 yani 24 civarındadır (zaten 27 ’yi geçemez). Bu yüzden a + b + c - 9 ifadesi yaklaşık - 9 ile 18 arasında kalır. Bu aralıkta 11 ’in katları yalnızca - 11 0 11 olabilir. Dolayısıyla a + b + c - 9 ∈ { - 11, 0, 11 } buradan a + b + c ∈ { - 2, 9, 20 } elde edilir. Rakamlar toplamı negatif olamayacağı için a + b + c ∈ { 9, 20 } kalır. Ayrıca 9 ile bölünebilme için a + b + c ∈ { 0, 9, 18, 27 } olmalıydı. İki koşulun kesişimi: { 9, 20 } ∩ { 0, 9, 18, 27 } = { 9 } Demek ki mutlaka a + b + c = 9 olmalıdır. Şimdi a, b, c birbirinden farklı rakamlar, a ≠ 0 ve a + b + c = 9 şartını sağlayan üçlüleri sayalım. Toplamı 9 olan, birbirinden farklı rakamlardan oluşan (sırasız) üçlüler: ( 0, 1, 8 ) ( 0, 2, 7 ) ( 0, 3, 6 ) ( 0, 4, 5 ) ( 1, 2, 6 ) ( 1, 3, 5 ) ( 2, 3, 4 ) Her bir üçlü için sıralama sayısını (yani a, b, c yerleşimini) bulalım: 0 içeren üçlüler: Örneğin ( 0, x, y ) için toplam permütasyon sayısı 6 dır. Ancak a ≠ 0 olmalı. a ’nın 0 seçildiği durum sayısı 2 (kalan iki rakam yer değiştirir). Bu yüzden her 0 içeren üçlüden gelen geçerli sayı adedi 6 - 2 = 4 tür. Böyle üçlü sayısı 4 olduğundan katkı 4 · 4 = 16 dır. 0 içermeyen üçlüler: Bu üçlülerde zaten a ≠ 0 kendiliğinden sağlanır. Her biri için permütasyon sayısı 6 dır. Böyle üçlü sayısı 3 olduğundan katkı 3 · 6 = 18 dir. Toplam farklı sayı adedi: 16 + 18 = 34 Sonuç olarak doğru seçenek 34 olur; yani şıkkıA1994 doğrudur.

Çözüm: Verilen sayı a 7 b 2 c ‾ şeklindedir. Burada a, b, c birbirinden farklı rakamlar ve a ≠ 0 tır. Sayı 99 ile tam bölünebildiğine göre hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): a + 7 + b + 2 + c Bu toplam a + b + c + 9 olduğundan, 9 ile bölünebilmesi için a + b + c ≡ 0 ( mod 9 ) yani a + b + c ifadesi 9 ’un katı olmalıdır. 2) 11 ile bölünebilme koşulu (alternatif toplam): a - 7 + b - 2 + c Bu ifade a + b + c - 9 olur. 11 ile bölünebilmesi için a + b + c - 9 ifadesi 11 ’in katı olmalıdır. Şimdi a + b + c toplamının alabileceği aralığı düşünelim: üç rakamın toplamı en fazla 9 + 8 + 7 yani 24 civarındadır (zaten 27 ’yi geçemez). Bu yüzden a + b + c - 9 ifadesi yaklaşık - 9 ile 18 arasında kalır. Bu aralıkta 11 ’in katları yalnızca - 11 0 11 olabilir. Dolayısıyla a + b + c - 9 ∈ { - 11, 0, 11 } buradan a + b + c ∈ { - 2, 9, 20 } elde edilir. Rakamlar toplamı negatif olamayacağı için a + b + c ∈ { 9, 20 } kalır. Ayrıca 9 ile bölünebilme için a + b + c ∈ { 0, 9, 18, 27 } olmalıydı. İki koşulun kesişimi: { 9, 20 } ∩ { 0, 9, 18, 27 } = { 9 } Demek ki mutlaka a + b + c = 9 olmalıdır. Şimdi a, b, c birbirinden farklı rakamlar, a ≠ 0 ve a + b + c = 9 şartını sağlayan üçlüleri sayalım. Toplamı 9 olan, birbirinden farklı rakamlardan oluşan (sırasız) üçlüler: ( 0, 1, 8 ) ( 0, 2, 7 ) ( 0, 3, 6 ) ( 0, 4, 5 ) ( 1, 2, 6 ) ( 1, 3, 5 ) ( 2, 3, 4 ) Her bir üçlü için sıralama sayısını (yani a, b, c yerleşimini) bulalım: 0 içeren üçlüler: Örneğin ( 0, x, y ) için toplam permütasyon sayısı 6 dır. Ancak a ≠ 0 olmalı. a ’nın 0 seçildiği durum sayısı 2 (kalan iki rakam yer değiştirir). Bu yüzden her 0 içeren üçlüden gelen geçerli sayı adedi 6 - 2 = 4 tür. Böyle üçlü sayısı 4 olduğundan katkı 4 · 4 = 16 dır. 0 içermeyen üçlüler: Bu üçlülerde zaten a ≠ 0 kendiliğinden sağlanır. Her biri için permütasyon sayısı 6 dır. Böyle üçlü sayısı 3 olduğundan katkı 3 · 6 = 18 dir. Toplam farklı sayı adedi: 16 + 18 = 34 Sonuç olarak doğru seçenek 34 olur; yani şıkkıA1994 doğrudur.

Verilen sayı

\overline{a 7 b 2 c}

şeklindedir. Burada $a$ , $b$ , $c$ birbirinden farklı rakamlar ve

a \neq 0

tır.

Sayı

99

ile tam bölünebildiğine göre hem

9

hem de

11

ile tam bölünmelidir.

1) $9$

ile bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı):

a + 7 + b + 2 + c

Bu toplam

a + b + c + 9

olduğundan, $9$ ile bölünebilmesi için

a + b + c \equiv 0 (mod 9)

yani

a + b + c

ifadesi $9$ ’un katı olmalıdır.

2) $11$

ile bölünebilme koşulu (alternatif toplam):

a - 7 + b - 2 + c

Bu ifade

a + b + c - 9

olur. $11$ ile bölünebilmesi için

a + b + c - 9

ifadesi $11$ ’in katı olmalıdır.

Şimdi

a + b + c

toplamının alabileceği aralığı düşünelim: üç rakamın toplamı en fazla

9 + 8 + 7

yani

24

civarındadır (zaten $27$ ’yi geçemez). Bu yüzden

a + b + c - 9

ifadesi yaklaşık

- 9

ile

18

arasında kalır. Bu aralıkta $11$ ’in katları yalnızca

- 11

0

11

olabilir.

Dolayısıyla

a + b + c - 9 \in {- 11, 0, 11}

buradan

a + b + c \in {- 2, 9, 20}

elde edilir. Rakamlar toplamı negatif olamayacağı için

a + b + c \in {9, 20}

kalır.

Ayrıca $9$ ile bölünebilme için

a + b + c \in {0, 9, 18, 27}

olmalıydı. İki koşulun kesişimi:

{9, 20} \cap {0, 9, 18, 27} = {9}

Demek ki mutlaka

a + b + c = 9

olmalıdır.

Şimdi $a$ , $b$ , $c$ birbirinden farklı rakamlar,

a \neq 0

ve

a + b + c = 9

şartını sağlayan üçlüleri sayalım.

Toplamı

9

olan, birbirinden farklı rakamlardan oluşan (sırasız) üçlüler:

(0, 1, 8)

(0, 2, 7)

(0, 3, 6)

(0, 4, 5)

(1, 2, 6)

(1, 3, 5)

(2, 3, 4)

Her bir üçlü için sıralama sayısını (yani $a$ , $b$ , $c$ yerleşimini) bulalım:

0 içeren üçlüler: Örneğin

(0, x, y)

için toplam permütasyon sayısı

6

dır. Ancak

a \neq 0

olmalı. $a$ ’nın $0$ seçildiği durum sayısı

2

(kalan iki rakam yer değiştirir). Bu yüzden her $0$ içeren üçlüden gelen geçerli sayı adedi

6 - 2 = 4

tür. Böyle üçlü sayısı

4

olduğundan katkı

4 \cdot 4 = 16

dır.

0 içermeyen üçlüler: Bu üçlülerde zaten

a \neq 0

kendiliğinden sağlanır. Her biri için permütasyon sayısı

6

dır. Böyle üçlü sayısı

3

olduğundan katkı

3 \cdot 6 = 18

dir.

Toplam farklı sayı adedi:

16 + 18 = 34

Sonuç olarak doğru seçenek

34

olur; yani şıkkıA8259 doğrudur.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$n \equiv 1 (mod 5)$
$n \equiv 2 (mod 7)$
$n \equiv 3 (mod 9)$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Koşullar: n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 2 ( mod 7 ) n ≡ 3 ( mod 9 ) 1) İlk koşulu kullanarak n’i parametreleyelim: n = 1 + 5 k 2) Bunu ikinci koşula uyduralım: n ≡ 2 ( mod 7 ) 1 + 5 k ≡ 2 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) 3) 7’ye göre 5’in tersi 3’tür (çünkü 5·3 ≡ 1 (mod 7)). Bu yüzden: 5 ⁢ 3 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) k ≡ 3 ( mod 7 ) k = 3 + 7 t 4) n’i t cinsinden yazalım: n = 1 + 5 ( 3 + 7 t ) n = 16 + 35 t 5) Üçüncü koşulu uygulayalım (mod 9): 16 + 35 t ≡ 3 ( mod 9 ) 16 ≡ 7 ( mod 9 ) 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 7 + 8 t ≡ 3 ( mod 9 ) 8 t ≡ - 4 ( mod 9 ) - 4 ≡ 5 ( mod 9 ) 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) 6) 9’a göre 8’in tersi yine 8’dir (çünkü 8·8 = 64 ≡ 1 (mod 9)). O hâlde: 8 ⁢ 8 ≡ 64 ≡ 1 ( mod 9 ) t ≡ 5 ⁢ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) t = 4 + 9 s 7) Son olarak n’i bulalım: n = 16 + 35 ( 4 + 9 s ) n = 156 + 315 s En küçük pozitif değer için: s = 0 ⇒ n = 156 Kontrol ve sonuç: Doğru cevap B ’dir.

Çözüm: Koşullar: n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 2 ( mod 7 ) n ≡ 3 ( mod 9 ) 1) İlk koşulu kullanarak n’i parametreleyelim: n = 1 + 5 k 2) Bunu ikinci koşula uyduralım: n ≡ 2 ( mod 7 ) 1 + 5 k ≡ 2 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) 3) 7’ye göre 5’in tersi 3’tür (çünkü 5·3 ≡ 1 (mod 7)). Bu yüzden: 5 ⁢ 3 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) k ≡ 3 ( mod 7 ) k = 3 + 7 t 4) n’i t cinsinden yazalım: n = 1 + 5 ( 3 + 7 t ) n = 16 + 35 t 5) Üçüncü koşulu uygulayalım (mod 9): 16 + 35 t ≡ 3 ( mod 9 ) 16 ≡ 7 ( mod 9 ) 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 7 + 8 t ≡ 3 ( mod 9 ) 8 t ≡ - 4 ( mod 9 ) - 4 ≡ 5 ( mod 9 ) 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) 6) 9’a göre 8’in tersi yine 8’dir (çünkü 8·8 = 64 ≡ 1 (mod 9)). O hâlde: 8 ⁢ 8 ≡ 64 ≡ 1 ( mod 9 ) t ≡ 5 ⁢ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) t = 4 + 9 s 7) Son olarak n’i bulalım: n = 16 + 35 ( 4 + 9 s ) n = 156 + 315 s En küçük pozitif değer için: s = 0 ⇒ n = 156 Kontrol ve sonuç: Doğru cevap B ’dir.

Koşullar:

n \equiv 1 (mod 5)

n \equiv 2 (mod 7)

n \equiv 3 (mod 9)

1) İlk koşulu kullanarak n’i parametreleyelim:

n = 1 + 5 k

2) Bunu ikinci koşula uyduralım:

n \equiv 2 (mod 7)

1 + 5 k \equiv 2 (mod 7)

5 k \equiv 1 (mod 7)

3) 7’ye göre 5’in tersi 3’tür (çünkü 5·3 ≡ 1 (mod 7)). Bu yüzden:

5 3 \equiv 15 \equiv 1 (mod 7)

k \equiv 3 (mod 7)

k = 3 + 7 t

4) n’i t cinsinden yazalım:

n = 1 + 5 (3 + 7 t)

n = 16 + 35 t

5) Üçüncü koşulu uygulayalım (mod 9):

16 + 35 t \equiv 3 (mod 9)

16 \equiv 7 (mod 9)

35 \equiv 8 (mod 9)

7 + 8 t \equiv 3 (mod 9)

8 t \equiv - 4 (mod 9)

- 4 \equiv 5 (mod 9)

8 t \equiv 5 (mod 9)

6) 9’a göre 8’in tersi yine 8’dir (çünkü 8·8 = 64 ≡ 1 (mod 9)). O hâlde:

8 8 \equiv 64 \equiv 1 (mod 9)

t \equiv 5 8 (mod 9)

t \equiv 40 \equiv 4 (mod 9)

t = 4 + 9 s

7) Son olarak n’i bulalım:

n = 16 + 35 (4 + 9 s)

n = 156 + 315 s

En küçük pozitif değer için:

s = 0 \Rightarrow n = 156

Kontrol ve sonuç: Doğru cevap B’dir.

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölünebilme Kuralları

Kalanlı Bölme

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif $n$ tam sayısı kaçtır?
$6 n + 1$ ifadesi $7$ ile tam bölünüyor.
$5 n + 2$ ifadesi $9$ ile tam bölünüyor.

Aşağıda tanımlanan sayının
$N = 3^{2026} + 4^{2026}$
$11$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Rakamları $a$ ve $b$ olan iki basamaklı $10 a + b$ sayısı yan yana iki kez yazılarak dört basamaklı $101 \times (10 a + b)$ sayısı elde ediliyor. Bu sayı $18$ ile bölünebildiğine göre kaç farklı $10 a + b$ vardır?

$4 a 2 b 6$ sayısı $72$ ile tam bölünebiliyorsa, bu koşulu sağlayan en küçük sayı kaçtır?

$7^{2025} + 5^{2025}$ ifadesinin $12$ ile bölünmesinden kalan kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$n$ sayısı $8$ ve $9$ ile tam bölünür.
$n$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $5$ olur.
$n$ sayısı $5$ ile bölündüğünde kalan $2$ olur.

Beş basamaklı $4 x 7 y 2$ sayısı $66$ ile tam bölünebildiğine göre $x + y$ kaçtır?

En küçük pozitif $n$ tam sayısı kaçtır?
$n$ sayısı $8$ ile tam bölünür.
$n$ sayısı $9$ ile bölündüğünde kalan $7$ olur.
$n$ sayısı $11$ ile bölündüğünde kalan $10$ olur.

$\overline{a 7 b 2 c}$ beş basamaklı sayısında $a$ , $b$ , $c$ birbirinden farklı rakamlardır ve $a$ sıfır değildir.
Bu sayı $99$ ile tam bölünebildiğine göre kaç farklı sayı yazılabilir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$n \equiv 1 (mod 5)$
$n \equiv 2 (mod 7)$
$n \equiv 3 (mod 9)$

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölünebilme Kuralları

Kalanlı Bölme

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif n tam sayısı kaçtır?6n+1 ifadesi 7 ile tam bölünüyor.5n+2 ifadesi 9 ile tam bölünüyor.

Aşağıda tanımlanan sayınınN=32026+4202611 ile bölümünden kalan kaçtır?

Rakamları a ve b olan iki basamaklı 10a+b sayısı yan yana iki kez yazılarak dört basamaklı 101×(10a+b) sayısı elde ediliyor. Bu sayı 18 ile bölünebildiğine göre kaç farklı 10a+b vardır?

4a2b6 sayısı 72 ile tam bölünebiliyorsa, bu koşulu sağlayan en küçük sayı kaçtır?

72025+52025 ifadesinin 12 ile bölünmesinden kalan kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı n kaçtır?n sayısı 8 ve 9 ile tam bölünür.n sayısı 7 ile bölündüğünde kalan 5 olur.n sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 2 olur.

Beş basamaklı 4x7y2 sayısı 66 ile tam bölünebildiğine göre x+y kaçtır?

En küçük pozitif n tam sayısı kaçtır?n sayısı 8 ile tam bölünür.n sayısı 9 ile bölündüğünde kalan 7 olur.n sayısı 11 ile bölündüğünde kalan 10 olur.

a7b2c‾ beş basamaklı sayısında a, b, c birbirinden farklı rakamlardır ve a sıfır değildir.Bu sayı 99 ile tam bölünebildiğine göre kaç farklı sayı yazılabilir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı n kaçtır?n≡1(mod5)n≡2(mod7)n≡3(mod9)

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif $n$ tam sayısı kaçtır?
$6 n + 1$ ifadesi $7$ ile tam bölünüyor.
$5 n + 2$ ifadesi $9$ ile tam bölünüyor.

Aşağıda tanımlanan sayının
$N = 3^{2026} + 4^{2026}$
$11$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Rakamları $a$ ve $b$ olan iki basamaklı $10 a + b$ sayısı yan yana iki kez yazılarak dört basamaklı $101 \times (10 a + b)$ sayısı elde ediliyor. Bu sayı $18$ ile bölünebildiğine göre kaç farklı $10 a + b$ vardır?

$4 a 2 b 6$ sayısı $72$ ile tam bölünebiliyorsa, bu koşulu sağlayan en küçük sayı kaçtır?

$7^{2025} + 5^{2025}$ ifadesinin $12$ ile bölünmesinden kalan kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$n$ sayısı $8$ ve $9$ ile tam bölünür.
$n$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $5$ olur.
$n$ sayısı $5$ ile bölündüğünde kalan $2$ olur.

Beş basamaklı $4 x 7 y 2$ sayısı $66$ ile tam bölünebildiğine göre $x + y$ kaçtır?

En küçük pozitif $n$ tam sayısı kaçtır?
$n$ sayısı $8$ ile tam bölünür.
$n$ sayısı $9$ ile bölündüğünde kalan $7$ olur.
$n$ sayısı $11$ ile bölündüğünde kalan $10$ olur.

$\overline{a 7 b 2 c}$ beş basamaklı sayısında $a$ , $b$ , $c$ birbirinden farklı rakamlardır ve $a$ sıfır değildir.
Bu sayı $99$ ile tam bölünebildiğine göre kaç farklı sayı yazılabilir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$n \equiv 1 (mod 5)$
$n \equiv 2 (mod 7)$
$n \equiv 3 (mod 9)$