9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme testleri; bölme algoritmasını, kalanlı bölmeyi, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kurallarını pekiştirir.

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının belirli sayılara bölünüp bölünmediğini hızlı anlamak için basamak, rakam toplamı ve son basamak kuralları kullanılır. 6 ile bölünebilmek için sayının hem 2 hem 3 ile bölünebilmesi gerekir.

Kalanlı Bölme

Bölme işleminde bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan bağıntısı kullanılır. Kalan her zaman bölen sayıdan küçük olmalıdır.

Test seç

14 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test

14. Test

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Bölme-Bölünebilme konusu 14. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$N$ doğal sayısının $9$ ile bölümünden kalan $5$ ve $11$ ile bölümünden kalan $7$ olduğuna göre, $N$ sayısının $99$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

$n$ bir doğal sayı olsun. $2 n + 1$ sayısı $9$ ile, $3 n + 2$ sayısı $8$ ile tam bölünebilmektedir. Buna göre $n$ nin alabileceği en küçük değer kaçtır

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları bölünebilme (modüler aritmetik) şeklinde yazalım: 9 ∣ 2 n + 1 8 ∣ 3 n + 2 Birinci koşulu eşdeğer kongruens olarak yazalım: 2 n + 1 ≡ 0 (mod 9 ) 2 n ≡ 8 (mod 9 ) Burada 2 · 5 ≡ 10 ≡ 1 (mod 9 ) olduğu için her iki tarafı 5 ile çarpabiliriz: n ≡ 40 ≡ 4 (mod 9 ) İkinci koşulu kongruens olarak yazalım: 3 n + 2 ≡ 0 (mod 8 ) 3 n ≡ 6 (mod 8 ) Burada 3 · 3 ≡ 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan her iki tarafı 3 ile çarpalım: n ≡ 18 ≡ 2 (mod 8 ) Şimdi sistemi çözelim: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 2 (mod 8 ) Birinciden n = 4 + 9 k yazıp ikinci koşulda yerine koyalım: 4 + 9 k ≡ 2 (mod 8 ) 9 k ≡ 6 (mod 8 ) Ama 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan k ≡ 6 (mod 8 ) En küçük doğal sayı çözüm için k değerinin en küçüğü: k = 6 Bu durumda n = 4 + 9 · 6 = 58 Sonuç: En küçük değer 58 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğru verilmiştir.

Çözüm: Verilen koşulları bölünebilme (modüler aritmetik) şeklinde yazalım: 9 ∣ 2 n + 1 8 ∣ 3 n + 2 Birinci koşulu eşdeğer kongruens olarak yazalım: 2 n + 1 ≡ 0 (mod 9 ) 2 n ≡ 8 (mod 9 ) Burada 2 · 5 ≡ 10 ≡ 1 (mod 9 ) olduğu için her iki tarafı 5 ile çarpabiliriz: n ≡ 40 ≡ 4 (mod 9 ) İkinci koşulu kongruens olarak yazalım: 3 n + 2 ≡ 0 (mod 8 ) 3 n ≡ 6 (mod 8 ) Burada 3 · 3 ≡ 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan her iki tarafı 3 ile çarpalım: n ≡ 18 ≡ 2 (mod 8 ) Şimdi sistemi çözelim: n ≡ 4 (mod 9 ) n ≡ 2 (mod 8 ) Birinciden n = 4 + 9 k yazıp ikinci koşulda yerine koyalım: 4 + 9 k ≡ 2 (mod 8 ) 9 k ≡ 6 (mod 8 ) Ama 9 ≡ 1 (mod 8 ) olduğundan k ≡ 6 (mod 8 ) En küçük doğal sayı çözüm için k değerinin en küçüğü: k = 6 Bu durumda n = 4 + 9 · 6 = 58 Sonuç: En küçük değer 58 bulunur. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğru verilmiştir.

Verilen koşulları bölünebilme (modüler aritmetik) şeklinde yazalım:

9 ∣ 2 n + 1

8 ∣ 3 n + 2

Birinci koşulu eşdeğer kongruens olarak yazalım:

2 n + 1 \equiv 0 (mod 9)

2 n \equiv 8 (mod 9)

Burada $2 \cdot 5 \equiv 10 \equiv 1 (mod 9)$ olduğu için her iki tarafı $5$ ile çarpabiliriz:

n \equiv 40 \equiv 4 (mod 9)

İkinci koşulu kongruens olarak yazalım:

3 n + 2 \equiv 0 (mod 8)

3 n \equiv 6 (mod 8)

Burada $3 \cdot 3 \equiv 9 \equiv 1 (mod 8)$ olduğundan her iki tarafı $3$ ile çarpalım:

n \equiv 18 \equiv 2 (mod 8)

Şimdi sistemi çözelim:

n \equiv 4 (mod 9)

n \equiv 2 (mod 8)

Birinciden

n = 4 + 9 k

yazıp ikinci koşulda yerine koyalım:

4 + 9 k \equiv 2 (mod 8)

9 k \equiv 6 (mod 8)

Ama

9 \equiv 1 (mod 8)

olduğundan

k \equiv 6 (mod 8)

En küçük doğal sayı çözüm için $k$ değerinin en küçüğü:

k = 6

Bu durumda

n = 4 + 9 \cdot 6 = 58

Sonuç: En küçük değer $58$ bulunur. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğru verilmiştir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

$1 \leq n \leq 2025$ koşulunu sağlayan tam sayılar için $7 | 6 n + 5$ ve $11 | 15 n + 4$ ise, kaç farklı $n$ vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce verilen bölünebilme koşullarını eşdeğer kongruens (modüler) denklemlere çevirelim. 7 | 6 n + 5 6 n + 5 ≡ 0 (mod 7 ) 6 n ≡ - 5 (mod 7 ) - 5 ≡ 2 (mod 7 ) 6 n ≡ 2 (mod 7 ) 6 ≡ - 1 (mod 7 ) Bu yüzden 6 · 6 ≡ 1 (mod 7 ) olur; yani 6 sayısı 7 modunda ters elemandır. n ≡ 2 · 6 (mod 7 ) n ≡ 12 ≡ 5 (mod 7 ) Şimdi ikinci koşulu düzenleyelim. 11 | 15 n + 4 15 n + 4 ≡ 0 (mod 11 ) 15 n ≡ - 4 (mod 11 ) - 4 ≡ 7 (mod 11 ) 15 n ≡ 7 (mod 11 ) 15 ≡ 4 (mod 11 ) 4 n ≡ 7 (mod 11 ) 4 · 3 = 12 ≡ 1 (mod 11 ) Buradan 4 sayısının tersinin 3 olduğu görülür. n ≡ 7 · 3 (mod 11 ) n ≡ 21 ≡ 10 (mod 11 ) Şimdi şu sistemi çözeceğiz: n ≡ 5 (mod 7 ) n ≡ 10 (mod 11 ) Birinciden n = 5 + 7 k yazalım ve ikinciye yerleştirelim. 5 + 7 k ≡ 10 (mod 11 ) 7 k ≡ 5 (mod 11 ) 7 · 8 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Yani 7 sayısının tersi 8 ’dir. k ≡ 5 · 8 (mod 11 ) k ≡ 40 ≡ 7 (mod 11 ) k = 7 + 11 t yazarsak n = 5 + 7 ( 7 + 11 t ) n = 54 + 77 t Şimdi aralık şartını uygulayalım: 1 ≤ n ≤ 2025 1 ≤ 54 + 77 t ≤ 2025 Sağ taraftan: 54 + 77 t ≤ 2025 77 t ≤ 1971 t ≤ 1971 77 77 · 25 = 1925 77 · 26 = 2002 77 · 27 = 2079 Dolayısıyla t için en büyük tam sayı değer: t = 26 En küçük değer ise t = 0 (çünkü n = 54 zaten aralıkta). Çözüm sayısı: 26 - 0 + 1 = 27 Sonuç olarak doğru seçenek D ’dir. Verilen “C” seçeneği doğru değildir. 27

Çözüm: Önce verilen bölünebilme koşullarını eşdeğer kongruens (modüler) denklemlere çevirelim. 7 | 6 n + 5 6 n + 5 ≡ 0 (mod 7 ) 6 n ≡ - 5 (mod 7 ) - 5 ≡ 2 (mod 7 ) 6 n ≡ 2 (mod 7 ) 6 ≡ - 1 (mod 7 ) Bu yüzden 6 · 6 ≡ 1 (mod 7 ) olur; yani 6 sayısı 7 modunda ters elemandır. n ≡ 2 · 6 (mod 7 ) n ≡ 12 ≡ 5 (mod 7 ) Şimdi ikinci koşulu düzenleyelim. 11 | 15 n + 4 15 n + 4 ≡ 0 (mod 11 ) 15 n ≡ - 4 (mod 11 ) - 4 ≡ 7 (mod 11 ) 15 n ≡ 7 (mod 11 ) 15 ≡ 4 (mod 11 ) 4 n ≡ 7 (mod 11 ) 4 · 3 = 12 ≡ 1 (mod 11 ) Buradan 4 sayısının tersinin 3 olduğu görülür. n ≡ 7 · 3 (mod 11 ) n ≡ 21 ≡ 10 (mod 11 ) Şimdi şu sistemi çözeceğiz: n ≡ 5 (mod 7 ) n ≡ 10 (mod 11 ) Birinciden n = 5 + 7 k yazalım ve ikinciye yerleştirelim. 5 + 7 k ≡ 10 (mod 11 ) 7 k ≡ 5 (mod 11 ) 7 · 8 = 56 ≡ 1 (mod 11 ) Yani 7 sayısının tersi 8 ’dir. k ≡ 5 · 8 (mod 11 ) k ≡ 40 ≡ 7 (mod 11 ) k = 7 + 11 t yazarsak n = 5 + 7 ( 7 + 11 t ) n = 54 + 77 t Şimdi aralık şartını uygulayalım: 1 ≤ n ≤ 2025 1 ≤ 54 + 77 t ≤ 2025 Sağ taraftan: 54 + 77 t ≤ 2025 77 t ≤ 1971 t ≤ 1971 77 77 · 25 = 1925 77 · 26 = 2002 77 · 27 = 2079 Dolayısıyla t için en büyük tam sayı değer: t = 26 En küçük değer ise t = 0 (çünkü n = 54 zaten aralıkta). Çözüm sayısı: 26 - 0 + 1 = 27 Sonuç olarak doğru seçenek D ’dir. Verilen “C” seçeneği doğru değildir. 27

Önce verilen bölünebilme koşullarını eşdeğer kongruens (modüler) denklemlere çevirelim.

$7 | 6 n + 5$

$6 n + 5 \equiv 0 (mod 7)$

$6 n \equiv - 5 (mod 7)$

$- 5 \equiv 2 (mod 7)$

$6 n \equiv 2 (mod 7)$

$6 \equiv - 1 (mod 7)$

Bu yüzden $6 \cdot 6 \equiv 1 (mod 7)$ olur; yani $6$ sayısı $7$ modunda ters elemandır.

$n \equiv 2 \cdot 6 (mod 7)$

$n \equiv 12 \equiv 5 (mod 7)$

Şimdi ikinci koşulu düzenleyelim.

$11 | 15 n + 4$

$15 n + 4 \equiv 0 (mod 11)$

$15 n \equiv - 4 (mod 11)$

$- 4 \equiv 7 (mod 11)$

$15 n \equiv 7 (mod 11)$

$15 \equiv 4 (mod 11)$

$4 n \equiv 7 (mod 11)$

$4 \cdot 3 = 12 \equiv 1 (mod 11)$

Buradan $4$ sayısının tersinin $3$ olduğu görülür.

$n \equiv 7 \cdot 3 (mod 11)$

$n \equiv 21 \equiv 10 (mod 11)$

Şimdi şu sistemi çözeceğiz:

$n \equiv 5 (mod 7)$

$n \equiv 10 (mod 11)$

Birinciden $n = 5 + 7 k$ yazalım ve ikinciye yerleştirelim.

$5 + 7 k \equiv 10 (mod 11)$

$7 k \equiv 5 (mod 11)$

$7 \cdot 8 = 56 \equiv 1 (mod 11)$

Yani $7$ sayısının tersi $8$ ’dir.

$k \equiv 5 \cdot 8 (mod 11)$

$k \equiv 40 \equiv 7 (mod 11)$

$k = 7 + 11 t$ yazarsak

$n = 5 + 7 (7 + 11 t)$

$n = 54 + 77 t$

Şimdi aralık şartını uygulayalım:

$1 \leq n \leq 2025$

$1 \leq 54 + 77 t \leq 2025$

Sağ taraftan:

$54 + 77 t \leq 2025$

$77 t \leq 1971$

$t \leq \frac{1971}{77}$

$77 \cdot 25 = 1925$

$77 \cdot 26 = 2002$

$77 \cdot 27 = 2079$

Dolayısıyla $t$ için en büyük tam sayı değer:

$t = 26$

En küçük değer ise $t = 0$ (çünkü $n = 54$ zaten aralıkta).

Çözüm sayısı:

$26 - 0 + 1 = 27$

Sonuç olarak doğru seçenek D’dir. Verilen “C” seçeneği doğru değildir.

$27$

4. SoruÇoktan Seçmeli

$a$ sıfırdan farklı bir rakam ve $b$ bir rakam olmak üzere
$N = 1000 a + 200 + 10 b + 4$
sayısı $36$ ile tam bölünebiliyor.
Buna göre $N$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce sayıyı basamaklarına göre yazalım: N = 1000 a + 200 + 10 b + 4 = 1000 a + 200 + 10 b + 4 Bu ifade, binler basamağı a, yüzler basamağı 2, onlar basamağı b, birler basamağı 4 olan sayıdır (yani a2b4 ). Bir sayının aşağıdaki sayıya tam bölünebilmesi için gerekli şartları kullanalım: 36 = 4 × 9 Dolayısıyla N hem 4 ’e hem 9 ’a bölünmelidir. 1) 4 ile bölünebilme: Son iki basamak b4 olmalı ve bu sayı 4 ’e bölünmelidir. 10 b + 4 ≡ 0 ( mod 4 ) 10 b + 4 ≡ 2 b ( mod 4 ) 2 b ≡ 0 ( mod 4 ) Buradan b çift olmalıdır: b ∈ { 0, 2, 4, 6, 8 } 2) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9 ’un katı olmalı. Rakamlar toplamı: a + 2 + b + 4 = a + b + 6 Şart: a + b + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) Şimdi b ’nin alabileceği çift değerleri deneyip a ’yı bulalım. ( a sıfırdan farklı rakam olduğundan 1 ile 9 arasındadır.) b = 0 a + 0 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 3 ( mod 9 ) ⇒ a = 3 b = 2 a + 2 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 1 ( mod 9 ) ⇒ a = 1 b = 4 a + 4 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 8 ( mod 9 ) ⇒ a = 8 b = 6 a + 6 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 6 ( mod 9 ) ⇒ a = 6 b = 8 a + 8 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 4 ( mod 9 ) ⇒ a = 4 Her b değeri için a tek bir değer alıyor ve hepsi geçerli rakamdır. Dolayısıyla N sayısı şu kadar farklı değer alır: 5 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: Önce sayıyı basamaklarına göre yazalım: N = 1000 a + 200 + 10 b + 4 = 1000 a + 200 + 10 b + 4 Bu ifade, binler basamağı a, yüzler basamağı 2, onlar basamağı b, birler basamağı 4 olan sayıdır (yani a2b4 ). Bir sayının aşağıdaki sayıya tam bölünebilmesi için gerekli şartları kullanalım: 36 = 4 × 9 Dolayısıyla N hem 4 ’e hem 9 ’a bölünmelidir. 1) 4 ile bölünebilme: Son iki basamak b4 olmalı ve bu sayı 4 ’e bölünmelidir. 10 b + 4 ≡ 0 ( mod 4 ) 10 b + 4 ≡ 2 b ( mod 4 ) 2 b ≡ 0 ( mod 4 ) Buradan b çift olmalıdır: b ∈ { 0, 2, 4, 6, 8 } 2) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9 ’un katı olmalı. Rakamlar toplamı: a + 2 + b + 4 = a + b + 6 Şart: a + b + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) Şimdi b ’nin alabileceği çift değerleri deneyip a ’yı bulalım. ( a sıfırdan farklı rakam olduğundan 1 ile 9 arasındadır.) b = 0 a + 0 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 3 ( mod 9 ) ⇒ a = 3 b = 2 a + 2 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 1 ( mod 9 ) ⇒ a = 1 b = 4 a + 4 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 8 ( mod 9 ) ⇒ a = 8 b = 6 a + 6 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 6 ( mod 9 ) ⇒ a = 6 b = 8 a + 8 + 6 ≡ 0 ( mod 9 ) a ≡ 4 ( mod 9 ) ⇒ a = 4 Her b değeri için a tek bir değer alıyor ve hepsi geçerli rakamdır. Dolayısıyla N sayısı şu kadar farklı değer alır: 5 Bu nedenle doğru seçenek B ’dir.

Önce sayıyı basamaklarına göre yazalım:

N = 1000 a + 200 + 10 b + 4 = 1000 a + 200 + 10 b + 4

Bu ifade, binler basamağı a, yüzler basamağı 2, onlar basamağı b, birler basamağı 4 olan sayıdır (yani a2b4).

Bir sayının aşağıdaki sayıya tam bölünebilmesi için gerekli şartları kullanalım:

36 = 4 \times 9

Dolayısıyla N hem 4’e hem 9’a bölünmelidir.

1) 4 ile bölünebilme: Son iki basamak b4 olmalı ve bu sayı 4’e bölünmelidir.

10 b + 4 \equiv 0 (\mod 4)

10 b + 4 \equiv 2 b (\mod 4)

2 b \equiv 0 (\mod 4)

Buradan b çift olmalıdır:

b \in {0, 2, 4, 6, 8}

2) 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı.

Rakamlar toplamı:

a + 2 + b + 4 = a + b + 6

Şart:

a + b + 6 \equiv 0 (\mod 9)

Şimdi b’nin alabileceği çift değerleri deneyip a’yı bulalım. (a sıfırdan farklı rakam olduğundan 1 ile 9 arasındadır.)

$b = 0$ $a + 0 + 6 \equiv 0 (\mod 9)$ $a \equiv 3 (\mod 9) \Rightarrow a = 3$	$b = 2$ $a + 2 + 6 \equiv 0 (\mod 9)$ $a \equiv 1 (\mod 9) \Rightarrow a = 1$
$b = 4$ $a + 4 + 6 \equiv 0 (\mod 9)$ $a \equiv 8 (\mod 9) \Rightarrow a = 8$	$b = 6$ $a + 6 + 6 \equiv 0 (\mod 9)$ $a \equiv 6 (\mod 9) \Rightarrow a = 6$
$b = 8$ $a + 8 + 6 \equiv 0 (\mod 9)$ $a \equiv 4 (\mod 9) \Rightarrow a = 4$

Her b değeri için a tek bir değer alıyor ve hepsi geçerli rakamdır. Dolayısıyla N sayısı şu kadar farklı değer alır:

5

Bu nedenle doğru seçenek B’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Beş basamaklı $2 x 5 x 6$ sayısı $72$ ile tam bölünebildiğine göre $x$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen sayı: 2 x 5 x 6 ¯ Bu sayı 72 ile tam bölünebiliyorsa, aynı anda 8 ve 9 ile de tam bölünmelidir (çünkü): 72 = 8 × 9 1) 9 ile bölünebilme koşulu: Rakamlar toplamı 9 ile bölünebilmelidir. Rakamlar toplamı: 2 + x + 5 + x + 6 = 13 + 2 x Bu toplam 9 ile bölünebilir olmalı. Şıklardaki değerleri kontrol edelim: Şık A için: x = 7 13 + 2 × 7 = 27 27 ÷ 9 = 3 Yani 9 ile bölünebilme şartını sağlar. Şık B için: x = 3 13 + 2 × 3 = 19 Bu toplam 9 ile bölünmez. Şık C için: x = 5 13 + 2 × 5 = 23 Bu toplam 9 ile bölünmez. Şık D için: x = 9 13 + 2 × 9 = 31 Bu toplam 9 ile bölünmez. Bu aşamada 9 ile bölünebilme şartını sağlayan tek değer: x = 7 2) 8 ile bölünebilme koşulu: Son üç basamak 8 ile bölünebilmelidir. Sayının son üç basamağı: 5 x 6 x yerine 7 yazalım: 576 Bölme kontrolü: 576 ÷ 8 = 72 Son üç basamak 8 ile tam bölündüğü için 8 şartı da sağlanır. Her iki şart sağlandığı için sonuç: x = 7 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğrudur.

Çözüm: Verilen sayı: 2 x 5 x 6 ¯ Bu sayı 72 ile tam bölünebiliyorsa, aynı anda 8 ve 9 ile de tam bölünmelidir (çünkü): 72 = 8 × 9 1) 9 ile bölünebilme koşulu: Rakamlar toplamı 9 ile bölünebilmelidir. Rakamlar toplamı: 2 + x + 5 + x + 6 = 13 + 2 x Bu toplam 9 ile bölünebilir olmalı. Şıklardaki değerleri kontrol edelim: Şık A için: x = 7 13 + 2 × 7 = 27 27 ÷ 9 = 3 Yani 9 ile bölünebilme şartını sağlar. Şık B için: x = 3 13 + 2 × 3 = 19 Bu toplam 9 ile bölünmez. Şık C için: x = 5 13 + 2 × 5 = 23 Bu toplam 9 ile bölünmez. Şık D için: x = 9 13 + 2 × 9 = 31 Bu toplam 9 ile bölünmez. Bu aşamada 9 ile bölünebilme şartını sağlayan tek değer: x = 7 2) 8 ile bölünebilme koşulu: Son üç basamak 8 ile bölünebilmelidir. Sayının son üç basamağı: 5 x 6 x yerine 7 yazalım: 576 Bölme kontrolü: 576 ÷ 8 = 72 Son üç basamak 8 ile tam bölündüğü için 8 şartı da sağlanır. Her iki şart sağlandığı için sonuç: x = 7 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğrudur.

Verilen sayı:

\bar{2 x 5 x 6}

Bu sayı $72$ ile tam bölünebiliyorsa, aynı anda $8$ ve $9$ ile de tam bölünmelidir (çünkü):

72 = 8 \times 9

1) $9$ ile bölünebilme koşulu: Rakamlar toplamı $9$ ile bölünebilmelidir.

Rakamlar toplamı:

2 + x + 5 + x + 6 = 13 + 2 x

Bu toplam $9$ ile bölünebilir olmalı. Şıklardaki değerleri kontrol edelim:

Şık A için:

x = 7

13 + 2 \times 7 = 27

27 \div 9 = 3

Yani $9$ ile bölünebilme şartını sağlar.

Şık B için:

x = 3

13 + 2 \times 3 = 19

Bu toplam $9$ ile bölünmez.

Şık C için:

x = 5

13 + 2 \times 5 = 23

Bu toplam $9$ ile bölünmez.

Şık D için:

x = 9

13 + 2 \times 9 = 31

Bu toplam $9$ ile bölünmez.

Bu aşamada $9$ ile bölünebilme şartını sağlayan tek değer:

x = 7

2) $8$ ile bölünebilme koşulu: Son üç basamak $8$ ile bölünebilmelidir.

Sayının son üç basamağı:

5 x 6

$x$ yerine $7$ yazalım:

576

Bölme kontrolü:

576 \div 8 = 72

Son üç basamak $8$ ile tam bölündüğü için $8$ şartı da sağlanır.

Her iki şart sağlandığı için sonuç:

x = 7

Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır; A seçeneği doğrudur.

6. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif $n$ değeri için $2^{n} - 1$ sayısı $63$ ile tam bölünür?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Seçenek B ’yi kontrol edelim: Aranan en küçük pozitif değer, aşağıdaki bölünebilme koşulunu sağlamalıdır. 2 n - 1 ≡ 0 (mod 63 ) Bu, şu anlama gelir: 2 n ≡ 1 (mod 63 ) Önce modüler yapıyı parçalayalım: 63 = 7 ⋅ 9 Bu durumda aynı anda şu iki koşul sağlanmalı: 2 n ≡ 1 (mod 7 ) 2 n ≡ 1 (mod 9 ) Önce mod 7 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2 (mod 7 ) 2 2 = 4 ≡ 4 (mod 7 ) 2 3 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Buradan mod 7 için en küçük değer: n = 3 Şimdi mod 9 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2 (mod 9 ) 2 2 = 4 ≡ 4 (mod 9 ) 2 3 = 8 ≡ 8 (mod 9 ) Devam ederek: 2 6 = 2 3 2 ≡ 8 2 = 64 ≡ 1 (mod 9 ) Ayrıca daha küçük bir üste ulaşmadığımız için mod 9 için en küçük değer: n = 6 Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif değer, bu iki üssün ortak katlarının en küçüğüdür: n = EKOK ( 3, 6 ) = 6 Sonuç olarak doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: Seçenek B ’yi kontrol edelim: Aranan en küçük pozitif değer, aşağıdaki bölünebilme koşulunu sağlamalıdır. 2 n - 1 ≡ 0 (mod 63 ) Bu, şu anlama gelir: 2 n ≡ 1 (mod 63 ) Önce modüler yapıyı parçalayalım: 63 = 7 ⋅ 9 Bu durumda aynı anda şu iki koşul sağlanmalı: 2 n ≡ 1 (mod 7 ) 2 n ≡ 1 (mod 9 ) Önce mod 7 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2 (mod 7 ) 2 2 = 4 ≡ 4 (mod 7 ) 2 3 = 8 ≡ 1 (mod 7 ) Buradan mod 7 için en küçük değer: n = 3 Şimdi mod 9 için en küçük üssü bulalım: 2 1 ≡ 2 (mod 9 ) 2 2 = 4 ≡ 4 (mod 9 ) 2 3 = 8 ≡ 8 (mod 9 ) Devam ederek: 2 6 = 2 3 2 ≡ 8 2 = 64 ≡ 1 (mod 9 ) Ayrıca daha küçük bir üste ulaşmadığımız için mod 9 için en küçük değer: n = 6 Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif değer, bu iki üssün ortak katlarının en küçüğüdür: n = EKOK ( 3, 6 ) = 6 Sonuç olarak doğru seçenek B ’dir.

Seçenek B’yi kontrol edelim: Aranan en küçük pozitif değer, aşağıdaki bölünebilme koşulunu sağlamalıdır.

$2^{n} - 1 \equiv 0 (mod 63)$

Bu, şu anlama gelir:

$2^{n} \equiv 1 (mod 63)$

Önce modüler yapıyı parçalayalım:

$63 = 7 \cdot 9$

Bu durumda aynı anda şu iki koşul sağlanmalı:

$2^{n} \equiv 1 (mod 7)$

$2^{n} \equiv 1 (mod 9)$

Önce mod 7 için en küçük üssü bulalım:

$2^{1} \equiv 2 (mod 7)$

$2^{2} = 4 \equiv 4 (mod 7)$

$2^{3} = 8 \equiv 1 (mod 7)$

Buradan mod 7 için en küçük değer:

$n = 3$

Şimdi mod 9 için en küçük üssü bulalım:

$2^{1} \equiv 2 (mod 9)$

$2^{2} = 4 \equiv 4 (mod 9)$

$2^{3} = 8 \equiv 8 (mod 9)$

Devam ederek:

$2^{6} = {2^{3}}^{2} \equiv 8^{2} = 64 \equiv 1 (mod 9)$

Ayrıca daha küçük bir üste ulaşmadığımız için mod 9 için en küçük değer:

$n = 6$

Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif değer, bu iki üssün ortak katlarının en küçüğüdür:

$n = EKOK (3, 6) = 6$

Sonuç olarak doğru seçenek B’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif tam sayı $n$ için $n$ sayısı $36$ ile tam bölünüyor ve $n + 5$ sayısı $55$ ile tam bölünüyor.
Buna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$7 n + 5$ ifadesi $12$ ile tam bölünür.
$5 n + 1$ ifadesi $9$ ile tam bölünür.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Birinci koşulu eşitliğe çeviriyorum. 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) Sabit terimi diğer tarafa alıyorum. 7 n ≡ − 5 ( mod 12 ) Aynı kalan sınıfında sadeleştiriyorum. − 5 ≡ 7 ( mod 12 ) Tersi var mı diye kontrol ediyorum. gcd ( 7, 12 ) = 1 Bu yüzden ters kullanabilirim; tersin kendisi olduğunu gösteriyorum. 7 ⋅ 7 = 49 ≡ 1 ( mod 12 ) Her iki tarafı ters ile çarpıyorum. n ≡ 7 ⋅ 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) İkinci koşulu da eşitliğe çeviriyorum. 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) Sabit terimi diğer tarafa alıyorum ve sadeleştiriyorum. 5 n ≡ − 1 ≡ 8 ( mod 9 ) Tersi buluyorum. 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı ters ile çarpıyorum. n ≡ 2 ⋅ 8 = 16 ≡ 7 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birlikte çözüyorum. n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) Birinciden parametreli yazıyorum. n = 1 + 12 k Bunu ikinci koşulda yerine koyuyorum. 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayıyı sadeleştiriyorum. 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) Her tarafı üç ile sadeleştiriyorum. k ≡ 2 ( mod 3 ) Parametreleyip n ifadesini buluyorum. k = 2 + 3 t n = 1 + 12 ( 2 + 3 t ) = 25 + 36 t En küçük pozitif değer için t sıfır alınır. n = 25 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Birinci koşulu eşitliğe çeviriyorum. 7 n + 5 ≡ 0 ( mod 12 ) Sabit terimi diğer tarafa alıyorum. 7 n ≡ − 5 ( mod 12 ) Aynı kalan sınıfında sadeleştiriyorum. − 5 ≡ 7 ( mod 12 ) Tersi var mı diye kontrol ediyorum. gcd ( 7, 12 ) = 1 Bu yüzden ters kullanabilirim; tersin kendisi olduğunu gösteriyorum. 7 ⋅ 7 = 49 ≡ 1 ( mod 12 ) Her iki tarafı ters ile çarpıyorum. n ≡ 7 ⋅ 7 ≡ 49 ≡ 1 ( mod 12 ) İkinci koşulu da eşitliğe çeviriyorum. 5 n + 1 ≡ 0 ( mod 9 ) Sabit terimi diğer tarafa alıyorum ve sadeleştiriyorum. 5 n ≡ − 1 ≡ 8 ( mod 9 ) Tersi buluyorum. 5 ⋅ 2 = 10 ≡ 1 ( mod 9 ) Her iki tarafı ters ile çarpıyorum. n ≡ 2 ⋅ 8 = 16 ≡ 7 ( mod 9 ) Şimdi iki sonucu birlikte çözüyorum. n ≡ 1 ( mod 12 ) n ≡ 7 ( mod 9 ) Birinciden parametreli yazıyorum. n = 1 + 12 k Bunu ikinci koşulda yerine koyuyorum. 1 + 12 k ≡ 7 ( mod 9 ) Katsayıyı sadeleştiriyorum. 12 k ≡ 6 ( mod 9 ) 3 k ≡ 6 ( mod 9 ) Her tarafı üç ile sadeleştiriyorum. k ≡ 2 ( mod 3 ) Parametreleyip n ifadesini buluyorum. k = 2 + 3 t n = 1 + 12 ( 2 + 3 t ) = 25 + 36 t En küçük pozitif değer için t sıfır alınır. n = 25 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Birinci koşulu eşitliğe çeviriyorum.

7 n + 5 \equiv 0 (\mod 12)

Sabit terimi diğer tarafa alıyorum.

7 n \equiv - 5 (\mod 12)

Aynı kalan sınıfında sadeleştiriyorum.

- 5 \equiv 7 (\mod 12)

Tersi var mı diye kontrol ediyorum.

\gcd (7, 12) = 1

Bu yüzden ters kullanabilirim; tersin kendisi olduğunu gösteriyorum.

7 \cdot 7 = 49 \equiv 1 (\mod 12)

Her iki tarafı ters ile çarpıyorum.

n \equiv 7 \cdot 7 \equiv 49 \equiv 1 (\mod 12)

İkinci koşulu da eşitliğe çeviriyorum.

5 n + 1 \equiv 0 (\mod 9)

Sabit terimi diğer tarafa alıyorum ve sadeleştiriyorum.

5 n \equiv - 1 \equiv 8 (\mod 9)

Tersi buluyorum.

5 \cdot 2 = 10 \equiv 1 (\mod 9)

Her iki tarafı ters ile çarpıyorum.

n \equiv 2 \cdot 8 = 16 \equiv 7 (\mod 9)

Şimdi iki sonucu birlikte çözüyorum.

n \equiv 1 (\mod 12)

n \equiv 7 (\mod 9)

Birinciden parametreli yazıyorum.

n = 1 + 12 k

Bunu ikinci koşulda yerine koyuyorum.

1 + 12 k \equiv 7 (\mod 9)

Katsayıyı sadeleştiriyorum.

12 k \equiv 6 (\mod 9)

3 k \equiv 6 (\mod 9)

Her tarafı üç ile sadeleştiriyorum.

k \equiv 2 (\mod 3)

Parametreleyip n ifadesini buluyorum.

k = 2 + 3 t

n = 1 + 12 (2 + 3 t) = 25 + 36 t

En küçük pozitif değer için t sıfır alınır.

n = 25

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

En küçük pozitif $n$ tam sayısı aşağıdaki koşulları sağlıyor:
$n \equiv 0 (mod 6)$
$n \equiv 1 (mod 5)$
$n \equiv 3 (mod 7)$
Buna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşulları birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulacağız ve doğru seçeneğin B olup olmadığını kontrol edeceğiz. 1) Birinci koşuldan sayı, altının katıdır. Bu nedenle: n = 6 k 2) İkinci koşulu bu ifadede kullanalım: n ≡ 1 ( mod 5 ) Yerine koyarsak: 6 k ≡ 1 ( mod 5 ) Altı, beşe göre bir fazladır, yani: 6 ≡ 1 ( mod 5 ) Bu yüzden: k ≡ 1 ( mod 5 ) Buradan: k = 5 t + 1 3) Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 6 ( 5 t + 1 ) Düzenleyelim: n = 30 t + 6 4) Üçüncü koşulu kullanalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) Yerine koyarsak: 30 t + 6 ≡ 3 ( mod 7 ) Otuzun yediye göre kalanını bulalım: 30 ≡ 2 ( mod 7 ) Böylece: 2 t + 6 ≡ 3 ( mod 7 ) Altıyı karşı tarafa atalım: 2 t ≡ 3 - 6 ( mod 7 ) Sağ tarafı sadeleştirelim: 2 t ≡ - 3 ( mod 7 ) Negatif kalanı pozitif yapalım: - 3 ≡ 4 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 t ≡ 4 ( mod 7 ) 5) Şimdi iki ile sadeleştirmek için, yediye göre iki sayısının tersini kullanalım: Ters eleman: 2 ⋅ 4 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 4 ⋅ 4 ( mod 7 ) Sonucu yazalım: t ≡ 16 ≡ 2 ( mod 7 ) Bu da şu demektir: t = 7 s + 2 6) Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 30 ( 7 s + 2 ) + 6 Açalım: n = 210 s + 66 En küçük pozitif değer için: s = 0 Böylece: n = 66 Sonuç: Bulduğumuz değer 66 olduğu için doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Verilen koşulları birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulacağız ve doğru seçeneğin B olup olmadığını kontrol edeceğiz. 1) Birinci koşuldan sayı, altının katıdır. Bu nedenle: n = 6 k 2) İkinci koşulu bu ifadede kullanalım: n ≡ 1 ( mod 5 ) Yerine koyarsak: 6 k ≡ 1 ( mod 5 ) Altı, beşe göre bir fazladır, yani: 6 ≡ 1 ( mod 5 ) Bu yüzden: k ≡ 1 ( mod 5 ) Buradan: k = 5 t + 1 3) Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 6 ( 5 t + 1 ) Düzenleyelim: n = 30 t + 6 4) Üçüncü koşulu kullanalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) Yerine koyarsak: 30 t + 6 ≡ 3 ( mod 7 ) Otuzun yediye göre kalanını bulalım: 30 ≡ 2 ( mod 7 ) Böylece: 2 t + 6 ≡ 3 ( mod 7 ) Altıyı karşı tarafa atalım: 2 t ≡ 3 - 6 ( mod 7 ) Sağ tarafı sadeleştirelim: 2 t ≡ - 3 ( mod 7 ) Negatif kalanı pozitif yapalım: - 3 ≡ 4 ( mod 7 ) Dolayısıyla: 2 t ≡ 4 ( mod 7 ) 5) Şimdi iki ile sadeleştirmek için, yediye göre iki sayısının tersini kullanalım: Ters eleman: 2 ⋅ 4 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 4 ⋅ 4 ( mod 7 ) Sonucu yazalım: t ≡ 16 ≡ 2 ( mod 7 ) Bu da şu demektir: t = 7 s + 2 6) Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 30 ( 7 s + 2 ) + 6 Açalım: n = 210 s + 66 En küçük pozitif değer için: s = 0 Böylece: n = 66 Sonuç: Bulduğumuz değer 66 olduğu için doğru cevap B şıkkıdır.

Verilen koşulları birlikte sağlayan en küçük pozitif tam sayıyı bulacağız ve doğru seçeneğin B olup olmadığını kontrol edeceğiz.

1) Birinci koşuldan sayı, altının katıdır. Bu nedenle:

$n = 6 k$

2) İkinci koşulu bu ifadede kullanalım:

$n \equiv 1 (mod 5)$

Yerine koyarsak:

$6 k \equiv 1 (mod 5)$

Altı, beşe göre bir fazladır, yani:

$6 \equiv 1 (mod 5)$

Bu yüzden:

$k \equiv 1 (mod 5)$

Buradan:

$k = 5 t + 1$

3) Bunu n ifadesinde yerine yazalım:

$n = 6 (5 t + 1)$

Düzenleyelim:

$n = 30 t + 6$

4) Üçüncü koşulu kullanalım:

$n \equiv 3 (mod 7)$

Yerine koyarsak:

$30 t + 6 \equiv 3 (mod 7)$

Otuzun yediye göre kalanını bulalım:

$30 \equiv 2 (mod 7)$

Böylece:

$2 t + 6 \equiv 3 (mod 7)$

Altıyı karşı tarafa atalım:

$2 t \equiv 3 - 6 (mod 7)$

Sağ tarafı sadeleştirelim:

$2 t \equiv - 3 (mod 7)$

Negatif kalanı pozitif yapalım:

$- 3 \equiv 4 (mod 7)$

Dolayısıyla:

$2 t \equiv 4 (mod 7)$

5) Şimdi iki ile sadeleştirmek için, yediye göre iki sayısının tersini kullanalım:

Ters eleman:

$2 \cdot 4 \equiv 1 (mod 7)$

Her iki tarafı dört ile çarpalım:

$t \equiv 4 \cdot 4 (mod 7)$

Sonucu yazalım:

$t \equiv 16 \equiv 2 (mod 7)$

Bu da şu demektir:

$t = 7 s + 2$

6) Bunu n ifadesine geri yazalım:

$n = 30 (7 s + 2) + 6$

Açalım:

$n = 210 s + 66$

En küçük pozitif değer için:

$s = 0$

Böylece:

$n = 66$

Sonuç: Bulduğumuz değer 66 olduğu için doğru cevap B şıkkıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için hangi koşul sağlanmalıdır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

6 ile bölünebilme kuralı nedir?

Bir sayı hem 2 hem 3 ile bölünebiliyorsa 6 ile bölünebilir.

Kalanlı bölmede temel bağıntı nedir?

Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan bağıntısı kullanılır.

Kalanın alabileceği değerler nasıldır?

Kalan sıfır veya pozitif olabilir ancak bölen sayıdan küçük olmalıdır.

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

9. Sınıf Bölme-Bölünebilme Testleri

Bölünebilme Kuralları

Kalanlı Bölme

9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

N doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ve 11 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre, N sayısının 99 ile bölümünden kalan kaçtır?

n bir doğal sayı olsun. 2n+1 sayısı 9 ile, 3n+2 sayısı 8 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre n nin alabileceği en küçük değer kaçtır

1≤n≤2025 koşulunu sağlayan tam sayılar için 7|6n+5 ve 11|15n+4 ise, kaç farklı n vardır?

a sıfırdan farklı bir rakam ve b bir rakam olmak üzereN=1000a+200+10b+4sayısı 36 ile tam bölünebiliyor.Buna göre N sayısı kaç farklı değer alabilir?

Beş basamaklı 2x5x6 sayısı 72 ile tam bölünebildiğine göre x kaçtır?

En küçük pozitif n değeri için 2n-1 sayısı 63 ile tam bölünür?

En küçük pozitif tam sayı n için n sayısı 36 ile tam bölünüyor ve n+5 sayısı 55 ile tam bölünüyor.Buna göre n kaçtır?

En küçük pozitif tam sayı n kaçtır?7n+5 ifadesi 12 ile tam bölünür.5n+1 ifadesi 9 ile tam bölünür.

En küçük pozitif n tam sayısı aşağıdaki koşulları sağlıyor:n≡0(mod6)n≡1(mod5)n≡3(mod7)Buna göre n kaçtır?

Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için hangi koşul sağlanmalıdır?

Bölme-Bölünebilme Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

$N$ doğal sayısının $9$ ile bölümünden kalan $5$ ve $11$ ile bölümünden kalan $7$ olduğuna göre, $N$ sayısının $99$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$n$ bir doğal sayı olsun. $2 n + 1$ sayısı $9$ ile, $3 n + 2$ sayısı $8$ ile tam bölünebilmektedir. Buna göre $n$ nin alabileceği en küçük değer kaçtır

$1 \leq n \leq 2025$ koşulunu sağlayan tam sayılar için $7 | 6 n + 5$ ve $11 | 15 n + 4$ ise, kaç farklı $n$ vardır?

$a$ sıfırdan farklı bir rakam ve $b$ bir rakam olmak üzere
$N = 1000 a + 200 + 10 b + 4$
sayısı $36$ ile tam bölünebiliyor.
Buna göre $N$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

Beş basamaklı $2 x 5 x 6$ sayısı $72$ ile tam bölünebildiğine göre $x$ kaçtır?

En küçük pozitif $n$ değeri için $2^{n} - 1$ sayısı $63$ ile tam bölünür?

En küçük pozitif tam sayı $n$ için $n$ sayısı $36$ ile tam bölünüyor ve $n + 5$ sayısı $55$ ile tam bölünüyor.
Buna göre $n$ kaçtır?

En küçük pozitif tam sayı $n$ kaçtır?
$7 n + 5$ ifadesi $12$ ile tam bölünür.
$5 n + 1$ ifadesi $9$ ile tam bölünür.

En küçük pozitif $n$ tam sayısı aşağıdaki koşulları sağlıyor:
$n \equiv 0 (mod 6)$
$n \equiv 1 (mod 5)$
$n \equiv 3 (mod 7)$
Buna göre $n$ kaçtır?