9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: A

1) Doğru cevabın kontrolü: Evet, doğru seçenek A ’dır. 2) Çözüm (adım adım): Adım 1: Tanım kümesi (payda sıfır olamaz). x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1 Adım 2: Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. x - 2 x + 1 - 1 2 ≥ 0 Adım 3: Ortak paydada birleştirelim. 2 ( x - 2 ) - ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) ≥ 0 Adım 4: Payı sadeleştirelim. 2 x - 4 - x - 1 2 ( x + 1 ) ≥ 0 x - 5 2 ( x + 1 ) ≥ 0 Adım 5: Paydadaki sabit pozitif olduğu için işareti belirleyen rasyonel ifadeye geçelim. x - 5 x + 1 ≥ 0 Adım 6: Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler). x - 5 = 0 x = 5 x + 1 = 0 x = - 1 Adım 7: İşaret incelemesi (aralıklar). Oran, pay ve paydanın aynı işaretli olduğu aralıklarda sıfırdan büyük/eşit olur. • Birinci aralık: ( - ∞, - 1 ) • İkinci aralık: ( - 1, 5 ) • Üçüncü aralık: ( 5, ∞ ) Adım 8: Sonuç. Eşitlik sağlandığı için payı sıfır yapan değer dahil edilir; paydayı sıfır yapan değer hariç tutulur. ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 5, ∞ ) Bu küme şıklarda A seçeneğidir.

1. Çözüm: 1) Doğru cevabın kontrolü: Evet, doğru seçenek A ’dır. 2) Çözüm (adım adım): Adım 1: Tanım kümesi (payda sıfır olamaz). x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1 Adım 2: Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. x - 2 x + 1 - 1 2 ≥ 0 Adım 3: Ortak paydada birleştirelim. 2 ( x - 2 ) - ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) ≥ 0 Adım 4: Payı sadeleştirelim. 2 x - 4 - x - 1 2 ( x + 1 ) ≥ 0 x - 5 2 ( x + 1 ) ≥ 0 Adım 5: Paydadaki sabit pozitif olduğu için işareti belirleyen rasyonel ifadeye geçelim. x - 5 x + 1 ≥ 0 Adım 6: Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler). x - 5 = 0 x = 5 x + 1 = 0 x = - 1 Adım 7: İşaret incelemesi (aralıklar). Oran, pay ve paydanın aynı işaretli olduğu aralıklarda sıfırdan büyük/eşit olur. • Birinci aralık: ( - ∞, - 1 ) • İkinci aralık: ( - 1, 5 ) • Üçüncü aralık: ( 5, ∞ ) Adım 8: Sonuç. Eşitlik sağlandığı için payı sıfır yapan değer dahil edilir; paydayı sıfır yapan değer hariç tutulur. ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 5, ∞ ) Bu küme şıklarda A seçeneğidir.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: 2 ( 3 x − 1 ) ≤ 5 x + 7 Parantezi dağıtalım: 6 x − 2 ≤ 5 x + 7 Her iki taraftan da aynı işlemleri yaparak x terimlerini bir tarafta toplayalım (her iki taraftan çıkaralım): 6 x − 5 x − 2 ≤ 7 Benzer terimleri sadeleştirelim: x − 2 ≤ 7 Her iki tarafa ekleyelim: x ≤ 9 Sonuç: Çözüm kümesi şıkkıB376dır (A doğru).

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 ( 3 x − 1 ) ≤ 5 x + 7 Parantezi dağıtalım: 6 x − 2 ≤ 5 x + 7 Her iki taraftan da aynı işlemleri yaparak x terimlerini bir tarafta toplayalım (her iki taraftan çıkaralım): 6 x − 5 x − 2 ≤ 7 Benzer terimleri sadeleştirelim: x − 2 ≤ 7 Her iki tarafa ekleyelim: x ≤ 9 Sonuç: Çözüm kümesi şıkkıB376dır (A doğru).

Doğru cevap: C

Eşitsizlik: 2 x − 3 < 5 Her iki tarafa da 3 ekleyelim: 2 x < 8 Her iki tarafı da pozitif bir sayı olan 2 'ye bölelim (eşitsizliğin yönü değişmez): x < 4 Sonuç: Doğru cevap C160 şıkkıdır. x < 4

1. Çözüm: Eşitsizlik: 2 x − 3 < 5 Her iki tarafa da 3 ekleyelim: 2 x < 8 Her iki tarafı da pozitif bir sayı olan 2 'ye bölelim (eşitsizliğin yönü değişmez): x < 4 Sonuç: Doğru cevap C160 şıkkıdır. x < 4

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 2 - 1 ≤ 0 1) Tanım kümesi: Payda sıfır olamaz. x - 2 - 1 ≠ 0 x - 2 ≠ 1 x ≠ 1 ve x ≠ 3 2) Payı çarpanlara ayıralım. x 2 - 5 x + 6 = x - 2 x - 3 3) Paydanın işareti (kritik noktalar: 1 ve 3 ). Eğer x < 1 ise x - 2 = 2 - x ve x - 2 - 1 = 1 - x > 0 Eğer 1 < x < 3 ise x - 2 < 1 dolayısıyla x - 2 - 1 < 0 Eğer x > 3 ise x - 2 = x - 2 ve x - 2 - 1 = x - 3 > 0 4) Payın işareti (kökler: 2 ve 3 ). x - 2 x - 3 > 0 için x < 2 veya x > 3 x - 2 x - 3 < 0 için 2 < x < 3 5) İşaret tablosu (kritik noktalar: 1, 2, 3 ). Her aralıkta kesrin işaretini belirleyelim. - Aralık (-∞,1): Pay: x - 2 x - 3 > 0 Payda: x - 2 - 1 > 0 Kesir: > 0 - Aralık (1,2): Pay: x - 2 x - 3 > 0 Payda: x - 2 - 1 < 0 Kesir: < 0 - Nokta 2: 2 - 2 2 - 3 2 - 2 - 1 = 0 - Aralık (2,3): Pay: x - 2 x - 3 < 0 Payda: x - 2 - 1 < 0 Kesir: > 0 - Aralık (3,∞): Pay: x - 2 x - 3 > 0 Payda: x - 2 - 1 > 0 Kesir: > 0 6) Eşitsizlik ≤ 0 olduğundan, kesrin negatif olduğu aralık ve sıfır olduğu nokta alınır; ayrıca tanımsız noktalar alınmaz. x ∈ 1, 2 Sonuç: Doğru seçenek D1083 ’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 2 - 1 ≤ 0 1) Tanım kümesi: Payda sıfır olamaz. x - 2 - 1 ≠ 0 x - 2 ≠ 1 x ≠ 1 ve x ≠ 3 2) Payı çarpanlara ayıralım. x 2 - 5 x + 6 = x - 2 x - 3 3) Paydanın işareti (kritik noktalar: 1 ve 3 ). Eğer x < 1 ise x - 2 = 2 - x ve x - 2 - 1 = 1 - x > 0 Eğer 1 < x < 3 ise x - 2 < 1 dolayısıyla x - 2 - 1 < 0 Eğer x > 3 ise x - 2 = x - 2 ve x - 2 - 1 = x - 3 > 0 4) Payın işareti (kökler: 2 ve 3 ). x - 2 x - 3 > 0 için x < 2 veya x > 3 x - 2 x - 3 < 0 için 2 < x < 3 5) İşaret tablosu (kritik noktalar: 1, 2, 3 ). Her aralıkta kesrin işaretini belirleyelim. - Aralık (-∞,1): Pay: x - 2 x - 3 > 0 Payda: x - 2 - 1 > 0 Kesir: > 0 - Aralık (1,2): Pay: x - 2 x - 3 > 0 Payda: x - 2 - 1 < 0 Kesir: < 0 - Nokta 2: 2 - 2 2 - 3 2 - 2 - 1 = 0 - Aralık (2,3): Pay: x - 2 x - 3 < 0 Payda: x - 2 - 1 < 0 Kesir: > 0 - Aralık (3,∞): Pay: x - 2 x - 3 > 0 Payda: x - 2 - 1 > 0 Kesir: > 0 6) Eşitsizlik ≤ 0 olduğundan, kesrin negatif olduğu aralık ve sıfır olduğu nokta alınır; ayrıca tanımsız noktalar alınmaz. x ∈ 1, 2 Sonuç: Doğru seçenek D1083 ’dır.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < 3 x + 1 Her iki taraftan da sol taraftaki 2 x ifadesini çıkaralım: 2 x - 5 - 2 x < 3 x + 1 - 2 x Benzer terimleri sadeleştirelim: - 5 < x + 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım: - 5 - 1 < x + 1 - 1 Sonuç: - 6 < x Çözüm kümesini aralık şeklinde yazarsak: ( - 6, ∞ ) Bu aralık A şıkkıdır. Doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 5 < 3 x + 1 Her iki taraftan da sol taraftaki 2 x ifadesini çıkaralım: 2 x - 5 - 2 x < 3 x + 1 - 2 x Benzer terimleri sadeleştirelim: - 5 < x + 1 Her iki taraftan 1 çıkaralım: - 5 - 1 < x + 1 - 1 Sonuç: - 6 < x Çözüm kümesini aralık şeklinde yazarsak: ( - 6, ∞ ) Bu aralık A şıkkıdır. Doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 ≤ 0 Tanım kümesi: payda sıfır olamaz. x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 İşaret incelemesi için kritik noktalar: payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu değerlerdir. x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 Aralıklar: bu iki nokta sayı doğrusunu üç parçaya ayırır. ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıktan birer değer seçip ifadenin işaretini bulalım. 1) Seçim: x = − 2 ( − 2 ) − 2 ( − 2 ) + 1 = − 4 − 1 > 0 Bu aralıkta eşitsizlik sağlanmaz. 2) Seçim: x = 0 0 − 2 0 + 1 = − 2 1 < 0 Bu aralıkta eşitsizlik sağlanır. 3) Seçim: x = 3 3 − 2 3 + 1 = 1 4 > 0 Bu aralıkta eşitsizlik sağlanmaz. Sınır noktalarının durumu: • Paydanın sıfır olduğu değer çözüme dahil edilemez. x = − 1 ⇒ x − 2 x + 1  tanımsızdır • Payın sıfır olduğu değer eşitliği sağlar ve dahil edilir. x = 2 ⇒ x − 2 x + 1 = 0 Çözüm kümesi: ( − 1, 2 ] Bu, şıklardan seçeneğiB1080dir. Dolayısıyla “doğru cevap B1108 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 ≤ 0 Tanım kümesi: payda sıfır olamaz. x + 1 ≠ 0 x ≠ − 1 İşaret incelemesi için kritik noktalar: payın sıfır olduğu ve paydanın sıfır olduğu değerlerdir. x − 2 = 0 ⇒ x = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = − 1 Aralıklar: bu iki nokta sayı doğrusunu üç parçaya ayırır. ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıktan birer değer seçip ifadenin işaretini bulalım. 1) Seçim: x = − 2 ( − 2 ) − 2 ( − 2 ) + 1 = − 4 − 1 > 0 Bu aralıkta eşitsizlik sağlanmaz. 2) Seçim: x = 0 0 − 2 0 + 1 = − 2 1 < 0 Bu aralıkta eşitsizlik sağlanır. 3) Seçim: x = 3 3 − 2 3 + 1 = 1 4 > 0 Bu aralıkta eşitsizlik sağlanmaz. Sınır noktalarının durumu: • Paydanın sıfır olduğu değer çözüme dahil edilemez. x = − 1 ⇒ x − 2 x + 1  tanımsızdır • Payın sıfır olduğu değer eşitliği sağlar ve dahil edilir. x = 2 ⇒ x − 2 x + 1 = 0 Çözüm kümesi: ( − 1, 2 ] Bu, şıklardan seçeneğiB1080dir. Dolayısıyla “doğru cevap B1108 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Doğru cevap: C

1) Seçenek A’nın doğruluğunu kontrol edelim ve eşitsizliği çözelim. Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 4 ≤ 0 2) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) 3) Tanım dışı değerleri (paydanın sıfır olduğu değerleri) belirtelim: x 2 - 4 ≠ 0 ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0 x ≠ 2, x ≠ - 2 4) Ortak çarpanı sadeleştirerek daha basit bir rasyonel ifadeye geçelim (ama tanım dışı değerleri kaybetmiyoruz ): ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0 x - 3 x + 2 ≤ 0 Koşul: x ≠ - 2, x ≠ 2 5) Kritik noktaları bulalım (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan): x - 3 = 0 ⇒ x = 3 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 Bu noktalara göre sayı doğrusunu aralıklara ayıralım: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) 6) İşaret incelemesi yapalım: • x ∈ ( - ∞, - 2 ): x - 3 < 0, x + 2 < 0 ⇒ x - 3 x + 2 > 0 • x ∈ ( - 2, 3 ): x - 3 < 0, x + 2 > 0 ⇒ x - 3 x + 2 < 0 • x ∈ ( 3, ∞ ): x - 3 > 0, x + 2 > 0 ⇒ x - 3 x + 2 > 0 7) Eşitsizlik ≤ 0 istediği için negatif olduğu aralığı ve sıfır yaptığı noktayı alırız: x - 3 x + 2 ≤ 0 ⇒ x ∈ ( - 2, 3 ] 8) Ancak başlangıçtaki ifadede x = 2 tanımsızdı, bu yüzden çözümden çıkarılmalı: ( - 2, 3 ] \ { 2 } = ( - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ] Sonuç: Doğru cevap C1363 şıkkıdır. ( - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ]

1. Çözüm: 1) Seçenek A’nın doğruluğunu kontrol edelim ve eşitsizliği çözelim. Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 4 ≤ 0 2) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) 3) Tanım dışı değerleri (paydanın sıfır olduğu değerleri) belirtelim: x 2 - 4 ≠ 0 ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0 x ≠ 2, x ≠ - 2 4) Ortak çarpanı sadeleştirerek daha basit bir rasyonel ifadeye geçelim (ama tanım dışı değerleri kaybetmiyoruz ): ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0 x - 3 x + 2 ≤ 0 Koşul: x ≠ - 2, x ≠ 2 5) Kritik noktaları bulalım (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan): x - 3 = 0 ⇒ x = 3 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 Bu noktalara göre sayı doğrusunu aralıklara ayıralım: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, 3 ), ( 3, ∞ ) 6) İşaret incelemesi yapalım: • x ∈ ( - ∞, - 2 ): x - 3 < 0, x + 2 < 0 ⇒ x - 3 x + 2 > 0 • x ∈ ( - 2, 3 ): x - 3 < 0, x + 2 > 0 ⇒ x - 3 x + 2 < 0 • x ∈ ( 3, ∞ ): x - 3 > 0, x + 2 > 0 ⇒ x - 3 x + 2 > 0 7) Eşitsizlik ≤ 0 istediği için negatif olduğu aralığı ve sıfır yaptığı noktayı alırız: x - 3 x + 2 ≤ 0 ⇒ x ∈ ( - 2, 3 ] 8) Ancak başlangıçtaki ifadede x = 2 tanımsızdı, bu yüzden çözümden çıkarılmalı: ( - 2, 3 ] \ { 2 } = ( - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ] Sonuç: Doğru cevap C1363 şıkkıdır. ( - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ]

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 x + 1 > 1 Tanım koşulu (payda sıfır olamaz): x ≠ − 1 Her iki tarafı aynı tarafa toplayıp sıfırla karşılaştıralım: 2 x − 3 x + 1 − 1 > 0 Ortak paydada birleştirelim: 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 > 0 Payı sadeleştirelim: x − 4 x + 1 > 0 Kritik noktalar (payı ve paydayı sıfır yapan değerler): x = 4 x = − 1 Sayı doğrusunu bu noktalara göre aralıklara ayıralım ve işaret inceleyelim: ( − ∞, − 1 ),   ( − 1, 4 ),   ( 4, ∞ ) Örnek değerlerle işaret: •  x = − 2  için  x − 4 x + 1 = − 6 − 1 > 0 •  x = 0  için  x − 4 x + 1 = − 4 1 < 0 •  x = 5  için  x − 4 x + 1 = 1 6 > 0 Eşitsizlik payda tanımsız olduğu için değerini, ayrıca olduğu için kökü (eşitlik yok) dahil etmeyiz. Çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 4, ∞ ) Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap: D1043

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x − 3 x + 1 > 1 Tanım koşulu (payda sıfır olamaz): x ≠ − 1 Her iki tarafı aynı tarafa toplayıp sıfırla karşılaştıralım: 2 x − 3 x + 1 − 1 > 0 Ortak paydada birleştirelim: 2 x − 3 − ( x + 1 ) x + 1 > 0 Payı sadeleştirelim: x − 4 x + 1 > 0 Kritik noktalar (payı ve paydayı sıfır yapan değerler): x = 4 x = − 1 Sayı doğrusunu bu noktalara göre aralıklara ayıralım ve işaret inceleyelim: ( − ∞, − 1 ),   ( − 1, 4 ),   ( 4, ∞ ) Örnek değerlerle işaret: •  x = − 2  için  x − 4 x + 1 = − 6 − 1 > 0 •  x = 0  için  x − 4 x + 1 = − 4 1 < 0 •  x = 5  için  x − 4 x + 1 = 1 6 > 0 Eşitsizlik payda tanımsız olduğu için değerini, ayrıca olduğu için kökü (eşitlik yok) dahil etmeyiz. Çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( 4, ∞ ) Bu sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap: D1043

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 | x - 3 | ≤ 1 Önce tanım kümesini belirleyelim (payda sıfır olamaz): x ≠ 3 Payı çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Buna göre ifade ( x ≠ 3 için) şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) | x - 3 | ≤ 1 Mutlak değer nedeniyle iki durum inceleyelim. 1) Durum: x > 3 Bu durumda: | x - 3 | = x - 3 İfade sadeleşir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 3 = x - 2 Eşitsizlik: x - 2 ≤ 1 Çözüm: x ≤ 3 Ancak bu durumun koşulu ile birlikte düşünülürse: x > 3 ∧ x ≤ 3 Bu imkânsızdır, dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez. 2) Durum: x < 3 Bu durumda: | x - 3 | = 3 - x = - ( x - 3 ) İfade sadeleşir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) - ( x - 3 ) = - ( x - 2 ) = 2 - x Eşitsizlik: 2 - x ≤ 1 Çözüm: x ≥ 1 Bu durumun koşulu ile birleştirince: x ≥ 1 ∧ x < 3 Çözüm kümesi: [ 1, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 | x - 3 | ≤ 1 Önce tanım kümesini belirleyelim (payda sıfır olamaz): x ≠ 3 Payı çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Buna göre ifade ( x ≠ 3 için) şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) | x - 3 | ≤ 1 Mutlak değer nedeniyle iki durum inceleyelim. 1) Durum: x > 3 Bu durumda: | x - 3 | = x - 3 İfade sadeleşir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 3 = x - 2 Eşitsizlik: x - 2 ≤ 1 Çözüm: x ≤ 3 Ancak bu durumun koşulu ile birlikte düşünülürse: x > 3 ∧ x ≤ 3 Bu imkânsızdır, dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez. 2) Durum: x < 3 Bu durumda: | x - 3 | = 3 - x = - ( x - 3 ) İfade sadeleşir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) - ( x - 3 ) = - ( x - 2 ) = 2 - x Eşitsizlik: 2 - x ≤ 1 Çözüm: x ≥ 1 Bu durumun koşulu ile birleştirince: x ≥ 1 ∧ x < 3 Çözüm kümesi: [ 1, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

Doğru cevap: B

Önce verilen eşitsizliği yazalım: 2 x - 5 < 3 x + 1 Her iki taraftan da aynı ifadeyi çıkartarak benzer terimleri sadeleştirelim. Her iki taraftan da çıkaralım: - 2 x Yeni eşitsizlik: - 5 < x + 1 Şimdi her iki taraftan da çıkaralım: - 1 Sonuç: - 6 < x Eşitsizliği değişken solda olacak şekilde yazarsak: x > - 6 Bu ifade şıklardan seçeneğiB330 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B366 ’dır.

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizliği yazalım: 2 x - 5 < 3 x + 1 Her iki taraftan da aynı ifadeyi çıkartarak benzer terimleri sadeleştirelim. Her iki taraftan da çıkaralım: - 2 x Yeni eşitsizlik: - 5 < x + 1 Şimdi her iki taraftan da çıkaralım: - 1 Sonuç: - 6 < x Eşitsizliği değişken solda olacak şekilde yazarsak: x > - 6 Bu ifade şıklardan seçeneğiB330 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B366 ’dır.