9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: C

Verilen sayı: a 2 a 6 b Sayı hem 5’e hem 36’ya tam bölünüyormuş. Önce 5’e bölünebilme koşulunu kullanalım. 5’e tam bölünebilme için son basamak: b = 0   veya   b = 5 36’ya tam bölünebilmek için sayı hem 4’e hem 9’a tam bölünmelidir. 36 = 4 × 9 4’e bölünebilme için son iki basamak 4’ün katı olmalıdır. Son iki basamak: 6 b Olasılıkları deneyelim: 1) b = 0   ⇒   6 b = 60,   60 ÷ 4 = 15 2) b = 5   ⇒   6 b = 65,   65 ÷ 4 = 65 4 İkinci durumda tam sayı çıkmadığı için 4’e bölünmez. Bu yüzden: b = 0 Şimdi 9’a bölünebilme koşulu: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. Rakamlar toplamı: a + 2 + a + 6 + b Burada b = 0 olduğundan: a + 2 + a + 6 + 0 = 2 a + 8 5 basamaklı olduğundan: a ≠ 0 Şimdi 9’un katı olma şartı: 2 a + 8 ≡ 0   (mod   9 ) Uygun değerleri bulmak için olası 9’un katlarını düşünelim. 2 a + 8 = 18 Buradan: 2 a = 10   ⇒   a = 5 Sonuç olarak: a + b = 5 + 0 = 5 Dolayısıyla doğru cevap 5 yani şıkkıC1010dır. (B doğru.)

1. Çözüm: Verilen sayı: a 2 a 6 b Sayı hem 5’e hem 36’ya tam bölünüyormuş. Önce 5’e bölünebilme koşulunu kullanalım. 5’e tam bölünebilme için son basamak: b = 0   veya   b = 5 36’ya tam bölünebilmek için sayı hem 4’e hem 9’a tam bölünmelidir. 36 = 4 × 9 4’e bölünebilme için son iki basamak 4’ün katı olmalıdır. Son iki basamak: 6 b Olasılıkları deneyelim: 1) b = 0   ⇒   6 b = 60,   60 ÷ 4 = 15 2) b = 5   ⇒   6 b = 65,   65 ÷ 4 = 65 4 İkinci durumda tam sayı çıkmadığı için 4’e bölünmez. Bu yüzden: b = 0 Şimdi 9’a bölünebilme koşulu: Rakamlar toplamı 9’un katı olmalı. Rakamlar toplamı: a + 2 + a + 6 + b Burada b = 0 olduğundan: a + 2 + a + 6 + 0 = 2 a + 8 5 basamaklı olduğundan: a ≠ 0 Şimdi 9’un katı olma şartı: 2 a + 8 ≡ 0   (mod   9 ) Uygun değerleri bulmak için olası 9’un katlarını düşünelim. 2 a + 8 = 18 Buradan: 2 a = 10   ⇒   a = 5 Sonuç olarak: a + b = 5 + 0 = 5 Dolayısıyla doğru cevap 5 yani şıkkıC1010dır. (B doğru.)

Doğru cevap: D

Verilen sayı: 2 a 4 b 6 c ‾ Bu sayının hem 11 hem de 8 ile tam bölünmesi isteniyor. Buna göre şıklardaki doğru seçeneğin C olup olmadığını kontrol edeceğiz. 1) 11 ile bölünebilme şartı Altı basamaklı bir sayıda (tek sıradaki basamakların toplamı) ile (çift sıradaki basamakların toplamı) farkı 11 ile bölünebilmelidir. Tek sıradaki basamaklar: 2, 4, 6 Çift sıradaki basamaklar: a, b, c Buna göre: ( 2 + 4 + 6 ) - ( a + b + c ) ≡ 0   mod   11 Önce sabit toplamı bulalım: 2 + 4 + 6 = 12 Dolayısıyla: 12 - ( a + b + c ) ≡ 0   mod   11 Buradan: a + b + c ≡ 12   mod   11 Rakamların toplamı en fazla 9 + 9 + 9 = 27 olabileceği için uygun olasılıklar: a + b + c = 12   veya   a + b + c = 23 Maksimum istenildiği için hedefimiz: a + b + c = 23 2) 8 ile bölünebilme şartı Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için son üç basamağının 8 ile bölünebilmesi gerekir. Bu sayının son üç basamağı: b 6 c Bu üç basamaklı sayı: 100 b + 60 + c mod 8 ile inceleyelim: 100 b ≡ 4 b   mod   8 60 ≡ 4   mod   8 Dolayısıyla bölünebilme şartı: 4 b + 4 + c ≡ 0   mod   8 Buradan: c ≡ - 4 b - 4   mod   8 Şimdi b nin tek-çift olmasına göre bakalım: • b   çift ise: 4 b ≡ 0   mod   8 4 + c ≡ 0   mod   8 c ≡ 4   mod   8 c = 4 • b   tek ise: 4 b ≡ 4   mod   8 4 + 4 + c ≡ 0   mod   8 c ≡ 0   mod   8 c = 0   veya   c = 8 3) Maksimum toplamı sağlayan rakamları bulma Hedef toplam: a + b + c = 23 (i) b   çift ve   c = 4 ise: a + b + 4 = 23 a + b = 19 Ama b ∈ { 0, 2, 4, 6, 8 } olduğunda a = 19 - b her zaman a > 9 olur, yani rakam olamaz. Bu durum imkânsız. (ii) b   tek ve   c = 0 ise: a + b = 23 buradan a = 23 - b olur ve b ∈ { 1, 3, 5, 7, 9 } için yine a > 9 çıkar, bu da imkânsız. (iii) b   tek ve   c = 8 ise: a + b + 8 = 23 a + b = 15 Buradan: a = 15 - b Tek b değerlerini deneyelim: b = 7 a = 8 b = 9 a = 6 İkisi de rakamdır ve bu durumda a + b + c = 23 gerçekten sağlanır. 4) Sonuç ve şık kontrolü Uygun örnekler: 284768 264968 Her iki durumda da maksimum toplam: a + b + c = 23 Bu değer şıklarda seçeneğiD2341dir. Yani doğru cevap D2361 ’dir.

1. Çözüm: Verilen sayı: 2 a 4 b 6 c ‾ Bu sayının hem 11 hem de 8 ile tam bölünmesi isteniyor. Buna göre şıklardaki doğru seçeneğin C olup olmadığını kontrol edeceğiz. 1) 11 ile bölünebilme şartı Altı basamaklı bir sayıda (tek sıradaki basamakların toplamı) ile (çift sıradaki basamakların toplamı) farkı 11 ile bölünebilmelidir. Tek sıradaki basamaklar: 2, 4, 6 Çift sıradaki basamaklar: a, b, c Buna göre: ( 2 + 4 + 6 ) - ( a + b + c ) ≡ 0   mod   11 Önce sabit toplamı bulalım: 2 + 4 + 6 = 12 Dolayısıyla: 12 - ( a + b + c ) ≡ 0   mod   11 Buradan: a + b + c ≡ 12   mod   11 Rakamların toplamı en fazla 9 + 9 + 9 = 27 olabileceği için uygun olasılıklar: a + b + c = 12   veya   a + b + c = 23 Maksimum istenildiği için hedefimiz: a + b + c = 23 2) 8 ile bölünebilme şartı Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için son üç basamağının 8 ile bölünebilmesi gerekir. Bu sayının son üç basamağı: b 6 c Bu üç basamaklı sayı: 100 b + 60 + c mod 8 ile inceleyelim: 100 b ≡ 4 b   mod   8 60 ≡ 4   mod   8 Dolayısıyla bölünebilme şartı: 4 b + 4 + c ≡ 0   mod   8 Buradan: c ≡ - 4 b - 4   mod   8 Şimdi b nin tek-çift olmasına göre bakalım: • b   çift ise: 4 b ≡ 0   mod   8 4 + c ≡ 0   mod   8 c ≡ 4   mod   8 c = 4 • b   tek ise: 4 b ≡ 4   mod   8 4 + 4 + c ≡ 0   mod   8 c ≡ 0   mod   8 c = 0   veya   c = 8 3) Maksimum toplamı sağlayan rakamları bulma Hedef toplam: a + b + c = 23 (i) b   çift ve   c = 4 ise: a + b + 4 = 23 a + b = 19 Ama b ∈ { 0, 2, 4, 6, 8 } olduğunda a = 19 - b her zaman a > 9 olur, yani rakam olamaz. Bu durum imkânsız. (ii) b   tek ve   c = 0 ise: a + b = 23 buradan a = 23 - b olur ve b ∈ { 1, 3, 5, 7, 9 } için yine a > 9 çıkar, bu da imkânsız. (iii) b   tek ve   c = 8 ise: a + b + 8 = 23 a + b = 15 Buradan: a = 15 - b Tek b değerlerini deneyelim: b = 7 a = 8 b = 9 a = 6 İkisi de rakamdır ve bu durumda a + b + c = 23 gerçekten sağlanır. 4) Sonuç ve şık kontrolü Uygun örnekler: 284768 264968 Her iki durumda da maksimum toplam: a + b + c = 23 Bu değer şıklarda seçeneğiD2341dir. Yani doğru cevap D2361 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen dört basamaklı sayı: a 6 b 3 Bu sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 9 ’un katı olmalıdır: a + 6 + b + 3 Toplayalım: a + b + 9 Bu toplam 9 ’un katı ise, buradan: a + b ≡ 0 (mod 9) Yani olası değerler: a + b = 9   veya   a + b = 18 Şimdi 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. Dört basamaklı sayıda: (1. ve 3. basamakların toplamı) − (2. ve 4. basamakların toplamı) değeri 11 ’in katı olmalıdır. Burada 1. ve 3. basamaklar a ve b, 2. ve 4. basamaklar 6 ve 3: ( a + b ) - ( 6 + 3 ) Düzenleyelim: a + b - 9 Bu ifadenin 11 ’in katı olması gerekir, yani: a + b - 9 = 11 k Şimdi a + b için bulduğumuz adayları deneyelim: 1) Eğer a + b = 9 ise a + b - 9 = 0 ve bu değer 11 ’in katıdır. 2) Eğer a + b = 18 ise a + b - 9 = 9 ve bu değer 11 ’in katı değildir. Dolayısıyla tek mümkün değer: a + b = 9 Bu sonuç şıklarda 9 olduğu için doğru seçenek A ’dır. (Yani A şıkkı doğrudur.)

1. Çözüm: Verilen dört basamaklı sayı: a 6 b 3 Bu sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 9 ’un katı olmalıdır: a + 6 + b + 3 Toplayalım: a + b + 9 Bu toplam 9 ’un katı ise, buradan: a + b ≡ 0 (mod 9) Yani olası değerler: a + b = 9   veya   a + b = 18 Şimdi 11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. Dört basamaklı sayıda: (1. ve 3. basamakların toplamı) − (2. ve 4. basamakların toplamı) değeri 11 ’in katı olmalıdır. Burada 1. ve 3. basamaklar a ve b, 2. ve 4. basamaklar 6 ve 3: ( a + b ) - ( 6 + 3 ) Düzenleyelim: a + b - 9 Bu ifadenin 11 ’in katı olması gerekir, yani: a + b - 9 = 11 k Şimdi a + b için bulduğumuz adayları deneyelim: 1) Eğer a + b = 9 ise a + b - 9 = 0 ve bu değer 11 ’in katıdır. 2) Eğer a + b = 18 ise a + b - 9 = 9 ve bu değer 11 ’in katı değildir. Dolayısıyla tek mümkün değer: a + b = 9 Bu sonuç şıklarda 9 olduğu için doğru seçenek A ’dır. (Yani A şıkkı doğrudur.)

Doğru cevap: B

1) Şık B’de verilen değerin doğru olup olmadığını kontrol edelim. Bunun için iki bölünebilme koşulunu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri bulacağız. 2) Birinci koşul: ifadenin 11 ile tam bölünmesi, 11’e göre kalanının 0 olması demektir. 6 n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) 3) Buradan 11’e göre düzenleyelim. 6 n ≡ - 5 ( mod 11 ) - 5 ≡ 6 ( mod 11 ) 6 n ≡ 6 ( mod 11 ) 4) 11’e göre 6’nın tersini bulalım. 6 ile çarpınca 1 kalanını veren sayı 2’dir. 6 · 2 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım. n ≡ 1 ( mod 11 ) Yani n sayısı 11 ile bölündüğünde 1 kalanını verir. n = 11 k + 1 5) İkinci koşul: ifadenin 13 ile tam bölünmesi. 8 n + 7 ≡ 0 ( mod 13 ) Buradan 13’e göre düzenleyelim. 8 n ≡ - 7 ( mod 13 ) - 7 ≡ 6 ( mod 13 ) 8 n ≡ 6 ( mod 13 ) 6) 13’e göre 8’in tersini bulalım. 8 ile çarpınca 1 kalanını veren sayı 5’tir. 8 · 5 = 40 ≡ 1 ( mod 13 ) Her iki tarafı 5 ile çarpalım. n ≡ 30 ( mod 13 ) 30 ≡ 4 ( mod 13 ) n ≡ 4 ( mod 13 ) 7) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif n değerini bulalım. Birinci koşuldan elde ettiğimiz ifadeyi ikinci koşulda kullanalım. n = 11 k + 1 11 k + 1 ≡ 4 ( mod 13 ) 8) Buradan k için kongruansı çözelim. 11 k ≡ 3 ( mod 13 ) 11 ≡ - 2 ( mod 13 ) - 2 k ≡ 3 ( mod 13 ) 2 k ≡ - 3 ( mod 13 ) - 3 ≡ 10 ( mod 13 ) 2 k ≡ 10 ( mod 13 ) 9) 13’e göre 2’nin tersi 7’dir (çünkü 2·7 = 14 ve 14 ≡ 1). 2 · 7 = 14 ≡ 1 ( mod 13 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım. k ≡ 70 ( mod 13 ) 70 ≡ 5 ( mod 13 ) k ≡ 5 ( mod 13 ) 10) Bu durumda k için genel ifade: k = 13 t + 5 Bunu n ifadesinde yerine yazalım. n = 11 ( 13 t + 5 ) + 1 n = 143 t + 56 11) En küçük pozitif değer için t = 0 alınır. n = 56 Sonuç: En küçük pozitif n değeri 56’dır. Dolayısıyla doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: 1) Şık B’de verilen değerin doğru olup olmadığını kontrol edelim. Bunun için iki bölünebilme koşulunu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri bulacağız. 2) Birinci koşul: ifadenin 11 ile tam bölünmesi, 11’e göre kalanının 0 olması demektir. 6 n + 5 ≡ 0 ( mod 11 ) 3) Buradan 11’e göre düzenleyelim. 6 n ≡ - 5 ( mod 11 ) - 5 ≡ 6 ( mod 11 ) 6 n ≡ 6 ( mod 11 ) 4) 11’e göre 6’nın tersini bulalım. 6 ile çarpınca 1 kalanını veren sayı 2’dir. 6 · 2 = 12 ≡ 1 ( mod 11 ) Her iki tarafı 2 ile çarpalım. n ≡ 1 ( mod 11 ) Yani n sayısı 11 ile bölündüğünde 1 kalanını verir. n = 11 k + 1 5) İkinci koşul: ifadenin 13 ile tam bölünmesi. 8 n + 7 ≡ 0 ( mod 13 ) Buradan 13’e göre düzenleyelim. 8 n ≡ - 7 ( mod 13 ) - 7 ≡ 6 ( mod 13 ) 8 n ≡ 6 ( mod 13 ) 6) 13’e göre 8’in tersini bulalım. 8 ile çarpınca 1 kalanını veren sayı 5’tir. 8 · 5 = 40 ≡ 1 ( mod 13 ) Her iki tarafı 5 ile çarpalım. n ≡ 30 ( mod 13 ) 30 ≡ 4 ( mod 13 ) n ≡ 4 ( mod 13 ) 7) Şimdi iki koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif n değerini bulalım. Birinci koşuldan elde ettiğimiz ifadeyi ikinci koşulda kullanalım. n = 11 k + 1 11 k + 1 ≡ 4 ( mod 13 ) 8) Buradan k için kongruansı çözelim. 11 k ≡ 3 ( mod 13 ) 11 ≡ - 2 ( mod 13 ) - 2 k ≡ 3 ( mod 13 ) 2 k ≡ - 3 ( mod 13 ) - 3 ≡ 10 ( mod 13 ) 2 k ≡ 10 ( mod 13 ) 9) 13’e göre 2’nin tersi 7’dir (çünkü 2·7 = 14 ve 14 ≡ 1). 2 · 7 = 14 ≡ 1 ( mod 13 ) Her iki tarafı 7 ile çarpalım. k ≡ 70 ( mod 13 ) 70 ≡ 5 ( mod 13 ) k ≡ 5 ( mod 13 ) 10) Bu durumda k için genel ifade: k = 13 t + 5 Bunu n ifadesinde yerine yazalım. n = 11 ( 13 t + 5 ) + 1 n = 143 t + 56 11) En küçük pozitif değer için t = 0 alınır. n = 56 Sonuç: En küçük pozitif n değeri 56’dır. Dolayısıyla doğru cevap B’dir.

Doğru cevap: C

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: D

Önce şıkkın doğruluğunu kontrol edelim: Sonuç C değil, D çıkıyor. Verilen sayı biçimi: N = 7 a 2 b ¯ Koşul: Sayının otuz altı ile tam bölünmesi için hem dörde hem dokuza bölünmesi gerekir. 36 = 4 · 9 1) Dörde bölünebilme: Son iki basamak dörde bölünebilir olmalı. Son iki basamak: 2 b ¯ Bu sayı 2 b ¯ = 20 + b olduğundan ve 20 ≡ 0 ( mod 4 ) olduğu için 20 + b ≡ b ( mod 4 ) Dolayısıyla b ≡ 0 ( mod 4 ) ve buradan b ∈ { 0, 4, 8 } 2) Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünebilir olmalı. 7 + a + 2 + b = 9 + a + b Bu toplamın dokuza bölünebilmesi için 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) yani eşdeğer olarak a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 3) Olasılıkları sayma: Şimdi b ∈ { 0, 4, 8 } için uygun a rakamlarını bulalım. Durum 1: b = 0 Koşul: a + 0 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğundan: a ∈ { 0, 9 } Bu durumda iki farklı ikili vardır. Durum 2: b = 4 Koşul: a + 4 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 5 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 5 Bu durumda bir farklı ikili vardır. Durum 3: b = 8 Koşul: a + 8 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 1 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 1 Bu durumda bir farklı ikili vardır. 4) Toplam: 2 + 1 + 1 = 4 Dolayısıyla ( a, b ) ikilisi dört farklı değer alır ve doğru cevap D şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce şıkkın doğruluğunu kontrol edelim: Sonuç C değil, D çıkıyor. Verilen sayı biçimi: N = 7 a 2 b ¯ Koşul: Sayının otuz altı ile tam bölünmesi için hem dörde hem dokuza bölünmesi gerekir. 36 = 4 · 9 1) Dörde bölünebilme: Son iki basamak dörde bölünebilir olmalı. Son iki basamak: 2 b ¯ Bu sayı 2 b ¯ = 20 + b olduğundan ve 20 ≡ 0 ( mod 4 ) olduğu için 20 + b ≡ b ( mod 4 ) Dolayısıyla b ≡ 0 ( mod 4 ) ve buradan b ∈ { 0, 4, 8 } 2) Dokuza bölünebilme: Rakamlar toplamı dokuza bölünebilir olmalı. 7 + a + 2 + b = 9 + a + b Bu toplamın dokuza bölünebilmesi için 9 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) yani eşdeğer olarak a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 3) Olasılıkları sayma: Şimdi b ∈ { 0, 4, 8 } için uygun a rakamlarını bulalım. Durum 1: b = 0 Koşul: a + 0 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 0 ( mod 9 ) Rakam olduğundan: a ∈ { 0, 9 } Bu durumda iki farklı ikili vardır. Durum 2: b = 4 Koşul: a + 4 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 5 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 5 Bu durumda bir farklı ikili vardır. Durum 3: b = 8 Koşul: a + 8 ≡ 0 ( mod 9 ) Yani a ≡ 1 ( mod 9 ) Rakam aralığında tek çözüm: a = 1 Bu durumda bir farklı ikili vardır. 4) Toplam: 2 + 1 + 1 = 4 Dolayısıyla ( a, b ) ikilisi dört farklı değer alır ve doğru cevap D şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen koşulları eşitlik ve kongruans olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 8 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) n ≡ 0 ( mod 7 ) İlk koşuldan başlayalım. Bir tam sayı k için: n = 8 k + 3 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 8 k + 3 ≡ 4 ( mod 9 ) 8 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada sekiz, dokuz ile bölümde eksi bir ile aynı kalanı verir. Yani: 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) − k ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ − 1 ≡ 8 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılabilir: k = 9 t + 8 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 8 ( 9 t + 8 ) + 3 n = 72 t + 67 Şimdi n ’in yedi ile tam bölünmesi için t ’yi bulalım: 72 t + 67 ≡ 0 ( mod 7 ) Kalanları sadeleştirelim: 72 ≡ 2 ( mod 7 ) 67 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 t + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) İki’nin yedi modunda tersi dört tür; çünkü: 2 ⋅ 4 = 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 3 ⋅ 4 ≡ 12 ≡ 5 ( mod 7 ) O hâlde: t = 7 s + 5 Bunu n ’de yerine yazalım: n = 72 ( 7 s + 5 ) + 67 n = 504 s + 427 En küçük pozitif değer için s ’yi sıfır alırız: n = 427 Sonuç: Doğru cevap A933 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşulları eşitlik ve kongruans olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 8 ) n ≡ 4 ( mod 9 ) n ≡ 0 ( mod 7 ) İlk koşuldan başlayalım. Bir tam sayı k için: n = 8 k + 3 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 8 k + 3 ≡ 4 ( mod 9 ) 8 k ≡ 1 ( mod 9 ) Burada sekiz, dokuz ile bölümde eksi bir ile aynı kalanı verir. Yani: 8 ≡ − 1 ( mod 9 ) − k ≡ 1 ( mod 9 ) k ≡ − 1 ≡ 8 ( mod 9 ) O hâlde k şöyle yazılabilir: k = 9 t + 8 Bunu n ifadesinde yerine yazalım: n = 8 ( 9 t + 8 ) + 3 n = 72 t + 67 Şimdi n ’in yedi ile tam bölünmesi için t ’yi bulalım: 72 t + 67 ≡ 0 ( mod 7 ) Kalanları sadeleştirelim: 72 ≡ 2 ( mod 7 ) 67 ≡ 4 ( mod 7 ) 2 t + 4 ≡ 0 ( mod 7 ) 2 t ≡ 3 ( mod 7 ) İki’nin yedi modunda tersi dört tür; çünkü: 2 ⋅ 4 = 8 ≡ 1 ( mod 7 ) Her iki tarafı dört ile çarpalım: t ≡ 3 ⋅ 4 ≡ 12 ≡ 5 ( mod 7 ) O hâlde: t = 7 s + 5 Bunu n ’de yerine yazalım: n = 72 ( 7 s + 5 ) + 67 n = 504 s + 427 En küçük pozitif değer için s ’yi sıfır alırız: n = 427 Sonuç: Doğru cevap A933 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Doğru cevabın A olduğunu kontrol edelim. Verilen üç basamaklı doğal sayıyı ve yan yana iki kez yazılarak elde edilen sayıyı şöyle adlandıralım: n, N Üç basamaklı bir sayıyı yanına bir kez daha yazmak, sayının bir kez binler basamağına kaydırılıp üstüne kendisini eklemek demektir: N = n ⋅ 10 3 + n Ortak çarpan parantezine alalım: N = n ( 10 3 + 1 ) Parantez içini hesaplayalım: N = n ( 1000 + 1 ) = 1001 n Sonuç olarak elde edilen sayı her zaman aşağıdaki sayıya tam bölünür (çünkü bu sayının katı olarak yazıldı): 1001 Dolayısıyla doğru seçenek B540 ’dır.

1. Çözüm: Doğru cevabın A olduğunu kontrol edelim. Verilen üç basamaklı doğal sayıyı ve yan yana iki kez yazılarak elde edilen sayıyı şöyle adlandıralım: n, N Üç basamaklı bir sayıyı yanına bir kez daha yazmak, sayının bir kez binler basamağına kaydırılıp üstüne kendisini eklemek demektir: N = n ⋅ 10 3 + n Ortak çarpan parantezine alalım: N = n ( 10 3 + 1 ) Parantez içini hesaplayalım: N = n ( 1000 + 1 ) = 1001 n Sonuç olarak elde edilen sayı her zaman aşağıdaki sayıya tam bölünür (çünkü bu sayının katı olarak yazıldı): 1001 Dolayısıyla doğru seçenek B540 ’dır.

Doğru cevap: C

Verilen altı basamaklı sayı: 3 a 5 2 b 8 99 ile tam bölünebilmesi için hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme şartı Rakamlar toplamı: 3 + a + 5 + 2 + b + 8 = 18 + a + b Bunun 9 un katı olması gerekir: 18 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 18 sayısı 9 a bölündüğü için sadeleşir: a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Dolayısıyla mümkün değerler: a + b ∈ { 0, 9, 18 } 2) 11 ile bölünebilme şartı Soldan başlayarak tek sıralardaki rakamların toplamı ile çift sıralardaki rakamların toplamının farkı, 11 in katı olmalıdır: ( 3 + 5 + b ) - ( a + 2 + 8 ) = b - a - 2 O hâlde: b - a - 2 ≡ 0 ( mod 11 ) a, b birer rakam olduğundan b - a - 2 değeri sadece şu iki katı verebilir: b - a - 2 = 0 veya b - a - 2 = -11 3) Olasılıkları kontrol edelim Birinci durum: b - a - 2 = 0 ⇒ b = a + 2 Bu durumda: a + b = a + ( a + 2 ) = 2 a + 2 ve a + b ∈ { 0, 9, 18 } olmalıydı. 2 a + 2 ifadesi için a = 0, 1, …, 7 denendiğinde bu kümeden bir değer elde edilemez. İkinci durum: b - a - 2 = -11 ⇒ b = a - 9 a, b rakam olduğundan bu ancak a = 9 ve b = 0 ile mümkündür. Bu durumda: a + b = 9 Sonuç Doğru cevap C1062 şıkkıdır. a + b = 9

1. Çözüm: Verilen altı basamaklı sayı: 3 a 5 2 b 8 99 ile tam bölünebilmesi için hem 9 hem de 11 ile tam bölünmelidir. 1) 9 ile bölünebilme şartı Rakamlar toplamı: 3 + a + 5 + 2 + b + 8 = 18 + a + b Bunun 9 un katı olması gerekir: 18 + a + b ≡ 0 ( mod 9 ) 18 sayısı 9 a bölündüğü için sadeleşir: a + b ≡ 0 ( mod 9 ) Dolayısıyla mümkün değerler: a + b ∈ { 0, 9, 18 } 2) 11 ile bölünebilme şartı Soldan başlayarak tek sıralardaki rakamların toplamı ile çift sıralardaki rakamların toplamının farkı, 11 in katı olmalıdır: ( 3 + 5 + b ) - ( a + 2 + 8 ) = b - a - 2 O hâlde: b - a - 2 ≡ 0 ( mod 11 ) a, b birer rakam olduğundan b - a - 2 değeri sadece şu iki katı verebilir: b - a - 2 = 0 veya b - a - 2 = -11 3) Olasılıkları kontrol edelim Birinci durum: b - a - 2 = 0 ⇒ b = a + 2 Bu durumda: a + b = a + ( a + 2 ) = 2 a + 2 ve a + b ∈ { 0, 9, 18 } olmalıydı. 2 a + 2 ifadesi için a = 0, 1, …, 7 denendiğinde bu kümeden bir değer elde edilemez. İkinci durum: b - a - 2 = -11 ⇒ b = a - 9 a, b rakam olduğundan bu ancak a = 9 ve b = 0 ile mümkündür. Bu durumda: a + b = 9 Sonuç Doğru cevap C1062 şıkkıdır. a + b = 9

Doğru cevap: D

Birinci koşul için bölünebilme şartını modüler aritmetik ile yazarız: 12 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) Bu ifadeyi sadeleştiririz: 12 ≡ 5 ( mod 7 ) 5 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 x ≡ - 5 ≡ 2 ( mod 7 ) Burada modüler ters kullanırız: 5 · 3 ≡ 1 ( mod 7 ) x ≡ 2 · 3 ≡ 6 ( mod 7 ) İkinci koşul için benzer şekilde: 15 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 15 ≡ 4 ( mod 11 ) 4 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 4 x ≡ 4 ( mod 11 ) x ≡ 1 ( mod 11 ) Şimdi iki sonucu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri buluruz. Adayları şu şekilde yazabiliriz: x = 1 + 11 k Bu adaylar içinde birinci koşulu sağlayanı ararız: 1, 12, 23, 34, 45, 56, … Bu listede uygun olan en küçük değer: 34 ≡ 6 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük pozitif tamsayı değeri şıkkıD683dır. x = 34

1. Çözüm: Birinci koşul için bölünebilme şartını modüler aritmetik ile yazarız: 12 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) Bu ifadeyi sadeleştiririz: 12 ≡ 5 ( mod 7 ) 5 x + 5 ≡ 0 ( mod 7 ) 5 x ≡ - 5 ≡ 2 ( mod 7 ) Burada modüler ters kullanırız: 5 · 3 ≡ 1 ( mod 7 ) x ≡ 2 · 3 ≡ 6 ( mod 7 ) İkinci koşul için benzer şekilde: 15 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 15 ≡ 4 ( mod 11 ) 4 x - 4 ≡ 0 ( mod 11 ) 4 x ≡ 4 ( mod 11 ) x ≡ 1 ( mod 11 ) Şimdi iki sonucu birlikte sağlayan en küçük pozitif değeri buluruz. Adayları şu şekilde yazabiliriz: x = 1 + 11 k Bu adaylar içinde birinci koşulu sağlayanı ararız: 1, 12, 23, 34, 45, 56, … Bu listede uygun olan en küçük değer: 34 ≡ 6 ( mod 7 ) Dolayısıyla en küçük pozitif tamsayı değeri şıkkıD683dır. x = 34