9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: A

Koşulları kongruans (modüler denklem) olarak yazalım: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) Birinci koşulu çözelim: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ −1 ( mod 7 ) −1 ≡ 6 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ 6 ( mod 7 ) Burada 6 ’nın yediye göre tersi yine 6 ’dır; çünkü: 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: n ≡ 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) İkinci koşulu çözelim: 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ −2 ( mod 9 ) −2 ≡ 7 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ 7 ( mod 9 ) Dokuz’a göre 5 ’in tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 2 ⋅ 7 = 14 ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birleştirelim: n ≡ 1 ( mod 7 ) ve n ≡ 5 ( mod 9 ) Birinci koşula göre n sayıları şu biçimdedir (yedişer artar): 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, … Bu listedeki sayılardan dokuz ile bölümünden kalan 5 olan (yani ikinci koşulu sağlayan) en küçük değer: n = 50 Sonuç: Doğru seçenek A858 ’dir.

1. Çözüm: Koşulları kongruans (modüler denklem) olarak yazalım: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) Birinci koşulu çözelim: 6 n + 1 ≡ 0 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ −1 ( mod 7 ) −1 ≡ 6 ( mod 7 ) ⇒ 6 n ≡ 6 ( mod 7 ) Burada 6 ’nın yediye göre tersi yine 6 ’dır; çünkü: 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı 6 ile çarpalım: n ≡ 6 ⋅ 6 = 36 ≡ 1 ( mod 7 ) İkinci koşulu çözelim: 5 n + 2 ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ −2 ( mod 9 ) −2 ≡ 7 ( mod 9 ) ⇒ 5 n ≡ 7 ( mod 9 ) Dokuz’a göre 5 ’in tersi 2 ’dir; çünkü: 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n ≡ 2 ⋅ 7 = 14 ≡ 5 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birleştirelim: n ≡ 1 ( mod 7 ) ve n ≡ 5 ( mod 9 ) Birinci koşula göre n sayıları şu biçimdedir (yedişer artar): 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64, 71, … Bu listedeki sayılardan dokuz ile bölümünden kalan 5 olan (yani ikinci koşulu sağlayan) en küçük değer: n = 50 Sonuç: Doğru seçenek A858 ’dir.

Doğru cevap: B

Verilen sayı: $N = 3$2026 + 4 2026 İstenen: N sayısının 11 ile bölümünden kalan Modüler aritmetik ile çalışalım. N ≡ 3 2026 + 4 2026 (mod 11 ) 11 asal olduğundan Fermat Küçük Teoremi’ne göre (11 ile aralarında asal olan sayılar için): a 10 ≡ 1 (mod 11 ) Buradan üsleri 10’a göre sadeleştiririz: 2026 ≡ 6 (mod 10 ) Dolayısıyla: 3 2026 ≡ 3 6 (mod 11 ) 4 2026 ≡ 4 6 (mod 11 ) Şimdi mod 11’de kuvvetleri hesaplayalım: Önce 3 $2 = 9$ 3 $4 = 3$ 2 ⋅ 3 $2 = 9$ ⋅ $9 = 81$ ≡ 4 (mod 11 ) 3 $6 = 3$ 4 ⋅ 3 2 ≡ 4 ⋅ $9 = 36$ ≡ 3 (mod 11 ) Şimdi 4 $2 = 16$ ≡ 5 (mod 11 ) 4 $4 = 4$ 2 ⋅ 4 2 ≡ 5 ⋅ $5 = 25$ ≡ 3 (mod 11 ) 4 $6 = 4$ 4 ⋅ 4 2 ≡ 3 ⋅ $5 = 15$ ≡ 4 (mod 11 ) Toplayalım: N ≡ 3 6 + 4 6 ≡ $3 + 4 = 7$ (mod 11 ) Sonuç: 11 ile bölümünden kalan 7 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen sayı: $N = 3$2026 + 4 2026 İstenen: N sayısının 11 ile bölümünden kalan Modüler aritmetik ile çalışalım. N ≡ 3 2026 + 4 2026 (mod 11 ) 11 asal olduğundan Fermat Küçük Teoremi’ne göre (11 ile aralarında asal olan sayılar için): a 10 ≡ 1 (mod 11 ) Buradan üsleri 10’a göre sadeleştiririz: 2026 ≡ 6 (mod 10 ) Dolayısıyla: 3 2026 ≡ 3 6 (mod 11 ) 4 2026 ≡ 4 6 (mod 11 ) Şimdi mod 11’de kuvvetleri hesaplayalım: Önce 3 $2 = 9$ 3 $4 = 3$ 2 ⋅ 3 $2 = 9$ ⋅ $9 = 81$ ≡ 4 (mod 11 ) 3 $6 = 3$ 4 ⋅ 3 2 ≡ 4 ⋅ $9 = 36$ ≡ 3 (mod 11 ) Şimdi 4 $2 = 16$ ≡ 5 (mod 11 ) 4 $4 = 4$ 2 ⋅ 4 2 ≡ 5 ⋅ $5 = 25$ ≡ 3 (mod 11 ) 4 $6 = 4$ 4 ⋅ 4 2 ≡ 3 ⋅ $5 = 15$ ≡ 4 (mod 11 ) Toplayalım: N ≡ 3 6 + 4 6 ≡ $3 + 4 = 7$ (mod 11 ) Sonuç: 11 ile bölümünden kalan 7 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

İki basamaklı sayı: $x = 10$a + b Yan yana iki kez yazılınca oluşan dört basamaklı sayı: $N = 101$× ( 10 a + b ) = 101 × x Verilen koşul: 18 ∣ N Bunun için sayı hem 2 hem de 9 ile bölünebilmelidir. 1) 2 ile bölünebilme: 2 ∣ $N = 101$× x Çünkü 101 ≡ 1 ( mod 2 ) bu çarpımın 2 ile bölünebilmesi için x çift olmalıdır. 2 ∣ x 2) 9 ile bölünebilme: 9 ∣ $N = 101$× x Önce 101 ≡ 2 ( mod 9 ) Dolayısıyla N ≡ 2 x ( mod 9 ) Şart 9 ∣ N olduğundan 2 x ≡ 0 ( mod 9 ) ve gcd ( 2, 9 ) = 1 olduğu için buradan x ≡ 0 ( mod 9 ) yani 9 ∣ x Özetle: 2 ∣ x ve 9 ∣ x Bu da 18 ∣ x demektir. Yani aranan iki basamaklı sayılar, iki basamaklı 18 katlarıdır. İki basamaklı 18 katları: { 18, 36, 54, 72, 90 } Adet: 5 Sonuç: Doğru cevap seçeneği C ’dir.

1. Çözüm: İki basamaklı sayı: $x = 10$a + b Yan yana iki kez yazılınca oluşan dört basamaklı sayı: $N = 101$× ( 10 a + b ) = 101 × x Verilen koşul: 18 ∣ N Bunun için sayı hem 2 hem de 9 ile bölünebilmelidir. 1) 2 ile bölünebilme: 2 ∣ $N = 101$× x Çünkü 101 ≡ 1 ( mod 2 ) bu çarpımın 2 ile bölünebilmesi için x çift olmalıdır. 2 ∣ x 2) 9 ile bölünebilme: 9 ∣ $N = 101$× x Önce 101 ≡ 2 ( mod 9 ) Dolayısıyla N ≡ 2 x ( mod 9 ) Şart 9 ∣ N olduğundan 2 x ≡ 0 ( mod 9 ) ve gcd ( 2, 9 ) = 1 olduğu için buradan x ≡ 0 ( mod 9 ) yani 9 ∣ x Özetle: 2 ∣ x ve 9 ∣ x Bu da 18 ∣ x demektir. Yani aranan iki basamaklı sayılar, iki basamaklı 18 katlarıdır. İki basamaklı 18 katları: { 18, 36, 54, 72, 90 } Adet: 5 Sonuç: Doğru cevap seçeneği C ’dir.

Doğru cevap: D

Sayıyı şöyle tanımlayalım: N = 4 a 2 b 6 Tam bölünme koşulu: 72 = 8 × 9 Buradan şu sonuca gideriz: 72 ∣ N ⇔ 8 ∣ N ∧ 9 ∣ N Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakarız: N ≡ 2 b 6   (son üç basamak) Bu üç basamağı cebirsel yazalım: 2 b 6 = 200 + 10 b + 6 = 206 + 10 b Mod sekiz inceleyelim: 206 ≡ 6 10 b ≡ 2 b ( mod 8 ) Bölünebilme için kalan sıfır olmalı: 6 + 2 b ≡ 0   ( mod 8 ) Buradan: 2 b ≡ 2   ( mod 8 ) ⇔ b ≡ 1   ( mod 4 ) Yani b için olası rakamlar: b ∈ { 1, 5, 9 } Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamını kullanırız: S = 4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b Koşul: S ≡ 0   ( mod 9 ) Yerine koyarsak: 12 + a + b ≡ 0   ( mod 9 ) ⇔ a + b ≡ 6   ( mod 9 ) En küçük sayıyı bulmak için önce a rakamını en küçük seçeriz. Olası b değerleri: b ∈ { 1, 5, 9 } a için sırayla deneyelim. Birinci deneme: a = 0 ⇒ b ≡ 6   ( mod 9 ) ⇒ b = 6 Bu değer, b ∈ { 1, 5, 9 } kümesinde olmadığı için olmaz. İkinci deneme: a = 1 ⇒ b ≡ 5   ( mod 9 ) ⇒ b = 5 Bu değer uygundur ve sayıyı oluşturur: N = 41256 Şimdi bu sayının gerçekten yetmiş iki ile bölündüğünü kontrol edelim. Sekize bölünebilme kontrolü: 256 ÷ 8 = 32 Dokuza bölünebilme kontrolü (rakamlar toplamı): 4 + 1 + 2 + 5 + 6 = 18 18 ÷ 9 = 2 İkisi de sağlandığı için: 72 ∣ 41256 Sonuç olarak doğru seçenek D1524 ve koşulu sağlayan en küçük sayı: 41256

1. Çözüm: Sayıyı şöyle tanımlayalım: N = 4 a 2 b 6 Tam bölünme koşulu: 72 = 8 × 9 Buradan şu sonuca gideriz: 72 ∣ N ⇔ 8 ∣ N ∧ 9 ∣ N Sekize bölünebilme için son üç basamağa bakarız: N ≡ 2 b 6   (son üç basamak) Bu üç basamağı cebirsel yazalım: 2 b 6 = 200 + 10 b + 6 = 206 + 10 b Mod sekiz inceleyelim: 206 ≡ 6 10 b ≡ 2 b ( mod 8 ) Bölünebilme için kalan sıfır olmalı: 6 + 2 b ≡ 0   ( mod 8 ) Buradan: 2 b ≡ 2   ( mod 8 ) ⇔ b ≡ 1   ( mod 4 ) Yani b için olası rakamlar: b ∈ { 1, 5, 9 } Dokuza bölünebilme için rakamlar toplamını kullanırız: S = 4 + a + 2 + b + 6 = 12 + a + b Koşul: S ≡ 0   ( mod 9 ) Yerine koyarsak: 12 + a + b ≡ 0   ( mod 9 ) ⇔ a + b ≡ 6   ( mod 9 ) En küçük sayıyı bulmak için önce a rakamını en küçük seçeriz. Olası b değerleri: b ∈ { 1, 5, 9 } a için sırayla deneyelim. Birinci deneme: a = 0 ⇒ b ≡ 6   ( mod 9 ) ⇒ b = 6 Bu değer, b ∈ { 1, 5, 9 } kümesinde olmadığı için olmaz. İkinci deneme: a = 1 ⇒ b ≡ 5   ( mod 9 ) ⇒ b = 5 Bu değer uygundur ve sayıyı oluşturur: N = 41256 Şimdi bu sayının gerçekten yetmiş iki ile bölündüğünü kontrol edelim. Sekize bölünebilme kontrolü: 256 ÷ 8 = 32 Dokuza bölünebilme kontrolü (rakamlar toplamı): 4 + 1 + 2 + 5 + 6 = 18 18 ÷ 9 = 2 İkisi de sağlandığı için: 72 ∣ 41256 Sonuç olarak doğru seçenek D1524 ve koşulu sağlayan en küçük sayı: 41256

Doğru cevap: A

İstenen: ifade 12 ile bölününce kalan. 7 2025 + 5 2025 Önce 3 ile bölümünden kalanı bulalım. 7 ≡ 1 ( 3 ile bölümde) 7 2025 ≡ 1 2025 = 1 ( 3 ile bölümde) 5 ≡ 2 ( 3 ile bölümde) 5 2025 ≡ 2 2025 ≡ 2 ( 2025 tek olduğu için) 7 2025 + 5 2025 ≡ 1 + 2 = 3 ≡ 0 ( 3 ile bölümde) Şimdi 4 ile bölümünden kalanı bulalım. 7 ≡ 3 ( 4 ile bölümde) 7 2025 ≡ 3 2025 ≡ 3 ( 2025 tek olduğu için) 5 ≡ 1 ( 4 ile bölümde) 5 2025 ≡ 1 2025 = 1 ( 4 ile bölümde) 7 2025 + 5 2025 ≡ 3 + 1 = 4 ≡ 0 ( 4 ile bölümde) Sonuç: ifade hem 3 ’e hem 4 ’e kalansız bölünüyor. 3 ve 4 aralarında asal olduğundan ifade 12 ’ye de kalansız bölünür. 7 2025 + 5 2025 ≡ 0 ( 12 ile bölümde) Kalan 0 Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: İstenen: ifade 12 ile bölününce kalan. 7 2025 + 5 2025 Önce 3 ile bölümünden kalanı bulalım. 7 ≡ 1 ( 3 ile bölümde) 7 2025 ≡ 1 2025 = 1 ( 3 ile bölümde) 5 ≡ 2 ( 3 ile bölümde) 5 2025 ≡ 2 2025 ≡ 2 ( 2025 tek olduğu için) 7 2025 + 5 2025 ≡ 1 + 2 = 3 ≡ 0 ( 3 ile bölümde) Şimdi 4 ile bölümünden kalanı bulalım. 7 ≡ 3 ( 4 ile bölümde) 7 2025 ≡ 3 2025 ≡ 3 ( 2025 tek olduğu için) 5 ≡ 1 ( 4 ile bölümde) 5 2025 ≡ 1 2025 = 1 ( 4 ile bölümde) 7 2025 + 5 2025 ≡ 3 + 1 = 4 ≡ 0 ( 4 ile bölümde) Sonuç: ifade hem 3 ’e hem 4 ’e kalansız bölünüyor. 3 ve 4 aralarında asal olduğundan ifade 12 ’ye de kalansız bölünür. 7 2025 + 5 2025 ≡ 0 ( 12 ile bölümde) Kalan 0 Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Önce 8 ve 9 ile tam bölünebilme koşulunu birlikte ele alalım. lcm ( 8, 9 ) = 72 Bu yüzden n sayısı 72 ’nin katıdır. $n = 72$k Şimdi 7 ile bölümden kalan koşulunu kullanalım. 72 k ≡ 5 ( mod 7 ) Önce 72 ’yi 7 ’ye göre sadeleştirelim. 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 k ≡ 5 ( mod 7 ) Burada 2 ’nin 7 ’ye göre tersi 4 ’tür (çünkü 2·4 kalanı 1 yapar). İki tarafı 4 ile çarpalım. 4 ⋅ 2 k ≡ 4 ⋅ 5 ( mod 7 ) k ≡ 20 ≡ 6 ( mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: $k = 7$t + 6 Bunu $n=72$k içinde yerine yazalım. $n = 72$( 7 t + 6 ) $n = 504$t + 432 Şimdi 5 ile bölümden kalan koşulunu uygulayalım. n ≡ 2 ( mod 5 ) Bizde $n=504$t+432 olduğuna göre: 504 t + 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Katsayıları 5 ’e göre sadeleştirelim. 504 ≡ 4 ( mod 5 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 4 t + 2 ≡ 2 ( mod 5 ) 4 t ≡ 0 ( mod 5 ) Buradan t ’nin 5 ’in katı olması gerekir. t ≡ 0 ( mod 5 ) En küçük pozitif n için en küçük uygun t değerini seçelim. $t = 0$$n = 504$⋅ $0 + 432 = 432$ Hızlı kontrol: 432 ÷ $8 = 54$ 432 ÷ $9 = 48$ 432 ≡ 5 ( mod 7 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. $n = 432$

1. Çözüm: Önce 8 ve 9 ile tam bölünebilme koşulunu birlikte ele alalım. lcm ( 8, 9 ) = 72 Bu yüzden n sayısı 72 ’nin katıdır. $n = 72$k Şimdi 7 ile bölümden kalan koşulunu kullanalım. 72 k ≡ 5 ( mod 7 ) Önce 72 ’yi 7 ’ye göre sadeleştirelim. 72 ≡ 2 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 k ≡ 5 ( mod 7 ) Burada 2 ’nin 7 ’ye göre tersi 4 ’tür (çünkü 2·4 kalanı 1 yapar). İki tarafı 4 ile çarpalım. 4 ⋅ 2 k ≡ 4 ⋅ 5 ( mod 7 ) k ≡ 20 ≡ 6 ( mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: $k = 7$t + 6 Bunu $n=72$k içinde yerine yazalım. $n = 72$( 7 t + 6 ) $n = 504$t + 432 Şimdi 5 ile bölümden kalan koşulunu uygulayalım. n ≡ 2 ( mod 5 ) Bizde $n=504$t+432 olduğuna göre: 504 t + 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Katsayıları 5 ’e göre sadeleştirelim. 504 ≡ 4 ( mod 5 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Dolayısıyla: 4 t + 2 ≡ 2 ( mod 5 ) 4 t ≡ 0 ( mod 5 ) Buradan t ’nin 5 ’in katı olması gerekir. t ≡ 0 ( mod 5 ) En küçük pozitif n için en küçük uygun t değerini seçelim. $t = 0$$n = 504$⋅ $0 + 432 = 432$ Hızlı kontrol: 432 ÷ $8 = 54$ 432 ÷ $9 = 48$ 432 ≡ 5 ( mod 7 ) 432 ≡ 2 ( mod 5 ) Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. $n = 432$

Doğru cevap: C

Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım: $66 = 2$ × 3 × 11 Verilen sayı: 4 x 7 y 2 Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur. On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır. Tek sıralar: $4 + 7 + 2 = 13$ Çift sıralar: x + y Fark: 13 - ( x + y ) Bu fark on birin katı olmalı: 13 - ( x + y ) ∈ { 11, 0, - 11 } Buradan olası durumlar: 13 - ( x + y ) = 11 ⇒ x + $y = 2$13 - ( x + y ) = 0 ⇒ x + $y = 13$13 - ( x + y ) = - 11 ⇒ x + $y = 24$Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir. Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı: 4 + x + 7 + y + $2 = 13$ + ( x + y ) Olasılıkları deneyelim: x + $y = 2$⇒ $13 + 2 = 15$ 15 ≡ 0 ( mod 3 ) x + $y = 13$⇒ $13 + 13 = 26$ 26 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu yüzden sadece birinci durum uygundur. Sonuç: x + $y = 2$Dolayısıyla doğru seçenek C1010’dir.

1. Çözüm: Altmış altıya tam bölünebilme şartını asal çarpanlara ayıralım: $66 = 2$ × 3 × 11 Verilen sayı: 4 x 7 y 2 Bu sayının iki ile bölünebilmesi için son basamağının çift olması gerekir; son basamak zaten uygundur. On bire bölünebilme kuralını uygulayalım. Tek sıralı basamakların toplamı eksi çift sıralı basamakların toplamı, on birin katı olmalıdır. Tek sıralar: $4 + 7 + 2 = 13$ Çift sıralar: x + y Fark: 13 - ( x + y ) Bu fark on birin katı olmalı: 13 - ( x + y ) ∈ { 11, 0, - 11 } Buradan olası durumlar: 13 - ( x + y ) = 11 ⇒ x + $y = 2$13 - ( x + y ) = 0 ⇒ x + $y = 13$13 - ( x + y ) = - 11 ⇒ x + $y = 24$Son durum basamak toplamı olamayacağı için elenir. Şimdi üç ile bölünebilme şartını kullanalım. Rakamlar toplamı üçün katı olmalı: 4 + x + 7 + y + $2 = 13$ + ( x + y ) Olasılıkları deneyelim: x + $y = 2$⇒ $13 + 2 = 15$ 15 ≡ 0 ( mod 3 ) x + $y = 13$⇒ $13 + 13 = 26$ 26 ≡ 2 ( mod 3 ) Bu yüzden sadece birinci durum uygundur. Sonuç: x + $y = 2$Dolayısıyla doğru seçenek C1010’dir.

Doğru cevap: D

Şık B kontrolü: Koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. n ≡ 0 ( mod 8 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 10 ( mod 11 ) İlk koşuldan sayıyı yeni bir değişkenle yazalım. $n = 8$k Bunu ikinci koşulda kullanalım. 8 k ≡ 7 ( mod 9 ) Mod 9 altında 8 ≡ −1 olduğundan sadeleştirelim. − k ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım. k ≡ 2 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılır: $k = 9$t + 2 Buradan n ifadesini bulalım. $n = 8$( 9 t + 2 ) = 72 t + 16 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. 72 t + 16 ≡ 10 ( mod 11 ) Mod 11 altında 72 ≡ 6 ve 16 ≡ 5 olduğundan: 6 t + 5 ≡ 10 ( mod 11 ) Her iki taraftan 5 çıkaralım. 6 t ≡ 5 ( mod 11 ) Mod 11 altında 6 sayısının tersi 2 ’dir, çünkü: 6 · $2 = 12$ ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarpalım. t ≡ 10 ( mod 11 ) O hâlde: $t = 11$s + 10 Bunu $n = 72$t + 16 ifadesinde yerine yazalım. $n = 72$( 11 s + 10 ) + $16 = 792$ s + 736 En küçük pozitif değer için $s = 0$alınır: $n = 736$Kontrol: $736 ÷ 8 = 92$ $736 = 9$ · 81 + 7 $736 = 11$ · 66 + 10 Sonuç: Doğru cevap D982 ’dir.

1. Çözüm: Şık B kontrolü: Koşulları aynı anda sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulalım. n ≡ 0 ( mod 8 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) n ≡ 10 ( mod 11 ) İlk koşuldan sayıyı yeni bir değişkenle yazalım. $n = 8$k Bunu ikinci koşulda kullanalım. 8 k ≡ 7 ( mod 9 ) Mod 9 altında 8 ≡ −1 olduğundan sadeleştirelim. − k ≡ 7 ( mod 9 ) Her iki tarafı − 1 ile çarpalım. k ≡ 2 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılır: $k = 9$t + 2 Buradan n ifadesini bulalım. $n = 8$( 9 t + 2 ) = 72 t + 16 Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. 72 t + 16 ≡ 10 ( mod 11 ) Mod 11 altında 72 ≡ 6 ve 16 ≡ 5 olduğundan: 6 t + 5 ≡ 10 ( mod 11 ) Her iki taraftan 5 çıkaralım. 6 t ≡ 5 ( mod 11 ) Mod 11 altında 6 sayısının tersi 2 ’dir, çünkü: 6 · $2 = 12$ ≡ 1 ( mod 11 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarpalım. t ≡ 10 ( mod 11 ) O hâlde: $t = 11$s + 10 Bunu $n = 72$t + 16 ifadesinde yerine yazalım. $n = 72$( 11 s + 10 ) + $16 = 792$ s + 736 En küçük pozitif değer için $s = 0$alınır: $n = 736$Kontrol: $736 ÷ 8 = 92$ $736 = 9$ · 81 + 7 $736 = 11$ · 66 + 10 Sonuç: Doğru cevap D982 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen sayı a 7 b 2 c ‾ şeklindedir. Burada a, b, c birbirinden farklı rakamlar ve a ≠ 0 tır. Sayı 99 ile tam bölünebildiğine göre hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): a + 7 + b + 2 + c Bu toplam a + b + c + 9 olduğundan, 9 ile bölünebilmesi için a + b + c ≡ 0 ( mod 9 ) yani a + b + c ifadesi 9 ’un katı olmalıdır. 2) 11 ile bölünebilme koşulu (alternatif toplam): a - 7 + b - 2 + c Bu ifade a + b + c - 9 olur. 11 ile bölünebilmesi için a + b + c - 9 ifadesi 11 ’in katı olmalıdır. Şimdi a + b + c toplamının alabileceği aralığı düşünelim: üç rakamın toplamı en fazla 9 + 8 + 7 yani 24 civarındadır (zaten 27 ’yi geçemez). Bu yüzden a + b + c - 9 ifadesi yaklaşık - 9 ile 18 arasında kalır. Bu aralıkta 11 ’in katları yalnızca - 11 0 11 olabilir. Dolayısıyla a + b + c - 9 ∈ { - 11, 0, 11 } buradan a + b + c ∈ { - 2, 9, 20 } elde edilir. Rakamlar toplamı negatif olamayacağı için a + b + c ∈ { 9, 20 } kalır. Ayrıca 9 ile bölünebilme için a + b + c ∈ { 0, 9, 18, 27 } olmalıydı. İki koşulun kesişimi: { 9, 20 } ∩ { 0, 9, 18, 27 } = { 9 } Demek ki mutlaka a + b + $c = 9$olmalıdır. Şimdi a, b, c birbirinden farklı rakamlar, a ≠ 0 ve a + b + $c = 9$şartını sağlayan üçlüleri sayalım. Toplamı 9 olan, birbirinden farklı rakamlardan oluşan (sırasız) üçlüler: ( 0, 1, 8 ) ( 0, 2, 7 ) ( 0, 3, 6 ) ( 0, 4, 5 ) ( 1, 2, 6 ) ( 1, 3, 5 ) ( 2, 3, 4 ) Her bir üçlü için sıralama sayısını (yani a, b, c yerleşimini) bulalım: 0 içeren üçlüler: Örneğin ( 0, x, y ) için toplam permütasyon sayısı 6 dır. Ancak a ≠ 0 olmalı. a ’nın 0 seçildiği durum sayısı 2 (kalan iki rakam yer değiştirir). Bu yüzden her 0 içeren üçlüden gelen geçerli sayı adedi $6 - 2 = 4$ tür. Böyle üçlü sayısı 4 olduğundan katkı 4 · $4 = 16$ dır. 0 içermeyen üçlüler: Bu üçlülerde zaten a ≠ 0 kendiliğinden sağlanır. Her biri için permütasyon sayısı 6 dır. Böyle üçlü sayısı 3 olduğundan katkı 3 · $6 = 18$ dir. Toplam farklı sayı adedi: $16 + 18 = 34$ Sonuç olarak doğru seçenek 34 olur; yani şıkkıA1994 doğrudur.

1. Çözüm: Verilen sayı a 7 b 2 c ‾ şeklindedir. Burada a, b, c birbirinden farklı rakamlar ve a ≠ 0 tır. Sayı 99 ile tam bölünebildiğine göre hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme koşulu (rakamlar toplamı): a + 7 + b + 2 + c Bu toplam a + b + c + 9 olduğundan, 9 ile bölünebilmesi için a + b + c ≡ 0 ( mod 9 ) yani a + b + c ifadesi 9 ’un katı olmalıdır. 2) 11 ile bölünebilme koşulu (alternatif toplam): a - 7 + b - 2 + c Bu ifade a + b + c - 9 olur. 11 ile bölünebilmesi için a + b + c - 9 ifadesi 11 ’in katı olmalıdır. Şimdi a + b + c toplamının alabileceği aralığı düşünelim: üç rakamın toplamı en fazla 9 + 8 + 7 yani 24 civarındadır (zaten 27 ’yi geçemez). Bu yüzden a + b + c - 9 ifadesi yaklaşık - 9 ile 18 arasında kalır. Bu aralıkta 11 ’in katları yalnızca - 11 0 11 olabilir. Dolayısıyla a + b + c - 9 ∈ { - 11, 0, 11 } buradan a + b + c ∈ { - 2, 9, 20 } elde edilir. Rakamlar toplamı negatif olamayacağı için a + b + c ∈ { 9, 20 } kalır. Ayrıca 9 ile bölünebilme için a + b + c ∈ { 0, 9, 18, 27 } olmalıydı. İki koşulun kesişimi: { 9, 20 } ∩ { 0, 9, 18, 27 } = { 9 } Demek ki mutlaka a + b + $c = 9$olmalıdır. Şimdi a, b, c birbirinden farklı rakamlar, a ≠ 0 ve a + b + $c = 9$şartını sağlayan üçlüleri sayalım. Toplamı 9 olan, birbirinden farklı rakamlardan oluşan (sırasız) üçlüler: ( 0, 1, 8 ) ( 0, 2, 7 ) ( 0, 3, 6 ) ( 0, 4, 5 ) ( 1, 2, 6 ) ( 1, 3, 5 ) ( 2, 3, 4 ) Her bir üçlü için sıralama sayısını (yani a, b, c yerleşimini) bulalım: 0 içeren üçlüler: Örneğin ( 0, x, y ) için toplam permütasyon sayısı 6 dır. Ancak a ≠ 0 olmalı. a ’nın 0 seçildiği durum sayısı 2 (kalan iki rakam yer değiştirir). Bu yüzden her 0 içeren üçlüden gelen geçerli sayı adedi $6 - 2 = 4$ tür. Böyle üçlü sayısı 4 olduğundan katkı 4 · $4 = 16$ dır. 0 içermeyen üçlüler: Bu üçlülerde zaten a ≠ 0 kendiliğinden sağlanır. Her biri için permütasyon sayısı 6 dır. Böyle üçlü sayısı 3 olduğundan katkı 3 · $6 = 18$ dir. Toplam farklı sayı adedi: $16 + 18 = 34$ Sonuç olarak doğru seçenek 34 olur; yani şıkkıA1994 doğrudur.

Doğru cevap: B

Koşullar: n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 2 ( mod 7 ) n ≡ 3 ( mod 9 ) 1) İlk koşulu kullanarak n’i parametreleyelim: $n = 1 + 5$k 2) Bunu ikinci koşula uyduralım: n ≡ 2 ( mod 7 ) 1 + 5 k ≡ 2 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) 3) 7’ye göre 5’in tersi 3’tür (çünkü 5·3 ≡ 1 (mod 7)). Bu yüzden: 5 ⁢ 3 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) k ≡ 3 ( mod 7 ) $k = 3 + 7$t 4) n’i t cinsinden yazalım: $n = 1 + 5$( 3 + 7 t ) $n = 16 + 35$t 5) Üçüncü koşulu uygulayalım (mod 9): 16 + 35 t ≡ 3 ( mod 9 ) 16 ≡ 7 ( mod 9 ) 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 7 + 8 t ≡ 3 ( mod 9 ) 8 t ≡ - 4 ( mod 9 ) - 4 ≡ 5 ( mod 9 ) 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) 6) 9’a göre 8’in tersi yine 8’dir (çünkü 8·$8 = 64$ ≡ 1 (mod 9)). O hâlde: 8 ⁢ 8 ≡ 64 ≡ 1 ( mod 9 ) t ≡ 5 ⁢ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) $t = 4 + 9$s 7) Son olarak n’i bulalım: $n = 16 + 35$( 4 + 9 s ) $n = 156 + 315$s En küçük pozitif değer için: $s = 0$⇒ $n = 156$Kontrol ve sonuç: Doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: Koşullar: n ≡ 1 ( mod 5 ) n ≡ 2 ( mod 7 ) n ≡ 3 ( mod 9 ) 1) İlk koşulu kullanarak n’i parametreleyelim: $n = 1 + 5$k 2) Bunu ikinci koşula uyduralım: n ≡ 2 ( mod 7 ) 1 + 5 k ≡ 2 ( mod 7 ) 5 k ≡ 1 ( mod 7 ) 3) 7’ye göre 5’in tersi 3’tür (çünkü 5·3 ≡ 1 (mod 7)). Bu yüzden: 5 ⁢ 3 ≡ 15 ≡ 1 ( mod 7 ) k ≡ 3 ( mod 7 ) $k = 3 + 7$t 4) n’i t cinsinden yazalım: $n = 1 + 5$( 3 + 7 t ) $n = 16 + 35$t 5) Üçüncü koşulu uygulayalım (mod 9): 16 + 35 t ≡ 3 ( mod 9 ) 16 ≡ 7 ( mod 9 ) 35 ≡ 8 ( mod 9 ) 7 + 8 t ≡ 3 ( mod 9 ) 8 t ≡ - 4 ( mod 9 ) - 4 ≡ 5 ( mod 9 ) 8 t ≡ 5 ( mod 9 ) 6) 9’a göre 8’in tersi yine 8’dir (çünkü 8·$8 = 64$ ≡ 1 (mod 9)). O hâlde: 8 ⁢ 8 ≡ 64 ≡ 1 ( mod 9 ) t ≡ 5 ⁢ 8 ( mod 9 ) t ≡ 40 ≡ 4 ( mod 9 ) $t = 4 + 9$s 7) Son olarak n’i bulalım: $n = 16 + 35$( 4 + 9 s ) $n = 156 + 315$s En küçük pozitif değer için: $s = 0$⇒ $n = 156$Kontrol ve sonuç: Doğru cevap B ’dir.