9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: x - 1 x + 2 ≥ 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 2 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım: x - 1 x + 2 ≥ 2 ∨ x - 1 x + 2 ≤ - 2 1. durum: x - 1 x + 2 ≥ 2 Tek tarafa toplayalım: x - 1 x + 2 - 2 ≥ 0 Paydaları eşitleyelim: x - 1 - 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 Sadeleştirelim: - x - 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı eksi ile çarpınca yön değişir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = - 5, x = - 2 İşaret incelemesi sonucu birinci durumun çözümü: [ - 5, - 2 ) 2. durum: x - 1 x + 2 ≤ - 2 Tek tarafa toplayalım: x - 1 x + 2 + 2 ≤ 0 Paydaları eşitleyelim: x - 1 + 2 ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 Sadeleştirelim: 3 x + 3 x + 2 ≤ 0 Ortak çarpanı ayıralım (pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): 3 x + 1 x + 2 ≤ 0 Buna göre: x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = - 2, x = - 1 İşaret incelemesi sonucu ikinci durumun çözümü: ( - 2, - 1 ] İki durumun birleşimi çözüm kümesini verir: [ - 5, - 2 ) ∪ ( - 2, - 1 ] Bu, verilen şıklardan aşağıdaki ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C973 şıkkıdır: [ - 5, - 2 ) ∪ ( - 2, - 1 ]

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x - 1 x + 2 ≥ 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 2 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım: x - 1 x + 2 ≥ 2 ∨ x - 1 x + 2 ≤ - 2 1. durum: x - 1 x + 2 ≥ 2 Tek tarafa toplayalım: x - 1 x + 2 - 2 ≥ 0 Paydaları eşitleyelim: x - 1 - 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 Sadeleştirelim: - x - 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı eksi ile çarpınca yön değişir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = - 5, x = - 2 İşaret incelemesi sonucu birinci durumun çözümü: [ - 5, - 2 ) 2. durum: x - 1 x + 2 ≤ - 2 Tek tarafa toplayalım: x - 1 x + 2 + 2 ≤ 0 Paydaları eşitleyelim: x - 1 + 2 ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 Sadeleştirelim: 3 x + 3 x + 2 ≤ 0 Ortak çarpanı ayıralım (pozitif olduğu için eşitsizlik yönü değişmez): 3 x + 1 x + 2 ≤ 0 Buna göre: x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = - 2, x = - 1 İşaret incelemesi sonucu ikinci durumun çözümü: ( - 2, - 1 ] İki durumun birleşimi çözüm kümesini verir: [ - 5, - 2 ) ∪ ( - 2, - 1 ] Bu, verilen şıklardan aşağıdaki ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C973 şıkkıdır: [ - 5, - 2 ) ∪ ( - 2, - 1 ]

Doğru cevap: D

İstenen eşitsizlik: ( x - 1 ) ( x + 3 ) x - 2 ≤ 0 Kritik noktalar: Payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerleri bulalım. ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 0 x = 1, x = - 3 x - 2 = 0 x = 2 Buna göre sayı doğrusunu şu aralıklara böleriz: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Not: Paydanın sıfır olduğu değer tanımsızdır, dolayısıyla dışarıda kalmalıdır. x ≠ 2 İşaret incelemesi (her aralıktan bir örnek değer seçerek): 1) Aralık x ∈ ( - ∞, - 3 ) Örnek x = - 4 ( - 4 - 1 ) ( - 4 + 3 ) - 4 - 2 = ( - 5 ) ( - 1 ) - 6 Pay pozitif, payda negatif olduğundan kesir negatiftir, eşitsizliği sağlar. 2) Aralık x ∈ ( - 3, 1 ) Örnek x = 0 ( 0 - 1 ) ( 0 + 3 ) 0 - 2 = ( - 1 ) ( 3 ) - 2 Pay negatif, payda negatif olduğundan kesir pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. 3) Aralık x ∈ ( 1, 2 ) Örnek x = 3 2 ( 3 2 - 1 ) ( 3 2 + 3 ) 3 2 - 2 Bu aralıkta pay pozitif, payda negatif olduğundan kesir negatiftir, eşitsizliği sağlar. 4) Aralık x ∈ ( 2, ∞ ) Örnek x = 3 ( 3 - 1 ) ( 3 + 3 ) 3 - 2 = 2 ⋅ 6 1 Pay pozitif, payda pozitif olduğundan kesir pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. Uç noktaları dahil etme: - Payı sıfır yapan noktalar eşitlik sağladığı için dahil edilir. x = - 3, x = 1 - Paydayı sıfır yapan nokta tanımsız olduğu için dahil edilmez. x = 2 Çözüm kümesi: ( - ∞, - 3 ] ∪ [ 1, 2 ) Sonuç: Doğru seçenek D1335

1. Çözüm: İstenen eşitsizlik: ( x - 1 ) ( x + 3 ) x - 2 ≤ 0 Kritik noktalar: Payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerleri bulalım. ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 0 x = 1, x = - 3 x - 2 = 0 x = 2 Buna göre sayı doğrusunu şu aralıklara böleriz: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Not: Paydanın sıfır olduğu değer tanımsızdır, dolayısıyla dışarıda kalmalıdır. x ≠ 2 İşaret incelemesi (her aralıktan bir örnek değer seçerek): 1) Aralık x ∈ ( - ∞, - 3 ) Örnek x = - 4 ( - 4 - 1 ) ( - 4 + 3 ) - 4 - 2 = ( - 5 ) ( - 1 ) - 6 Pay pozitif, payda negatif olduğundan kesir negatiftir, eşitsizliği sağlar. 2) Aralık x ∈ ( - 3, 1 ) Örnek x = 0 ( 0 - 1 ) ( 0 + 3 ) 0 - 2 = ( - 1 ) ( 3 ) - 2 Pay negatif, payda negatif olduğundan kesir pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. 3) Aralık x ∈ ( 1, 2 ) Örnek x = 3 2 ( 3 2 - 1 ) ( 3 2 + 3 ) 3 2 - 2 Bu aralıkta pay pozitif, payda negatif olduğundan kesir negatiftir, eşitsizliği sağlar. 4) Aralık x ∈ ( 2, ∞ ) Örnek x = 3 ( 3 - 1 ) ( 3 + 3 ) 3 - 2 = 2 ⋅ 6 1 Pay pozitif, payda pozitif olduğundan kesir pozitiftir, eşitsizliği sağlamaz. Uç noktaları dahil etme: - Payı sıfır yapan noktalar eşitlik sağladığı için dahil edilir. x = - 3, x = 1 - Paydayı sıfır yapan nokta tanımsız olduğu için dahil edilmez. x = 2 Çözüm kümesi: ( - ∞, - 3 ] ∪ [ 1, 2 ) Sonuç: Doğru seçenek D1335

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | < 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0   ⇒   x = 3 2 x + 1 = 0   ⇒   x = - 1 Bu nedenle üç aralıkta inceleme yaparız. ( - ∞, - 1 ),   [ - 1, 3 2 ),   [ 3 2, ∞ ) 1. Durum: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, dolayısıyla: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( - x + 1 ) < 7 - 3 x + 2 < 7 - 3 x < 5   ⇒   x > - 5 3 Bu durum için çözüm aralığı: ( - 5 3, - 1 ) 2. Durum: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 - x + 4 < 7 - x < 3   ⇒   x > - 3 Bu koşul aralığın tamamında sağlandığı için çözüm: [ - 1, 3 2 ) 3. Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir, dolayısıyla: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 3 x - 2 < 7 3 x < 9   ⇒   x < 3 Bu durum için çözüm aralığı: [ 3 2, 3 ) Tüm aralıkları birleştirelim: ( - 5 3, - 1 ) ∪ [ - 1, 3 2 ) ∪ [ 3 2, 3 ) ( - 5 3, 3 ) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | < 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0   ⇒   x = 3 2 x + 1 = 0   ⇒   x = - 1 Bu nedenle üç aralıkta inceleme yaparız. ( - ∞, - 1 ),   [ - 1, 3 2 ),   [ 3 2, ∞ ) 1. Durum: x < - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, dolayısıyla: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = - x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( - x + 1 ) < 7 - 3 x + 2 < 7 - 3 x < 5   ⇒   x > - 5 3 Bu durum için çözüm aralığı: ( - 5 3, - 1 ) 2. Durum: - 1 ≤ x < 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 - x + 4 < 7 - x < 3   ⇒   x > - 3 Bu koşul aralığın tamamında sağlandığı için çözüm: [ - 1, 3 2 ) 3. Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir, dolayısıyla: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) < 7 3 x - 2 < 7 3 x < 9   ⇒   x < 3 Bu durum için çözüm aralığı: [ 3 2, 3 ) Tüm aralıkları birleştirelim: ( - 5 3, - 1 ) ∪ [ - 1, 3 2 ) ∪ [ 3 2, 3 ) ( - 5 3, 3 ) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A.

Doğru cevap: B

İstenen ifade bir kesirli eşitsizliktir; önce tanım kümesini ve kritik noktaları belirleyelim. Verilen eşitsizlik: x - 3 | x | - 2 ≤ 0 Tanım kümesi için payda sıfır olamaz: | x | - 2 ≠ 0 | x | ≠ 2 x ≠ 2 ∧ x ≠ - 2 Payın sıfır olduğu nokta: x - 3 = 0 x = 3 Dolayısıyla kritik noktalar (işaret incelemesi için): - 2, 2, 3 Paydanın işareti, ifadenin mutlak değerli kısmına göre belirlenir: | x | - 2 > 0 ⇔ | x | > 2 | x | - 2 < 0 ⇔ | x | < 2 Şimdi aralık aralık işaret inceleyelim: 1) Bu aralıkta payda pozitiftir ve pay negatiftir: ( - ∞, - 2 ) Bu nedenle kesir negatiftir ve eşitsizliği sağlar. 2) Bu aralıkta payda negatiftir ve pay negatiftir: ( - 2, 2 ) Bu nedenle kesir pozitiftir ve eşitsizliği sağlamaz. 3) Bu aralıkta payda pozitiftir ve pay negatiftir: ( 2, 3 ) Bu nedenle kesir negatiftir ve eşitsizliği sağlar. 4) Bu aralıkta payda pozitiftir ve pay pozitiftir: ( 3, ∞ ) Bu nedenle kesir pozitiftir ve eşitsizliği sağlamaz. Eşitlik durumunu kontrol edelim: Payın sıfır olduğu noktada payda sıfır değildir, bu yüzden dahil edilir. x = 3 Çözüm kümesi: ( - ∞, - 2 ) ∪ ( 2, 3 ] Bu, verilen şıklardan seçeneğiB1181 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B1217 ’dır.

1. Çözüm: İstenen ifade bir kesirli eşitsizliktir; önce tanım kümesini ve kritik noktaları belirleyelim. Verilen eşitsizlik: x - 3 | x | - 2 ≤ 0 Tanım kümesi için payda sıfır olamaz: | x | - 2 ≠ 0 | x | ≠ 2 x ≠ 2 ∧ x ≠ - 2 Payın sıfır olduğu nokta: x - 3 = 0 x = 3 Dolayısıyla kritik noktalar (işaret incelemesi için): - 2, 2, 3 Paydanın işareti, ifadenin mutlak değerli kısmına göre belirlenir: | x | - 2 > 0 ⇔ | x | > 2 | x | - 2 < 0 ⇔ | x | < 2 Şimdi aralık aralık işaret inceleyelim: 1) Bu aralıkta payda pozitiftir ve pay negatiftir: ( - ∞, - 2 ) Bu nedenle kesir negatiftir ve eşitsizliği sağlar. 2) Bu aralıkta payda negatiftir ve pay negatiftir: ( - 2, 2 ) Bu nedenle kesir pozitiftir ve eşitsizliği sağlamaz. 3) Bu aralıkta payda pozitiftir ve pay negatiftir: ( 2, 3 ) Bu nedenle kesir negatiftir ve eşitsizliği sağlar. 4) Bu aralıkta payda pozitiftir ve pay pozitiftir: ( 3, ∞ ) Bu nedenle kesir pozitiftir ve eşitsizliği sağlamaz. Eşitlik durumunu kontrol edelim: Payın sıfır olduğu noktada payda sıfır değildir, bu yüzden dahil edilir. x = 3 Çözüm kümesi: ( - ∞, - 2 ) ∪ ( 2, 3 ] Bu, verilen şıklardan seçeneğiB1181 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B1217 ’dır.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 1 | + | x + 3 | ≥ 8 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 2 x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 Buna göre aralıkları inceleyeceğiz. 1) Aralık: x < - 3 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 1 | = - 2 x - 1 = - 2 x + 1 | x + 3 | = - x + 3 = - x - 3 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 1 ) + ( - x - 3 ) ≥ 8 - 3 x - 2 ≥ 8 - 3 x ≥ 10 ⇒ x ≤ - 10 3 Bu, aralıkla uyumludur ve çözüm verir. 2) Aralık: - 3 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 | x + 3 | = x + 3 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 8 - x + 4 ≥ 8 - x ≥ 4 ⇒ x ≤ - 4 Ancak bu koşul, - 3 ≤ x ile çeliştiği için bu aralıktan çözüm gelmez. 3) Aralık: x ≥ 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de sıfır veya pozitiftir: | 2 x - 1 | = 2 x - 1 | x + 3 | = x + 3 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 8 3 x + 2 ≥ 8 3 x ≥ 6 ⇒ x ≥ 2 Tüm aralıklardan gelen çözümleri birleştirirsek çözüm kümesi: ( - ∞, - 10 3 ] ∪ [ 2, ∞ ) Şık kontrolü: Bulduğumuz çözüm kümesi şıkkıC1122 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C1155’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 1 | + | x + 3 | ≥ 8 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 2 x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 Buna göre aralıkları inceleyeceğiz. 1) Aralık: x < - 3 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 1 | = - 2 x - 1 = - 2 x + 1 | x + 3 | = - x + 3 = - x - 3 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 1 ) + ( - x - 3 ) ≥ 8 - 3 x - 2 ≥ 8 - 3 x ≥ 10 ⇒ x ≤ - 10 3 Bu, aralıkla uyumludur ve çözüm verir. 2) Aralık: - 3 ≤ x < 1 2 Bu aralıkta: | 2 x - 1 | = - 2 x + 1 | x + 3 | = x + 3 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 8 - x + 4 ≥ 8 - x ≥ 4 ⇒ x ≤ - 4 Ancak bu koşul, - 3 ≤ x ile çeliştiği için bu aralıktan çözüm gelmez. 3) Aralık: x ≥ 1 2 Bu aralıkta her iki ifade de sıfır veya pozitiftir: | 2 x - 1 | = 2 x - 1 | x + 3 | = x + 3 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 1 ) + ( x + 3 ) ≥ 8 3 x + 2 ≥ 8 3 x ≥ 6 ⇒ x ≥ 2 Tüm aralıklardan gelen çözümleri birleştirirsek çözüm kümesi: ( - ∞, - 10 3 ] ∪ [ 2, ∞ ) Şık kontrolü: Bulduğumuz çözüm kümesi şıkkıC1122 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C1155’dır.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlikte paydaların sıfır olmaması gerekir: x ≠ - 2, x ≠ 4 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x - 1 x + 2 - x + 3 x - 4 ≤ 0 Ortak paydada birleştirelim: ( x - 1 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) ≤ 0 Pay kısmını açıp sadeleştirelim: ( x - 1 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 2 ) = ( x 2 - 5 x + 4 ) - ( x 2 + 5 x + 6 ) Devam: ( x 2 - 5 x + 4 ) - ( x 2 + 5 x + 6 ) = - 10 x - 2 = - 2 ( 5 x + 1 ) Eşitsizlik şu hale gelir: - 2 ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) ≤ 0 Her iki tarafı negatif bir sayı olan eksi iki ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir. Sabit katsayıyı da sadeleştirip: 5 x + 1 ( x + 2 ) ( x - 4 ) ≥ 0 Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. 5 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 5 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 x - 4 = 0 ⇒ x = 4 Sayı doğrusunu bu noktalara göre bölelim ve işaret incelemesi yapalım: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, - 1 5 ), ( - 1 5, 4 ), ( 4, ∞ ) Test değerleri seçelim: x = - 3, x = - 1, x = 0, x = 5 İfade 5 x + 1 ( x + 2 ) ( x - 4 ) için işaretler sırasıyla: negatif, pozitif, negatif, pozitif olur. Dolayısıyla sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar: ( - 2, - 1 5 ] ∪ ( 4, ∞ ) Burada eksi iki ve dört paydayı sıfır yaptığı için alınmaz; eksi bir bölü beş ise paydayı sıfır yapmadığı ve ifadeyi sıfır yaptığı için alınır. Sonuç, şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D1407.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlikte paydaların sıfır olmaması gerekir: x ≠ - 2, x ≠ 4 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x - 1 x + 2 - x + 3 x - 4 ≤ 0 Ortak paydada birleştirelim: ( x - 1 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) ≤ 0 Pay kısmını açıp sadeleştirelim: ( x - 1 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 2 ) = ( x 2 - 5 x + 4 ) - ( x 2 + 5 x + 6 ) Devam: ( x 2 - 5 x + 4 ) - ( x 2 + 5 x + 6 ) = - 10 x - 2 = - 2 ( 5 x + 1 ) Eşitsizlik şu hale gelir: - 2 ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) ≤ 0 Her iki tarafı negatif bir sayı olan eksi iki ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir. Sabit katsayıyı da sadeleştirip: 5 x + 1 ( x + 2 ) ( x - 4 ) ≥ 0 Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. 5 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 5 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 x - 4 = 0 ⇒ x = 4 Sayı doğrusunu bu noktalara göre bölelim ve işaret incelemesi yapalım: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, - 1 5 ), ( - 1 5, 4 ), ( 4, ∞ ) Test değerleri seçelim: x = - 3, x = - 1, x = 0, x = 5 İfade 5 x + 1 ( x + 2 ) ( x - 4 ) için işaretler sırasıyla: negatif, pozitif, negatif, pozitif olur. Dolayısıyla sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar: ( - 2, - 1 5 ] ∪ ( 4, ∞ ) Burada eksi iki ve dört paydayı sıfır yaptığı için alınmaz; eksi bir bölü beş ise paydayı sıfır yapmadığı ve ifadeyi sıfır yaptığı için alınır. Sonuç, şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D1407.

Doğru cevap: A

1) Verilen eşitsizlik: x 2 − 1 x 2 − 4 x + 3 < 0 2) Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım: x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x 2 − 4 x + 3 = ( x − 1 ) ( x − 3 ) 3) Tanım kümesi kısıtları (payda sıfır olamaz): x ≠ 1, x ≠ 3 4) İfadeyi çarpanlara ayrılmış hâliyle yazıp ortak çarpanı sadeleştirelim (ama x=1 yine de çözüm kümesine dahil değildir): ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x − 3 ) < 0 x + 1 x − 3 < 0, x ≠ 1, x ≠ 3 5) İşaret incelemesi: Kritik noktalar: payı sıfır yapan x=-1, paydayı sıfır yapan x=3. Ayrıca x=1 tanımsız olduğu için son aralıkta çıkarılacak. Kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir. 6) Aralıkları test edelim: • x<-1 iken: x + 1 < 0, x − 3 < 0 ⇒ x + 1 x − 3 > 0 Sağlamaz. • −1 0, x − 3 < 0 ⇒ x + 1 x − 3 < 0 Sağlar; fakat x=1 tanımsız olduğundan bu aralık ikiye ayrılır. • x>3 iken: x + 1 > 0, x − 3 > 0 ⇒ x + 1 x − 3 > 0 Sağlamaz. 7) Uç noktalar: • x=-1 payı sıfır yapar, değer 0 olur; eşitsizlik sıkı olduğu için alınmaz. • x=1 ve x=3 ifadeyi tanımsız yapar; alınmaz. 8) Çözüm kümesi: ( − 1, 1 ) ∪ ( 1, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek A.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: x 2 − 1 x 2 − 4 x + 3 < 0 2) Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım: x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x 2 − 4 x + 3 = ( x − 1 ) ( x − 3 ) 3) Tanım kümesi kısıtları (payda sıfır olamaz): x ≠ 1, x ≠ 3 4) İfadeyi çarpanlara ayrılmış hâliyle yazıp ortak çarpanı sadeleştirelim (ama x=1 yine de çözüm kümesine dahil değildir): ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x − 3 ) < 0 x + 1 x − 3 < 0, x ≠ 1, x ≠ 3 5) İşaret incelemesi: Kritik noktalar: payı sıfır yapan x=-1, paydayı sıfır yapan x=3. Ayrıca x=1 tanımsız olduğu için son aralıkta çıkarılacak. Kesrin negatif olması için pay ve paydanın zıt işaretli olması gerekir. 6) Aralıkları test edelim: • x<-1 iken: x + 1 < 0, x − 3 < 0 ⇒ x + 1 x − 3 > 0 Sağlamaz. • −1 0, x − 3 < 0 ⇒ x + 1 x − 3 < 0 Sağlar; fakat x=1 tanımsız olduğundan bu aralık ikiye ayrılır. • x>3 iken: x + 1 > 0, x − 3 > 0 ⇒ x + 1 x − 3 > 0 Sağlamaz. 7) Uç noktalar: • x=-1 payı sıfır yapar, değer 0 olur; eşitsizlik sıkı olduğu için alınmaz. • x=1 ve x=3 ifadeyi tanımsız yapar; alınmaz. 8) Çözüm kümesi: ( − 1, 1 ) ∪ ( 1, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek A.

Doğru cevap: B

Soru: | x - 1 x + 2 | > 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 2 Mutlak değerli eşitsizliği, iki tarafı da karesini alarak düzenleyelim: | x - 1 x + 2 | 2 > 2 2 Mutlak değerin karesi ve kesrin karesi: x - 1 2 x + 2 2 > 4 Payda pozitif olduğundan (kare), iki tarafı payda ile çarpalım: x - 1 2 > 4 x + 2 2 Açalım: ( x 2 - 2 x + 1 ) > 4 ( x 2 + 4 x + 4 ) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 0 > 3 x 2 + 18 x + 15 Sadeleştirelim: 0 > x 2 + 6 x + 5 Çarpanlara ayıralım: 0 > ( x + 1 ) ( x + 5 ) İki kök arasında çarpım negatiftir: - 5 < x < - 1 Ancak başlangıçta x ≠ - 2 olmalıydı; bu yüzden aralıktan - 2 çıkarılır. Çözüm kümesi: ( - 5, - 2 ) ∪ ( - 2, - 1 ) Bu ifade şık A ile aynıdır; doğru cevap B706’dır.

1. Çözüm: Soru: | x - 1 x + 2 | > 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 2 Mutlak değerli eşitsizliği, iki tarafı da karesini alarak düzenleyelim: | x - 1 x + 2 | 2 > 2 2 Mutlak değerin karesi ve kesrin karesi: x - 1 2 x + 2 2 > 4 Payda pozitif olduğundan (kare), iki tarafı payda ile çarpalım: x - 1 2 > 4 x + 2 2 Açalım: ( x 2 - 2 x + 1 ) > 4 ( x 2 + 4 x + 4 ) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: 0 > 3 x 2 + 18 x + 15 Sadeleştirelim: 0 > x 2 + 6 x + 5 Çarpanlara ayıralım: 0 > ( x + 1 ) ( x + 5 ) İki kök arasında çarpım negatiftir: - 5 < x < - 1 Ancak başlangıçta x ≠ - 2 olmalıydı; bu yüzden aralıktan - 2 çıkarılır. Çözüm kümesi: ( - 5, - 2 ) ∪ ( - 2, - 1 ) Bu ifade şık A ile aynıdır; doğru cevap B706’dır.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Buna göre ifade: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 Kritik noktalar (işaret değiştirebilecek noktalar): payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapanlar. x = 2 x = 3 x = 4 Tanım gereği paydayı sıfır yapan değer çözüme dahil edilemez. x ≠ s İşaret incelemesi için sayı doğrusunu şu aralıklara böleriz: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) Birinci aralık için: x < 2 x - 2 < 0, x - 3 < 0, x - 4 < 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 < 0 Bu aralık çözümde yoktur. İkinci aralık için: 2 < x < 3 x - 2 > 0, x - 3 < 0, x - 4 < 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 > 0 Bu aralık çözümde vardır. Üçüncü aralık için: 3 < x < 4 x - 2 > 0, x - 3 > 0, x - 4 < 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 < 0 Bu aralık çözümde yoktur. Dördüncü aralık için: x > 4 x - 2 > 0, x - 3 > 0, x - 4 > 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 > 0 Bu aralık çözümde vardır. Eşitliğin sağlanabildiği noktaları ayrıca kontrol edelim: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 = 0 x = 2, x = 3 Bu iki değer paydayı sıfır yapmadığı için çözüme dahildir. Ancak: x = 4 değeri paydayı sıfır yaptığı için çözüme dahil değildir. Sonuç çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Bu da seçeneklerden A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C1273’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Buna göre ifade: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 Kritik noktalar (işaret değiştirebilecek noktalar): payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapanlar. x = 2 x = 3 x = 4 Tanım gereği paydayı sıfır yapan değer çözüme dahil edilemez. x ≠ s İşaret incelemesi için sayı doğrusunu şu aralıklara böleriz: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) Birinci aralık için: x < 2 x - 2 < 0, x - 3 < 0, x - 4 < 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 < 0 Bu aralık çözümde yoktur. İkinci aralık için: 2 < x < 3 x - 2 > 0, x - 3 < 0, x - 4 < 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 > 0 Bu aralık çözümde vardır. Üçüncü aralık için: 3 < x < 4 x - 2 > 0, x - 3 > 0, x - 4 < 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 < 0 Bu aralık çözümde yoktur. Dördüncü aralık için: x > 4 x - 2 > 0, x - 3 > 0, x - 4 > 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 > 0 Bu aralık çözümde vardır. Eşitliğin sağlanabildiği noktaları ayrıca kontrol edelim: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 = 0 x = 2, x = 3 Bu iki değer paydayı sıfır yapmadığı için çözüme dahildir. Ancak: x = 4 değeri paydayı sıfır yaptığı için çözüme dahil değildir. Sonuç çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Bu da seçeneklerden A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C1273’dır.

Doğru cevap: D

İstenilen koşul: | x - 1 x + 2 | ≥ 1 Ayrıca: - 10 ≤ x ≤ 10 x ≠ - 2 Mutlak değerli eşitsizlik için iki durum yazalım: x - 1 x + 2 ≥ 1 x - 1 x + 2 ≤ - 1 1. Durum: x - 1 x + 2 ≥ 1 Her iki tarafı tek kesirde toplayalım: x - 1 x + 2 - 1 ≥ 0 x - 1 - ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 - 3 x + 2 ≥ 0 Pay negatif olduğundan kesrin negatif olmaması için paydanın negatif olması gerekir: x + 2 < 0 x < - 2 2. Durum: x - 1 x + 2 ≤ - 1 Her iki tarafı tek kesirde toplayalım: x - 1 x + 2 + 1 ≤ 0 x - 1 + ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 2 x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: 2 x + 1 = 0 x = - 1 2 x + 2 = 0 x = - 2 İşaret incelemesiyle çözüm aralığı: - 2 < x ≤ - 1 2 Tam sayı için bu aralıktaki tek değer: x = - 1 Şimdi verilen sınırla birleştirelim: - 10 ≤ x ≤ 10 1. durumdan: x < - 2 Bu durumda tam sayılar: x ∈ { - 10, - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3 } 2. durumdan ayrıca: x = - 1 Çözümleri toplayalım. Önce - 10 + - 9 + - 8 + - 7 + - 6 + - 5 + - 4 + - 3 Bu toplam, - ( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ) olur ve eşittir: - 52 Son olarak - 52 + ( - 1 ) = - 53 Bulunan toplam: - 53 Dolayısıyla doğru seçenek D1178 ’dır.

1. Çözüm: İstenilen koşul: | x - 1 x + 2 | ≥ 1 Ayrıca: - 10 ≤ x ≤ 10 x ≠ - 2 Mutlak değerli eşitsizlik için iki durum yazalım: x - 1 x + 2 ≥ 1 x - 1 x + 2 ≤ - 1 1. Durum: x - 1 x + 2 ≥ 1 Her iki tarafı tek kesirde toplayalım: x - 1 x + 2 - 1 ≥ 0 x - 1 - ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 - 3 x + 2 ≥ 0 Pay negatif olduğundan kesrin negatif olmaması için paydanın negatif olması gerekir: x + 2 < 0 x < - 2 2. Durum: x - 1 x + 2 ≤ - 1 Her iki tarafı tek kesirde toplayalım: x - 1 x + 2 + 1 ≤ 0 x - 1 + ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 2 x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: 2 x + 1 = 0 x = - 1 2 x + 2 = 0 x = - 2 İşaret incelemesiyle çözüm aralığı: - 2 < x ≤ - 1 2 Tam sayı için bu aralıktaki tek değer: x = - 1 Şimdi verilen sınırla birleştirelim: - 10 ≤ x ≤ 10 1. durumdan: x < - 2 Bu durumda tam sayılar: x ∈ { - 10, - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3 } 2. durumdan ayrıca: x = - 1 Çözümleri toplayalım. Önce - 10 + - 9 + - 8 + - 7 + - 6 + - 5 + - 4 + - 3 Bu toplam, - ( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ) olur ve eşittir: - 52 Son olarak - 52 + ( - 1 ) = - 53 Bulunan toplam: - 53 Dolayısıyla doğru seçenek D1178 ’dır.