9. Sınıf Matematik Bölme Bölünebilme Testleri

Doğru cevap: C

Soruda istenen: Verilen sayılardan hangisi on iki ile kalansız bölünür? On ikiye bölünebilme için sayı hem üçe hem dörde kalansız bölünebilmelidir. 12 = 3 ⋅ 4 A şıkkı: 174 Üçe bölünebilme kontrolü (rakamlar toplamı): 1 + 7 + 4 = 12 12 ÷ 3 = 4 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme için son iki basamağa bakılır: 74 = 4 ⋅ 18 + 2 Son iki basamak dörde bölünmediği için sayı on ikiye bölünmez. B şıkkı: 186 Üçe bölünebilme kontrolü: 1 + 8 + 6 = 15 15 = 3 ⋅ 5 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme kontrolü: 86 = 4 ⋅ 21 + 2 Son iki basamak dörde bölünmediği için sayı on ikiye bölünmez. C şıkkı: 192 Üçe bölünebilme kontrolü: 1 + 9 + 2 = 12 12 ÷ 3 = 4 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme kontrolü: 92 = 4 ⋅ 23 Son iki basamak dörde de bölündüğü için sayı on ikiye kalansız bölünür. İstersek doğrudan da gösterebiliriz: 192 = 12 ⋅ 16 D şıkkı: 198 Üçe bölünebilme kontrolü: 1 + 9 + 8 = 18 18 = 3 ⋅ 6 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme kontrolü: 98 = 4 ⋅ 24 + 2 Son iki basamak dörde bölünmediği için sayı on ikiye bölünmez. Sonuç: On iki ile kalansız bölünen sayı yalnızca C şıkkıdır. Verilen “doğru cevap C” bilgisi doğrudur.

1. Çözüm: Soruda istenen: Verilen sayılardan hangisi on iki ile kalansız bölünür? On ikiye bölünebilme için sayı hem üçe hem dörde kalansız bölünebilmelidir. 12 = 3 ⋅ 4 A şıkkı: 174 Üçe bölünebilme kontrolü (rakamlar toplamı): 1 + 7 + 4 = 12 12 ÷ 3 = 4 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme için son iki basamağa bakılır: 74 = 4 ⋅ 18 + 2 Son iki basamak dörde bölünmediği için sayı on ikiye bölünmez. B şıkkı: 186 Üçe bölünebilme kontrolü: 1 + 8 + 6 = 15 15 = 3 ⋅ 5 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme kontrolü: 86 = 4 ⋅ 21 + 2 Son iki basamak dörde bölünmediği için sayı on ikiye bölünmez. C şıkkı: 192 Üçe bölünebilme kontrolü: 1 + 9 + 2 = 12 12 ÷ 3 = 4 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme kontrolü: 92 = 4 ⋅ 23 Son iki basamak dörde de bölündüğü için sayı on ikiye kalansız bölünür. İstersek doğrudan da gösterebiliriz: 192 = 12 ⋅ 16 D şıkkı: 198 Üçe bölünebilme kontrolü: 1 + 9 + 8 = 18 18 = 3 ⋅ 6 Bu yüzden üçe bölünür. Dörde bölünebilme kontrolü: 98 = 4 ⋅ 24 + 2 Son iki basamak dörde bölünmediği için sayı on ikiye bölünmez. Sonuç: On iki ile kalansız bölünen sayı yalnızca C şıkkıdır. Verilen “doğru cevap C” bilgisi doğrudur.

Doğru cevap: D

Dokuz ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı dokuzun katı olan sayılar dokuz ile bölünebilir. Seçenek A için rakamlar toplamını bulalım: 3 + 7 + 2 + 6 = 18 18 = 9 × 2 Rakamlar toplamı dokuzun katı olduğu için seçeneğiD219 dokuz ile bölünür. Diğer seçenekleri kontrol edelim: B seçeneği: 4 + 5 + 1 + 7 = 17 Rakamlar toplamı dokuzun katı değildir, bölünmez. C seçeneği: 8 + 1 + 0 + 5 = 14 Rakamlar toplamı dokuzun katı değildir, bölünmez. D seçeneği: 6 + 3 + 9 + 4 = 22 Rakamlar toplamı dokuzun katı değildir, bölünmez. Sonuç: Doğru cevap D533’dır. ( seçeneğiD556 dokuz ile bölünebilir.)

1. Çözüm: Dokuz ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı dokuzun katı olan sayılar dokuz ile bölünebilir. Seçenek A için rakamlar toplamını bulalım: 3 + 7 + 2 + 6 = 18 18 = 9 × 2 Rakamlar toplamı dokuzun katı olduğu için seçeneğiD219 dokuz ile bölünür. Diğer seçenekleri kontrol edelim: B seçeneği: 4 + 5 + 1 + 7 = 17 Rakamlar toplamı dokuzun katı değildir, bölünmez. C seçeneği: 8 + 1 + 0 + 5 = 14 Rakamlar toplamı dokuzun katı değildir, bölünmez. D seçeneği: 6 + 3 + 9 + 4 = 22 Rakamlar toplamı dokuzun katı değildir, bölünmez. Sonuç: Doğru cevap D533’dır. ( seçeneğiD556 dokuz ile bölünebilir.)

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü: Sayının dokuz ile bölünebilmesi için rakamları toplamı dokuzun katı olmalıdır. 2) Verilen üç basamaklı sayının rakamları toplamını yazalım: 4 + x + 2 3) Toplamı sadeleştirelim: 4 + x + 2 = x + 6 4) Bölünebilme şartı gereği bu toplam dokuzun katı olmalıdır. Yani şöyle yazabiliriz: x + 6 = 9 5) Buradan değeri bulunur: x = 9 - 6 = 3 6) Sonuç: Doğru cevap A365 şıkkıdır. x = 3

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Sayının dokuz ile bölünebilmesi için rakamları toplamı dokuzun katı olmalıdır. 2) Verilen üç basamaklı sayının rakamları toplamını yazalım: 4 + x + 2 3) Toplamı sadeleştirelim: 4 + x + 2 = x + 6 4) Bölünebilme şartı gereği bu toplam dokuzun katı olmalıdır. Yani şöyle yazabiliriz: x + 6 = 9 5) Buradan değeri bulunur: x = 9 - 6 = 3 6) Sonuç: Doğru cevap A365 şıkkıdır. x = 3

Doğru cevap: B

Kontrol edelim: 9 ile bölünebilme kuralına göre, bir sayının rakamları toplamı 9 ’un katı ise sayı 9 ile tam bölünür. şıkkıB118 için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 2 + 6 + 1 = 18 18 sayısı 9 ’un katı olduğu için şıkkıB205ndaki sayı 9 ile tam bölünür. B şıkkı için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 2 + 7 + 1 = 19 19 sayısı 9 ’un katı değildir, bu yüzden tam bölünmez. C şıkkı için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 1 + 6 + 1 = 17 17 sayısı 9 ’un katı değildir, bu yüzden tam bölünmez. D şıkkı için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 2 + 5 + 1 = 17 17 sayısı 9 ’un katı değildir, bu yüzden tam bölünmez. Sonuç: şıkkıB576 doğru cevaptır.

1. Çözüm: Kontrol edelim: 9 ile bölünebilme kuralına göre, bir sayının rakamları toplamı 9 ’un katı ise sayı 9 ile tam bölünür. şıkkıB118 için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 2 + 6 + 1 = 18 18 sayısı 9 ’un katı olduğu için şıkkıB205ndaki sayı 9 ile tam bölünür. B şıkkı için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 2 + 7 + 1 = 19 19 sayısı 9 ’un katı değildir, bu yüzden tam bölünmez. C şıkkı için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 1 + 6 + 1 = 17 17 sayısı 9 ’un katı değildir, bu yüzden tam bölünmez. D şıkkı için rakamlar toplamı: 5 + 4 + 2 + 5 + 1 = 17 17 sayısı 9 ’un katı değildir, bu yüzden tam bölünmez. Sonuç: şıkkıB576 doğru cevaptır.

Doğru cevap: C

Verilen sayı 3 a 4 5 olup 11 ile tam bölünebiliyor. 11 ile bölünebilme kuralı: Rakamların birer atlayarak (tek sıralar ve çift sıralar) toplamlarının farkı 11 ’in katı olmalıdır. Sayıyı soldan sağa doğru rakamlarına ayıralım: 3, a, 4, 5 Tek sıradaki rakamların toplamı: 3 + 4 = 7 Çift sıradaki rakamların toplamı: a + 5 Farkı alalım: 7 − ( a + 5 ) = 7 − a − 5 = 2 − a Bu fark 11 ’in katı olmalı. Rakam olduğu için 0 ≤ a ≤ 9 aralığında 2 − a ifadesinin alabileceği tek uygun 11 katı 0 ’dır. O hâlde: 2 − a = 0 Buradan: a = 2 Sonuç: Doğru cevap C şıkıdır.

1. Çözüm: Verilen sayı 3 a 4 5 olup 11 ile tam bölünebiliyor. 11 ile bölünebilme kuralı: Rakamların birer atlayarak (tek sıralar ve çift sıralar) toplamlarının farkı 11 ’in katı olmalıdır. Sayıyı soldan sağa doğru rakamlarına ayıralım: 3, a, 4, 5 Tek sıradaki rakamların toplamı: 3 + 4 = 7 Çift sıradaki rakamların toplamı: a + 5 Farkı alalım: 7 − ( a + 5 ) = 7 − a − 5 = 2 − a Bu fark 11 ’in katı olmalı. Rakam olduğu için 0 ≤ a ≤ 9 aralığında 2 − a ifadesinin alabileceği tek uygun 11 katı 0 ’dır. O hâlde: 2 − a = 0 Buradan: a = 2 Sonuç: Doğru cevap C şıkıdır.

Doğru cevap: D

Doğru seçenek: D. (Şıklardaki koşulların yeterli olup olmadığına bakacağız.) Önce sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 8 × 9 = 2 3 × 3 2 Bir sayının bu sayıya tam bölünebilmesi için, seçenekte verilen iki sayıya aynı anda bölünebilme şartının en küçük ortak katının bu sayıyı vermesi gerekir: Eğer N hem a hem b ile tam bölünüyorsa, N mutlaka EKOK ( a, b ) ile de tam bölünür. Dolayısıyla seçenekteki koşulun sayıyı 72 ile tam bölünebilir yapması için: EKOK ( a, b ) = 72 şıkkıD489: sayı hem 8 hem 9 ile tam bölünsün. Bu iki sayı aralarında asaldır: EBOB ( 8, 9 ) = 1 Aralarında asal iki sayının EKOK’u çarpımlarına eşittir: EKOK ( 8, 9 ) = 8 × 9 = 72 Bu nedenle 8 ve 9 ile tam bölünebilmek, sayının 72 ile tam bölünebilmesi için yeterlidir. B şıkkı: hem 6 hem 12 ile tam bölünebilme. Burada 12 zaten 6 nın katıdır; dolayısıyla: EKOK ( 6, 12 ) = 12 Bu koşul en fazla 12 ye bölünebilmeyi garanti eder; 72 yi garanti etmez. (Örneğin 12 bu koşulu sağlar ama 72 ye bölünmez.) C şıkkı: hem 3 hem 24 ile tam bölünebilme. Çünkü 24 zaten 3 ün katıdır; dolayısıyla: EKOK ( 3, 24 ) = 24 Bu da 72 yi garanti etmez. (Örneğin 24 koşulu sağlar ama 72 ye bölünmez.) D şıkkı: hem 4 hem 18 ile tam bölünebilme. EKOK’u hesaplayalım: 4 = 2 2 18 = 2 × 3 2 EKOK için asal çarpanların büyük üsleri alınır: EKOK ( 4, 18 ) = 2 2 × 3 2 = 36 Bu koşul 36 ya bölünebilmeyi garanti eder; 72 yi garanti etmez. (Örneğin 36 koşulu sağlar ama 72 ye bölünmez.) Sonuç: Yalnızca EKOK ( 8, 9 ) = 72 olduğundan, doğru cevap D1510 dır.

1. Çözüm: Doğru seçenek: D. (Şıklardaki koşulların yeterli olup olmadığına bakacağız.) Önce sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 8 × 9 = 2 3 × 3 2 Bir sayının bu sayıya tam bölünebilmesi için, seçenekte verilen iki sayıya aynı anda bölünebilme şartının en küçük ortak katının bu sayıyı vermesi gerekir: Eğer N hem a hem b ile tam bölünüyorsa, N mutlaka EKOK ( a, b ) ile de tam bölünür. Dolayısıyla seçenekteki koşulun sayıyı 72 ile tam bölünebilir yapması için: EKOK ( a, b ) = 72 şıkkıD489: sayı hem 8 hem 9 ile tam bölünsün. Bu iki sayı aralarında asaldır: EBOB ( 8, 9 ) = 1 Aralarında asal iki sayının EKOK’u çarpımlarına eşittir: EKOK ( 8, 9 ) = 8 × 9 = 72 Bu nedenle 8 ve 9 ile tam bölünebilmek, sayının 72 ile tam bölünebilmesi için yeterlidir. B şıkkı: hem 6 hem 12 ile tam bölünebilme. Burada 12 zaten 6 nın katıdır; dolayısıyla: EKOK ( 6, 12 ) = 12 Bu koşul en fazla 12 ye bölünebilmeyi garanti eder; 72 yi garanti etmez. (Örneğin 12 bu koşulu sağlar ama 72 ye bölünmez.) C şıkkı: hem 3 hem 24 ile tam bölünebilme. Çünkü 24 zaten 3 ün katıdır; dolayısıyla: EKOK ( 3, 24 ) = 24 Bu da 72 yi garanti etmez. (Örneğin 24 koşulu sağlar ama 72 ye bölünmez.) D şıkkı: hem 4 hem 18 ile tam bölünebilme. EKOK’u hesaplayalım: 4 = 2 2 18 = 2 × 3 2 EKOK için asal çarpanların büyük üsleri alınır: EKOK ( 4, 18 ) = 2 2 × 3 2 = 36 Bu koşul 36 ya bölünebilmeyi garanti eder; 72 yi garanti etmez. (Örneğin 36 koşulu sağlar ama 72 ye bölünmez.) Sonuç: Yalnızca EKOK ( 8, 9 ) = 72 olduğundan, doğru cevap D1510 dır.

Doğru cevap: A

Verilen koşullar: 6 ∣ n 15 ∣ n Önce asal çarpanlarına ayıralım: 6 = 2 × 3 15 = 3 × 5 Bu iki sayının EKOK’u (en küçük ortak katı), her asal çarpanın en büyük kuvvetini içerir: EKOK ( 6, 15 ) = 2 × 3 × 5 = 30 Eğer bir sayı hem ( a ) hem de ( b ) ile bölünüyorsa, bu sayı mutlaka ( a ) ve ( b ) ’nin EKOK’u ile de bölünür. Burada: EKOK ( 6, 15 ) = 30 6 ∣ n ve 15 ∣ n ⇒ 30 ∣ n Sonuç: A şıkkı doğrudur. Yani “Ek bir koşul gerekmez.”

1. Çözüm: Verilen koşullar: 6 ∣ n 15 ∣ n Önce asal çarpanlarına ayıralım: 6 = 2 × 3 15 = 3 × 5 Bu iki sayının EKOK’u (en küçük ortak katı), her asal çarpanın en büyük kuvvetini içerir: EKOK ( 6, 15 ) = 2 × 3 × 5 = 30 Eğer bir sayı hem ( a ) hem de ( b ) ile bölünüyorsa, bu sayı mutlaka ( a ) ve ( b ) ’nin EKOK’u ile de bölünür. Burada: EKOK ( 6, 15 ) = 30 6 ∣ n ve 15 ∣ n ⇒ 30 ∣ n Sonuç: A şıkkı doğrudur. Yani “Ek bir koşul gerekmez.”

Doğru cevap: B

1) şıkkıB3 kontrolü Verilen sayı: 7 x 3 2) Dokuz ile bölünebilme kuralı Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı da 9 ile tam bölünmelidir. 3) Rakamlar toplamını yazalım 7 + x + 3 4) Toplamı sadeleştirelim 7 + 3 + x = 10 + x 5) Tam bölünebilme şartını kuralım 10 + x = 9 × k Burada x bir rakam olduğundan 0 ≤ x ≤ 9 6) Uygun katı seçelim Rakam aralığına göre 10 + x ifadesi 10 + 0 = 10 ile 10 + 9 = 19 arasında olur. Bu aralıkta 9 un katı olarak yalnızca 18 vardır. 7) x değerini bulalım 10 + x = 18 x = 8 8) Sonuç ve şık kontrolü O hâlde sayı 783 olur ve 9 ile tam bölünür. Bu da 8 değerine karşılık gelir. Doğru cevap B646’dır.

1. Çözüm: 1) şıkkıB3 kontrolü Verilen sayı: 7 x 3 2) Dokuz ile bölünebilme kuralı Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı da 9 ile tam bölünmelidir. 3) Rakamlar toplamını yazalım 7 + x + 3 4) Toplamı sadeleştirelim 7 + 3 + x = 10 + x 5) Tam bölünebilme şartını kuralım 10 + x = 9 × k Burada x bir rakam olduğundan 0 ≤ x ≤ 9 6) Uygun katı seçelim Rakam aralığına göre 10 + x ifadesi 10 + 0 = 10 ile 10 + 9 = 19 arasında olur. Bu aralıkta 9 un katı olarak yalnızca 18 vardır. 7) x değerini bulalım 10 + x = 18 x = 8 8) Sonuç ve şık kontrolü O hâlde sayı 783 olur ve 9 ile tam bölünür. Bu da 8 değerine karşılık gelir. Doğru cevap B646’dır.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek: C. Önce bölünebilme ilişkisini çarpanlara ayıralım: 45 = 9 × 5 Bir sayının 45 ile tam bölündüğünü söylemek, o sayının 45 katı olması demektir: n = 45 k Yukarıdaki eşitlikte 45 = 9 × 5 yazarsak: n = 45 k = 9 × 5 k Bu da n = 9 × ( 5 k ) olduğu için n sayısı 9 ile tam bölünür. Aynı şekilde: n = 45 k = 5 × 9 k Buradan da n = 5 × ( 9 k ) olduğu için n sayısı 5 ile de tam bölünür. Sonuç: Bir sayı 45 ile tam bölünüyorsa, kesinlikle 9 ve 5 ile tam bölünür. Bu nedenle şıkkıC521 kesinlikle doğrudur. Diğer şıkların neden kesin olmadığını kısaca kontrol edelim: B: Yanlış, çünkü 45 ile bölünen sayı aynı zamanda 5 ile de bölünmek zorundadır. C: Yanlış, çünkü 15 = 3 × 5 olduğundan 15 ile bölünen her sayı zaten 3 ile de bölünür. D: Kesin değil; örneğin 45 sayısı 45 ile bölünür ama 10 ile tam bölünmez.

1. Çözüm: Doğru seçenek: C. Önce bölünebilme ilişkisini çarpanlara ayıralım: 45 = 9 × 5 Bir sayının 45 ile tam bölündüğünü söylemek, o sayının 45 katı olması demektir: n = 45 k Yukarıdaki eşitlikte 45 = 9 × 5 yazarsak: n = 45 k = 9 × 5 k Bu da n = 9 × ( 5 k ) olduğu için n sayısı 9 ile tam bölünür. Aynı şekilde: n = 45 k = 5 × 9 k Buradan da n = 5 × ( 9 k ) olduğu için n sayısı 5 ile de tam bölünür. Sonuç: Bir sayı 45 ile tam bölünüyorsa, kesinlikle 9 ve 5 ile tam bölünür. Bu nedenle şıkkıC521 kesinlikle doğrudur. Diğer şıkların neden kesin olmadığını kısaca kontrol edelim: B: Yanlış, çünkü 45 ile bölünen sayı aynı zamanda 5 ile de bölünmek zorundadır. C: Yanlış, çünkü 15 = 3 × 5 olduğundan 15 ile bölünen her sayı zaten 3 ile de bölünür. D: Kesin değil; örneğin 45 sayısı 45 ile bölünür ama 10 ile tam bölünmez.

Doğru cevap: D

Bölünebilme şartını asal çarpanlarla inceleyelim. 2026 ⋅ n sayısı 72 ile tam bölünsün. Önce sayıları çarpanlarına ayıralım. 2026 = 2 ⋅ 1013 72 = 2 3 ⋅ 3 2 Ortak bölen sadece bir adet 2 olduğu için EBOB’u bulalım. gcd ( 2026, 72 ) = 2 O hâlde tam bölünebilme için 72 ’nin eksik kalan kısmı n ’de olmalıdır: 72 ∣ 2026 ⋅ n ⇔ 72 gcd ( 2026, 72 ) ∣ n 72 2 = 36 ∣ n Bu yüzden n ’yi şöyle yazabiliriz: n = 36 k İkinci koşul kalan şartıdır: n ≡ 3 (mod 7 ) n = 36k yazıp yerine koyalım: 36 k ≡ 3 (mod 7 ) 36 ’nın 7 ile bölümünden kalan: 36 ≡ 1 (mod 7 ) Dolayısıyla: k ≡ 3 (mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için: k = 3 Böylece: n = 36 ⋅ 3 = 108 Sonuç: Doğru seçenek D731 ’dır. n = 108

1. Çözüm: Bölünebilme şartını asal çarpanlarla inceleyelim. 2026 ⋅ n sayısı 72 ile tam bölünsün. Önce sayıları çarpanlarına ayıralım. 2026 = 2 ⋅ 1013 72 = 2 3 ⋅ 3 2 Ortak bölen sadece bir adet 2 olduğu için EBOB’u bulalım. gcd ( 2026, 72 ) = 2 O hâlde tam bölünebilme için 72 ’nin eksik kalan kısmı n ’de olmalıdır: 72 ∣ 2026 ⋅ n ⇔ 72 gcd ( 2026, 72 ) ∣ n 72 2 = 36 ∣ n Bu yüzden n ’yi şöyle yazabiliriz: n = 36 k İkinci koşul kalan şartıdır: n ≡ 3 (mod 7 ) n = 36k yazıp yerine koyalım: 36 k ≡ 3 (mod 7 ) 36 ’nın 7 ile bölümünden kalan: 36 ≡ 1 (mod 7 ) Dolayısıyla: k ≡ 3 (mod 7 ) En küçük pozitif çözüm için: k = 3 Böylece: n = 36 ⋅ 3 = 108 Sonuç: Doğru seçenek D731 ’dır. n = 108